数列求和导学案

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数列求和导学案

数列求和导学案（一）一、1、已知nn a 23=。

求n S2、5+55+555+…+555…5=3、求和。

)32()332()232()132(32n S n +⨯+⋯++⨯++⨯++⨯=4、已知n n n a 212-=。

求n S5、已知)1(1+=n n a n 求n S6、已知：2n a n =。

求n S二、总结数列求和方法三、课后练习1、已知)2(1+=n n a n ，求n S2、已知：13321-+⋅=-n a n n 。

求n Sn 个53、+++=2642a a S …12-⋅+n an4、)214121()4121(21n S +⋯+++⋯+++=5、数列}{n a 与}{n b 的前n 项和分别记作n S 与'n S ，如果32,122'2-+=-+=n n S n n S n n ,设n n n b a C ⋅=。

求}{n C 前n 项和n P 。

数列求和和与应用题导学案（二）1、求)12)(12(1751531311+-+⋯⋯+⨯+⨯+⨯n n 的和2、=+⋯⋯++++⋯⋯++++++n 3211321121113、=+++⋯⋯++++++11231321211n n4、设{a n }为等差数列，公差是d ,则=+⋯⋯++++-12127553311111n n a a a a a a a a5、=++⋯⋯+⋅+⋅+⋅)1(433221n n6、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，再倒出1升混合溶液，用水填满，这样继续下去，一共倒了4次，这时容器里还有多少纯酒精？（保留到1位）7、某林场原有森林木材存量为a,木材以每年25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为x ，为了实验经过20年达到木材存有量至少翻两番的目标，则x 的最大值是多少？（1g2=0.3）8、（选做）已知数列{a n }的前n 项和为210n n S n -=，数列{b n }的每一项||n n a b =，求数列{b n }的前n 项和。

数列求和(经典导学案及练习答案详解)

§6.5 数列求和学习目标1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．知识梳理数列求和的几种常用方法 1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解． 3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的． 4．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q .( √ )(2)当n ≥2时，1n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1.( √ )(3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 时，只要把上式等号两边同时乘a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n ＋2n ＋3的前n 项和可用分组转化法求和．( √ )教材改编题1．数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则该数列的前100项之和为( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100答案 D解析 S 100＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝2×50＝100.2．等差数列{a n }中，已知公差d ＝12，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝50，则a 2＋a 4＋…＋a 100等于( )A ．50B ．75C ．100D ．125 答案 B解析 a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋…＋(a 99＋d ) ＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋50d ＝50＋25＝75.3．在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝________.答案 2 022解析 a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝2 0222 023，∴n ＝2 022.题型一分组求和与并项求和例1 (2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)∵{a n }为各项都不相等的等差数列， a 6＝6，且a 1，a 2，a 4成等比数列． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝6，(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d ≠0，解得a 1＝1，d ＝1，∴数列{a n }的通项公式a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2. 延伸探究在本例(2)中，如何求数列{b n }的前n 项和T n ? 解由本例(2)知b n ＝2n ＋(－1)n n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2；当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ] ＝2n ＋1－2＋n －12－n＝2n ＋1－n 2－52.所以T n＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋1－n 2－52，n 为奇数.教师备选(2020·新高考全国Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列，设首项为a 1，公比为q ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *. (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32， 26＝64，27＝128，所以b 1对应的区间为(0,1]，则b 1＝0； b 2，b 3对应的区间分别为(0,2]，(0,3]，则b 2＝b 3＝1，即有2个1； b 4，b 5，b 6，b 7对应的区间分别为 (0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2，即有22个2；b 8，b 9，…，b 15对应的区间分别为(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3，即有23个3；b 16，b 17，…，b 31对应的区间分别为(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4，即有24个4；b 32，b 33，…，b 63对应的区间分别为(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5，即有25个5；b 64，b 65，…，b 100对应的区间分别为(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，则b 64＝b 65＝…＝b 100＝6，即有37个6.所以S 100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.思维升华 (1)若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和．(2)若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{c n }的前n 项和．跟踪训练1 (2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25. (1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由S 5＝5a 3＝25得a 3＝a 1＋2d ＝5，又a 5＝9＝a 1＋4d ，所以d ＝2，a 1＝1，所以a n ＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)结合(1)知b n ＝(－1)n n 2，当n 为偶数时， T n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6)＋…＋(b n －1＋b n )＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋(－52＋62)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝(2－1)(2＋1)＋(4－3)(4＋3)＋(6－5)(6＋5)＋…＋[n －(n －1)][n ＋(n －1)] ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.当n 为奇数时，n －1为偶数，T n ＝T n －1＋(－1)n ·n 2＝(n －1)n 2－n 2＝－n (n ＋1)2.综上可知，T n ＝(－1)n n (n ＋1)2.题型二错位相减法求和例2 (10分)(2021·全国乙卷)设{a n }是首项为1的等比数列，数列{b n }满足b n ＝na n3.已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求{a n }和{b n }的通项公式； [切入点：设基本量q ](2)记S n 和T n 分别为{a n }和{b n }的前n 项和．证明：T n <S n 2. [关键点：b n ＝n ·⎝⎛⎭⎫13n ]教师备选(2020·全国Ⅰ)设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．(1)求{a n}的公比；(2)若a1＝1，求数列{na n}的前n项和．解(1)设{a n}的公比为q，∵a1为a2，a3的等差中项，∴2a1＝a2＋a3＝a1q＋a1q2，a1≠0，∴q2＋q－2＝0，∵q≠1，∴q＝－2.(2)设{na n}的前n项和为S n，a1＝1，a n＝(－2)n－1，S n＝1×1＋2×(－2)＋3×(－2)2＋…＋n(－2)n－1，①－2S n＝1×(－2)＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋(n－1)·(－2)n－1＋n(－2)n，②①－②得，3S n＝1＋(－2)＋(－2)2＋…＋(－2)n－1－n(－2)n＝1－(－2)n1－(－2)－n(－2)n＝1－(1＋3n)(－2)n3，∴S n ＝1－(1＋3n )(－2)n9，n ∈N *.思维升华 (1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，常采用错位相减法．(2)错位相减法求和时，应注意：①在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式．②应用等比数列求和公式必须注意公比q 是否等于1，如果q ＝1，应用公式S n ＝na 1. 跟踪训练2 (2021·浙江)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)因为4S n ＋1＝3S n －9，所以当n ≥2时，4S n ＝3S n －1－9，两式相减可得4a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n ＝34.当n ＝1时，4S 2＝4⎝⎛⎭⎫－94＋a 2＝－274－9，解得a 2＝－2716，所以a 2a 1＝34.所以数列{a n }是首项为－94，公比为34的等比数列，所以a n ＝－94×⎝⎛⎭⎫34n －1＝－3n ＋14n .(2)因为3b n ＋(n －4)a n ＝0，所以b n ＝(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n.所以T n ＝－3×34－2×⎝⎛⎭⎫342－1×⎝⎛⎭⎫343＋0×⎝⎛⎭⎫344＋…＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ，① 且34T n ＝－3×⎝⎛⎭⎫342－2×⎝⎛⎭⎫343－1×⎝⎛⎭⎫344＋0×⎝⎛⎭⎫345＋…＋(n －5)×⎝⎛⎭⎫34n ＋(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，② ①－②得14T n ＝－3×34＋⎝⎛⎭⎫342＋⎝⎛⎭⎫343＋…＋⎝⎛⎭⎫34n －(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－94＋916⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －11－34－(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n ＋1 ＝－n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1，所以T n ＝－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1.因为T n ≤λb n 对任意n ∈N *恒成立，所以－4n ×⎝⎛⎭⎫34n ＋1≤λ⎣⎡⎦⎤(n －4)×⎝⎛⎭⎫34n 恒成立，即－3n ≤λ(n －4)恒成立，当n <4时，λ≤－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≤1；当n ＝4时，－12≤0恒成立，当n >4时，λ≥－3n n －4＝－3－12n －4，此时λ≥－3.所以－3≤λ≤1.题型三裂项相消法求和例3 (2022·咸宁模拟)设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)因为a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *，所以a n ＋1＋a n －2a n ＋1a n ＝4，即(a n ＋1－a n )2＝4，又{a n }是各项为正数的单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2，又a 1＝2，所以{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，所以a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，所以a n ＝4n 2. (2)b n ＝1a n －1＝14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋ 12⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 教师备选设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.(1)解因为2S n ＝3a n －1，所以2S 1＝2a 1＝3a 1－1，即a 1＝1.当n ≥2时，2S n －1＝3a n －1－1，则2S n －2S n －1＝2a n ＝3a n －3a n －1，整理得a na n －1＝3，则数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，故a n ＝1×3n －1＝3n －1. (2)证明由(1)得b n ＝3n(3n －1＋1)(3n ＋1)＝32×⎝⎛⎭⎫13n －1＋1－13n ＋1，所以T n ＝32×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫130＋1－131＋1＋⎝⎛⎭⎫131＋1－132＋1＋⎝⎛⎭⎫132＋1－133＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1＋1－13n ＋1，即T n ＝32×⎝⎛⎭⎫12－13n ＋1＝34－323n ＋1，所以T n <34，又因为T n 为递增数列，所以T n ≥T 1＝34－38＝38，所以38≤T n <34.思维升华利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. 跟踪训练3 (2022·河北衡水中学模拟)已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝ n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明当n ≥2时， (n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)，将上式两边都除以n (n －1)，得a n n ＝a n －1＋2n －2n －1，即a n n －a n －1n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝4为首项，2为公差的等差数列．(2)解由(1)得a nn ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2，即a n ＝2n (n ＋1)，所以b n ＝2n ＋1a 2n ＝14⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2，所以S n ＝14⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫122－132＋⎭⎬⎫…＋⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋1)2 ＝14⎣⎡⎦⎤1－1(n ＋1)2＝n 2＋2n 4(n ＋1)2.课时精练1．已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．解 (1)由等差数列性质知，S 7＝7a 4＝49，则a 4＝7，故公差d ＝a 4－a 3＝7－5＝2，故a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝22n －1＋2n －1， T n ＝21＋1＋23＋3＋…＋22n －1＋2n －1 ＝21＋23＋…＋22n －1＋(1＋3＋…＋2n －1) ＝21－22n ＋11－4＋n (1＋2n －1)2＝22n ＋13＋n 2－23.易知T n 单调递增，且T 5＝707<1 000，T 6＝2 766>1 000，故T n ≥1 000，解得n ≥6，n ∈N *.2．(2020·全国Ⅲ改编)设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .解 (1)由题意可得a 2＝3a 1－4＝9－4＝5，a 3＝3a 2－8＝15－8＝7，由数列{a n }的前三项可猜想数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列，即a n ＝2n ＋1.(2)由(1)可知，a n ·2n ＝(2n ＋1)·2n ，S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n ，① 2S n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n －1)·2n ＋(2n ＋1)·2n ＋1，② 由①－②得，－S n ＝6＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22×(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝(1－2n )·2n ＋1－2，即S n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.3．(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)由已知得a n ＋1－a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋2＋22＋…＋2n －1＝2＋2(1－2n －1)1－2＝2n . 又a 1＝2，也满足上式，故a n ＝2n .(2)由(1)可知，b n ＝log 2a n ＝n ，1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，故T n ＝n n ＋1.4．(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1,3a 2的等差中项，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q ＝2.所以a n ＝a 4·q n －4＝2n .(2)方法一 (分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)，①若n 为偶数，T n ＝－3＋5－7＋9－…－(2n －1)＋(2n ＋1)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n －1)＋(2n ＋1)]＝2×n 2＝n ； ②若n 为奇数，当n ≥3时，T n ＝T n －1＋b n ＝n －1－(2n ＋1)＝－n －2，当n ＝1时，T 1＝－3适合上式，综上得T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －2，n 为奇数 (或T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *)．方法二 (错位相减法)由(1)可知，a 2n ＋1＝22n ＋1，所以b n ＝(－1)n ·log 2a 2n ＋1＝(－1)n ·log 222n ＋1＝(－1)n ·(2n ＋1)， T n ＝(－1)1×3＋(－1)2×5＋(－1)3×7＋…＋(－1)n ·(2n ＋1)，所以－T n ＝(－1)2×3＋(－1)3×5＋(－1)4×7＋…＋(－1)n ＋1(2n ＋1)，所以2T n ＝－3＋2[(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n ]－(－1)n ＋1(2n ＋1)＝－3＋2×1－(－1)n －12＋(－1)n (2n ＋1)＝－3＋1－(－1)n －1＋(－1)n (2n ＋1) ＝－2＋(2n ＋2)(－1)n ，所以T n ＝(n ＋1)(－1)n －1，n ∈N *.5．(2022·重庆调研)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ，在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2n a n a ⋅这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．解 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)选条件①.b n ＝42n ·2(n ＋1)＝1n (n ＋1)，则S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫11－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 选条件②.∵a n ＝2n ，b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n ·2n ， ∴S n ＝－2＋4－6＋8－…＋(－1)n ·2n ，当n 为偶数时，S n ＝(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ] ＝n 2×2＝n ；当n 为奇数时，n －1为偶数， S n ＝n －1－2n ＝－n －1.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，－n －1，n 为奇数. 选条件③.∵a n ＝2n ，b n ＝2n a n a ⋅， ∴b n ＝22n ·2n ＝2n ·4n ， ∴S n ＝2×41＋4×42＋6×43＋…＋2n ·4n ，① 4S n ＝2×42＋4×43＋6×44＋…＋2(n －1)·4n ＋2n ·4n ＋1，② ①－②得－3S n ＝2×41＋2×42＋2×43＋…＋2×4n －2n ·4n ＋1＝4(1－4n )1－4×2－2n ·4n ＋1 ＝8(1－4n )－3－2n ·4n ＋1， ∴S n ＝89(1－4n )＋2n 3·4n ＋1.。

数列求和导学案

辽宁省本溪市高级中导学案
【学习目标】
1．能熟练地应用等差数列、等比数列前 n 项和公式解决有关数列求和问题； 2．掌握非等差数列、等比数列求和的几种常用方法.
【学习重、难点】
1．重点是倒序相加法、裂项相消法、错位相减法； 2．难点是能根据通项选择合适的方法求和.
课前自学案
n
项可以裂项吗？如果可以，用到的运算方法是什么？
[归纳领悟]：
4、错位相减求和法：例 4.（2010· 四川高考)已知等差数列{an}的前 3 项和为 6，前 8 项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
问题 3、我们知道通分运算：
1 1 1 1 ，也就是说可以裂项为 n n 1 n(n 1) n(n 1)
1 1 .你能尝试仿照上述过程写出一些裂项运算的等式吗？ n n 1
问题 4、等比数列的前 n 项和公式推导过程对解自主探究第 5 题有什么启示作用？学法指导：感知模型，听分析，归纳通性通法，看规范格式、书写. 例 1 中应用等比数列求和公式要注意什么？
例 4 中如对字母有什么要求？怎么解决呢？
[归纳领悟]：
【整合提升】------ 谈收获
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。
数列求和的几种方法：
心得体会：【课后强化】------ 一定行 1．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝ 2 A. 5 1 B. 30 7 C. 30 5 D. 6 ) 1 ，则 S8 等于( （n＋1）（n＋2） )
世间没有一种具有真正价值的东西，可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到。

常见数列求和导学案

1 1 2
1 23
1 3 4
n
1 (n
（提示： 1
1)
n(n 1)
1 n
1 n 1
）变式：（1）求和：源自sn31
7
7
1 11
1 1115
(4n
1 1)(4n
3)
（2）求和： sn
1 1
2
1 2
3
1 3
4
1 n n1
2、求和： sn sin21o sin2 2o sin2 3o sin288o sin289o （提示：转化为 sin2 cos2 1求）
变式一：求和：
sn
1
1 3
2
1 9
3
1 27
4
1 81
n
1
3n
变式二：求和：
sn
1
(1
1) 3
(1
1 3
1
32 )
(1
1 3
1
32
1
3n 1)
例 2、求和： sn x 2 x2 3 x3 4 x4 n xn
变式一：求和： sn 1 3a 5 a2 7 a3 (2n 1) an1
3n1 an
n 3
n N *
（1）、求数列{ an }的通项
（2）、设 b n
n
an
求数列{bn }的前
n
项和
sn
3
课外拓展提升
常见数列的求和方法除了公式法、分组求和法、错位相减法外，你还举出其它的方法吗？
充分利用你的资源——如查找资料、利用现代科技设备上网与同学或老师交流等找找。
学习效果检测
1、求和：s n
4
【学习过程】：一、课前准备：１、等差数列的前 n 项和公式：

数列求和导学案

2.6数列求和导学案n 项和公式解决有关关应用问题；掌握非等差数列、等比数列求和的几种常用方法。

n 项和的定义：=nS _________________________________________；若数列{}n a 是等差数列则①：=n S ___________；公式②：=n S ________________; 若数列{}n a 是等比数列则①：=nS ____________；公式②：=n S ______________.（一）公式法（直接求和）如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比q 的取值情况要分q ＝1和q ≠1. 例1、求和:(1)123n S n =++++(2)n S =+++⋯⋯+n 2482(3)132......1-+++++=n n a a a a S（二）：绝对值求和{}n a ：注重原来通项正负转换的位置例2：在等差数列{}n a 中，316n a n =-，n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .练习：在等差数列{}n a 中，113,5a d ==-，n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S 。

（三）分组转化求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减．例3、求和：()()()()232122232n n S n =-+-+-++-练习：.数列121,341,581,7161,…,(2n -1)+n 21,…的前n 项和n S 的值等于（四）错位相减法：若通项能转化为等差数列与等比数列的积，一般适用于数列{}n n a b 的前n 项求和，其中{}n a 成等差，{}n b 成等比，即n n n c b a ⋅=. 例4、求和21122322n n -+⋅+⋅++⋅. 变式：求和21123n a a na -++++。

北师大版必修5高中数学1.1数列求和(2)导学案(二)

高中数学 1.1 数列求和(2)导学案北师大版必修 5
【学习目标】 1. 熟记数列求和的五种方法：公式求和法，分组求和法，倒序相加法，裂项相消法，错位相减法。 2. 能够对简单的数列求和问题进行分析、辨认，并选择正确的方法求解【学习重点】 3. 重点：裂项相消法，错位相减法。【学法指导】自己通过查询资料，搜集整理裂项相消法，错位相减法的相关内容，并与组内同学交流形成共识后完成基础学习。【使用说明】
当堂检测（A） 1、已知等差数列 an 满足：a3 7 ，a5 a7 26 . an 的前 n 项和为 Sn . （1）、求 an 及 Sn ；（2）、令 bn
1 （ n N ）,求数列 bn 的前 n 项和 Tn . an 1
2
2
(C)3 设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 bn＝2－2Sn；数列{an}为等差数列，且 a5 ＝14，a7＝20. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 cn＝an·bn(n＝1，2，3…)，Tn 为数列{cn}的前 n 项和，求 Tn.
Tn＝－
7 2
1 3n－1 . n－2－ n 2·3 3
4
总结反思
5
6
总结反思
7
个性笔记
（Ｂ） 2、错位相减法的适用范围是？
（一）学习探究
（Ａ）探究一
1 已知数列 an 的通项 an = n(n 1) ，求数列的前 n 项和 sn.
(提示：本小题用裂项相消法)
1
（B）探究二
已知数列 an 的通项 an =n•3 , 求数列的前 n 项和 sn.
nபைடு நூலகம்
(提示：本小题用错位相减法)
（三）教与学反思本节课你有哪些收获？请写下来，与组内的同学分享

高中数学2.5数列的求和导学案(无答案)新人教版必修5

数列求和学习目标：1 •熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；「消等重要的数学方法进行求和运算; nd q(3)求和S【课内探究］变式：已知a n n 2n 1，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .2 •能运用分组求和、、问题导学 (复习回顾)(1)等差数列求和公式: S 1 uuuujujujuuuuir错位相减、裂项相 (2)等比数列求和公式: S n a n q例1、求和：(1 S n 11 31 51 2 4 8 L [(2n 1)1 1 1 1 班】；⑵S n 1 3 4 L (2n 1) 2【总结提升】1、公式法2、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

适用于类似（其中a n 是各项不为零的等差数列， c 为常数）的数列、部分无理数列等。

用裂项相消 a n a n 1法求和，常见的裂项方法：1 111 1 11 （1） ——11 1 —，特别地当k 1时，——1 1 — nnkknnknn1nn1 A A ” A _（2） _ _ 一 . n k • n ，特别地当 k 1 时 --------------------- —.n 1•. n .n k 一 n k. n 1 n 3、错位相减法若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差•比”数列，则采用错位相减法。

若 a n b n c n ，其中b n 是等差数列， c n 是公比为q 等比数列，令 S n biG b 2c 2 L b n 1c n 1 b n c n则qS n -b© b ?C 3 L b n 1C nb nCi r 两式相减并整理即得其它常用的方法还有倒序相加法、分组求和法【课后作业】例2、已知数列 a n 的通项公式为a n n(n 2) ，求它的前n 项和S n .1 (n 1)(n 3)5.求和：S n x 2x 2 3x 3 L nx n . 1. S n 2 3 5 4 3 52 6 3 53 L 2n 3 5n 2.化简:3.数列 1,(1 2),(1 2 22),L ,(1 2 22 L 2n 1),L 的通项公式a n ，前n 项和Sn _______ 4、求和：S n 14 4 7 1 _____ (3n 2) (3n 1)。

专题：数列求和方法导学案

二．分组求和：适用于{}+n n a b ，其中{}是等差数列，是的等比数列。

例1．已知数列{}n a 的通项公式为n =2+2n-1n a ，求数列{}n a 的前n 项和S n 。

练习1.等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．练习2．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .三.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列等。

常见的裂项公式：111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n 111n a n nn n ==+-++{}n a 24a =4715a a +={}n a 22n a n b n -=+12310b b b b +++⋅⋅⋅+四.错位相减法:适用于，其中{ }是等差数列，是各项不为0的等比数列。

例1．已知数列{}n a 的通项公式为=.2nn a n ，求数列{}n a 的前n 项和S n 。

练习1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4,5a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n .练习2.已知{}n a 是递增的等差数列，42,a a 是方程2560x x -+=的根.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.。

76.数列求和复习导学案

2、已知，若，则 =
2、方法点拨
1、公式法
等差数列前n项和公式等比数列前n项和公式
2、分组求和（一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和数列组成，求和时可用分组求和法）形如
3、裂项相消（把数列的通项拆成两项之差，求和时中间的一些项可用相互抵消从而求得其和）
（1）（2）（3）
两点提醒：1、通项裂开后，是否等于相应两项之差
3、已知数列的通项公式为，求数列的前n项和
六、作业布置、课后篇子
变式训练若求 .
例3、设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和
4、能力提升
在数列中，，当时，其前n项和满足
（1）求的表达式.（2）设，求的前n项和 .
5、达标检测
1.已知数列是等比数列，，则
2.求数列，，，…，的前项和
迁安一中数学组导学案
课题
数列求和复习
使用时间
6月25日
课型
复习课
课时
1课时
编写人
姬思佳
审核人
王建立
学习目标
复习数列求和公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法
学习重点
错位相减法和裂项相消法
学习难点
裂项相消法中项数、相消后剩余项，错位相减法
学
习
过
程
学
习
过
程
1、基础知识再现
1、已知等差数列，，则 =
2、正负抵消后，前面剩下一项，后面剩下一项；前面剩下两项，后面也剩下两项
4、错位相减法（数列是通项公式形如，等差数列，是等比数列）
3、例题剖析

人教版数学必修五2.5数列的求和导学案

数列求和学习目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2 •能运用分组求和、错位相减、裂项相•消等重要的数学方法进行求和运算;一、问题导学(复习回顾)(1)等差数列求和公式:& == ------------------------------- \----------------------------------------- i”g(q=1)(2)等比数列求和公式：a— anq=, (q^)(3)求和足—1+_ 1 1 +1 1—+ ------ + ------ =12 23344556【课内探究】1 1 1 1 1 1 1例1、求和：(1 S n =1—+3—+5—+ ||j+[(2n— 1^—]; (2)S n =1 江一+3汉一+ 川+ (2n—1^ —2 4 8 2 2 4 2变式：已知a n = n 2nJ，求数列｛a n｝的前n项和S n.来源 :Z#xx#]【总结提升】1、公式法2、裂项相消法求和把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。

适用于类似— （其中曲是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。

用裂项相消a n a n 1 法求和，常见的裂项方法：（1）一1 - i —，特别地当k =1时，一1 1 一丄 n （n +k ） k Jn n +k 丿n （n 十1） n n+1 3、错位相减法若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差•比”数列，则米用错位相减法。

右 a n =b n c n ，其中'b n f 是等差数列，是公比为q 等比数列，令S n — b 1c 1 b 2c ^ I H b n 」c n4 b n c n则qS n 二 b 1 c^ b 2 c^ ■ n b n c n b n c 两式相减并整理即得其它常用的方法还有倒序相加法、分组求和法来源学§科§网Z §X§ X K]【课后作业】例2、已知数列的通项公式为 a n n(n 2) ，求它的前n 项和S n .(2) 十齐-行，特别地当 k =1时 --- 一二.n 1 -、n、、n T , n(n 1)(n 3)3.数列1,(1 2),(12 22)J||(1 2・22 •川・2nJ ), III 的通项公式可二 _______ ，前n 项和&二1 1 14、求和：『门 W 山(3n 一2) (3n 1) 5.求和： S n = x 2x 2 3x 3 HI nx n . 来源学科网 “来源学科网学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。

高中数学第20课时数列的求和导学案苏教版必修5

第20课时数列的求和【学习目标】进一步熟练数列求和的各种方法. 【问题情境】熟练运用各种方法求数列的前n 项和【合作探究】求数列前n 项和的常用方法：（1）公式法；（2）分组求和；（3）拆（并）项法；（4）错位相减；（5）倒序相加.【展示点拨】例1：数列{}n a 的前n 项和21n n s =-，求22212n a a a +++.例2：求下列数列的前n 项和n s ：(1) 1,111,,,,12123123n+++++++；(2) 112,1112,3,(),482n n +.【学以致用】1.数列{}n a 中，14a = ，12n n a a +=，则这个数列的前n 项和等于__________________.2.数列3，5，7，9，11，…的前n 项和是120，则n=____________.3.在等差数列{}n a 中，11110s =，则6a =_____________.4. 求和：11111447710(32)(31)n n ++++⨯⨯⨯-+=__________________.5. 数列的前n 项和3n s n =，则34567a a a a a ++++=________________.6. 求和：2232222212345699100-+-+-++-=____________________.7．求和：3+33+333+…+333n 个=_____________________.8. 数列23,,,,n x x x x 的前n 项和为___________________.9.4122007(),()()()42200820082008x x f x S f f f ==++++求和:.10.已知数列{}n a 的前n 项的和210n s n n =-，又n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n T .11.已知01a a ≠≠且，求数列2311,3,5,7,,(21)n a a a n a --的前n 项和n s .设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知37S =，且1233 34a a a ++，，构成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln n n b a n N ++=∈，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．。

裂项相消法求和-导学案

数列求和 —— 裂项相消法班级：_____________ 小组：_____________ 姓名：___________一、导学目标：1 理解裂项相消法思想。

2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。

3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。

二、复习导入1 等差数列通项公式和求和公式：2 问题：（1）你能计算6121+= ; 1216121++= ; ……么（2）那么990011216121++++Λ= 呢即100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯Λ= ；（3）事实上，教材里有更一般的问题：P47 B 组第4题数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和)1(1431321211+⨯++⨯+⨯+⨯=n n S n Λ，你能否求和（化简），并作一些推广三、自学探究一1 为解决上述问题，我们不妨先看看几个有趣的计算：（1）计算=-211 ；=-3121 ；=-4131 ；……=-1001991 ；（2）思考：=+-111n n （3）反之，=+)1(1n n 2 求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+)1(1n n 的前n 项和)1(1431321211+⨯++⨯+⨯+⨯=n n S n Λ 解：=+=)1(1n n a n Θn n n a a a a a S +++++=∴-1321Λ)1(1)1(1431321211++-++⨯+⨯+⨯=n n n n Λ = =四、思考与讨论：1 如何裂项裂项和通分的关系2 如何相消你能发现其中的规律吗3 哪些项是不能消去的4 什么数列可用裂项相消法求和5 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么五、自学探究二（1）()n 12S n n a n ，求已知+=（2）n n S n n a 求已知,)2(1+=六、能力提升1、若n a 是等差数列，则d a a n n +=+1，所以________)(111=+=+d a a a a n n n n进而，________11113221=++⨯+⨯=-nn n a a a a a a S Λ 2、数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( ) A ．11B ．99C ．120D ．121七、课堂小结裂项相消法求和：对于通项公式可拆成两项的数列，我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。

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