周期信号的功率证明

T / 2
f ( t )e jnt dt

Fn Fn
2
n

Fn
2
1 P T

T /2
T / 2
f ( t )dt
n
F
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2
n
jh 上式称为帕斯瓦尔恒等式。 jh
X
第
设f(t)为实函数 证明2：
归一化的平均功率：
2 页
1 P T

T /2
T / 2
f 2 ( t )dt
将f(t)的三角形式的傅里叶级数展开式代入上式， 得： 1 T A0 P 2T [ An cos(nt n )]2 dt T 2 2 n 1
将上式被积函数展开， 在展开式中具有 cos(nt n )形式 的余弦项，其在一个周 期内的积分等于零；具 有 An cos(nt n ) Am cos(nt m ),当m n时，其积分值为 T 2 零，对于m n的项，其积分值 An ,因此，上式可化为： jh 2 jh X
2 2 2 n 1

n
F

2
n
jh jh
X
第 3 页
1 P T

T /2
T / 2
A0 2 1 2 f 2 ( t )dt ( ) An 2 n 1 2
总平均功率=各次谐波的平均功率之和 上式表明：
1 由于 | Fn | 是n的偶函数，且| Fn | An , 上式可改写为： 2
1 P T

T /2
T / 2
f ( t )dt F0 2 Fn
第
证明1:
1 P T

T /2
T / 2
f ( t )dt
2
1 页
将f(t)的指数形式的傅里叶级数展开式代入上式， 得： 1 T /2 P [ f ( t ) Fn e jnt ]dt T T / 2 n
1 Fn T n
n


T /2