坐标法在平面向量运算中的应用(公开课教案)

坐标法在平面向量运算中的应用（专题复习）

一、教学目标

1．知识与技能：

运用坐标法解决平面向量的数量积、夹角、模、参数等有关的值、范围、最值等高考热点问题。

2．过程与方法：

通过实例讲解，让学生在用坐标法、基向量法及其它方法解决向量问题过程中，体会坐标法的优越性，并掌握用坐标法解决平面向量有关问题。

3．情感、态度与价值观：

通过本节的学习，让学生体验坐标法在平面向量运算中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。

二、教学重点难点

重点：运用坐标法解决平面向量有关问题。

难点：恰当建立直角坐标系，将平面向量有关的问题用坐标法解决。

三、教学过程

（一）回归教材

1.向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底. 对于平面内的一个向量a ，由平面基本定理，有且只有一对实数x 、y ，使得x y =+a i j 这样，平面内的任一向量a 都可以由x 、y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的 坐标，记作(,)x y =a .显然，i =（1,0），j =（0,1），0 = （0,0）

2.平面向量的坐标运算

(1) 若11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则1212(,)x x y y ±=±±a b ， a

(2) 若11(,)A x y ,22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--.

(3) 若向量11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212x x y a y b +=

(4) 向量的夹角公式：21cos a b a b x θ=

=+ (5)向量的模：221a a a a x ==⋅=+(6)平面向量的平行与垂直问题：若11(,)a x y =，22(,)b x y =

//a b ，则12210x y x y -= a b ⊥，则121200x x y a b y ==+⇒

λ）（21,x x λλ=

3.平面几何问题的向量坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能将向量有关的几何问题转化为相应的代数运算，从而使问题得到解决。

（二）课前小试

1.若a 与b 的夹角为θ，且a =(3,3)，)3,1(2-=-a b ，则 θ = ____________ .

2.若）（1,x a =，）（y b ,1=，）

（4,2-=c ，且c a ⊥，c b ∥，则=+b a _________ 3.正方形OABC 边长为1，点D 、E 分别为AB 、BC 的中点，则cos ∠DOE = _________．

4.已知ABC ∆中，3=AC ，4=BC ，5=AB ，P 为AB 边上任意一点，则CA CP ⋅ 的最大值为 ____________.

5.在矩形ABCD 中，2=AB ，2=BC ，点E 为BC 的中点，点F 在CD 上，若 2=⋅AF AB ，则BF AE ⋅的值是 ________________.

（三）例题讲解

例1.（2012•北京）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB

→ 的值为________；DE →·DC

→的最大值为________．

例2.(2013•重庆) 在平面上，已知

⊥，||=||=1，=+， 若||＜，则||的取值范围是 （ ）

A.]250(，

B.)2725(，

C.]2,25(

D.]227(，

思考探究：

如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →

与OC →

的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →

(λ，μ∈R)， 则λ＋μ的值为________．

（四）课后巩固，走进高考

1.（2013•北京）向量→a ，→b ，→c 在正方形网格中的位置如图所示，若→→→+=b a c μλ ),(R ∈μλ，则

=μ

λ _____________. 2.(2009•湖南文) 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB

→＋yAC →， 则x ＝____，y ＝_______.

3.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上

的动点，则|PA

→＋3PB →|的最小值为________． a

b c

4.（2013•湖南 文）若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为（ ）

A ．2－2

B ．—1

C ．1— 2

D ．—2

5.（2011•辽宁）若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 则|a ＋b －c |的最大值为( )

A ．2－1

B ．1

C ． 2

D ．2

6.（2013.厦门月考）给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3

.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，

求x ＋y 的最大值．

（五）思考与小结

思考1.哪些向量有关问题比较适合用坐标法解决？

小结

思考2.坐标法与基向量法在解题过程中各有什么优劣？解题时如何选取？ 小结