自动控制原理 第五章(第四和五次)

11
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
例1.某最小相位系统的开环Nyqusit曲线如图所示 试确定其闭环系统的稳定性
N 1； N 1
Im
Z P 2N
C
P 2(N N ) -2
0 2(11)
0
B
A
-1.5 -1 0.5 0 Re
闭环系统稳定
12
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
幅相曲线，试判断闭环系统的稳定性。
Im
K(TS 1)
-1
G(S)H(s)
0
S2
0
自动控制原理
0
Re
由于ν＝2，从 0点逆时针
补画半径为无穷大的半圆。
P=0, N=0，Z=P-2N=0
闭环系统稳定
17
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
例3
已知
G(S)H (S) K（ S 1）,
(
arctgx
)
0
dx
x2
( arctg 3) 1.21
3
27
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
1. 奈氏判据的数学基础
设s为复变量，F(s)为有理分式函数
(1)幅角原理：
设在s平面上任一闭合曲线包围了F(s)的Z个零点 和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则 当s沿闭合曲线顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s) 平面内的F(s)曲线逆时针绕原点（ P–Z ）圈。即
自动控制原理
例1.某最小相位系统的开环Nyqusit曲线如图所示 试确定其闭环稳定时的K值范围
开环传递函数：
G(s)
K s
G1 ( s )
其中lim s0
G1
(s)
1
Im
K 10
C
B
A
-2 -1.5 -1 0.5 0 Re
闭环系统稳定
13
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
G(s)H (s)
K
s(s 1)(0.1s 1)
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1) -1
K=20
_+∞∞
ω=0
Re
32
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
-1
K=20
自动控制原理
Im
_∞
+∞
Re
ω=0
G( j) a() jb() G( j) e j () c() jd ()
P为开环传递函数在S右半平面的极点个数
Z P 2N
10
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
N 0； N 1
Im K=100
-1
+∞
ω=0
Re
Z P 2N P 2( N N ) 0 2(0 1) 2
闭环系统不稳定
-1
0 (b) K Re
K Gb(S) (T1S 1)(T2S 1)(T3S 1)
P=0, NN N 011
闭环不系统稳定。 Z=P-2N=2
Im
0 0
K -1
Re
(c)
Gc
(S)
K (TS1)
P=1,
N
N
N
1 2
0
1 2
Z=P-2N=1-1=0
闭环系统稳定。
21
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
S 2 (TS 1)
T, , K 0
绘制>T和<T情况下的幅相曲线并判定闭环稳定性。
0
T
j
0
0
P=0, N=0，Z=P-2N=0
18
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
G(S)H (S) KS（2 (TS S1)1）, T , , K 0
自动控制原理
0
T
j
0
0
N 0 N 1
P=0, N=-1，Z=P-2N=2
19
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
稳定性分析举例
(1)开环传递函数不含积分环节（0型系统）
Ga
(S)
(T1S
K 1)(T2S
1)
P=0, N=0 Z=P-2N=0 该闭环系统稳定。
Im
0 0
-1
K Re
（a）P＝0 奈氏曲线
20
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
Im
0
➢1+G(s)H(s)Байду номын сангаас线包围原点的圈数就是G(s)H(s)包围-1 点的圈数；
➢因此，闭环系统的稳定性可以通过研究开环传递函 数G(s)H(s)的曲线包围复平面上-1点的圈数来判断， 而无需画1+G(s)H(s)的曲线
29
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
(3)复平面上闭合曲线的选择
➢选择闭合曲线包围复 平面的右半部
R=P-Z
其中：R为圈数，正表示逆时针方向：负表示顺时针 方向。
1
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
(2)F(s)有理分式函数的选择
F(s) 1 G(s)H (s)
1 B(s) A(s) B(s)
A(s)
A(s)
F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)的极点为开
环传递函数的极点。
(-1,0j)
G( j)
0 Re
据临界稳定条件：
Im(x ) 0
x
2 2
0.707
rad s
0
3
Re(x ) －1
K 1.5 2
25
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
例5 已知延迟系统开环传递函数
G(s)H (s) 2es , 0
j
s 1
试根据奈式判据确定系统闭 环稳定时，延迟时间τ值的范围 -1 0
➢1+G(s)H(s)曲线包围原点的圈数就是G(s)H(s)包围-1 点的圈数；
➢因此，闭环系统的稳定性可以通过研究开环传递函 数G(s)H(s)的曲线包围复平面上-1点的圈数来判断， 而无需画1+G(s)H(s)的曲线
2
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
(3)复平面上闭合曲线的选择
➢选择闭合曲线包围复 平面的右半部
➢只要在这个闭合曲线 内没有F(s)的零点，系 统即为稳定的。
+∞ Im ∞
O Re
-∞
30
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
➢对于真有理分式，s等于无穷
大的时候，|G(s)H(s)|=0，在
+∞ Im
G(s)H(s)曲线中对应坐标原点。
∞
➢我们只需考察S在虚轴上取值
O
的情况
Re
➢
s j在复平面上的
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
1. 奈氏判据的数学基础
设s为复变量，F(s)为有理分式函数
(1)幅角原理：
设在s平面上任一闭合曲线包围了F(s)的Z个零点 和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则 当s沿闭合曲线顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s) 平面内的F(s)曲线逆时针绕原点（ P–Z ）圈。即
曲线G，( j就)是HN( jyq)uist曲线
-∞
4
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
2. Nyquist稳定判据
如果系统的开环传递函数G(s)H(s)在右半平面有P个
极点，则闭环系统稳定的充分必要条件为：当ω从-∞
连续地变化到+∞时，开环频率特性G(jω)H(jω)的
Nyquist图逆时针方向包围复平面的-1点P圈。 Im
33
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
Im
K=100
P=0; R=-2;
Z=0-(-2)=2 闭环系统在 s 右半平面有两个 极点，系统不稳定
-1
+∞
ω=0
Re
闭环传递函数在复平面右半平面有Z个极点
Z PR
R(>0)为Nyquist曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数; R(<0)为Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点的圈数;
自动控制原理
(2)开环传递函数含ν 个积分环节 ν型系统
Ga (S )
K S (TS 1)
Im
-1
0
(a)ν=1,从 0 点逆时针
0 Re
补画半径为无穷大的1/4圆。
0
P=0, N=0，Z=0，
所以，闭环系统稳定。
22
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
Im
0 -1 0
＝0
Re
Gb (S)
S
2
K (TS
1)
(b)由于ν＝2，从 0点逆时针 补画半径为无穷大的半园。 P=0, N=-1，Z=2 该闭环系统不稳定。
23
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
0 Im
10 Gc (S) S(TS 1)
0
(c)ν=1,从 0 点逆时针
＝0
Re
补画半径为无穷大的1/4圆。
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1) -1
K=20
_+∞∞
ω=0
Re
5
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
-1
K=20
自动控制原理
Im
_∞
+∞
Re
ω=0
G( j) a() jb() G( j) e j () c() jd ()
曲线G，( j就)是HN( jyq)uist曲线
-∞
31
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
2. Nyquist稳定判据
如果系统的开环传递函数G(s)H(s)在右半平面有P个
极点，则闭环系统稳定的充分必要条件为：当ω从-∞
连续地变化到+∞时，开环频率特性G(jω)H(jω)的
Nyquist图逆时针方向包围复平面的-1点P圈。 Im
解：
自动控制原理
P194 例5-9
2
(x ) x arctgx (2k 1) k 0,1, 2,.....
( arctgx ) / x 取k 0
26
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
A(x )
2 1
1 x2
x 3
自动控制原理
( arctgx ) x
减函数
d
(0
x 1 x2
)
6
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
Im
K=100
P=0; R=-2;
Z=0-(-2)=2 闭环系统在 s 右半平面有两个 极点，系统不稳定
-1
+∞
ω=0
Re
闭环传递函数在复平面右半平面有Z个极点
Z PR
R(>0)为Nyquist曲线逆时针包围（-1，j0）点的圈数; R(<0)为Nyquist曲线顺时针包围（-1，j0）点的圈数;
➢只要在这个闭合曲线 内没有F(s)的零点，系 统即为稳定的。
+∞ Im ∞
O Re
-∞
3
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
➢对于真有理分式，s等于无穷
大的时候，|G(s)H(s)|=0，在
+∞ Im
G(s)H(s)曲线中对应坐标原点。
∞
➢我们只需考察S在虚轴上取值
O
的情况
Re
➢ s j 在复平面上的
-1 0 Re
记： N N N 2 2 0
0
9
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
Nyquist稳定判据
自动控制原理
闭环系统稳定的充要条件是：半闭合曲线G(jω)H(jω) 曲线不穿过（-1，j0） ，且满足下式：
Z=P-2N=0 N=N+-N如果系统不稳定，则Z≠0，且闭环传递函数在S右半平面 有Z个极点。
虚线的终端落在负实轴上
P=1, N=-1/2， Z=1-2(-1/2)=2 该闭环系统不稳定。
24
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
例4 开环传递函数 G(s)
K
求临界稳定时K的取值
s(s 1)(2s 1)
Im
G( j)
K
j( j 1)( j2 1)
- 3K - K (1- 2 2 ) j (1 2 )(1 4 2 )
开环传递函数含ν个积分环节 ν型系统
G(s)H
(s)
K (s 1)
s (Ts 1)
G(s)H (s)
K
( e j )
e j
自动控制原理
绘制开环幅相曲线后，应从频率0+对应的点开始，逆
时针补画半径无穷大，角度为
的圆弧。
2
16
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
例2. 给出含有两个积分环节的开环系统
7
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
G(s)H(s)
K
(10s 1)(2s 1)(0.2s 1)
Z PR
R的确定方法
Im K=100
-1
+∞
ω=0
Re
G(jω)H(jω)曲线包围(-1,j0)点的圈数，仅仅与幅相曲线 穿越实轴区间(-,-1)的次数有关。
根据对称性，只需考察 0 时的情况
R=P-Z
其中：R为圈数，正表示逆时针方向：负表示顺时针 方向。
28
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
(2)F(s)有理分式函数的选择
F(s) 1 G(s)H (s)
1 B(s) A(s) B(s)
A(s)
A(s)
F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)的极点为开
环传递函数的极点。
虚轴上有F(s)的极点
+∞ Im
∞
O Re
-∞
14
自动控制原理
s e j
2
2
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
G(s)H (s)
K
s(s 1)(0.1s 1)
K=2
Im
-1
j
s j
自动控制原理
Im
0
+∞ Re
j
0
s e j
0
2
Re
0+
增补圆
G(s)
H
(s)
K e
j
e j
15
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
8
5-5 频域稳定判据（奈氏判据）
自动控制原理
把自上向下穿越这个区间的次数表示为 N 正穿越次数
把自下向上穿越这个区间的次数表示为 N
注意：若穿越是从这个区间的实轴上 开始的，记为半次正(半次负)穿越。
负穿越次数
Im
N N N
R 2N 2(N N ) - +- +
右图中 N 2 N 2