安徽省五校2021届高三12月联考理科数学试题及答案

A，B
是圆
O
上两点，
AOB
2
π
，
AOB
的平分线交圆
O
于点
C
，则 OC
3
A．
1
OA
1
OB
22
B．
3
OA
3
OB
C．
2
OA
2
OB
D． OA OB
2
2
33
5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科
学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图 1 所示）.假定在水流量稳定的情况
ax
1)
1 2
1 2
，也即
x
[
1 2
,
2]
时
x2
ax
1
4
恒成立
可化为 a x2 3 ， x
………………………………6 分
设
g
x
x2 3 x
，只要
a
g
x
min
即可
……………………8 分
gx
1
3 x2
0
，所以
g
x
min
g
1 2
11 ，所以 a 2
11. ………………10 分 2
18.【解析】
（2）求数列{3ann1} 的前 n 项和 Sn .
20.（12 分）
△ABC 的内角 A, B,C 的对边分别是 a,b,c .设 sin 2A sin C .
a
b
（1）判断 △ABC 的形状； （2）若 △ABC 的外接圆半径为1，求 △ABC 周长的最大值.
理科数学试题 第 3 页 （共 4 页）
销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育 m 万个单位还需要投入成本 (2m 1) 万元（不含展销费）， 花卉的销售价定为 (11 4 ) 万元/万个单位．
m （1）写出该花卉基地的销售利润 y 万元与展销费 x 万元的函数关系； （2）展销费 x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注： 利润 = 销售价 销售量 投入成本 展销费）
A． (, e2]
B． (, e]
C． (,1]
D． (, 1] e
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知向量 a, b 为单位向量，其夹角为 π ，则 | 2a b |
.
3
14.函数 f (x) 2x 2 3x ln x 的极小值为
下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h 为1.5 m ，
筒车的半径
r
为
2.5
m
，筒车转动的角速度
为π 12
rad
/
s
，如图
2
所示，盛水桶
M
在
P0
处距水面的
距离为 3 m ，则 2 s 后盛水桶 M 到水面的距离近似为
A． 3.2 m
B． 3.4 m
C． 3.6 m
怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中
2021 届高三“五校”联考理科数学试题
命题学校：颍上一中
考试时间： 2020 年 12 月 4 日
考生注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目 的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超．出．答．题．区．域．书．写．的．答．案．无．效．，．在．试．题．卷．、．草．稿．纸．上．作．答．无．效．。． 3．本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形， 平面向量，复数，数列。
（1） f (x) cos4 x cos x sin x sin x cos x sin 4 x
(cos2 x sin2 x)(cos2 x sin2 x) 2sin x cos x
cos 2x sin 2x
2
sin
2x
π 4
周期 T 2π π 2
………2 分 ………3 分
D． 3.8 m
图1
图2
理科数学试题 第 1 页 （共 4 页）
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6.记 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，已知 S3 0 ， a6 8 ，则 a10
A．12
B．14
C．16
D．18
7.函数 f (x) 1 的部分图象可能是 log2 | x |
2021 届高三“五校”联考理数答案
2020 年 12 月 4 日
一、选择题：
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
选项 B
C
A
D
D
C
B
D
C
A
C
B
11.【解析】
由对称轴和零点可知
π 4
(
π) 4
2k 1T 4
k
N ,T
2
，得到
2k
1, k N
①
由
f
(x) 在区间 ( π ，π ) 上单调可知
2.已知复数 z 满足 i z 1 i ，其中 i 为虚数单位，则 z 的共轭复数为
A． 1 i
B． 1 i
C．1 i
3.设 p : | x 1| 1 , q : 2 x 2 ,则 p 是 q 的
D．1 i
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4.已知点
42
π 2
π 4
T 2
π
，得到
4
②
由①②可知 可能取 3.
当
3 时，可得
4
，
f
x
sin 3x
4
满足在
4
， 2
上单调，所以
3 满足
题意，故 的最大值为 3.
12.【解析】
解法一：易知 x2 x ln x 0 在 x (0, ) 时恒成立，从而可知 a 0 满足题意；
当
A． 1 2
B． 3 2
C. 1
D． 2
10.已知函数 f (x) log2 | x 1| x2 2x 1 ，则不等式 f (2x 1) f (x 1) 的解集为
A． (2 ,1) (1,2) 3
B． (2, 0) (0, 2) 3
C． (2 ,2) 3
D． (, 2) ( 2 , ) 3
ax
1)
1 2
.
（1）若函数 f (x) 的定义域为 R ，求实数 a 的取值范围；
（2）若 x [ 1 , 2] ，都有 f x 1 成立，求实数 a 的取值范围.
2
2
18.（12 分）
已知向量 a =(cos x,sin x) ， b (cos3 x sin x, cos x sin3 x) ，设函数 f (x) a b .
（1）求函数 f (x) 的最小正周期及单调递增区间； （2）若关于 x 的方程 f (x) m 0 在[0, π ] 上有两个不同的实数解，求实数 m 的取值范围.
2
19.（12 分）
设数列 an满足 a1 3 ， an1 2an 3n 3 .
（1）计算 a2 ， a3 ，猜想{an}的通项公式并加以证明；
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三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 题满分为 10 分，第 18~22
题每题满分为 12 分.
17.（10 分）
已知函数
f
(x)
(x2
.
15.已知复数 z1, z2 满足 | z1 | 1 ， z2 3 4i ，其中 i 为虚数单位，则 | z1 z2 | 的最大值为
.
16.已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和， q 为{an}的公比且 S4 ln S3 .若 S1 1 ，则下列命题中所有正
确的序号是
.
① 1 q 0 ；② a4 0 ；③ S1 S2 S3 ；④ S1 S2 S3 .
分
（2）由方程
f
(x)
m
0
在
0,
π 2
上有两个不同的实数解
可得 m
f
(x) 在 0,
π 2
上有两个不同的实数解
即函数 y m 与函数 y f (x), 0 x π 的图象有两个交点 2
………8 分
令 t 2x π ，则 π t 5π
44
，
1 a
1 e
，
0
a
e
.
又 a 0 也满足题意，所以 a 的取值范围为 (, e] ，故选 D.
解法二：原不等式可化为 ex exln x a( x ln x) ，令 t x ln x ，则 t 1. x
从而 et at 在 t [1, ) 恒成立，由切线法知， a e .
二、填空题：
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21.（12 分） 第二届阜阳花博会 2020 年 9 月 28 日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调
研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉 30 余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预
算，投入展销费 x 万元时，销售量为 m 万个单位，且 m 2x 1 （ 0 x a2 a ， a 为正实数）．假定 x 1
1 q 0, a1 a3,即.S1 S2 S3. 三、解答题：共 70 分.
17.【解析】
（1）由题意可知 x2 ax 1 0 在 R 上恒成立，故 0 …………………………2 分
可得 a2 4 0 ，解得 2 a 2
………………………………4 分
（2）由题意可得，
(x2
a
0
时，原不等式可化为
1 a
x2
x ln ex
x
.记
g(x)
x2
x ln ex
x
，则
1 a
gmax (x)
.
而
g(x)
(x
1)(ln x ex
x
1)
， ln
x
x
1
0
，
因此， x (0,1) 时 g(x) 0 ； x (1, ) 时 g(x) 0 ；
所以，
g max
(x)
g (1)
1 e
2
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由 2k 2x 2k , k Z
2
42
解得 3π kπ x π kπ, k Z
8
8
………4 分 ………5 分
所以，函数
f
(x)
的单调递增区间为
3π 8
kπ,
π 8
kπ
,
k
Z
.………6
为 32 42 1 6 .
16.【解析】
S4 lnS3 , S3 0, S4 lnS3 S3 1 ，进而得 a4 1. 又 a1 1, q 0. 若q 1，则q q 2 0,1 q q 2 1, a1 1,a1(1 q q2) 1,即 S3 1, S4 lnS3 0, S4 a1(1 q q 2 q 3) 0, 1 q q 2 q 3 0, (1 q) q2 (1 q) 0,(1 q)(1 q2 ) 0,这与q 1相矛盾.
11.已知函数 f (x) sin(x ), ( 0,| | π ) ，x π 是 f (x) 的零点，直线 x π 是 f (x) 图象的
2
4
4
对称轴，且 f (x) 在 ( π ，π) 上单调，则 的最大值为 42
A．1
B． 2
C． 3
D． 4
12.若关于 x 的不等式 ex a(x2 x ln x) 对任意 x (0, +) 恒成立，则实数 a 的取值范围为
y
y
y
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y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
8.已知 a 20.2 ， b log2 0.2 ， c log0.2 2 ，则 a,b, c 的大小关系为
A． a b c
B． b a c
C． c b a
D． b c a
9.已知 △ABC 是边长为 3 的等边三角形，点 D 为△ABC 内一点，且 ADC 120 ， AD 1 ， 则 BD
13 题. 7
14 题. 1
15 题. 6
16 题.①③
15.【解析】
由复数的几何意义可知，复数 z1 在复平面内对应的点 P 在以原点为圆心的单位圆上，
z2 对应的点为定点 Q(3, 4) ，则 z1 z2 表示 P ， Q 两点间距离，由解析几何知识得最大值
1
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22.（12 分）
已知函数 f (x) aex ln x ， g(x) xf (x) x . x
（1）若曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线过点 (2,1) ，求实数 a 的值；
（2）当 a
1 e2
时，证明：
g(x)
2
.
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第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的.
1.设集合 A x 2 x 4 , B x x2 4x 3 0 ，则 A I B
A．x 1 x 4 B．x 2 x 3
C．x 2 x 3 D．x 1 x 4