求最值问题的几种方法
求最值问题的五种方法
求最值问题的五种方法
求最值问题是多种数学模型中的经典概念，可以应用于科学研究、工程
设计和经济管理等领域，具有重要的现实意义。
通常，有五种方法可以解决
求最值问题，即解析法、穷举法、单纯形法、回归法和数值方法。
首先，解析法是指根据问题的函数关系或其它变量的规律，以求解一次
高阶算式或一组方程组的方法来解决求最值问题，它是对问题进行分析求解，速度较快，但它的适用范围较窄，只适用于问题的算式表达既简单又复杂的
情况。
其次，穷举法是一种采用暴力枚举方式搜索全部可能解以解决问题的方法。
它有利于深入了解问题，适用性较广，但缺点是计算量较大，容易出现
数量级爆炸，效率较低。
第三，单纯形法是指使用单纯形法对求最值问题进行分析求解，能够有
效获得求最值问题的解，同时它也能用来求解约束优化问题，简单易操作，
但需要注意的是，得到的解可能不是最优解。
第四，回归法是指使用统计学中的回归分析方法来重建散点数据，以寻
求最优的函数。
回归法的优势在于能够得到较好的拟合性能，它能够清楚的
表达模型之间的统计关系，并且能够根据数据自动学习模型，但是其缺点是
可能出现较多的陷阱，作出决策时要非常小心。
最后，数值方法是指利用数值计算技术，通过迭代的方式寻找函数取得
最值的方法。
它的优势在于十分适用于大规模的求解，它也支持多种求最值
方法，可以处理许多强约束优化问题，但缺点是它的计算量较大，时间消耗
比较大。
以上就是解决求最值问题常用的五种方法，它们各有利弊，依据各自的
特点，在不同环境下可以有选择性的使用，以达到最优求解效果。
谈谈解答最值问题的四个技巧
备考指南最值问题是高考试题中常见的考点之一.此类问题具有较强的综合性，且命题形式多种多样，在解题过程中若找不到恰当的方法，就会因为复杂冗繁的计算量而浪费大量的时间，甚至得不到正确的答案.如何选择合适的方法，如何灵活运用各个模块的知识，是解答最值问题所需要重点考虑的事情.本文举了四个典型的例题，并对其进行了分析、探究，总结出解答最值问题的技巧，供同学们参考.一、用函数的单调性求最值在求解最值问题时，我们通常可将目标式构造成函数式，将问题转化为函数最值问题，利用函数的单调性来求解最值.在解题时，需根据函数单调性的定义，或导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性求得最值.例1.设a 为实数，求x 2+||x -a +1的最小值.解：设f ()x =x 2+||x -a +1，(1)若x ≤a ，则f ()x =æèöøx -122+a +34，①当a <12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上单调递减，可知函数在(]-∞,a 上的最小值为f ()a =a 2+1；②当a ≥12时，函数f ()x 在(]-∞,a 上的最小值为f æèöø12=34+a ，且f æèöø12≤f ()a .（2）若x >a ，则f ()x =æèöøx +122-a +34.①当a ≤-12时，则函数f ()x 在éëöø-12,+∞上单调递增，在éëöøa ,-12上单调递减，所以函数在[)a ,+∞上的最小值为f æèöø-12=34-a ，且f æèöø-12≤f ()a ；②当a >-12时，则函数f ()x 在[)a ,+∞上的最小值为f ()a =a 2+1.综上可得，当a ≤-12时，f ()x min =34-a ；当-12<a≤12时，f ()x min =a 2+1；当a >12时，f ()x min =a +34.将目标式看作二次函数式，便可根据x 与a 的大小关系，以及a 与函数对称轴-12的大小关系，确定二次函数的单调性，即可根据二次函数的单调性确定函数的最值.在解题时，需运用运动和变化的观点，构建关于变量、自变量的集合，通过类比、联想、转化的方式构造合适的函数.二、用基本不等式求最值基本不等式a +b 2≥ab ()a >0，b >0主要用于求函数的最值及证明不等式.在运用基本不等式求最值时，需把握“一正”“二定”“三相等”三个条件，重点关注或配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值.例2.求y =x +4x的值域.解：①当x >0时，x +4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，②当x <0时，()-x +æèöø-4x ≥=4，当且仅当x =2时等号成立，所以x +4x ≤-4，故y =x +4x的值域是(]-∞,-4∪[)4,+∞.由于x 的取值不确定，而运用基本不等式的条件是各式均为正值，于是将x 分为x >0和x <0两种情况，分别运用基本不等式来求最值.三、利用线性规划思想求最值线性规划思想是指求线性约束条件下，目标函数的极值.运用线性规划思想求最值的基本步骤是：①根据题意建立数学模型，并作出可行域；②建立目标函数；③利用图形求出目标函数的最值.例3.已知ìíîïïx -y +2≥0，x +y -4≥0，2x -y -5≤0，求z =x 2+y 2-10y +25的最小值.解：作出可行域，如图中阴影部分所示.将直线x -y +2=0、x +y -4=0、2x -y -5=0两两联立可求出三个顶点的坐标A ()1,3、B ()3,1、C ()7,9，51备考指南而z =x 2+y 2-10y +25=x 2+()y -52表示可行域内任一点()x ,y 到定点M ()0,5的距离的平方，过M 作直线AC易知垂足N 在线段AC 上，则z 的最小值为||MN 2，由点到直线的距离公式可得||MN =，故z 的最小值为||MN 2=92.我们将不等式组看作线性约束条件，画出可行域，便可将问题看作线性规划问题，结合图形寻找到目标函数取得最小值的点，即可利用线性规划思想求得问题的答案.四、利用代数式的几何意义求最值大部分的代数式都有几何意义，如y =x 2表示的是一条抛物线，y =x 表示的是一条直线，y =1x表示的是两条双曲线，等等.在求最值时，可先挖掘代数式的几何意义，画出相应的几何图形，通过寻找图形中的临界情形，如相切、相交等情形，确定目标式的最值.例4.已知x ，y 满足x 225+y 29=1，求()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最值.解：由方程x 225+y29=1易知，该曲线为椭圆，设P ()x ,y 为椭圆上的一点，B (2，2)，则a =5，b =3，c =4，右焦点A (4,0)，左焦点F 1(-4,0)，而||PA +||PB =()x -42+y 2+()x -22+()y -22，根据椭圆的定义可得|PF 1|+|PA |=10，则|PA |=10-|PF 1|，|PA |＋|PB |=10-|PF 1|+|PB |，根据三角形的性质：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边性质，可得10-|F 1B |≤|PF 1|-|PB |≤10+|F 1B |，又F 1B =210，故10-210≤|PA |+|PB |≤10+210.当且仅当P ，B ，A 共线时等号成立，故()x -42+y 2+()x -22+()y -22的最大值是10+210，最小值是10-210.解答此题，需将方程x 225+y 29=1看作椭圆，P 看作椭圆上的一个动点，那么目标式表示的是线段||PA +||PB ，问题就变为求两线段和的最大值、最小值.挖掘题目中代数式的几何意义，将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质以及相关定理、公式即可解题.当然，求最值的方法还有很多，如导数法、转化法等.这就要求让同学们运用发散思维，去寻求、总结更多的解答最值问题的方法.（作者单位：安徽省临泉第二中学）（上接34页）三、引导学生关注时事，点评其中的人与事“文章合为时而著”，在写作教学中，我们要引导学生关注时事，多思考，多评论，让他们走进社会生活，理性地表达自己的观点。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。
下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。
方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。
由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。
方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。
例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。
方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。
例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。
然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。
方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。
例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。
因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。
方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。
有关函数最值问题的十二种解法
本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。
例1、已知x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。
解：由223260x y x +-=得222360y x x =-+≥，即02x ≤≤。
2222392262()22x y x x x +=-+=--+∴当32x =时，222xy +取得最大值92；当0x =时，222x y +取得最小值0。
即222x y +的值域为90,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值。
例2、求函数22()1xf x x x =++的最值。
解：由22()1xf x x x =++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=，因为x R ∈，所以0∆≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3f x -≤≤。
因此()f x 的最大值是23，最小值是－2。
三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
例3、求2()234x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。
解：配方得 2224()2343(2)33x x x f x +=-=--+[]1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1。
四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为()sin cos f x a x b x =+(a、b均为常数），则可用辅助角公式sin cos arctan )ba xb x x a+=+来求函数()f x 的最值。
求最值的方法
求最值的方法在数学和实际生活中，我们经常会遇到求最值的问题，比如求函数的最大值最小值，求某个物体的最佳尺寸，求最优的方案等等。
那么，如何有效地求出这些最值呢？本文将介绍几种常见的求最值的方法，希望能够帮助大家更好地解决这类问题。
一、导数法。
在数学中，我们经常使用导数来求函数的最值。
具体来说，对于函数f(x)，我们可以通过求解f'(x)=0的方程来找到函数的驻点，然后通过二阶导数的符号来判断这些驻点是极大值还是极小值，从而得到函数的最值点。
导数法的优点是在数学中应用广泛，可以求解各种类型的函数的最值问题。
但是，对于一些复杂的函数，求导的过程可能会比较繁琐，需要一定的数学功底和技巧。
二、拉格朗日乘数法。
拉格朗日乘数法是一种用于求解带约束条件的最值问题的方法。
具体来说，对于函数f(x,y)在约束条件g(x,y)=c下的最值问题，我们可以构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(g(x,y)-c)，然后通过求解L对x、y和λ的偏导数为0的方程组来找到最值点。
拉格朗日乘数法的优点是可以很好地处理带约束条件的最值问题，适用范围广泛。
但是，对于多变量函数，求解偏导数为0的方程组可能比较复杂，需要一定的数学技巧和计算能力。
三、穷举法。
在实际生活中，有时候我们无法通过数学方法精确地求解最值问题，这时可以考虑使用穷举法。
具体来说，我们可以列举出所有可能的解，然后逐一计算它们的函数值，最终找到最大值或最小值。
穷举法的优点是简单直观，适用范围广泛。
但是，对于复杂的问题，穷举法可能会耗费大量的时间和精力，不适合大规模的最值求解问题。
四、优化算法。
除了上述方法外，还有一些专门用于求解最值问题的优化算法，比如梯度下降法、遗传算法、模拟退火算法等。
这些算法通常适用于复杂的非线性、非凸函数的最值求解问题，能够在较短的时间内找到较好的解。
优化算法的优点是适用范围广泛，可以处理各种类型的最值问题。
但是，对于一些特定的问题，算法的选择和参数调整可能会比较困难，需要一定的专业知识和经验。
高中数学求最值的方法.
高中数学求最值的方法2018-01-10函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。
分享了高中数学求最值的几种方法，希望对同学们有帮助！（1）代数法。
代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。
①判别法：判别式法是等式与不等式联系的重要桥梁，若能在解多元函数最值过程中巧妙地运用，就能给人一种简单明快、耳目一新的感觉。
而应用判别式的核心在于能否合理地构造二次方程或二次函数，还需注意是否能取等号。
若函数可化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+b（y）x+c （y）=0，在a（y）≠0时，由于x，y为实数，必须有：△=[b（y）]―4a （y）c（y）≥0，由此求出y所在的范围确定函数最值。
②配方法：配方法多使用于二次函数中，通过变量代换，能变为关于t （x）的二次函数形式，函数可先配方成为f（x）=a[t（x）―m]2+n的形式，再根据二次函数的性质确定其最值（此类题的解法关键在于用“配方法”将二次函数一般式化为顶点式，同时要考虑顶点的横坐标的值是否落在定义域内，若不在定义域内则需考虑函数的单调性）。
③不等式法：均值不等式求最值，必须符合“一正、二定、三相”这三个必要条件，因此当其中一些条件不满足时应考虑通过恰当的恒等变形，使这些条件得以满足“和定积最大，积定和最小”，特别是其等号成立的条件。
（在满足基本不等式的条件下，如果变量的和为定值，则积有最大值；变量的积为定值，则和有最小值。
本例中计算的目的，是利用隐含在条件之中的和为定值，当然这里还需要利用系数的凑合才能达到目的，具有一定技巧）④换元法：换元法又叫变量替换法，即把某个部分看成一个式子，并用一个字母代替，于是使原式变得简化，使解题过程更简捷（在利用三角换元法求解问题时，关键还是要在掌握好三角函数常用关系式的基础上，结合所求解的函数式，慎重使用）。
用基本不等式求最值六种方法
用基本不等式求最值六种方法基本不等式是指形如a≤b不等式。
在数学中，有许多方法可以使用基本不等式来求解最值的问题。
以下是六种常见的方法：方法一：直接使用基本不等式最常见的方法就是直接使用基本不等式求解最值。
这种方法适用于求解一个函数或表达式的最小值或最大值。
首先，找到要求解的函数或表达式，并用a表示自变量，用b表示函数的值或表达式。
然后，使用基本不等式将a和b进行比较，确定a和b之间的关系，从而得出最小值或最大值。
方法二：将问题转化为最值问题有时候，我们可以将原始问题转化为一个最值问题，然后再使用基本不等式求解。
例如，如果要求解一个多项式函数在一些区间上的最小值或最大值，我们可以求解多项式函数的导函数，并使用基本不等式得出导函数的最小值或最大值，从而得到原始问题的最小值或最大值。
方法三：分解求值当需要求解一个复杂的问题时，可以尝试将问题分解为若干个简单的问题，并求解这些简单问题的最值。
然后，使用基本不等式求出这些最值的函数值，再将它们组合起来求解原始问题的最值。
方法四：结合其他数学工具在一些特殊情况下，可以将基本不等式与其他数学工具结合使用，来求解最值问题。
例如，可以将基本不等式与数列极限定理、曲线图像分析等方法结合使用，来求解最值问题。
方法五：利用结论和定理有时候，基本不等式的求解可以直接应用一些已知的结论和定理。
例如，利用切线和切点的性质可以简化问题的求解过程，从而得到最值。
方法六：假设法和反证法假设法和反证法在不少情况下也是求解最值问题的有效方法。
假设法是假设一些变量的取值，然后通过推导和比较得出最值的范围。
反证法是通过假设不存在一些取值，并推导出矛盾，从而得出最值的范围。
以上是使用基本不等式求解最值问题的六种常见方法。
根据具体问题的特点和要求，可以选择合适的方法进行求解。
掌握这些方法将有助于我们更好地理解和应用基本不等式，解决实际问题。
巧求最值问题八种方法
巧求最值问题八种方法如何求“最值"问题求最大值与最小值是中学数学常见的一种题型，在数学竞赛中作为一个靓点大量存在，解这类题有一定的难度和技巧，所以不少同学为之感叹，这里向大家介绍一些求最值问题的方法与技巧。
一、利用配方求最值例1 ：若X,y是实数，则x2 xy y2 3x 3y 1999的最小值是____________ 。
分析：由于是二次多项式，难以直接用完全平方公式，所以用配方法来解更为简捷。
原^式=1(x22xy y2) 1(x26x 9) 1 (y26y 9) 1990=2(x y)21(x 3)21(y 3)21990显然有(x-y) 2> 0, (x-3) 2> 0, (y-3) 2> 0,所以当x-y=0,x-3=0,y-3=0 时，得x=y=3 时, 代数式的值最小，最小是1990;例2，设x为实数，求y=x2x丄3的最小值。
x分析：由于此函数只有一个未知数，容易想到配方法，但要注意只有一个完全平方式完不成，因此要考虑用两个平方完全平方式，并使两个完个平方式中的 x 取值相同。
由于y=x 22x i x - 2 i=（x i ）2（依斗）2i ,要求 y 的最小x J x '值，必须有X-仁0,且眉士 0，解得x=1,Vx于是当x=1时，y=x 2x - 3的最小值是-1。
x二、利用重要不等式求最值例3 :若xy=1,那么代数式 丄 二的最小值 x 4y分析：已知两数积为定值，求两数平方和的最 小值，可考虑用不等式的性质来解此题，所以：4角的最小值是1x 4y三、构造方程求最值例 4:已知实数 a 、b 、c 满足：a+b+c=2, abc=4. 求a 、b 、c 中的最大者的最小值.分析：此例字母较多，由已知可联想到用根与 系数的关系，构造方程来解。
解：设c 为最大者，由已知可知，c>0,得：a+b=2-c, ab=4,则 a 、b 可以看作 x 2（2 c ）x 40 的两c c1 （xy ）2=11 ~4 x1 4y 4（27）2根，因为 a 、b 是实数，所以（2 c ）24^ 0，即 c 7c 3 4c 2 4c 16 0, (c 2)( c 2)(c 4) 0,得 c 2 或 c 4,因为 C 是 最大者,所以c的最小值是4.四、构造图形求最值例5：使x 24 （8—x ）2—16取最小值的实数X 的值 为______ 」分析：用一般方法很难求出代数式的最值 ，由于 X 24（8一XL16=心―0厂（0一2）28厂（0一4）2,于是可构造图形，转化 为：在x 轴上求一点c （x,0）,使它到 『 两点A （0,2）和B （8, 4）的距离 * 和CA+CB 最小，利用对称可求出 C 点坐标，这样，通过构造图形使问 题迎刃而解。
求最值问题的6种解法
求最值问题的6种解法
最值问题是指在一组给定的值中，找出最大值或最小值的问题。
以下是六种常见的解决最值问题的方法：
1. 线性搜索：遍历给定的值，通过比较每个值与当前最值的大小来更新最值。
这种方法简单直接，但效率较低，适用于数据量较小的情况。
2. 排序法：将给定的值进行排序，然后取第一个或最后一个值作为最值。
这种方法的时间复杂度主要依赖于排序算法，适用于需要找到多个最值的情况。
3. 分治法：将给定的值划分成多个子问题，递归地求解每个子问题的最值，然后将子问题的最值合并得到整体的最值。
这种方法适用于问题可以分解成若干小规模相同结构的子问题的情况。
4. 动态规划：根据问题的特点，定义状态和状态转移方程，利用动态规划的思想求解最值问题。
动态规划通常需要使用一个表格来记录中间结果，以减少重复计算。
这种方法适用于问题具有最优子结构和重叠子问题性质的情况。
5. 贪心法：根据局部最优的选择策略，逐步构建全局最优解。
贪心法通常不保证得到全局最优解，但在一些特定问题上表现良好，并且具有较高的执行效率。
6. 深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）：对于给定的值构成的图或树结构，通过搜索遍历所有可能的路径或状态，
找到满足最值条件的路径或状态。
这种方法适用于问题可以抽象成图或树结构的情况。
根据具体问题的特点，选择合适的解法可以提高求解最值问题的效率和准确性。
3.求函数最值问题常用的10种方法
【例 1】设函数 f(x)的定义域为 R，有下列三个命 题： ① 若存在常数 M ，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤M ，
则 M 是函数 f(x)的最大值；
② 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，且 x≠x0，有 f(x)<f(x0)，则 f(x0)是函数 f(x)的最大值；
③ 若存在 x0∈R，使得对任意 x∈R，有 f(x)≤f(x0)，
φ(y)＝0(g(y)≠0)的判别式Δ≥0去求解，要注意验
证g(y)＝0时y的值对应的x的值是否是函数定义域内 的值，若是，则使g(y)＝0的y的值在函数的值域内，否 则相反．
八、平方法 对含根式的函数或含绝对值的函数，有时利用平方 法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知 的、易于解决的函数最值问题．
一、定义法 函数最值的定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义 域为I，如果存在实数M ，满足：①对任意x∈I，都 有f(x)≤M ，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M ，则称M 为
函数y＝f(x)的最大值；如果存在实数N ，满足：
① 对任意x∈I，都有f(x)≥N ，②存在x0∈I，使得 f(x0)＝N ，则称N 为函数y＝f(x)的最小值． 我们直接利用函数最值的定义，可以判断函数最值 的相关问题．
【例8】 已知函数y＝ 1－x＋ x＋3的最大值为
m
M ，最小值为m ，则 的值为
M
A.14
B.12
C.
2 2
()
D.
3 2
分析 本题是无理函数的最值问题，可以先确定定义
域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进
而可以利用二次函数的最值解决．
1－x≥0， 解析 由题意，得
x＋3≥0，
求最值的16种方法
求最值的16种方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在日常生活和工作中，我们经常会遇到需要求最值的问题，比如找出最大的数值、最小的数值或者最优的解决方案。
有些时候，在求最值的过程中，我们可以通过简单的比较得出结果，但有时候需要一些专门的方法和技巧来解决问题。
本文将介绍16种常见的求最值的方法，希望对大家有所帮助。
一、直接比较法直接比较法是最简单的一种求最值的方法，即通过逐一比较每个元素，找出最大值或最小值。
这种方法适用于小规模的数据和简单的比较需求，代码实现简单易懂，但效率较低。
二、排序法排序法是一种常见的求最值方法，通过对数据进行排序，可以很容易地找到最大值或最小值。
排序的复杂度通常为O(nlog(n))，适用于中等规模的数据。
三、遍历法四、分治法分治法是一种高效的求最值方法，将数据集分成若干个子问题，递归地求解子问题，最后合并得到最值。
这种方法通常用于大规模数据的求解，具有较高的效率。
五、动态规划法动态规划法是一种求解优化问题的经典方法，通过定义状态转移方程和递推关系，逐步求解问题的最优解。
这种方法适用于复杂的问题，如背包问题、最长公共子序列等。
六、贪心算法贪心算法是一种求最值的常用方法，通过每一步选择局部最优解，并最终达到全局最优解。
这种方法通常适用于局部最优解能直接推导到全局最优解的场景。
七、分支界限法分支界限法是一种搜索最优解的方法，通过逐步扩展搜索树，剪枝不满足条件的分支，从而快速找到最值。
这种方法适用于带约束条件的最优解问题。
动态规划法是一种通过子问题的解来求解原问题的方法，通常适用于规模较小且具有重叠子问题的情况。
九、蒙特卡罗法蒙特卡罗法是一种通过大量的随机模拟来求解问题的方法，通过估计解的概率分布来找出最值。
十、模拟退火法模拟退火法是一种基于物理学原理的求解最优解的方法，通过模拟金属退火过程，寻找全局最优解。
十一、遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的求解方法，通过选择、交叉和变异等操作，不断优化解的质量。
求最大值最小值的方法
求最大值最小值的方法在数学和统计学中，求最大值和最小值是非常常见的问题，它们在各种实际问题中都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍几种常见的方法来求解最大值和最小值的问题，以便读者能够更好地理解和应用这些方法。
一、暴力搜索法。
暴力搜索法是最简单直接的方法之一，它的思想是通过遍历所有可能的解，然后找出其中的最大值或最小值。
这种方法的优点是简单易懂，适用于各种类型的问题，但缺点是效率较低，当问题规模较大时，时间复杂度会很高。
二、数学分析法。
数学分析法是一种通过对函数进行求导或者进行数学推导来求解最大值和最小值的方法。
这种方法通常适用于连续函数或者可导函数的求解，通过求解函数的导数为零的点或者进行二阶导数的判定，可以得到函数的极值点。
数学分析法的优点是可以得到精确的最大值和最小值，但缺点是只适用于特定类型的函数，对于复杂函数求解可能较为困难。
三、贪心算法。
贪心算法是一种通过每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终得到全局最优解的方法。
对于求最大值和最小值的问题，贪心算法通常适用于具有最优子结构的问题，通过不断选择局部最优解，最终得到全局最优解。
贪心算法的优点是简单高效，但缺点是可能得不到全局最优解，只能得到局部最优解。
四、动态规划法。
动态规划法是一种通过将原问题分解为若干个子问题，然后通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解的方法。
对于求最大值和最小值的问题，动态规划法通常适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，通过存储子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。
动态规划法的优点是可以得到全局最优解，但缺点是需要存储大量的中间结果，对于问题规模较大时，空间复杂度较高。
综上所述，求最大值和最小值的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和局限性。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解最大值和最小值的问题，从而得到更好的解决方案。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些方法。
求最值的方法
求最值的方法【导言】在很多问题中，我们需要求最大值或最小值，比如优化问题、最优化问题或计算机视觉中的物体检测问题等。
而经典的求最值方法主要有枚举法、贪心算法、分治法、动态规划和深度优先搜索等。
本文将对这些方法进行详细的介绍，并结合实际例子进行说明。
【正文】一、枚举法枚举法是一种最基础的求最值方法。
它的求解思路是，对问题中所有可能的情况进行遍历，并得出最优解。
由于枚举法的过程中会穷尽所有情况，所以它具有很高的准确性。
但由于它的计算复杂度很高，因此只适用于问题空间较小的情况。
代码示例：```int maxSubArray(vector<int>& nums) {int res = nums[0], sum = 0;for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {sum = max(sum + nums[i], nums[i]);res = max(res, sum);}return res;}```二、贪心算法贪心算法是一种基于贪心策略的求最值方法。
贪心策略简单来说就是，每一步都选择当下最优的解。
贪心算法通常能够得到局部最优解，在一定条件下能够得到全局最优解。
由于它只考虑了当前的最优解，因此不能保证在所有情况下都能够得到最优解。
```struct Item{int value;int weight;};bool cmp(const Item &w1, const Item &w2){double r1 = (double)w1.value / w1.weight;double r2 = (double)w2.value / w2.weight;return r1 > r2;}double fractionalKnapsack(int N, std::vector<Item> &items, int W){std::sort(items.begin(), items.end(), cmp);return res;}```三、分治法分治法是一种递归求解问题的方法。
巧求“最值”问题八种方法
Байду номын сангаас
４ ＋ ４ 一 １ ≥ Ｏ，（ ４ ２ （ 一 ２ （ 一 ４ ９ ０， Ｏ ｆ ｃ ６ ｆ ）ｆ ）ｆ ） － 得 ＜ ≤
２或 ｃ ４ 因 为 Ｃ 最 大 者 ， 以 ｃ 最 小 值 是 ４ ≥ ， 是 所 的 ．
４ 构 造 图 形 求 最 值
例 ５ 使 ￣ｚ ＋４ ￣（ 一 ４１ 取最 小值 的 实 ／ ４ ／ ８ ） － ６ －
・
一
正
１
、
，
２
（ １ ＋（ 一 ） ２ 的 小 必 有ｚ ） — 一， 一 。 １ 要求 最 值，须
、 Ｚ １
—
所 以 一 — ｚ一 ２ 令 Ｙ ０ 得 ｏ ， 一 ，
８
１ ， ／ 一亡 一０ 解 得 ｚ ， —０ 且￣ ｚ ， 一１ 于是 当 ｚ 一１时 ， 一
Ｃ
一
１ 利 用 配 方 求 最 值
例 １ 若 ｚ Ｙ是 实 数 ， － 一ｘ ４ Ｙ 一 ３ ， 则 ｚ ｙ － 。 ｘ一 ３ ＋ ｙ １９ ９ ９的 最 小 值 是 （ ９８年 数 学 新 蕾 竞 赛 题 ） １９ ． 分 析 与 解 ：由 于 是 二 次 多 项 式 ， 以直 接 用 完 全 平 难 方公 式 ， 以用 配 方 法 来 解 更 为 简 捷 ． 所
数 ｚ的 值 为 （ ０ ６年 全 国初 中数 学 竞 赛 试 题 ） ２０ ． 分 析 与解 ：用 一 般 方 法 很 难 求 出 代数 式 的 最 值 ， 由
原式一÷ （ ｘ Ｙ） ÷ （ ｘ ９ ４ ｚ 一２ｙ ４ － ４ － ｚ 一６ ） － ４ －
１ １ １
１
于 是 构 造 如 图 所 示 ． Ａ（ ， 作 ０ ２ 关 于 ｚ轴 的 对 称 点 Ａ （ ， ２ ， ） ０ 一 ） 令 直 线 Ａ Ｂ 的 解 析 式 为 ｙ— ｋ ４ ｘ －
常用的求最值方法
常用的求最值方法一、枚举法枚举法是一种最简单直观的方法，它通过枚举所有可能的解来求最值。
具体实施时，可以使用循环结构遍历所有可能的情况，并在每一种情况下计算出相应的目标值，然后从中选取最优解。
枚举法最大的优点是适用范围广，而且在一些问题中可以直接得到最优解。
但是，由于需要穷举所有可能的情况，当问题规模较大时，枚举法的时间复杂度往往非常高。
二、贪心法贪心法是一种基于局部最优策略的方法，它通过每一步都选择当前状态下的最优解来逐步求得全局最优解。
具体实施时，贪心法通常采用贪心选择性质和最优子结构性质来设计算法。
贪心选择性质指的是通过局部最优解来产生全局最优解，最优子结构性质指的是一个问题的最优解包含了其子问题的最优解。
贪心法的优势在于简洁高效，但是由于只考虑了当前状态下的最优解，有时会导致最终结果不是全局最优解。
三、动态规划法动态规划法是一种基于递推关系的方法，它通过将问题分解为若干子问题，并保存子问题的解来求得最优解。
具体实施时，动态规划法通常采用自底向上的方式来计算出所有的子问题的解，并根据递推关系逐步求得最优解。
动态规划法的优点在于避免了重复计算，能够以较小的时间复杂度找到最优解。
但是，由于需要构建并维护动态规划表或数组，空间复杂度较高。
四、法法是一种基于试错和剪枝的方法，它通过深度或广度优先遍历问题的解空间，并通过剪枝策略来减少的范围。
具体实施时，法通常通过递归或迭代的方式来遍历解空间，并通过剪枝函数来排除不可能的解，从而减少计算量。
法的优点在于能够枚举所有可能的解，因此可以得到全局最优解。
但是，法的时间复杂度较高，对于问题规模较大的情况下往往不适用。
以上是常用的求最值方法的简要介绍，它们在求解不同类型的问题时有不同的适用性。
在实际应用中，根据具体问题的特点和要求，选择合适的方法来求解最值问题是非常重要的。
有时也需要结合多种方法来进行综合求解。
(专题一)求函数最值问题常用的10种方法
【练习】(江苏)将边长为1m正三角形薄片，沿一 条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形
，记
s
（
梯梯形形周面长积）2 ,则S的最小值是____▲_
设剪成的小正三角形的边长为x
s(x)
(3 x)2
1 (x 1) 3 (1 x)
4 3
(3 1
x)2 x2
2
2
4 2(3x 1)( x 3)
【例aa2b6＋≤】ba＋2设2≥2bxa，2b≤(yaa，2，＋2bz b为为2(正实 a，实数b数)； 为，a实＋x2－数b≥2)y．＋ab3(za＝≥00，，b则≥0)y；2
的最小值为________．
xz
解析 y＝x＋23z，所以xyz2＝x2＋94zx2z＋6xz≥6xz4＋xz6xz＝3, 当且仅当 x＝3z 时取“＝”．
【 练 习 】 求y x2 2x 3 ,( x 1)的 最 小值. 2
x1
注：分子转化为分母的形式
七、数形结合法
【例 7】对 a，b∈R，记 max|a，b|＝ab，，aa≥<bb，， 函数 f(x) ＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________．
专题一 求函数最值问题常用的十种方法
一、定义法
前提 设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足
①对于任意x∈I， ①对于任意x∈I，都
都有_f_（__x_）___≤_M__； 有_f_（__x_）__≥__M___；
条件 ②存在x0∈I,使得 ②存在x0∈I,使得
___f_（__x_0_）__=_M__. ___f_（__x_0_）__=__M___.
最值问题的常用解法
最值问题的常用解法最值问题指的是在给定的一组数据中寻找出最大值或最小值的问题。
这种问题在实际生活中非常常见，例如寻找最高的山峰、最长的河流、最快的车辆等等。
在计算机科学中，最值问题被广泛应用于算法设计和优化中。
解决最值问题的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的解法。
1.穷举法：穷举法是最简单直观的解决最值问题的方法。
其思路是通过逐个比较数据元素的大小，找出最大或最小的元素。
穷举法的优点是实现简单，适用于规模较小的问题。
但当问题规模较大时，穷举法的效率往往较低。
2.顺序查找法：顺序查找法是穷举法的一种改进，它通过遍历列表中的元素，逐个与当前最值进行比较。
如果找到较大（或较小）的元素，则更新最值。
顺序查找法的思想简单，但效率相对较低，特别是当数据量很大时。
3.二分查找法：二分查找法是一种高效的查找方法，适用于有序列表。
其基本思想是，通过比较目标值与列表的中间元素的大小关系，将搜索范围缩小一半。
如果目标值较小，则继续在前半部分进行二分查找；如果目标值较大，则在后半部分进行二分查找。
通过不断缩小搜索范围，最终找到最值。
4.动态规划法：动态规划法是一种递推求解最优解的方法。
它将原问题分解为若干个子问题，然后通过求解子问题的最优解，得到原问题的最优解。
在解决最值问题时，可以设计一个状态数组来记录当前最优解，然后根据状态转移方程进行递推求解。
动态规划法通常适用于具有最优子结构和重叠子问题特点的问题。
5.分治法：分治法也是一种将问题分解为子问题的方法。
它将原问题分解为若干个规模较小但结构与原问题相似的子问题，并分别求解这些子问题的最值。
最后将子问题的最值整合起来，得到原问题的最值。
分治法通常通过递归实现，适用于问题可以被分解为独立子问题的情况。
6.贪心法：贪心法是一种通过每一步的局部最优选择来求解整体最优解的方法。
它不考虑后续步骤的影响，只关注当前可以获得的最好结果。
贪心法通常适用于问题具有贪心选择性质的情况，即局部最优选择可以导致全局最优解。
求函数最值的方法
求函数最值的方法求函数最值是数学中常见的问题之一，它在实际问题中具有广泛的应用价值。
本文将介绍几种常见的方法来求解函数的最值，包括数学方法和计算机方法。
一、数学方法1. 导数法导数法是求解函数最值最常用的方法之一。
通过求函数的导数，可以求得函数的增减性和驻点，进而确定函数的最值点。
具体步骤如下：（1）求函数的导数；（2）求导函数的零点，即求得导数为零的点；（3）将这些零点代入原函数，求得函数的最值。
2. 极值点法极值点法是通过求函数的极值点来确定函数的最值。
具体步骤如下：（1）求函数的一阶导数和二阶导数；（2）求导函数的驻点，即求得导数为零的点；（3）求驻点的二阶导数值，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将极值点代入原函数，求得函数的最值。
3. 区间法区间法是通过将函数的定义域分成若干个子区间，然后逐个求解函数在每个子区间内的最值，最后比较得出整个函数的最值。
具体步骤如下：（1）将函数的定义域分成若干个子区间；（2）求解函数在每个子区间内的最值；（3）比较各个子区间内的最值，得出整个函数的最值。
二、计算机方法1. 数值计算法数值计算法是利用计算机对函数进行离散化处理，通过计算函数在一定范围内的取值，找到其中的最大值或最小值。
具体步骤如下：（1）确定函数的取值范围和步长；（2）计算函数在每个点上的取值；（3）比较各个点的取值，找到最大值或最小值。
2. 迭代法迭代法是通过不断迭代逼近函数的最值。
具体步骤如下：（1）选择一个初始点；（2）根据函数的梯度方向，更新初始点的位置；（3）重复以上步骤，直到满足终止条件。
三、总结通过以上介绍，我们可以看出，求函数最值的方法有很多种，选择合适的方法取决于具体问题的性质和要求。
数学方法适用于一些简单的函数，计算机方法适用于复杂的函数或大规模的数据。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的最值，以得到更准确的结果。
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浅谈求最值问题的几种方法摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽,而且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题, 也有一些小综合的中档题, 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求.关键词：数学；函数；最值；最大值；最小值 1. 常见函数的最值问题. 1.1 一次函数的最大值与最小值.一次函数b kx y +=在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量x 的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了.例1. 设0>a 且 a ≠1,)1(1x aax y -+=,(0≤x ≤1),求y 的最大值与最小值. 解: )1(1x a ax y -+=可化为：.1)1(ax a a y +-=下面对一次项系数分两种情况讨论：（1）当a ＞1时，a -a 1＞0,于是函数ax a a y 1)1(+-=的函数值是随着x 的增加而增加的,所以当x =0时,y 取最小值a1; 当x =1时,y 取最大值a . （2）当0＜a ＜1时,01<-a a ,于是函数ax a a y 1)1(+-=的函数值是随着x 的增加而减少的,所以当x =0时,y 取最大值a1; 当x =1时,y 取最小值.例2. 已知z y x ,,是非负实数,且满足条件.503,30=-+=++z y x z y x求z y x u 245++=的最大值和最小值.分析： 题设条件给出两个方程,三个未知数z y x ,,，当然， z y x ,,的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一个，不防固定x ，那么z y ,都可以用x 来表示，于是u 便是x 的函数了（需注意x 的取值范围），从而我们根据已知条件，可求出u 的最大值与最小值.1.2二次函数的最大值与最小值一般地，求二次函数()02≠++=a c bx ax y 的最大值与最小值，都是根据二次函数的性质和图象来求解，即有：若a >0，则当x = —a b 2时，y 有最小值为a b ac 442-；若a <0，则当x = —a b 2时，y 有最大值ab ac 442-. 这里我们给出另一种求二次函数最值的方法——判别式法. 例 3. 已知x 1, x 2是方程0)53()2(22=+++--k k x k x (k 是实数）的两个实数根，求2221x x +的最大值与最小值.分析：一般地,二次函数0)()()(3221=++y f x y f x y f ,若方程有实根,其判别式)()(4)]([3122y f y f y f -=∆≥0.如果关于y 的不等式∆≥0,可以解出y 的取值范围，便可求出函数)(x f y =的最值，这就是求函数最值的判别式法.解：由于二次方程有实根，所以∆=)53(4)]2([22+----k k k ≥0解得 4-≤k ≤34-则 2122122212)()(x x x x x x k f -+=+=)53(2)2(22++--=k k k 19)5(2++-=k由于)(k f 在]34,4[--上是减函数,可见当4-=k 时，)(k f =2221x x +有最大值18，当34-=k 时，)(k f =2221x x +有最小值950. 1.3三角函数的最大值与最小值三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思想方法的应用，因而一直是学习中的热点和重点.例 4. 已知函数2)cos (sin 22sin a x x x y ++-=,设x x t cos sin +=，当t 为何值时，y 取得最小值.解： )4sin(2cos sin π+=+=x x x t , 22≤≤-t∴ x x x t 2sin 1cos sin 212+=+=即有 12s i n2-=t x ∴ 1)1(212222-+-=+--=a t a t t y , 22≤≤-t∴ 当1=t 时，y 取得最小值12-a .说明：求三角函数的最值时，方法很多，而在代数中求最值的方法均适用，如配方法（注意三角函数的取值范围），换元法（注意换元后的范围），判别法，重要不等式（注意取等号的条件）等等，这里不再赘述，只列举出几种常见的三角函数及最值的求法：（1）)cos (sin b x a b x a y ++=或型，利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论. （2） x b x a y cos sin +=型，先引进辅助角化成22b a y +=)sin(ϕ+x ，再利用有界性.（3） c x b x a y ++=sin sin 2型，配方后求二次函数的最值，须注意1sin ≤x 的约束. （4） d x c bx a y ++=sin sin 型，反解出x sin ，化归为1sin ≤x 解决.(5) d x c b x a y ++=cos sin )sin cos (dx c bx a y ++=或型，化归为()()y g x =+ϕsin 利用三角函数的有界性求解，或用数形结合法 .(6) c x x b x x a y +++=cos sin )cos (sin 型，常用到换元法，令x x t cos sin +=，2≤t .1.4 分式函数的最大值与最小值求分式函数22221121c x b x a c x b x a y ++++=的最大值与最小值问题，常用到的办法是去分母后，化为关于x 的二次方程，然后用判别式∆≥0，得出y 的取值范围，进而求出y 的最大值和最小值.例5. 求函数1223222++--=x x x x y 的最值.解：去分母，整理得 0)3()1(2)12(2=++++-y x y x y 当21≠y 时，这是一个二次方程，因x 是实数，所以判别式∆≥0. 即 ∆=0)3)(12(4)]1(2[2≥+--+y y y解得 14≤≤-y 当;314-=-=x y 时， 当.21-==x y 时， 由此即知, 当 31-=x 时， y 取最小值-4； 当 2-=x 时， y 取最大值1.说明：本题求最值的方法叫判别法，是一种常用的方法，但在用判别法时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x 值. 2. 一类无理函数的最值问题无理函数的最值是高中数学教学的一个难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题时常感困惑，下面就研究一类形如d cx b ax y +++=)0,,,,(<∈ac R d c b a 的无理函数最值的解法.例6. 求函数)64(3184≤≤-+-=x x x y 的最值，以及y 取最值时x 的值.解法1. 利用判别式显然0≥y ， 两边平方得 )318)(4(2)214(2x x x y --+-= 移项，平方整理得 048428)1764(162422=+-+-+y y x y x 由0)48428(64)1764(2422≥+---=∆y y y得 802≤≤y又 0)318)(4(2)214(2≥--=--x x x y 及0>y 得 2214≥-≥x y∴ 222≤≤y 当x =6时，2m in =y ；当x =29时，22max =y . 解法2. 巧用三角变换.设ϕ2sin 4y x =-, ϕ2cos 318y x =-则ϕ42sin 4y x =-， ϕ42cos 318y x =-. 消去x 得 43)43(cos 4cos sin 3622442+-=+=-ϕϕϕy.当 43c o s 2=ϕ 时， 即29=x 时， 22max =y ； 当 0cos 2=ϕ 时， 即x =6 时， 2m in =y .解法3. 善用导数.导数是高中数学中的重要内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题成为强有力的手段，要重视导数在解决一些复杂的函数最值上的作用，善于运用它体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁，完美的解决.对原函数求导可得 xx y 31823421'---=令 0'=y 得 29=x 又]6,4[∈x 计算端点和导数为零的函数值得 6|4==x y ， 2|6==x y ， 22|29==x y .由此可得 当x =29时，22max =y ， 当x =6时，2min =y . 3. 其它函数的最值问题处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个最大值或者最小值。
例7. 设x 是正实数，求函数xx x y 12+-=的最小值. 解：先估计y 的最小值 1)21()12(2+-+++-=xx x x y 11)1()1(22≥+-+-=xx x又当1=x 时，1=y . 所以y 的最小值为1.说明：在求最小（大）值，一定要举例说明这个值是能取到的，才能说这就是最小（大）值，否则就不一定对了，例如，本题我们也可以这样估计：3)21()12(2-++++-=xx x x y 33)1()1(22-≥-++-=xx x 但无论x 取什么值时，y 取不到3-，即3-不能作为y 的最小值.。