(完整word版)高一数学中的恒成立问题

高一数学中的恒成立问题

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1.任意x R ∈，不等式()()222240a x a x ----<恒成立，则a 的范围是____(]2,2-___.

2.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立，则正数a 的最小值为 ( B ) A.1 B.2 C.2

1

2+

D.22+1

. B 由条件:2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-, 令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2, ∴a =2.

3．不等式()

()2212130m x m x ---+>对一切实数x 恒成立，则实数m 的范围为______. 【解】当2

10m -≠时不等式恒成立的充要条件是2

10m ->且()()22411210m m ---<，

即m>1或m<-2；当m-1=0时不等式化为3>0,恒成立.综上m 范围是[)21-∞+∞U （，），+. 4、已知两个正变量y x ,满足4=+y x ，则使不等式

m y

x ≥+4

1恒成立的实数m 的取值 范围是 ]4

9,(-∞

5．已知不等式(x+y)(1x + a

y

)≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )

A.2

B.4

C.6

D.8

6、若对于一切正实数x 不等式x

x 2

24+>a 恒成立，则实数a 的取值范围是 a<24

7．若不等式.2

log 0m x x -<在(0,

1

2

)的范围内恒成立,则实数m 的取值范围是＿＿＿＿. 【解】

1

116

m ≤< 提示：利用数形结合讨论01两种情况 8．设y=x 2+ax+b ，当x=2时y=2,且对任意实数x 都有y≥x 恒成立，实数a 、b 的值为（ Ｂ ）.

A.a=-3 b=-4

B.a=-3 b=4 C a=3 b=4 D a=3 b=-4 9、当x>1时，不等式x+

1

1

-x ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是（ D ） A ．(－∞,2] B ．[2,+∞)

C ．[3,+∞)

D ．(－∞,3]

10.若不等式n

)1(2a )1(1

n n

+-+<-对任意正整数n 恒成立。则实数a 的取值范围是（ A ）

A )23,2[-

B )23,2(-

C )233,(-

D )2

3,3(-

11、若关于x 的不等式m x x

≥-42

对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是 (,3]-∞-

．

12.在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 恒成

立，则（ C ）

A ．11<<-a

B ．20<

C ．2321<<-

a D ．2

123<<-a 13.二次函数f (x )的二次项系数为正，且对任意实数x 恒有

f (2+x )=f (2－x ),若f (1－2x 2)

a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）

A ．21a a +>

B ．2111

a <+ C ．296a a +> D ．2

lg(1)lg |2|a a +>

15. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）

A ．114x y ≤+

B ．11

1x y

+≥ C

2 D ．11xy ≥

16. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x y

y x y x

+-++的值恒为正，对吗？答 .

17、若对任意x >0，x

x 2＋3x ＋1

≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．

【解析】 若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝x

x 2＋3x ＋1

的最大值即可．因

为x >0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3

≤12x ·1x

＋3＝1

5，当且仅当x ＝1时取等号，

所以a 的取值范围是[1

5，＋∞)．

18、设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋m

x ＋y

≥0恒成立，则实数m 的最小值是________．

【解析】 原问题等价于m x ＋y ≥－(1x ＋1

y )恒成立，

∵x >0，y >0，∴等价于m ≥－(1x ＋1

y

)(x ＋y )的最大值，

而－(1x ＋1y )(x ＋y )＝－2－(y x ＋x

y

)≤－2－2＝－4，当且仅当x ＝y 时取“＝”，故m ≥－4.

19、设函数f (x )＝x －1

x

.对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )<0恒成立，则m 的范围是________．

【解析】 由题知，mx －1mx ＋mx －m x <0在[1，＋∞)上恒成立，即2mx <(1m ＋m )1

x

，显然

m ≠0.当m >0时，即1m

＋m 2m

>x 2在[1，＋∞)上恒成立，由于函数g (x )＝x 2无最大值，此时不存

在满足题意的m ；当m <0时，即1m ＋m 2m

在[1，＋∞)上恒成立，即1m ＋m 2m

<1，即m 2>1，

解得m <－1，即m 的取值范围是(－∞，－1)．