河北省衡水中学高考数学信息卷3(理科)
【衡水金卷先享题信息卷】2019届高三理科数学普通高校招生全国统考模拟试题(三)及答案(扫描版,全国I卷A)
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河北省衡水中学高考数学押题卷三理(含解析)
全国统一考试模拟试题理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，则= .本题选择C选项.2. 集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则= . 本题选择A选项.3. 已知函数的最小正周期为，则函数的图象（）A. 可由函数的图象向左平移个单位而得B. 可由函数的图象向右平移个单位而得C. 可由函数的图象向左平移个单位而得D. 可由函数的图象向右平移个单位而得【答案】D【解析】由已知得，则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.4. 已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数可得，目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中的两边，分别交于、，且交其对角线于，若，，，则=（）A. B. 1 C. D. -3【答案】A【解析】由几何关系可得：，则：，即：，则= .本题选择A选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．6. 在如图所示的正方向中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（附：若，则，.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【答案】B【解析】由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积，则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为.本题选择B选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，且圆柱底面圆的半径是2、母线长是4，∴该几何体的表面积，本题选择B选项.8. 已知数列中，，.若如图所示的程序框图是用来计算该数列的第2018项，则判断框内的条件是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】阅读流程图结合题意可得，该流程图逐项计算数列各项值，当时推出循环，则判断框内的条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则=（）A. 3B.C.D. 4【答案】B【解析】由题意知，的可能取值为2,3,4,其概率分别为，，，所以，故选B．10. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若=2，则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】由题意：M（x0，2√2）在抛物线上，则8=2px0，则px0=4，①由抛物线的性质可知,，，则，∵被直线截得的弦长为√3|MA|，则，由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，代入整理得：②，由①②，解得：x0=2，p=2，∴，故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.11. 若定义在上的可导函数满足，且，则当时，不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不妨令，该函数满足题中的条件，则不等式转化为：，整理可得：，结合函数的定义域可得不等式的解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，函数在定义域内单调递增，方程即：，即，结合函数的单调性有： .本题选择C选项.点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_________．【答案】2【解析】试题分析：展开后第项为，其中项为，即第项，系数为，即，，当且仅当时取得最小值.考点：二项式公式，重要不等式.14. 已知中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为__________．【答案】【解析】由题意有：，则的面积为 .【答案】【解析】由题意可得，为正三角形，则，所以双曲线的离心率.16. 已知下列命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的充分不必要条件；④“若，则且”的逆否命题为真命题其中，所有真命题的序号是__________.【答案】②【解析】逐一考查所给的命题：①命题“，”的否定是“，”；②已知，为两个命题，若“”为假命题，则“为真命题”；③“”是“”的必要不充分条件；④“若，则且”是假命题，则它的逆否命题为假命题其中，所有真命题的序号是②.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列的前项和，且，，. （1）证明：数列为等比数列；（2）求.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意结合等比数列的定义可得数列为首先为2，公比为2的等比数列；(2)利用(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后错位相减可得.试题解析：（1）因为，所以，即，则，所以，又，故数列为等比数列.（2）由（1）知，所以，故.设，则，所以，所以，所以.点睛：证明数列{a n}是等比数列常用的方法：一是定义法，证明＝q(n≥2，q为常数)；二是等比中项法，证明＝a n－1·a n＋1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法．18. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，，，,.（1）求证：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得平面，结合线面垂直的定义有.(2)结合(1)的结论首先找到二面角的平面角，然后可求得直线与平面所成角的正弦值为.试题解析：（1）中，应用余弦定理得，解得，所以，所以.因为平面平面，平面平面，，所以平面，又因为平面，所以.（2）由（1）平面，平面，所以.又因为，平面平面，所以是平面与平面所成的二面角的平面角，即.因为，，所以平面.所以是与平面所成的角.因为在中，，所以在中，.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表1、表2.表1：男生身高频数分布表表2：女生身高频数分布表（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.【答案】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)利用题意得到关于人数的方程，解方程可得该校高一女生的人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在的概率为.(3) 由题意可得的可能取值为0，1，2.据此写出分布列，计算可得数学期望为 .试题解析：（1）设高一女学生人数为，由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40，30，则，解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在的人数为，样本容量为70.所以样本中该校学生身高在的概率为.因此，可估计该校学生身高在的概率为.（3）由题意可得的可能取值为0，1，2.由表格可知，女生身高在的概率为，男生身高在的概率为.所以，，.所以的分布列为：所以.20. 中，是的中点，，其周长为，若点在线段上，且.（1）建立合适的平面直角坐标系，求点的轨迹的方程；（2）若，是射线上不同的两点，，过点的直线与交于，，直线与交于另一点，证明：是等腰三角形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由题意得，以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，得的轨迹方程为，再将相应的点代入即可得到点的轨迹的方程；（2）由（1）中的轨迹方程得到轴，从而得到，即可证明是等腰三角形.试题解析：解法一：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系.依题意得.由，得，因为故，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆（除去长轴端点），所以的轨迹方程为.设，依题意，所以，即，代入的轨迹方程得，，所以点的轨迹的方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行，因为，所以直线为，与联立得，，由韦达定理，同理，所以或，当时，轴，当时，由，得，同理，轴.因此，故是等腰三角形.解法二：（1）以为坐标原点，以的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 依题意得.在轴上取，因为点在线段上，且，所以，则，故的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴端点），所以点的轨迹的方程为.（2）设，，由题意得，直线斜率不为0，且，故设直线的方程为：，其中，与椭圆方程联立得，，由韦达定理可知，，其中，因为满足椭圆方程，故有，所以.设直线的方程为：，其中，同理，故，所以，即轴，因此，故是等腰三角形.21. 已知函数，，曲线的图象在点处的切线方程为.（1）求函数的解析式；（2）当时，求证：；（3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）见解析；（3）.【解析】试题分析：(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为.(2)构造新函数.结合函数的最值和单调性可得.(3)分离系数，构造新函数，，结合新函数的性质可得实数的取值范围为.试题解析：（1）根据题意，得，则.由切线方程可得切点坐标为，将其代入，得，故.（2）令.由，得，当，，单调递减；当，，单调递增.所以，所以.（3）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立.令，，得.由（2）可知，当时，恒成立，令，得；令，得.所以的单调增区间为，单调减区间为，故，所以.所以实数的取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）. （1）求，的直角坐标方程；（2）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，，，，求的值. 【答案】（1）；（2）.【解析】(1)因为，由，得，所以曲线的直角坐标方程为；由，得，所以曲线的极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上的排列顺次至上而下为,它们对应的参数分别为，如图，连接，则为正三角形，所以，，把代入，得：，即，故，所以. 【点睛】本题为极坐标与参数方程，是选修内容，把极坐标方程化为直角坐标方程，需要利用公式，第二步利用直线的参数方程的几何意义，联立方程组求出，利用直线的参数方程的几何意义，进而求值.23. 选修4-5：不等式选讲.已知，为任意实数.（1）求证：；（2）求函数的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)利用不等式的性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式的性质可得.试题解析：（1），因为，所以.（2）. 即.点睛：本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．。
河北省衡水市高考数学三模试卷(理科)
A.
π+1
B. （6+ ）π+1
C.
π+
D. （6+ ）π+
9. 已知某口袋中装有 2 个红球、3 个白球和 1 个蓝球，从中任取 3 个球，则其中恰有
两种颜色的取法种数为（）
A. 7
B. 12
C. 13
D. 16
10. 关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查
理实验受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计 π 的值（如图）．若电脑输出
8.【答案】A
【解析】解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．
该几何体的表面积 S=
=
．
故选：A． 由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成． 本题考查了三视图，空间想象与运算能力，属于简单题．
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9.【答案】C
【解析】解：根据题意，从 6 个球中任取 3 个球，有 C63=20 种取法， 其中有 3 种颜色的取法有 2×3×1=6 种， 有 1 种颜色的取法有 1 种， 则其中恰有两种颜色的取法有 20-6-1=13 种； 故选：C． 根据题意，用间接法分析：先计算从 6 个球中任取 3 个的取法，排除其中有 3 种颜色和 1 种颜色的取法，分析即可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：双曲线 C 的两个焦点 F1，F2 都在 x 轴上，对称中心为原点，离心率为 ． 若点 M 在 C 上，且 MF1⊥MF2，M 到原点的距离为 ，可得 c= ，则 a=1，所以 b= ，
所以双曲线方程为：
．
故选：C． 利用已知条件求出双曲线的半焦距，求出实半轴是出，求出 b，即可得到双曲线方程． 本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．
河北省衡水中学高三第三次联考数学(理)试题2020.12
河北省衡水中学高三第三次联考数学（理）试题2020.12学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A ．M N ⊇B ．M N ⊆C ．()1,M N ⋂=+∞D ．()2,M N ⋃=+∞2．已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A ．3B ．3iC ．4D ．4i3．以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（ ）.A ．清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B ．清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C ．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D ．清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半 4．若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为( ) A ．4B．C ．9D．5．要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A ．4x y +≤B ．4x y +C ．6x y +D ．6x y +6．若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 是递增数列，则10,0a q <<B ．若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><<C ．若0q >，则4652S S S +>D ．若1n nb a =，则{}n b 是等比数列7．为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移56π个单位长度 D ．向右平移56π个单位长度 8．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan 5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos 5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<9．如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A ．12B ．23C ．34D ．110．区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A ，B ，C ，D 四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．1611．地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C 点和D 点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A ．①B ．①②C ．②③D ．①③12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ）A ．13B ．4C ．23D ．113．62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答) 14．记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 15．若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=的一个焦点的距离为p 的值为_________.16．已知函数()()21xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为______.17．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=.（1）求BC 的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠. 18．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 19．2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？20．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.21．已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t =-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=. （1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=直线MN 被曲线D 求直线MN 的方程.23．已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A. 【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】选项A 在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A 正确；选项B 在表中找出硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，则判断选项B 正确；选项C 在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C 正确；选项D 在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，判断选项D 错误即可. 【详解】选项A ：清华大学2019年毕业生中，本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，故选项A 正确；选项B ：清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，故选项B 正确；选项C ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，故选项C 正确；选项D ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，故选项D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查统计表与分布图，是基础题. 4．C 【解析】 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：由题意可知，圆心(2,1)在直线10ax by ， 则21a b +=， 又因为0a >，0b >， 所以212122()(2)5549b aa b a b a b a b+=++=+++=， 当且仅当22b a a b =且21a b +=即13a =，13b =时取等号，此时取得最小值9． 故选：C ． 【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题． 5．C 【解析】 【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可； 【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C . 【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题. 6．D 【解析】 【分析】选项A ，B ，C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A ，B ，C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误；B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误；C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D. 【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”. 8．B 【解析】 【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tan tan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案. 【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B . 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题 9．B 【解析】 【分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为3=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,23OJ =所以())0,2,03，，A J C⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,3OJ ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭)OA mOC nOJ mn m ⎛⎫⎫=+=+=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭所以032m -=⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩ 所以23m n = 故选：B . 【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.【解析】 【分析】先求出A ，B ，C ，D 四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数. 【详解】 如图，A ，B ，C ，D 四点最可确定AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6条边. 由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C -=(个).故选：D. 【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论. 【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率0c e a ===≈，命题②错误；根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题. 12．A 【解析】 【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△故选：A 【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题. 13．60 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)r r rr T C x -+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)rr r r r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r ，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60 【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14．23122n n - 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．2 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以1FF p ===2p =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16．3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】 【分析】把()0f x <转化为()12xx k x e ++<，设1()x x g x e +=，()()2h x k x =+，则若()0f x <的解集中恰有三个整数解等价于()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：()0f x <等价于()210xkx k e x +--<，即()12xx k x e ++<， 设1()x x g x e+=，()()2h x k x =+，则上面不等式转化为()()h x g x <， 直线()()2h x k x =+横过定点()2,0-，要使()0f x <的解集中恰有三个整数，只需()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解. 因为()()2(1)1x xx x e x e g x e e -+⋅-'==,所以(),0x ∈-∞时，0g x ，()g x 单调递增；()0,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；所以1x =时，()()max 01g x g ==，且()10g -=，x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →， 根据根据上述画出()g x 的图像图下图所示：当0k ≤时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图中可以看出，[)1,x ∈-+∞时，()g x 的图像横在()h x 的图像上方，所以()()h x g x <所以的x 的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意； 当0k >时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图像可得：要使()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足：()()()()22{33g h g h >≤，所以233445k e ke ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：324354k e e ≤<. 综上，324354k e e≤<. 故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题. 17．（1）12BC =（2）sin 5ACE ∠= 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长 (2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ==，然后，分别利用余弦和正弦定理即可求解解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质， 可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则cos BAD ∠=所以1sin tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭AC AB ===在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得sin 5ACE ∠= 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18．（1）见解析（2）60︒. 【解析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD 的一个法向量为()111,,n x y z =， 平面ABD 的一个法向量为()222,,m x y z =则00CD n CA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00BD m BA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩即11100x y z =⎧⎨+=⎩，2220x y z -=⎧⎨=⎩，令121,1y x ==可得(0,1,1),(1,1,0)n m =-= 所以1cos ,2n m n m n m⋅<>==由图知，二面角B AD C --的平面角为锐角，所以二面角B AD C --的大小为60︒. 【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型. 19．（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】 【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞. 【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】 【分析】（1）易知c =2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程为y kx m =-， 另一边所在的直线方程为1y x n k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k +=，矩形的另一边长为2d =，122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44== 因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10. 【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可.【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()t H t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220t H t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-， 则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <- 只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x e h x e x x '==-= 因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x ' 所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 所以原命题得证. 【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题. 22．（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】 【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案；（2）由122t t +=MN k 然后可设直线MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D建立方程求解即可. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ， 所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-= 设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛⎫-⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.23．（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x 、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集为1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣.（2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立. ②当[1,1)x时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学试卷
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的。
1．设集合{}22A x x =-<<，{}20B x x x m =-+<，若{}23A B x x =-<<，则实数m =A ．6-B ．6C ．5D ．22．已知()()2i i 55i a ++=+，则实数a =A ．0B ．1C ．2D ．33．已知双曲线2212x y a a -=-与椭圆2215x y +=的焦点相同，则该双曲线的离心率为A B ．43C.D ．34．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(],0-∞上单调递增，则 A ．2321(log 3)(log 2)(log )3f f f <<B ．2231(log )(log 3)(log 2)3f f f <<C ．2321(log )(log 2)(log 3)3f f f <<D ．3221(log 2)(log )(log 3)3f f f <<5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字.光影激滟间，以《红旗项》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃，在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为A ．2048B ．10242C ．21024D ．102410246．已知等差数列{}n a 中，前5项的和n S 满足51525S <<，则公差d 的取值范围为A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(1,4)C ．(1,3)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例，据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年.如图，在矩形ABCD 中，ABC △满足“勾3股4弦5”，且AB= 3，E 为AD 上的一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ+的值为 A ．925- B ．725C ．1625D ．18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 A ．0 BC．1D．19．在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G 、、分别为棱111AA C D DD 、、的中点，1=2AB AA AD =，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为A ．30B ．60C ．90D ．12010．将函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，然后再将所得图像上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为A ．cos 12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．7cos 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin 412y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 12y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11．已知5123456012345671(2)(1)x x a x a a x a x a x a x a x a x x-+--=+++++++，则4a =A ．21B ．42C ．35-D ．210-12．已知函数22,0()=ln(1),0x x x f x x x ⎧--≤⎨+>⎩，若方程1()2f x mx m =+-恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是A ．121,e 2-⎡⎫⎢⎪⎢⎭⎣B ．121,e 2-⎛⎫⎪⎝⎭C ．121,e 2⎛⎫⎪⎝⎭D ．121e ,2⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水市高考数学三模试卷(理科)
河北省衡水市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合则等于（）A . {0,1}B . {1}C . {-1,1}D . {-1,0,1}2. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则下列判断正确的是（）A . |a+bi|=5B . a+b=1C . a﹣b=﹣17D . ab=1683. （2分）已知是数列{}的前n项和，，那么数列{}是（）A . 等比数列B . 当p≠0时为等比数列C . 当p≠0，p≠1时为等比数列D . 不可能为等比数列4. （2分）若实数，则函数的图象的一条对称轴方程为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A . 2B . ﹣3C . ﹣D .6. （2分）(2017·沈阳模拟) 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A . 4B . 8C .D .7. （2分） (2016高一上·宁波期中) 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足的实数x的取值范围是（）A . （，）B . [ ，）C . （，）D . [ ，）8. （2分） (2017高二下·莆田期末) 某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（）A . 312B . 288C . 480D . 4569. （2分） (2015高三下·湖北期中) 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A .B . 2C .D .10. （2分） (2016高二下·市北期中) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（2x+ ）的图象，则只需将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度11. （2分）已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（）A . 4πB . 12πC .D .12. （2分） (2017高二下·红桥期末) 已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A . f（x）的图象关于（，1）中心对称B . f（x）在（，）上单调递减C . f（x）的图象关于x= 对称D . f（x）的最大值为3二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 直角中，，为边上的点，且，则 ________；若，则 ________．14. （1分）(2017·福建模拟) 设不等式，表示的平面区域为M，若直线y=k（x+2）上存在M内的点，则实数k的最大值是________．15. （1分）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌有关”．对以下说法：（1）在100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；（2）某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌；（3）在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；（4）在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其中正确的是________ ．（填上所有正确的序号）16. （1分） (2016高二上·浦东期中) 在数列{an}中，Sn是其前n项和，若Sn=n2+1，n∈N* ，则an=________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2017高一下·宿州期中) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边且asinB= bcosA（1）求A.（2）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．18. （5分）(2017·芜湖模拟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF 是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（I）求证：AC⊥BM；（Ⅱ）求平面CE1M与平面ABE1F1所成锐二面角的余弦值．19. （10分） (2017高二下·启东期末) 在校运动会上，甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的（1）求仅有两人所选项目相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三位同学中选跳远项目的人数，求X的分布列和数学期望E（X）20. （10分）已知过点A(1，0)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M ， N两点.（1）求k的取值范围；（2）=12，其中O为坐标原点，求|MN|.21. （15分） (2019高三上·城关期中) 设函数 .（1）求过点的切线方程；（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(三)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（三）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____（桃源县第四中学）A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }答案：由已知得Q=[-1，6] P=（-5，6）故P ⋂Q=[-1，6]故选C 2.设复数z 满足3(1)z i z +=- ，则下列说法正确的是 ( ) A. z 的虚部为2i B.z 为纯虚数C. z =D. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限答案：C 由3(1)z i z +=-得3(3)(1)1212i i i z i i -+-+-===-++，z =3.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若5347S a =+，11a =，则6a = ( ) (桃源一中)A. 37B.16C. 13D. -9答案：B 设等差数列{}n a 的公差为d ，由5347S a =+得：115(51)54(2)72a d a d ?+=++，将11a =代入上式解得3d =，故61511516a a d =+=+=（法二：5347S a =+，又535S a =，所以37a =，由11a =得3d =， 故61511516a a d =+=+=4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中) A ．这16日空气重度污染的频率为0.5 B ．该市出现过连续4天空气重度污染C ．这16日的空气质量指数的中位数为203D ． 这16日的空气质量指数的平均值大于200答案：D 这16日空气重度污染的频率为80.516=故A 正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B 正确；中位数为1(192214)2032+=，故C正确；1200[(147543(43)6x =++++-+(120)(48)60(117)(40)-+-++-+-+(21)(62)14216323(8)]200-+-+++++-<，（也可根据图形判断，8个数据大于200，8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大），故D 不正确.5.已知P 为抛物线C ：24y x =上一点，F 为C 的焦点，若4PF =，则ΔOPF 的面积为 ( ) (桃源一中)A.3 B. 3 C. 23 D.4答案：A 设00()P x y ，，抛物线的焦点(10)F ，，准线为1x =-，由抛物线的定义可知：0(1)4PF x =--=03x \=代入C 的方程得023y =?，Δ011||||123322OPF S OF y =?创=6.函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到)(x g y =的图像，则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)A ．函数()g x 的最大值为3B ．函数()g x 关于点(0)12π，对称 C ．函数()g x 在(0)2π，上单调递增 D ．函数()g x 的最小正周期为πππ答案：B 由图可知3A =，353()41234T πππ=--=，2T πω\==，，将点5(3)12π，代入3sin(2)y x ϕ=+，得2()3πφk πk Z =-+?，故()3sin(2)3f x x π=-，右平移12π个单位长度得：()3sin[2()]3sin(2)3cos 21232πππy g x x x x ==--=-=-，故A ，C ，D 正确 ，选B7.已知向量a 与a+b 的夹角为60°，| a |=1，| b |=，则ab= ( ) (桃源一中)A.0B.2-32- D.0或32-答案：A 如图，AB a BC b AC a b ===+uu u r r uu u r r uu u r r r，，，由余弦定理：2222sin BC AB AC AB AC A =+-鬃，已知601A AB BC =?=，，，代入上式得2AC =，222AB BC AC \+=，故90B =?，即a b ^r r ，\0a b ?r r法二：设a r 与b r 的夹角为θ，由题设 ()1||cos60a a b a b ?=??r r r r r，即21||2a a b a b +?+r r r r r ，所以11||2θa b +=+r r，224(1)()4(1)θa b θ\+=+=+r r即22cos cos 0θθ+=，所以cos 0θ=或--(1)式，舍去，故0a b ?r r8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 ( ) (桃源一中)A.67 B.35 C. 13 D.110答案：C 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则60t £，亮红灯的时间10070t -?，所以3060t ＃，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为50t ³，由几何概型的概率公式知：6050160303P -==-9.362()x x-的展开式中的常数项为 ( ) (桃源一中)A. 240B. 180C. 60-D.80-答案：B 62)x 的通项为63262rr rC x -，所以362()x x -的展开式中的常数项为612344262x C x-和662226(1)2C x --?，又4422662224060180C C -=-=，所以362()x x-的展开式中的常数项为18010.设函数121()(1)x f x ex -=--，则不等式()(21)f x f x >+的解集为 ( ) (桃源一中)A. (10)-， B.(1)-?，- C.1(1)3-， D.1(10)(0)3-U ， 答案：D ()f x 的定义域为{|1}x x ¹，考虑函数21()xg x e x =-为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，g(x)的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以函数()f x 关于x =1对称，在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.由()(21)f x f x >+，可得1211|1||(21)1|x x x x ì¹ïïï+?íïï->+-ïïî，解得：113x -<<且0x ¹11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为 ( ) (桃源一中) A.32 B.94 C. 49D.132+答案：B 由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为R ，设圆锥底面半径为r ，则圆锥高2h R =，因为甲与乙的体积相等，所以324133πR πr h =，即222R r =，2r R ∴=；设圆锥的外接球半径为1R ，则22211()R r h R =+-即222112(2)R R R R =+-，132R R ∴=，故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为2124944R R ππ=.12.已知函数2106()0x x x f x lnx x x ìïï+?ïï=íïï>ïïïî，，，()()g x f x ax =-（其中a 为常数），则下列说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中)①函数()f x 恰有4个零点； ②对任意实数a ，函数()g x 至多有3个零点； ③若a ≤0，则函数()g x 有且仅有3个零点；④若函数()g x 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为11( 0][ )62e-∞U ，，(桃源一中) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：B 当0x £时，()f x 的图像为抛物线216y x x =+的一部分当0x >时，当0x >时，21ln ()xf x x-¢=，所以(0,)x e Î时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，(,)x e ??时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，画出()f x 的图像如图所示，由图可知()f x 恰有3个零点，故①不正确； 设()f x 的过原点的切线的斜率为1k ，切点为000ln (,)x P x x ，2ln 1ln ()x x x x -¢=，由022000201ln ln x k x x x k x ì-ïï=ïïïïïíïïïï=ïïïî，解得011,2x e k e == ()f x 在0x =处的切线2l 的斜率为22001111()|(2)|6662x x k x x x e==¢=+=+=<，因为()()g x f x ax =-零点个数，即函数()y f x =与y ax =的交点个数，由图可知：12a e >时，有1个交点；12a e =时，有2个交点；11[ )62a e∈，时，有3个交点；1(0 )6a ∈，时，有4个交点；(,0]a ∈-∞时，有3个交点.所以 ②不正确；③④正确.（说明：显然0x =是()g x 的零点，x ≠0时，也可转化为()f x a x=零点的个数问题，也可以画图得出答案）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）13.已知函数()ln(1)xf x xe x =++，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为__2y x =__.(桃源一中)14已知实数,x y 满足约束条件10330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则=32z x y -的最小值为 -215.已知数列{}n a 的各项为正，记n S 为{}n a 的前n 项和，若2113()2nn n na a n N a a *++=?-，11a =，则5S =___121________.(桃源一中)16. 已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>，O 是坐标原点，F 是C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,,A B 且OAB ∠为直角，记OAF ∆和OAB∆的面积分别为OAF S ∆和OAB S ∆，若13OAF OAB S S ∆∆=，则双曲线C 的离心率为答案：.3或三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）已知向量m (sin x =-，，n =(1cos )x ，，且函数()f x =mn .(Ⅰ)若5(0 )6πx Î，，且2()3f x =，求sin x 的值； (Ⅱ)在锐角ΔABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若a ，=4ΔABC的面积为 且1()sin 32πf A c B +=，求ΔABC 的周长. (桃源一中)解：(Ⅰ)()f x =mn (sin x =-，(1cos )x ×，sin x x =-2sin()3πx =-………………(2分）Q 2()3f x =，\1sin()33πx -=又5(0 )6πx Î，，( )332πππx \-?，，cos()33πx -=……………………(4分）所以111sin sin[()]3332326ππx x +=-+=??……………………(6分） (Ⅱ)因为1()sin 32πf A c B +=，所以12sin sin 2A cB =，即4sin sin A c B =由正弦定理可知4a bc =，又a =4所以bc =16 ……………………(8分）由已知ΔABC的面积1sin 2bc A =sin A =，又(0)2πA Î，\3πA =……………………(10分） 由余弦定理得222cos 1b c bc A +-=，故2232b c +=，从而2()64b c += 所以ΔABC 的周长为12……………………(12分） 18．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB AD ⊥，22AD BC AB ==，O 是AD 的中点． (Ⅰ)在线段PA 上找一点E ，使得BE ∥平面PCD ，并证明；(Ⅱ)在(1)的条件下，若2PA PD AD ===，求平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角的余弦值．(桃源一中)解：(Ⅰ)E 是线段PA 的中点，……………………(1分） 证明：连接BE ，OE ，OB ，∵O 是AD 的中点，∴OE PD ∥，又OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴OE ∥平面PCD ，……………………(3分）又∵底面ABCD 是直角梯形，22AD BC AB ==，∴OB CD ∥，又OB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴OB ∥平面PCD ，……………………(4分）∵OE ⊂平面OBE ，OB ⊂平面OBE ，OE OB O =I ， ∴平面OBE ∥平面PCD ，又BE ⊂平面OBE ，∴BE ∥平面PCD ．……………………(6分） （也可通过线线平行来证明线面平行）(Ⅱ)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，∴PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，且1OC =，3PO =，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -，……………………(8分）得()0,0,0O ，()1,1,0B -，()0,0,3P ，()1,0,0C ，130,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得130,,22OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()1,1,0OB =-u u u r ，设(),,m x y z =u r是平面OBE 的一个法向量，则m OE m OB⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，得300y z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3x =，得()3,3,1m =u r，……………………(10分）又易知()0,1,0n =r是平面POC 的一个法向量，设平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅u r r u r r u r r ， 即平面OBE 与平面POC所成的锐二面角的余弦值为7．……………………(12分）19．（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg 的包裹收费8元；超过1kg 的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg ，按1kg 计算)需再收4元．该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：表1：公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：(Ⅰ)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100，300]内的概率； (Ⅱ) ①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人? (桃源一中)解：(Ⅰ)将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300]内的天数为102535+=，频率为3575010f ==，故该公司1天揽件数在(100，300]内的概率为710………(2分）未来3天包裹件数在(100，300]内的天数X 服从二项分布，即7(3 )10X B :， 所以未来3天内恰有1天揽件数在[100，299]内的概率为：12373189()()10101000P C ==………(5分）(Ⅱ) ①由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：所以每件包裹收取快递费的平均值为 ()14383012151682042412100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………(7分） ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240∴公司每日利润的期望值为1240125805603⨯⨯-⨯=元………(9分） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下： E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235∴公司每日利润的期望值为1235124806203⨯⨯-⨯=元………(11分） 因为560<620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人．………(12分）20.有一种曲线画图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且21==ON DN ，1=DM ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．快递费（元）8 12 16 20 24 包裹件数43301584件数范围 (0，100] (100,200] (200,300] (300，400] (400，500] 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹的 件数Y50 150 250 350 450 概率P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 件数范围 (0，100] (100，200] (200，300] (300，400] (400，500] 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹 的件数Y50 150 250 350 400 概率P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（2)设2F 为曲线C 的右焦点，P 为曲线C 上一动点，直线2PF 斜率为)0(≠k k ，且2PF 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点),0(t T ，使得TQP TPQ ∠=∠,若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题）解（1）设),(y x M 则）（0,2x D ，则1)2(22=+-y x x 及1422=+y x 5'Λ（2）设直线PQ 的方程为(3)y k x =，将(3)y k x =代入2214x y +=，得()222214831240k x k x k +-+-=；设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，(2121200022433,3214214x x y y k kx y k x k k ++-=====++， 即2433k k N -⎝⎭8'Λ因为TQP TPQ ∠=∠所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则·1TN PQ k k =-， 所以33334k t k k==+01'Λ2341143ktk k k --+=-当0k >时，因为144k k +≥，所以0,4t ⎛∈ ⎝⎦，当k 0<时，因为144k k +≤-，所以,04t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭.综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t 的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦21'Λ21．（本小题12分）已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，其中 2.71828e =L 为自然对数的底数.（1）若()1f x ≥，求实数a 的值； （2）证明：2(2ln )2(1sin )x x e x x x >+--.（常德市一中） 解：（1）法一：当0a ≤时，111()(ln )1222h a a =-+=-<与()1f x ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a >时，(1)()'()x x xe a f x x+-=，令()x x a h e x =-，则'()(1)0x h x x e =+>，所以()h x 在(0,)+∞上递增，又(0)0h a =-<，()(1)0a a h a ae a a e =-=-> 故存在0(0,)x ∈+∞，使0()0h x =，且00x x e a =，00l n n l x x a =+当0(0,)x x ∈时，()0h x <，'()0f x <，()f x 递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，'()0f x >，()f x 递增 所以0min 0000()())n n l (l x e a a a f x f x x a x x ==-=-+故()1f x ≥，即ln 10a a a --≥，令()ln 1a a a a ϕ=--， 则'()ln a a ϕ=-，知()a ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以max ()(1)0a ϕϕ==，要使()ln 10a a a a ϕ=--≥，当且仅当1a = 综上，实数a 的值为1法二：ln ()(ln )(ln )x x x f x xe a x x e a x x +=-+=-+，令ln ,t x x t R =+∈ 则()1f x ≥等价于10t e at --≥，对任意t R ∈恒成立，令()1t h t e at =--， 当0a <时，10()220ah t e e =-<-<与()0h t ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a =时，()1t h t e =-，11(1)110h e e--=-=-<与()0h t ≥恒成立矛盾，不合题意； 当0a >时，'()t a h t e =-，()h t 在(,ln )a -∞上递减，在(ln ,)a +∞上递增，所以()h t 的最小值为(ln )ln 1h a a a a =--令()ln 1a a a a ϕ=--，则'()ln a a ϕ=-，知()a ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以max ()(1)0a ϕϕ==，要使()ln 10a a a a ϕ=--≥，当且仅当1a = （2）由（1）知，当1a =时，ln 1x xe x x --≥，即ln 1x xe x x ≥++， 所以22ln x x e x x x x ≥++，下面证明2ln (2ln )2(1sin )x x x x x x x ++>+--，即证：222sin 0x x x -+-> 令2()22sin g x x x x =-+-，'()212cos g x x x =--当01x <≤时，显然'()g x 单调递增，'()'(1)12cos112cos 03g x g π≤=-<-=，所以()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)22sin10g x g ≥=->， 当1x >时，显然2,22sin 0x x x ->-≥，即()0g x >故对一切(0,)x ∈+∞，都有()0g x >，即2ln (2ln )2(1sin )x x x x x x x ++>+-- 故原不等式2(2ln )2(1sin )x x e x x x >+--成立22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线1C ：10x y +-=，曲线 2C ：⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos a y a x (ϕ为参数,0>a )，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(Ⅰ)说明2C 是哪一种曲线，并将2C 的方程化为极坐标方程.(Ⅱ)曲线3C 的极坐标方程为0θα=(0>ρ)，其中0tan 2α=，0(0)2παÎ，，且曲线 3C 分别交1C ，2C 于点A ，B两点，若3OB OA =，求a 的值. (桃源一中)解：(Ⅰ) 由⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos a y a x 消去参数ϕ得：2C 的普通方程为222)1(a y x =-+，……………………（2分）则2C 是以)10(，为圆心，a 为半径的圆. ……………………（3分）∵θρθρsin ,cos ==y x ，∴2C 的极坐标方程为222)1sin ()cos (a =-+θρθρ，即2C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ，……………………（5分）(Ⅱ)曲线3C 极坐标方程为0θα=(0>ρ)，0tan 2α=，且0sin α=所以曲线3C 的直角坐标方程为2y x =)0(>x由102x y y x ì+-=ïïíï=ïî解得：1323x y ìïï=ïïíïï=ïïïî，12()33A \，……………………（7分）OA \=，OB \=8分）故点B的极坐标为0)α，代入01sin 222=-+-a θρρ得a =10分）23．(本小题满分10分) [选修4-5：不等式选讲] 设函数()|||1|f x x a x =+++.(I)若1a =-，求不等式()3f x ≤的解集;(II)已知关于x 的不等式()|2|6f x x x ++≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围.解：( I) 1a =-时，21()|1||1|21121x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，由()3f x ≤得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. …………(5分)(II)由题知|||1||2|6x a x x x +++++≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，且当[]1,1x ∈-时，|1|1,|2|2x x x x +=++=+，||3x a x ∴+≤-，33x a x x ∴-≤+≤-，332a x ∴-≤≤-， …………(7分)又函数32y x =-在[]1,1x ∈-上的最小值为1，31a ∴-≤≤，即a 的取值范围是[]3,1-. …………(10分)。
2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷(理科)(解析版)
2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．82．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．45．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．118．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 ．14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 种．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f （x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈﹣1N*）,则m地最小值为 ．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 女生 合计 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．2023年河北省衡水中学高考数学猜题卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．己知集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},且P⊆Q,则满足条件地集合P地个数是（ ）A．3B．4C．7D．8【考点】18:集合地包含关系判断及应用．【分析】解出集合Q,再根据P⊆Q,根据子集地性质,求出子集地个数即为集合P 地个数；【解答】解:集合Q={x|2x2﹣5x≤0,x∈N},∴Q={0,1,2},共有三个元素,∵P⊆Q,又Q地子集地个数为23=8,∴P地个数为8,故选D；2．已知i是虚数单位,复数地虚部为（ ）A．﹣1B．1C．﹣i D．i【考点】A5:复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、虚部地定义即可得出．【解答】解:复数==i﹣2地虚部为1．故选:B．3．某样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本地平均值为1,则样本方差为（ ）A．2B．C．D．【考点】BC:极差、方差与标准差．【分析】根据平均数公式先求出a,再计算它们地方差．【解答】解:设丢失地数据为a,则这组数据地平均数是×（a+0+1+2+3）=1,解得a=﹣1,根据方差计算公式得s2=×[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2．故选:A．4．双曲线C:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,焦点到渐近线地距离为,则C地焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．4【考点】KC:双曲线地简单性质．【分析】根据双曲线地离心率以及焦点到直线地距离公式,建立方程组即可得到结论．【解答】解:∵:﹣=1（a＞0,b＞0）地离心率为2,∴e=,双曲线地渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F（c,0）到渐近线bx﹣ay=0地距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C5．若不等式组表示地平面区域是一个直角三角形,则该直角三角形地面积是（ ）A．B．C．D．或【考点】7C:简单线性规划．【分析】依题意,三条直线围成一个直角三角形,可能会有两种情形,分别计算两种情形下三角形地顶点坐标,利用三角形面积公式计算面积即可．【解答】解:有两种情形:（1）由y=2x与kx﹣y+1=0垂直,则k=﹣,三角形地三个顶点为（0,0）,（0,1）,（,）,三角形地面积为s=×1×=；（2）由x=0与kx﹣y+1=0形垂直,则k=0,三角形地三个顶点为（0.0）,（0,1）,（,1）,三角形地面积为s=×1×=．∴该三角形地面积为或．故选:D．6．已知,则tan2α=（ ）A．B．C．D．【考点】GU:二倍角地正切．【分析】将已知等式两边平方,利用二倍角公式,同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．【解答】解:∵,∴,化简得4sin2α=3cos2α,∴,故选:C．7．《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民数学地智慧,其中第六章"均输"中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题地思想设计了如下图所示地程序框图,若输出地m地值为35,则输入地a地值为（ ）A．4B．5C．7D．11【考点】EF:程序框图．【分析】模拟程序框图地运行过程,求出运算结果即可．【解答】解:起始阶段有m=2a﹣3,i=1,第一次循环后m=2（2a﹣3）﹣3=4a﹣9,i=2,第二次循环后m=2（4a﹣9）﹣3=8a﹣21,i=3,第三次循环后m=2（8a﹣21）﹣3=16a﹣45,i=4,第四次循环后m=2（16a﹣45）﹣3=32a﹣93,跳出循环,输出m=32a﹣93=35,解得a=4,故选:A8．如下图所示,过抛物线y2=2px（p＞0）地焦点F地直线l交抛物线于点A、B,交其准线l′点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线地方程为（ ）A．y2=9x B．y2=6x C．y2=3x D．【考点】K8:抛物线地简单性质．【分析】分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,根据抛物线定义可知|BD|=a,进而推断出∠BCD地值,在直角三角形中求得a,进而根据BD∥FG,利用比例线段地性质可求得p,则抛物线方程可得．【解答】解:如图分别过点A,B作准线地垂线,分别交准线于点E,D,设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,在直角三角形ACE中,∵|AE|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6,从而得a=1,∵BD∥FG,∴=求得p=,因此抛物线方程为y2=3x．故选C．9．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥地三视图是（ ）A．B．C．D．【考点】L!:由三视图求面积、体积．【分析】由已知中地四个三视图,可知四个三视图,分别表示从前、后、左、右四个方向观察同一个棱锥,但其中有一个是错误地,根据A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,可得A,C均正确,而根据AC可判断B正确,D错误．【解答】解:三棱锥地三视图均为三角形,四个解析均满足；且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2地棱锥A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥设A中观察地正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其它三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥故选D10．在△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,则cosA地值所在区间为（ ）A．（﹣0.4,﹣0.3）B．（﹣0.2,﹣0.1）C．（﹣0.3,﹣0.2）D．（0.4,0.5）【考点】HR:余弦定理；HP:正弦定理．【分析】由题意求得cosA=﹣,再由余弦定理,得出关于﹣地方程,构造函数,利用函数零点地判断方法得出cosA地取值范围．【解答】解:△ABC中,AB=AC=2,BC•cos（π﹣A）=1,∴c=b=2,﹣acosA=1,cosA=﹣＜0,且4＞a＞2；由余弦定理得,cosA==,∴﹣=,化为:8•﹣8•+1=0,令﹣=x∈（﹣,﹣）,则f（x）=8x3﹣8x2+1=0,∵f（﹣0.4）=﹣1.4×1.28+1＜0,f（﹣0.3）=0.064＞0,∴cosA∈（﹣0.4,﹣0.3）．故选:A．11．已知符号函数sgn（x）=,那么y=sgn（x3﹣3x2+x+1）地大致图象是（ ）A．B．C．D．【考点】3O:函数地图象．【分析】构造函数f（x）=x3﹣3x2+x+1,可整理得f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,利用排除法即可得到解析．【解答】解:令f（x）=x3﹣3x2+x+1,则f（x）=（x﹣1）（x2﹣2x﹣1）=（x﹣1）（x﹣1﹣）（x﹣1+）,∴f（,1）=0,f（1﹣）=0,f（1+）=0,∵sgn（x）=,∴sgn（f（1））=0,可排除A,B；又sgn（f（1﹣））=0,sgn（f（1﹣））=0,可排除C,故选D．12．已知函数f（x）=﹣,若对任意地x1,x2∈[1,2],且x1≠x2时,[|f（x1）|﹣|f （x2）|]（x1﹣x2）＞0,则实数a地取值范围为（ ）A．[﹣,]B．[﹣,]C．[﹣,]D．[﹣e2,e2]【考点】6B:利用导数研究函数地单调性．【分析】由题意可知函数y=丨f（x）丨单调递增,分类讨论,根据函数地性质及对勾函数地性质,即可求得实数a地取值范围．【解答】解:由任意地x1,x2∈[1,2],且x1＜x2,由[|f（x1）|﹣|f（x2）|]（x1﹣x2）＞0,则函数y=丨f（x）丨单调递增,当a≥0,f（x）在[1,2]上是增函数,则f（1）≥0,解得:0≤a≤,当a＜0时,丨f（x）丨=f（x）,令=﹣,解得:x=ln,由对勾函数地单调递增区间为[ln,+∞）,故ln≤1,解得:﹣≤a＜0,综上可知:a地取值范围为[﹣,],故选B．二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13．已知,则地值是 （）2018 ．【考点】DB:二项式系数地性质．【分析】利用二项式定理,对等式中地x赋值﹣2,可求得a0=0,再令x=,即可求出解析．【解答】解:∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018,∴令x=﹣2,得a0=0再令x=﹣,得到a0+=（﹣+1）2（﹣+2）2016=（）2018,∴=,故解析为:（）2018,14．已知一个公园地形状如下图所示,现有3种不同地植物要种在此公园地A,B,C,D,E这五个区域内,要求有公共边界地两块相邻区域种不同地植物,则不同地种法共有 18 种．【考点】D8:排列、组合地实际应用．【分析】根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,由排列数公式可得其排法数目,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,若A,E种地植物不同；由加法原理可得D、E 区域地排法数目,进而由分步计数原理计算可得解析．【解答】解:根据题意,分2步进行分析:①、对于A、B、C区域,三个区域两两相邻,种地植物都不能相同,将3种不同地植物全排列,安排在A、B、C区域,有A33=6种情况,②、对于D、E区域,分2种情况讨论:若A,E种地植物相同,则D有2种种法,若A,E种地植物不同,则E有1种情况,D也有1种种法,则D、E区域共有2+1=3种不同情况,则不同地种法共有6×3=18种；故解析为:18．15．已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1N*）,则m地最小值为 8 ．【考点】H2:正弦函数地图象．【分析】由正弦函数地有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件地最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m）﹣1﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m地最小值为8．故解析为:8．16．已知等腰直角△ABC地斜边BC=2,沿斜边地高线AD将△ABC折起,使二面角B﹣AD﹣C为,则四面体ABCD地外接球地表面积为 ．【考点】LG:球地体积和表面积．【分析】由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,AD=1,可得四面体ABCD地外接球地半径==,即可求出四面体ABCD地外接球地表面积．【解答】解:由题意,△BCD是等边三角形,边长为1,外接圆地半径为,∵AD=1,∴四面体ABCD地外接球地半径==,∴四面体ABCD地外接球地表面积为=,故解析为:．三、解答题（本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}地通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1,求数列{b n}地前n项和T n．【考点】8E:数列地求和；82:数列地函数特性；8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列地通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=．对n分类讨论"裂项求和"即可得出．【解答】解:（Ⅰ）∵等差数列{a n}地公差为2,前n项和为S n,∴S n==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n=（﹣1）n﹣1==．∴T n=﹣++…+．当n为偶数时,T n=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时,T n=﹣++…﹣+ =1+=．∴Tn=．18．如图,在四棱锥E﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,AE⊥平面CDE,已知AE=DE=2,F为线段DF地中点．（I）求证:BE∥平面ACF；（II）求平面BCF与平面BEF所成锐二面角地余弦角．【考点】MT:二面角地平面角及求法；LS:直线与平面平行地判定．【分析】（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,证明OF∥BE．然后证明BE∥平面ACF．（II）以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,求出相关点地坐标,求出平面BEF地一个法向量,平面BCF地一个法向量,设平面BCF 与平面BEF所成地锐二面角为θ,利用数量积求解即可．【解答】解:（1）连接BD和AC交于点O,连接OF,因为四边形ABCD为正方形,所以O为BD地中点．因为F为DE地中点,所以OF∥BE．因为BE⊄平面ACF,OF⊂平面AFC,所以BE∥平面ACF．（II）因为AE⊥平面CDE,CD⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为ABCD为正方形,所以CD⊥AD．因为AE∩AD=A,AD,AE⊂平面DAE,所以CD⊥平面DAE．因为DE⊂平面DAE,所以DE⊥CD．所以以D为原点,以DE所在直线为x轴建立如下图所示地空间直角坐标系,则E（2,0,0）,F（1,0,0）,A（2,0,2）,D（0,0,0）．因为AE⊥平面CDE,DE⊂平面CDE,所以AE⊥CD．因为AE=DE=2,所以．因为四边形ABCD为正方形,所以,所以．由四边形ABCD为正方形,得==（2,2,2）,所以．设平面BEF地一个法向量为=（x1,y1,z1）,又知=（0,﹣2,﹣2）,=（1,0,0）,由,可得,令y1=1,得,所以．设平面BCF地一个法向量为=（x2,y2,z2）,又知=（﹣2,0,﹣2）,=（1,﹣2,0）,由,即:．令y2=1,得,所以．设平面BCF与平面BEF所成地锐二面角为θ,又cos===．则．所以平面BCF与平面BEF所成地锐二面角地余弦值为．19．鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产,世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区﹣﹣龙虎山主景区排衙峰下,是一座独具现代园艺风格地花卉公园,园内汇集了3000余种花卉苗木,一年四季姹紫嫣红花香四溢．花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格,景观设计唯美新颖．玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致,交相呼应又自成一体,是世界园艺景观地大展示．该景区自2023年春建成试运行以来,每天游人如织,郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人．某学校社团为了解进园旅客地具体情形以及采集旅客对园区地建议,特别在2023年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查,从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析,结果如下:（表一）年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）①②③④[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555（1）完成表格一中地空位①﹣④,并在答题卡中补全频率分布直方图,并估计2023年4月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格二,并问你能否有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查地100位游客中地10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票,再从这10人中选取2人接受电视台采访,设这2人中年龄在50岁以上（含）地人数为ξ,求ξ地分布列（表二）50岁以上50岁以下合计男生 5 40 45 女生 15 40 55 合计 20 80 100 P （K 2≥k ）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式:k 2=,其中n=a +b +c +d ）【考点】CG:离散型随机变量及其分布列；BL:独立性检验．【分析】（1）由频率分布表地性质能完成表（一）,从而能完成频率分布直方图,进而求出30岁以下频率,由此以频率作为概率,能估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数．（2）完成表格,求出K 2=≈4.04＜5.024,从而得到没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2,分别求出相应地概率,由此能求出ξ地分布列．【解答】解:（1）完成表（一）,如下表:年龄频数频率男女[0,10）100.155[10,20）150.1578[20,30）250.251213[30,40）200.21010[40,50）100.164[50,60）100.137[60,70）50.0514[70,80）30.0312[80,90）20.0202合计100 1.004555完成频率分布直方图如下:30岁以下频率为:0.1+0.15+0.25=0.5,以频率作为概率,估计2023年7月1日当日接待游客中30岁以下人数为:12000×0.5=6000．（2）完成表格,如下:50岁以上50岁以下合计男生54045女生154055合计2080100K2==≈4.04＜5.024,所以没有97.5%地把握认为在观花游客中"年龄达到50岁以上"与"性别"相关．（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数:10×0.2=2人,50岁以下人数ξ地取值可能0,1,2P（ξ=0）==,P（ξ=1）==,P（ξ=2）==．∴ξ地分布列为:ξ012P20．给定椭圆C:=1（a＞b＞0）,称圆心在原点O,半径为地圆是椭圆C地"准圆"．若椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．（Ⅰ）求椭圆C地方程和其"准圆"方程；（Ⅱ）点P是椭圆C地"准圆"上地动点,过点P作椭圆地切线l1,l2交"准圆"于点M,N．（ⅰ）当点P为"准圆"与y轴正半轴地交点时,求直线l1,l2地方程并证明l1⊥l2；（ⅱ）求证:线段MN地长为定值．【考点】KH:直线与圆锥曲线地综合问题．【分析】（Ⅰ）利用已知椭圆地标准方程及其即可得出；（Ⅱ）（i）把直线方程代入椭圆方程转化为关于x地一元二次方程,利用直线与椭圆相切⇔△=0,即可解得k地值,进而利用垂直与斜率地关系即可证明；（ii）分类讨论:l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,无论两条直线中地斜率是否存在,都有l1,l2垂直．即可得出线段MN为准圆x2+y2=4地直径．【解答】（Ⅰ）解:∵椭圆C地一个焦点为F（,0）,其短轴上地一个端点到F地距离为．∴,,∴=1,∴椭圆方程为,∴准圆方程为x2+y2=4．（Ⅱ）证明:（ⅰ）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴地交点为P（0,2）,设过点P（0,2）且与椭圆相切地直线为y=kx+2,联立得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切,∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0,解得k=±1,∴l1,l2方程为y=x+2,y=﹣x+2．∵,∴l1⊥l2．（ⅱ）①当直线l1,l2中有一条斜率不存在时,不妨设直线l1斜率不存在,则l1:,当l1:时,l1与准圆交于点,此时l2为y=1（或y=﹣1）,显然直线l1,l2垂直；同理可证当l1:时,直线l1,l2垂直．②当l1,l2斜率存在时,设点P（x0,y0）,其中．设经过点P（x0,y0）与椭圆相切地直线为y=t（x﹣x0）+y0,∴由得．由△=0化简整理得,∵,∴有．设l1,l2地斜率分别为t1,t2,∵l1,l2与椭圆相切,∴t1,t2满足上述方程,∴t1•t2=﹣1,即l1,l2垂直．综合①②知:∵l1,l2经过点P（x0,y0）,又分别交其准圆于点M,N,且l1,l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4地直径,|MN|=4,∴线段MN地长为定值．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx（a∈R）（1）若函数f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,求a,b地值；（2）讨论方程f（x）=0解地个数,并说明理由．【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中地应用；54:根地存在性及根地个数判断；6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出导函数,利用f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b,列出方程组求解a,b．（2）通过a=0,a＜0,判断方程地解．a＞0,求出函数地导数判断函数地单调性,求出极小值,分析出当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a ＞e时方程有两解．【解答】解:（1）因为:（x＞0）,又f（x）在x=2处地切线方程为y=x+b所以解得:a=2,b=﹣2ln2…（2）当a=0时,f（x）在定义域（0,+∞）上恒大于0,此时方程无解；…当a＜0时,在（0,+∞）上恒成立,所以f（x）在定义域（0,+∞）上为增函数．∵,,所以方程有惟一解．…当a＞0时,因为当时,f'（x）＞0,f（x）在内为减函数；当时,f（x）在内为增函数．所以当时,有极小值即为最小值…当a∈（0,e）时,,此方程无解；当a=e时,．此方程有惟一解．当a∈（e,+∞）时,,因为且,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解,因为当x＞1时,（x﹣lnx）'＞0,所以x﹣lnx＞1,所以,,因为,所以,所以方程f（x）=0在区间上有惟一解．所以方程f（x）=0在区间（e,+∞）上有惟两解．…综上所述:当a∈[0,e）时,方程无解；当a＜0或a=e时,方程有惟一解；当a＞e时方程有两解．…[选修4-4:坐标系与参数方程]22．已知曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,以极点为原点,极轴为x 轴地正半轴建立平面直角坐标系,直线l地参数方程为（t为参数）．（I）写出直线l地一般方程与曲线C地直角坐标方程,并判断它们地位置关系；（II）将曲线C向左平移2个单位长度,向上平移3个单位长度,得到曲线D,设曲线D经过伸缩变换得到曲线E,设曲线E上任一点为M（x,y）,求地取值范围．【考点】Q4:简单曲线地极坐标方程；O7:伸缩变换．【分析】（I）直线l地参数方程消去数t,能求出直线l地一般方程,由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,能求出曲线C地直角坐标方程,由圆心（2,3）到直线l地距离d=r,得到直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,从而点M地参数方程为（θ为参数）,由此能求出地取值范围．【解答】解:（I）∵直线l地参数方程为（t为参数）．∴消去数t,得直线l地一般方程为,∵曲线C地极坐标方程是ρ2=4ρcosθ+6ρsinθ﹣12,∴由ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,得曲线C地直角坐标方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=1．∵圆心（2,3）到直线l地距离d==r,∴直线l和曲线C相切．（II）曲线D为x2+y2=1．曲线D经过伸缩变换,得到曲线E地方程为,则点M地参数方程为（θ为参数）,∴,∴地取值范围为[﹣2,2]．[选修4-5:不等式选讲]23．设f（x）=|x﹣a|,a∈R（Ⅰ）当a=5,解不等式f（x）≤3；（Ⅱ）当a=1时,若∃x∈R,使得不等式f（x﹣1）+f（2x）≤1﹣2m成立,求实数m 地取值范围．【考点】R2:绝对值不等式．【分析】（Ⅰ）将a=5代入解析式,然后解绝对值不等式,根据绝对值不等式地解法解之即可；（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式地解法去绝对值,然后利用图象研究函数地最小值,使得1﹣2m大于等于不等式左侧地最小值即可．【解答】解:（I）a=5时原不等式等价于|x﹣5|≤3即﹣3≤x﹣5≤3,2≤x≤8,∴解集为{x|2≤x≤8}；（II）当a=1时,f（x）=|x﹣1|,令,由图象知:当时,g（x）取得最小值,由题意知:,∴实数m地取值范围为．2023年7月23日31。
2020届河北省衡水中学高三模拟(三)数学(理)试题(word解析版)
1 / 242020届河北省衡水中学高三模拟（三）数学（理）试题一、单选题1．设i 为虚数单位，复数满足()12i z i -⋅=，则z =（ ）A ．1BCD ．2 【答案】B【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．【详解】由z （1﹣i ）＝2i ，得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+， ∴|z|=故选B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．2．已知集合{}1A x x =≤，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B =（ ） A ．(]2,1-B ．[]2,1-C ．(),2-∞-D ．(],2-∞- 【答案】A【解析】化简集合B,根据交集的定义求解即可.【详解】 由题意知{}22B x x =-<<，则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.【点睛】本题考查了集合的运算,以及函数的性质,属于基础题.3．已知直线l ：y x m =+和圆O ：221x y +=，则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径，然后通过证明当m =时直线2 / 24l 与圆O相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件，最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =”不是“直线l 与圆O 相切”的必要条件，即可得出结果.【详解】因为圆O ：221x y +=，所以圆心()0,0O ，半径1r =，因为当m =O 到直线l的距离为1d ==， 所以直线l 与圆O相切，“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件， 因为当直线l 与圆O 相切时，圆心O 到直线l的距离为1d ==，解得m =所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件，故“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】 本题考查充分条件以及必要条件的判定，考查直线与圆相切的相关性质，若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，考查推理能力与计算能力，是中档题.4．某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点，得到广大用户的青睐，该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+，则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为（ ）A ．40万件B ．41.5万件C ．45万件D ．48万件 【答案】B【解析】先根据题中所给的数据，计算得出样本中心点()2,22，代入求得9t =，再将5x =代入方程求得结果.。
2020届河北省衡中同卷高三第三次调研考试数学(理)试卷
2020届河北省衡中同卷高三第三次调研考试理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（每题5分，共计60125=⨯分）1．已知复数z 满足(2)12,i z i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．iB ．i -C ．455i- D ．455i+ 2．命题“,sin 10x R x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．00,sin 10x R x ∃∈+< B ．,sin 10x R x ∀∈+< C ．00,sin 10x R x ∃∈+≥D ．,sin 10x R x ∀∈+≤3．在同一直角坐标系中，曲线sin()4y x π=+经过伸缩变换123x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩''，，后所得到的曲线A ．1sin(2)34y x π=+ B ．11sin()324y x π=+ C ．3sin(2)4y x π=+D ．3cos2y x =4．若1()nx x的展开式中第6项和第7项的二项式系数最大，则展开式中含3x 项的系数是( ) A ．792B ．-792C ．330D ．-3305．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ） A ．60B ．70C ．80D ．906．在极坐标系中,点(2,)π6A 与(2,)6πB -之间的距离为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．若()()234,1,1a x a x f x x x ⎧--<=⎨≥⎩是(),-∞+∞的增函数,则a 的取值范围是( ) A ．2,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．2,35⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),3-∞D ．2,5⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，且()()f x f x -=，当12x ≤≤时，()21x f x =-，则(2017)f =A ．−1B ．0C ．1D ．29．如图，在矩形OABC 内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )A ．e3B ．43e- C ．33e- D ．13e - 10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，假设每局比赛甲胜的概率是0.6，乙胜的概率是0.4.那么采用5局3胜制还是7局4胜制对乙更有利？（ ） A ．5局3胜制B ．7局4胜制C ．都一样D ．说不清楚11．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）A ．46B ．44C ．42D ．4012．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，且当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()lg g x x =，则函数()()()h x f x g x =-的零点的的个数是（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．2020年6月7日，令人期待、激人奋进、引人遐想…，相邻那将会属于你的“福数”，此时，映入你眼帘的是：“i ，一个虚数单位，复数762020i i i Z ++=，那么z =_____14．曲线xy e =上的点到直线2y x =-的最短距离是_____15.若()201922019012201912x a a x a x a x +=++++ ，31223222a a a -+-++20192019(1)22nnn a a -+-=_____ 16.已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x >'+，且()2019f x -为奇函数，则不等式()20181x f x e -<的解集为_____三、解答题：（本题共6小题，共70分．其中17题10分，其他题目12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.已知函数:()p f x =[0,)+∞，:q 关于a 的不等式2(25)(5)0a m a m m --+->，若p ⌝是q ⌝充分不必要条件，求实数m 的取值范围18．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C ：2=2sin 3ρρθ+，直线l ：sin()23πρθ+=.（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为(0,4)，直线l 与曲线C 相交于M N 、两点，求22PM PN +的值．19.某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x 与乘客等候人数y 之间的关系，经过调查得到如下数据：调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数ˆy，再求ˆy 与实际等候人数y 的差，若差值的绝对值不超过1，则称所求方程是“恰当回归方程”．()1从这6组数据中随机选取4组数据后，求剩下的2组数据的间隔时间不相邻的概率；()2若选取的是后面4组数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，并判断程是否是“恰当回归方程”；附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，⋯⋯，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆnni i iii i nni ii i x y nxy x x y y bx nx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-，411546i ii x y==∑．20．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>21．当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进。
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试(三)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（三）数学试卷(理科)★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一､选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.设全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，{3,1,1,3}B =--，则集合()U A B =I ð( ) A. {3,1}-- B. {3,1,3}-- C. {1,3} D. {}1,1-【答案】B 【解析】 【分析】根据集合补集与交集定义求结果.【详解】U A =ð {|02}x x x 或≤≥， 所以()U A B ⋂=ð {}3,1,3-- 故选B【点睛】本题考查集合补集与交集定义，考查基本求解能力，属基本题. 2.已知i 为虚数单位,若1(,)1a bi a b R i=+∈-,则a 2+b 2=( ) A. 2B. 4C. 14D.12【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件求得a，b即可.【详解】由1111 1(1)(1)22ii a bii i i+==+=+--+，得a=b=12，则a2+b2=111442+=.故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,1]上单调递增的是( )A.1yx= B. y=|sinx| C. y=tanx D.||12xy⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性，单调性结合相应函数的性质判断即可.【详解】因为11()=-()f x f xx x-==--，()tan()tan()f x x x f x-=-=-=-，所以A，C，为奇函数，不成立，根据y=|sinx|的图象，在区间(0，1]上单调递增，故B正确，当x>0时，y=12x⎛⎫⎪⎝⎭，故区间(0，1]上单调递减，故D不成立，【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4.设数列{a n }是正项等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4=1,S 3=7,则公比q =( ) A.13B. 3C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解. 【详解】由a 2a 4=1，S 3=7，可知公比q ≠1，则()241311171a q a q q ⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，联立方程可得，q =12或a =﹣13(舍)，故选：C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象．【详解】当x<0时，f （x ）<0．排除AC ， f ′（x ）()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x e ee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′（x ）()()312xxxe x e x e =-+=-，当x ∈（0，2），g ′（x ）＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈（2，+∞），g ′（x ）＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0， 存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈（0，0x ），g (x )>0，即f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数， 当x ∈（0x ，+∞），g (x )<0，即f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数， ∴B 不正确， 故选D ．【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．6.已知m ､n 为两条不同的直线,α､β为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A. 若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥αB. 若m ⊥α,n ∥β且α∥β,则m ⊥nC. 若m ⊂α,n ⊂α且m ∥β,n ∥β,则α∥β D. 若直线m ､n 与平面α所成角相等,则m ∥n 【答案】B 【解析】 【分析】通过图示采用排除法求解.【详解】A 如图可否定A ;C 如图可否定C ;D 如图可否定D ;故选：B.【点睛】本题主要考查直线，平面的位置关系，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 5B. 6C. 8D. 13【答案】A 【解析】 【分析】根据框图，结合条件分支结构和循环结构，即可求出结果.【详解】第一次执行程序后，1,1,1,1i t S P ====，第二次执行程序后，2,1,2,1i t S P ====，第三次执行程序后3,2,3,2i t S P ====，第四次执行程序后4,3,5,3i t S P ====，因为44<不成立，跳出循环，输出5S =，故选A.【点睛】本题主要考查了框图，涉计循环结构和条件分支结构，属于中档题.8.2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（ ）①每年市场规模量逐年增加； ②增长最快的一年为2013～2014； ③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳 A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由题意观察所给的折线图考查所给的结论是否正确即可. 【详解】考查所给的结论：①2011-2012年的市场规模量有所下降，该说法错误； ②增长最快的一年为2013～2014，该说法正确； ③这8年的增长率约为63.545.345.3-≈40％，该说法正确；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.综上可得：正确的结论有3个. 故选C .【点睛】本题主要考查折线图的识别，属于基础题.9.已知12F F ，分别是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. (1B. )+∞C. 2)D. (2)+∞，【答案】D 【解析】试题分析：由已知得()22c bc M a -，，所以OM =，因为点M 在以12F F 为直径的圆外，所以OM c >c >，解得2e >．故 考点：双曲线的简单几何性质．10.唐代诗人李欣的是《古从军行》开头两句说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有缺的数学故事“将军饮马”的问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从()2,0A 出发，河岸线所在直线方程40x y +-=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A.B. 1C.D.1-【答案】B 【解析】 【分析】先求出点A 关于直线4x y +=的对称点'A ，点'A 到圆心的距离减去半径即为最短．【详解】设点A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，'2AA bk a =-， AA '的中点为2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，故122422b a a b ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩解得4a =，2b =， 要使从点A 到军营总路程最短，即为点f A 到军营最短的距离， 即为点'A 和圆上的点连线的最小值，为点'A 和圆心的距离减半径， “将军饮马”11=，故选:B【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题． 11.设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ,下面结论正确的是( ) A. 函数f (x )的最小正周期是2π. B. 函数f (x )在区间,122ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的 C. 图象C 关于点7,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 图象C 由函数g (x )=sin 2x 的图象向左平移23π个单位得到 【答案】C 【解析】 【分析】A 函数f (x )的最小正周期是T =22π=π，在B 中，函数f (x )在区间(122ππ)上是先增后减，在C 中，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称中心为(k 26ππ+，0)，k ∈Z ，当k =2时，图象C 关于点(76π，0)对称，在D 中，函数g (x )=sin 2x 的图象向左平移23π个单位，得f (x )=sin 2(x +23π)=sin (2x +43π). 【详解】设函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象为C ， 在A 中，函数f (x )的最小正周期是T =22π=π，故A 错误; 在B 中，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的增区间满足：222232k x k πππππ-+-+剟，k ∈Z ， 整理，得：﹣51212k xk ππππ++剟，k ∈Z ， ∴函数f (x )在区间(,122ππ)上是先增后减，故B 错误;在C 中，由2x ﹣3π=kπ，k ∈Z ，得x =k 26ππ+，k ∈Z . ∴函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称中心为(k 26ππ+，0)，k ∈Z ， 当k =2时，图象C 关于点(76π，0)对称，故C 正确; 在D 中，函数g (x )=sin 2x 的图象向左平移23π个单位，得：f (x )=sin 2(x +23π)=sin (2x +43π)，故D 错误. 故选：C.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及图象变换，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.12.已知函数()ln ,11,12x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()1F x f f x m ⎡⎤=++⎣⎦有两个零点12,x x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ）A. [)42ln 2,-+∞ B.()e,+∞C. (],42ln 2-∞- D. (),e -∞【答案】D 【解析】 如图，所以()0f x ≥，令()1t f x =+，则1t ≥， 又()()()1F x ff x m =++有两个零点，则()ln 0f t m t m +=+=有解，则存在解01t ≥， 又()()1201f x f x t ==-，所以令()()1212f x f x m ==>，且()()111112x f x x =-<，()(222ln f x x x =>， 所以112121x x x x e-=，令()()12,1x g x xex -=<，则()1112221'1022xx xx g x exee ---⎛⎫⎛⎫=+⋅-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在(),1-∞单调递增，则()()max 1g x g ==所以()g x 的范围是(-∞．故选D ．点睛：本题为分段的嵌套函数，则令()1t f x =+，又原函数的值域性质可知()()()1F x ff x m =++有两个零点，及()ln 0f t m t m +=+=有解，则存在解01t ≥，且()()1201f x f x t ==-，由图象可知，()()1212f x f x m ==>，且()()111112x f x x =-<，()(222ln f x x x =>，所以112121x x x x e -=，令()()12,1xg x xex -=<，通过求导，可知()g x 的范围是(-∞．二､填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知数列{a n }的前n 项和S n =n (n +1)+2,其中*n N ∈,则a n =_____.【答案】4,12,2n n n =⎧⎨⎩… 【解析】 【分析】当n =1时，S 1=a 1=4，当n ≥2时，由题意，得S n =n (n +1)+2，S n ﹣1=(n ﹣1)n +2，相减即可得出. 【详解】当n =1时，S 1=a 1=4， 当n ≥2时，由S n =n (n +1)+2，① 得S n ﹣1=(n ﹣1)n +2，② ①﹣②，得a n =2n ，其中n ≥2，所以数列{a n }的通项公式a n =4,12,2n n n =⎧⎨⎩…. 故答案为：4,12,2n n n =⎧⎨⎩….【点睛】本题主要考查了数列递推关系､等差数列的通项公式，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.14.设D 为△ABC 所在平面内的一点,若3,AD BD CD CA CB λμ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则μλ=_____. 【答案】3-【解析】【分析】根据平面向量基本定理，用,CA CB u u u r u u u r 作基底，表示向量CD uuu r ，然后再根据CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r，用待定系数法求解.【详解】如图所示：3CD CA AD CA BD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，CA =u u u r +3(CD CB -u u u r u u u r )，即有CD uuu r =﹣1322CA CB +u u u r u u u r ， 因为CD CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r ， 所以λ=﹣12，μ=32， 则μλ=﹣3， 故答案为：﹣3.【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理级线性运算，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于基础题.15.从83x x ⎛ ⎝的展开式各项中随机选两项,则这两项均是有理项的概率为_____. 【答案】112【解析】【分析】先通过展开式的通项公式判断有理项共有3项，展开式共有9项，从而求得结果 【详解】83x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的展开式的通项公式为 T r +1=r 8C •(﹣1)r •483r x ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，r =0，1，2，3，4，5，6，7，8. 故当r =0，3，6 时，该项为有理项，故有理项共有3项，展开式共有9项.各项中随机选两项，则这两项均是有理项的概率为2329112C C =， 故答案为：112. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC V 是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则2233AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得23OP =，则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，由6AB =，得2233AO BO CO CF ====， PAB ∆Q 是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，2223OP OF PF +=则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径23R OC ==，∴该三棱锥外接球的表面积为()242348ππ⨯=，故答案为48π. 【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.三､解答题:共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(一)必考题:共60分 17.如图,四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是平行四边形,∠BCD =135°,P A ⊥平面ABCD ,AB =AC =P A =2,E ,F ,M 分别为线段BC ,AD ,PD 的中点.（1）求证:直线EF ⊥平面P AC ;（2）求平面MEF 与平面PBC 所成二面角的正弦值.【答案】（1）答案见解析.（2）63【解析】【分析】（1）推导出AB ⊥AC ，EF ∥AB ，从而EF ⊥AC ，由P A ⊥底面ABCD ，得P A ⊥EF ，由此能证明EF ⊥平面P AC .（2）以AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求体积出平面PBC 的一个法向量，再利用向量法求二面角的正弦值.【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD 中，∵AB =AC ，∠BCD =135°，∴AB ⊥AC ，∵E ，F ，M 分别为线段BC ，AD ，PD 的中点.∴EF ∥AB ，∴EF ⊥AC ，∵P A ⊥底面ABCD ，EF ⊂底面ABCD ，∴P A ⊥EF ，∵P A ∩AC =A ，∴EF ⊥平面P AC .（2）∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，∴AP ，AB ，AC 两两垂直，如图所示：以AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，D (﹣2，2，0)，E (1，1，0)，BC uuu r =(﹣2，2，0)，PB u u u r =(2，0，﹣2)，设平面PBC 的法向量n r=(x ，y ，z )， 则n BC 2x 2y 0n PB 2x 2z 0⎧⋅=-+=⎨⋅=-=⎩u u u v v u u u v v ，取x =1，得n r =(1，1，1)， M 是PD 的中点，由（1）知，AC ⊥平面MEF ，且AC uuu r =(0，2，0)， ∴|AC n |cos AC,n |AC ||n |⋅=⋅u u u r r u u u r r u u u r r 3 ∴平面MEF 与平面PBC 6【点睛】本题主要考查了线面垂直的判定定理和二面角的向量的求法 ，还考查了转化化归的思想和空间想象、运算求解的能力，属于中档题.18.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且B 是A ,C 的等差中项.（1）若3b a ==,求边c 的值;（2）设t =sinAsinC ,求t 的取值范围.【答案】（1）4.（2）30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）由已知利用等差中项的性质，三角形内角和定理可求B 的值，进而根据余弦定理可得c 2﹣3c ﹣4=0，解方程可得c 的值.（2）由已知利用三角函数恒等变换的应用，可求t =12 sin (2A ﹣1)64π+，根据正弦函数的性质可求其取值范围.【详解】（1）∵B 是A ，C 的等差中项，∴2B =A +C ，∵A +B +C =π，∴B =3π， ∵b a =3，又b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，∴c 2﹣3c ﹣4=0，解得c =4，或c =﹣1(舍去)，故c =4.（2）∵A +C =23π， ∴t =sinAsin (23π﹣A )=sinA +12sinA )=12 sin (2A ﹣1)64π+， ∵A ∈(0，23π)，2A ﹣6π∈(﹣7,66ππ)， sin (2A ﹣6π)∈(12-，1]， 故t 的取值范围为(0，34]. 【点睛】本题主要考查了等差中项的性质，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质 ，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.2018年全国数学奥赛试行改革：在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是14，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立. （1）求该学生进入省队的概率. （2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望. 【答案】（1）47128；（2）分布列详见解析，26964. 【解析】试题分析：(1)由题意结合对立事件概率公式可得：该学生进入省队的概率为47128； (2)由题意可知ξ的可能取值为2,3,4,5，求解相应的概率值得到分布列，结合分布列计算可得ξ的数学期望为26964. 试题解析：（1）记“该生进入省队”的事件为事件A ，其对立事件为A ，则()34241333814444128P A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()()814711128128P A P A =-=-=. （2）该生参加竞赛次数ξ的可能取值为2,3,4,5. ()2112416P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121313344432P C ξ==⨯⨯⨯=， ()2131314444P C ξ⎛⎫==⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭ 43278127425625664⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. ()314132754464P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭. 故ξ的分布列为：()13272726923451632646464E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.已知函数21()ln ,()2f x xg x x bx ==-(b 为常数) （1）若b =1,求函数H (x )=f (x )﹣g (x )图象在x =1处的切线方程;（2）若b ≥2,对任意x 1,x 2∈[1,2],且x 1≠x 2,都有|f (x 1)﹣f (x 2)|>|g (x 1)﹣g (x 2)|成立,求实数b 的值.【答案】（1）2210x y --=.（2）2【解析】【分析】（1）将b =1代入，求导后得到斜率，求出切点，利用点斜式得到切线方程;（2）分析可知，函数f (x )=lnx 在区间[1，2]上是增函数，函数g (x )在区间[1，2]上是减函数，进而问题等价于f (x 1)+g (x 1)>f (x 2)+g (x 2)，进一步等价于1b x x +„在区间[1，2]上恒成立，由此即可得解. 【详解】（1）若b =1，函数21()ln (0)2H x x x x x =-+>， ∴1()1H x x x '=-+，故(1)1H '=又切点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故所求切线方程为2x ﹣2y ﹣1=0;（2）不妨设x 1>x 2，∵函数f (x )=lnx 在区间[1，2]上是增函数，∴f (x 1)>f (x 2)，∵函数g (x )图象的对称轴为x =b ，且b >2，∴当b ≥2时，函数g (x )在区间[1，2]上是减函数，∴g (x 1)<g (x 2)，∴|f (x 1)﹣f (x 2)|>|g (x 1)﹣g (x 2)|等价于f (x 1)+g (x 1)>f (x 2)+g (x 2)， 等价于函数21()()()12h x f x g x nx x bx =+=+-在区间[1，2]上是增函数， 等价于1()0h x x b x'=+-…在区间[1，2]上恒成立， 等价于1b x x+„在区间[1，2]上恒成立， ∴b ≤2，又b ≥2，故b =2.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，不等式的恒成立问题 ，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点相同,F 1,F 2为C 的左､右焦点,M 为C 上任意一点,12MF F S ∆最大值为1.（1）求椭圆C 的方程;（2）不过点F 2的直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点. ①若212k =,且2AOB S =V ,求m 的值. ②若x 轴上任意一点到直线AF 2与BF 2距离相等,求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.【答案】（1）2212x y +=.（2）①±1,②(2,0). 【解析】【分析】（1）根据题意，可求得c =1，b =1，进而求得a ，由此得到椭圆方程;（2）①联立方程，得到k 与m 的不等关系，及两根的关系，表示出弦长AB 及点O 到直线AB 的距离，由此建立等式解出即可;②依题意，k 1+k 2=0，由此可得到k 与m 的等量关系，进而求得定点.【详解】解：（1）由抛物线的方程y 2=4x 得其焦点为(1，0)，则c =1，当点M 为椭圆的短轴端点时，△MF 1F 2面积最大，此时1212S c b =⨯⨯=，则b =1，∴a =2212x y +=; （2）联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得，(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2﹣2=0，△=16k 2m 2﹣4(2k 2+1)(2m 2﹣2)=8(2k 2﹣m 2+1)>0，得1+2k 2>m 2(*)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ①∵m ≠0且212k =，代入(*)得，0<m 2<2，12||AB x =-=设点O 到直线AB 的距离为d，则d ==∴1||22AOB S AB d ===V ， ∴m 2=1∈(0，2)，则m =±1; ②1122121122y kx m y kx m k ,k x 1x 1x 1x 1++====----， 由题意，k 1+k 2=0，∴1212011kx m kx m x x +++=--，即2kx 1x 2+(m ﹣k )(x 1+x 2)﹣2m =0， ∴2222m 24km 2k (m k)2m 012k 12k -⎛⎫⋅+---= ⎪++⎝⎭， 解得m =﹣2k ，∴直线l 的方程为y =k (x ﹣2)，故直线l 恒过定点，该定点坐标为(2，0).【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，抛物线的性质，定点问题，斜率计算，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，根与系数的关系 ，还考查了转化化归的思想和推理论证、运算求解的能力，属于中档题.(二)选考题:共10分.考生在第22,23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,答时用2B 铅笔在答题卡上把目的题号涂黑.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθθ=-．（1）分别求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设直线l 交曲线1C 于O ，A 两点，交曲线2C 于O ，B 两点，求||AB 的长．【答案】（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=；2C 的直角坐标方程为：22((1)4x y -++=；（Ⅱ）4-【解析】【分析】（I ）消去参数，即可得到曲线2C 的直角坐标方程，结合cos x ρρθ==，即可得到曲线1C 的极坐标方程．（II ）计算直线l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算AB 长，即可．【详解】解法一：（Ⅰ）曲线1C ：222x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）可化为直角坐标方程：()2224x y -+=， 即2240x y x +-=， 可得24cos 0ρρθ-=， 所以曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C：2sin ρθθ=-，即2cos 2sin ρθρθ=-， 则2C的直角坐标方程为：(()2214x y -++=.（Ⅱ）直线l的直角坐标方程为3y x =-， 所以l的极坐标方程为()56R πθρ=∈. 联立564cos πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，得Aρ=- 联立562sin πθρθθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，得4B ρ=-， 4A B AB ρρ=-=-. 解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为3y x =-， 联立2240y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩，解得(3,A ， 联立(()22314y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得()2B -， 所以4AB ==-【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.23.已知a >0,b >0,c >0,函数f （x ）=|a －x |+|x +b |+c .（1）当a =b =c =2时,求不等式f （x ）<10的解集;（2）若函数f （x ）的最小值为1,证明:22213a b c ++≥. 【答案】（1）{}|44x x -<<（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将a ＝b ＝c ＝2代入，分类讨论即可求解；（2）利用基本不等式容易得证．【详解】解：（1）当2a b c ===时，()|2||2|2f x x x =-+++所以2()102210x f x x -⎧<⇔⎨-<⎩„或22610x -<<⎧⎨<⎩或22210x x ⎧⎨+<⎩… 所以不等式的解集为{}|44x x -<<（2）因为000a b c >>>，， 所以()|||||||f x a x x b c a x x b c a b c a b c =-+++-+++=++=++…因为()f x 的最小值为1，所以1a b c ++=所以2222()2221a b c a b c ab ac bc ++=+++++= 因为222222222ab a b bc b c ac a c +++≤，≤，≤ 所以()22222212223a b c ab ac bc a b c=+++++++≤ 所以22213a b c ++….【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及基本不等式的运用，考查推理论证能力，属于基础题．。
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河北省衡水中学高考数学信息卷3（理科）
一、选择题
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1.难度：中等
设集合A={1，2，3，4，5，6}，A∩B=B，2∈B，则满足条件的集合B的个数共有（）
A．64个
B．32个
C．31个
D．63个
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2.难度：中等
在的展开式中，有理项共有（）
A．3项
B．4项
C．6项
D．7项
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3.难度：中等
已知点G是△ABC的重心，（λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（）
A．
B．
C．
D．
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4.难度：中等
在复平面上正方形的顶点对应的复数中有三个是1+2i，-2+i，-1-2i，那么第四个复数是（）
A．2-2i
B．-1+i
C．2-i
D．-1-i
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5.难度：中等
要得到函数y=-sin3x的图象，需把函数按______的变化得到．（）
A．沿x轴方向向右平移个单位
B．沿x轴方向向左平移个单位
C．沿x轴方向向右平移个单位
D．沿x轴方向向左平移个单位
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6.难度：中等
已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且0＜x≤2时，f（x）=x3-
2x2-x+2，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴交点的个数为（）A．6
B．7
C．8
D．9
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7.难度：中等
函数f（x）=ax m（1-x）n在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是（）
A．m=1，n=1
B．m=1，n=2
C．m=2，n=1
D．m=3，n=1
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8.难度：中等
两根相距3m的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一伦敦奥运会吉祥物“温洛克”，则“温洛克”与两端距离都大于1m的概率为（）
A．
B．
C．
D．
详细信息9.难度：中等
在一个正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，P为正方形A
1
B
1
C
1
D
1
四边上的动点，O为底面正
方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为底面ABCD内一点，线段D
1
Q与OP互相平分，则点Q的轨迹为（）
A．圆
B．两条线段
C．正方形
D．椭圆
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10.难度：中等
定义方程f（x）=f′（x）的实数根x叫做函数f（x）的“新驻点”，如果函数g（x）=x，h（x）=lnx，φ（x）=cosx（x∈（，π））的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是（）
A．α＜β＜γ
B．α＜γ＜β
C．γ＜α＜β
D．β＜α＜γ
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11.难度：中等
如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的
长分别为a
1和a
2
，半焦距分别为c
1
和c
2
，椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则
下列结论不正确的是（）
A．a
1-c
1
=a
2
-c
2
B．a
1+c
1
＞a
2
+c
2
C．a
1c
2
＞a
2
c
1
D．a
1c
2
＜a
2
c
1
详细信息12.难度：中等
已知数列{a
n }满足log
3
a
n
+1=log
3
a
n+1
（n∈N*），且a
2
+a
4
+a
6
=9，则的值是（）
A．-5
B．
C．5
D．
二、填空题
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13.难度：中等
三角函数式的值等于．
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14.难度：中等
甲、乙、丙、丁、戊五名新同学分配到A，B，C，D四个班中，每班至少一人，其中甲和乙都不去A班，则共有种分配方案．
详细信息
15.难度：中等
已知A，B，E三点在平面α内，点C，D在α外，并且AC⊥α，DE⊥α，
BD⊥AB．若AB=3，AC=BD=4，CD=5，则BD与平面α所成的角等于．
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16.难度：中等
当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则焦点在y轴上且过点P的抛物线的标准方程是．
三、解答题
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17.难度：中等
在△ABC中，三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知sinC=2sin （B+C）cosB．
（1）判断△ABC的形状；（2）设向量，若，求∠A．
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18.难度：中等
设函数f（x）=x2+ax+b，点（a，b）为函数的对称中心，设数列{a
n
}，
{b
n }满足，且，{b
n
}的前n项和为
S
n
．
（1）求a，b的值；
（2）求证：；
（3）求证：．
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19.难度：中等
如图，在△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F 分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．
（1）判断EF与平面ABC的位置关系并给予证明；
（2）是否存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD，如果存在，求出λ的值，如果不存在，说明理由．
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20.难度：中等
在趣味投篮比赛中，每名选手在两种比赛规则中选择一种：（1）每场6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖金30元，否则不获奖；（2）每场最多投6个球，若4个球为连续投进（进四球则比赛结束），则获奖金50元，否则不获奖．已知甲投投进每个球的概率都是．
（1）若甲获奖即可，请帮助甲选择比赛规则，说明理由；
（2）若甲所在小组共有5人，均按照甲所选择的规则投篮，且5人投篮水平相当，则甲应该选择哪种规则，该小组所获奖期望较多？说明理由．
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21.难度：中等
如图，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F
1，F
2
，其上顶点为
A．已知△F
1AF
2
是边长为2的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记=-λ•
若在线段MN上取一点R，使得=λ•，试判断当直线l运动时，点R是否在某一定直线上运动？若在，请求出该定直线的方程；若不在，请说明理由．
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22.难度：中等
已知直线l与函数f（x）=lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数
（m＜0）的图象也相切．
（Ⅰ）求直线l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g′（x）是g（x）的导函数），求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当0＜a＜1时，求证：．。