“数学归纳法”中的三个问题
高中数学的解析如何利用数学归纳法解决数学问题
高中数学的解析如何利用数学归纳法解决数学问题数学归纳法是一种常用的数学推理方法，特别适用于解决涉及自然数的问题。
它的基本思想是通过证明某个命题在第一个自然数上成立，并假设该命题在第k个自然数上成立，再利用这一假设证明该命题在第k+1个自然数上也成立。
本文将着重讨论高中数学中一些典型问题，介绍如何使用数学归纳法解决这些问题。
一、等差数列的性质证明等差数列是高中数学中一个重要的概念，其性质证明常常可以使用数学归纳法。
我们以等差数列的前n项和公式为例进行说明。
首先，我们需要证明等差数列前n项和公式在第一个自然数上成立。
当n=1时，等差数列的前n项和显然等于它的第一个项，命题成立。
其次，我们假设等差数列前k项和公式在第k个自然数上成立，即Sn = (2a1 + (k-1)d)k/2 （式1）我们需要证明等差数列前(k+1)项和公式在第(k+1)个自然数上也成立。
通过对等差数列前k+1项求和可以得到：S(k+1) = a1 + a2 + ... + ak + a(k+1)S(k+1) = [(k+1)(a1 + a(k+1))/2] + kd （式2）将式1代入式2中，整理后可得：S(k+1) = [(k+1)(2a1 + (k+1-1)d)/2] + kdS(k+1) = [(k+1)(2a1 + kd)/2] + kdS(k+1) = [(k+1)(2a1 + kd) + 2kd]/2S(k+1) = (2a1 + (k+1)d)(k+1)/2由此可见，假设在第k个自然数上等差数列前k项和公式成立，可以推出在第(k+1)个自然数上该公式也成立。
因此，根据数学归纳法的推理步骤，我们可以得出等差数列前n项和公式对于任意正整数n都成立的结论。
二、数学归纳法解决不等式问题数学归纳法不仅可以用于证明等式的性质，还可以用于解决不等式问题。
我们以证明平方不等式n^2 ≥ n（n ≥ 1）为例。
首先，我们需要证明当n=1时平方不等式成立，即1^2 ≥ 1，命题成立。
数学归纳法(专题)
请你来批作业
1
用数学归纳法证明：1 2
1 23
1 n(n 1)
n (n N ) n 1
证明：
（1）当n 1时，左边 1 ，右边 1 ，左边 右边，等式成立；
2
2
（2）假设当n k时等式成立，即
第二步的证明没有
1 1 1 1 k
1 2 23 3 4
k(k 1) k 1
用上归纳假设!
1 1 1 1 1 2 k 1 ,
23
k k 1
k 1
2 k 1 (2 k 1 ) 2( k 1 k ) 1
k 1
k 1
2
2
0.
k 1 k k 1 k 1
2 k 1 2 k 1.
k 1
故:1 1 1 1
23
k
1 2 k 1. k 1
即当n=k+1时,不等式也成立.
问题 3：教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”
请问：以上三个结论正确吗？为什么? ❖得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点
1、错
2、对
3、对
❖ 共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2是用的不完全
归纳法，问题3是用的完全归纳法。
问题情境二法：国数的数学学家家费费马（马Pie运rre用de 不Fer完mat全） 归纳法得出十七费(世16纪马01最年猜卓～越1想6的6数5的年学)事家。之例一，
根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.
例4、求证:
1
1 22
1 32
1 n2
2
1 (n N , n 2). n
证:(1)当n=2时,左边= 1
1 22
5,右边=
数学归纳法在证明中的应用如何通过数学归纳法在证明中解决高中数学问题
数学归纳法在证明中的应用如何通过数学归纳法在证明中解决高中数学问题数学归纳法在证明中的应用数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它在高中数学中有着广泛的应用。
通过数学归纳法，我们可以有效地解决各种数学问题。
本文将介绍数学归纳法的基本原理和在高中数学问题中的应用。
一、数学归纳法简介数学归纳法是一种证明数学命题的方法，它基于两个基本假设：基础情况成立和归纳步骤成立。
具体而言，数学归纳法可以分为三个步骤：1. 基础情况的证明：首先需要证明当n取某个特定值时，命题成立。
通常这个值为1或者0，取决于具体问题。
2. 归纳步骤的假设：假设当n=k时，命题成立。
这一步是假设我们已经证明了n=k时命题成立的情况。
3. 归纳步骤的证明：通过基于归纳步骤的假设，证明当n=k+1时，命题也成立。
这一步一般需要通过将n=k的情况推广到n=k+1的情况来完成。
二、数学归纳法在高中数学问题中的应用1. 证明数列的性质：数学归纳法常常用于证明数列的性质，比如等差数列和等比数列。
以等差数列为例，我们可以通过数学归纳法证明其通项公式。
2. 证明不等式的成立：数学归纳法可以用于证明不等式在某个范围内的成立。
例如，我们可以通过数学归纳法证明对于所有正整数n，2^n > n^2。
3. 证明恒等式：数学归纳法也可以用于证明恒等式的成立。
例如，我们可以通过数学归纳法证明Fibonacci数列的递推公式。
4. 证明图形的性质：数学归纳法可以用于证明图形的性质，比如几何图形中的等式或者不等式。
例如，我们可以通过数学归纳法证明平面上n个点可以构成n(n-1)/2条直线。
5. 证明数学问题的结论：数学归纳法可以用于证明一些数学问题的结论。
例如，我们可以通过数学归纳法证明所有的偶数都可以被2整除。
通过以上几个例子，我们可以看到数学归纳法在高中数学问题中的广泛应用。
通过合理运用数学归纳法，我们可以简化证明过程，提高解题效率，使得数学问题的解决更加清晰明了。
数学归纳法经典难题详解
数学归纳法经典难题详解
1. 引言
数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，可以用来证明一类具有递推结构的命题。
本文将介绍数学归纳法的基本原理，并详解数学归纳法在解决经典难题中的应用。
2. 数学归纳法的基本原理
数学归纳法包括两个基本步骤：基础情形的证明和归纳步骤的证明。
首先，我们需要证明基础情形下命题的正确性，即当$n$取某个特定的值时，命题成立。
接下来，我们假设当$n=k$时命题成立，然后通过推理证明当$n=k+1$时命题也成立。
这样，我们就能够通过数学归纳法证明命题对于所有非负整数$n$都成立。
3. 经典难题解析
3.1 题目1
这是一个经典的数学归纳法难题，题目要求证明某个性质对于所有正整数$n$都成立。
首先，我们证明基础情形的正确性，然后利用归纳假设和推理证明归纳步骤的正确性。
最终，我们可以得出结论：某个性质对于所有正整数$n$都成立。
3.2 题目2
这是另一个经典的数学归纳法难题，题目要求证明某个等式对于所有非负整数$n$都成立。
我们同样可以利用数学归纳法的基本原理来解决这个问题，首先证明基础情形的正确性，然后通过归纳假设和推理证明归纳步骤的正确性，最终得到结论：某个等式对于所有非负整数$n$都成立。
4. 结论
通过数学归纳法可以解决一类具有递推结构的问题，其中经典难题是数学归纳法的重要应用之一。
本文介绍了数学归纳法的基本原理，并通过解析经典难题的过程，展示了数学归纳法的应用。
希望这篇文档能对读者理解和掌握数学归纳法提供帮助。
> 注意：本文所引用的数学归纳法难题以及解答仅供参考，建议读者自行验证相关内容的正确性。
数学归纳法原理总结
数学归纳法原理总结数学归纳法是一种常用的证明方法，用于证明某个数学命题对于自然数集上的所有元素都成立。
它是一种简洁而有效的证明方法，被广泛应用于数学领域的各个分支。
本文将对数学归纳法原理进行总结，并介绍其应用。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理可以概括为以下两个步骤：1. 基础步骤：证明当n取某个特定值时，命题成立。
通常情况下，我们会选择最小的自然数作为基础步骤的证明对象。
2. 归纳步骤：假设当n取k时，命题成立（归纳假设），然后证明当n取k+1时，命题也成立。
这一步骤通常由归纳假设和已知条件进行推导得出。
通过以上两个步骤的迭代，我们可以推论出该命题对于自然数集上的所有元素都成立。
数学归纳法的核心思想是，我们通过证明基础步骤和归纳步骤，将问题从一个小规模的情况推广至更大的情况，最终达到证明整个命题的目的。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在各个数学领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 证明自然数集上的等式或不等式成立：比如证明1+2+3+...+n =n(n+1)/2，证明n^2 < 2^n对于所有n∈N成立等等。
通过数学归纳法，我们可以逐步推导出这些等式或不等式的正确性。
2. 证明数列的某些性质：比如证明斐波那契数列的性质，证明调和级数的性质，证明数列收敛性等等。
数学归纳法可以帮助我们建立数列性质的数学模型，进而证明这些性质的成立。
3. 证明集合论的命题：比如证明一个集合中元素个数和另一个集合中元素个数相等，证明一个集合的幂集的元素个数是2的幂等等。
数学归纳法可以提供一种有效的证明方式，通过排除其他可能情况，得出结论。
总的来说，数学归纳法是一种强大的证明工具，可以帮助我们解决各种数学问题。
但需要注意的是，在使用数学归纳法时，我们需要确保基础步骤和归纳步骤的合理性，以及每一步推导的严谨性，才能得出正确的结论。
三、数学归纳法的局限性尽管数学归纳法可以解决许多问题，但它也有一定的局限性。
数学归纳法经典问题详解
数学归纳法经典问题详解问题背景数学归纳法是一种常用的证明方法，常用于证明基于自然数的问题。
它适用于那些可以分解成递归结构的问题，通过证明一个基础情况和一个递推规则来推导出问题的解。
问题解析下面将详细解析数学归纳法的经典问题。
问题1：斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面的数都是前面两个数的和。
首几个数是：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...证明：对于任意的正整数n，斐波那契数列的第n项为F(n)。
- 基础情况：当n=1时，F(1)=1。
当n=2时，F(2)=1。
- 递推规则：假设对于任意的k≥2，有F(k-1)和F(k-2)是斐波那契数列的前两项。
则F(k) = F(k-1) + F(k-2)。
问题2：求和问题对于给定的正整数n，求解1到n的所有自然数的和。
证明：对于任意的正整数n，1到n的所有自然数的和为S(n)。
- 基础情况：当n=1时，S(1)=1。
- 递推规则：假设对于任意的k≥1，有S(k) = k + S(k-1)。
则S(n) = n + S(n-1)。
问题3：等差数列的求和对于给定的正整数n，求解首n项等差数列的和。
证明：对于任意的正整数n，首n项等差数列的和为A(n)。
- 基础情况：当n=1时，A(1)=a（a为等差数列的首项）。
- 递推规则：假设对于任意的k≥1，有A(k) = a + d*(k-1) （d为等差数列的公差）。
则A(n) = A(n-1) + d。
结论通过数学归纳法，我们可以证明斐波那契数列的递推关系，自然数求和和等差数列求和的公式。
这些经典问题的解法不仅在数学上有意义，也具有重要的实际应用价值。
希望本文对读者理解数学归纳法和经典问题的解析有所帮助。
数学归纳法经典问题详解问题背景数学归纳法是一种常用的证明方法，适用于基于自然数的问题。
它通过证明基础情况和递推规则来推导出问题的解。
问题解析本文详细解析了数学归纳法的经典问题。
问题1：斐波那契数列证明：对于任意的正整数n，斐波那契数列的第n项为F(n)。
高中数学数学归纳法的原理及相关题目解析
高中数学数学归纳法的原理及相关题目解析数学归纳法是高中数学中常见的证明方法之一，它在数列、恒等式、不等式等问题的证明中具有重要的应用价值。
本文将介绍数学归纳法的原理，并通过具体的题目解析，帮助高中学生掌握数学归纳法的使用技巧。
一、数学归纳法的原理数学归纳法是一种证明方法，它基于以下两个基本原理：1. 基本原理：若一个命题在某个特定条件下成立，且在满足这个条件的情况下，它的下一个条件也成立，那么这个命题对所有满足该条件的情况都成立。
2. 归纳假设：假设命题在某个特定条件下成立，即假设命题对第n个情况成立。
根据这两个基本原理，数学归纳法的证明步骤如下：1. 基础步骤：证明命题在第一个特定条件下成立，即证明命题对n=1成立。
2. 归纳步骤：假设命题对第n个情况成立，即假设命题对n=k成立，其中k为任意正整数。
3. 归纳证明：证明命题在第n+1个情况下也成立，即证明命题对n=k+1成立。
通过这样的证明过程，可以得出结论：命题对所有满足该条件的情况都成立。
二、数学归纳法的应用举例下面通过具体的题目解析，来说明数学归纳法的应用。
例题1：证明等差数列的通项公式。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
证明：首先，我们需要证明等差数列的通项公式对n=1成立。
当n=1时，an = a1 + (1-1)d = a1，等式左边为首项，等式右边也为首项，所以命题对n=1成立。
其次，假设等差数列的通项公式对n=k成立，即假设an = a1 + (k-1)d成立。
我们需要证明等差数列的通项公式对n=k+1也成立。
当n=k+1时，an+1 = a1 + (k+1-1)d = a1 + kd由归纳假设可知，an = a1 + (k-1)d将an代入上式，得到an+1 = an + d = a1 + (k-1)d + d = a1 + kd所以，等差数列的通项公式对n=k+1也成立。
根据数学归纳法的原理，等差数列的通项公式对所有满足条件的情况都成立。
【教学随笔】数学归纳法应用中的四个常见错误
数学归纳法应用中的四个常见错误数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。
证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。
使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清。
现举例如下：（1）初始值估计的错误。
归纳奠基是归纳的基础，是数学归纳法的关键之处。
通常是1，但不总是1。
有些同学思维定势，认为是1，而不能具体问题具体分析。
例1.用数学归纳法证明“＞+1对于n＞的正整数n成立”时，第一步证明中的起始值应取（）A. 1B. 2C. 3D.5【答案】选D例2.若f(n)= ,则n=1时f(n)是A. 1B.C.D.以上答案均不正确。
【答案】选C点评：这也是一个常见的错误，解题的关键是因为分母是连续的，由最后一项既其前面的项组成。
（2）对项数估算的错误用数学归纳法证明恒等式时，由n=k递推到n=k+1时，左端增加的项有时是一项有时不只是一项，有有时左端的第一个因式也可能变化。
举例如下：例3.用数学归纳法证明不等式＜n（n∈）过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（）A. 1B. -1C.D. +1解析;当n=k时，左端=当n=k+1，左端=括号内的部分是增加的式子，计算可知共项点评：这类问题的特点是分母从1开始在正整数范围内递增，抓住这个关键，再通过n=k 和n=k+1左端进行对比，就不会发生错误了。
【答案】选C例4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= ﹒1﹒3…(2n-1)(n∈N)时，从“n=k→n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是（）解析：当n=k时，=当n=k+1时，=通过对比可知，增加了两项（2k+1）（2k+2）减少了一项k+1。
故答案选D。
点评：通过对比n=k和n=k+1时的变化确定增减项。
因为每一项中都有n，项数会有增有减。
（3）没有利用归纳递推数学归纳法中的归纳奠基和归纳递推缺一不可，归纳奠基是递推的基础，归纳递推是递推的依据，二者是一个整体，不能割裂开来。
数学归纳法解决递推问题
数学归纳法解决递推问题数学归纳法是解决递推问题的重要方法之一，递推问题在许多计算机科学和数学领域都有很大应用。
在面试或考试中，简单的递推问题则需要用到数学归纳法进行证明。
让我们从以下三个问题开始探讨归纳法在递推问题中的应用。
1. 求解递推式对于一个递推式，如：$a_0 = 2$，$a_{n+1} = 2a_n + 1$。
我们希望求出其$n$项之和，即$\sum_{i=0}^n a_i$。
用归纳法解决这个问题。
首先，当$n=0$时，$\sum_{i=0}^0 a_i = a_0 = 2$，显然成立。
假设当$n=k$时，$\sum_{i=0}^k a_i$成立，即$\sum_{i=0}^ka_i = 2^{k+1} - 1$。
则当$n=k+1$时， $\sum_{i=0}^{k+1} a_i = \sum_{i=0}^k a_i + a_{k+1} = 2^{k+1} - 1 + 2a_k + 1 = 2^{k+2} - 1$。
因此，$\sum_{i=0}^n a_i = 2^{n+1} - 1$，得证。
2. 青蛙跳台阶有一只青蛙，要跳上一个$n$级的台阶。
青蛙每次可以跳1级或2级，求青蛙跳到$n$级台阶的跳法数量。
我们假设青蛙跳到第$k$级台阶的跳法数量为$a_k$。
显然当$n=1$时，$a_1=1$；当$n=2$时，$a_2=2$。
对于$n>2$的情况：（1）当青蛙第一次跳1级时，就跳到了第$n-1$级，此时剩下跳法为$a_{n-1}$种；（2）当青蛙第一次跳2级时，就跳到了第$n-2$级，此时剩下跳法为$a_{n-2}$种。
因此，跳到$n$级台阶的跳法数量就是$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$。
接下来，用数学归纳法证明$a_n=F_{n+1}$，其中$F_i$代表第$i$个斐波那契数。
（1）当$n=1$时，$F_{1+1}=F_2=1$，$a_1=1$，显然成立。
（2）假设当$n=k$时成立，即$a_k=F_{k+1}$。
2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析-专题23 数学归纳法与证明-2020年江苏省高考数学命题规律大揭秘
高考冲刺 提分必备2020年江苏省高考数学专项训练-真题解析专题23 数学归纳法与证明【真题感悟】1. 【2010江苏，23】已知△ABC 的三边长都是有理数． （1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数．2. 【2013江苏，23】设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----644474448L 个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }． (1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数． 3. 【2014江苏，23】已知函数0sin ()(0)xf x x x=>，设()n f x 为1()n f x -的导数，*n N ∈ （1）求122()()222f f πππ+的值；（2）证明：对任意*n N ∈，等式1()()4442n n nf f πππ-+=都成立. 4．【2015江苏，23】（本小题满分10分）已知集合{}3,2,1=X ，{})(,,3,2,1*N n n Y n ∈=Λ，{,),(a b b a b a S n 整除或整除=}n Y b X a ∈∈,，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数.（1）写出(6)f 的值；（2）当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明.【考纲要求】1. 数学归纳法的原理 （考查要求为了解）2. 数学归纳法的简单应用 （考查要求为理解）【考向分析】1. 江苏高考中，经常考有难度的数学归纳法，利用归纳和类比的方法进行推理是新课标倡导的精神，主要考查学生探索创新能力.2. 数学归纳法既是方法，又是思想，更是能力.不仅需要归纳能力，更需要探究能力、创新能力、构造能力.做一些有难度的数学归纳法试题，有助于培养思维品质，提高分析问题及解决问题的能力.【高考预测】近几年没有考查数学归纳法，高考对数学归纳法考查定位在能力，属难题.【迎考策略】1. 明确数学归纳法的两步证明数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在n ＝k ＋1时一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”． 2. 用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型，其关键点在于弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，以及初始值0n 的值．(2)由n k =到1n k =+时，除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n k =时的式子，即充分利用假设，正确写出归纳证明的步骤，从而使问题得以证明．弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．简言之：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．[来 3. 数学归纳法证明不等式的注意问题(1)当遇到与正整数n 有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n k =成立，推证1n k =+时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．4. “归纳——猜想——证明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式．其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明．这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用．其关键是观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律．5. 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点0n ，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目； (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由n k =到1n k =+时命题变化的情况． 6. 数学归纳法常用于与正整数有关命题的证明可用数学归纳法．例如根据递推公式写出数列的前几项，通过观察项与项数的关系，猜想出数列的通项公式，再用数学归纳法进行证明，初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式；利用数学归纳法证明不等式时，要注意放缩法的应用，放缩的方向应朝着结论的方向进行，可通过变化分子或分母，通过裂项相消等方法达到证明的目的．【强化演练】1．已知数列{}n a 满足123012323222n n n n nC C C a C +++=++++…*2n n nn C n N ++∈，． （1）求1a ， 2a ， 3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并证明． 2．已知函数，记，当．（1）求证：在上为增函数； （2）对于任意，判断在上的单调性，并证明． 3．（1）用数学归纳法证明：当*n N ∈时，cos cos2cos3cos x x x nx +++⋅⋅⋅+=1sin 12122sin 2n xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-（x R ∈，且2x k π≠， k Z ∈）； （2）求234sin 2sin 3sin 4sin 6666ππππ++++ 20182018sin6π⋅⋅⋅+的值. 4．已知函数()()00,0cx df x a ac bd ax b+=≠-≠+，设()n f x 为()1n f x -的导数， *n N ∈.（1）求()()12,f x f x ；（2）猜想()n f x 的表达式，并证明你的结论.5．已知()()()()()()01111nknnnn k m n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++--L L ，其中R x ∈，*N n ∈， N k ∈， k n ≤.（1）试求()1f x ， ()2f x ， ()3f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论. 6．设，为正整数，数列的通项公式，其前项和为.（1）求证：当为偶数时，；当为奇数时，； （2）求证：对任何正整数，.7．数列{}n a 满足11a =且()1211112n nna a n n n +⎛⎫=++≥ ⎪+⎝⎭. （1）用数学归纳法证明： ()22n a n ≥≥；（2）已知不等式()ln 1x x +<对0x >成立，证明： ()3421n a e n <≥（其中无理数）.8．记.（1）求的值； （2）当时，试猜想所有的最大公约数，并证明.9．设个正数满足且. （1）当时，证明：；（2）当时，不等式也成立，请你将其推广到 且个正数的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.10．已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N *，都有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =． （1）求1a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并给出证明． 11．在数列E 中，已知F ，23-，2n n a b =(2n na b =，．（1，13a =时，分别求（212（Ⅰ）求(1)f -及(2)f 的值；（Ⅱ）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．13．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足 （1）1n n x x +<； （2 14．设n ∈*N 且2n ≥，证明：()22221212n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+()1232n a a a a +++⋅⋅⋅+⎡⎣()234n a a a a +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅]1n n a a -+．。
数学归纳法
3.如下用数学归纳法证明对吗？
1 证明：①当n=1时，左边＝ 2 等式成立。
1 1 1 1 1 n ＋ 2 ＋ 3 ＋＋ n 1 - ( ) 2 2 2 2 21
1 2
1 右边＝1 2 2
②假设n=k时等式成立，有 ＋ 那么，当n=k+1时，有
1 1 1 1 k ＋ 3 ＋＋ k 1 - ( ) 2 2 2 2 2
归纳法 可能错误 如何避免？
完全归纳法
穷举法
不完全归纳法
递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉
数学归纳法
数学归纳法的核心思想
数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基 础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的 手段，来解决“无限”的问题。它克服了完全归纳法 的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论 不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊 到一般、由有限到无穷。
数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:
（1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确 （2）假设n=k (k∈N＋ ， 且k≥ n0)时结论正确， 证明n=k+1时结论也正确 由（1）、（2）得出结论正确
（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于 与正整数有关的问题。 （2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。 （3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。
分析: (1)第一步应做什么? （2）在证递推性时，假设什么？求证什么? 假设1+3+5+…..+（2k-1）=k 2 求证1+3+5十….十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) （3）怎样将假设1+3+5+…..+（2k-1）=k
高中数学中的数学归纳法
高中数学中的数学归纳法数学归纳法是一种重要的证明方法，在高中数学中也是一个重要的概念。
它是一种通过证明基础情况成立，再证明推理过程成立的方法，常用于证明自然数性质。
本文将介绍数学归纳法的基本原理、应用以及一些相关的数学问题。
一、数学归纳法的基本原理数学归纳法的基本原理是：如果能够证明以下两个条件成立，那么对于任意自然数n，命题P(n)都成立。
1. 基础情况：证明P(1)成立。
2. 推理过程：假设P(k)成立，证明P(k+1)也成立。
数学归纳法的基本思想是通过证明基础情况成立，再证明推理过程成立，从而得出结论。
它的证明过程类似于搭积木，每一块积木都依赖于前一块的存在，最终搭建出一个完整的结构。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在高中数学中有广泛的应用，特别是在数列和不等式的证明中常常用到。
1. 数列的证明：数学归纳法可以用来证明数列的递推公式成立。
首先证明基础情况，即证明当n=1时递推公式成立；然后假设当n=k时递推公式成立，即P(k)成立；接着证明当n=k+1时递推公式也成立，即证明P(k+1)成立。
通过这样的证明过程，可以得出结论：递推公式对于任意自然数n都成立。
2. 不等式的证明：数学归纳法也可以用来证明不等式的成立。
首先证明基础情况，即证明当n=1时不等式成立；然后假设当n=k时不等式成立，即P(k)成立；接着证明当n=k+1时不等式也成立，即证明P(k+1)成立。
通过这样的证明过程，可以得出结论：不等式对于任意自然数n都成立。
三、数学归纳法的相关问题除了基本原理和应用，数学归纳法还与一些相关的数学问题密切相关。
1. 斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的数列，在数学归纳法中有着重要的应用。
斐波那契数列的递推公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F1 = 1，F2 = 1。
通过数学归纳法可以证明斐波那契数列的递推公式成立。
2. 整数的奇偶性：数学归纳法还可以用来证明整数的奇偶性。
首先证明基础情况，即证明1是奇数；然后假设k是奇数，证明k+1也是奇数。
数学归纳法在高中数学中的应用
数学归纳法在高中数学中的应用
数学归纳法在高中数学中的应用非常广泛，可以用来解决各类问题。
1、推理问题：使用数学归纳法可以快速地推理出数学问题的解决方案。
例如：设f(n)表示一个函数，若f(1)=2，f(2)=6，f(3)=3；则可使用数学
归纳法推出f(n)=2n+1，注意n≥1。
2、极限问题：对于极限问题，利用数学归纳法可以更快捷地得到结果。
例如：当n→+∞时，求函数f(n)的极限：f(n)=n^2+2n，可使用数学归
纳法推出极限为+∞
3、方程组求解问题：数学归纳法可以用来解决方程组的求解问题。
例如：有n个方程，每个方程有m个未知数，可以利用数学归纳法快速
地求出这n个方程的解。
4、数列问题：可以利用数学归纳法求解等差、等比等数列的通项公式、和、最大项和最小项等属性。
很多高中数学问题都可以应用数学归纳法解答，并且数学归纳法是高
效的，易于理解，使用方便，广泛应用于学习和科学研究。
[教研] “数学归纳法”中的三个问题
![[教研] “数学归纳法”中的三个问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1751166ecaaedd3383c4d3e1.png)
“数学归纳法”中的三个问题绍兴市稽山中学孔莉群骆永明参加“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”第八次课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。
在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。
在听课和讨论的过程中，想的最多的是以下三个问题：1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。
甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。
这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。
我想“数学归纳法”也不会例外。
首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。
众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：P(1)真⇒ P(2)真⇒ P(3)真⇒…⇒ P(k)真⇒ P(k+1)真⇒…因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。
纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，从这个意义上讲，它是归纳的。
当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；……命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。
然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。
关于数学归纳法证明的几个问题
关于数学归纳法证明的几个问题双手互相摩擦,会感到手掌发热,用刨刀刨木头后,摸摸刨刀和模板接触的面,也会发觉它是热的,也许我们会想到钻木取火;流星和空气摩擦燃烧……根据这些具体事例,我们归纳出一条原理:物体间摩擦会生热……可以推想一般“物体”摩擦生热,这是一个从特殊到一般的认识过程,它是人们认识世界的一个重要思想方法,一般性存在于特殊性之中,因此,当我们要解决一个一般性问题时,可先分析这个问题的几个简单、特殊的情况,从中归纳,发现一般问题的规律,从而找到解决一般问题的途径,这样研究问题的方法是经验归纳法.而数学归纳法是解决关于自然数“n”的一种数学思想,是在经验归纳法的前提下进行递推,从而证明假设的正确性的一种思想方法。
数学归纳法的基础是这样一个公理:如果某一自然数的集合M 含有1,而且含有自然数K+1,则集合M是所有自然数构成的集合。
理解这一公理是不难的,因为已知的M 含有1,把1看成K 则M含有K+1=2, 再把2看成K ,则M 含有3……这样递推下去M就含有一切自然数。
把这个公理应用于自然数有关的命题的证明,把使命题为真的自然数的集合看作M,我们就有如下的数学归纳法:设P(n)是关于自然数n的的命题,若(1)P(n)在n=1是成立:(2)在P(k)(K是任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对于一切自然数n都成立。
数学归纳法是根据自然数的数归原理而得到一种证明方法,第一步只是验证有使命题成立的自然数,因此不一定从1开始,也可以从Y开始,这里我们只研究从1开始的情况。
在使用数学归纳法时,首先要注意数学归纳法需要两步,这两步是缺一不可的,我们容易理解缺少第二步是不可以的,但是对于缺少第一步为什么不可以还缺乏感性认识,下面我们看这样一道例题,来说明缺少第一步是不可以的。
例1 用数学归纳法证明1+3+5……+（2n-1）=n 2+1它显然是错误的，取n=1时，等式就不成立，既第一步不成立，但该命题对于数学归纳法的第二步却是成立的。
数学归纳法需讲明的几个问题
．
。
所 以 增 加 的 式 子 为
＋ ｊ
１ 一 － １ ＿
。
．
左边＝ 右边 ， 等式成立 。
练 习 ： 数 学 归 纳 法 证 明 （ １ （＋ ）ｎ ３ … （ ＋ ）２ ・ ・ 用 时 ） ｎ ２ （ ＋ ） ｎ ｎ ＝ ｎ １
（ ）假 设 当 ｎ ｋ时 ， 等 式 成 立 ， 即 １ ２ ＋ … … ＝ ２ ＝ ＋ ３＋
加 应 由 ＋ ） ｋ决 定 。 １ｆ ） － ｌ
例 ３用 数学归纳法 证明 １ １十 ． １ ＜ｎ （ ｎ＞ ） １ ．…‘ 几∈ １
（ ） 设 当 ｎ 时 命 题 成 立 （ ２假 ＝ ∈Ｎ 且 ｋ 。 ， 导 出 当 ｎ ≥ｎ ） 推 ＝ ｋ ｌ时 。 题 也 成 立 。 （ ＋ 命 推理 的依 据 ） 如此 简单 的两 步 怎 么会 有证 明命 题 的 作 用 ？ 我们 下 面 以 多
ｋ张 骨牌 不 能 拿 走 ． 们 认 为 在 整 个 实 验 过 程 中必 须 保 持 骨 牌 我 倒 下 的 连 续 性 。 缺 了第 １步 ， 没 有 了 推 理 的 基 础 ， 了第 ２ 就 缺
当 左 ＝ ｝ … ； 边１ ＋ ＋ ＋ １ 当 １， ＝１｝． ＋ １ 一 ‘ ｎ＋ 左 １ ＋ ＋ ＋ 十 ＋ 时 边 ＿ … ． …
１
； 以增 加 的式 子 为 ＋ 所
＋ …＋ …
＿ 。 １
分 析 由 ｎ ｋ到 ｎ ｋ ＝ ＝ ＋ｌ式 子 的变 化 时 ． 上 下 对 照 ． 可 能 应 有 仅 在 后 面 增 加 项 ． 有 可 能 出 现前 面减 少 项 的情 况 。 也
例 ４用 数 学 归 纳法 证 明 １
：
高数解题中总结归纳法的应用
高数解题中总结归纳法的应用总结归纳法是数学中一种非常重要的思想方法，其应用广泛，可以解决各种问题。
在高等数学学习中，总结归纳法也是必不可少的一种方法，能够帮助我们更好地理解和掌握各种数学概念和理论，解决各种数学问题。
下面就是对高数解题中总结归纳法的应用的一些总结。
一、数列问题数列问题是总结归纳法最常用的应用之一。
在数列问题中，我们可以使用归纳法的方法，递推求出数列的通项公式，从而得到数列的一些性质和定理。
例如：1. 证明等差数列的通项公式：对于等差数列an，如果已知a1和d，则可以通过递推求出数列的通项公式an=a1+(n-1)d，然后通过归纳法证明。
3. 证明斐波那契数列的通项公式：斐波那契数列是一个非常有趣的数列，其通项公式为an=F(n)=[(1+sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)-[(1-sqrt(5))/2]^n/ sqrt(5)，可以通过递推求出，然后通过归纳法证明。
二、数学归纳法证明数学归纳法是总结归纳法中最常见的一种方法，可以用来证明各种数学定理和命题。
归纳法的基本思想是：对于某个命题或定理，如果已知它对某个整数成立，同时又知道它对某个整数k+1成立，那么可以推导它对所有大于等于该整数的整数也成立。
例如：1. 证明等差数列的前n项和公式：首先假设k=1时该公式成立，那么对于k+1时，有Sn+1=S(n+1)+a(n+1)，代入等差数列通项公式可以得到Sn+1=1/2(n+1)(a1+an)，证毕。
2. 证明数学归纳法原理：假设P(1)成立，即当n=1时命题成立；再假设当n=k时命题成立，则要证明当n=k+1时命题也成立，即P(k+1)成立。
证毕。
三、不等式证明不等式证明也是总结归纳法的一种应用方式。
在不等式证明中，我们可以通过找到一些基准式，从而验证不等式的成立。
例如：1. 证明柯西不等式：对于数列a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn，柯西不等式表示(a1b1+a2b2+…+anbn)≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。
关于数学归纳法的几个问题
关 于 数 学 归 纳 法 的 几 个 问 题段 绍 容（余庆县城关中学，贵州 余庆 564400 ）摘 要：数学归纳法是中学数学教学内容中的重点与难点之一。
重点是因为数学归纳法使用面比较广；难点则是因为它是学生第一次接触从有限到无限的认识方式，也初步认识自然数的“后继”特征，同时涉及到的知识和技巧较多。
本文讨论了数学归纳法与归纳法的关系、数学归纳法的理论依据、基本形式和教学中较多出现的现象等。
关键词： 数学 归纳法 问题中图分类号： 文献标识码：E 文章编号： 1009—3583 （2004）04—00On Several Problems in Mathematical DeductionDuan Shaorong( Yuqing Suburban Middle School Yuqing County Guizhou )Abstract : Mathematical deduction is one of key and different points in middle school mathematics teaching. It is a key point because it is widely used; it is a difficult point because it is the first time for students contact the way of realizing finite and infinite, thus recognizing subsequence trait in natural number. It deals with various knowledge and techniques. This essay is to discuss the relationship between mathematical deduction and deduction, theoretical basis, its basic form and problems in teaching.Key words: mathematics deduction problem一、归纳法与数学归纳法归纳法是人类认识自然、认识社会及认识自我的重要思想方法，是寻找真理和发现真理的主要手段，科学上的无数定理、定律都是归纳的结果。
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“数学归纳法”中的三个问题
/gzsx/gxrz/200910/t20091002_604430.htm
绍兴市稽山中学孔莉群骆永明
参加课题研讨会之前，绍兴的子课题研究成员特别围绕这次会议的主题举行了研讨会，鲁迅中学的老师开设了研讨课“数学归纳法”。
在衢州的会议中，笔者不但听到了四堂精彩的研究课，而且有幸聆听到许多专家的点评，收获很大。
在听课和讨论的过
程中，想的最多的是以下三个问题：
1．数学归纳法到底是归纳法，还是演绎法？
讨论的过程中，好几个老师提到这个问题。
甚至有老师肯定的说数学归纳法是演绎法。
这就奇怪了，如果是演绎法，为什么取个名字叫某某归纳法？数学当中很多名称都可以顾名思义看到本质，比如“反函数”——反过来也是函数；“零点”——方程的根，就是数轴上的点。
我想“数学归纳法”也不会例外。
首先，从数学归纳法的本质讲，数学归纳法是自然数理论中的皮亚诺公理即归纳公理的直接应用，既然是公理，数学归纳法的正确性就无需证明，只需要理解与接受。
众所周知， p(n)表示与正整数n有关的待证命题，证明主要有两个步骤：
（1）证明p(1)为真；（2）证明若p(k)为真，则p(k+1)为真；
有了这两步的保证，就可实现以下的无穷动态的递推过程：
P(1)真? P(2)真? P(3)真?…? P(k)真? P(k+1)真?…
因此得到对于任何正整数n，命题p(n)都为真。
纵观全过程，这是一个“个别——特殊——一般”的推理形式，完全合乎归纳推理程序，
从这个意义上讲，它是归纳的。
当然，在这个归纳的过程中，是由无数个“三段论”——“演绎论证”构成的，大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(1)真，结论是P(2)真；大前提是“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”；小前提是P(2)真，结论是P3)真；……
命题“若命题P(k)真，则命题P(k+ 1)真”的证明更是需要用演绎法来证明。
然而在证明过程的某个局部有演绎，并不妨碍我们说这个证明过程从整体上讲是归纳。
举个例子，写记叙文，有“顺叙”和“倒叙”。
把后发生的事情写在前面，把先
发生的事情写在后面，叫“倒叙”，但在“倒叙”的一个局部(如上课)，仍必然按时间顺序写——先写老师走进教室，再写讲课，再写下课。
如果统统倒过来:下课，讲课，老师走进教室，谁能看得明白?这个局部的“顺叙”，不能妨碍我们说文章从整体上讲
是“倒叙”。
所以这种证明方法叫做“数学归纳法”（mathematical induction）， mathematical 除了可以翻译成“数学的”之外，还可以翻译成“精确的”，不妨把“数学归纳法”称作“精确的归纳法”，它的本质是归纳，而演绎是其灵魂，是一种美妙而独特的数学方法。
教材把数学归纳法放在第二章的第三节，也就是1-2节“合情推理与演绎推理”之后，是很有深意的。
可以看出新教材特别重视思想方法的渗透，在学习数学归纳法方法的同时渗透和体验“归纳-猜想-证明”的思想方法。
2．学习数学归纳法的必要性在哪里？
学生知道了不完全归纳法属于合情推理，它能帮助我们研究数学问题，进行数学猜想、发现数学规律、找到数学结论，并为证（解）题提供思路和方向．但由于由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法．上课的时候一般我们都会举个例子来说明不完全归纳法是不一定准确的，所以有必要学习数学归
纳法。
笔者认为，数学归纳法作为一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它能促进学生从有限思维发展到无限思维。
如果我们可以通过一一验证的方法来证明，数学归纳法是不是就变成可有可无了？所谓“不愤不启，不悱不发”，学生如果没有经历“愤悱”的痛苦，教师的“启发”就显得单薄无力。
所以关键是让学生体验无法一一验证的痛苦。
有了体验之后，学生必然会思索有没有一种对付这类涉及无穷性的命题，既不需做完全的考察而又是十分可靠的办法，来克服不完全归纳的局限呢?至此引出即将讲述的科学方法—数学归纳法。
它是用有限的步骤，证明命题对无限的自然数都成立的方法，体现了有限与无限的对立统一。
3．数学归纳法的教学重心是什么？
数学归纳法是数学中的“大法”。
由于数学归纳法处理的对象涉及自然数的无限性、其本身的思维方式之别致、概念之难、形式变之多端、应用之广、题目型态之多样使得很多同学只能达到“依样画葫芦”式的工具性理解，而达不到对该方法的“关系性
理解”。
数学归纳法教学的重心应是让学生体味到方法的“精髓”，而不是记住解题的程式。
人类文明花了两千年才认识到“从n=k时命题成立，证明n=k+1时命题成立”这一步骤的重要性，在教学中企图一步到位地实现所谓“透彻地理解”是不现实的[1]。
苏步青先生指出中学数学教学有时要“混而不错”。
“不错”是大前提，关注的是大方向、本质。
“混”是放松严格性的要求，现阶段讲不清楚的问题用写意的方式说明，但仍不失其真。
用“多米诺骨牌效应”写意式地诠释数学归纳法是很合适的。
第一块骨牌不倒，后面的骨牌就不倒，这隐喻了归纳奠基的必要性、重要性。
每两块骨牌间的距离要恰当，其中任何一块骨牌倒下时，都会正好倒在下一块骨牌上，并使之跟着倒下，这隐喻了归纳假设推理重要性。
数学归纳法的原理对学生讲不清楚，但学生对数学归纳法本身有了一定的认识，正好用此法把原理“混”过去，使学生在直观上对其基础有个感性认识。
历史上的归纳公理正是吸收了数学归纳法思想的精髓后才形成的。
这样一种处理方式是一种“混而不错”的处理法。
“淡化形式，注重实质”其实关注的是思想的发生、发展。
在李柏青老师耐心细致的启发下，学生自己理解了由k到k+1的递推性：n=1真?n=2真，由n=2真?n=3真，由n=3真?n=4真，……即保证若n取任意一个值时结论为真，能推出n取下一个值时结论也为真；即假设n=k时结论成立，能推出n=k+1时结论也为真。
保证k从第一个值时的任意一个整数都能成立，由此只要第一个值成立，就能确保可以一直递推下去。
应该说学生已经领悟到了数学归纳法的精髓。
数学归纳法的教学过程中“理解”和“练习”不应该是对立的双方，而应该是两者的统一，或者说两者的整合，而且两者对于学生“原理的理解”和“运用的促进”是一个循环上升的过程，即原理的深入理解促进运用，进一步运用后的反思，特别是障
碍克服后的反思，又促进对原理的理解。
[2]
参考文献：
[1]徐章韬基于数学史的数学归纳法的教学案例设计数学通讯(2008年第7
期)
[2]王琛“数学归纳法”两种教学思路的比较与启示数学教学(2002年第3
期)。