高等数学大一上学期知识要点

高数总复习(上)

一、求极限的方法：

1、利用运算法则与基本初等函数的极限；

①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则

(加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+

(乘法运算) lim ()()f x g x AB =g

(除法运算) ()0,lim ()f x A

B g x B

≠=若 推论1: lim

(),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数)

推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =

②结论

结论2:

()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则

2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；

①定义1: 若0

lim ()0x x

f x →=或（lim ()0x f x →∞

=）

则称

()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小.

定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小:

若lim 1β

α

=, 则称α与β是等价无穷小, 记为

αβ:.

②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小.

性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理2(等价无穷小替换定理) 设

~,~ααββ'',

且lim

βα''

存在, 则

(因式替换原则)

常用等价无穷小:

3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；

①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件:

(1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ;

(2)lim lim n n

n n y z a →∞

→∞

==,

则数列n x 的极限存在, 且lim n

n x

a →∞

=.

②准则II: 单调有界数列必有极限.

4、利用两个重要极限。

5、利用洛必达法则。

未定式为0,,,0,00∞∞∞-∞⋅∞∞

类型. ①定理(x a →时的0

型): 设

(1)lim ()lim ()0x a

x a

f x F x →→==;

(2) 在某(,)U a δo

内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;

二、求导数和微分 ：

1.定义

①导数：函数

()y f x =在0x x =处的导数：

000000()()()()

()lim

lim .x x x f x f x f x x f x f x x x x

→∆→-+∆-'==-∆ 函数

()y f x =在区间I 上的导函数：

②函数的微分：().dy f x dx '=

2.导数运算法则（须记住P140导数公式）

① 函数和差积商求导法则：函数()u x 、()v x 可导，则：

②反函数求导法则：若()x y ϕ=的导数存在且()0y ϕ'≠，

则反函数

()y f x =的导数也存在且为

③复合函数求导法则(链式法则)：()u x ϕ=可导，()y f u =可导，

则

(())y f x ϕ=可导，且

④隐函数求导法则:

⑤参数方程求导法则:

若()0t ϕ'≠则()()

dy t dx t ψϕ'='. 3.微分运算法则

三、求积分：

1.概念：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。

1

()lim ()n

b

i i a

i f x dx f x λξ→∞

==∆∑⎰

性质1：()0,()()a

a b

a

b

a

f x dx f x dx f x dx =-=⎰

⎰⎰

性质2：[

()()]()()b

b b

a a

a

f x

g x dx f x dx g x dx +=+⎰

⎰⎰

性质3：()(),().b

b

a

a

kf x dx k f x dx k =⎰

⎰是常数

性质4：

()()()c c

b

b

a

a

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰ (去绝对值,

分段函数积分)

性质5：b

a

dx b a =-⎰

2.计算公式： P186基本积分表； P203常用积分公式；

①第一换元法(凑微分)：

()

()(())()(())()

()u x u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕϕ==⎡⎤'==⎣⎦⎰⎰⎰

②第二换元法：

③分部积分法：

④有理函数积分：

混合法 (赋值法+特殊值法)确定系数

⑤牛顿莱布尼茨公式：

⑥定积分换元法：

5.()(())()(())b a

f x dx f t t dt

a b β

α

ϕϕϕαϕβ'=⎰⎰＝()=

（换元换限，配元(凑微)不换限）

⑦定积分分部积分法：

[]6.()()()()()()b

b

b

a a

a

u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-⎰⎰

循环解出; 递推公式

分部化简 ;