求中心天体的质量与密度

求天体的加速度、质量、密度

一．知识聚焦 1.加速度：

表面上 mg Mm G =2R

得2g R GM

=

非表面 ()ma R Mm

G

=+2h 得)(2R a h GM +=

万有引力与航天 ）

基础知识：

一、研究对象：绕中心天体的行星或卫星

r mv r

Mm G 22= G r v M 2= (已知线速度与半径)

2

2ωmr r

Mm G = G r M 32ω= (已知角线速度与半径)

2

2)2(T mr r

Mm G π= G T r M 232)2(π= (已知周期与半径)

总结：

线速度v

r ，这三个物理量中，任意组合二个，一定能求出中心天体的质量M 。

或者说：中心天体的质量M 、及三个物理量中，只要知道其中的两个，可求出其它物理量。

二、研究对象：绕中心天体表面运行的行星或卫星

R mv R

Mm G 22= G R v M 2= (已知线速度与半径)

2

2ωmR R

Mm G = G R M 32ω=

(已知角线速度与半径) G πωρ432=（

已知角速

度）

22)2(T mR R Mm G π=

(已知周期与半径) 已知周期

)

任何因数都无关。

三、研究对象：距离地面h 高处的物体，万有引力等于重力

mg h R Mm

G =+2

)

( G h R g M 2)(+= (已知某高度处的重力加速度与距离)

四、研究对象：地球表面的物体，万有引力等于重力

mg R

Mm

G =2 G gR M 2= (已知中心天体表面的重力加速度与半径)

GR

g

πρ43=

训练题（真题）

1宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落在星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点间的距离为3L ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 和密度ρ.

[解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度，再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度．

根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为22

1gt y =

设初始平抛小球的初速度为v ，则水平位移为x=vt ．有2222)()21(L vt gt =+ ○1

当以2v 的速度平抛小球时，水平位移为x'= 2vt ．所以有2222)3()2()21

(L vt gt =+ ②

在星球表面上物体的重力近似等于万有引力，有mg=G 2R

Mm

③

联立以上三个方程解得2

2332Gt LR M =

而天体的体积为334R V π=

，由密度公式V

M

=ρ得天体的密度为R Gt L 2

23πρ=。

2某一物体在地球表面时，由弹簧测力计测得重160N ，把此物体放在航天器中，若航天器以加速度2

g

a =

（g 为地球表面的重力加速度）垂直地面上升，这时再用同一弹簧测力计测得物体的重力为90N ，忽略地球自转的影响，已知地球半径R ，求此航天器距地面的高度。

解析：物体在地球表面时，重力为=mg 160N ①根据万有引力定律，在地面附近有

2

R

GMm

mg =

②

图

21

在距地面某一高度h 时，由牛顿定律得ma g m F N ='- ③根据万有引力定律，得

2

)(h R GMm

g m +=

' ④①②③④式并代入数据解得R h 3=。

1、 已知地球的半径为R ，地面的重力加速度为g ，引力常量为G 。可求得地球的平均密度

ρ=________。 答案 3g /4πGR

【解析】 由mg =G

2

R

Mm 和ρ=33

4R M

V M π=得ρ=GR g π43。 1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量

由mg=G 2R

Mm

得 G g R M 2=.（式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加

速度和天体的半径．）

2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量

卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得

222224T

mr mr r v m r Mm G πω===

若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体

的质量为G r GT r G rv M 3

22

3224ωπ===

1.下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G 是已知的）（ ） A.地球绕太阳运行的周期T 和地球中心离太阳中心的距离r B.月球绕地球运行的周期T 和地球的半径r

C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

D.月球绕地球运动的周期T 和轨道半径r

[解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A 项不对．已知月球绕地球运行的周期和地球的半径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B 项不对．已知月球绕地球运动的角速度和轨道

半径，由2

2ωmr r

Mm G =可以求出中心天体地球的质量，所以C 项正确．由2

224T mr r Mm G π=