三角函数的平移、伸缩变换测试题(人教A版)(含答案)

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新人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（）A ．512π B ．4π C ．3π D ．6π 3．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进103米后到点E ，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为（）米．A ．10B ．2C ．15D ．1524．已知函数()22sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（） A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点5．函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为（） A ．πB ．32π C ．2πD ．2π 6．将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭个单位后得到函数()sin 2g x x =的图象，若对满足()()122f x g x -=的1x ，2x ，有12min3x x π-=，则ϕ=（） A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 7．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 8．()()sin f x A x =+ωϕ0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，若将函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（）A ．()12sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()12sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．()2sin 212g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D ．()2sin 212g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9326tan 34tan 26tan 34++=（）A ．3B ．CD ．3-10．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（）A ．13-B ．13C ．3-D ．311．函数cos 2y x =的单调减区间是（） A ．ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ B ．π3π2π,2π,Z22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．[]2π,π2π,Z k k k +∈D ．πππ,π,Z44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦12．已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（）A ．2425-B ．35C ．2425D ．35二、填空题13．已知角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos ϕ=__________________．14．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 15．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sin α=______． 16．已知角α的终边经过点()3,4P -，则sin 2cos αα+的值等于______.17．已知α、β均为锐角，且sin 10α=，()cos αβ+=cos 2β=_______________18．若1sin cos (0)5x x x π+=-≤<，则cos2x =___________.19．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____；20．已知tan 2α=，则cos2=α__．三、解答题21．已知02a π<<，02πβ<<，4sin 5α，5cos()13αβ+=. （1）求cos β的值；（2）求2sin sin 2cos 21ααα+-的值.22．在①函数()()sin 20,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 的图像，()g x 图像关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()()12cos sin 062f x x x πωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.已知______，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）若()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a 的取值范围；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间. 23．已知函数2()cos sin 12cos f x a x x x =⋅+-，且(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.24．已知向量a ＝cos x ，－1)，b ＝(sin x ，cos 2x )，函数()f x a b =⋅．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间[2π-，0]上的最大值和最小值，并求出相应的x 的值． 25．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边在直线430x y -=上.（1）求sin()απ+的值；（2）求2sin cos sin cos 1tan ααααα+--值．26．设函数2()cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，再将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选：D.2．A解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈，由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行：（1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.3．C解析：C 【分析】由,2,4PCA PDA PEA θθθ∠=∠=∠=，得PDE △是等腰三角形，且可求得230θ=︒，在直角PEA 中易得塔高PA ．【详解】由题知,2CPD PCD DPE PDE θθ∠=∠=∠=∠= ∴30PE DE PD CD ====∴等腰EPD △的230θ︒=，∴460θ︒= ∴Rt PAE 中，AE =15PA =．故选：C ．4．B解析：B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错.故选：B 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．5．C解析：C 【分析】由切化弦，及两角和的正弦公式化简函数，然后由正弦函数的周期性得结论．【详解】由已知，()(1)cos f x x x =+cos x x =+12cos 2x x ⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴最小正周期为221T ππ==，故选：C ．6．D解析：D 【分析】利用三角函数的最值，取自变量1x 、2x 的特值，然后判断选项即可. 【详解】因为函数()sin 2g x x =的周期为π，由题意可得：()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦，若()()122f x g x -=，两个函数的最大值与最小值的差等于2，有12min3x x π-=，所以不妨取24x π=，则1712x π=，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在1712x π=取得最小值，所以77121s 12in 2f ϕππ⎛⎫=-=- ⎪⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎝⎥⎭⎣⎦⎭⎝，此时5+,6k k Z πϕπ=∈，又02πϕ<<，所以此时不符合题意，取24x π=，则112x π=-，即()()sin 2x f x ϕ=-⎡⎤⎣⎦在112x π=-取得最小值，所以12sin 21ϕπ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦-，此时,6k k Z πϕπ=-∈，当0k =时，6π=ϕ满足题意，故选：D ．【点睛】本题考查三角函数的图象的平移，三角函数性质之最值，关键在于取出2x ，得出1x ，再利用正弦函数取得最小值的点，求得ϕ的值，属于中档题．7．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈，所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下：（1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.8．A解析：A 【分析】根据图象易得2A =，最小正周期T 2433ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，进而求得ω，再由图象过点2,23π⎛⎫⎪⎝⎭求得函数()f x ，然后再根据平移变换得到()g x 即可. 【详解】由图象可知2A =，最小正周期2T 4433πππ⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴212T πω==，1()2sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，26k πϕπ=+，∵||2ϕπ<，∴6π=ϕ，1()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将其图象向右平移2π个单位长度得 11()2sin 2sin 226212g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：A 9．C解析：C 【分析】利用两角和的正切公式，特殊角的三角函数值化简已知即可求解．【详解】26tan34tan 26tan34︒︒+︒+︒26tan 34tan(2634)(1tan 26tan 34)=︒︒+︒+︒-︒︒26tan 34tan 26tan 34)=︒︒+-︒︒26tan3426tan34=︒︒︒︒=故选：C ．10．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-，即有1sin[()]243ππα-+=-，即1cos()43πα+=-. 故选：A.11．A解析：A 【分析】根据余弦函数的性质，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈求解. 【详解】令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，解得2,2k x k k Z πππ≤≤+∈，所以函数cos 2y x =的单调减区间是ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故选：A12．C解析：C 【分析】由已知求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义求出sin ,cos αα的值，进而可得到sin 2α的值【详解】解：因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)，所以点P 的坐标为(4,3) 因为角α的终边经过点P ，所以34sin ,cos 55αα====，所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，故选：C二、填空题13．【分析】由题意可得：利用已知条件可以求出利用即可求解【详解】因为角和角的始边均与轴正半轴重合终边互相垂直所以若角的终边与单位圆交于点所以则故答案为：解析：13±【分析】由题意可得：,2k k Z πϕθπ=++∈，利用已知条件可以求出1sin 3θ=，利用 cos sin ϕθ=±即可求解.【详解】因为角θ和角ϕ的始边均与x 轴正半轴重合，终边互相垂直，所以,2k k Z πϕθπ=++∈，若角θ的终边与单位圆交于点01,3P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 3θ=，则1cos sin 3ϕθ=±=±，故答案为：13±14．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为：解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos xθ==，解出即可.【详解】由余弦函数的定义可得cos xθ==，解得0x=（舍去），或1x=（舍去），或1x=-，1x∴=-.故答案为：1-.15．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos1αα+=，代入计算即可．【详解】1cos cos2513πααα⎛⎫+=⋅=⎪⎝⎭，解得2cos5αα=+，根据22sin cos1αα+=，代入计算，解得sinα=.16．【分析】根据三角函数定义求出的值由此可求得的值【详解】由三角函数的定义可得因此故答案为：解析：25-【分析】根据三角函数定义求出sinα、cosα的值，由此可求得sin2cosαα+的值.【详解】由三角函数的定义可得3cos5α==-，4sin5α==，因此，432sin2cos2555αα⎛⎫+=+⨯-=-⎪⎝⎭.故答案为：25-.17．【分析】先由题意得到求出根据由两角差的余弦公式求出再由二倍角公式即可求出结果【详解】因为均为锐角所以又所以所以则故答案为：解析：45【分析】先由题意得到，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，求出sin 10α=，()cos 5αβ+=，根据()cos cos βαβα=+-，由两角差的余弦公式，求出cos β，再由二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为α、β均为锐角，所以0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ+∈，又sin 10α=，()cos αβ+=所以cos 10α==，()sin 5αβ+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++==，则294cos 22cos 1155ββ=-=-=. 故答案为：45. 18．【分析】将已知等式两边平方可得结合已知的范围可得从而可求进而利用二倍角公式平方差公式即可求解【详解】解：因为两边平方可得可得所以可得所以故答案为：解析：725【分析】将已知等式两边平方，可得242sin cos 025x x =-<，结合已知x 的范围可得sin 0x ≥，cos 0x <，从而可求7cos sin 5x x -==-，进而利用二倍角公式，平方差公式即可求解. 【详解】解：因为1sin cos (0)5x x x π+=-≤<，两边平方，可得112sin cos 25x x +=，可得242sin cos 025x x =-<，所以sin 0x ≥，cos 0x <，可得7cos sin 5x x -===-，所以22177cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )()5525x x x x x x x =-=+-=-⨯-=. 故答案为：725. 19．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π 【分析】根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数，所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π. 20．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为：解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35．三、解答题21．（1）6365；（2）54-.【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，sin()αβ+的值，进而根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦函数公式即可求解．（2）利用二倍角公式可求sin 2α，cos2α的值，进而即可代入求解．【详解】（1）因为02πα<<，4sin 5α所以3cos 5α== 又因为02πβ<<，5cos()13αβ+=所以12sin()13αβ+== 所以[]cos cos ()ββαα=+-cos()cos sin()sin βααβαα=+++53124135135=⨯+⨯ 6365=（2）因为3cos 5α=，4sin 5α 所以4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=2237cos 22cos 12()1525αα=-=⨯-=-所以22424()sin sin 255257cos 214125ααα++==----【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想．22．（1）,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，（1）由[]0,x α∈，得到2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，即可求解；（2）根据函数正弦函数的形式，求得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，进而得出函数的单调递增区间. 【详解】方案一：选条件①由函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，解得1ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x，又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤；当2k =时，可得51336x ππ≤≤，所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 方案二：选条件②：由()12cos sin 62f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12cos sin cos cos sin 662x x x ππωωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭211cos cos 2cos 222x x x x x ωωωωω=+-=+sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，可得22T ππω==，所以1ω=，可得()()sin 2f x x ϕ=+，又由函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到πsin 2φ3g x x，又函数()g x 图象关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可得6k πϕπ=+，k Z ∈，因为2πϕ<，所以6π=ϕ，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.（1）由[]0,x α∈，可得2,2666x πππα⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 在[]0,α上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据由正弦函数图像，可得52266ππαπ≤+≤，解得63ππα≤≤，所以α的取值范围为,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，可得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，当0k =时，可得66x ππ-≤≤；当1k =时，可得2736x ππ≤≤；当2k =时，可得51336x ππ≤≤，所以函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为()sin()f x A wx ϕ=+或()cos()f x A wx ϕ=+的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.23．（1）π；（2）min ()1f x =-，max ()2f x =. 【分析】（1）利用倍角公式降幂，求得()sin 2cos 22af x x x =-，再利用(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得到等量关系式，求得a =（2）由x 的范围，得到相应整体角的范围，进一步求得()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【详解】（1）2()cos sin 12cos sin 2cos 22af x a x x x x x =⋅+-=-， ∵(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22sin cos sin 0cos 02332a aππ⎛⎫⎛⎫---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a =∴()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴函数()y f x =的最小正周期为22ππ=.（2）∵52,243x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,646x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴[]()2sin 21,26f x x π⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭.∴当7266x ππ-=，即23x π=时，min ()1f x =-，当226x ππ-=，即3x π=时，max ()2f x =.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关三角函数的问题，解题思路如下：（1）利用正、余弦倍角公式降幂，利用条件求相应参数值，利用辅助角公式化简函数解析式；（2）利用函数的性质，得到其最小正周期；（3）根据自变量x 的范围，求得整体角的范围，结合正弦函数的性质，求得函数的最值. 24．（1）,,63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）=2x π-时，最大值为0；=6x π-时, 最小值为32-. 【分析】（1）由()f x a b =⋅，根据向量的数量积的运算可得()f x 的解析式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间. （2）在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得出()f x 的最大值和最小值.【详解】解:(1)2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-cos 21=2222x x -- 1=sin 2coscos 2sin662x x ππ-- 1=sin 2)62x π--（由2,262k x k k πππππ--+∈Z 2≤≤2，解得：,63k x k k ππππ-+∈Z ≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为：[,],63k k k ππππ-+∈Z .（2）因为02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以72666x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，，所以1sin2)62x π--1≤（≤，即31sin 2)0262x π---≤（≤，当=2x π-时，()f x 有最大值为0；当=6x π-时, ()f x 有最小值为32-.【点睛】关键点睛：利用三角函数的二倍角公式，化简得到，2()=3sin cos cos f x a b x x x =⋅-1=sin2)62x π--（，进而利用复合函数的单调性进行求解，难度属于中档题25．（1）45-或45；（2）75-或75；【分析】（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4(,)3P m m ，利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m 的正负.（2）先利用商的关系化简原式为sin cos αα+，结合第一问利用三角函数定义分别求得cos α与sin α，要注意分类讨论m 的正负.【详解】（1）在直线430x y -=上任取一点4(,)3P m m (0)m ≠，由已知角α的终边过点4(,)3P m m ，x m ∴=，43y m =，53r OP m ==利用诱导公式与三角函数定义可得：sin()sin 443553mm m m απα=-=-+=-，当0m >时，4in()5s απ-+=；当0m <时，4sin()5απ+=（2）原式22222sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos 1cos αααααααααααααααα-=+=+=-----()()sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα+-==+-同理（1）利用三角函数定义可得：3553cos m mm m α==，当0m >时，4sin 5α，3cos 5α=，此时原式75=；当0m <时，4sin 5α=-，3cos 5α=-，此时原式75=-；【点睛】易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角α的终边在直线430x y -=上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.26．（1）π；（2）最小值为4-4. 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解．（2）求出23x π-的取值范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】（1）2211()cos (sin )sin cos cos 224224f x x x x x x x x =++=-+11sin 22sin(2)423x x x π==-， ∴()f x 的最小正周期是22T ππ== （2）0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()f x ⎡∈⎢⎣⎦.()f x 233x ππ-=，3x π=，()f x 最小值为-233x ππ-=-，0x =.综上，()f x 的最小值为- 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简为标准的形态，然后利用正弦函数的性质求解，难度属于中档题。

三角函数的平移及伸缩变换(含答案)

三角函数的平移及伸缩变换一、单选题(共8道，每道12分)1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( )A.2B.3C.4D.5答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( )A.1B.2C.3D.4答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( )A.πB.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换7.函数的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将f(x)的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换8.将函数的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。

(完整版)三角函数的平移伸缩变换练习题

三角函数的平移伸缩变换题型一：已知开始和结果，求平移量ϕω【2016高考四川文科】为了得到函数sin()3y x π=+的图象，只需把函数y=sinx 的图象上所有的点( )（A ）向左平行移动3π个单位长度 (B) 向右平行移动3π个单位长度（C ）向上平行移动3π个单位长度（D ）向下平行移动3π个单位长度【】为了得到函数sin(1)y x =+的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点（） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【】要得到函数cos y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（）（A ）．向右平移π6个单位（B ）．向右平移π3个单位（C ）．向左平移π3个单位（D ）．向左平移π6个单位【】要得到函数(21)y cos x ＝＋的图象，只要将函数2y cos x ＝的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移12个单位 D ．向右平移12个单位【】要得到sin(2)3y x π=-的图象，只需将sin 2y x =的图象（）（A ）向左平移3π个单位（B ）向右平移3π个单位（C ）向左平移6π个单位（D ）向右平移6π个单位【】.将函数sin 2y x =的图象作平移变换，得到函数sin(2)6y x π=-的图象，则这个平移变换可以是（）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【】为了得到函数4sin(3)()4y x x R π=+∈的图象，只需把函数4sin()()4y x x R π=+∈的图象上所有点（）A 、横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B 、横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变C 、纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D 、纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变．【2015山东】要得到函数4y sin x =-（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）（A ）向左平移12π个单位（B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位（D ）向右平移3π个单位【】为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位【】要得到cos(2)4y x π=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（）A 向左平移8π个单位B 向右平移8π个单位C 向左平移4π个单位D 向右平移4π个单位【】已知函数()sin 4πf x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度题型二：已知开始，平移量，求结果【】. 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=-（C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-【】函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）（A ）sin(2),3y x x R π=-∈ （B ）sin(),26x y x R π=+∈（C ）sin(2),3y x x R π=+∈ （D ）2sin(2),3y x x R π=+∈【】函数3sin(2)3y x π=+的图象，可由y sinx =的图象经过下述哪种变换而得到 ( )（A ）向右平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（B ）向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标扩大到原来的3倍（C ）向右平移6π个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的31倍（D ）向左平移6π个单位，横坐标缩小到原来的21倍，纵坐标缩小到原来的31倍【】.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象上所有点向左平移3π个单位，所得图象的解析式是 . 【】. 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是____________▲________________ .【】把函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移8π个单位长度，再将横坐标压缩到原来的12，所得函数的解析式为（）。

新人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=2．先将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移2π个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到函数()g x 的图象，若方程()()f x g x =有实根，则ω的值可以为（）A ．12B ．1C ．2D ．43．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定4．如果函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，那么θ的最小值为（）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 5．计算cos 20cos80sin160cos10+=（）．A ．12B ．2C ．12-D ． 6．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（）.A ．B ．12-C D ．127．化简求值1tan12tan 72tan12tan 72+-（）A ．B ．CD 8．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<9．把函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式是（）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭ C ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭10．已知函数()cos 2cos sin(2)sin f x x x ϕπϕ=⋅-+⋅在3x π=处取得最小值，则函数()f x 的一个单调递减区间为（）A ．4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 11．若4cos ,5αα=-是第三象限角，则sin α等于（）A ．35B ．35C ．34D ．34-12．函数()log 44a y x =++（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7πcos 2θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．35B ．35C ．45-D ．45第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知22034sin παα=<<，，则sin cos αα-=_____________________. 14．田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例，故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜，该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为cos a θ=，sin cos b θθ=+，cos sin c θθ=-，对方的三个数以及排序如表：当04θ<<时，则我方必胜的排序是______.15．设函数()sin (0,0)6f x A x A πωω⎛⎫=->> ⎪⎝⎭，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0>ω，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.16．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 17．如下图所示，某农场有一块扇形农田，其半径为100m ，圆心角为3π，现要按图中方法在农田中围出一个面积最大的内接矩形用于种植，则围出的矩形农田的面积为___________2m .18．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 19．若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________.20．已知7sin cos 5αα+=-，22sin cos 5αα-=-，则cos2=α_______.三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数()π3sin 22sin cos 6f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调增区间. （2）当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的值域. 23．如图为一个观览车示意图，该观览车圆半径为4.8m ，圆上最低点与地面距离为0.8m ，60秒转动一圈.图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ到OB .设B 点与地面的距离为h .（1）求h 与θ的函数关系式；（2）设从OA 开始转动，经过10秒到达OB ，求h . 24．已知函数2()cos sin 12cos f x a x x x =⋅+-，且(0)3f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的最小正周期；（2）求()f x 在52,243ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 25．如图，以Ox 为始边作角α与β(0)βαπ<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点P ､Q ，已知点P 的标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求sin 2cos 211tan ααα+++的值;（2）若0OP OQ ⋅=，求sin()αβ+的值26．如图，设矩形()ABCD AB BC >的周长为m ，把ABC 沿AC 翻折到AB C '，AB '交DC 于点P ，设AB x =.（1）若CP ＝2PD ，求x 的值；（2）求ADP △面积的最大值.参考答案【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令24,32x k k Z πππ+=+∈，解得,424k x k Z ππ=-∈，所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A2．C解析：C 【分析】先根据三角函数图象的变换得出()g x 的解析式，然后根据三角函数的图象性质分析()()f x g x =的条件并求解ω的值.【详解】由题意可知()sin 22g x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则函数()g x 的最大值为3，最小值为1，又()sin (0)f x x ωω=>的最大值为1，所以当()()f x g x =有实根时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合，故应平移(21),2T n n N +∈个单位，所以()212n ππω=+，得42,n n N ω=+∈，故只有C 选项符合.故选：C. 【点睛】本题考查根据三角函数图象的平移变换、考查根据函数图象有交点求参数的取值范围，难度一般. 解答的关键在于：（1）得出函数()g x 的解析式；（2）分析出()()f x g x =时，()f x 的最大值点与()g x 的最小值点重合.3．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．4．A解析：A 【分析】利用余弦函数的对称轴以及整体思想可得：θ的表达式，进而得到θ的最小值．【详解】由题意函数()cos 3f x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于直线2x π=对称，则有 1,32k πθπ⋅+= 解得 θ＝k π6π-，k ∈Z ，所以由此得|θmin 6π=．故选：A ．【点睛】方法点睛：求正余弦函数的对称轴及对称中心一般利用整体思想求解5．A解析：A 【分析】将160化为20,10化为80后，利用两角差的余弦公式可求得结果. 【详解】cos 20cos80sin160cos10+cos 20cos80sin 20sin80=+()cos 8020=-cos60=12=．故选：A ．6．C解析：C 【分析】直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.7．A解析：A 【分析】逆用两角差的正切公式先求出tan12tan 721tan12tan 72-+，即可求解.【详解】因为()tan 1272-tan12tan 721tan12tan 72-=+()tan 60=-=-所以()1tan12tan 721tan12tan 723tan 60+===---.故选：A8．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】解：3sin 07a π=>；427πππ<<， 4cos cos cos 72πππ∴<<，即10b -<<.又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 9．D解析：D 【分析】根据三角函数的图象变换规律可得解析式．【详解】函数sin y x =的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，得sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），可得sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D ．10．D解析：D 【分析】先化简()f x 并根据已知条件确定出ϕ的一个可取值，然后根据余弦函数的单调递减区间求解出()f x 的一个单调递减区间. 【详解】因为()()()cos2cos sin 2sin cos2cos sin 2sin cos 2f x x x x x x ϕπϕϕϕϕ=⋅-+⋅=⋅+⋅=-，且()f x 在3x π=处有最小值，所以2cos 133f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22,3k k Z πϕππ-=+∈，所以2,3k k Z πϕπ=--∈，取ϕ的一个值为3π-，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，所以,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =，所以此时单调递减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选：D. 【点睛】思路点睛：求解形如()()cos f x A x ωϕ=+的函数的单调递减区间的步骤如下：（1）先令[]2,2+,k k k x Z ωϕπππ+∈∈；（2）解上述不等式求解出x 的取值范围即为()f x 的单调递减区间.11．B解析：B 【分析】运用同角的三角函数关系式直接求解即可. 【详解】4cos ,5a a =-是第三象限角，3sin 5a ∴==-，故选：B12．D解析：D 【分析】先利用对数函数图象的特点求出点()3,4A -，再利用三角函数的定义求出sin θ的值，利用诱导公式可得7πcos sin 2θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求解. 【详解】对数函数log ay x =恒过点()1,0，将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得()log 44a y x =++的图象，点()1,0平移之后为点()3,4-，所以()3,4A -，令3x =-，4y =，则5OA ===，所以4sin 5y OA θ==，由诱导公式可得：7π4cos sin 25θθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出()3,4A -，会利用三角函数的定义求出θ的三角函数值，会利用诱导公式化简7πcos 2θ⎛⎫+⎪⎝⎭. 二、填空题13．【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系由即可求出正确答案【详解】解：因为所以所以故答案为:解析：【分析】结合二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，由sin cos αα-=即可求出正确答案. 【详解】解：因为04πα<<，所以0sin cos αα-<，所以sin cos αα-====，故答案为: 3-. 14．【分析】由三角函数值的大小比较得：当时结合田忌赛马的事例进行简单的推理即可得答案【详解】因为当时故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是当时比较出以及的大小关系利用田忌赛马的事例进行推理即可解析：c ，b ，a【分析】由三角函数值的大小比较得：当04πθ<<时，cos sin cos cos sin θθθθθ-<<+，sin tan θθ<<，结合田忌赛马的事例进行简单的推理，即可得答案. 【详解】因为当04πθ<<时，cos sin cos cos sin θθθθθ-<<+，sin tan θθ<<，tan sin cos θθθ<+，sin cos θθ<. 故答案为：c ，b ，a 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是当04πθ<<时，比较出sin tan θθ<<，以及a 、b 、c 的大小关系，利用田忌赛马的事例进行推理即可.15．①②③【分析】可把中的整体当作来分析结合三角函数的图象与性质即可得解【详解】由于恰有4个零点令由有4个解则解得①即由上述知故的值有且仅有个正确；②当时当时解得又故存在使得在上单调递增正确；③而所以可解析：①②③ 【分析】可把sin()y A x ωθ=+中的x ωθ+整体当作t 来分析，结合三角函数的图象与性质即可得解．【详解】由于()f x 恰有4个零点，令6t x πω=-，266t ππωπ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，，由sin 0t =有4个解，则3246x ππωπ≤-<，解得19251212ω≤<， ①()0f x A =即0262ππωx k π-=+，由上述知0,1k =，故0x 的值有且仅有2个，正确；②当0x =时，66ππωx -=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912ω≤，又19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确； ③11()sin 262f x A x πω⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，而2[3,4)6ππωππ-∈，所以6x πω-可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确，综上，真命题的序号是①②③. 故答案为：①②③. 【点睛】三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要。

高三数学三角函数图象变换试题

高三数学三角函数图象变换试题1.将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为．【答案】.【解析】将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故所得的图象的函数解析式为．【考点】三角函数图象变换．2.将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由可化为.依题意等价于将函数向下平移一个单位得到，再向右平移个单位即可得到.【考点】1.三角函数的平移.2.三角函数诱导公式.3.将函数的图像向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为将函数的图像向右平移个单位，可得到函数图像对应的函数解析式为.再向上平移1个单位，所得到函数的图像对应的解析式为.化简可得，即.故选C.【考点】1.函数图像的左右上下平移规则.2.三角形函数二倍角公式.4.把函数的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是A．B．C．D．【答案】A【解析】把函数的图象向右平移个单位后，所得到函数为，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,则所得图象对应的函数解析式是，选A.【考点】三角函数图像的平移、伸缩变换.5.以下命题正确的是_____________.①把函数的图象向右平移个单位，得到的图象；②的展开式中没有常数项；③已知随机变量~N(2,4)，若P(＞)= P(＜)，则；④若等差数列前n项和为，则三点，(),()共线.【答案】①②④【解析】把函数的图象向右平移个单位，得，即，①正确；的展开式的通项公式为（），令=0，无解，②正确；由题意正态曲线关于对称，且P(＞)= P(＜)，则，③错误；因为等差数列的前n项和为，所以，故点在直线上，④正确.【考点】1、三角函数图像变换；2、二项式定理；3、等差数列前n项和的性质.6.如果函数的图像关于直线对称，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由的图像关于直线对称，则在处取得最值，所以，而，所以，故选D.【考点】1.三角函数的性质；2.函数的最值求解.7.要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】B．【解析】函数，只需将函数向左平移个长度单位可得函数.【考点】三角函数的图像平移.8.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.9.将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是___________________.【答案】【解析】,将其图像向左平移个长度单位后得到，图像关于轴对称，则有所以的最小值是.【考点】10.函数的部分图像如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为________．【答案】【解析】，得周期，于是，图象易知，根据五点作图法有，解得，所以，将的图象向右平移个单位后，得到的图像解析式为【考点】函数的图象与性质.11.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】,由，只需向右平移个单位长度.【考点】函数图象的平移.12.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】将函数向右平移个单位长度得；将函数向右平移个单位长度得；将函数向左平移个单位长度得；将函数向左平移个单位长度得【考点】三角函数图像平移点评：三角函数向左平移个单位得向右平移个单位得13.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【答案】A【解析】因为，=，所以，为了得到函数的图象，可以将函数的图象，向右平移个长度单位，选A。

高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第14课时平移变换、伸缩变换含解析

第 14 课时平移变换、伸缩变换课时目标掌握 y ＝ sinx 与 y ＝ Asin( ωx＋ φ)图象之间的关系，会用 “ 五点法 ” 和变换法作 y ＝Asin( ωx＋ φ)的图象，并会由函数的图象与性质求y ＝Asin( ωx＋φ)的分析式．识记加强y ＝ sinx 图象上全部点向左 (φ>0)或向右 (φ<0)平移 |φ|个单位得 C 1：y ＝ sin(x ＋ φ)； C 1 上各点的横坐标减小 (当 ω>1 时)或伸长 (当 0< ω<1)到本来的1倍 (纵坐标不变 )得 C 2 ：y ＝ sin(ωx ＋φ)； C 2 上各点纵坐标伸长ω ( 当 A>1 时 )或减小 (0<A<1)到本来的 A 倍获得 C 3：y ＝ Asin(ωx＋ φ)( >0，ω>0)．课时作业一、选择题1．要获得函数 y ＝ sin 2x ＋π的图象，只需将函数 y ＝ sin2x 的图象 ()3πB ．向右平移πA ．向左平移个单位长度个单位长度33πD ．向右平移πC ．向左平移个单位长度个单位长度66答案： Cππ分析：由于 y ＝ sinx ＋6 ，因此将函数 y ＝sin2x 的图象上全部点向左平移2x ＋ 3 ＝ sin2ππ π6个单位长度，便可获得函数 y ＝ sin2 x ＋6 ＝ sin 2x ＋ 3 的图象．2．把函数 y ＝ sinx 的图象上全部点向左平移 π个单位长度，再把所得图象上全部点的横3坐标缩短到本来的 12(纵坐标不变 )，获得的图象所对应的函数是 ( )2x － π x ＋ πA ． y ＝ sin 3B ．y ＝ sin 2 6C ．y ＝ sin 2x ＋πD ．y ＝ sin 2x ＋2π3 3答案： C分析：把函数y ＝ sinx 的图象上全部点向左平行挪动πy ＝3个单位长度后获得函数sin x ＋π的图象，再把所得图象上全部点的横坐标缩短到本来的1，获得函数 y ＝ sin 2x ＋ π 332 的图象．π1 个单位长度，所获得3．将函数 y ＝ sin2x 的图象向左平移 4个单位长度，再向上平移的图象对应的函数是 ()A ． y ＝ cos2xB ．y ＝ 1＋ cos2xπC ．y ＝ 1＋ sin 2x ＋ 4D ． y ＝ cos2x － 1答案： B分析：将函数 y ＝sin2x 的图象向左平移ππ4个单位长度，获得函数 y ＝ sin2x ＋ 4 的图象，π即 y ＝ sin 2x ＋2 ＝ cos2x 的图象，再向上平移 1 个单位长度，所获得的图象对应的函数为y＝1＋ cos2x.π的图象，能够将函数y ＝ cos2x 的图象 ()4．为了获得函数 y ＝ sin 2x － 6πA ．向右平移个单位长度6πB ．向右平移 3个单位长度πC ．向左平移个单位长度6πD ．向左平移个单位长度3答案： Bππ π 2π2π π分析： y ＝ sin＝ cos 2－ 2x － 6 ＝ cos 3 － 2x ＝ cos 2x － 3 ＝cos2 x － 3 .2x － 6π5．将函数 y ＝ sin(2x ＋ φ)的图象沿 x 轴向左平移个单位后，获得一个偶函数的图象，则8φ的一个可能取值为 ()3πB.πA. 44πC ．0D ．－ 4答案： B左移π分析： y ＝ sin(2x ＋φ)――→πx ＋88个单位 y ＝ sin 2 ＋ φπ＝ sin 2x ＋ 4＋ φπ π若为偶函数，则4＋ φ＝2＋ k π， k ∈ Z经考证当 k ＝ 0π时， φ＝ 4.6．将函数 y ＝ sin x －π的图象上全部点的横坐标伸长到本来的2 倍 (纵坐标不变 )，再将3π()所得的图象向左平移 3个单位长度，获得的图象对应的分析式是1 1 πA ． y ＝ sin 2xB ． y ＝ sin 2x － 21 ππC ．y ＝ sin 2x － 6D ． y ＝ sin 2x －6答案： C分析： y ＝ sin π 横坐标伸长到本来的 2倍1 πx － 3 的图象――→y ＝ sin 2x － 3 的图象y ＝1ππsin 2 x ＋ 3 － 31 π1 π＝ sin 2x － 6 的图象，故所求分析式为y ＝ sin 2x －6 .二、填空题π7．假如将函数y ＝ sin－ 4x 的图象向左平移 φ个单位后正好与原函数的图象重合，那6么最小正数 φ＝ ______________.答案：π2分析： y ＝ sin π向左平移ππ－ 4x ――→－ 4 x ＋φ ＝ sin6 － 4x － 4φ6 φ个单位 y ＝ sin6π若与原函数图象重合，则需知足－4φ＝ 2k π， k ∈ Z ，当 k ＝－ 1 时，最小正数 φ＝ 28．函数 y ＝1sin 2x －π的图象能够看作把函数y ＝ 1sin2x 的图象向 ________平移24 2________个单位长度获得的．答案：右 π8分析： ∵y ＝ 1 π 1π 1π2sin 2x －4 ＝ 2sin2 x － 8 ，∴由 y ＝ 2sin2x 的图象向右平移 8个单位长度便得1π到 y ＝ 2sin 2x － 4 的图象．πy 轴的对称图形，9．先将函数 y ＝ sin2x 的图象向右平移个单位长度，再作所得图象对于3则最后所得图象的分析式是 ________．答案： y ＝－ sin 2x ＋ 2π32π分析：向右平移 π，3个单位长度获得y ＝sin 2x － 32π对于 y 轴对称则 y ＝ sin －2x － 3 ＝2π－ sin 2x ＋ 3 . 三、解答题π10．用五点法画出函数 y ＝2sin 2x ＋ 3 的图象，并指出函数的单一区间．解： (1)列表xππ π 7π 5π－ 612 3 12 6ππ3π2x ＋ 30 2 π 2 2π y0 2 0－ 2ππ3π x 值和 y 值．列表时由 2x ＋的取值为0，， π，， 2π，再求出相应的3 22(2)描点．(3)用光滑的曲线按序连接各点所得图象如下图．利用这种函数的周期性，我们能够把上边所得的简图向左、向右扩展，获得y ＝π 2sin 2x ＋3 (x ∈ R )的简图 (图略 )．π， 7π上递减，又因函数的周期为可见在一个周期内，函数在π，因此函数的递减7π12 125ππ区间为 k π＋12， k π＋ 12 (k ∈ Z)．同理，递加区间为 k π－ 12π， k π＋ 12 (k ∈ Z)．π(纵坐标不变 )，得11．先将函数 y ＝ sinx 的图象向右平移 5个单位，再变化各点的横坐标到最小正周期为2π的函数 y ＝ sin(ωx＋ φ)(此中 ω>0)的图象，求 ω 和 φ.3解：将函数 y ＝ sinx 的图象向右平移πy ＝ sin x － π的图象，再变化 y ＝个单位，获得5 5 2sin x － π的图象各点的横坐标 (纵坐标不变 ) ，获得最小正周期为 π的函数 y ＝ sin( ωx＋ φ)(其5 2π 2π 3π中 ω>0)的图象，获得 ω＝＝＝ 3，因此 ω＝ 3， φ＝－ .T253π能力提高12．要获得函数 y ＝ cos 2x －π的图象，只需将 y ＝ sin2x 的图象 ()4πA ．向左平移个单位8π B ．向右平移 8个单位πC ．向左平移个单位4πD ．向右平移个单位4答案： Aπ π分析： y ＝ cos 2x － 4 ＝cos 4－ 2xπ π π＝ sin 2－ 4－ 2x ＝ sin 2x ＋ 4π＝ sin 2 x ＋ 8 .π13．函数 y ＝ sinx 的图象可由 y ＝ cos 2x － 6 的图象经过如何的变化而获得？解： ∵y ＝ cos 2x － π π＝＝cos － 2x 6 6π πsin －－ 2x2 6ππ＝ sin 2x ＋ 3 ＝sin2 x ＋6 .π∴ y ＝ cos 2x －6＝ sin2 x ＋πy6 横坐标变成本来的 2倍＝ sin2x――→ y ＝ sinx.纵坐标不变。

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析

高三数学三角函数图象变换试题答案及解析1.要得到函数y＝3sin(2x＋)的图象，只需要将函数y＝3cos2x的图象()A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位【答案】A【解析】把函数y＝3cos2x的图象向右平移个单位得到的图象相应的函数解析式是y＝3cos2(x－)＝3cos(2x－)＝3sin(2x＋)，因此选A．2.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】将函数图象所有的点向右移动个单位长度后所得图象的函数解析式为，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式为.故C正确.【考点】三角函数的伸缩平移变换.3.为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】∵函数y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度故选A．4.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”给出下列函数；；；其中“互为生成函数”的是（）A．①②B．①③C．③④【答案】B【解析】,向左平移个单位得到函数的图象，向上平移2个单位得到的图象，与中的振幅不同，所以选B.5.把函数y＝cos2x＋1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是【答案】B【解析】把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得：，向左平移1个单位长度得：，再向下平移1个单位长度得：．令x＝0，得：；x＝，得：；观察即得答案．6.设命题：函数的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称；命题：函数在上是增函数．则下列判断错误的是（）A．为假B．为真C．为假D．为真【答案】D【解析】命题p,函数的图像向左平移个单位长度得到的函数解析式为,因为不是偶函数,所以不关于y轴对称,即命题p 为假命题.命题q,如图作出的函数图像可以发现该函数在区间上是单调递减的,在区间是单调递增的,所以命题q也是假命题,根据真值表可得为假命题,所以D是错误的,故选D【考点】命题真假三角函数指数函数域图像变化真值表7.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为，则函数的表达式可以是A．B．C．D．【解析】由题意，选D．【考点】图象变换．8.已知向量（为常数且），函数在上的最大值为．（1）求实数的值；（2）把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求取最大值时的单调增区间．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把向量，（为常数且），代入函数整理，利用两角和的正弦函数化为，根据最值求实数的值；（2）由题意把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，利用在上为增函数，就是周期，求得的最大值，从而求出单调增区间．试题解析：（1）．因为函数在上的最大值为，所以故．（2）由（1）知：，把函数的图象向右平移个单位，可得函数．又在上为增函数的周期即，所以的最大值为，此时单调增区间为．【考点】1．平面向量数量积的运算；2．三角恒等变换；3．三角函数的最值；4．三角函数的单调性；4、函数的图象变换．9.已知函数，则要得到的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】,根据左加右减的平移原理，所以应该向左平移个单位长度，故选A.【考点】的图像变换10.已知的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，要得到的图像，只须把的图像 ( )A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解析】由于函数的最大值为1，又函数的图像与的图像的两个相邻交点间的距离为，所以函数的周期为.所以.所以函数的解析式为.所以要得到函数只需要将向左平移各单位即可.故选A.【考点】1.三角函数的图像.2.三角函数图像的平移.3.三函数的诱导公式.11.已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－(ω>0)，其最小正周期为.(1)求f(x)的解析式．(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0，在区间上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．【答案】（1）sin（2）－<k≤或k＝－1.【解析】(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx－＝sin 2ωx＋－＝sin ，由题意知f(x)的最小正周期T＝，T＝＝.∴ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝sin 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin 的图象．∴g(x)＝sin ，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，g(x)＋k＝0在区间上有且只有一个实数解，即函数y＝g(x)与y＝－k在区间上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.∴－<k≤或k＝－1.12.函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()．A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A【解析】由图象可知A＝1，，所以T＝π，又T＝＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin (2x＋φ)，又f＝sin ＝sin ＝－1，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z.即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin .因为g(x)＝cos 2x＝sin＝sin ，所以直线将f(x)向左平移个单位长度即可得到g(x)的图象．13.已知函数（，c是实数常数）的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是，(1)求函数的解析式及其单调增区间；(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，角A的取值范围是区间M，当时，试求函数的取值范围.【答案】（1），单调递增区间是；（2）.【解析】（1）三角函数问题一般都要化为的一个三角函数的形式，然后才可利用正弦函数的性质解题，这个函数图象上相邻有最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，而周期，再加上最高（低）点在函数图象上，我们就可出这个函数的解析式了（）；（2）由，根据向量数量积定义我们可求出，那么三角形的另一内角的范围应该是，即函数中的范围是，然后我们把一个整体，得出，而正弦函数在时取值范围是，因此可求出的值域．试题解析：(1)∵，∴.∵和分别是函数图像上相邻的最高点和最低点，∴解得∴.由，解得.∴函数的单调递增区间是.(2)∵在中，，∴.∴，即.∴.当时，，考察正弦函数的图像，可知，.∴，即函数的取值范围是.【考点】（1）五点法与函数的图象；（2）三角函数在给定区间的值域．14.为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）C．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】这题考查函数图象的两个变换，平移变换，周期变换，当把函数图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，则得函数的图象，故本题选B.【考点】三角函数的图象变换.15.要得到函数y= sinx的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位;C．向左平移个单位D．向左平移个单位;【答案】B【解析】首先函数化为.即由函数的图像向右平移可得函数的图像.所以选B.本校题要注意函数是要得到的函数.否则易做反了.【考点】1.正余弦函数的平移.2.关注诱导公式的变形.16.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )A．B．C．0D．【答案】B【解析】令，则，∵为偶函数，∴，∴，∴当时，，故的一个可能的值为．故选B．【考点】三角函数图像变化．17.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】A．【解析】，故只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选A．【考点】三角函数的图像变换．18.把函数的图象按向量=（－，0）平移，所得曲线的一部分如图所示，则，的值分别是（）A．1，B．2，－C．2，D．1，－【答案】B【解析】把函数的图象按向量=（－，0）平移，得.由图得函数的周期.又.选B.【考点】三角函数图象的变换.19.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于直线对称【答案】D【解析】由函数的最小正周期是可知，，所以有，向右平移个单位后有是奇函数，所以，因为，所以.所以，关于点对称，关于直线对称.【考点】1.求三角函数的解析式；2.三角函数的图像与性质20.已知向量，设函数的图象关于直线对称，其中常数(Ⅰ)求的最小正周期；(Ⅱ)将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，用五点法作出函数在区间的图像.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析.【解析】(Ⅰ)由向量的数量积的坐标表示将表示出来，并利用正弦和余弦的二倍角公式将其表示为的形式，再由对称轴为，所以在处函数值取到最大值或最小值，从而得，代入并结合求的值，再利用和的关系，求；(Ⅱ)用代换得，先由，确定，从中取特殊点，，，，，再计算相应的自变量和函数值，列表，描点连线，即得在给定区间的图象.试题解析：(Ⅰ)，；(Ⅱ)0-2020【考点】1、向量数量积的坐标表示；2、正弦和余弦的二倍角公式；3、五点作图法.21.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”给出下列函数：①；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】D【解析】三角函数的图象在平移的过程中，振幅不变，①的函数的解析式化简为，④中的函数的解析式化简为，将③中的函数的图象向左平移个单位长度便可得到④中的函数图象，故选D.【考点】1.新定义；2.三角函数图象变换22.将函数y＝f(x)·sinx的图象向右平移个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是 ()．A．sinx B．cosx C．2sinx D．2cosx【答案】D【解析】将函数y＝f(x)·sin x的图象向右平移个单位得,再作关于x轴的对称变换得，，即，令则，所以，，故f(x)可以是2cos x，选D.【考点】三角函数图象平移变换、二倍角公式.23.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】B【解析】∵，∴只需把函数的图象向右平移个单位，选B.【考点】三角函数的图象.24.将函数（）的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为【答案】2【解析】，根据函数的图象可知，当函数在上为增函数的最大满足，所函数在上为增函数的最大.【考点】的图象与性质.25.将函数的图像向右平移个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】由已知得平移后的图像所对应的函数解析式是，故选【考点】三角函数图像变换.26.函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则=___________.【答案】【解析】因为原函数解析式为，所以图象平移后的解析式为=，所以，解得.【考点】本小题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换等基础知识，这两部分知识都是高考的热点内容之一，几乎年年必考，熟练其基础知识是解答好本类题目的关键.27.函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．若将函数图象向右平移个单位，得到函数的解析式为A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于函数()的图象的相邻两条对称轴间的距离是．则说明周期为，w=2,排除A,B，对于C,D由于将函数图象向右平移个单位，变为，故可知答案为D.【考点】三角函数的图象变换点评：主要是考查了三角函数图象的平移变换的运用，属于基础题。

(新教材)人教A版-数学必修第一册第五章三角函数测试题含答案

绝密★启用前（新教材）人教A版-数学必修第一册第五章三角函数测试题试卷副标题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间150分钟第Ⅰ卷一、选择题(共12小题,每小题5.0分,共60分)1.若α＝－3 rad，则它是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2.若角α，β的终边关于y轴对称，则α与β的关系一定是(其中k∈Z) ()A．α＋β＝πB．α－β＝π2C．α－β＝π2＋2kπD．α＋β＝(2k＋1)π3.化简√1－2sin4cos4的结果是()A． sin 4＋cos 4B． sin 4－cos 4C． cos 4－sin 4D．－sin 4－cos 44.当x∈[－2π，－32π]时，化简√1＋sinx＋√1－sinx的结果为()A．－2sin x2B．－2cos x2C．－2sin x2－2cos x2D． 2cos x25.已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A．43B．34C．－43D．－346.设tan(π＋α)＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)等于() A． 3B．13C． 1D．－17.设α是第二象限角，且cosα2＝－√1−cos2(π−α2)，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角8.下列函数中，同时满足：①在(0,π2)上是增函数；②为奇函数；③以π为最小正周期的函数是()A．y＝tan xB．y＝cos xC．y＝tan x2D．y＝|sin x|9.函数f(x)＝sin(x+π3)＋sin(x−π3)的最大值是()A． 2B． 1C．12D．√310.函数f(x)＝sin x－√3cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A．[−π,−5π6]B．[−5π6,−π6]C．[−π3,0]D．[−π6,0]11.为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的()A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变12.已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．分卷II二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分) 13.角α∈(－π，－π2)，化简√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝________.14.若k ∈{4,5,6,7}，且sin(kπ2－α)＝－sin α，cos(kπ2－α)＝cos α，则k 的值为________.15.使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时单调递增的区间是________. 16.关于f (x )＝4sin (2x +π3)(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写成y ＝4cos (2x −π6)；③y ＝f (x )图象关于(−π6,0)对称；④y ＝f (x )图象关于x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号为________.三、解答题(共6小题, 共70分)17.(1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角；(2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角. 18.证明：cosx1－sinx ＝1＋sinx cosx .19.已知cos (π6−α)＝√33，求cos (56π+α)－sin 2(α−π6)的值.20.利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合.(1)sin x ＞－12且cos x ＞12；(2)tan x ≥－1.21.证明：cos 20°cos(－70°)＋sin 200°sin 110°＋1+tan15°1+tan165°＝√3.22.如下图，f (x )＝A sin (2ωx +φ)(ω＞0，A ＞0，－π2＜φ＜0). (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－π，－π2]上的值域.答案1.【答案】C【解析】根据角度制与弧度制的转化，1 rad ＝(180π)°，则α＝－3 rad ＝－(540π)°≈－171.9°，分析可得，α是第三象限角.2.【答案】D【解析】可以取几组特殊角代入检验. 3.【答案】C【解析】√1－2sin4cos4＝√sin 24−2sin4cos4＋cos 24＝|sin 4－cos 4|. ∵5π4＜4＜3π2，∴由三角函数线易知cos 4＞sin 4. ∴√1－2sin4cos4＝cos 4－sin 4. 4.【答案】B【解析】∵x ∈[－2π，－32π]， ∴x2∈[－π，－34π]，∴sin x2＜0，cos x2＜0，sin x2－cos x2＞0， sin x2＋cos x 2＜0，则原式＝√sin 2x2+cos 2x2+2sin x2cos x2+√sin 2x2+cos 2x2−2sin x2cos x2＝√(sin x2+cos x2)2＋√(sin x2−cos x2)2＝|sin x2＋cos x2|＋|sin x2－cos x2|＝－sin x2－cos x2＋sin x2－cos x2＝－2cos x2. 5.【答案】D【解析】∵α为第二象限角，sin α＝35， ∴cos α＝－√1－sin 2α＝－45，∴tan α＝sinαcosα＝－34，则tan(π＋α)＝tan α＝－34. 6.【答案】A【解析】由tan (π＋α)＝2，得tan α＝2，则sin(α－π)＋cos(π－α)sin(π+α)−cos(π+α)＝－sinα－cosα－sinα－(－cosα)＝sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3.7.【答案】C【解析】∵α是第二象限角，∴α2为第一或第三象限角. 又∵cos α2＝－√1−cos 2(π−α2)＜0，∴α2是第三象限角.8.【答案】A【解析】经验证，选项B 、D 中所给函数都是偶函数，不符合；选项C 中所给的函数的周期为2π. 9.【答案】B【解析】因为f (x )＝2sin x cos π3＝sin x ，所以最大值为1. 10.【答案】D【解析】f (x )＝2sin (x −π3)，f (x )的单调递增区间为[2kπ−π6,2kπ+5π6](k ∈Z )，因为x ∈[－π，0]，所以令k ＝0得单调递增区间为[−π6,0]. 11.【答案】B【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变. 12.【答案】D【解析】当a ＝0时，f (x )＝1，C 符合；当0＜|a |＜1时， T ＞2π，且最小值为正数，A 符合；当|a |＞1时，T ＜2π，B 符合.排除A 、B 、C ，故选D. 13.【答案】－2tan α【解析】∵角α∈(－π，－π2)，则√1＋sinα1－sinα－√1－sinα1＋sinα＝1＋sinα|cosα|－1－sinα|cosα|＝－1＋sinαcosα－(－1－sinαcosα)＝－2sinαcosα＝－2tan α.14.【答案】4【解析】由k ∈{4,5,6,7}，sin(kπ2－α)＝－sin α，可得k ＝4，由cos(kπ2－α)＝cos α，可得k ＝4.15.【答案】(2kπ−π,2kπ−π2)，(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )【解析】由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时单调递增的区间为(2kπ−π,2kπ−π2)，(2kπ−π2,2kπ)k ∈Z ).16.【答案】②③【解析】对于①，由f (x )＝0，可得2x ＋π3＝k π(k ∈Z ). ∴x ＝k2π－π6，∴x 1－x 2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f (x )＝4sin (2x +π3)利用公式得 f (x )＝4cos [π2−(2x +π3)]＝4cos (2x −π6)，∴②对；对于③，f (x )＝4sin (2x +π3)的对称中心满足2x ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k2π－π6，k ∈Z ，∴(−π6,0)是函数y ＝f (x )的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y ＝f (x )的对称轴满足2x ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，∴x ＝π12＋kπ2，k ∈Z ，∴④错. 17.【答案】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角.(2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°. 18.【答案】cosx1－sinx ＝cosx(1+sinx)(1−sinx)(1+sinx)＝cosx(1+sinx)cos 2x ＝1＋sinx cosx.19.【答案】cos (56π+α)－sin 2(α−π6)＝cos [π−cos(π6−α)]－sin 2(π6−α)＝－cos (π6−α)－[1−cos 2(π6−α)]＝cos 2(π6−α)－cos (π6−α)－1＝(√33)2－√33－1＝－2+√33.20.【答案】(1)作出单位圆，如图①则同时满足sin x ＞－12且cos x ＞12的区域部分为阴影部分，此时在[0,2π]内满足条件的角x ∈[0，π3]，则满足sin x ＞－12且cos x ＞12的角x 的集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3}＝[2k π，2k π＋π3]，k ∈Z .(2)如图②所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于P 和P ′，则射线OP 、OP ′就是满足tan α＝－1的角α的终边， ∵在[0,2π)内，满足条件的∠POx ＝π－π4＝3π4，∠P ′Ox ＝－π4， ∴满足条件tan α＝－1的角α的集合是{x |x ＝－π4＋k π，k ∈Z }，则满足tan x ≥－1的角α的集合是{x |－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z }.21.【答案】左边＝cos 20°cos 70°＋(－sin 20°)sin 70°＋tan45°+tan15°1−tan45°tan15° ＝cos(20°＋70°)＋tan(45°＋15°)＝0＋√3＝√3＝右边． 22.【答案】(1)由题知A ＝2，T ＝43(2π3+π12)＝π，由周期公式得2ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ). 又∵f (x )的图象过(0，－1)， ∴2sin φ＝－1，又∵－π2＜φ＜0， ∴φ＝－π6. ∴f (x )＝2sin(2x －π6).(2)∵x ∈[－π，－π2]，∴2x －π6∈[−13π6,−7π6]，∴2sin(2x －5π6)∈[－1,2]，∴函数f (x )在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].。

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测(有答案解析)(1)

一、选择题1．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3y x π=+，则错误的是（）A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6π个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56π个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动3π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 2．若函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，且该函数图象关于点()0,0x 成中心对称，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则0x 等于（） A ．512πB ．4π C ．3π D ．6π 3．sin 3π=（）A ．12B ．12-C ．2D ． 4．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7255．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭6．在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，那么ABC 一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．形状无法确定7．函数()[sin()cos()]f x A x x ωθωθ=+++部分图象如图所示，当[,2]x ππ∈-时()f x 最小值为（）A ．1-B ．2-C ．2-D ．3-8．已知函数()()2sin 3cos ,0,2f x x x x π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是（）A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πC ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（）. A ．3-B ．12-C ．3 D ．1210．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<11．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭12．要得到cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（） A ．向左平移12π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位二、填空题13．若ππ2α<<，π02β<<，且5sin α=，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πcos 8αβ⎛⎫++= ⎪⎝⎭______.14．已知函数()sin 2cos 2f x x a x =+，对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭成立，则a =_______.15．若tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= ________． 16．在半径为2米的圆形弯道中，56π角所对应的弯道为_________． 17．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____； 18．若()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，则()()tan 06g x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为______．19．已知tan 2α=，则cos2=α__． 20．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 三、解答题21．某高档小区有一个池塘，其形状为直角ABC ，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．（1）若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供居民观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC +的长；（2）若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，建造DEF 连廊供居民观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，求DEF 连廊长的最小值．22．已知函数)(23sin cos cos 2f x x x x =+.（1）求)(f x 的最小正周期和值域.（2）求)(f x 的单调区间.23．已知函数()3cos 22sin cos 3f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）求证：当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-.24．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式；（2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 25．已知()()sin23cos2f x x x x R =∈（1）求56f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的取值范围． 26．已知2sin ()cos(2)tan()()sin()tan(3)f παπαπααπααπ-⋅-⋅-+=-+⋅-+.（1）化简()fα；（2）若()18f α=，且42ππα<<，求cos sin αα-的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π个单位长度，得到2sin 2+=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π个单位长度，得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26333y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，正确； C. 1C 向左平移3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+3y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，正确； D. 1C 向左平移6π个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，错误.故选：D2．A解析：A 【分析】由已知条件求得函数()f x 的最小正周期T ，可求得ω的值，再由已知可得()026x k k Z ππ+=∈，结合00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求得0x 的值. 【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期T 满足22T π=，T π∴=，22T πω∴==，()sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由于函数()f x 的图象关于点()0,0x 成中心对称，则()026x k k Z ππ+=∈，解得()0212k x k Z ππ=-∈，由于00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，解得0512x π=. 故选：A. 【点睛】结论点睛：利用正弦型函数的对称性求参数，可利用以下原则来进行：（1）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于直线0x x =对称()02x k k Z πωϕπ⇔+=+∈；（2）函数()()sin f x A x =+ωϕ关于点()0,0x 对称()0x k k Z ωϕπ⇔+=∈.3．C解析：C 【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果. 【详解】sin32π=. 故选：C.4．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.5．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式．【详解】解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象；将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．6．A解析：A 【分析】先用诱导公式变形，然后再由两角和的正弦公式展开，再由两角差的正弦公式化简后可得．【详解】∵在ABC 中，已知sin 2sin()cos C B C B =+，∴sin sin()2sin cos C A B A B =+=，∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，in 0()s A B -=，又,(0,)A B π∈，∴0A B -=，A B =，三角形为等腰三角形．故选：A ．7．D解析：D 【分析】首先结合图像求得()f x 的解析式，然后根据三角函数最值的求法，求得()f x 在区间[],2ππ-上的最小值.【详解】由已知()()sin 04f x x πωθω⎛⎫=⋅++> ⎪⎝⎭，由图象可知取A =，52433T πππ=-=，故最小正周期4T π=，所以212T πω==，所以()12sin 24f x x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由55152sin 2sin 0332464f πππππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，及图象单调性知，取564ππθπ++=，则46ππθ+=所以()12sin 26x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[],2x ππ∈-，17,2636x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， ()f x 最小值为()2sin 3f ππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故选：D8．A解析：A 【分析】根据三角恒等变换公式化简()f x ，结合x 的范围，可得选项. 【详解】因为()()2sin ,0,2f x x xx π=+∈⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以 ()()222sin sin cos +3cos f x x xx x x x +==222cos +12cos 2+22sin 2+26x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72+,666x πππ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以由2+662x πππ≤≤，解得06x π≤≤，所以()f x 的单调递增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A.9．C解析：C 【分析】直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.10．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 11．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===，又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．B解析：B 【分析】化简函数cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即可判断. 【详解】cos 2cos 2612y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 2cos 22y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴需将函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位.故选：B.二、填空题13．【分析】先根据题意求出和再根据两角和的余弦公式求解即可【详解】由可得因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考和角公式的应用解题时会判断所求角所在的象限属于基础题解析：25【分析】先根据题意求出cos α和3πsin 8β⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再根据两角和的余弦公式求解即可. 【详解】由ππ2α<<，sin α=，可得cos α==，因为π3π3π7π02888ββ<<⇒<+<，3π3cos 85β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以3π4sin 85β⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以3π3π3πcos cos cos sin sin 888αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭34555525⎛⎛⎫=-⨯--= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题主要考和角公式的应用，解题时会判断所求角所在的象限，属于基础题.14．1【分析】利用辅助角公式和为的形式：根据已知可得是f(x)的图象的对称轴进而求得利用的关系和诱导公式求得的值【详解】解：其中∵对成立∴是f(x)的图象的对称轴即∴故答案为：1【点睛】本题考查三角函数解析：1 【分析】利用辅助角公式和为()Asin x ωϕ+的形式：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，根据已知可得π8x =是f(x)的图象的对称轴，进而求得ϕ，利用,a ϕ的关系tan a ϕ=和诱导公式求得a 的值. 【详解】解：()sin 2cos2)f x x a x x ϕ=+=+，其中sin tan a ϕϕϕ===.∵对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立， ∴π8x =是f(x)的图象的对称轴，即π2,82k k Z πϕπ⨯+=+∈, ∴,4k k Z πϕπ=+∈，tan 1a ϕ==，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，涉及辅助角公式化简三角函数，利用辅助角化简是前提，理解,a ϕ的关系是基础，由对x R ∀∈，|()|8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，得出π8x =是f(x)的图象的对称轴是关键.15．1【分析】把求值式转化为关于的二次齐次分式然后转化为代入求值【详解】∵∴故答案为：1【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数关系在已知求值时对关于的齐次式一般转化为关于的式子再代入值解析：1 【分析】把求值式转化为关于sin ,cos αα的二次齐次分式．然后转化为tan α，代入求值．【详解】 ∵tan 4α=，∴222222cos 4sin cos 14tan 144cos 2sin 21sin cos tan 141ααααααααα+++⨯+====+++．故答案为：1．【点睛】方法点睛：本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数关系．在已知tan α求值时，对关于sin ,cos αα的齐次式，一般转化为关于tan α的式子．再代入tan α值计算．如一次齐次式：sin cos sin cos a b c d αααα++，二次齐次式：2222sin sin cos cos sin sin cos cos a b c d e f αααααααα++++，另外二次式22sin sin cos cos m n p αααα++也可化为二次齐次式．16．【分析】根据扇形的弧长公式即可求解【详解】由题意根据扇形的弧长公式可得所对应的弯道为故答案为：解析：53π【分析】根据扇形的弧长公式，即可求解. 【详解】由题意，根据扇形的弧长公式，可得所对应的弯道为55263ππ⨯=. 故答案为：53π. 17．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π【分析】根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数，所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π.故答案为：2π. 18．【分析】先由的最小正周期求出的值再由的最小正周期公式求的最小正周期【详解】的最小正周期为即则所以的最小正周期为故答案为：解析：8π 【分析】先由()f x 的最小正周期，求出ω的值，再由()tan y x ωϕ=+的最小正周期公式求()g x 的最小正周期. 【详解】()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，即24ππω=，则8ω=所以()tan 86g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为8T π=故答案为：8π 19．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为：解析：35【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由tan 2α=，又由22222222cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 1431tan 145ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：35． 20．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：1三、解答题21．（1）3百米；（2）7百米．【分析】（1）先在三角形PBC 中利用已知条件求出PC 的长度，再在三角形PAC 中利用余弦定理求出PA 的长度，即可求解；（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF ，则可求出CF 的长度，进而可得AF 的长度，再利用角的关系求出角ADF 的大小，然后在三角形ADF 中利用正弦定理化简出a 的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a 的最小值，进而可以求解．【详解】解：（1）因为P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，又1BC =，所以π6PCB ∠=，3PC =，又因为π2ACB ∠=，所以π3ACP ∠=，则在三角形PAC 中，由余弦定理可得：222π72cos33AP AC PC AC PC =+-⋅=，解得3AP =，所以连廊3AP PC +=百米；（2）设正三角形DEF 的边长为a ，()0πCEF αα∠=<<，则sin CF a α=，sin AF a α=，且EDB α∠=，所以2π3ADF α∠=-，在三角形ADF 中，由正弦定理可得：sin sin DF AF A ADF =∠∠，即πsin sin 63a α=- ⎪⎝⎭即1sin 23a α=- ⎪⎝⎭，化简可得2π2sin sin 3a αα⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以7a ===≥（其中θ为锐角，且tan 2θ=），百米，所以三角形DEF 连廊长的最小值为7百米．【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.22．（1）周期为π，值域为]2,2⎡-⎣；（2）单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得)(2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪ ⎭⎝，则可求出周期和值域；（2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得单调递增区间，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得单调递减区间. 【详解】（1）∵)(cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫==+⎪ ⎭⎝，所以，函数)(y f x =的周期为22T ππ==，值域为]2,2⎡-⎣. （2）解不等式)(222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得)(36k k k Z ππππ-≤+∈，所以，函数)(y f x =的单调递增区间为)(,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎦⎣，解不等式)(3222262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得)(263k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因比，函数)(y f x =的单调递减区间为)(2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎦⎣. 23．（1）最小正周期π，单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用两角差余弦公式、正弦倍角公式及辅助角公式可得()sin 23f x x，即可求最小正周期，整体代入求单调减区间；（2）由44x ππ-≤≤得52636x πππ-≤+≤，即可得()f x 的值域，进而判断()12f x ≥-是否成立. 【详解】解：（1）3()sin 2sin 22f x x x x =+-1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==. 令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴单调减区间为12127,k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由44x ππ-≤≤，知：52636x πππ-≤+≤，则有()f x 的值域为1[,1]2-，∴1sin 232x π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭，即当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()12f x ≥-得证. 【点睛】关键点点睛：（1）利用三角恒等变换：两角和差公式、辅助角公式化简三角函数式，并确定函数性质. （2）根据（1）的三角函数解析式结合已知定义域范围确定值域，判断函数不等式是否成立.24．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤，因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 25．（1）0；（2）[]1,2. 【分析】（1）本题可直接将56x π=代入函数()f x 中，通过计算即可得出结果；（2）本题首先可根据两角和的正弦公式将函数()f x 转化为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，最后根据正弦函数的性质即可得出结果. 【详解】（1）555sin 063322f πππ⎛⎫==-+=⎪⎝⎭，（2）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,336x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的取值范围为[]1,2.26．（1）sin cos αα⋅；（2）. 【分析】（1）由诱导公式运算即可得解；（2）由平方关系可得()23cos sin 4αα-=，再由cos sin αα<即可得解. 【详解】（1）由诱导公式()2sin cos tan ()sin cos sin tan f αααααααα⋅⋅==⋅-⋅-；（2）由()1sin cos 8f ααα==可知 ()222cos sin cos 2sin cos sin αααααα-=-+1312sin cos 1284αα=-=-⨯=，又∵42ππα<<，∴cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴cos sin 2αα-=-.。

人教A新版必修1《第5章三角函数》单元测试卷(二).docx

人教A新版必修1《第5章三角函数》单元测试卷(二)一、解答题(本大题共27小题，共324.0分)1.写出与;终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-2TT <<4TT的元素月写出来.2.已知一扇形的中心角为。

，所在圆的半径为R.(1)若a = 60°, R = 6cm,求该扇形的弧长；(2)若扇形的周长为12cm,问当Q多大时，该扇形有最大面积？并求出这个最大面积.3.已知tan© =-龙，求sin©,cos©的值.(2)sina • cosa. 5. (1)已知切Tia = 3,求sin (7r — Q )COS (2TT —。

)的值；(2)已知sina • cosa = 0 < a < -,求sizwr — cos 。

的值.6. 已知函数,3) =tan(x + S ).(1)求函数『3)的最小正周期与定义域;(2)设月是锐角，且/(幻= 2sin(/?+：),求乃的值.4. 已知tana = 3,计算：(1)4sina-2cosa 5cosa+3sina'7.已知函数y = 1 - 3cos2x, x E R,求出函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x的集合.8.已知函数y = 2sin(-x + -) (% e R)2 4列表:(1)利用“五点法”画出该函数在长度为一个周期上的简图;作图：(2)说明该函数的图象可由y = sinx^x E R)的图象经过怎样的变换得到.9.已知函数f(x) = sin(2x€ ［。

,丸］.(1)用“五点法"在所给的直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(2)写出y = f(x)的图象是由y = sinx的图象经过怎样的变换得到的.10.振动量y = 4sin(o)x +(p)(o> > 0)的初相和频率分别是-n■和求该振动量的解析式.11. (10分)已知sina = |, cos/? =-j, a E (：,"), /?是第三象限角，求cos(a + Q), sin(a-幻的值.12. 已知tan(a + Q) = 5, tan(a —幻=3,求tan2a f tan2/3, tan(2a + j)的值.sin(27r-a)tan(a+7r)-tan(-a)cos (7r-a)tan(37r-a)/c 、、［ A ,A - 25TT . 25TT , / 25TT 、 . . 5TT(2)计算cos ------ F cos ------ F tan( ------- ) + sin —. 6 3 4 6(1)化简， 13.2 ,14.B知sin。

三角函数图像变换

三角函数图像变换学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．5sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2．把()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向左平移6π个单位，再把所有的点的横坐标变为原来的2倍所得到的函数y ＝g (x )的解析式为（） A ．g (x )＝sin x B ．g (x )＝cos xC ．()sin 3g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3．把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图像向左平移1个单位长度，最后把所得图像向下平移1个单位长度，得到的图像是（）A ．B ．C ．D ．4．将函数()f x 图象上所有点的横坐标都伸长到原来的2倍，得到函数()cos2g x x =的图象，则()f x 的解析式是（） A ．()cos f x x = B ．()cos 2f x x = C ．()cos4f x x =D ．()cos8f x x =5．把函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，再把所得曲线向右平移π12个单位长度，得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()f x =（）A ．πcos 43y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．πcos 46y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．πcos 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．为了得到函数2sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，R x ∈的图象，可将函数2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，R x ∈的图象上所有的点（） A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度 C ．向左平行移动6π个单位长度 D ．向右平行移动6π个单位长度7．为了得到函数()()5sin 212f x x π=-的图象，可以将函数()sin 2g x x =图象上所有的点（） A ．向右平移512π个单位长度 B ．向左平移512π个单位长度 C ．向右平移524π个单位长度 D ．向左平移524π个单位长度8．要得到函数3sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，需（）A ．将函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B ．将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）C ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位． D ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位9．为了得到函数()πcos 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos g x x =的图象（）A ．所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π5个单位长度B ．所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π5个单位长度C ．向左平移π5个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变D ．向左平移π5个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变10．要得到cos(2)3y x π=-的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位11．要得到函数y x =的图象，只需将函数π)4y x =+的图象上所有的点的（）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平行移动π8个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π4个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π4个单位长度12．已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，为了得到函数()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象只需将()y f x =的图象（）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移2π个单位D ．向右平移2π个单位13．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 24y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象上所有的点（） A ．向左平移712π个单位长度 B ．向右平移712π个单位长度C ．向左平移724π个单位长度 D ．向右平移724π个单位长度14．把函数()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移(0)a a >个单位长度，得到函数cos y x =的图象，则a 可以是（）A ．8πB ．4π C ．2π D ．34π 15．函数()sin cos f x x x =+的图象可以由函数()sin cos g x x x =-的图象（）A ．向右平移π4单位得到B ．向左平移π4单位得到C ．向右平移π2单位得到D ．向左平移π2单位得到16．为了得到函数4sin cos y x x =，R x ∈的图象，只要把函数2cos 2y x x =+，R x ∈图象上所有的点（）A ．向左平移12π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度17．要得到函数sin cos y x x =+的图象，只需将函数y x =的图象上所有的点（） A ．先向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） B ．先向左平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变） C ．先向右平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）二、填空题18．把函数()sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像先向右平移4π个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短为原来的1（纵坐标不变），所得到的图像对应的函数解析式记为()g x ，则8g π⎛⎫= ⎪⎝⎭___________.19．函数()()cos 20y x ϕϕπ=+<<的图像向右平移2π个单位长度后，与函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像重合，则ϕ=________．参考答案：1．C 【分析】根据函数图象左右平移的法则即可得到平移后的图象对应的函数的解析式.【详解】将函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位长度，即sin 2sin 2463y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C2．B 【分析】根据三角函数的图象变换即可求解.【详解】解：把()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭的图象向左平移6π个单位，可得函数sin 2cos 266y x x ππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，然后再把所有的点的横坐标变为原来的2倍，可得函数y ＝g (x )的解析式为g (x )＝cos x ，故选：B.3．A 【分析】根据三角函数图像平移变换、伸缩变换得到cos(1)y x =+的图像，结合选项判断可得答案.【详解】把cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到cos 1y x =+的图像，将其向左平移1个单位长度，得到cos(1)1y x =++的图像，再将其向下平移1个单位长度，得到cos(1)y x =+的图像，其最小正周期为2π，可排除CD ；由ππ1cos 2sin 2022⎛⎫⎛⎫+=+=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，可排除B.故选：A ．4．C 【分析】通过()g x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍得到()f x 的解析式.【详解】将函数()g x 图象上所有点的横坐标都缩短到原来的12倍，可得到函数()f x 的图象，因为()cos2g x x =，所以()cos4f x x =．故选：C ．5．D 【分析】由图象平移可得πsin 2[2()]126f x x π⎛=+-⎫ ⎪⎝⎭，应用换元法、诱导公式化简求()f x 解析式.【详解】由题设，πsin 2[2()]126f x x π⎛=+-⎫ ⎪⎝⎭，令2()12x t π-=，则212t x π=+，所以πsin ()3t t f ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，即πsin cos[()]cos()co ()3s()2366f x x x x x ππππ⎛⎫+=-+=-==- ⎪⎝⎭.故选：D6．B 【分析】根据三角函数的平移变换规则判断即可；【详解】解：对于A ：将2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平行移动3π个单位长度得到2sin 2cos 36y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ：将2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平行移动3π个单位长度得到2sin 2sin 366y x x πππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ：将2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平行移动6π个单位长度得到2sin 2sin 663y x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ：将2sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平行移动6π个单位长度得到2sin 2sin 66y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故D 错误；故选：B7．C 【分析】由条件根据函数 y ＝A sin(ωx +φ)的图象变换规律，可得结论．【详解】因为()()()55sin 2sin 21224f x x x ππ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦，所以应将函数()sin 2g x x =的图象上所有的点向右平移524π个单位长度. 故选：C.8．D 【分析】根据三角函数图象平移的规律可得答案.【详解】将函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到13sin 25π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图象，故A 错误；将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），得到3sin 210π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 的图象，故B 错误；将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位得到23sin 25π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x 图象，故C 错误；D. 将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位得到3sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D正确. 故选：D.9．D 【分析】先进行周期变换，应将函数()cos g x x =的图象所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π10个单位长度，可判断A,B; 先进行相位变换，应将函数()cos g x x =的图象向左平移π5个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的12倍，由此判断C,D.【详解】将函数()cos g x x =的图象所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π10个单位长度，得到函数()πcos 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,故A,B 错误；将函数()cos g x x =的图象向左平移π5个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可以得到函数()πcos 25f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故C 错误，D 正确，故选：D10．A 【分析】化简函数cos 2sin 2312y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可判断.【详解】cos 2sin 2sin 2sin 2332612y x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴需将函数sin 2y x =的图象向左平移12π个单位. 故选：A.11．C 【分析】先从伸缩变换排除AB 选项，再从左右平移排除D 选项，C 选项满足题意.【详解】π2y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将π)4y x =+横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），得到π)4y x =+；而将π)4y x +横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到π)4y x =+，AB 选项排除；C 选项：再向左平移π4个单位长度，得到π)2y x +符合要求；D 选项：再向右平移π4个单位长度，得到y x =，不满足要求，故D 选项错误.故选：C12．A 【分析】利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.【详解】解：因为πsin 2cos 2323x x ππ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以πππsin 2sin 2323x x ⎛⎫⎛⎫+→++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需将f (x )的图象向左平移π4个单位，故选：A.13．D 【分析】先得到sin 2cos 244ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ，再利用平移变换求解.【详解】解：因为sin 2sin 2cos 24424y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将其图象上所有的点向右平移724π个单位长度，得到函数7cos 2cos 22443πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭y x x 的图象.A ，B ，C 都不满足.故选：D14．D 【分析】根据三角函数的图象变换得到sin 4y x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，得到sin cos 4x a x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，将该图象向左平移(0)a a >个单位长度，得到sin 4y x a π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，所以sin cos 4x a x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，对于A 中，当8a π=时，sin sin 8cos 48x x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B 中，当4a π=时，sin sin cos 44x x x ππ⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C 中，当π2a 时，sin sin 2cos 44x x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D 中，当34a π=时，sin sin 34cos 42x x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确．故选：D ．15．D 【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数图像变换的性质进行求解即可.【详解】因为()sin cos )4g x x x x π=--，()sin cos ))442f x x x x x πππ=++=-+，所以函数()sin cos g x x x =-向左平移2π单位得到函数()sin cos f x x x =+的图像，故选：D16．B 【分析】先将两函数化简变形，然后利用三角函数图象变换规律判断求解【详解】因为4sin cos 2sin 2y x x x ==，2cos 22sin 22sin 2612y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以为了得到函数4sin cos y x x =，R x ∈的图象，只要把函数2cos 2y x x =+，R x ∈图象上所有的点向右平移12π个单位长度即可，故选：B17．A 【分析】利用两角和的余弦公式化简为4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x ，再由函数()cos ωϕ=+y A x 的图象变换规律得出结论．【详解】sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，将函数y x =的图象上所有的点向右平移8π个单位长度得到284y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到4π⎛⎫=- ⎪⎝⎭y x ，故选：A .18．1-【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的图像变换性质，运用代入法进行求解即可.【详解】()sin cos 2f x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由题意可知：π()cos(2)4g x x =--，所以πππ()cos(2)1884g =-⨯-=-，故答案为：1-19．6π【解析】根据三角函数图象变换法则可得sin 22y x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,由于图像重合,可得()223k k Z ππϕπ-+=-+∈,进而求解即可【详解】函数()cos 2y x ϕ=+的图像向右平移2π个单位长度后所得图像的函数是()()cos 2cos 2cos 2sin 222y x x x x ππϕπϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,答案第6页，共6页则()223k k Z ππϕπ-+=-+∈,故()26k k Z πϕπ=+∈,因为0ϕπ<<,所以当0k =时,6π=ϕ, 故答案为：6π【点睛】本题考查三角函数的图像变换,考查诱导公式的应用,考查运算能力。

(常考题)人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为（）A ．2π B ．πC ．2πD ．4π2．将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()g x 的图像，在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（） A ．24x π=-B ．4πx =-C ．524x π=-D ．12x π=3．已知3sin 5α=-，则cos2=α（） A ．15-B ．15C ．725-D ．7254．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-5．已知函数()22sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（） A ．()f x 的最大值为1 B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点 6．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（）.A ．B ．12-C D ．127．cos45sin15sin 45cos15︒︒-︒︒=（）.A ．1B ．12-C D ．128．已知函数()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调递增区间为(),26212k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZC ．()f x 的图象关于直线6x π=对称D ．()f x 的图象关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 9．若4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，则1tan21tan 2θθ-=+（） A ．12B ．12-C ．35D ．-210．下面函数中最小正周期为π的是（）．A ．cos y x =B ．π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．tan2xy = D ．22cos sin 2y x x =+11．已知函数()()()sin 0,0f x A x =+>-π<<ωϕωϕ的部分图象如图所示.则()f x 的解析式为（）．A ．()2sin 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()32sin 34f x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭12．函数cos 2y x =的单调减区间是（） A ．ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B ．π3π2π,2π,Z 22k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．[]2π,π2π,Z k k k +∈D ．πππ,π,Z 44k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 二、填空题13．方程cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,π上的解的个数为______.14．已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 15．已知函数()sin f x x =，若存在1x 、2x 、⋅⋅⋅、m x 满足1206m x x x π≤≤<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()()12231120,N m m f x f x f x f x f x f x m m *--+-+⋅⋅⋅+-=≥∈，则m的最小值为______.16．若()5sin 4513α︒+=，则()sin 225α︒+=________． 17．已知函数()log (21)3a f x x =-+的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，始边与x 轴的正半轴重合，则tan3α的值为__________. 18．已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2sin sin 2αα+=______. 19．若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是___________.20．某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论：（1）函数()f x 在[]π,0-上单调递增，在[]0,π上单调递减；（2）存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；（3）点π,02⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心；（4）函数()y f x =图像关于直线πx =对称；其中正确的是______（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案三、解答题21．已知函数()2sin cos ,3f x x x x R π⎛⎫⎪⎝=-∈⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值与最小值，并指出相应的x 值. 22．已知函数212()2cos sin 1f x x x ωω=+-．（Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，21ω=； ②11ω=，22ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[,]26ππ-上的最小值，并求函数()f x 的最小正周期．23．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 24．已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,23⎡⎣，求m 的最大值.25．在①1cos 3B =，②2b =，ABC 的周长为8，③3c =，ABC 的外接圆半径为2，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，2sin b a C =，？求sin A .26．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π．（1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间；（2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的周期公式2T ωπ=即可求解.【详解】22T ππ==，故函数()2sin(2)33f x x π=-+的最小正周期为π，故选：B2．A解析：A 【分析】利用三角函数的伸缩变换和平移变换，得到()22sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，然后令24,32x k k Z πππ+=+∈求解. 【详解】将函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再将所得图像向左平移12π个单位得到函数()22sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令24,32x k k Z πππ+=+∈，解得,424k x k Z ππ=-∈，所以在()g x 的图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为24x π=-，故选：A3．D解析：D 【分析】由题中条件，根据二倍角的余弦公式，可直接得出结果. 【详解】因为3sin 5α=-，所以297cos 212sin 122525αα=-=-⨯=. 故选：D.4．A解析：A 【分析】由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-．故选：A ．5．B解析：B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错.故选：B 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T πω=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．6．C解析：C 【分析】直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.解析：B 【分析】根据两角差的正弦公式，准确运算，即可求解. 【详解】由()1cos 45sin15sin 45cos15sin 1545sin 302︒︒-︒︒=︒-︒=-︒=-. 故选：B.8．B解析：B 【分析】对A ，根据解析式可直接求出最小正周期；对B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；对C ，计算6f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断；对D ，计算24f π⎛⎫⎪⎝⎭可判断.【详解】对于A ，()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为242T ππ==，故A 错误；对于B ，令242,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,26212k k x k Z ππππ-≤≤+∈，∴()f x 的单调递增区间为(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对于C ，2sin 412666f πππ⎛⎫⨯+=≠± ⎪⎝=⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象不关于直线6x π=对称，故C 错误；对于D ，2sin 4026244f πππ⎛⎫⨯⎛⎫= +=≠ ⎪⎭⎭⎪⎝⎝，∴()f x 的图象不关于点,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称. 故选B. 【点睛】方法点睛：判断正弦型函数()()=sin f x A x ωϕ+对称轴或对称中心的方法：（1）利用正弦函数的性质求出对称轴或对称中心，令()2x k k Z πωϕπ+=+∈可求得对称轴，令()x k k Z ωϕπ+=∈可求得对称中心；（2）代入求值判断，若()()00=sin f x A x A ωϕ+=±，则0x x =是对称轴；若()()00=sin 0f x A x ωϕ+=，则()0,0x 是对称中心.解析：D 【分析】根据4cos 5θ=-，θ是第三象限的角，先利用半角公式求得tan 2θ，然后代入1tan21tan 2θθ-+求解. 【详解】因为θ为第三象限角，所以2θ可能为二､四象限角，所以tan 32θ===-，所以1tan1322131tan2θθ-+==--+. 故选：D.10．D解析：D 【分析】根据三角函数的周期公式结合图象对选项进行逐一判断，可得答案. 【详解】()cos cos x x -=，cos cos y x x ∴==，周期为2π，故A 不符合题意；π3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为2π，故B 不符合题意；画出函数tan2x y =的图象，易得函数tan 2xy =的周期为2π，故C 不符合题意；2π2cos sin 2cos 21sin 2214x x x x x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，周期为π，故D 符合题意．故选：D11．B解析：B 【分析】根据函数图象得到3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭ ，进而求得2,2T Tππω===，然后由函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求解. 【详解】由函数图象知：3532,41234T A πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，所以2,2T Tππω===，又函数图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以 522,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得 2,3k k Z πϕπ=-∈，又因为 0πϕ-<<，所以3πϕ=-，所以()f x 的解析式为：()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据余弦函数的性质，令222,k x k k Z πππ≤≤+∈求解. 【详解】令222,k x k k Z πππ≤≤+∈，解得2,2k x k k Z πππ≤≤+∈，所以函数cos 2y x =的单调减区间是ππ,π,Z 2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故选：A二、填空题13．3【分析】先求出解的一般形式再根据范围可求解的个数【详解】因为故故令故故答案为：3解析：3 【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数. 【详解】因为cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3,62x k k Z πππ+=+∈，故,39k x k Z ππ=+∈，令039k πππ≤+≤，故0,1,2k =，故答案为：3.14．【分析】由余弦函数的定义可得解出即可【详解】由余弦函数的定义可得解得（舍去）或（舍去）或故答案为：解析：1-【分析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解出即可. 【详解】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-，1x ∴=-.故答案为：1-.15．【分析】本题首先可根据正弦函数的性质得出然后根据当最大时最小即可得出结果【详解】因为所以因此要使成立的最小须取即故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质能否结合正弦函数性质得出是解决本题解析：8【分析】本题首先可根据正弦函数的性质得出()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，然后根据当()()m n f x f x -最大时m 最小即可得出结果. 【详解】因为()sin f x x =，所以()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=，因此要使()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=成立的m 最小，须取10x =、22x π=、332x π=、452x π=、572x π=、692x π=、7112x π=、86x π=，即8m =，故答案为：8. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦函数的性质，能否结合正弦函数性质得出()()max min ()()2m n f x f x f x f x -≤-=是解决本题的关键，考查转化与化归思想，考查学生分析问题和讨论问题的能力，是中档题.16．【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为故答案为：解析：513-【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为()5sin 4513α︒+=，()()()5sin 225sin 45180sin 4513ααα︒+=︒++︒=-︒+=-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：513-17．【分析】先求出定点为再利用正切函数的两角和公式求解即可【详解】函数的图象过定点可得定点为又由角的终边过点且始边与轴的正半轴重合故答案为：解析：913【分析】先求出定点P 为(1,3)，再利用正切函数的两角和公式求解即可【详解】函数()log (21)3a f x x =-+的图象过定点P ，可得定点P 为(1,3)，又由角α的终边过点P ，且始边与x 轴的正半轴重合，3tan 31α，22tan 3tan 21tan 4ααα∴==--，tan 2tan 9tan 31tan 2tan 13ααααα+==-故答案为：91318．1【分析】首先根据已知条件求得再结合齐次方程求得【详解】由已知得解得所以故答案为：1解析：1 【分析】首先根据已知条件求得tan α，再结合齐次方程求得2sin sin 2αα+. 【详解】由已知得1tan 31tan αα+=-，解得1tan 2α=.所以22222211sin 2sin cos tan 2tan 4sin sin 211sin cos tan 114αααααααααα++++====+++. 故答案为：119．【分析】利用对称关系得代入即可求解值再结合辅助角公式化简可求最值【详解】由对称轴关系得令得求得从而当时取到最大值故答案为：解析：【分析】利用对称关系，得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，代入即可求解a 值，再结合辅助角公式化简可求()f x 最值【详解】由对称轴关系得66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令6x π=得()03f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求得a =从而()3sin 2226f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当22,62x k k Z πππ+=+∈时，()f x 取到最大值故答案为：20．（2）【分析】根据奇偶性奇函数在关于原点对称区间单调性相同确定（1）错误；取M=2可判定（2）正确；可判断（3）不正确；取特殊值判定（3）错误【详解】定义域为R 所以是奇函数在关于原点对称的区间上单调解析：（2）【分析】根据奇偶性，奇函数在关于原点对称区间单调性相同，确定（1）错误；取M=2，可判定（2）正确；202f x f x ππ++-⎛⎫⎛⎫≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断（3）不正确；取2233f ππ⎛⎫⎪=- ⎝⎭，4433f ππ⎛⎫⎪=-⎝⎭特殊值判定（3）错误. 【详解】()2cos f x x x =定义域为R ，()()2cos f x x x f x -=-=-，所以()2cos f x x x =是奇函数，在关于原点对称的区间上单调性相同，所以（1）错误；cos 1x ≤，令2M =，()f x M x ≤成立，所以（2）正确；()()2sin 2sin 4sin 022x x x x x x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++-+-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点π,02⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()y f x =图像的一个对称中心，所以（3）不正确； 2422cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭，4844cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭，函数()y f x =图像不关于直线πx =对称，所以（4）不正确. 故答案为：（2）【点睛】此题考查与三角函数性质相关命题的判定，需要熟练掌握奇偶性、单调性、对称性在解题中的处理方法.三、解答题21．（1）π；（2）当(),12x f x π=-取得最大值为22+-；当4x π=时，()f x 取得最小值为12. 【分析】（1）由两角差的正弦公式、二倍角公式化函数为一个角的一个三角函数形式（一次的），然后由正弦函数性质求得最小正周期；（2）求出23x π-的范围，利用正弦函数性质可得最值．【详解】（1）根据题意得：()2sin cos 2sin cos cos sin cos333f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos x x x=1cos 211sin 2sin 22sin 2222232x x x x x π+⎛⎫==-=--⎪⎝⎭所以最小正周期22T ππ== （2）因为,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,36x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦当232x ππ-=-时，即12x π=-()min f x = 当236x ππ-=时，即4x π=()min 12f x ==所以当(),12x f x π=-取得最大值为当4x π=时，()f x ．【点睛】方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 22．（Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为2π，在[,]26ππ-取得最小值2-；选择条件②，最小正周期为π，在[,]26ππ-取得最小值．【分析】(I)将0x =代入求值即可；(II)①121,1ωω==，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解②用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=，再由[,]26x ππ∈-可得372[,]4412x πππ+∈-，结合正弦函数图象求解最值；【详解】解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 011f =+-=．（Ⅱ）选择条件①．()f x 的一个周期为2π．2()2cos sin 1f x x x =+-22(1sin )sin 1x x =-+-2192(sin )48x =--+．因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-．所以当sin =1x -时，即π=2x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值2-．选择条件②．()f x 的一个周期为π．2()2cos sin 21f x x x =+-sin2+cos2x x =22)x x =+2)4x π=+（．因为[,]26x ππ∈-，所以372+[,]4412x πππ∈-．当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x在[,]26ππ-取得最小值．【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A xk 或cos()A xk 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.（3）换元转化为二次函数研究最值.23．（1）观光通道长(2km ；（2）当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【分析】（1）由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD 的长，从而可得结果；（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】（1）因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以3CD =，同理6223BC AD -==-=所以观光通道长2362l km =++-（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5，即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围 24．（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π. 【分析】（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 233g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出 3sin 23π⎡⎤⎛⎫-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值. 【详解】（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233ππk πx k π+≤≤+，()k Z ∈. 所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14cos sin 2x x x ⎫=+⎪⎝⎭22cos sin x x x =+cos2)sin 2x x =-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤，所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤. 解得：55126m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤. 25．答案见解析. 【分析】利用正弦定理，作边化角，然后利用正弦的两角和与差的公式，再利用三角函数的诱导公式即可求解【详解】若选条件①，由正弦定理2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =，又()B A C π=-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=，sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0A π<<，0C π<<，所以A C ππ-<-<，0A C -=，A C =，则()22cos cos()cos(2)cos 212sin 2sin 1B A C A A A A ππ=--=-=-=--=-，又1cos 3B =，所以212sin 13A -=，22sin 3A =，sin 3A =. 若选条件②，由正弦定理，2cos b a C =可化为sin 2sin cos B A C =，又()B A C π=-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=，sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0A π<<，0C π<<，所以A C ππ-<-<，0A C -=，A C =，所以a c =，因为ABC 的周长为8，2b =，所以3a c ==，由余弦定理可得2223231cos 2233A +-==⨯⨯，所以sin A =. 若选条件③，由正弦定理，2cos b a C =可化为sin 2sin cosB AC =，又()B A C π=-+，所以sin()2sin cos A C A C +=，sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C +=，sin cos cos sin 0A C A C -=，sin()0A C -=，因为0A π<<，0C π<<，所以A C ππ-<-<，0A C -=，A C =，所以a c =，又3c =，所以3a =，因为ABC 的外接圆半径为2，所以34sin A =，所以3sin 4A =. 【点睛】本题考查正弦定理、正弦的两角和与差的公式以及三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题 26．（1）0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可；（2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值. 【详解】（1）1()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==．又0>ω，所以1ω=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤．当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等.。

三角函数平移题型学霸总结一(含答案)

三角函数平移题型学霸总结一（含答案）阳光老师：祝你学业有成一、选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.要得到函数y=3sin(2x+π4)的图象，只需将y=3sin2x的图象()A. 向左平移π8个单位 B. 向右平移π8个单位C. 向左平移π4个单位 D. 向右平移π4个单位【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．由y=3sin(2x+π4)=3sin[2(x+π8)]，根据左加右减的平移原理，即可得到结果．【解答】解：y=3sin(2x+π4)=3sin[2(x+π8)]，因此将函数y=3sin2x的图象向左平移π8个单位，即可得到函数y=3sin(2x+π4)的图象．故选A.2.将函数y=sin(2x+π4)(x∈R)的图象向右平移π8个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为()A. y=cosxB. y=cos4xC. y=sinxD. y=sin4x 【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数图象的变换，是基础题．根据图象的伸缩和平移变换规则求解即可．【解答】sin [2(x −π8)+π4]=sin2x ，再将y =sin2x 的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为y =sin4x ．故选D ．3. 为得到函数y =cos (x +π3)的图象，只需将函数y =sinx 的图象( )A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移5π6个单位长度D. 向右平移5π6个单位长度【答案】C 【解析】【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质、函数图象的变换的相关知识，试题难度较易【解答】解：故选C ．4. 为了得到函数y =sin (2x +π3)的图象，只需要把函数y =sinx 的图象上( )A. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π3个单位长度 B. 各点的横坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位长度 C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π3个单位长度 D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位长度【答案】B 【解析】【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：y =sinx 图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到y =sin2x 的图象，再向左平移π6个单位长度得到y =sin [2(x +π6)]=sin (2x +π3)的图象，故选B．5.将正弦曲线向右平移π4个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到的函数图象是()A. y=2sin(x+π4) B. y=2sin(x−π4)C. y=12sin(x+π4) D. y=12sin(x−π4)【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：y=sinx→y=sin(x−π4)→y=2sin(x−π4)．故选B．6.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cos(x−π2)，则f(x)的图象()A. 与g(x)的图象相同B. 与g(x)的图象关于y轴对称C. 向左平移π2个单位长度，得g(x)的图象D. 向右平移π2个单位长度，得g(x)的图象【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、诱导公式、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：由诱导公式，得f(x)=sin(x+π2)=cosx，所以f(x)=sin(x+π2)=cosx的图象向右平移π2个单位长度，得到g(x)的图象．故选D．7.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω,φ的值分别是()A. 2,−π3B. 2,−π6C. 4,−π6D. 4,π3【答案】A【解析】【分析】本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于中等题．【解答】解：由题意可知T=2×(11π12−5π12)=π，∴ω=2，x=5π12时，函数取得最大值2，可得：2sin(2×5π12+φ)=2，，即，又∵−π2<φ<π2，所以当k=0时，φ=−π3.故选A.8.函数的部分图象如图所示，如果x1,x2∈(π6,2π3)，且f(x1)=f(x2)，则f(x1+x2)=()A. −√32B. −12C. 12D. √32【答案】A【解析】【分析】本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，属于中档题．通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到解：由函数的部分图象，可得12⋅2πω=2π3−π6=π2，∴ω=2，再根据五点法作图可得：2×π6+φ=0，，因此f(x)=sin(2x−π3)，在x1,x2∈(π6,2π3)上，f(x1)=f(x2)，则12(x1+x2)=π6+2π32，∴x1+x2=5π6，∴f(x1+x2)=sin(2×5π6−π3)=sin4π3．故选A．9.用“五点法”作函数y=cos (4x− π 6)在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是()A. (5 π 12,0) B. (−5π12,1) C. D. (−5 π 12,0)【答案】A 【解析】【分析】本题考查“五点法”作图，属于基础题.令4x− π 6=3π 2即可求解．【解答】解：令4x−π6=3π2，得x=5π12，∴该点坐标为(5π 12,0)．故选A．10.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2014)=()A. √2B. 2+2√2C. √2+2D. √2−2【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的图象与性质、由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式和特殊角的三角函数值等知识，属于中档题．根据函数的最值和周期公式，算出A=2且，再由函数取最大值时相应x的值列式算出φ=0，从而得到函数解析式为，由此利用函数的周期为8和特殊角的三角函数值加以计算，即可得到f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2014)的值．【解答】解：根据题意，可得函数的周期T=8，最大值为2，∴A=2，，解得，可得函数解析式为，∵当x=2时，函数有最大值为2，．取k=1得φ=0，得函数解析式为，因此，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)∵函数的周期T=8，可得f(1)+f(2)+⋯+f(8)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2014)=251×[f(1)+f(2)+⋯+f(8)]+[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]=√2．故选A．A. (−π8,0) B. (π8,0) C. (0,0) D. (−π4,0)【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角函数对称中心的求解，根据正弦函数的图象和性质是解决本题的关键．根据正弦函数的性质即可得到结论．【解答】解：由，解得：．即函数的对称中心为，当k=0，得图象的一个对称中心为．故选A．二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）12.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，将其图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为奇函数，则φ的值可以为()A. π12B. π6C. π3D. 2π3【答案】BD【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：将函数f(x)图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后，得到的图象对应的解析式为g(x)=sin[2(x−φ)+π3]=sin(2x−2φ+π3)．由g(x)为奇函数可得−2φ+π3=kπ(k∈Z)，故φ=π6−kπ2(k∈Z)，又φ>0，结合选项，所以φ的值可以为π6，23π.故应选BD．13.有下列四种变换方式，其中能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin(2x+π4)的图A. 向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)B. 横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度C. 横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度D. 向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)【答案】AB【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：A.向左平移π4个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，则正弦函数y=sinx的图象变为y=sin (2x+π4)的图象；B.横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π8个单位长度，正弦函数y=sinx的图象变为y=sin 2(x+π8)=sin (2x+π4)的图象；C.横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π4个单位长度，正弦函数y=sinx的图象变为y=sin 2(x+π4)=sin (2x+π2)的图象；D.向左平移π8个单位长度，再将横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，正弦函数y=sinx的图象变为y=sin (2x+π8)的图象，因此A和B符合题意，故选AB．14.(多选)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数，其图象关于点M(3π4,0)对称，且在区间[0,π2]上是单调函数，则ω的值可以是()A. 23B. 43C. 2D. 83【答案】AC【解析】根据正弦函数的图象与性质，建立条件关系即可求出ω的值．本题给出函数f(x)=sin(ωx+ϕ)满足的条件，求参数的值，着重考查了三角函数的图象与性质、函数的奇偶性和图象的对称性等知识，属于中档题．由f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)，即sin(−ωx+φ)=sin(ωx+φ)，所以−cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且ω>0，所以得cosφ=0依题设0<φ<π，所以解得φ=π2，由f(x)的图象关于点M对称，得f(3π4−x)=−f(3π4+x)，取x=0，得f(3π4)=sin(3ωπ4+π2)=cos3ωπ4，∴f(3π4)=sin(3ωπ4+π2)=cos3ωπ4，∴cos3ωπ4=0，又ω>0，得3ωπ4=π2+kπ，k=1，2，3，∴ω=23(2k+1)，k=0，1，2，当k=0时，ω=23，f(x)=sin(x+π2)在[0,π2]上是减函数，满足题意;当k=1时，ω=2，f(x)=sin(2x+π2)在[0,π2]上是减函数;当k=2时，ω=103，f(x)=(103x+π2)在[0,π2]上不是单调函数;所以，综合得ω=23或2．故选：AC．15.将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象的函数()A. 在区间[π12,7π12]上单调递减 B. 在区间[π12,7π12]上单调递增C. 在区间[−π6,π3]上单调递减 D. 在区间[−π6,π3]上单调递增【解析】【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，根据左加右减上加下减的原则，即可直接求出将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得函数的解析式：y=3sin[2(x−π2)+π3]=3sin(2x−2π3).令2kπ−π2⩽2x−2π3⩽2kπ+π2，k∈Z，可得：kπ+π12⩽x⩽kπ+7π12，k∈Z，可得：当k=0时，对应的函数y=3sin(2x−2π3)的单调递增区间为[π12,7π12]．故选：B．三、填空题（本大题共11小题，共55.0分）16.函数y=12sin(2x−π4)的图象可以看作把函数y=12sin2x的图象向平移个单位长度得到的．【答案】右；π8【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：∵y=12sin(2x−π4)=12sin[2(x−π8)]，∴由y=12sin2x的图象向右平移π8个单位长度便得到y=12sin(2x−π4)的图象．17.已知函数y=f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移π2个单位长度，这样得到的曲线和y=【答案】f(x)=−12cos2x 【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质、诱导公式的相关知识，试题难度较易【解答】解：将y =2sinx 的图象向右平移π2个单位长度可得y =2sin (x −π2)的图象，然后将所得图象上各点横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，可得y =2sin (2x −π2)的图象，再将所得图象上各点纵坐标缩小为原来的14，横坐标不变，可得y =12sin (2x −π2)的图象，即f(x)=−12cos2x 的图象．所以f(x)的解析式为f(x)=−12cos2x ．18. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在闭区间[−π,0]上的图象如图所示，则ω=________．【答案】3 【解析】【分析】本题考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：根据图象可知T =23π． ∵y =Asin(ωx +φ)(ω>0)，T =2πω，∴2πω=23π，∴ω=3．19. 如图所示是函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象，则ω=________，φ=________．【答案】2；π6 【解析】【分析】本题考查函数y =Asin (ωx +φ)的图形和性质，把x =0，x =11π12代入函数解析式，然后结合条件进行求解即可．【解答】解：当x =0时，sin(ωx +φ)=12，则φ=π6或φ=56π；当x =11π12时，sin(ωx +φ)=0，则11π12ω+φ=2π.当φ=π6时，1112πω+π6=kπ，得ω=−211+1211k ，k ∈Z .当φ=56π时，1112πω+5π6=kπ，得ω=−1011+1211k ，k ∈Z .因为34T <1112π<T ，所以34⋅2πω<1112π<2πω，所以1811<ω<2411.所以φ=π6，ω=220. 把函数y =2sin (x +2π3)的图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，则m的最小正值是________．【答案】5π6 【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：把y =2sin (x +2π3)的图象向左平移m 个单位，则y =2sin (x +m +2π3)，其图象关于y 轴对称，∴m +2π3=kπ+π2，k ∈Z ．∴m =kπ−π6，k ∈Z ．∴当k =1时，m 取最小正值，为5π6．21.已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+a+1(其中a为常数).若x∈[0,π2]时，f(x)的最大值为4，则a=________．【答案】1【解析】【分析】本题考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：∵0⩽x⩽π2，∴0≤2x≤π，∴π6⩽2x+π6⩽7π6，∴−12⩽sin (2x+π6)⩽1，∴f(x)的最大值为2+a+1=4，∴a=1．22.将函数y=cos(2x+φ)(−π<φ<π)的图象向右平移π2个单位长度后，与函数y=sin(2x+π3)的图象重合，则φ=________．【答案】5π6【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：设y=f(x)=cos(2x+φ)(−π<φ<π)，其图象向右平移π2个单位长度后解析式为因为和y=sin (2x+π3)的图象重合，所以，所以，又因为−π<φ<π，所以，故答案为．23. 要得到y =sin (x2+π3)的图象，需将函数y =cos x2的图象上所有的点至少向左平移________个单位长度．【答案】11π3【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、诱导公式、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易【解答】解：y =sin(x2+π3)=cos[π2−(x2+π3)]=cos(x2−π6)=cos(x2+11π6)=cos 12(x +113π)，∴将函数y =cos x2的图象上所有的点向左平移11π3个长度单位，即可得到y =sin(x2+π3)的图象，故答案为：11π3．24. 把函数y =2cos (x3+π6)的图象向右平移π2个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得到的图象的函数解析式为________．【答案】y =2cos 2x 3 【解析】【分析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度一般【解答】解：将函数y =2cos(x3+π6)的图象向右平移π2个单位，可得函数y =2cos[13(x −π2)+π6]=2cos x3的图象; 再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的函数y =2cos 2x 3的图象，故答案为：y=2cos2x3．25.关于函数y=3sin(2x−π3)的图象，给出下列四个结论：①关于直线x=11π12对称；②关于点(2π3,0)对称；③在区间(−π12,5π12)上是增函数；④可由函数y=3sin2x的图象向右平移π3个单位长度得到．其中正确的是________.(填序号)【答案】①②③【解析】【分析】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的性质，涉及函数图象的平移，属于中档题．根据函数的对称性可判断①②，根据函数单调性可判断③，根据函数的平移可判断④．【解答】解：当时，，所以函数关于直线对称，①正确；当时，，所以函数关于对称，②正确；由，得，所以当k=0时，③正确；把函数y=3sin2x向右平移后得到，④错误．故答案为：①②③．26.将函数f(x)=−sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的最小正值为________．【答案】π4【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，属于基础题．由函数的平移变换得为偶函数，则，从而求得φ的最小正值．【解答】解：函数f(x)=−sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位长度后，得到，由题意为偶函数，，即，则φ的最小正值为π4．故答案为π4．四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）27.已知函数y=12sin(2x+π6)，x∈R．(1)用五点法作出它的简图；(2)该函数的图象可由y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【答案】解：(1)列表：2x+π60π2π3π22πx−π12π65π122π311π12y=12sin(2x+π6)0120−12描点画图，如下图所示：(2)函数y =sinx 的图象向左平移π6个单位，得到函数y =sin (x +π6)的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的12得到函数y =sin (2x +π6)的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的12得到函数y =12sin (2x +π6)的图象．【解析】本题考查了函数图象的变换(平移、对称、伸缩、翻折变换)、三角函数的图象画法、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易28. 已知振动曲线y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)上的一个最高点的坐标为(π8,√2)，周期为π，且φ∈(−π2,π2)． (1)试求振动曲线的函数解析式；(2)用“五点法”画出(1)中函数在一个周期上的图象(要求列表)．【答案】解：(1)由题意知A =√2，T =π，ω=2πT=2ππ=2，∴y =√2sin(2x +φ)．又图象过点(π8,√2)，即√2=√2sin (2×π8+φ)，即sin (π4+φ)=1，从而π4+φ=2kπ+π2，k ∈Z ，φ=2kπ+π4，k ∈Z ．又∵φ∈(−π2,π2)，∴φ=π4， ∴y =√2sin (2x +π4)． (2)按五个关键点列表：2x +π40 π2 π 3π2 2π x −π8 π8 3π8 5π8 7π8 y√2−√2描点作图，如图所示：【解析】本题考查了三角函数的图象画法、函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质的相关知识，试题难度较易29. 设函数f(x)=sin (kx 5+π3)，其中k ≠0．(1)写出f(x)的最大值M ，最小值m 和最小正周期T ．(2)试求最小的正整数k ，使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M 或m ．【答案】解：(1)∵f(x)=sin(k 5x +π3)(k ≠0) ∴M =1，m =−1，T =2π|k5|=10π|k|;(2)由题意知，函数f(x)在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，至少有一个值是M 或一个值是m ， ∴T ≤2，即10π|k|≤2， ∴|k|≥5π>15.7，∵k ∈N ∗， ∴最小正整数k 为16．【解析】本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，解题的关键是掌握周期公式以及对问题的正确转化如在第二问中对使得当自变量x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至少有一个值是M 和一个值是m 理解与转化.正确转化问题对解题很重要．(1)根据三角函数的解析式求出其最值，由公式求出最小正周期T;(2)函数f(x)至少有一个值是M 或一个值是m 说明函数此时的k 值满足函数的周期小于等于2，即T ≤12，由此建立关于参数的方30. 已知ω>0，函数f(x)=sin (ωx +π4)在区间(π2,π)上单调递减，求ω的取值范围．【答案】解：ω>0，x∈(π2,π)，函数f(x)=sin (ωx+π4)在区间(π2,π)上单调递减，周期，则0<ω⩽2，解得12⩽ω⩽54．【解析】本题主要考查函数y=A(ωx+φ)的性质，关键是熟练掌握函数y=A(ωx+φ)的单调性．根据函数f(x)=sin (ωx+π4)在区间(π2,π)上单调递减，列不等式组，可得ω的取值范围．。

三角函数的平移、伸缩变换(人教A版)

三角函数的平移、伸缩变换（人教A版）一、单选题(共14道，每道7分)1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )A. B.C. D.2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( )A. B.C. D.3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )A. B.C. D.6.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.7.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的，再向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将其图象向右平移2个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )A. B.C. D.9.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的倍，将所得图象向左平移2个单位，纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )A. B.C. D.10.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的B.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位C.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位D.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间上单调递减B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减D.在区间上单调递增12.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得函数图象向右平移个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是( )A. B.C. D.13.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数的图象为( )A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线对称D.关于直线对称14.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度长。

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．将函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移π6个单位，则所得图像对应的解析式为（） A ．sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ D ．sin 212x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 2．若把函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到函数()y f x =的图象，则()y f x =的解析式为（）A ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．1sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．12sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭3．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-4．在ABC 中，tan sin cos A B B <，则ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定5．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．c a b <<6．已知函数()22sin cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距离为4π，则当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为（）A ．1-B ．C ．D ．-7．若函数sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后与函数cos y x ω=的图象重合，则ω的值可能为（） A ．1-B ．2-C ．1D ．28．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=-9．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且1sin 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则()tan απ+=（）A ．22-B ．2C ．24-D ．2410．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（） A ．13-B ．13C ．22D 2211．刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法:当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈.在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想，可以说他是中国古代极限思想的杰出代表．运用此思想，当π取3.1416时可得cos89︒的近似值为（） A ．0.00873 B ．0.01745C ．0.02618D ．0.0349112．已知2cos 432θπ⎛⎫= ⎪⎝⎭-，则sin θ=（） A ．79 B ．19C ．－19D ．－79二、填空题13．角θ的终边经过点(1,3)P -，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________. 14．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______. 15．若函数cos()y x ϕ=+为奇函数，则最小的正数ϕ=_____；16．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______.17．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．18．已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．19．已知sin θ＋cos θ＝15，则tan θ＋cos sin θθ的值是____________________. 20．若πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=________. 三、解答题21．已知α，β为锐角，4tan 3α=，()tan 2αβ+=-. （1）求cos2α的值. （2）求()tan αβ-的值. 22．已知sin ,2sin 212a x x π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2cos ,sin 112b x x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且()f x a b =⋅ （1）求函数()y f x =的单调减区间和对称轴；（2）若关于x 的不等式()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，求m 的取值范围. 23．如图，以坐标原点O 为圆心的单位圆与x 轴正半轴相交于点A ，点B ，P 在单位圆上，且525,B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AOB α∠=.（1）求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）若四边形OAQP 是平行四边形，（i ）当P 在单位圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（ii ）设0)2(POA θθπ∠=≤≤，点(,)Q m n ，且()3f m n θ=+.求关于θ的函数()f θ的解析式，并求其单调增区间. 24．已知22sin 2sin12αα=-.（1）求sin cos cos2ααα+的值；（2）已知()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且2tan 6tan 1ββ-=，求2αβ+的值.25．已知函数2()2sin )sin ()2f x x x x x ππ⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭R .（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递减区间；（3）求()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围. 26．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π．（1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间；（2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据正弦型函数的图像的变换规律进行求解即可. 【详解】将函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），所得到的函数的解析式为：sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将sin 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移π6个单位，得到的函数的解析式为：1sin[]264y x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，化简得：sin 26x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C2．C解析：C 【分析】根据三角函数图象平移、伸缩的公式，结合题中的变换加以计算，可得函数()y f x =的解析式．【详解】解：将函数sin y x =的图象沿x 轴向左平移3π个单位，得到函数sin()3y x π=+的图象；将sin()3y x π=+的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标保持不变），得到1sin()23y x π=+的图象．∴函数sin y x =的图象按题中变换得到函数()y f x =的图象，可得1()sin 23y f x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故选：C ．3．A解析：A 【分析】由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-．故选：A ．4．C解析：C 【详解】∵tan sin cos A B B <，∴sin sin cos cos A BB A<，若A 是钝角，此不等式显然成立，三角形为钝角三角形，若A 是锐角，则sin sin cos cos A B A B <，cos cos sin sin cos()0A B A B A B -=+>，,A B 是三角形内角，∴02A B π<+<，从而()2C A B ππ=-+>，C 为钝角，三角形仍然为钝角三角形．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断．解题过程中，由sin sin cos cos A BB A<常常直接得出sin sin cos cos A B A B <，然后可判断出C 是钝角，三角形是钝角三角形，也选择了正确答案，但解题过程存在不全面．即应该根据A 角是锐角还是钝角分类讨论．实际上就是不等式性质的应用要正确．5．C解析：C 【分析】3sin07a π=>,4cos 07b π=<，a b >且均属于()1,1-，而1c <-，大小关系即可确定. 【详解】解：3sin7a π=>；427πππ<<， 4cos coscos 72πππ∴<<，即10b -<<. 又正切函数在(0,)2π上单调递增，347ππ<； 3tantan 174ππ∴>=； 33tan()tan 177c ππ∴=-=-<-， 01a b c ∴>>>->，故选：C. 6．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22xf x x x x x ωωωωω+=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为ππ242⨯=，所以2ππ22ω=，即2ω=，所以()π2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2sin 423x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，因此()π2sin 423f x x ⎛⎫⎡=-- ⎪⎣⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为-．故选：D.7．A解析：A 【分析】先求解出sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后的函数解析式，然后根据诱导公式求解出ω的可取值. 【详解】因为sin 3y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭右移6π个单位后得到sin 63y x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又因为sin 63y x ωππω⎛⎫=-+⎪⎝⎭与cos sin 2y x x πωω⎛⎫==+⎪⎝⎭的图象重合，所以令2,632k k Z ωππππ-+=+∈，所以121,k k Z ω=--∈，所以ω可取1-，此时0k =，故选：A. 【点睛】思路点睛：根据三角函数的图象重合求解参数ω或ϕ的思路：（1）先根据诱导公式将函数名统一；（2）然后分析三角函数初相之间的关系；（3）对k 进行取值（有时注意结合所给范围），确定出满足条件的ω或ϕ的值.8．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C错误；对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9．A解析：A 【分析】由条件可得1cos 3α=-，然后可得sin α=，然后()sin tan tan cos ααπαα+==，即可算出答案. 【详解】因为1sin cos 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=所以()sin tan tan cos ααπαα+===-故选：A10．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-，即有1sin[()]243ππα-+=-，即1cos()43πα+=-.11．B解析：B 【分析】根据cos89sin1︒=，将一个单位圆分成360个扇形，由这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积求解. 【详解】因为()cos89cos 901sin1︒=-=，所以将一个单位圆分成360个扇形，则每一个扇形的圆心角为1︒，所以这360个扇形的面积之和近似为单位圆的面积，即2136011sin112π⨯⨯⨯⨯≈，所以 3.1416sin10.01745180180π≈≈≈，故选：B12．C解析：C 【分析】根据题中条件，由诱导公式，以及二倍角公式，即可求出结果. 【详解】因为2cos 432θπ⎛⎫=⎪⎝⎭-，所以241sin cos 2cos 12124299ππθθθ⎛⎫⎛⎫=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C二、填空题13．【分析】利用正弦函数定义求得再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意所以故答案为：解析：12-【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算【详解】由题意sin 2θ=，1cos 2θ=，所以，1sin cos 62πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-，故答案为：12-14．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为：解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解；【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：3320-15．【分析】根据函数奇偶性表示出进而可得结果【详解】因为函数为奇函数所以只需又即所以时取最小值故答案为：解析：2π 【分析】根据函数奇偶性，表示出ϕ，进而可得结果. 【详解】因为函数cos()y x ϕ=+为奇函数，所以只需,2k k Z πϕπ=+∈，又0ϕ>，即0,2k k Z ππ+>∈，所以0k =时，ϕ取最小值2π. 故答案为：2π. 16．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=，即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间，所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦17．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：50-【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24πααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：18．（答案不唯一）【分析】根据的值域为可知若满足则必有的值分别为再根据三角函数的性质分析即可【详解】因为的值域为故若满足则必有的值分别为故的最小值当且仅当为相邻的两个最值点取得此时为的半个周期即故答案为解析：π2（答案不唯一）【分析】根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.【详解】因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π【点睛】关键点点睛：相邻的两个最值点的横坐标的距离为半个周期是解题的突破点.19．【分析】先通过已知求出再化简tanθ＋即得解【详解】由sinθ＋cosθ＝得tanθ＋故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sinθ＋cosθ＝两边平方得到解析：2512-【分析】先通过已知求出12sin cos 25θθ=-，再化简tan θ＋cos sin θθ即得解. 【详解】由sin θ＋cos θ＝15得1121+2sin cos ,sin cos 2525θθθθ=∴=-. tan θ＋cos sin θθsin cos 125cos sin sin cos 12θθθθθθ=+==-.故答案为：2512-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是把sin θ＋cos θ＝15两边平方得到12sin cos 25θθ=-. 20．或【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开再进行平方再根据正弦的二倍角公式可答案得【详解】由得即所以或当时两边同时平方得所以解得；当时所以所以所以故答案为：或解析：1-或12【分析】根据两角差的余弦公式和余弦的二倍角展开，再进行平方，再根据正弦的二倍角公式可答案得．【详解】由πcos cos 24αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得)22cos +sin cos sin 2αααα=-，即)()()cos +sin cos sin cos +sin αααααα=-，所以cos sin =αα-或cos +sin 0αα=，当cos sin =2αα-时，两边同时平方得112sin cos =2αα-，所以11sin2=2α-.解得sin 2α=12；当cos +sin 0αα=时，tan 1α=-，所以()+,4k k Z παπ=-∈所以()2+2,2k k Z παπ=-∈所以sin 21α=-，故答案为：1-或12. 三、解答题21．（1）725-；（2）211-.【分析】（1）利用同角三角函数的关系以及二倍角公式即可求值；（2）先求出24tan 27α=-，再利用()()tan tan 2αβααβ-=-+⎡⎤⎣⎦即可求解. 【详解】解：（1）由题意知：α为锐角，且22sin 4tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，解得：4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，229167cos 2cos sin 252525ααα∴=-=-=-；（2）由（1）知，4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，则24sin 22425tan 27cos 2725ααα===--， ()()()()tan 2tan tan tan 21tan 2tan ααβαβααβααβ-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+⋅+，()()241022775524111277----===-⎛⎫+-⨯- ⎪⎝⎭，故()2tan 11αβ-=-. 22．（1）单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z ；（2）()1,+∞. 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算及三角恒等变换公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；（2）由（1）可令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭，依题意可得()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）()()22sin cos 2sin 11212a b x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin 22cos sin 2cos 2166x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos 21sin 2126x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，所以()f x 的单调递减区间为5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z 再令262x k πππ-=+，解得23k x ππ=+，所以()f x 的对称轴为23k x ππ=+，k ∈Z （2）令()()sin 261g f x x x π⎛⎫-== ⎝+⎪⎭因为()1f x m +<在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()m g x >在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以()max 13x g g π⎛⎫== ⎪⎝⎭所以1m ，于是m 的取值范围是()1,+∞ 【点睛】本题解答的关键是三角恒等变换及三角函数的性质的应用，利用恒等变换公式及辅助角公式()sin cos a x b x x ϕ+=+，其中（tan baϕ=） 23．（1）10-；（2）（i ）22(1)1x y -+=；（ii ）()2sin 16f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由三角函数定义得tan 2α，再弦化切代入计算，即可求4cos 3sin 5cos 3sin -+αααα的值；（2）（i ）设PA 中点为H ，()11,P x y ，(),Q x y ，则22111x y +=，111,22x y H +⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此可求点O 的轨迹方程；（ii）确定()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，即可求其单调增区间. 【详解】解：（1）由三角函数定义得tan 25α==-，所以44cos 3sin 5cos 3si 3tan 1010tan 1n 53αααααα-===-+--+.（2）∵四边形OAQP 是平行四边形，∴PA 与OQ 互相平分，（i ）设PA 中点为H ，()11,P x y ，(),Q x y ，则22111x y +=，111,22x y H +⎛⎫⎪⎝⎭，又,22x y H ⎛⎫⎪⎝⎭，所以111x x y y =-⎧⎨=⎩，代入上式得点Q 的轨迹方程为22(1)1x y -+=. （ii ）因为0)2(POA θθπ∠=≤≤，所以11cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，又由（i ）知111x m y n =-⎧⎨=⎩，∴cos 1sin m n θθ=+⎧⎨=⎩，∴()cos 12sin 16f πθθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∵22,26202k k k ππππθπθπ⎧-≤+≤+∈⎪⎨⎪≤≤⎩Z ， ∴03πθ≤≤或423πθπ≤≤， ∴()fθ的增区间为0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦和4,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程. 24．（1）15；（2）74π. 【分析】（1）先求出1tan 2α=-，再化简22tan 1tan sin cos cos 2tan 1αααααα+-+=+即得解；（2）先求出1tan 23β=-，再求出tan(2)1αβ+=-，求出52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，即得解. 【详解】（1）由已知得2sin cos αα=-，所以1tan 2α=-222222sin cos cos sin tan 1tan 1sin cos cos 2sin cos tan 15αααααααααααα+-+-+===++ （2）由2tan 6tan 1ββ-=，可得22tan 1tan 21tan 3βββ==--，则11tan tan 223tan(2)1111tan tan 2123αβαβαβ--++===---⨯. 因为0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,βπ∈，又1tan 23β=->52,6πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因为()0,απ∈，1tan 23α=->-，则5,6παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则52,23παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以724παβ+=. 【点睛】易错点睛：本题容易得出两个答案，724παβ+=或34π.之所以得出两个答案，是没有分析缩小,αβ的范围，从而得到52,23παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭.对于求角的大小的问题，一般先求出角的某三角函数值，再求出角的范围，再得到角的大小.25．（1）最小正周期为π；（2）单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（3）[0,3].【分析】（1）逆用二倍角公式化简整理可得()2sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再利用2T ωπ=即可求得()f x 的最小正周期；（2）令26z x π=-，利用函数2sin 1y z =+的图像与性质，列出不等式，即可求得()f x 的单调递减区间；（3）由20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的图像与性质，即可求得()f x 的取值范围.【详解】（1）由已知可得()1cos 2cos f x x x x =-+2cos 21x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）令26z x π=-，函数2sin 1y z =+的单调递减区间是32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .所以3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z 得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z . 所以()f x 的单调递减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以72,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[0,3]f x ∈，即()f x 在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围是[0,3]. 【点睛】本题考查二倍角公式的逆用，辅助角公式的应用，正弦型函数的单调区间、周期和值域问题，综合性较强，考查计算化简，数形结合的能力，考查整体性的思想，属基础题. 26．（1）0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可；（2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值. 【详解】（1）1()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==．又0>ω，所以1ω=，所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．（2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤．当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等.。

人教版高中数学必修第一册第五单元《三角函数》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C 2．已知α为第二象限角，且π3cos 25α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=（）． A ．34-B ．43-C ．53-D ．45-3．将函数()22sin cos f x x x x =+的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的一个对称中心是（）A ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．(πC ．π,06⎛⎫-⎪⎝⎭D ．π6⎛-⎝ 4．函数()()sin 0,0,22f x A x A ωϕωϕππ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =（）A ．sin 6x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭B ．sin 3x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．sin 6x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D ．sin 3x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭5．sin15cos15+=（） A ．12B ．22C ．32D ．626．已知函数()()π2tan 010,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<<<⎪⎝⎭，()303f =，π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心．现给出以下四种说法：①π6ϕ=；②2ω=；③函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④函数()f x 的最小正周期为π4．则上述说法正确的序号为（） A ．①④B ．③④C ．①②④D ．①③④7．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若2sin 3α=，则()cos αβ-=（） A ．19B ．459C ．19-D ．459-8．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α的值是（）. A ．89B ．89-C ．179D ．179-9．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（）A ．sin 6()22x x x f x -=- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x xx f x -=- D ．cos6()22x x xf x -=- 10．函数()()cos f x A x ωϕ=+(其中0A >，0>ω，2πϕ<)的图象如图所示.为了得到()cos g x A x ω=-的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点（）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度 11．已知1sin()43πα-=，则cos()4πα+=（） A ．13-B ．13C ．223-D ．2312．已知tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则πtan 6β⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知定义在[],a a -上的函数()cos sin f x x x =-是减函数，其中0a >，则当a 取最大值时，()f x 的值域是______. 14．方程cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,π上的解的个数为______. 15．设函数()2sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为___________________.16．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x =______.17．已知一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，则扇形的面积是__________2cm ． 18．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则()cos αβ-=________. 19．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，且在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则ω的取值范围为______. 20．若函数()πsin 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间0,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7π4,6a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上均递增，则实数a 的取值范围是______．三、解答题21．已知函数()2sin cos f x x x = （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）求函数()f x 的单调递减区间. 22．已知()π2sin cos 23cos 44f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调递减区间：（2）若函数()()42sin 2g x f x k x =--在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点，求实数k 的取值范围.23．有一展馆形状是边长为2的等边三角形ABC ，DE 把展馆分成上下两部分面积比为1：2（如图所示），其中D 在AB 上，E 在AC 上.（1）若D 是AB 中点，求AE 的值；（2）设AD x =，ED y =. ①求用x 表示y 的函数关系式；②若DE 是消防水管，为节约成本，希望它最短，DE 的位置应在哪里？24．如图，有一生态农庄的平面图是一个半圆形，其中直径长为2km ，C ､D 两点在半圆弧上满足AD BC =，设COB θ∠=，现要在此农庄铺设一条观光通道，观光通道由,,AB BC CD 和DA 组成.（1）若6πθ=，求观光通道l 的长度；（2）用θ表示观光通道的长l ，并求观光通道l 的最大值； 25．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤ ⎪⎝⎭的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域；（2）若3πϕ=，sin 2cos 0αα-=. 求()fα的值.26．设函数23()cos sin 33f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 的最小正周期；（2）当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，再将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象. 故选：D.2．A解析：A 【分析】由已知求出3sin 5α=，即可得cos α，进而求出所求. 【详解】 ∵π3cos 25α⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴3sin 5α=，∵α为第二象限角，∴4cos 5α==-， ∴sin 3tan cos 4ααα==-．故选：A ．3．B解析：B 【分析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数()f x 化简，再根据三角函数的变换规则求出()g x 的解析式，最后根据正弦函数的性质求出函数的对称中心；【详解】解：()22sin cos f x x x x =+())sin 2cos21f x x x ∴=+ ()sin 2f x x x ∴=()π2sin 23f x x ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭将()f x 向右平移π6个单位长度得到()g x ， ()ππ2sin 263g x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()2sin 2g x x ∴=∴()g x 的对称中心为()π2k k ⎛∈ ⎝Z ，当2k =时为(π. 故选：B.4．C解析：C 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，从而得到函数的解析式. 【详解】解：由图象可得1A =，再根据35134362T =-=，可得2T =，所以22πωπ==，再根据五点法作图可得1,6k k Z πϕπ⨯+=∈，求得6πϕ=-，故函数的解析式为()sin 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 故选：C.5．D解析：D 【分析】由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】()6sin15cos152sin 15452sin 602+=+==. 故选：D.6．D解析：D 【分析】根据()0f =，代入数据，结合ϕ的范围，即可求得ϕ的值，即可判断①的正误；根据对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，代入公式，可解得ω的表达式，结合ω的范围，即可判断②的正误；根据()f x 解析式，结合x 的范围，即可验证③的正误；根据正切函数的周期公式，即可判断④的正误，即可得答案. 【详解】对于①：由()0f =知2tan ϕ=，即tan ϕ=π2ϕ<，解得π6ϕ=．故①正确；对于②：因为π,012⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，故πππ,1262k k Z ω+=∈，解得62,k k Z ω=-∈，因为010ω<<，所以4ω=，故②错误；对于③：当5ππ,243x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π3π4π,62x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故函数()f x 在区间5ππ,243⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故③正确；对于④：因为4ω=，所以()f x 的最小正周期π4T =，故④正确．综上，正确的序号为①③④．故选：D ．7．C解析：C 【分析】由对称写出两角的关系，然后利用诱导公式和二倍角公式计算．【详解】由题意2,k k Z αβππ+=+∈，即2k βππα=+-，2221cos()cos(22)cos(2)cos 22sin 12139k αβαπππααα⎛⎫-=--=-=-=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选：C ．8．B解析：B 【分析】已知条件平方后，利用sin 22sin cos ααα=，直接计算结果.【详解】 ∵1sin cos 3αα+=，平方得，)(21sin cos 9αα+=， ∴)()(221sin 2sin cos cos 9αααα++=，∴82sin cos 9αα=-，∴8sin29α=-.故选:B9．D解析：D 【分析】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误；对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误；对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误；对于D ，()()cos 6cos 6()2222x x x xx xf x f x ----===---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.10．B解析：B 【分析】先根据图象求出,,A ωϕ的值即可得()f x 和()g x 的解析式，再利用函数图象的平移变换即可得正确选项. 【详解】由图知：1A =，74123T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==，()()cos 2f x x φ=+，当712x π=时，()()cos 2f x x φ=+有最小值，所以()72212k k Z πϕππ⨯+=+∈，所以()26k k Z πϕπ=-+∈，又因为2πϕ<，所以0,6k πϕ==-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，所以只需要把()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移512π个单位长度得 ()()5cos 2cos 2cos 2126x x x g x πππ⎡⎤⎛⎫--=-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由函数的部分图象求出,,A ωϕ的值，进而求出()f x 和()g x 的解析式，()()cos2cos 2g x x x π=-=-，由平移变换的规律求解，注意左右平移指一个x 变化多少，此点容易出错，属于中档题.11．A解析：A 【分析】运用α-、2πα-的诱导公式，计算即可得到.【详解】解：1sin()43πα-=，即为1sin()43πα-=-，即有1sin[()]243ππα-+=-，即1cos()43πα+=-. 故选：A.12．A解析：A 【分析】根据两角差的正切公式，由题中条件，直接得出结果. 【详解】因为tan 62πα⎛⎫= ⎪⎝⎭-，()tan 3αβ+=-，则()()()πta tan πtan t n 6an 661tan πtan 6αβααβπβαβαα⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+--= ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+ ⎪⎝+--+⎭-123321==-⨯--.故选：A. 二、填空题13．【分析】先求出函数单调减区间的一般形式根据函数在的单调性可得利用整体法可求当取最大值时的值域【详解】令则故的减区间为由题设可得为的子集故且故故当时故故的值域为故答案为：【点睛】关键点点睛：正弦型函数解析：⎡⎣【分析】先求出函数单调减区间的一般形式，根据函数在[],a a -的单调性可得max 4a π=，利用整体法可求当a 取最大值时，()f x 的值域．【详解】()cos sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令22,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，则322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故()f x 的减区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，由题设可得[],a a -为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦的子集，故0k =且4340a a a ππ⎧-≥-⎪⎪⎪≤⎨⎪>⎪⎪⎩，故04a π<≤，故max 4a π=，当44x ππ-≤≤时，024x ππ-≤-≤，故0sin 4x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭故()f x的值域为⎡⎣．故答案为：⎡⎣．【点睛】关键点点睛：正弦型函数在给定范围（含参数）上的单调性可由单调区间的一般形式得到参数满足的条件，这是解决此类问题的通法．14．3【分析】先求出解的一般形式再根据范围可求解的个数【详解】因为故故令故故答案为：3解析：3 【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个数. 【详解】因为cos 306x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故3,62x k k Z πππ+=+∈，故,39k x k Z ππ=+∈，令039k πππ≤+≤，故0,1,2k =，故答案为：3.15．【分析】由是最大值点结合正弦函数的最大值可得的表达式再求得的最小值即可【详解】由可知时函数取得最大值故有解得所以最小值为故答案为：解析：43【分析】由4x π=是最大值点，结合正弦函数的最大值可得ω的表达式，再求得ω的最小值即可．【详解】由()4f x f π⎛≤⎫⎪⎝⎭可知4x π=时函数取得最大值. 故有2()462k k Z πππωπ+=+∈，解得48()3k k Z ω=+∈，所以最小值为43.故答案为：43． 16．【分析】由图可得利用周期求出又函数过点解得进而得出函数的解析式【详解】由图可得：解得又函数过点则解得故答案为：解析：sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【分析】由图可得A ，利用周期求出ω，又函数过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得3πϕ=，进而得出函数的解析式．【详解】由图可得：1A =，37341264T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得,2T πω==，()()sin 2f x x ϕ=+ 又函数过点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则732122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 故答案为：sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭17．【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径再根据扇形面积公式即可得出结果【详解】因为一扇形的圆心角为弧长是所以其所在圆的半径为因此该扇形的面积是故答案为：解析：32π【分析】先由弧长公式求出扇形所在圆的半径，再根据扇形面积公式，即可得出结果. 【详解】因为一扇形的圆心角为3π，弧长是cm π，所以其所在圆的半径为33r ππ==，因此该扇形的面积是1133222S lr ππ==⨯⨯=. 故答案为：32π. 18．【分析】将和两边同时平方然后两式相加再由两角差的余弦公式即可求解【详解】由两边同时平方可得由两边同时平方可得两式相加可得即所以故答案为：【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式解题解析：5972-【分析】将1cos cos 2αβ+=和1sin sin 3αβ+=两边同时平方，然后两式相加，再由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】由1cos cos 2αβ+=两边同时平方可得221cos cos 2cos cos 4αβαβ++=，由1sin sin 3αβ+=两边同时平方可得221sin sin 2sin sin 9αβαβ++=，两式相加可得22221113cos cos 2cos cos +sin sin 2sin sin 946=3+αβαβαβαβ++++=即cos cos sin si 5972n αβαβ+=-，所以()cos cos cos sin s 9n 7i 52αβαβαβ-=+=-. 故答案为：5972- 【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系以及两角差余弦公式，解题的关键是熟练掌握公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+，,22cos sin 1αα+=并应用，属于中档题. 19．【分析】由函数图象关于原点对称可得再由在区间上是增函数可得解不等式即可【详解】由函数的图象关于原点对称得即因为在区间上是减函数所以在区间上是增函数又是函数的单调递增区间所以又解得故答案为：解析：30,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由函数图象关于原点对称可得2ϕπ=，再由2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解不等式即可.【详解】由函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象关于原点对称，得2ϕπ=，即()2cos 2sin 2f x x x πωω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，因为()f x 在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以2sin y x ω=在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又,22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是函数2sin y x ω=的单调递增区间，所以22232ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，又0>ω，解得304ω<≤.故答案为：30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦20．【分析】由的范围求出的范围结合正弦函数性质得不等关系【详解】时时由题意又解得故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性在中则的单调性与的单调性一致因此对一个区间我们只要求得的范围它应解析：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】由x 的范围求出26x π+的范围，结合正弦函数性质得不等关系．【详解】0,3a x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,6636a x πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，7π4,6x a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，528,662x a πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，由题意23623862a a ππππ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，又03746aa π⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得7624a ππ≤<．故答案为：π7π,624⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】方法点睛：本题考查正弦型复合函数的单调性，在sin()y A x ωϕ=+中，0,0A ω>>，则sin()y A x ωϕ=+的单调性与sin y x =的单调性一致，因此对一个区间[,]a b ，我们只要求得x ωϕ+的范围，它应在sin y x =的单调区间内，那么sin()y A x ωϕ=+在[,]a b 上就有相同的单调性．这是一种整体思想的应用．三、解答题21．（1）T π=；最大值为1；（2）3[,]()44k k k Z ππππ++∈ 【分析】（1）应用二倍角公式，将函数化为正弦型三角函数，即可求解；（2）根据正弦函数的单调递减区间结合整体代换，即可求出结论. 【详解】（1）()2sin cos sin 2f x x x x ==，最小正周期为22T ππ==，最大值为1；（2）由3222()22k x k k Z ππππ+≤≤+∈，解得3()44k x k k Z ππππ+≤≤+∈， ()f x ∴单调递减区间是3[,]()44k k k Z ππππ++∈.22．（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭.【分析】（1）化简()f x ，利用正弦函数的递减区间列式可解得结果；（2）转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象可得结果. 【详解】（1）()2sin cos cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 244x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos 44x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 222x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3222232k x k πππππ+≤+≤+，k Z ∈，解得：71212k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈， ∴()f x 的单调递减区间为7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）知，函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭， ()g x =2sin 242sin 23x k x π⎛⎫+-- ⎪⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点等价于12sin 2sin 2sin 2cos 2cos 23226k x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一实根，设()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，依题意可知2y k =与()y h x =的图象有唯一交点，函数()h x 在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知实数k 应满足11222k -<≤或21k =-， ∴1144k -<≤或12k =-，故实数k 的取值范围11|44k k ⎧-<≤⎨⎩或12k ⎫=-⎬⎭. 【点睛】关键点点睛：转化为函数()cos 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在7,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象与2y k =的图象有唯一交点，根据图象求解是解题关键. 23．（1）43AE =；（2）①221642,2933y x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，；②//DE BC . 【分析】（1）利用三角形的面积公式，得到43AD AE ⋅=，根据D 是AB 中点，即可求得AE 的长；（2）对于①中，由（1）得到4433AE AD x==，求得223x ≤≤，在ADE 中，由余弦定理，即可求得函数的解析式；②根据DE 是消防水管，结合基本不等式，即可求得x 的值，得到DE 的位置. 【详解】（1）依题意，可得2111312sin 60sin 603322ADE ABC S S AD AE ==⋅⋅⋅︒==⋅︒△△ 解得43AD AE ⋅=，又因为D 是AB 中点，则1AD =，所以43AE =. （2）对于①中，由（1）得43AD AE ⋅=，所以4433AE AD x==，因为2AE ≤，可得23x ≥，所以223x ≤≤，在ADE 中，由余弦定理得2222221642cos6093y DE AD AE AD AE x x ==+-⋅⋅︒=+-，所以2,23y x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦.②如果DE 是消防水管，可得y =≥=，当且仅当243x =，即x =此时3AE =，故//DE BC ，且消防水管路线最短为3DE =. 【点睛】利用基本不等式求解实际问题的解题技巧：利用基本不等式求解实际应用问题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；在应用基本不等式求最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.24．（1）观光通道长(2km ；（2）当3πθ=时，观光通道长l 的最大值为5km . 【分析】（1）由6πθ=，得6OCD ODC π∠=∠=，然后在OCD ，OCB ，OAD △利用余弦定理求出,,CD BC AD 的长，从而可得结果；（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而24sin2cos 2l θθ=++，然后利用三角函数的性质可得结果【详解】（1）因为6πθ=，所以6OCD ODC π∠=∠=在OCD 中，利用余弦定理可得，2211211cos33CD π=+-⨯⨯⨯=，所以CD =同理BC AD ===所以观光通道长2l =+（2）作OE BC ⊥，垂足为E ，在直角三角形OBE 中，sin sin22BE OB θθ==，则有2sin2BC AD θ==，同理作OF CD ⊥，垂足为F ，cos cos CF OC θθ==，即：2cos CD θ=，从而有：22124sin 2cos 4sin 4sin 44sin 522222l θθθθθ⎛⎫=++=-++=--+ ⎪⎝⎭因为02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以当3πθ=时，l 取最大值5，即观光通道长l 的最大值为5km .【点睛】关键点点睛：此题考查余弦定理的应用，解题的关键是把,,CD BC AD 用含θ的式子表示，然后利用三角恒等变换公式转化为同角的三角函数求解，解题时要注意θ的取值范围 25．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）()423f α=+ 【分析】（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.【详解】（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫=->≤⎪⎝⎭的最小正周期为π，则22πωπ==，()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22ππϕ-≤≤，5636πππϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，3πϕ=，所以，()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭2sin cos ααα=-=+=245210-+=+=. 【点睛】求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.26．（1）π；（2）最小值为4-4. 【分析】（1）利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质求解．（2）求出23x π-的取值范围，然后由正弦函数性质得最值．【详解】（1）2211()cos (sin )sin cos 22f x x x x x x x x ==-11sin 2cos 2sin(2)4423x x x π=-=-， ∴()f x 的最小正周期是22T ππ==（2）0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时()f x ⎡∈⎢⎣⎦.()f x 233x ππ-=，3x π=，()f x 最小值为4-，此时233x ππ-=-，0x =.综上，()f x 的最小值为4- 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用二倍角公式、两角和与差的正弦公式化简为标准的形态，然后利用正弦函数的性质求解，难度属于中档题。

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三角函数的平移、伸缩变换（人教A版）
一、单选题(共14道，每道7分)
1.将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
由题意，
函数经平移，得到，
该函数横坐标再经变换，得到．
故选B
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
2.由的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，则为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
将变换的过程倒推，
函数横坐标经变换，即横坐标缩短为原来的，
得到；
再将该函数图象向右平移个单位长度，得到
．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
3.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
由题意，
函数经平移，得到
；
再经横坐标变换后，得到，
故选D．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
4.将函数的图象上每点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
由题意，
函数横坐标经变换得到，
该函数再经平移，得到，
故选B．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
5.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度，纵坐标不变，得到的函数解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
由题意，
函数横坐标经变换，
得到；
再经平移得到，，
故选C．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
6.将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
由题意，
函数经平移，得到，
再经平移得到，故选D．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
7.将函数的图象上每点的横坐标缩小为原来的，再向下平移2个单位，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
由题意，
函数横坐标经变换，得到；
再经平移，得到，故选B．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将其图象向右平移2个单位长度，所得函数图象对应的解析式为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，
得到的图象；
再将图象向右平移2个单位长度，
得到的图象．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
9.将函数的图象上每点的横坐标伸长到原来的倍，将所得图象向左平移2个单位，纵坐标不变，所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
函数横坐标经变换，
得到；
再经平移，得到．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
10.由函数的图象得到函数的图象，下列变换错误的是( )
A.将函数的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
B.将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位
C.将函数的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的，再将图象向左平移个单位
D.将函数的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的
答案：C
解题思路：
根据三角函数变换的性质，选C．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
11.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
( )
A.在区间上单调递减
B.在区间上单调递增
C.在区间上单调递减
D.在区间上单调递增
答案：B
解题思路：
由题意，
经平移，得到
，
∴．
令，，
解得的单调递减区间为，．
令，，
解得的单调递增区间为，．
当时，在区间上单调递增，
故选B．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
12.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再
把所得函数图象向右平移个单位长度，得到的函数图象的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
由题意，
函数的图象经伸缩，得到；
再经平移，得到．
令，则．
∴函数的图象的对称中心是，．
当时，对称中心是．
故选A．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
13.函数的最小正周期是，若其图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数，则函数的图象为( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线对称
D.关于直线对称
答案：C
解题思路：
由题意，
，解得．
∴．
函数图象经平移，得到，∵为R上的奇函数，
∴，
∴，
∴，解得，．
∵，
∴当时，．
∴，
令，解得，，
∴对称中心为，．
令，解得，，
∴对称轴为直线，．
∴当时，图象关于直线对称，
故选C．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
14.函数（其中，，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度长
答案：C
解题思路：
由图可得，
，
∵，，
∴，．
∴．
∵，即，
∴，．
∵，
∴当时，．
∴．
设，即，∴，解得，．
当时，，即，
即将的图象向左平移个单位长度．
故选C．
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换。