13： 第六章 勒让德多项式
13： 第六章 勒让德多项式
（19.1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
，则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
dx
(19.1.6)
19．1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示
3cos
)
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35 cos
4
20
cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70
x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30
cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 Pl (x)
为
[l]
Pl (x)
2
(1)k
k 0
2l
(2l k!(l
2k)!
xl2k
k)!(l 2k)!
（19.1.7）
式中
[
l] 2
l
l, 2 1 2
,
l 2n l 2n 1
(n 0,1,2, )
l 上式具有多项式的形式，故称 Pl (x) 为
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
勒让德多项式递推公式证明
勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。
本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。
以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。
以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。
以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。
以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。
递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。
我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。
勒让德多项式
例1:将 x 2 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
x 2 Cn Pn (x) n0
Cn
2n 1 2
1 1
x
2
Pn
(
x)dx
1 1
xk
Pn
( x)dx
0
n2
4 1
C2 2
1 x2 1 (3x2 -1)dx 5
1 2
4
1 3x4 x2
1
dx
5 6 2 2 45 3 3
第6章勒让德多项式
例2:将Pl(x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式
解：方法一
l 1
(l 1) / 2
Pl(x) CnPn (x) CnPn (x)
Cl2n1Pl2n1 ( x)
n0
n0
n0
2l 4n 1
Cl2n1
2
1
1 Pl(x)Pl2n1(x)dx
2l 4n 1 2
1 0
xd
d 2n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
4n 22n
1 2n
!
x
d 2 n 1 dx 2 n 1
(x2
1)2n|10源自1 0d 2 n1 dx 2 n 1
(x2
1)2n
dx
4n 22n
1 2n
!
d 1 2n1 0 dx2n1
(x2
1)2n dx
4n 22n
1 2n
!
d2n2 dx 2 n 2
0
0
0
/ 2 sin 2n1 d 2n / 2 sin 2n1 d
0
2n 1 0
1 P2n (x)dx 1
第六章 勒让德多项式
y1 ( x ) = ∑ m = 0 a2 m x 2 m ,
∞
y2 ( x ) = a1 x + a3 x 3 + a5 x 5
西安理工大学应用数学系
不妨取n为非负整数，那么对应多项式结构如何？ 不妨取 为非负整数，那么对应多项式结构如何？这时 为非负整数
an+2 = an+4 =⋯= 0 ak ≠ 0, k ≤ n
( n − 1)( n + 2) a3 = − a1 3⋅ 2 ( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
西安理工大学应用数学系
( n − 3)( n + 4) ( n − 1)( n − 3)( n + 2)( n + 4) a5 = − a3 = a1 5⋅4 5!
y2 ( x ) 中有
西安理工大学应用数学系
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak k = 0,1, 2,⋯ ( k + 1)( k + 2) m n( n − 2)⋯ ( n − 2 m + 2)( n + 1)( n + 3)⋯ ( n + 2 m − 1) a2 m = ( −1) a0 (2m )! m ( n − 1)( n − 3)⋯( n − 2m + 1)( n + 2)( n + 4)⋯( n + 2m ) a2 m +1 = ( −1) a1 (2m + 1)!
( k − n)( k + n + 1) ak + 2 = ak ( k + 1)( k + 2) ( k + 1)( k + 2) ak = ak + 2 k ≤ n−2 ( k − n)( k + n + 1) n( n − 1) an − 2 = − an 2(2n − 1) ( n − 2)( n − 3) n( n − 1)( n − 2)( n − 3) an − 4 = − an − 2 = an 4(2n − 3) 2 ⋅ 4(2n − 1)(2n − 3) n( n − 1)( n − 2)⋯( n − 2m + 1) m an − 2 m = ( −1) an 2 ⋅ 4⋯ ⋅ 2m (2n − 1)⋯ (2n − 2m + 1)
数学物理方程第六章 勒让德多项式
(
)
n
n n! 1 1 n 2 − = x x2 ) ( ) ( 1 ∑ n n 2 n! 2 n! m =0 (n − m )!m!
a n −6 = −
2
n
一般说来，当 n − 2m ≥ 0 时，有
M
a n − 2 m = (− 1)
m
2
n
(2n − 2m )! m!(n − m )!(n − 2m )!
(2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )! (2n − 2m )! x n−2m m!(n − m )!(n − 2m )!
2 2 2
（6.2.1）
的解为
y = ∑ ak x k
k =0
∞
（6.2.2）
，整理得 对上式求导，得出 y ′, y ′′ 的级数表达式，连同式（6.2.2）一齐代入式（6.2.1）
∑ {(k + 1)(k + 2)a
k =0
∞
k +2
+ [n(n + 1) − k (k + 1)]a k }x k = 0
(3x (5x
2
−1
) ) ) )
3
− 3x
4
(35x (63x
− 30 x 2 + 3
5
− 70 x 3 + 15 x
它们的图形如图 6-1 所示。
为了应用上的方便，我们将 Pn ( x ) 表示为
Pn ( x ) =
n 1 dn 2 ( x − 1) n n 2 n! dx
(6.3.2)
的形式。称式(6.3.2)为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表达式。该公式的证明如下。 证明：用二项式定理把 x − 1 展开，有
第六章---数理方程勒让德多项式
y2
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n
1)(n
3)(n 5!
2)(n
4)
x5
(2k 1 n)(2k 3 n) (1 n)(n 2) (n 2k) x2k1 (2k 1)!
6. 3 勒让德多项式
6. 3 勒让德多项式
将6.2中的递推公式写成
ak
(k 2) (k 1) (n k)(k n 1)
2)!
6. 3 勒让德多项式
an4
(2n 4)! 2!2n (n 2)!(n
4)!
一般地当 n 2k 0 时，有
6.1 勒让德方程的引出
第二个方程为
d 2
d 2
cot
d
d
n
n
1
m2
sin2
0
令 x cos ，并记 P( x) (cos )
1 x2
d2P dx 2
2x
dP dx
n
n
1
m2 1 x2
P
0
k0
(k c 2)(k c 1)ak2 [(k c)(k c 1) n(n 1)ak 0
a k0 k2
(k
(k＋c)(ck)(k
cc1)a1k)xk
c2
n(n
(k＋c 1)(k c 2)
0 1)
ak
勒让德多项式表示形式
勒让德多项式表示形式
勒让德多项式，又称勒让德多项式，是一种数学表达式，用来表示一个多项式的值。
它是
由法国数学家勒让德（Joseph Louis Lagrange）在1795年发明的。
勒让德多项式的表达式是一个多项式，它由一系列的系数和指数组成，每个系数和指数都
有一个特定的含义。
系数表示多项式中每一项的系数，而指数表示多项式中每一项的指数。
勒让德多项式的表达式可以用来表示一个多项式的值，它可以用来计算多项式的值，也可
以用来求解多项式的根。
它还可以用来求解多项式的导数和积分。
勒让德多项式的表达式可以用来表示一个多项式的值，它可以用来计算多项式的值，也可
以用来求解多项式的根。
它还可以用来求解多项式的导数和积分。
勒让德多项式的表达式可以用来解决许多数学问题，它可以用来解决多项式的根，也可以
用来解决多项式的导数和积分。
它还可以用来解决更复杂的数学问题，比如求解微分方程
和积分方程。
勒让德多项式的表达式是一种非常有用的数学表达式，它可以用来解决许多数学问题，比
如求解多项式的根，求解多项式的导数和积分，以及求解微分方程和积分方程。
它的表达
式简洁明了，可以让我们更容易理解多项式的值，从而更好地解决数学问题。
勒让德多项式拟合
勒让德多项式拟合
勒让德多项式是一类常见的数学函数，通常用于数据拟合和插值。
该多项式的形式为P_n(x)=1/(2^n * n!) * d^n[(x^2-1)^n]/dx^n，其中n为整数，d^n表示对x进行n次求导。
在数据拟合中，勒让德多项式通常用于拟合连续函数。
当给定一
组离散数据点时，可以使用最小二乘法或线性规划等方法来求解最佳
拟合函数。
在这种情况下，通常使用一组递增的x值，然后使用勒让
德多项式来拟合对应的y值。
实际应用中，勒让德多项式通常与其他多项式、三角函数等组合
使用，以获得更精确的拟合结果。
此外，该方法还可以用于图像处理、信号处理等领域。
总之，勒让德多项式是一种广泛使用的数学工具，可以在不同领
域中用于数据拟合和信号处理等任务。
勒让德多项式pn(0)项取值
勒让德多项式是数学中的一个重要概念，它在物理学和工程学中都有广泛的应用。
勒让德多项式的第n个零阶项pn(0)取值对于理解和应用勒让德多项式至关重要。
本文将从勒让德多项式的定义、性质和应用角度对pn(0)项取值进行深入探讨。
一、勒让德多项式的定义1. 勒让德多项式是一个经典的正交多项式族，它们是勒让德方程的解。
勒让德多项式Pn(x)定义为以下多项式序列的一部分：P0(x) = 1P1(x) = xP2(x) = (1/2)(3x^2-1)P3(x) = (1/2)(5x^3-3x)…Pn(x) = (1/2^n)(d^n/dx^n)((x^2-1)^n)2. 勒让德多项式具有许多重要的性质，如正交性、递推关系和母函数等，这些性质使得勒让德多项式在实际问题中具有广泛的应用价值。
二、勒让德多项式的性质及pn(0)项取值1. 正交性：勒让德多项式满足以下正交性质：∫[-1,1] Pm(x)Pn(x)dx = (2/(2n+1))δmn其中δmn是克罗内克δ 符号，当m=n时取值为1，否则为0。
利用这一性质，可以得到pn(0)项取值的一般表达式。
2. 递推关系：勒让德多项式之间存在递推关系，即Pn+1(x)和Pn(x)之间存在一定的关系，这使得我们可以通过递推的方法求得pn(0)的取值。
3. pn(0)的表达式：根据正交性质和递推关系，可以得到勒让德多项式的pn(0)的具体表达式：pn(0) = (-1)^n(2n)!!其中(2n)!!是双阶乘的符号，表示连乘2n, 2n-2, 2n-4, …, 2或1。
三、勒让德多项式的应用1. 在物理学中，勒让德多项式被广泛应用于描述球对称的问题，如原子轨道、分子振动等。
pn(0)项的取值对于求解这些问题具有重要意义。
2. 在工程学中，勒让德多项式被用于信号处理、控制系统等领域。
了解pn(0)项的取值可以帮助工程师更好地理解和应用勒让德多项式。
勒让德多项式pn(0)项的取值对于理解和应用勒让德多项式具有重要意义。
勒让德多项式 协方差
勒让德多项式协方差
勒让德多项式（Legendre polynomial）是一个经典的正交多项
式系列，在物理、数学和工程等领域有广泛应用。
它们可以通过勒让德微分方程来定义。
勒让德多项式是勒让德微分方程的解，定义为以下级数形式：
P_n(x) = (1/2^n)n!(d^n/dx^n)((x^2-1)^n)
其中，P_n(x) 是勒让德多项式的第n阶多项式，x 是自变量，
n 是多项式的次数。
n! 表示n的阶乘，d^n/dx^n 表示对x进行
n次微分。
协方差（covariance）是用于衡量两个变量之间线性关系的统
计量。
在概率论和统计学中，协方差可以用来衡量两个变量的变化趋势是否一致。
协方差的计算公式如下：
cov(X, Y) = E[(X-μ_X)(Y-μ_Y)]
其中，X 和 Y 是两个随机变量，μ_X 和μ_Y 分别是 X 和 Y 的期望（均值）。
对于勒让德多项式，它们是一组正交多项式，不同阶的多项式之间是线性无关的。
因此，勒让德多项式的协方差为0，即
cov(P_m(x), P_n(x)) = 0，其中m ≠ n。
换句话说，勒让德多项式的协方差矩阵是一个对角矩阵，对角线上的元素都为0，表示各个多项式之间不存在线性相关关系。
第六章 勒让德多项式1
( 2 1)l ( x)
l 1
C
dx
（6.1.11）
z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．
式（6.1.11）还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
Pl ( x) 1 π 0
π
( x i 1 x 2 cos )l d
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
式（6.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 2 (3x 2 1) 1 4 (3cos 2 1)
(6.1.12)
x2 1
【证明】 取 C 为圆周，圆心在 z x ，半径为 ．在
C
上有：
x x 1e
2
i
d i x 2 1ei d i( x)d
并注意到
2 1 ( x x 2 1ei )2 1 ( x 2 1)(1 ei2 ) 2 x x 2 1ei
P3 ( x)
1
1 (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20 cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30 cos ) 8 128
dl dx
l
x
2l 2 k
(2l 2k )(2l 2k 1) [2l 2k (l 1)]x
第六章勒让德多项式
1 d d 1 d 2 n(n 1) sin 2 2 sin d d sin d 1 d d 1 d 2 2 sin sin n ( n 1)sin 2 d d d 1 d 2u 2 m 2 1 d d 2 2 d sin sin n ( n 1)sin m d d ( ) B1 cos m B2 sin m 2 2 d d m cot [ n ( n 1) ] 0 2 2 d d sin 连带的勒让德方程
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
例2:将Pl( x) 在[-1,1]内展成勒让德多项式的级数形式 解：方法一
Pl( x) Cn Pn ( x) Cn Pn ( x)
n 0
l 1
( l 1) / 2
n 0
n 0
Cl 2 n 1Pl 2 n 1 ( x)
方法二
2l 4n 1 1 1 2 l 4 n 1 Cl 2 n 1 Pl ( x) Pl 2 n 1 ( x)dx Pl 2 n 1 ( x)dPl ( x) 1 1 2 2 1 2l 4n 1 1 Pl 2 n 1 ( x) Pl ( x) |1 Pl ( x) Pl ( x)dx 2 n 1 1 2 2l 4n 1 2 Pl 2 n1 (1) Pl (1) 0 2l 4n 1 2
第六章 勒让德多项式
第六章 勒让德多项式在这一章，我们将通过在球坐标系中对Laplace 方程进行分离变量，引出§2.6中曾指出过的勒让德方程，并讨论这个方程的解法及解的有关性质。
勒让德方程在区间[1,1]-上的有界解构成了另一类正交函数系－勒让德多项式。
§6.1 勒让德方程的引出现在对球坐标系中的Laplace 方程进行分离变量，在球坐标系中Laplace 方程为2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂ （6.1） 令 (,,)()()()u r R r θϕθϕ=ΘΦ， 代入（6.1）得2222222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦΘΦ+Φ+Θ= 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111()(sin )0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ++=ΘΦ 或2222111()(sin )sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ=--ΘΦ 上式左端只与r 有关，右端只与θ，ϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能。
为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21()(1)d dRr n n R dr dr=+ （6.2）22211(sin )(1)sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ+=-+ΘΦ （6.3） 将方程（6.2）左端的导数计算出来，即有2222(1)0d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，它的通解为(1)12()n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数。
勒让德多项式递推公式推导
勒让德多项式递推公式推导
雷伯斯让德多项式递推公式是数学发展的一个里程碑。
它是一个可以用来快速计算高次多项式系数序列的重要公式，又称非递归式。
它以有趣的方式应用数学公式，使多项式系数序列计算变得更加合理、简单清晰。
雷伯斯让德多项式递推公式的形式为：
a_n=(n+ann+1+(n+2nn+2))*a_n-1
其中，a_n表示高次多项式的系数序列中的当前项系数，an+1表示高次多项式的系数序列中的下一项系数，同时还有nn+1和nn+2两个参数。
通常来说，我们可以很容易地计算第一项多项式系数序列a_1，但要计算多项式系数序列中的第n项，就需要比较复杂的计算过程。
雷伯斯让德多项式递推公式可以帮助我们快速计算第n项多项式系数序列，而不需要逐一计算每一项。
只要首先计算出a_1，然后将其与参数nn+1和nn+2相乘，再将所得的和再乘以上一项的系数a_n-1，即可获得当前项a_n的计算公式。
由此可见，雷伯斯让德多项式递推公式可以显著降低多项式计算的繁琐性，有效提升计算效率和准确性，也受到了数学家的一致欢迎。
它的出现使许多数学问题的解决变得更加轻松，再次推动了数学的发展，也为社会提供了不少便利。
勒让德多项式变换
勒让德多项式变换
勒让德多项式是一类常见的正交多项式，它在物理学和数学领域中有广泛的应用。
勒让德多项式可以通过变换来得到不同形式的表示。
下面是一些常见的勒让德多项式变换：
1. 勒让德多项式展开为幂级数：勒让德多项式可以通过泰勒级数展开来表示。
这个展开式可以用于计算勒让德多项式的近似值。
2. 勒让德多项式的递推关系：勒让德多项式之间存在递推关系，即P_n(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x)，其中P_n(x) 表示n 阶勒让德多项式。
3. 勒让德多项式的归一化：勒让德多项式可以通过归一化来得到归一化的勒让德多项式。
归一化的勒让德多项式被广泛应用于概率密度函数和正交性的研究中。
4. 勒让德多项式的逆变换：勒让德多项式可以通过逆变换来得到原始函数的表达式。
这个逆变换可以用于将勒让德多项式转换回原始函数的形式。
这些是勒让德多项式的一些常见变换方法，它们在数学和物理学中有广泛的应用。
勒让德多项式变换
勒让德多项式变换以勒让德多项式的变换 - 一首数学之歌在数学的世界里，有一种神奇的多项式，那就是以勒让德多项式。
它被广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域，它的变换法则也是非常有趣的。
我们来一起探索一下以勒让德多项式的变换吧！首先，让我们从简单的例子开始。
假设我们有一个以勒让德多项式P(x)，它可以表示为P(x) = a0 + a1x + a2x² + ... + anxn，其中ai是常数系数。
现在，我们希望对P(x)进行变换，使得它变成一个新的以勒让德多项式Q(x)。
那么，我们可以使用以下变换法则：1. 常数项的变换：Q(0) = P(1) - P(-1)。
2. 线性项的变换：Q'(x) = P(x) - P(-x)。
3. 高次项的变换：Q''(x) = P'(x) - P'(-x)。
通过这些变换法则，我们可以逐步将P(x)转化为Q(x)，并得到一个全新的以勒让德多项式。
这种变换法则的背后是以勒让德多项式的奇偶性质。
以勒让德多项式具有奇偶对称性，即P(x) = P(-x)。
利用这一性质，我们可以通过差分的方式来消除奇偶项，最终得到一个新的以勒让德多项式。
不仅如此，以勒让德多项式的变换还可以帮助我们解决一些实际问题。
比如，在物理学中，以勒让德多项式可以用来描述球面上的势场分布；在工程学中，它可以用来处理信号的滤波和降噪等问题。
以勒让德多项式的变换是一种非常有趣而强大的数学工具。
它不仅可以帮助我们理解数学的本质，还可以应用于各个领域，解决实际问题。
希望通过这首数学之歌，你能对以勒让德多项式的变换有更深入的了解。
让我们一起在数学的海洋中畅游，探索数学的奥秘！。
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本篇主要内容： 勒让德多项式及球函数；贝塞 尔函数和柱函数. 本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数. 本篇特点：加强了思维能力的训练, 以及计算机 仿真绘图在特殊函数中的应用.
第十九章 勒让德多项式 球函数
19.1 勒让德方程及其解的表示 19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
l l 1 1 l ! 1 2 2 l 2 l k k k l 2 k ( x 1 ) ( x ) ( 1 ) ( 1 ) x l l l ( l k )! k ! 2 l ! 2 l ! 2 k ! ( l k )! k 0 k 0
．
（19.１.8）
l 2n （即为偶数）时， 则 P 2 n ( x ) 含有常数项，即
（19.１.7）中
n
k l 2 n 的那一项，所以
( 2 n ) ! ( 2 n 1 ) ! ! n P ( 0 ) (1 ) n n (1 ) （19.１.9） 2 n 2 n ! 2 n ! ( 2 n ) ! ! 2 n ) ! ! ( 2 n ) ( 2 n 2 ) ( 2 n 4 ) 6 4 2 式中记号 ( 而 ( 2 n 1 ) ! ! ( 2 n 1 ) ( 2 n 3 ) ( 2 n 5 ) 5 3 1 因此， ( 2 n ) ! ( 2 n ) ! ! ( 2 n 1 ) ! !
P0 ( x ) 1
P ( x ) x c o s 1
1 2 1 P () x ( 3 x 1 ) ( 3 c o s 2 1 ) 2 2 4
1 3 1 P () x ( 5 x 3 x ) ( 5 c o s 3 3 c o s) 3 2 8
（19.1.1）
和球谐函数方程
2 1 Y Y 1 s i n 2 l ( l1 ) Y 0 2 s i n i n s
（19.１.2）
(19.1.2)式的解 Y ( , ) 与半径 ，或简称为球函数．
r 无关，故称为球谐函数
k
l [] 2
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 l 1 2 , 2
l 2 n ( n 0 , 1 ,2 , ) l 2 n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( x )
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 xc o s , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
2 1 2 u 1 u 1 u ( r ) (sin ) 0 2 2 2 2 2 r r r r sin r sin
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R d R 2 r 2 2 r ll ( 1 ) R 0 d r d r
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 1 9 .1
计算 P l ( 0 ) ，这应当等于多项式 P l ( x ) 的常数项．
如
l
为
2n 1
则 （即为奇数）时，
P2 n 1 ( x )
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P ) 0 2n 1(0
，则上述方程也可写为下列形式的
l
阶勒让德方程
d y 2 d [ ( 1 x) ] ll ( 1 ) y 0 d x d x
(19.1.6)
19．1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 P l ( x ) 为
( 2 l 2) k! l 2 k P ( x ) ( 1 ) x l l 2 k ! ( l k ) ! ( l 2) k! k 0
球谐函数方程进一步分离变量，令
Y (, ) () ()
得到关于
的常微分方程
2 1d m d s i n ll ( 1 ) 2 0 s i nd s i n d
（19.1.3）
称为 令
l
阶连带勒让德方程 . l
2 勒让德多项式的微分表示
l 1 d 2 l P( x ) ( x 1 ) l l l 2 l!d x
（19.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．
2 l ( x 1 ) 【证明】 用二项式定理把 展开
x cos 和 y (x ) (x )
把自变数从 换为
x，则方程（19.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
2 2 d ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d y m 2 ( 1 x ) 2 2 x ll ( 1 ) y 0 （19.1.4） 2 d x d x 1 x
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则
m0
，即有 （19.1.5）
1 d d s i n ll ( 1 ) 0 s i n d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记
a r cc o sx ， y (x ) (x )
1 4 1 2 P ( x ) ( 3 5 x 3 0 x 3 ) ( 3 5 c o s 42 0 c o s 29 ) 4 8 6 4 15 1 3 P ( x ) ( 6 37 x 01 x 5 x ) ( 6 3 c o s 5 3 5 c o s 3 3 0 c o s ) 5 8 1 2 8 16 1 4 2 P ( x ) ( 2 3 1 x 3 1 5 x 1 0 5 x 5 ) ( 2 3 1 c o s 6 1 2 6 c o s 4 1 0 5 c o s 2 5 0 ) 6 1 6 5 1 2