层次分析法与层次分析模型
层次分析法
一、层次分析法内涵层次分析法（Analytic Hierarchy Process简称AHP）是20世纪70年代初美国运筹学家萨蒂教授提出的一种层次权重决策分析方法，在分析问题的过程中将定性分析与定量分析相结合，找出影响决策的关键性因素，并将因素尽可能的量化形成指标，以达到复杂问题简单化的目的，最终根据数据配合指标做出选择。
层次分析法基本思想是将复杂的决策系统分为N层及M个指标，对每一层及其指标分析判断，这些指标之间存在着相互制约、相互影响的关系，而这每一个指标并不是处于同等重要的地位，则要对其进行重要性排位，列出权重，通过逐层计算比较各种关联指标的权重为决策提供定量的依据。
层次分析法是一种将定性分析与定量分析相结合的方法，先进行定性描述，相关专家凭借其经验及专业知识对其打分得到定量化得指标权重，结合案例可以得出有价值的定性结论。
其局限性在于权重是凭借专家人为的进行设置，未必完全的符合最优化的要求。
由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。
它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。
层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。
不妨用假期旅游为例：假如有3个旅游胜地A、B、C供你选择，你会根据诸如景色、费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较这3个候选地点．首先，你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重，如果你经济宽绰、醉心旅游，自然分别看重景色条件，而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用，中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。
其次，你会就每一个准则将3个地点进行对比，譬如A景色最好，B次之；B费用最低，C次之；C居住等条件较好等等。
最后，你要将这两个层次的比较判断进行综合，在A、B、C中确定哪个作为最佳地点。
二、层次分析法的基本步骤1、建立层次结构模型。
在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。
模糊层次分析法和层次分析法的区别
模糊层次分析法和层次分析法的区别
模糊层次分析法(FuzzyAnalyticHierarchyProcess,FAHP)与层
次分析法(AnalyticHierarchyProcess,AHP)由ThomasL.Saaty发展
的重要决策分析方法，它们既有共同之处也有不同之处，本文以模糊层次分析法和层次分析法的区别为研究主题，试图分析清楚这两种方法在理论、结构以及应用方面的不同。
首先，在理论基础方面，AHP是建立在层次模型理论上的，它相信把复杂问题层层分解能够使得问题更加清晰。
而FAHP基于模糊集理论，它的理论根据认为，在复杂的决策环境中，很多人的判断都是模糊的，只有建立起一个模糊的结构，才能够反映出决策者的真实意见。
其次，在结构上，AHP使用简单的一对多的层次结构，在这种结构中，每个节点有不止一个子节点，而FAHP则使用模糊的层次结构，它可以分解复杂问题，并使用模糊数据来评价各个节点之间的关系。
最后，决策应用方面，AHP和FAHP都可以用来设计出一个优化的决策方案，但是AHP的步骤比较复杂，它需要用精确的数据来评价每个节点，因此应用起来比较困难，而FAHP则更加灵活，它可以使用模糊数据来评价节点之间的关系，因此更容易应用于复杂的决策问题。
综上所述，AHP与FAHP作为重要的决策分析方法，它们既有共同之处也有不同之处。
从理论、结构以及应用方面来看，模糊层次分析法能比层次分析法更好地解决复杂的决策问题，因此得到越来越多
的应用。
未来，有望有更多的研究和应用于模糊层次分析法，使它能更好地发挥作用，改善决策效果。
层次分析模型介绍
层次分析模型介绍
§ 1.2 层次分析法的基本原理和步骤
运用层次分析法解决问题，大体可以分为 四个步骤：
1. 建立问题的递阶层次结构； 2. 构造两两比较判断矩阵； 3. 由判断矩阵计算被比较元素相对权重； 4. 计算各层次元素的组合权重。
层次分析模型介绍
§ 1.2.2 构造两两比较判断矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元 素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素 Ck 作为准则，对下一层次的元素 A1, …, An 有支配 关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重 要性赋予 A1, …, An 相应的权重。
层次分析法
层次分析模型介绍
第一讲 层次分析法
层次分析模型介绍
§ 1.1 引言与引例
层次分析法（Analytic Hierarchy Process， 简称 AHP）是美国运筹学家 T. L. Saaty 教授于 上世纪 70 年代初期提出的一种简便、灵活而又 实用的多准则决策方法。
层次分析模型介绍
人们在进行社会的、经济的以及科学管理 领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由 相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而 往往缺少定量数据的系统。
在这样的系统中，人们感兴趣的问题之一 是：就 n 个不同事物所共有的某一性质而言， 应该怎样对任一事物的所给性质表现出来的程 度（排序权重）赋值，使得这些数值能客观地 反映不同事物之间在该性质上的差异？
其中 x1 = 写作水平，x2 = 外语程度， x3 = 公关能力，x4 = 国内外政治经济时事， x5 =计算机操作知识，x6 = 容貌与风度， x7 = 体形高矮与肥瘦，x8 = 音色。
层次分析法建模
层次分析法建模层次分析法(AHP)是一种用于多准则决策的定量分析方法，最早由美国学者托马斯·S·萨亚基提出，常用于解决复杂的决策问题。
AHP方法通过构建层次结构模型，并运用专家主观判断与数学计算相结合的方法，评估多个准则的重要性，并最终选择最佳方案。
AHP方法的优势在于，能够将主观因素与客观因素相结合，充分考虑决策者的主观意见，并且能够提供较为可靠的决策结果。
下面将介绍AHP 方法的建模过程。
首先，我们需要明确决策的目标是什么。
然后，将目标拆分成若干个层次，形成一个层次结构。
层次结构通常包括目标层、准则层和方案层。
目标层表示最终的决策目标，准则层表示实现目标所必须满足的准则，而方案层则表示可以选择的方案。
例如，假设我们要购买一辆新车，目标层为“购买一辆适合自己的车”，准则层可以包括“价格”、“品牌口碑”、“性能”等，方案层可以包括“A品牌的小型车”、“B品牌的中型车”等。
接下来，我们需要对每个层次的准则和方案进行两两比较，以确定其重要性。
比较的方法是两两比较矩阵。
对于准则层，我们可以将每个准则之间的重要性按照9点标度进行比较，其中1表示两个准则具有相同的重要性，9表示一个准则比另一个准则重要性高很多。
对于方案层，我们可以将每个方案与每个准则之间的重要性进行比较。
比较的结果可以用一个判断矩阵表示。
然后，我们需要计算每个层次的权重。
对于准则层，我们可以通过计算准则之间的重要性判断矩阵的特征向量来得到各准则的权重。
对于方案层，我们可以通过计算方案与准则之间的重要性判断矩阵的特征向量来得到各方案的权重。
最后，我们可以通过计算方案的综合得分来确定最佳方案。
综合得分可以通过将每个方案的权重与各准则的权重相乘并求和得到。
AHP方法的建模过程相对简单，但是需要决策者对各准则和方案之间的重要性进行准确评估。
因此，选择合适的专家和确保专家对决策问题有足够的了解是非常重要的。
总之，层次分析法是一种用于多准则决策的定量分析方法。
层次分析法分析(AHP)及实例教程
设定评价标准
根据问题背景和目标，设定合理的评价标准，如 成本、效益、风险等。
识别关键因素和指标
关键因素识别
分析影响决策目标的关键因素，如市 场需求、技术水平、资源条件等。
指标选取
针对每个关键因素，选取具体的评价 指标，如市场份额、创新能力、资源 利用率等。
构建递阶层次结构图
目标层
准则层
将决策目标作为最高层， 表示解决问题的总体目标。
层次分析法分析 (AHP)及实例教程
目录
• 层次分析法(AHP)概述 • 构建层次结构模型 • 构造判断矩阵与权重计算 • 实例教程：以某企业投资决策为例 • AHP优缺点及改进方向 • 总结与展望
01
层次分析法(AHP)概述
AHP定义与发展历程
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的、系统化、 层次化的分析方法。它通过将复杂问题分解为若干层次和因素，对各因素进行两两比较，构造 判断矩阵，进而计算各因素的权重，为决策问题提供定量依据。
对计算得到的权重进行一致性检 验，确保结果的合理性和准确性。
一致性检验与调整策略
一致性检验方法
通过计算一致性指标CI和随机一 致性指标RI，判断判断矩阵的一 致性。
调整策略
当判断矩阵不满足一致性要求时， 需要对判断矩阵进行调整，包括 调整元素值、重新构造判断矩阵 等方法，直至满足一致性要求。
注意事项
针对缺点提出改进措施
1 2
提高数据质量和数量
通过改进数据采集和处理方法，提高数据的质量 和数量，减少数据不准确和不完整对决策结果的 影响。
引入客观标准
在构建判断矩阵时，可以引入客观标准和量化指 标，减少主观判断对决策结果的影响。
层次分析法(AHP)
aij
n
aij
i 1
i，j 1,2,, n
2 ） 再按行相加得和
n
wi aij j 1
3）再规范化，得权重系数：
wi
wi
n
wi
i 1
方根法
这种方法的步骤是：
1） 按行元素求积，再求1/n次幂，得
n
wi
aij i，j 1,2,, n
j 1
2）规范化，即得权重系数
wi
wi
n
wi
用ANP进行决策的基本步骤
▪ (1) 构造ANP的典型结构： A：首先是构造控制层次.将决策目标界定,将决策准则界 定,这是问题的基本,各个准则决策目标的权重用AHP方法 得到. B：再则是构造网络层次.要归类确定每一个元素,分析其 网络结构和相互影响关系,分析元素之间的关系可用多种 方法进行. 一种是内部独立的递阶层次结构,即层次之间相 互独立；一种是内部独立，元素之间存在者循环的ANP 网络层次结构；另一种是内部依存，即元素内部存在循环 的ANP网络层次结果，这几种情况都是ANP的特例情况。 在实际决策问题中面临的基本都是元素间不存在内部独立， 既有内部依存，又有循环的ANP网络层次结构。
P4：建 图书馆
P5：引进 新设备
C1对p1 p2 p3 p4 p5的权重计算
c1 P1
p2
p3
p4
p5 w
p1 1
3
5
4
7 0.491
p2 1/3 1
3
2
5 o.232
p3 1/5 1/3 1
½
3 0.092
p4 ¼ ½
2
1
3 0.138
p5 1/7 1/5 1/3 1/3 1 0.046
层次分析
层次分析什么是层次分析法？层次分析法是一个用于决策的模型。
我先举一个简单的例子，层次分析的具体内容就跃然纸上了。
当我们决定要爬山（目标层）的时候，可供选择的山（方案层）有很多，这时我们就必须找一个标准来进行选择爬那座山。
这时，我们可以使用层次分析法。
1.层次分析法的组成从上面的图形，我们就可以大概的了解到层次分析法分为3层。
第一层为目标层，第二层为准则层，第三层为方案层。
这三层不用解释大家就可以明白其中的意思。
目标层就是我们要做的事情，对应到图片上就是爬山；准则层就是我们为做某件事设的标准，对应到图片上就是山的名气、山的高度、山的门票；方案层就是我们将采取的方案，对应到图片上就是华山、泰山、黄山。
2.使用层次分析法的步骤2.1根据准则进行二二对比进行打分2.1.1根据山的名气进行二二打分二二打分的过程就体现了偏好的问题。
比如，华山和华山比较任然是1分，因为本来就是同一座山；华山和泰山比较，我比较喜欢泰山那么泰山相对于华山得5分；华山和黄山比较，我稍微喜欢黄山，那黄山相对于华山得2分。
等到泰山和华山比较的时候，华山就得1/5分；黄山和华山比较的时候，华山得1/2分。
经过这样的打分，我们得到了二二打分矩阵。
我们得到每列的打分总和：对两两打分进行归一化处理得到：故得对于山的名气的特征向量为：w1=（0.109,0.581,0.31）T我们按照同样的方法可以得到山的高度和山的门票的打分和特征向量对山的高度的特征向量w2=（0.514,0.361，0.125）T对山的门票的特征向量w3=（0.425,0.125,0.45）T2.2对山的名气山的高度和山的门票进行两两打分2.2.1打分情况如下：平均情况情况：故w=(0.656,0.157,0.187)这时，我们就得到了所有的权系数，这时就可以计算每一个方案的打分情况了。
3.得出每一个方案的打分情况通过上面的打分，我们的最佳方案是泰山，得分0.461；其次是黄山，得分0.307，最后是华山，得分0.2324.评价该层次分析模型评价层次分析模型的关键地方就是评价打分是否一致。
浅谈对层次分析法(AHP)的认识
浅谈对层次分析法（AHP的认识层次分析法的简介及学习体会层次分析法（AHP ）就是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
短学期里，在有限的几节课上，老师给我们介绍了层次分析法的背景、基本步骤、应用与解法等。
现在，我将在本文中浅谈一下自己上完课后对层次分析法的认识理解，阐述层次分析法的基本步骤，并举出一个使用层次分析法的案例，最后对层次分析法的优缺点进行评估。
层次分析模型是数学建模中常用的模型。
在现实世界中，无论是日常工作还是生活，涉及经济社会等因素，往往会遇到决策的问题，比如如何选择旅游景点的问题、选择升学志愿的问题、对企业进行评估的实例等等。
在决策者作出最后的决定以前，他必须考虑很多方面的因素或者判断准则，最终通过这些准则作出选择。
层次分析法是解决这类问题的行之有效的方法。
层次分析法将复杂的决策系统层次化，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析、决策提供定量的依据。
层次分析法的基本步骤1. 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标一准则或指标一方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
如在老师教案中的例子一一选择旅游地中，将决策问题分为3个层次：目标层0,准则层C,方案层P;每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。
将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。
2. 构造成对比较阵用成对比较法和1-9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。
3. 计算权向量并作一致性检验对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。
4. 计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。
层次分析法的案例分析AHP建模实例1995年全国人学生数学模型竟赛的“人Wj冶炼炉的作业调度⑷”问题是•道从实际工业课题提炼、简化出来的数学问越.而且这种多车多炉的优化调度问题是每存在的牛•产问题本文利用层次分析法对使用1〜5台大牟选择最优方案天车与冶炼炉作业闊度的耍求为：1）成品钢产杲高:2）各台天车的作业率（天车作业时间所占比例）尽量均衡（考虑到设备及人员安全等因索,一燉犬车作业率不超过70%）:3）绝不允许出现大车ft!撞等事故:4）调度规则尽最简明•以利于现场人员使用在不超过5台天车的条件下进行方案杼优为使问题简化.从大车作业率不超过70%的要求•根据赛题所作假设⑴不难判断出至少有3台犬车才能完成基本匸序因此只需对采用3台犬车方案、4台犬车方案和5台犬车方案这3冲方案进行选优建模根据各类冈素之间的隶属关系把它们分为3个层次•并建立递阶层次结构模型冃标层,4 :合理选择天车台数匍!|层C:总产量6天车利用率6调度筲便性6天乍作业均衡性C入乍作业安全性6方案层P： 3台天车Pi. 4台天车肥,5台天车P*IU据冬丙素的亜耍性关系构造判断矩阵，并利用AHP软件⑴进行计算.所彳非J断葩阵及相应计算结果如下：（1）判断矩阵.4 • C（2）判断矩阵PA c C2C J C4Cs W Ci Pl Pl P3WCl11443Q34726Pl125Q58155Cl1133斗Q332091/2 1 3Q30900 Ci1/41/3131/2 0117631/51/3 1C41/41/31/3110（291Q10945Cs1/31/47411012011注--Vax*3004.CZi= 0002.注b“ 5304, CR -Q 06&< Q IQ CR= Q003v Q IQ •个钢铁厂都普遍■ ■ ■次纠构图(4)刿斷矩阵〔J P层次总排序及一致性检脸•共结杲如下:层次总排序-致性指标:CI= 甲C 』尸3 982 855x 10 25层次总排序随机一致性指标:R1= 沏 ir ft 58层次总排序随机•致性比率:CR = ^= 0 006 8< Q 1Q知层次总排序的计算结果具有活意的一致性层次尸总排序向fcw= (0 436 41, 0 262 494 301 10)T ,权重最大的一项即为最优项溝后結果(由优到次):3台大车r §台夭车-M 台大车故应选择3台天车的柞业调度方案层次分析法的优缺点 优点:(1)AHP 把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断和综合的思维方式进行决策 ,是 系统分析的重要工具。
层次分析法
层次分析法简介层次分析法(Analytic Hierarchy Process,AHP)这是一种定性和定量相结合的、系统的、层次化的分析方法。
这种方法的特点就是在对复杂决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入研究的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
是对难以完全定量的复杂系统做出决策的模型和方法。
层次分析法的原理：层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。
层次分析法的步骤，运用层次分析法构造系统模型时，大体可以分为以下四个步骤：（1）建立层次结构模型：将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按他们之间的相互关系分成最高层、中间层和最低层，绘制层次结构图。
最高层(目标层)：决策的目的、要解决的问题；中间层(准则层或指标层)：考虑的因素、决策的准则；最低层(方案层)：决策时的备选方案；（2）构造判断(成对比较)矩阵；表指标之间比较量化值规定因素i比因素j量化值同等重要 1.00稍微重要 3.00较强重要 5.00强烈重要7.00极端重要9.00稍微不重要0.33较强不重要0.20强烈不重要0.14极端不重要0.11两相邻判断的中间值2、4、6、8（3）层次单排序及其一致性检验；（4）层次总排序及其一致性检验；举例：某市中心有一座商场，由于街道狭窄，人员车流量过大，经常造成交通堵塞。
市政府决定解决这个问题，经过有关专家会商研究，制订三个可行方案：a1:在商场附近修建一座环形天桥；a2:在商场附近修建地下人行通道；a3:搬迁商场决策的总目标是改善市中心交通环境，根据当地具体条件和情况，专家组织拟定五个目标作为对可行方案的评价准则：C1：通车能力；C2：方便群众；C3：基建费用不宜过高；C4：交通安全；C5：市容美观。
层次分析法分析方法
层次分析法分析方法简介层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种常用的多标准决策分析方法，由美国运筹学家托马斯·L·赛蒂尔于20世纪70年代提出。
它通过将复杂的决策问题分解为层次结构，对各层次标准进行定量评估和权重分配，最终得到综合的决策结果。
层次分析法是一种基于专家经验和主观判断的定性与定量相结合的决策方法，适用于复杂的多因素多目标决策问题。
它以一种系统化和结构化的方式帮助决策者进行决策分析，提高决策的科学性和准确性。
方法步骤层次分析法主要包括以下几个步骤：1.建立层次结构：首先，需要将决策问题进行逐层分解，形成一个层次结构模型。
层次结构由目标层、准则层和方案层构成，决策问题从目标层开始，经过准则层逐步分解，最终得到方案层。
目标层表示整个决策问题的目标或要达到的结果，准则层表示实现目标所涉及的关键因素，方案层表示可行的解决方案。
2.构造判断矩阵：在层次结构的每一层中，需要对各个元素之间进行两两比较，得到一个判断矩阵。
判断矩阵的每个元素表示两个层次因素之间的相对重要性。
比较的方式可以是定性的，也可以是定量的。
常用的比较方法有9点量表法和1-9标度法。
3.确定权重向量：通过计算判断矩阵的特征向量，可以得到每个层次因素的权重。
特征向量即为判断矩阵的最大特征值对应的特征向量。
通常需要进行一致性检验，判断矩阵的一致性可以通过一致性指标和一致性比率来衡量。
4.计算综合评估值：根据各个层次因素的权重和方案的评价指标，可以计算得到每个方案的综合评估值。
综合评估值可以表示方案的优劣程度。
5.灵敏度分析：层次分析法可以进行灵敏度分析，通过改变判断矩阵中的比较数据，可以检测到不同因素权重发生变化时对决策结果的影响。
优点和应用范围层次分析法具有以下优点：•结构化：通过将决策问题分解成层次结构，使得问题更加清晰和易于理解。
•定量化：通过构造判断矩阵和计算权重向量，将主观因素定量化，提高了决策的科学性。
《层次分析法教程》课件
案例二：投资项目评估
总结词
层次分析法可以用于评估投资项目的风险和收益，帮助投资者做出明智的决策。
详细描述
投资者可以根据项目特点和需求，构建项目评估的层次结构模型，对项目的风险和收益进行量化评估 ，从而选择最优的投资项目。
案例三：供应商选择问题
总结词
层次分析法可以帮助企业更加科学地选择合适的供应商，提高采购效率和降低采购成本 。
一致性检验的限制
层次分析法在检验判断 矩阵的一致性时，对于 大型问题可能会遇到一 致性检验的限制，导致 结果的不准确。
适用范围有限
层次分析法主要适用于 具有层次结构的问题， 对于非层次化的问题可 能不太适用。
层次分析法的改进方向
引入客观评价方法
为了减少主观因素的影响，可以 考虑引入客观评价方法，如熵权 法、灰色关联分析等，来辅助确 定权重和判断矩阵。
判断矩阵的权重计算
权重计算的方法
权重计算是层次分析法的核心步骤之一，常用的方法有和积法、方根法等。这些方法都是基于判断矩阵的元素值 来计算各个因素的权重。
权重计算的结果
通过权重计算，可以得到各个因素在整体中的相对重要性程度。这些权重值可以用于后续的决策分析中，以帮助 决策者做出更加科学合理的决策。
准则层
01
准则层是层次分析法的中间层，代表实现目标所需要考虑的准 则或限制条件。
02
在制定准则层时，需要深入分析问题，识别出影响目标实现的
关键因素或限制条件。
准则层可以有多个元素，代表不同的准则或限制条件。
03
方案层
01
方案层是层次分析法的最低层，代表实现目标的具体
方案或措施。
02
在制定方案层时，需要提出具体的解决方案或措施，
层次分析模型
计算判断矩阵的最大特征 值和特征向量，得出各因 素的权重值，并进行一致 性检验。
计算组合权向量，得出各 因素的组合权重值，并进 行一致性检验。
02 建立层次结构
目标层
01
目标层是层次分析模型的最顶层，代表要解决的问题或要实现 的目标。
02
在目标层中，需要明确问题的最终目标，并将其作为层次分析
模型的输出。
特点
简单明了、系统性、灵活性、所需定量数据信息较少、广泛的应用领域。
层次分析模型的应用领域
资源分配
在资源有限的条件下，合理分配资源以达到 最优的效果。
综合评价
对某个事物进行全面的评价。
方案选择
从多个备选方案中选出最优方案。
决策分析
对决策问题进行分析，得出最优的决策方案。
层次分析模型的基本步骤
01
层次分析法软件
使用专门开发的层次分析法软件，如 yaahp、Analytic Hierarchy
Process等，可以方便地构造判断矩 阵
判断矩阵的一致性检验
一致性检验的步骤
先计算判断矩阵的最大特征值λmax，然后根据公式CI=(λmax-n)/(n-1)计算一致性 指标CI，其中n为判断矩阵的阶数。接着查找相应的平均随机一致性指标RI（常见的 RI值有0、0.58、0.90、1.12等），最后计算一致性比例CR=CI/RI。
一致性检验的标准
当CR<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当CR≥0.1时，需要对判断矩 阵进行调整。
04 层次单排序与层次总排序
层次单排序
确定比较判断矩阵
根据专家意见或数据，确定各因素之间的相对重 要性，构建比较判断矩阵。
计算权重向量
层次分析法
11.3层次分析法11.3.1方法的由来层次分析法是建立在系统理论基础上的一种解决实际问题的方法。
系统理论认为，世界万物皆系统，而系统是由两个以上的相互联系、相互作用的部分（要素）所组成的具有一定功能的有机整体。
所以在对事物的处理方法上也必然是从整体出发，辨证地处理整体与部分、结构与功能、系统与环境、功能与目标的关系，找到整体最优又不使部分损失过大的方案，以作为决策的依据，实现整体最优化。
现在，人们把系统方法运用在不同的领域内，由于目的的不同，使系统方法获得了不同的名称。
用系统的概念和观点去分析和处理各种与系统有关问题的思考方法称为系统思路、系统思维或系统性原则；以系统的组织建立和经营为特定目的的方法称为系统工程；以系统的总体最优为目标对系统的各个方面进行定性和定量分析，给决策者提供最优系统方案的方法称为系统分析，等等。
可见，系统方法实际上是各种研究系统方法和技术的混合物，是把事物作为系统来研究和处理的各种方法形态、类型及其特殊变种的总称。
系统方法具有3个特征。
（1）整体性系统是由诸多部分或要素组成的有机整体。
系统的整体性质和规律只存在于组成诸要素的相互联系和作用之中，并不等于各组成部分或要素的孤立的性质和活动规律的总和。
（2）综合性就是把任何整体都视为以要素为特定目的而组成的综合体，要求研究任一对象都必须从它的成分、结构、功能、相互联系方式、历史发展等方面进行综合考察，它是把分析与综合有机地结合起来，并从综合出发，在综合的指导下进行分析，然后在回到综合。
（3）优化性通过研究系统的要素，结构及环境的关系，经过科学的计算，预测，作出系统目标的多种方案，从中选择最佳的设计和实施方案以及所能达到的最佳功能目标，同时还要制定最佳控制和进行最优管理。
定性与定量结合是系统方法优化性的保证，而层次分析法恰恰符合上述这些特征。
但这里必须指出的是，人们应用系统方法总希望实现目标最优化，但在通常的情况下完全达到“最优化”是不可能的。
层次分析法模型
层次分析法模型层次分析法模型（AHP）是指采用多角度分析综合决策问题的决策模型。
层次分析法模型也常被称为“综合衡量决策法AHP”，它可以清楚地显示决策问题中各个因素和各种决策目标之间的变化关系，从而协助决策者进行决策分析，尤其是在复杂多样的环境下，可以提供较为准确的分析和决策结果。
一、层次分析法模型的原理及概念层次分析法模型是一种有着多样度的决策方法，它可以帮助决策者从多角度的结果进行综合性的分析，从而有助于提升决策的准确性和鲁棒性。
层次分析法模型的核心思想是将决策问题分解为一系列级联的小问题，在组织问题越来越复杂的情况下，层次分析法模型可以更有效地进行管理。
层次分析法模型主要包括三个层次：目标层、指标层和子指标层。
1.目标层：目标层即分析的主题，是实际分析的核心问题，是总体分析的指导原则。
2.指标层：指标层由各种相关指标组成，用以检测目标层的实现状况。
3.子指标层：子指标层是指标层的进一步分解，包括客观指标与主观指标，用以更加准确地衡量目标层在实现过程中的困难程度。
二、层次分析法模型的特征1.简单易操作：层次分析法模型具有很高的计算简便性，操作简洁，只要决策者能够合理地组织数据，就可以运用层次分析法模型得出准确的结果。
2.易于计算：采用层次分析法模型进行综合性分析时，需要计算一系列不同层面之间的相对权重，这一点使得计算成本较低。
3.考虑多项条件：采用层次分析法模型，进行决策分析的同时可以考虑多个条件，从而利用这些条件完成更加准确的决策。
4.表达性强：层次分析法模型擅长表达决策者的思路，通过具体的分析过程可以更清楚地了解决策者的想法，从而使决策者更容易接受最终的决策结果。
三、层次分析法模型的应用1.组织治理：组织治理是组织管理的重要部分，其中重要的指标也是关键因素，层次分析法分析法模型可以帮助组织管理者准确掌握各个指标的变化，从而进行有效的组织治理。
2.市场营销：市场营销是一项复杂的技术活动，需要分析多个指标，如客户偏好、价格影响因素等，考虑这些因素之间的关系，层次分析法模型可以有效帮助企业发掘潜在市场需求，从而更有效地实现市场营销计划。
层次分析法
判 断 矩 阵
p1 p2 … … pn
在层次分析法中，为了使判 断定量化，关键在于设法使任意 两个方案对于某一准则的相对优 越程度得到定量描述。一般对单 一准则来说，两个方案进行比较 总能判断出优劣，层次分析法采 用1-9标度方法，对不同情况的 评比给出数量标度。
标 度
1 3
定义与说明 两个元素对某个属性具有同样重要性 两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
层次总排序 利用层次单排序的计算结果， 进一步综合出对更上一层次的优劣 顺序，就是层次总排序的任务。
层次分析法实例 某单位拟从三名干部中提拔一 人担任领导工作，干部的优劣（由 上级人事部门提出），用六个属性 来衡量：健康状况、业务知识、写 作水平、口才、政策水平、工作作 风，分别用p1 、 p2 、 p3 、 p4 、 p5 、 p6 来表示。判断矩阵如下B。
5
7 9
两个元素比较，一元素比另一元素明显重要
两个元素比较，一元素比另一元素重要得多 两个元素比较，一元素比另一元素极端重要
2,4,6,8 表示需要在上述两个标准之间拆衷时的标度
1/bij 两个元素的反比较
判断矩阵B具有如下特征： o bii = 1 o bji = 1/ bij o bij = bik/ bjk (i,j,k=1,2,….n)
o对向量W=（ W1， W2…… Wn)t归 一化处理:
Wi=
Wi 1nWj
(i =1,2,….n)
W=（ W1， W2…… Wn)t 即为所求的特征向量的近似解。
B
p1 p2
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0.16 0.17 0.15 0.20 0.14 0.13 0.16 0.17 0.30 0.20 0.14 0.13
层次分析模型
141层次分析模型T. L. Saaty 等人在20世纪70年代末提出了一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法，称为层次分析法（analytic hicrachy process, 简记成AHP ）。
层次分析法是将半定性、半定量的问题转化为定量问题的行之有效的方法，是分析多目标、多准则的复杂大系统的强有力的工具。
它通过逐层比较多种关联因素来为分析、决策、预测或控制事物的发展提供定量的依据。
层次分析法被广泛应用于经济计划和管理、能源分配、军事指挥、交通运输、农业、科学技术、医疗、环境等许多领域中。
层次分析法的基本步骤：1）建立层次结构模型。
在深入分析面临的问题后，将有关因素按照不同属性分成若干层次。
同一层次的因素从属于上一层的因素或对上一层因素有影响，同时又支配下一层因素或对下一层因素有影响。
最上层为目标层，一般只有一个因素；最下层为方案层，可以有多个因素；中间层为准则层，准则层又可以根据实际情况分成若干个子层。
2）构造成对比较矩阵。
对同一层（第一层除外）中的各个因素进行成对比较，利用1-9比较尺度，确定各层中的因素对于上一层中每一因素的影响值，构成若干个成对比较矩阵。
3）单层排序及一致性检验。
求各层次中成对比较矩阵的最大特征值和对应的特征向量，并进行一致性检验。
若检验通过，则可对特征向量归一化求出各层次中的因素对于上一层每一因素的权重向量；否则重新构造成对比较矩阵。
4）层次总排序及一致性检验。
将各层次中因素对于上一层次中各因素的权重向量及上一层次因素对于总目标的权重向量进行组合，确定该层次因素对于总目标的权重向量，并对总排序进行一致性检验，直至方案层。
下面通过实例说明层次分析法的具体实施过程。
例8.1 利润的合理使用。
某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用，可供选择的方案有三个：（1）以奖金名义发给职工；（2）扩建集体福利设施；（3）引进新技术、新设备等。
在制定方案时，主要考虑的因素有：调动企业员工的积极性；提高企业的技术水平；改善企业员工的生活条件。
层次分析法评价模型
层次分析法评价模型评价类数学模型是全国数学建模竞赛中经常出现的一类模型，如2005年全国赛A题长江水质的评价问题，2008年B题高校学费标准评价体系问题等。
主要介绍三种比较常用的评价模型：层次分析模型，模糊综合评价模型，灰色关联分析模型，以期帮助大家了解不同背景下不同评价方法的应用。
层次分析模型层次分析法(AHP)是根据问题的性质和要求，将所包含的因素进行分类，一般按目标层、准则层和子准则层排列，构成一个层次结构，对同层次内诸因素采用两两比较的方法确定出相对于上一层目标的权重，这样层层分析下去，直到最后一层，给出所有因素相对于总目标而言，按重要性程度的一个排序。
其主要特征是，它合理地将定性与定量决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。
运用层次分析法进行决策，可以分为以下四个步骤：步骤1 建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层(目标—准则或指标—方案或对象)，上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
步骤2构造成对比较阵对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，借助1~9尺度，构造比较矩阵；步骤3计算权向量并作一致性检验由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验，若通过，则最大特征根对应的特征向量做为权向量。
步骤4计算组合权向量(作组合一致性检验)组合权向量可作为决策的定量依据通过一个具体的例子介绍层次分析模型的应用。
例(选择旅游地决策问题)如何在桂林、黄山、北戴河3个目的地中按照景色、费用、居住条件、饮食、旅途条件等因素进行选择。
步骤1 建立系统的递阶层次结构将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。
图1 选择旅游地的层次结构步骤2构造比较矩阵元素之间两两对比，对比采用美国运筹学家A.L.Saaty 教授提出的1~9比率标度法(表1)对不同指标进行两两比较，构造判断矩阵。
层次分析法
1.层次分析法层次分析法，简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。
层次分析法是在20世纪70年代初，由美国著名的运筹学专家萨蒂教授提出的，萨蒂教授在进行"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题研究时，提出了一种层次权重分析的方法。
层次分析法简单来说，就是将需要解决的问题，归为一个系统。
并且将整个要解决的问题进行目标分解，从而形成多个层次指标通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。
在进行层次分析法使用的过程中，需要根据问题按照总目标—子目标—评价准备的层次进行分解，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，最终权重最大的就是此问题的最优解决方案。
同时分析法的基本原理就是将问题进行系统化处理，汇总成一个总的目标，并且根据问题的不同以及因素的不同，再将问题进行分解，按照问题之间的关系形成一个彼此相连接的层次，在进行问题解决时逐层分析最终将问题分解到最低层，从而找出最优解。
层次分析法的应用比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。
因此层次分析法多被应用于社会、经济及管理领域的各种问题，因为这些领域的问题多是由许多相互关联，相互制约的因素所构成的在进行分析解决事很难有明确的判断，而通过层次分析法研究者可以将复杂的系统进行层次分解，使得问题更加的简洁从而帮助研究者找出解决问题的方法。
在安全科学和环境科学领域，层次分析法也被经常使用。
在安全生产科学方面，层次分析法常被应用于煤矿的安全研究、危化品评价、油库安全评价、城市灾害应急能力研究以及交通安全评价等。
在环境保护研究中的应用主要包括：水安全评价、水质指标和环境保护措施研究、生态环境质量评价指标体系研究以及水生野生动物保护区污染源确定等。
5 层次分析评价方法
5 层次分析评价方法5.1 概述层次分析法（The Analytic Hierarchy Process,即AHP ），又称多层次权重解析方法，是20世纪70年代初期由美国著名运筹学家、匹兹堡大学萨蒂（T.L.Saaty ）教授首次提出来的。
该方法是定量分析与定性分析相结合的多目标决策分析方法，把数学处理与人的经验和主管判断相结合，能够有效地分析目标准则体系层次间的非序列关系，有效地综合测度评价决策者的判断和比较。
由于它系统、简洁、实用，在资源系统分析、城市规划、招标评标、经济管理、教育管理、科研成果评价、社会科学等许多领域，得到越来越广泛的应用。
5.1.1 层次分析法德基本原理人们在日常生活中要从一堆同样大小的物品中挑选出最重要的物品，如重量最大的物品，即至少要确定各物品的相对重量。
这是，经验和常识告诉我们，可以利用两两比较的方法来达到目的。
假设有n 个物体，其真实重量为1ω，2ω，……，n ω，如果人们可以精确地判断两两物品之重量比，那么就可以得到一个重量比矩阵A 。
111211112121222212221212//////()///n n n n ij n nn n nn n n n nA δδδωωωωωωδδδωωωωωωδδδδωωωωωω⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5—1）显然，1/ij ji δδ=，1ii δ=，,,1,2,,.i j k n =用重量向量12(,,,)T n W ωωω= 右乘矩阵A ，其结果为：1112111212222212/////////n n n n n n n nn n AW nW n ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （5—2） 从上式不难看出，以n 个物品重量为分量的向量W 是比较判断矩阵A 的对应于n 的特征向量。
根据矩阵理论可知，n 为上述矩阵A 唯一非零的最大特征根，W 是矩阵A 的特征根n 对应的特征向量。
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b15
1b11 2b12 5b15
b25
1b21 2b22 5b25
b35
1b31 2b32 5b35
4 层次总排序的一致性检验
设 最下层对最上层中因素的层次单排序一致性指标为 CIj， 随机一致性指为 RIj，则层次总排序的一致性比率为：
CR
a1CI1 a1RI1
a2CI 2 a2 RI 2
amCI m am RI m
当 CR 0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。到
此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
三 层次分析法建模举例
(1)建模
一、旅游问题
Z
A1, A2 , A3, A4 , A5
分别分别表示景色、费用、
A1
A2 A3 A4 A5 居住、饮食、旅途。
B1
B2
计算 CR可k知 B1, B2 , B通3, 过B4一, B致5 性检验。
（4）计算层次总排序权值和一致性检验
B1 对总目标的权值为： 0.595 0.263 0.082 0.475 0.429 0.055 0.633 0.099 0.166 0.110 0.3
饮食 1/3 1/5 2 1 1
旅途 1/3 1/5 3 1 1
由上表，可得成对比较矩阵
1
1 2
4
3
3
2 1 7 5 5
A
1 4
1 7
1
1 1 2 3
1 3
1 3
1 5
1 5
2 3
1 1
1
1
问题：两两进行比较后，怎样才能定量求出到底去哪个地 方旅游最合理？
3 层次单排序
层次分析法用权值表示各个因素的优劣性，那 如何求权值呢？
1 1
3
3 3 1
1 3 4
B4
1 3
1
1
1 4
1
1
1 B5 1
1 1
1
4 1
4
4 4 1
(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验
成对比较矩阵 A的最大特征值 5.073
该特征值对应的归一化特征向量
0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110
则 CI 5.073 5 0.018 5 1
层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP) 是一种定性和定量相结合，系统化、层次化的分析 方法。
层次分析法的基本步骤归纳如下 1.建立层次结构模型 2.构造成对比较矩阵 3.层次单排序 4.层次总排序
建立层次分析模型
1 建立层次结构模型
一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层，中 间是准则层。
一致性指标CI和随机一致性指标RI。
定义一致性指标 CI n
n 1
是最大特征根，n 矩阵的阶数。
定义随机一致性指标 RI
随机一致性指标RI的数值如下：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
a11
A
aij
55
a21
a12
a22
a15 a25
则称 A为成对比较矩阵。
a51 a52 a55
比较尺度：（1~9尺度的含义）
尺度
含义
１ 第 i 个因素与第 j个因素的影响相同 ３ 第 i 个因素比第 j个因素的影响稍强 ５ 第 i 个因素比第 j个因素的影响强 ７ 第 i个因素比第 j个因素的影响明显强
层次结构模型
选择 旅游地
目标层 Z
景
费
Hale Waihona Puke 居饮旅色
用
住
食
途
准则层 A
苏州、杭州、 绍兴
方案层 B
2 构造成对比较矩阵
准则层有 5 个因素，x5={x1,x2,x3,x4,x5}
接下来就要对准则层的5个因素两两进行比较，从而形成比 较矩阵。 两两因素之间进行的比较，用的是1~9尺度。
用 aij表示第 i 个因素相对于第 j个因素的比较结果，则
RI 1.12
故 CR 0.018 0.016 0.1 1.12
表明 A 通过了一致性验证。
对成对比较矩阵 B1, B2 , B可3, B以4求, B层5 次总排序的权向
量并进行一致性检验，结果如下：
k 1 234 5
k1 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166
k2 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 k3 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 k 3.005 3.002 3 3.009 3 CIk 0.003 0.001 0 0.005 0 RIk 0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
用矩阵A最大特征根的特征向量(归一化后)作为权值， 计算公式为:
Aw w w w1, w2,, wn
求特征值和特征向量是高等代数中的知识，通常在数学建 模中可以用matlab计算特征值。[V,D]=eig(A) 这样求出的权重不是最后结果，必须要通过检验才能使用。
如何进行检验，这里Saaty引入两个指标：
一般，当一致性比率
CR CI 0.1 RI
时，
认为由矩阵A 求出的权向量可作为结果使
用，否则要重新构造成对比较矩阵，直至通过
检验为止。
4 层次总排序
确定方案层所有因素对目标层的权值
A B
景色，费用，居住，饮食，旅途
1,2 ,,5
B层的权重值
苏杭 北戴河 绍兴
b11 b12 b21 b22 b31 b32
B3
B1, B2 , B3
分别表示苏州、杭州、绍兴。
（2）构造成对比较矩阵
1
2 1
1
2 1 1
4 7 1
3
5 1
3
5 1
A 4 7
2 3
1 3
1 5
2
1
1
1
1
3
1
1
3 5
1 2 5
B1
1 2
1
2
1 5
1 2
1
1
B2
3
1 3 1
1
8 1
3
8 3 1
1 1 3
B3
1 1
层次分析模型
问题提出
旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去
迷人的杭州，或者是去历史文化中心绍兴，不 同的人有不同的意见和想法，但是一般人们都会 对各地的景色、整体费用、路上的食宿条件、旅途 等因素选择去哪个地方。
面对这样的选择，往往要进行比较、判断， 最后才能作出决策。在这个过程中主观因素占 有相当大的比重，要想客观的得出结论很不容 易。20世纪七十年代Saaty提出了一种能有效 处理这类问题的实用方法。
９ 第 i个因素比第 j个因素的影响绝对地强
2,4,6,8表示第 i 个因素相对于第 j 个因素的影响介于上 述两个相邻等级之间。
旅游问题中，准则层A的各因素对目标层Z 的影响两两比较结果如下：
景色 费用 居住 饮食 旅途
景色 1 1/2 4
33
费用 2
17
55
居住 1/4 1/7 1 1/2 1/3