类比推理题的四种类型

类比推理题的四种类型
浙江 曾安雄
类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理． 在近年高考中加强了此方面题型，下面仅以数列知识为背景加以说明．
一、类比概念
课本中介绍了等差数列及等比数列的概念，类比此两个概念，我们就可定义“等和数列”及“等积数列”等．课本中介绍了求前n 项，可类比此概念“求前n 项的积”等；可用等差(比)数列解题模式来解决．
例1 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为_________ ．
分析：解决本题的关键是理解即时定义“等和数列”．
解：由等和数列的定义，知a 1＋a 2＝a 2＋a 3＝a 3＋a 4＝…，即有a 1＝a 3＝a 5＝…，a 2＝a 4＝a 6＝…．又a 1＝2，公和为5，得 a 18＝a 2＝5－2＝3．
即有a n ＝2,为奇数3,为
偶数n n ⎧⎪⎨⎪⎩， 故当n 为偶数时，S n n =52
；当n 为奇数时，S n n =-5212． 评注：类比某些熟悉的概念，产生的类比推理型试题；在求解时可以借助原概念所涉及的基本方法与基本思路．
练习：等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－2
1，用n ∏表示它
的闪n 项之积：123
n n a a a a =∏，则1∏，2∏，…中最大的是( ) (A) 8∏ (B) 9∏ (C) 10∏ (D) 11∏
(答案：(B))
二、类比性质
例 2 在等差数列}{n a 中，若010=a ，则等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈<+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等比数列}{n b 中，若19=b ，则有等式 成立．
分析：本题是已知等差数列的性质，类比推理等比数列的性质． 解：由题设，应该有如果0=m a ，则等式：
),12(122121N n m n a a a a a a n m n ∈-<+++=+++-- 成立，我们知道，如果q p n m +=+，其中q p n m ,,,是自然数，对于等差数列，则有q p n m a a a a +=+，而对于等比数列}{n b 则有q p n m b b b b =，所以可以得出结论：
若1=m b ，则等式),12(122121N n m n b b b b b b n m n ∈-<=-- 成立． 在本题中9=m ，故填),17(172121N n n b b b b b b n n ∈<=- ．
评注：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，产生类比推理型问题．求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．
练习：若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝122n a a a ++
+( n ∈N *)也是等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n ＞0(n ∈N *)，则有d n ＝_________( n ∈N *)也是等比数列． (答案：n c •
•)
三、类比方法
例3 设f(x)＝
，利用课本推导等差数列前n项和的公式的
方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为_______．
分析；本题是类比数学方法，即利用逆序相加法，通过类比方法即可解决．
解：由f(x)＋f(1－x)＝
＋＝
设S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)，又
S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(0)＋…＋f(－4)＋f(－5)
∴2S＝12[ f(－5)＋f(6)]＝
．
即S＝32，故填32．
评注：有一些处理问题的方法，具有类比性，结合这些方法产生的问题，在求解时，要注意知识的迁移．
四、类比情景
例4定义一种运算“*”，对于正整数n满足以下运算性质：
①1*1＝1，②(n＋1)*1＝3(n*1)．
则n*1用含n的代数式表示是_________．
分析：本题是新定义一种运算，此运算类比数列通项的情景而命题，故转化为数列的通项问题，即可解决．
解：设n*1＝a
n ，则(n＋1)*1＝
1
n
a
+
，由条件可得a
1
＝1，
1
n
a
+
＝3a
n
，
从而有{a
n
}是以1为首项，公比为3的等比数列．
∴a
n ＝1
3n-．
故填1
3n-．
评注：借助类比推理进行命题是命题改革产生的一类新型试题，
应要注意对课本知识的联想及迁移．。