2018年沪教版九年级数学 21.4.1二次函数中常见图形的的面积问题
二次函数中的面积计算问题
(D)二次函数中的面积计算问题[典型例题]例. 如图，二次函数2y x bx c =++图象与x 轴交于A,B 两点(A 在BM ，MAB ∆为直角三角形, 图象的对称轴为直线2-=x ，点P 是抛物线上位于A PAC的面积的最大值为（ C ） A ．274 B ．112 C ． 278D ．3 二次函数中面积问题常见类型：一、选择填空中简单应用 二、不规则三角形面积运用S= 三、运用四、运用相似三角形五、运用分割方法将不规则图形转化为规则图形例1. 如图1，已知：正方形ABCD 边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点， 且AE=BF=CG=DH, 设小正方形EFGH的面积为s ，AE 为x ，则s 关于x 的函数图象大致是 （ B ）例2. 解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使S ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.2我们可得出一种计算.掌握这个公式后，思路直接，y 1＝a (x －1)2＋4(a ≠0)．把A (3，0)代入解析式求得a ＝－1，1＝－(x －1)2＋4，即y 1＝－x2＋2x ＋3． 设直线AB 的解析式为y 2＝kx ＋b ，由y 1＝－x2＋2x ＋3求得B 点的坐标为(0，3)．把A (3，0)，B (0，3)代入y 2＝kx ＋b ，解得k ＝－1，b ＝3．∴直线AB 的解析式为y 2＝－x ＋3． （2）∵C (1，4)，∴当x ＝1时，y 1＝4，y 2＝2．∴△CAB 的铅垂高CD ＝4－2＝2． S △CAB ＝21×3×2＝3(平方单位)． （3）解：存在．图2设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ． 则h ＝y 1－y 2＝(－x2＋2x ＋3)－(－x ＋3)＝－x2＋3x由S △P AB ＝89S △CAB 得：21×3×(－x2＋3x )＝89×3．整理得4x2－12x ＋9＝0，解得x ＝23． 把x ＝23代入y 1＝－x2＋2x ＋3，得y 1＝415． ∴P 点的坐标为(23，415)． 例3. （贵州省遵义市）如图，在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°得到△COD （点A 转到点C 的位置），抛物线y ＝ax2＋bx ＋c (a ≠0)经过C 、D 、B 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的顶点为P ，求△P AB 的面积；（3）抛物线上是否存在点M ，使△MBC 的面积等于△P AB 的面积？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．思路分析:根据题目所给信息，函数关系式和△由于点M 是抛物线上的一个不确定点，点M 答案:（1）由题意知C （－2，0），D （0，4）．∵抛物线经过B （4，0），C （－2x ＋2)(x －4) 将D （0，4）代入上式，解得a ∴该抛物线的解析式为y ＝－21(x ＋2)(x －4)即y ＝－21x 2＋x ＋4． （2）∵y ＝－21x2＋x ＋4＝－21(x －1)2＋29． ∴抛物线的顶点P 的坐标为（1，29）． 过点P 作PE ⊥y 轴于点E ，如图．则S △P AB ＝S 四边形PEOB －S △AOB －S △PEA＝21×(1＋4)×29－21×4×2－21×(29－2)×1＝6．（3）假设存在这样的点M ，其坐标为M （x ，y ）．则S △MBC＝21| y|×6＝S △P AB ＝6即21| y|×6＝6，∴y ＝±2． 当y ＝2时，－21(x －1)2＋29＝2，解得x ＝51±； 当y ＝－2时，－21(x －1)2＋29＝－2，解得x ＝131±．∴存在点M ，使△MBC 的面积等于△P AB 的面积，其坐标为：M 1（51＋，2），M 2（51－，2），M 3（131＋，－2），M 4（131－，－2）．例4．如图，抛物线与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，且x 1＞x 2，与y 轴交于点C （0，4），其中x 1，x 2是方程x2－2x －8＝0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上的动点，过点P 作PE ∥AC ，交BC 于点E ，连接CP ，当△CPE 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程x2－2x －8＝0，得x 1＝－2，x 2＝4．∴A （4，0），B （－2，0）．∵抛物线与x 轴交于A ，B 两点，∴可设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)(x －4)（a ≠0）又∵抛物线与y 轴交于点C （0，4），∴a ×2×(－4)＝4，∴a ＝－21． ∴抛物线的解析式为y ＝－21(x ＋2)(x －4)，即y ＝－21（2）设点P 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于点G∵A （4，0），B （－2，0），∴AB ＝6，BP ＝m ＋2． ∵PE ∥AC ，∴△BPE ∽△BAC ． ∴CO EG ＝AB BP ，∴4EG ＝62m ＋，∴EG ＝34m 2＋ ∴S △CPE ＝S △CBP －S △BPE＝21BP ·CO －21BP ·EG ＝21(m ＋2)(4－34m 2＋) ＝－31(m －1)2＋3又∵－2≤m ≤4，∴当m ＝1时，S △CPE 有最大值3． 此时点P 的坐标为（1，0）（3）存在这样的点Q ，使△QBC 成为等腰三角形，点Q 的坐标为：Q 1(1，1)，Q 2(1，11)，Q 3(1，11－)，Q 4(1，194＋)，Q 5(1，194－) 设点Q 的坐标为（1，n ）．∵B （－2，0），C （0，4），∴BC 2＝(－2)2＋42＝20．①当QB ＝QC 时，则QB 2＝QC 2．即(－2－1)2＋y 2＝(－1)2＋(4－y )2，∴y ＝1． ∴Q 1(1，1)②当BC ＝BQ 时，则BQ 2＝BC 2． 即(－2－1)2＋y 2＝20，∴y ＝11 ．∴Q 2(1，11)，Q 3(1，11－)． ③当QC ＝BC 时，则QC 2＝BC 2． 即12＋(4－y )2＝20，∴y ＝194±． ∴Q 4(1，194＋)，Q 5(1，194－)． 例5．如图1，抛物线y ＝x2－2x ＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3）．（图2、图3为解答备用图）（1）k ＝_____________，点A 的坐标为_____________，点B 的坐标为_____________； （2）设抛物线y ＝x2－2x ＋k 的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y ＝x2－2x ＋k 上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．解：（1）－3，（（2∵y 1)2－4SCOM＋S ＝2×1×3＋21×3×1＋2×3×4＝9说明：也可过点M 作抛物线的对称轴，将四边形ABMC 的面积转化为求 一个梯形与两个直角三角形面积的和． （3）设D （m ，m2－2m －3），连结OD ，如图2．则0＜m ＜3，m2－2m －3＜0．S 四边形ABDC＝S △AOC ＋S △COD＋S △DOB＝21×1×3＋21×3×m ＋21×3×[－(m2－2m －3)]＝－23m2＋29m ＝－23(m －23)2＋875． 当m ＝23时，四边形ABDC 的面积最大． 此时m2－2m －3＝(23)2－2×23－3＝－415．∴存在点D （23，－415），使四边形ABDC 的面积最大． （4）有两种情况：如图3，过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ．∵在Rt △COB 中，OB ＝OC ＝3，∴∠CBO ＝45°，∴∠EBO ＝45°，OB ＝OE ＝3． ∴点E 的坐标为（0，3）．∴直线BE 的解析式为y ＝－x ＋3．令－x ＋3＝x2－2x －3，解得⎩⎨⎧5211 ＝－＝y x ，⎩⎨⎧0322 ＝＝y x图1 图2 图3图1图2 图3∴点Q 1的坐标为（－2，5）．如图4，过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ， 连接BQ 2．∵∠CBO ＝45°，∴∠CFB ＝45°，∴OF ＝OC ＝3． ∴点F 的坐标为（－3，0）．∴直线CF 的解析式为y ＝－x －3．令－x －3＝x2－2x －3，解得⎩⎨⎧4111＝－＝y x ，⎩⎨⎧3022＝－＝y x∴点Q 2的坐标为（1，－4）．综上所述，在抛物线y ＝x2－2x －3上，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形的点Q 有两个，分别是：Q 1（－2，5）和Q 2（1，－4）．[精选练习]1.如图，AB 为半圆的直径，点P 为AB 上一动点，动点P 从点A 出发，沿AB 匀速运动到点B ，运动时间为t ，分别以AP 与PB 为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S 与时间t 之间的函数图像大致为（ ） 2．如图，已知A 、B 是反比例函数ky x=（k ＞0，x ＜0）图象上的两点，BC ∥x 轴，交y 轴于点C 。
二次函数面积问题解题思路
二次函数面积问题解题思路二次函数面积问题是高中数学中比较常见的题型，也是考查数学问题分析与解决能力的重要方式之一。
本文将从以下几个方面详细介绍二次函数面积问题的解题思路：第一步：理解二次函数面积问题的含义在解决二次函数面积问题之前，我们需要先了解一些概念，比如二次函数的图象、面积等等。
二次函数的图象一般是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
而二次函数的面积问题则是指，在一定条件下，通过二次函数所确定的抛物线与坐标轴之间所形成的面积。
第二步：根据题目所给条件列出方程式在解决二次函数面积问题时，一般会给出一定条件，根据条件列出方程式，然后解方程，得到需要求解的值。
例如，在给出二次函数y=ax²+bx+c和横坐标轴的三个交点的情况下，我们可以列出以下方程：ax²+bx+c=0 (x1<=x<=x2)ax²+bx+c>0 (x1<x<x2)其中，x1和x2分别是二次函数与x轴的交点，可以通过求解二次方程式ax²+bx+c=0求得。
第一个方程式是根据二次函数与横坐标轴的交点所得，第二个方程式是根据二次函数开口朝上还是朝下来确定的。
开口朝上的抛物线面积为正，开口朝下的抛物线面积为负。
第三步：解方程求出需要的答案在得到方程式后，我们需要解方程来求出需要的答案，如求抛物线与横坐标轴之间的面积、求最大值或最小值等等。
可以使用一些求根公式或者试和错方法来解方程，但需要注意的是，对于一些较为复杂的问题，可能需要运用更高级的数学知识来解决。
第四步：检验答案的正确性在解题的过程中，为了避免出现错误的答案，需要对所得的答案进行检验。
检验的方法是将最终得到的答案带回原方程式中进行验证，看是否符合条件，比如是否满足开口方向、是否满足交点、是否满足面积等等。
只有经过检验后，我们才能确定所得答案的正确性。
总之，通过以上几个步骤，我们可以比较容易地解决二次函数面积问题。
二次函数中的面积计算问题(包含铅垂高)
(D)二次函数中的面积计算问题【典型例子】例如，如图所示，二次函数2y x bx c =++图像x 在A 和B 两点（A 在B 的左边）与y 轴相交，在C 点与轴相交，顶点为M ，MAB ∆为直角三角形，图像的对称轴是一条直线2-=x ，该点P 是两点之间抛物线上的移动点,A C ，则PAC ∆面积的最大值为（C ）A.274 B. 112C 。
278D.3 二次函数中常见的面积问题类型：1.选择填空的简单应用2.不规则三角形的面积用S=3.使用4.使用相似的三角形5.使用分割法将不规则图形转为规则图形例 1如图 1 所示，已知正方形ABCD 的边长为 1 ， E , F , G , H 为每边的点， AE=BF=CG=DH ，设面积为小s 正方形EFGH 为, AE 为x , 那么about s 的x 函数图大致为 (乙)示例 2.回答以下问题：如图1所示，抛物线的顶点坐标为C 点( 1,4 )，与x 轴相交于A 点( 3 , 0)，与y 轴相交于B 点。
抛物线和直线AB 的解析公式；(2)求△ CA AB 和S △ CAB 的垂直高度CD ；(3)假设点P 是抛物线上（第一象限）上的一个移动点，是否存在点P ，使得S △ PA B = 89S △ CA B ，如果存在，求点P 的坐标；如果不存在，请解释原因。
思想分析这个问题是二次函数中的常见面积问题。
该方法不是唯一的。
可以使用截补法，但是有点麻烦。
如图第10题xyABCOM图1B铅垂高水平宽ha图2A xC Oy ABD 112所示，我们可以画出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21=∆即三角形的面积等于水平宽度与前导垂直乘积的一半。
掌握了这个公式之后，思路就直截了当，过程也比较简单，计算量也相对少了很多。
答： （1）据已知，抛物线的解析公式可以设为y 1 = a ( x - 1 ) 2+ 4 ( a ≠ 0 ) 。
将A (3, 0)代入解析表达式，得到a = - 1 ，∴抛物线的解析公式为y 1 = - ( x - 1 ) 2+ 4，即y 1 = - x 2+2 x +3。
中考数学压轴题：二次函数中的面积问题(含答案)
学生/课程年级日期学科时段课型数学授课教师核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。
3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。
了解学生的学习情况S△ = a h或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。
S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC，S△AOB = S△COD2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ，10），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD2 2 1的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)_______________________________(2)_______________________________(3)_______________________________[学有所获答案] (1)直接公式求法 割补法 平行线等积变换法(2)(3) 2 如图，已知抛物线y ＝x ＋bx ＋c 与 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与 轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE ＝90°时，求出点P 的坐标；（3）当△PBC 的面积为 时，求点E 的坐标．2 如图，已知抛物线y ＝ x ＋ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴负半轴交于点C 且OB ＝OC ，点P 为抛物线上的一个动点，且点P 位于x 轴下方，点P 与点C 不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC 的面积为 ，求点P 的坐标；（3）若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，对应的点P 有且只有2个?将（）的图像如何平移到的图像。
专题二次函数的应用：九年级数学上册面积问题(重难点培优)【沪科版】
专题21.11二次函数的应用：面积问题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•吴兴区校级期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（）A．13B．12C．8D．6【分析】直接根据题意表示出矩形面积，进而求出答案．【解析】设垂直于墙体的围栏长为x，则平行于墙体的围栏长为：22﹣（3x﹣1）＝23﹣3x．∵饲养室长和宽各留了一处1m的门，∴饲养室的长为23﹣3x+1＝24﹣3x．∴饲养室的面积可表示为：S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x．∴当x=−b2a=−242×(−3)=4时，饲养室的面积最大．∴利用墙体的长度为：24﹣3x＝12．故选：B．2．（2018秋•柯桥区期末）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A ．193B ．194C ．195D ．196【分析】根据长方形的面积公式可得S 关于m 的函数解析式，由树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m 求出m 的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案． 【解析】∵AB ＝m 米， ∴BC ＝（28﹣m ）米．则S ＝AB •BC ＝m （28﹣m ）＝﹣m 2+28m ． 即S ＝﹣m 2+28m （0＜m ＜28）． 由题意可知，{m ≥628−m ≥15，解得6≤m ≤13．∵在6≤m ≤13内，S 随m 的增大而增大， ∴当m ＝13时，S 最大值＝195， 即花园面积的最大值为195m 2． 故选：C ．3．（2020秋•龙华区期末）如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m 的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m ，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m 2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m 2．则：（ ）A ．小明正确，小亮错误B ．小明错误，小亮正确C ．两人均正确D ．两人均错误【分析】设隔离区靠近墙的长度为xm （0＜x ≤5），隔离区的面积为Sm 2，根据矩形的面积公式列出S 关于x 的二次函数关系式，求得其对称轴，根据二次函数的性质及走不了了的取值范围可得S 的最大值；令S＝9，求得方程的解并根据自变量的取值范围作出取舍，则可判断小亮的说法．【解析】设隔离区靠近墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得：S=12−x3×x=−13x2+4x，∴对称轴为x=−42×(−13)=6，∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大，∴当x＝5时，S有最大值：S max=−13×52+4×5=−253+20 =353．∵9＜353＜12，∴小明错误；令S＝9得：9=−13x2+4x，解得：x1＝9（舍），x2＝3，∴x＝3时，S＝9．∴隔离区的面积可能为9m2．故选：B．4．（2021•南岗区校级模拟）如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】易得阴影部分的面积为1个圆的面积，得到阴影部分面积的函数关系式，看符合哪类函数即可．【解析】由题意得y＝πx2，属于二次函数，根据自变量的取值为0＜x≤5，有实际意义的函数在第一象限，故选：D．5．（2019•宝安区二模）如图，小明想用长为12米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园ABCD，则矩形ABCD的最大面积是（）平方米．A．16B．18C．20D．24【分析】设AB为x米，则BC＝12﹣2x，即可求面积【解析】设AB＝x，则BC＝12﹣2x得矩形ABCD的面积：S＝x（12﹣2x）＝﹣2x2+12＝﹣2（x﹣3）2+18即矩形ABCD的最大面积为18平方米故选：B．6．（2019秋•河西区期中）用60m长的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S随着矩形的一边长L的变化而变化，要使矩形的面积最大，L的长度应为（）A．6√3m B．15m C．20m D．10√3m【分析】根据矩形的面积＝长×宽列式，配方求最值．【解析】由题意得：S＝L（30﹣L），S＝﹣L2+30L＝﹣（L2﹣30L+225﹣225）＝﹣（L﹣15）2+225，所以当L ＝15时，S 有最大值； 故选：B ．7．（2019•桥西区校级模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以1cm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以2cm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC 的面积最小．A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据等量关系“四边形APQC 的面积＝三角形ABC 的面积﹣三角形PBQ 的面积”列出函数关系求最小值．【解析】设P 、Q 同时出发后经过的时间为ts ，四边形APQC 的面积为Scm 2，则有： S ＝S △ABC ﹣S △PBQ=12×12×6−12（6﹣t ）×2t ＝t 2﹣6t +36 ＝（t ﹣3）2+27．∴当t ＝3s 时，S 取得最小值． 故选：C ．8．（2018秋•周村区期中）用长为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，则这个窗户的最大采光面积是（ ）A ．43m 2B ．83m 2C ．3m 2D ．259m 2【分析】设宽为x 米，则长为8−3x 2米，可得面积S ＝x •8−3x 2=−32x 2+4x ，即可求解．【解析】设宽为x 米，则长为8−3x2米，可得面积S ＝x •8−3x 2=−32x 2+4x ，当x =43时，S 有最大值，最大值为−164×(−32)=83（平方米）， 故这个窗户的最大采光面积是83平方米，故选：B ．9．（2019•连云港）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．18√3m 2C ．24√3m 2D ．45√32m 2【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD ＝AE ＝x ，∠DCE ＝∠CEB ＝90°，则∠BCE ＝∠BCD ﹣∠DCE ＝30°，BC ＝12﹣x ，由直角三角形的，性质得出BE =12BC ＝6−12x ，得出AD ＝CE =√3BE ＝6√3−√32x ，AB ＝AE +BE ＝x +6−12x =12x +6，由梯形面积公式得出梯形ABCD 的面积S 与x之间的函数关系式，根据二次函数的性质直接求解． 【解析】如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，则四边形ADCE 为矩形，CD ＝AE ＝x ，∠DCE ＝∠CEB ＝90°， 则∠BCE ＝∠BCD ﹣∠DCE ＝30°，BC ＝12﹣x ， 在Rt △CBE 中，∵∠CEB ＝90°， ∴BE =12BC ＝6−12x ，∴AD ＝CE =√3BE ＝6√3−√32x ，AB ＝AE +BE ＝x +6−12x =12x +6，∴梯形ABCD 面积S =12（CD +AB ）•CE =12（x +12x +6）•（6√3−√32x ）=−3√38x 2+3√3x +18√3=−3√38（x ﹣4）2+24√3，∴当x ＝4时，S 最大＝24√3．即CD 长为4m 时，使梯形储料场ABCD 的面积最大为24√3m 2； 故选：C ．10．（2018秋•西湖区校级月考）有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（）A．48m2，37.5m2B．50m2，32m2C．50m2，37.5m2D．48m2 ，32m2【分析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20﹣2x）m，首先列出矩形的面积y关于x的函数解析式，结合x的取值范围，利用二次函数的性质可得最值情况．【解析】设垂直于墙面的长为xm，则平行于墙面的长为（20﹣2x）m，由题意可知：y＝x（20﹣2x）＝﹣2（x﹣5）2+50，且20﹣2x≥8，即x≤6，∵墙长为15m，∴20﹣2x≤15，∴2.5≤x≤6，∴当x＝5时，y取得最大值，最大值为50m2；当x＝2.5时，y取得最小值，最小值为37.5m2．故选：C．二．填空题（共8小题）11．（2021•大东区一模）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，张大爷利用旧墙和篱笆围成一个矩形菜园ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米篱笆，若a＝30米，则矩形菜园ABCD面积的最大值为1050平方米．【分析】设AB 为x 米，则BC ＝（100﹣2x ）米，由含x 代数式表示出菜园面积，再将解析式配方求解． 【解析】设AB 为x 米，则BC ＝（100﹣2x ）米，矩形菜园ABCD 面积为y ． 由题意得：y ＝x （100﹣2x ）＝﹣2（x ﹣25）2+1250， ∵0＜100﹣2x ≤30， ∴35≤x ＜50∴当x ＝35时，y ＝﹣2×（35﹣25）2+1250＝1050为最大值， 故答案为：1050平方米．12．（2020秋•涟源市期末）用一根长为20cm 的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是 25 cm 2． 【分析】：设矩形的长为xcm ，则宽为（20÷2﹣x ）cm ，令矩形面积为ycm 2，由题意列出y 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的顶点纵坐标值即为函数的最大值，可得答案． 【解析】设矩形的长为xcm ，则宽为（20÷2﹣x ）cm ，令矩形面积为ycm 2，由题意得： y ＝x （20÷2﹣x ） ＝x （10﹣x ） ＝﹣x 2+10x＝﹣（x ﹣5）2+25，∴当x ＝5时，y 有最大值为25， ∴该矩形面积的最大值是25cm 2． 故答案为：25．13．（2020秋•昆明期末）用一根长为24cm 的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是 36 cm 2． 【分析】设围成矩形的长为xcm ，则宽为24−2x 2=（12﹣x ） cm ，设围成矩形的面积为Scm 2，根据矩形的面积公式列出S 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【解析】设围成矩形的长为xcm ，则宽为24−2x 2=（12﹣x ） cm ，设围成矩形的面积为Scm 2，由题意得： S ＝x （12﹣x ） ＝﹣x 2+12x＝﹣（x ﹣6）2+36，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当x ＝6cm 时，S 有最大值，最大值为36cm 2．故答案为：36．14．（2020秋•天津期末）在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用24m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD ，则矩形花园ABCD 的最大面积为 144 m 2．【分析】设：AB ＝x ，则BC ＝24﹣x ，则S 矩形花园ABCD＝AB •BC ＝x （24﹣x ）＝﹣x 2+24x ，求面积的最大值即可．【解析】设：AB ＝x ，则BC ＝24﹣x ，S 矩形花园ABCD ＝AB •BC ＝x （24﹣x ）＝﹣x 2+24x ， 此函数的对称轴为：x =−b 2a =−24−2×1=12， ∵a ＝﹣1，故函数有最大值， 当x ＝12时，函数取得最大值，则：S 矩形花园ABCD ＝AB •BC ＝x （24﹣x ）＝﹣x 2+24x ＝﹣144+24×12＝144， 故：答案是144．15．（2020秋•垦利区期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m 宽的门，所有围栏的总长（不含门）为26m ，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为 14 m ．【分析】设平行于墙的材料长为x 米，则垂直于墙的材料长为13（28﹣x ），表示出总面积S =13x （28﹣x ）=−13（x 2﹣28x ）=−13（x ﹣14）2+1963，即可求得． 【解析】设平行于墙的材料长为x 米， 则垂直于墙的材料长为13（28﹣x ），总面积S =13x （28﹣x ）=−13（x 2﹣28x ） =−13（x ﹣14）2+1963，∴当x ＝14时，建成的饲养室面积最大． 故答案为：14m ．16．（2020秋•岑溪市期中）用长度为8m 的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积为 83m 2．【分析】设宽为xm ，则长为8−3x 2m ，可得面积S ＝x •8−3x 2，即可求解．【解析】设宽为xm ，则长为8−3x 2m ，可得面积S ＝x •8−3x 2=−32x 2+4x ，当x =43时，S 有最大值，最大值为−164×(−32)=83（m 2）．故答案为：83m 2．17．（2019秋•台州期中）在某市治理违建的过程中，某小区拆除了自建房，改建绿地．如图，自建房占地是边长为8m 的正方形ABCD ，改建的绿地的是矩形AEFG ，其中点E 在AB 上，点G 在AD 的延长线上，且DG ＝2BE ．那么当BE ＝ 2 m 时，绿地AEFG 的面积最大．【分析】设BE ＝xm ，则DG ＝2BE ＝2xm ，绿地AEFG 的面积为ym 2，根据题意得y 关于x 的二次函数，然后写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．【解析】设BE ＝xm ，则DG ＝2BE ＝2xm ，绿地AEFG 的面积为ym 2，根据题意得： y ＝AE •AG ＝（8﹣x ）（8+2x ）＝﹣2x2+8x+64＝﹣2（x﹣2）2+72．∵二次项系数为﹣2，∴当x＝2时，y有最大值72．故答案为：2．18．（2020•和平区一模）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是8m，则所围成矩形ABCD的最大面积是16．【分析】首先设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，利用面积公式写出矩形的面积表达式，再配方，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案．【解析】设围成矩形ABCD的长是xm，则宽为（8﹣x）m，矩形的面积为：S矩形ABCD＝x（8﹣x）＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16．∵二次项系数为﹣1＜0，∴当x＝4时，S矩形ABCD有最大值，最大值为16．故答案为：16．三．解答题（共6小题）19．（2021春•五华区校级月考）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度30m）的空地，为美化环境，用总长为60m的篱笆围成矩形花圃（矩形一边靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）如图1，怎么才能围成一个面积为432m2的矩形花圃；（2）如图2，若围成四块矩形且面积相等的花圃，设BC的长度为xm，求x的取值范围及矩形区域ABCD的面积的最大值．【分析】（1）设BC ＝xm （x ≤30），则AB ＝30−12x （m ），进而求解；（2）证明AE ＝3BE ，则AB ＝24−65BC ，进而求解．【解析】（1）设BC ＝xm （x ≤30），则AB ＝30−12x （m ），则矩形花圃的面积＝AB •CD ＝x （30−12x ）=−12x 2+30x （0＜x ≤30）， 即12x 2﹣30x +432＝0，解得x ＝36（舍去）或24，∴x ＝24（m ），即当BC 长度为24m 时，能围成一个面积为432m 2的矩形花圃；（2）∵矩形MEFN 与矩形EBCF 面积相等，∴ME ＝BE ，AM ＝GH ．∵四块矩形花圃的面积相等，即S 矩形AMND ＝2S 矩形MEFN ，∴AM ＝2ME ，∴AE ＝3BE ；∵篱笆总长为60m ，∴2AB +GH +3BC ＝60，即2AB +12AB +3BC ＝60，∴AB ＝24−65BC ，设BC 的长度为xm ，矩形区域ABCD 的面积为ym 2，y ＝BC •AB ＝x （24−65x ）=−65x 2+24x ，∵AB ＝24−65x ＞0，解得x ＜20，∵墙的长度30m ，则x ≤30，∴0＜x ＜20，∴y =−65x 2+24x （0＜x ＜20）．由函数表达式知，其对称轴为直线x ＝10，当x ＝10时，y 取得最大值为120（m 2）．即x 的取值范围为0＜x ＜20，矩形区域ABCD 的面积的最大值为120m 2．20．（2021•金堂县模拟）如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m ）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，并且预留两个各1m 的门，设花圃的宽AB 为xm ，面积为Sm 2．（1）请用含x 的代数式表示BC 并求S 与x 的函数关系式；（2）若4＜x ＜7，则S 的最大值是多少？请说明理由．【分析】（1）可先用篱笆的长表示出BC 的长，然后根据矩形的面积＝长×宽，得出S 与x 的函数关系式；（2）先求出对称轴，在求出x 的取值范围，根据抛物线的性质即可求出面积的最大值．【解析】（1）由题可知，花圃的宽AB 为x 米，则BC 为（24﹣3x +2）米＝（26﹣3x ）米，则S ＝x （26﹣3x ）＝﹣3x 2+26x ，∵BC ＝26﹣3x ≤11，3x ＜24+2，∴5≤x 263，∴S ＝﹣3x 2+26x （5≤x 263）；（2））解不等式组{x ≥54＜x ＜7， 解得：5≤x ＜7，∵S ＝﹣3x 2+26x ＝﹣3（x −133）2+1693，∵﹣3＜0，∴x ＞133时，S 随x 的增大而减小，∴x ＝5时，S 的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m 2．21．（2021•临安区模拟）某校一面墙RS （长度大于32m ）前有一块空地，校方准备用长32m 的栅栏（A ﹣B ﹣C ﹣D ）围成一个一面靠墙的长方形花圃，再将长方形ABCD 分割成六块（如图所示），已知MN ∥AD ，EF ∥GH ∥AB ，MB ＝BF ＝CH ＝CN ＝1m ，设AB ＝xm ．（1）用含x的代数式表示：BC＝（32﹣2x）m；PQ＝（30﹣2x）m．（2）当长方形EPQG的面积等于96m2时，求AB的长．（3）若在如图的甲区域种植花卉，乙区域种植草坪，种植花卉的成本为每平方米100元，种植草坪的成本为每平方米50元，则种植花卉与草坪的总费用的最高是多少？并求此时花圃的宽AB的值．【分析】（1）根据栅栏的总长度为32m，可求出长BC的长，再利用矩形的性质表达出PQ的长；（2）在第（1）问的基础上，可表达出长方形EPQG的面积的表达式，列出方程，求出线段AB的长；（3）根据题意，先表达出甲区域和乙区域的面积，再代入单价，表达出总费用，结合二次函数的性质，可得出花圃宽的范围．【解析】（1）由题意可得，AB+BC+CD＝32，且CD＝AB＝x，∴BC＝32﹣2x，∵MB＝BF＝CH＝CN＝1，∴PQ＝FH＝BC﹣BF﹣HC＝（30﹣2x）m，故答案为：（32﹣2x），（30﹣2x）；（2）由（1）得，EP＝AM＝AB﹣MB＝x﹣1，∵长方形EPQG的面积等于96m2，∴EP⋅PQ＝（30﹣2x）（x﹣1）＝96（m），解得x1＝7，x2＝9，∴AB的长为7m或9m；（3）由题意可得，甲区域的面积为：2（x﹣1）+30﹣2x＝28（m2），乙区域的面积为：（30﹣2x）（x﹣1）+2＝﹣2x2+32x﹣28（m2）；设总费用为y元，则y＝100×28+50（﹣2x2+32x﹣28）＝﹣100x2+1600x+1400，∴y＝﹣100（x﹣8）2+7800，当x＝8时，y有最大值7800，所以种植花卉与草坪的总费用的最高是7800元，此时花圃的宽AB是8m．22．（2021春•越秀区校级月考）投资1万元围成一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造，墙长24m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用为150元/m，设平行于墙的边长为xm．（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式．（2）若菜园的面积为384m2，求x的值．（3）求菜园的最大面积．【分析】（1）根据“垂直于墙的长度=总费用−平行于墙的总费用垂直于墙的单价÷2”可得函数解析式；（2）根据矩形的面积公式列方程求解可得；（3）根据矩形的面积公式列出总面积关于x的函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得．【解析】（1）根据题意知，y=10000−200x2×150=−23x+1003（0＜x≤24）；（2）根据题意，得：（−23x+1003）x＝384，解得：x＝18或x＝32，∵墙的长度为24m，∴x＝18；（3）设菜园的面积是S，则S＝（=−23x+1003）x=−23x2+100x x=−23（x﹣25）2+12503，∵−23＜0，∴当x＜25时，S随x的增大而增大，∵x≤24，∴当x＝24时，S取得最大值，最大值为416，答：菜园的最大面积为416m2．23．（2019春•鼓楼区校级期末）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了46米木栏（BC 边留一个2米宽的门）．（1）若a＝26，所围成的矩形菜园的面积为280平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（46﹣2x+2）m，根据题意得方程即可得到结论；（2）设AD＝xm，根据题意得函数解析式S=12x（46﹣x+2）=−12（x﹣24）2+288，当a≥24时，则x＝24时，S的最大值为288；当0＜a＜24时，于是得到结论．【解析】（1）设AB＝xm，则BC＝（46﹣2x+2）m，根据题意得x（46﹣2x+2）＝280，解得x1＝10，x2＝14，当x＝10时，46﹣2x+2＝28＞26，不合题意舍去；当x＝14时，46﹣2x+2＝20，答：AD的长为20m；（2）设AD＝xm，∴S=12x（46﹣x+2）=−12（x﹣24）2+288，当a≥24时，则x＝24时，S的最大值为288；当0＜a＜24时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为24a−12a2，综上所述，当a≥24时，S的最大值为288m2；当0＜a＜24时，S的最大值为（24a−12a2）m2．24．（2020•河北）用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．（1）求W与x的函数关系式．（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．①求Q与x的函数关系式；②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]【分析】（1）由木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，可设W＝kx2（k≠0）．将x＝3时，W＝3代入，求出k=13，即可得出W与x的函数关系式；（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，将（1）中所求的解析式代入Q＝W厚﹣W薄，化简即可得到Q与x的函数关系式；②根据Q是W薄的3倍，列出方程﹣4x+12＝3×13x2，求解即可．【解析】（1）设W＝kx2（k≠0）．∵当x＝3时，W＝3，∴3＝9k，解得k=1 3，∴W与x的函数关系式为W=13x 2；（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，∴Q＝W厚﹣W薄=13（6﹣x）2−13x2＝﹣4x+12，即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；②∵Q是W薄的3倍，∴﹣4x+12＝3×13x 2，整理得，x2+4x﹣12＝0，解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），故x为2时，Q是W薄的3倍．。
二次函数与三角形面积问题
二次函数与三角形面积问题二次函数与三角形面积问题的关系是通过求解二次函数图像与x轴交点来得到三角形的面积。
具体而言，如果给定二次函数的表达式，我们可以求解方程f(x) = 0的解，这些解就是二次函数图像与x轴交点的横坐标。
通过这些横坐标，我们可以确定三角形的底边的长度。
同时，我们可以求解二次函数的最值来确定三角形的高，进而计算出三角形的面积。
首先，让我们来回顾一下二次函数的定义和性质。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数的图像是一个抛物线，它的开口方向由a的正负号决定，当a 大于零时开口向上，当a小于零时开口向下。
二次函数的顶点是抛物线的最值点，当a大于零时顶点是最小值点，当a小于零时顶点是最大值点。
现在，让我们将二次函数与三角形面积问题联系起来。
假设我们有一个给定的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们希望求解该二次函数图像与x轴交点的横坐标，并计算出通过这些交点确定的三角形的面积。
首先，我们需要求解方程f(x) = 0，也就是求解ax^2 + bx + c = 0。
这可以通过使用求根公式来进行计算。
根据求根公式，对于一个二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
根据这个公式，我们可以求解出具体的x值。
假设我们求解得到了两个根，x1和x2。
接下来，我们可以通过计算这两个根之间的距离来确定三角形的底边的长度。
根据数学知识，我们知道两个点(x1, 0)和(x2, 0)之间的距离等于|x2 - x1|。
因此，通过计算|x2 - x1|，我们可以得到底边的长度。
接下来，我们需要确定三角形的高。
为了做到这一点，我们需要找到二次函数的顶点。
二次函数的顶点的横坐标可以通过使用公式x = -b / (2a)来计算。
通过计算出的顶点横坐标，我们可以计算出顶点在x轴上的纵坐标。
第21章 21.4.1 求面积中的最值
11．(绍兴中考)课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图 1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框 的材料总长为 6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35m 时，透光面积最大，最 大值约为 1.05m2. 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 2， 材料总长仍为 6m，利用图 3，解答下列问题：
为( C )
A．110m2
B．128m2
C．144m2
D．200m2
8．已知等腰三角形的面积 S 与底边 x 有如下关系：S＝－5x2＋10x＋14，要
使 S 有最大值，则 x＝ 1 .
9．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够 长)，用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB、BC 两边)， 设 AB＝xm. (1)若花园的面积为 192m2，求 x 的值； (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD、AD 的距离分别是 15m 和 6m，要将这棵树 围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积 S 的最大值．
解：(1)∵AB＝xm，∴BC＝(28－x)m，则 x(28－x)＝192，解得 x1＝12，x2 ＝16； (2)由题意可得出：S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.∵在 P 处有一 棵树与墙 CD、AD 的距离分别是 15m 和 6m，∴x28≥－6x≥15 ，∴6≤x≤13. ∴x＝13 时，S 取到最大值为：S＝－(13－14)2＋196＝195(m2)． 答：花园面积 S 的最大值为 195 平方米．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 7:40:39 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
初中数学 上海中考压轴题中二次函数与几何面积问题的方法和题型总结
24题-- 二次函数与面积问题求解方法总结刘国杰前言：关于二次函数与几何图形面积问题，上海中考一模或者二模24题压轴题，每年都会有1-2个区（郊区为主）会考察。
所占比例不高，主要原因就是这类问题难度不大，玩不出高深的技巧。
我们用神的视角来看，首先从考察的图形来分析，要么是求三角形面积，要么求四边形面积，都是不规则的图形，当然三角形会更多一点；其次从图形的形成特点来分，有这么几种：固定形状的、由动点产生的面积、由动线产生的面积、由动图形产生的面积。
虽然看似不同，变化多端，但不管如何变化，归纳总结之后，大多考察的形式就分为以下3点：1、求面积最大值问题；2、已知面积大小求其它条件；3、已知面积比求其它条件。
那么我们只要牢牢掌握这三类问题的解决方法，顺应题型和条件灵活调整，就可视它为蝼蚁，轻松碾压。
牛逼吹过了，来看看解决的方法，两大主要思想是：直接根据面积公式代入求值和割补法。
【题型一】：求面积最大值问题【典型例题】如图，已知抛物线经过点(1,0)C三点．A-，(3,0)B，(0,3)（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作//MN y轴交抛物线于N点，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；（3）在（2）的条件下，连接NB，NC，当m为何值时，BNC∆的面积最大．【典型例题】如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C 三点，对称轴与抛物线相交 于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ． （1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使QMB ∆与PMB ∆的面积相等？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使RPM ∆与RMB ∆的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．【典型例题】1．已知抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为 ，抛物线的顶点坐标为 ； （2）如图，连接OP 交BC 于点D ，当:1:2CPD BPD S S ∆∆=时，请求出点D 的坐标；2．在平面直角坐标系中，过点(3,4)A 的抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点(1,0)B -，与y 轴交于点C ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ． （1）求抛物线的解析式．（2）如图，点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点，连接PD 交AB 于点Q ，连接AP ，当2AQD APQ S S ∆∆=时，求点P 的坐标．3．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC ∆沿BC 所在的直线翻折，得到DBC ∆，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．（2）设OBD ∆的面积为1S ，OAC ∆的面积为2S ，若1223S S =，求a 的值．。
初三数学 二次函数与图形面积的综合问题教案
教学过程一、课堂导入二次函数的综合问题是中考压轴题常考题型之一，考点分值12分，难度较大。
主要考查形式为二次函数与一些简单几何图形的点存在性问题，既考查了学生的数形结合能力，又考查学生的计算能力。
此类问题出现后，大多学生都无从下手，主要是学生的综合能力、解题技巧及实战经验不足所致。
就本节二次函数与图形面积的点存在性问题，主要考查了学生能否将图形的面积与所需点坐标建立起联系，在函数图像中构造题意所需图形并能够表示出面积的能力。
二、复习预习勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2=c2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长：a，b，c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为c。
（2）验证c2和a2+b2是否具有相等的关系，若a2+b2=c2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形。
三、知识讲解考点1 二次函数的基础知识1.一般地，如果y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a ≠0），那么y 叫做x 的二次函数，它是关于自变量的二次式，二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据．当b=c=0时，二次函数y=ax 2是最简单的二次函数．2.二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a （x －h ）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x －x 1）（x －x 2），通常要知道图像与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2才能求出此解析式；对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－2b a ，244ac b a ）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（h ，k ），•由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点2 相似三角形的概念及其性质1.定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
沪科版九年级数学上册21.4.1利用二次函数模型解决最值问题同步练习题
21.4.1利用二次函数模型解决最值问题一、选择题1．某汽车出租公司一天的租车总收入y (元)与每辆出租车的日租金x (元)满足函数表达式y ＝－35(x －120)2＋19440(0≤x ≤200)，则该公司一天的租车总收入最多为( )A ．120元B ．200元C ．1200元D ．19440元2．]某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图1所示的三处各留1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m ，则能建成的两间饲养室总面积最大为 ( )图1A ．75m2B. 752m 2 C ．48m2D. 2252m 23．某超市的小王对该超市苹果的销售情况进行了统计，某种进价为2元/千克的苹果每天的销售量y (千克)和当天的售价x (元/千克)之间满足y ＝－20x ＋200(3≤x ≤5)，若要使该种苹果当天的利润W 达到最高，则其售价应为( )A ．5元/千克B ．6元/千克C ．3.5元/千克D ．3元/千克4．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y (单位：万元)与销售量x (单位：辆)之间分别满足：y 1＝－x 2＋10x ，y 2＝2x .若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为( )A ．30万元B ．40万元C ．45万元D ．46万元二、填空题5．某商品的利润y (元)与单价x (元/件)之间的函数表达式为y ＝－5x 2＋10x ，当0.5≤x ≤2时，该商品的最大利润是________.6．某市新建成的一批楼房都是8层，房子的价格y (元/平方米)是楼层数x (楼)的二次函数．其中一楼价格为4930元/平方米，二楼和六楼均为5080元/平方米，则________楼房子最贵，且价格为________元/平方米．7．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2.8．一件工艺品的进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价________元．三、解答题9．直线l过点A(a，0)和点B(0，b)，其中a＞0，b＞0，若a＋b＝12，点O为原点，△AOB的面积为S，则当b为何值时，S取得最大值？并求出这个最大值．10．某种商品每天的销售利润y(元)与每个商品的售价x(元)之间满足关系y＝ax2＋bx －75，其图象如图2所示．(1)当每个商品的售价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)每个商品的售价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．图211.某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数表达式为y＝⎩⎨⎧－2x ＋140()40≤x <60，－x ＋80()60≤x ≤70. (1)若企业销售该产品获得的年利润为W (万元)，请直接写出年利润W (万元)关于售价x (元/件)的函数表达式；(2)当该产品的售价为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？12．如图3，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃(由两个小矩形花圃组成)．设花圃的一边AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 之间的函数表达式(写出自变量的取值范围)． (2)如果要围成面积为45m 2的花圃，那么AB 的长是多少米？(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．图313 为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m 的围网在水库中围成了如图4所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC 的长度为x m ，矩形区域ABCD 的面积为y m 2.(1)求y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；(2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？图4答案1．D2．[解析]A 设垂直于现有墙的一边长为x m ，则平行于现有墙的一边长为27＋3－3x ＝(30－3x)m ，则饲养室的总面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75，故能建成的饲养室的最大面积为75m 2.3．[解析]A W ＝(x －2)(－20x ＋200)＝－20(x －6)2＋320，因为3≤x ≤5，当x ≤6时，W 随x 的增大而增大，故当x ＝5时，W 取最大值．故选A .4．[解析]D 设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x)辆．根据题意，得总利润W ＝ y 1＋y 2＝－x 2＋10x ＋2(15－x)＝－x 2＋8x ＋30＝－(x －4)2＋46，故能获得的最大利润为46万元．5．[答案]5元[解析]当x ＝1时，函数有最大值5，且1在0.5≤x ≤2的范围内，所以当0.5≤x ≤2时，该商品的最大利润为5元．6．[答案]四 5200[解析]设y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入(1，4930)，(2，5080)，(6，5080)， 解得y ＝－30(x －4)2＋5200. 当x ＝4时，y ＝5200. 7．[答案]12.5[解析]设这两个正方形的边长分别为x cm 和y cm ，它们的面积之和为S cm 2.根据题意，得4x ＋4y ＝20，S ＝x 2＋y 2，所以y ＝5－x ，S ＝x 2＋(5－x)2＝2x 2－10x ＋25＝2(x 2－5x)＋25＝2(x －52)2＋252.所以当x ＝2.5时，这两个正方形的面积之和最小，最小是12.5cm 2.8．59．解：∵a ＋b ＝12，∴a ＝12－b.又∵S ＝12ab ，∴S ＝12(12－b)b ＝－12b 2＋6b ＝－12(b －6)2＋18.又∵－12＜0，∴当b ＝6时，S 取得最大值，最大值为18.10．解：(1)函数y ＝ax 2＋bx －75的图象过点(5，0)，(7，16)，则⎩⎪⎨⎪⎧25a ＋5b －75＝0，49a ＋7b －75＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝20， 则y ＝－x 2＋20x －75＝－(x －10)2＋25，故函数图象的顶点坐标是(10，25)． ∵a ＝－1＜0，∴当x ＝10时，y 最大值＝25.故当每个商品的售价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元． (2)∵函数y ＝－x 2＋20x －75的图象的对称轴为直线x ＝10， ∴点(7，16)关于对称轴的对称点是(13，16)． 又∵函数y ＝－x 2＋20x －75的图象开口向下， ∴当7≤x ≤13时，y ≥16.即每个商品的售价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元． 11．解：(1)当40≤x ＜60时，W ＝(x －30)(－2x ＋140)＝－2x 2＋200x －4200， 当60≤x ≤70时，W ＝(x －30)(－x ＋80)＝－x 2＋110x －2400. (2)当40≤x ＜60时，W ＝－2x 2＋200x －4200＝－2(x －50)2＋800， ∴当x ＝50时，W 取得最大值，最大值为800；当60≤x ≤70时，W ＝－x 2＋110x －2400＝－(x －55)2＋625， ∴当x ＞55时，W 随x 的增大而减小，∴当x ＝60时，W 取得最大值，最大值为－(60－55)2＋625＝600. ∵800＞600，∴当x ＝50时，W 取得最大值800.答：该产品的售价为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元．12．解：(1)S ＝x(24－3x)＝－3x 2＋24x(143≤x<8)．(2)当S ＝45时，有－3x 2＋24x ＝45. 解得x 1＝3，x 2＝5. ∵143≤x<8， ∴x ＝5， 即AB 的长为5m .(3)能围成面积比45m 2更大的花圃．∵S ＝－3x 2＋24x ＝－3(x －4)2＋48，其函数图象开口向下，对称轴为直线x ＝4，当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，∴在143≤x<8的范围内，当x ＝143时，S 取得最大值，S 最大值＝1403.即最大面积为1403m 2，此时AB ＝143m ，BC ＝10m .13 解：(1)方法一：设AE ＝a m ．由题意，得AE ·AD ＝2BE ·BC ，AD ＝BC ，所以BE ＝12a ，AB ＝32a.由题意，得2x ＋3a ＋a ＝80，所以a ＝20－12x ，所以y ＝AB ·BC ＝32a ·x ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫20－12x x ，即y ＝－34x 2＋30x ，其中0<x<40.方法二：根据题意，得CF ·x ＝y 3，CF ＝y 3x ，DF ·x ＝2y 3，DF ＝2y 3x ，所以2x ＋2×y 3x ＋3×2y3x ＝80，整理得y ＝－34x 2＋30x ，其中0＜x ＜40.(2)y ＝－34x 2＋30x ＝－34(x －20)2＋300，因为－34＜0，所以抛物线开口向下．又因为0＜x ＜40，所以当x ＝20时，y 取得最大值，最大值为300.。
数学沪科版九年级(上册)21.4.1几何面积最值问题
问题3 面积S的函数表达式是什么？ 设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什 么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 问题5 如何求最值？ 最值在其顶点处，即当x=15m时，S最大值=450m2.
新知探究
形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s
解:根据题意得
S=l(30-l)，
200
即 S=-l ²+30l (0<l<30).
因此，当
l
b 2a
30 2 (1)
15m
100
时，4ac b2 4（-1）2 0 302 225m2
4a
4 (1)
O 5 10 15 20 25 30
l
S有最大值225m².
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
新知探究
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园， 墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最 大面积是多少？
问题1 变式1与例题有什么不同？
x
x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
60-2x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
S 60 x • x 1 x2 30x
2
2
新知探究
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？ 不正确. 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求最值？ 由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时， S有最大值是378m2.
中考：二次函数之面积问题
中考：二次函数之面积问题
二次函数之面积问题：
二次函数是中考中压轴题的必考题型，面积问题亦是近几年中考比较常见，面积问题一般难度不会太大，多数学生若掌握相应题型是可以拿到这部分的分数的；面积问题常见的题型有：面积相等问题、面积倍数问题、面积（点）存点性问题等，以上问题的知识起点不会太高，一般的同学都可以动笔写！
一.知识点睛
1二次函数之面积问题的处理思路
（1）分析目标图形的点、线、图形特征；
（2）依据特征，原则对图形进行割补、转化；
（3）设计方案，求解、验证
坐标系下问题处理原则：充分利用横平竖直的线段长
函数特征与几何特征的互转
2二次函数之面积问题常见模型
典型例题：
法一用的是常规方法：充分利用横平竖直线段长，将面积表达式列出，转化成二次函数最值问题；
法二用的是解析方法：当直线平移至与抛物线只有一个交点时直线距离最远，即三角形面积取最大值，此时即联立方程时的一元二次方程有两个相等的实根，进而求到面积最大值；。
沪科版九年级数学上第21章二次函数与反比例函数21
大值为
(B)
A．6 cm2
B．9 cm2
C．12 cm2
D．15 cm2
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9．如图，矩形纸片 ABCD 中，AD＝8，AB＝10，点 F 在 AB 边上，分别以 AF，FB 为边裁出两个小正方形纸片，则这两个小正方形纸.
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【解析】设 AF＝x，则 BF＝10－x，由正方形的面积公式就可以得出 S 与 x 的关系，再由 x 的取值范围就可以确定 S 的取值范围．
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10．如图，利用两面夹角为 135°且足够长的墙，围成四边形围栏 ABCD， ∠C＝90°，AD∥BC，新建墙 BCD 的总长为 15 m，当 CD 多长时，四边形 围栏的面积最大，最大面积是多少？
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11．(泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生： 基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边 用总长 69 m 的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为 3 m 的出入 口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议 的情境：
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12．某广告公司设计一幅周长为 16 m 的矩形广告牌，广告设计费为每平 方米 2 000 元，设矩形的一边长为 x m，面积为 S m2. (1)求 S 与 x 之间的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)设计费能达到 24 000 元吗？为什么？ (3)当 x 是多少时，设计费最多？最多是多少元？
二次函数中常见图形的的面积问题20180611
二次函数中常见图形的的面积问题【知识梳理】1.说出如何表示各图中阴影部分的面积？2. 二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法： S △ABC ＝ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．12图五图四 图六图二图一图三【例题讲解】例1.抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积.（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程）例2.已知抛物线4212--=x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴；（2）求四边形ABMC 的面积.例3.抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积．提示：点E 的坐标可以设为（32,2+--x x x ），x 的取值范围是-3＜x ＜0,根据题2求三角形面积的思路建立△EBC 的面积EBC S ∆关于x 的函数关系式，体会点E 位置的不确定性对方法的选择是否有影响．练习1.如图1，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由．练习2.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.已知：抛物线l1：y=-x2+bx+3交x轴于点A，B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D （0，- 5/2）．（1）求抛物线l2的函数表达式；（2）P为直线x=1上一动点，连接PA，PC，当PA=PC时，求点P的坐标；（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴，交抛物线l1于点N，求点M自点A 运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．【限时训练】 1.解答下列问题：如图1，抛物线顶点坐标为点C (1，4)，交x 轴于点A (3，0)，交y 轴于点B . （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ；（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ， 使S △PAB ＝89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.2．如图1，抛物线y ＝x 2－2x ＋k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3）．（图2、图3为解答备用图）（1）k ＝_____________，点A 的坐标为_____________，点B 的坐标为_____________； （2）设抛物线y ＝x 2－2x ＋k 的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y ＝x 2－2x ＋k 上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．图1 图2 图33.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，0)，连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由．4.如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (－3，0)两点． （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限内是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC5．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －4与直线y ＝x 交于点A 、B 两点，A 、B 的横坐标分别为－1和4．（1）求此抛物线的解析式．（2）若平行于y 轴的直线x ＝m （0＜m ＜5＋1）与抛物线交于点M ，与直线y ＝x 交于点N ，交x 轴于点P ，求线段MN 的长（用含m 的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使得△BOM在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．6．如图①，已知抛物线y＝ax 2＋bx ＋3（a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E（图①） （图②）7．如图，△OAB 是边长为2的等边三角形，过点A 的直线y ＝－33x ＋m 与x 轴交于点E ． （1）求点E 的坐标；（2）求过A 、O 、E 三点的抛物线解析式；（3）若点P 是（2）中求出的抛物线AE 段上一动点（不与A 、E 重合），设四边形OAPE的面积为S ，求S 的最大值．。
二次函数应用面积问题(1)
C
.N1
若不 存在，请说明理由。
问题5：抛物线上的面积问题
已知二次函数 y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点
（A在B的左边），与y轴交于点C.
y
（4）若点P是抛物线的顶点,
求四边形ACPB的面积.
y
y
A
B
O
x
O
A
B
C
P
O
y
xA
B
CQ
x
C
PO
P
HA
B
x
C
P
问题5：抛物线上的面积问题
已知二次函数 y=x2-2x-3 与x轴交于A、B两点 （A在B的左边），与y轴交于点C.
当a<0时，开口向 ，有最 点，函数有最
值，是
。.
2.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 最值？有哪几种方法？写出求二次函数最值 的公式
（1）配方法求最值（2）公式法求最值
当x=-
b 2a
时，y有最大（小）值
4ac-b 4a
2
问题1 现要用60米长的篱笆围成一个矩形 （一边靠墙且墙长28米）的养鸡场地。设 矩形与墙平行的一边长为x米，应怎样围才 能使矩形的面积s最大。请设计出你的方案 并求出最大面积。
y
（5）设M（a，b）（其中0<a<3）是
抛物线上的一个动点，试求四边
形OCMB面积的最大值，
A
NB
及此时点M的坐标。
O
x
C
.M
P
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
二次函数三角形面积
二次函数三角形面积二次函数是高中数学中的重要内容之一，而二次函数与三角形面积之间的关系也是数学中的一个经典问题。
本文将通过简单的例子和详细的讲解，介绍二次函数与三角形面积的关系。
我们来看一个简单的例子：假设有一个三角形，它的底边长为3，高为2。
我们想要求这个三角形的面积。
这时我们可以使用二次函数来求解。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
而三角形的面积可以通过底边长和高来计算，公式为S = 1/2 * 底边长 * 高。
我们可以将三角形的面积S表示为二次函数的形式，即S = ax^2 + bx + c。
由于我们已知底边长为3，高为2，代入公式可得2 = a * 3^2 + b * 3 + c。
接下来，我们需要求解二次函数的系数a、b、c。
由于已知三个点(3,2)，我们可以通过代入这三个点的坐标来求解。
代入第一个点(3,2)，可得2 = 9a + 3b + c。
接着，代入第二个点(0,c)，可得c = a * 0^2 + b * 0 + c，即 c = c。
最后，代入第三个点(-3,2)，可得2 = 9a - 3b + c。
通过以上三个方程，我们可以解得a、b、c的值。
进一步求解，我们可以得到二次函数的解析式。
在得到二次函数的解析式之后，我们可以进一步求解三角形的面积。
将求得的系数a、b、c代入二次函数的解析式中，我们可以得到三角形的面积函数S(x)。
通过对S(x)进行化简，我们可以得到一个简化的表达式，即二次函数与三角形面积的关系式。
在进一步讨论之前，我们可以先来看一下二次函数的图像。
由于二次函数是一个抛物线，它的图像可以分为两种情况：开口向上和开口向下。
当二次函数的系数a大于0时，它的图像开口向上；当系数a小于0时，它的图像开口向下。
对于开口向上的二次函数，它的最低点即为抛物线的顶点。
而顶点的横坐标就是二次函数的极值点。
我们可以通过求导来找到这个极值点。
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二次函数中常见图形的的面积问题
1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？
2、抛物线
322
+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ，
（1）求四边形BOCD 的面积.
（2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程） 图五
图四 图六
图二
图一
图三
3、已知抛物线4
2
12
--=
x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积.
4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点D 的坐标； （3）求四边形ADBC 的面积.
5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE 的面积.
6、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；
（2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=,
若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。
变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，
请说明理由.
变式二：在双曲线3
y x
=
上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ∆∆=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.
7、抛物线322+--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ，若点E 为第二象限抛物线上一动点， 点E 运动到什么位置时，△EBC 的面积最大,并求出此时点E 的坐标和△EBC 的最大面积． 提示：点E 的坐标可以设为（32,2+--x x x ），x 的取值范围是-3＜x ＜0,根据题2求三角形面积的思路建立△EBC 的面积EBC S ∆关于x 的函数关系式，体会点E 位置的不确定性对方法的选择是否有影响．。