2015年郑州大学高等数学考试题
2015年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标i)附详细解析
2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）B2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）255211．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和．18．（12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE 丄平面ABCD ，DF 丄平面 ABCD ，BE=2DF ，AE 丄EC ． （Ⅰ）证明：平面AEC 丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i =1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与y=c+d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）满足=iB．2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）．．．．=﹣（﹣＜＜6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（），则，××（，÷7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）．利用向量的三角形法则首先表示为=本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）﹣，，，）（2k+）的部分图象，可得函数的周期为（﹣可得+=，）≤≤2k+）的单调递减区间为（）9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）﹣﹣≤﹣≤﹣=﹣=2552，的通项为=的系数为11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）×+22r+12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜l，若存在唯一的整数x0使得f（x0）[[[[＜﹣时，，＞﹣时，﹣，，解得二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数．则a=1．x+14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．解：一个圆经过椭圆，解得，，）．）15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．，则，解得，即=3的最大值为16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．x x xx+m=+AD=x+mx+m=，x+m x=+x的取值范围是（﹣+﹣，）三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．，利用裂项法即可求数列==（﹣（﹣+﹣）（﹣．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．AG=GC=，且BE=，故，，EF=，），=，）=，﹣，，＞=﹣．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i （i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ）（w i ﹣）（y i表中w i=1，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．w=，建立y=c+dw=的线性回归方程，由于===563的线性回归方程为的回归方程为=100.6+68，的预报值=100.6+68=576.6的预报值的预报值=0.2100.6+68）﹣+20.12=20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由），利用导数的运算法则，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．．）联立M Ny=点处的切线斜率为=a=处的切线方程为：，化为==．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．，，即可得出零点的个数；，解得．时，﹣=a+＜﹣=a+=，∴当）在内单调递减，在x==，即，则，即，=a+a时，或时，或选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．，BE=选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）（2015春•新乐市校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．3的面积（3=2=．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．，或求得＜，a|=，，[2a+1]参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；qiss；maths；changq；caoqz；cst；lincy；吕静；双曲线；whgcn；孙佑中（排名不分先后）菁优网2015年7月20日。
郑州大学微积分（下）测验试题（2）答案
高等数学（下册）高等数学（下册）测验试题（二） 一、填空题（每小题4分，共20分）分）1设L 由o （0，0）沿y 轴到)2,0(A ，再沿2=y 到处)2,2(B ，再沿y x 22=回到)0,0(o ，则()()dy xy dx xy x xL223-+-ò.2-=2.设S 为柱面422=+yx 介于61££z 的部分，法向量指向内部，则.0222=++òòSdxdy z y x3.设L 为下半圆周(),0222£=+y R y x 则().422R ds y x L-=+ò4.设S 为平面222=++z y x 被三个坐标面相截在第一卦限的部分，则().322=++òòSdS z y x （注意：边界条件可以代入）（注意：边界条件可以代入）5．设L 为沿曲线x x y 22-=上从)0,2(A 到)0,0(o 的弧段，则.p =+-òL xdy ydx 二 计算题（每小题7分，共70分）分）1。
求,||||dy x dx y I L +=ò其中L 是以o （0，0），)1,0(A ，)1,1(-B ，为顶点的三角形边界，方向为逆时针方向。
角形边界，方向为逆时针方向。
2．计算,22ò++-L y x xdyydx L 为1||||=+y x 所围区域边界的正向。
所围区域边界的正向。
3．计算()ds x L y òúûùêëé-+51232，L 为()22332+=x y 从2-=x 到1=x 的一段。
4．计算()(),z d xd y d z d x z y d y d z z x I +-+-=òòS其中S 是由曲线()21,0,££îíì==z xy z 绕z 轴旋转一周生成的曲面的内侧。
2015年河南专升本高数真题+答案解析
河南省2015年普通高等学校 专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．已知函数()f x x =，则1f f x ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ）A ．xB ．2xC ．1xD ．21x 【答案】C【解析】因为()f x x =，则11f x x⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以111f f f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．2．已知函数84()f x x x =-，则()f x 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断【答案】B【解析】()()8484()()f x x x x x f x -=---=-=，即()f x 为偶函数．3．已知函数12()f x x =，则()f x 的定义域是（ ）A ．(0,)+∞B ．[0,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞【答案】B【解析】由12()f x x ==()f x 的定义域是[0,)+∞．4．已知极限0sin()lim 2x mx x→=，则可确定m 的值是（ ）A ．1B ．2C ．12D ．0【答案】B【解析】00sin()lim lim 2x x mx mxm xx →→===．5．当0x →时，若212cos ~2a x x -，则可确定a 的值一定是（ ）A ．0B ．1C ．12 D ．12-【答案】C【解析】由()212cos ~02a x x x -→，可知()2001lim 2cos lim 2x x a x x →→-=，即2cos00a -=，故12a =．6．下列极限存在的是（ ）A ．21limx x x →∞+B ．01lim21x x →-C ．01lim x x→D．x 【答案】A【解析】22111lim lim 01x x x x x x →∞→∞++==，极限存在；01lim 21xx →=∞-，极限不存在；01lim x x→=∞，极限不存在；x x =∞，极限不存在．7．已知函数sin ,0()1,0a xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处，下列结论正确的是（ ）A ．1a =时，()f x 必然连续B ．0a =时，()f x 必然连续C ．1a =时，()f x 不连续D ．1a =-时，()f x 必然连续【答案】A【解析】00sin lim ()limx x a xf x a x→→==，又知(0)1f =，故1a =时，()f x 必连续．8．极限30sin lim sin x x xx →-的值是（ ）A ．16B ．13C ．0D ．∞【答案】A【解析】2332200001sin sin 1cos 12lim lim lim lim sin 336x x x x xx x x x x x x x x →→→→---====．9．已知函数()()()f x x a g x =-，其中()g x 在点x a =处可导，则()f a '=（ ）A ．0B ．'()g aC ．()g aD ．()f a【答案】C 【解析】00()()()0()limlim ()x x f a x f a xg a x f a g a x x→→+-+-'===．10．已知曲线2()f x x =与3()g x x =，当它们的切线相互垂直时，自变量x 的值应为（ ）A ．1-B． C ．16-D【答案】B【解析】()2f x x '=，2()3g x x '=，两曲线的切线相互垂直，即()()1f x g x ''⋅=-，即2231x x ⋅=-，即x =11．已知函数()f x x =，则该函数()f x 在点0x =处（ ） A ．连续且可导 B ．不连续C ．连续但不可导D ．左右导数均不存在【答案】C【解析】00lim ()lim 0(0)x x f x x f →→===，故()f x 在0x =处连续； 00()(0)(0)lim lim 1x x f x f x f x x ---→→--'===-，00()(0)(0)lim lim 1x x f x f xf xx +++→→-'===，故()f x 在0x =处不可导．12．已知函数()cos f x x =在闭区间[]0,2π上满足罗尔定理，那么在开区间(0,2)π内使得等式'()0f ξ=成立的ξ值是（ ）A ．2πB ．πC ．0D ．2π【答案】B【解析】()cos f x x =，()sin f x x '=-，令()sin 0f x x '=-=，02x π<<，可得x π=，即ξπ=．13．已知函数()f x 在邻域(,)δδ-内连续，当(,0)x δ∈-时，'()0f x <，当(0,)x δ∈时，'()0f x >，则在邻域(,)δδ-内（ ）A ．(0)f 是极小值B ．(0)f 是极大值C ．(0)f 不是极值D ．(0)f 是最大值【答案】A【解析】由题可知()f x 在(,0)δ-上单调减少，在(0,)δ上单调增加，又由()f x 在(,)δδ-内连续，可知()f x 在0x =处取得极小值．14．已知函数()f x 在开区间(,)a b 内有：'()0f x <且"()0f x >，则在开区间(,)a b 内，()f x 是（ ） A ．单调递减且形状为凸 B ．单调递增且形状为凸C ．单调递减且形状为凹D ．单调递增且形状为凹【答案】C【解析】'()0f x <，说明()f x 在(,)a b 内单调递减，"()0f x >，说明()f x 在(,)a b 内为凹函数．15．已知曲线52y x =+，则该曲线的拐点(,)x y =（ ）A ．(0,2)B ．(1,3)C ．(0,0)D ．(1,1)-【答案】A【解析】45y x '=，320y x ''=，令0y ''=，得0x =，且0x <时0y ''<，0x >时0y ''>，故(0,2)为曲线的拐点．16．已知函数()F x 是()f x 的一个原函数，则不定积分(2)f x dx =⎰（ ）A ．1()2F x C +B ．1(2)2F x C +C ．()F x C +D ．(2)F x C +【答案】B【解析】11(2)(2)(2)(2)22f x dx f x d x F x C ==+⎰⎰．17．已知函数0()sin xf x t tdt =⎰，则'()f x =（ ）A ．sin xB ．cos x xC ．cos x x -D ．sin x x【答案】D 【解析】()'()sin sin xf x t tdt x x '==⎰．18．已知函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续，则定积分4sin aa x xdx -=⎰（ ）．A ．-1B ．0C ．1D ．不确定【答案】B【解析】由于被积函数4sin x x 为奇函数，故4sin 0aa x xdx -=⎰．19．已知定积分1210I x dx =⎰，1320I x dx =⎰，则有（ ）A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．不确定【答案】A【解析】当01x ≤≤时，23x x >，且等号只在端点处成立，故112300x dx x dx >⎰⎰，即12I I >．20．已知函数()y f x =在闭区间[,]a a -上连续，且()0f x ≥，则由曲线()y f x =与直线x a =，x b =，0y =所围成的平面图形的面积是（ ）A ．()baf x dx ⎰B ．()abf x dx ⎰C ．()()()f b f a b a --D ．不确定【答案】A【解析】由定积分的几何意义可知A 正确．21．已知下列微分方程，则可进行分离变量的是（ ） A ．'3sin xy y x -= B ．2(cos )()0x y x dy y x dx -++=C ．'sin cos y x y =D ．'420yy y x -==【答案】C 【解析】C 中sin cos dyx y dx=，分离变量，得sin cos dy xdx y =．22．已知微分方程''5'0y y ay -+=的一个解为2x e ，则常数a =（ ）A ．4B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】22()2x x e e '=，22()4x x e e ''=，代入微分方程，得2224520x x x e e ae -⨯+=，6a =．23．下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是（ ）A ．,,446πππB ．,,432πππC ．,,434πππD ．,,433πππ【答案】D【解析】由于方向角α，β，γ必须满足222cos cos cos 1αβγ++=，可以验证只有D 正确．24．已知函数2223z x xy y =+-，则2zx y∂∂∂=（ ）A ．2-B ．2C ．6D ．3【答案】D【解析】43zx y x∂=+∂，23z z x y y x ∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂⎝⎭．25．某公司要用铁板做成一个容积为327m 的有盖长方体水箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为（ ）A ．354mB ．327mC ．39mD ．36m【答案】A【解析】设长方形的长宽分别为a 、b ，则高为27ab，于是，表面积2727545422S ab ab b a b a ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，令2254205420S b a a S a bb ∂⎧=-=⎪⎪∂⎨∂⎪=-=⎪∂⎩，得33a b =⎧⎨=⎩，且驻点唯一，由于实际问题最值一定存在，可知最小表面积354S m =．26．已知平面闭区域22:116D x y ≤+≤，则二重积分3Ddxdy =⎰⎰（ ）A ．45πB ．45C ．48πD ．48【答案】A【解析】22333(41)45D Ddxdy S πππ==⋅-⋅=⎰⎰．27．已知100(,)(,)Df x y d dx f x y dy σ=⎰⎰⎰，将积分次序改变，则(,)D f x y d σ=⎰⎰（ ）A ．2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰ B ．2101(,)y dy f x y dx ⎰⎰C ．2110(,)y dy f x y dx ⎰⎰D ．2011(,)y dy f x y dx ⎰⎰【答案】A【解析】2110(,)(,)D y f x y d dy f x y dx σ=⎰⎰⎰⎰．28．已知L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段，则曲线积分()L x y ds +=⎰（ ）A ．2BC ．1D ．0【答案】B【解析】由于直线段L 的方程为1x y +=，故()Lx y ds +==⎰⎰29．下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1(1)nn ∞=-∑B ．111(1)3n n n n ∞--=-∑ C ．1(1)sinnn nπ∞=-∑D ．2112(1)!xn n n ∞+=-∑ 【答案】B【解析】对于B 项，121(1)3n n nu --=-，111113lim lim lim 1333n n n n n nn n u n n u n +→∞→∞→∞-++===<，故1n n u ∞=∑收敛，原级数绝对收敛．30．已知级数1n n μ∞=∑，则下列结论正确的是（ ）A ．若lim 0n x μ→∞=，则1n n μ∞=∑收敛 B ．若1n n μ∞=∑的部分和数列{}n S 有界，则1n n μ∞=∑收敛C ．若1n n μ∞=∑收敛，则1n n μ∞=∑绝对收敛D ．若1n n μ∞=∑发散，则1n n μ∞=∑也发散【答案】C【解析】A 项中若1n nμ=，结论不成立；B 项中若(1)n n μ=-，结论不成立；D 项中若1(1)nn nμ=-，结论不成立；由绝对收敛的定义知，C 正确．二、填空题（每小题2分，共20分）31．已知函数()1f x x =-，则()f x 的反函数y =________． 【答案】1y x =+【解析】由1y x =-，得1x y =+，交换x ，y 的位置，得反函数为1y x =+，x R ∈．32．极限21lim 31n n n →∞+=+________． 【答案】0【解析】222111lim lim 01313n n n n n n n →∞→∞++=++33．已知函数1,1()1,1x x f x x +≠⎧=⎨=⎩，则点1x =是()f x 的________间断点． 【答案】可去【解析】()11lim ()lim 12x x f x x →→=+=，而(1)1f =，故1x =是()f x 的可去间断点．34．已知函数()ln f x x =为可导函数，则()f x 在点 1.01x =处的近似值为________． 【答案】0．01【解析】由000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，故(10.01)(1)(1)0.010.01f f f '+≈+⋅=．35．不定积分cos(32)x dx +=⎰________． 【答案】1sin(32)3x C ++【解析】11cos(32)cos(32)(32)sin(32)33x dx x d x x C +=++=++⎰⎰．36．定积分0sin 2xdx π=⎰________．【答案】2 【解析】000sin 2sin 2cos22222x x x x dx d πππ==-=⎰⎰．37．已知函数22ln()z x y =+，则全微分(1,1)dz =________．【答案】dx dy +【解析】222z x x x y ∂=∂+，222z y y x y ∂=∂+，则(1,1)(1,1)(1,1)222222xy dz dx dy dx dy x y x y =+=+++．38．与向量{}3,4,1-平行的单位向量是________．【答案】± 【解析】=±=±e ．39．微分方程'x y y e -=的通解是________． 【答案】ln()x y e C =+【解析】xy dy e dx e=，分离变量，得y x e dy e dx =，两边积分，得y x e e C =+，即通解为ln()x y e C =+．40．幂级数1(21)nn n x ∞=+∑的收敛半径R =________．【答案】1 【解析】121lim lim 123n n n na n R a n +→∞→∞+===+．三、计算题（每小题5分，共50分） 41．求极限1lim(1sin )xx x →∞+．【答案】e【解析】原式111sin lim sin sin lim(1sin )x x x x xxx x ee →∞⋅⋅⋅→∞=+==．42．已知函数()f x 为可导函数，且()0f x ≠，求函数y =【解析】[]121()()2y f x f x -''=⋅．43．计算不定积分21xdxx +⎰． 【答案】21ln(1)2x C ++【解析】原式()222111ln(1)212d x x C x +==+++⎰．44．计算定积分⎰【答案】1【解析】11111t t tt te dt tde te e dt ===-=⎰⎰⎰⎰．45．求过点(1,2,1)A ，且与直线240:320x y z l x y z -+=⎧⎨--=⎩平行的直线方程． 【答案】1219710x y z ---== 【解析】所求直线的方向向量为()2419,7,10312=-=--i j ks ，又直线过点(1,2,1)A ，故所求直线方程为1219710x y z ---==． 46．已知函数(,)z f x y =由方程22240x y z z ++-=所确定，求全微分dz ． 【答案】2xdx ydy z+- 【解析】方程两边微分，得22240xdx ydy zdz dz ++-=，整理得2xdx ydy dz z +=-．47．计算二重积分22x y D e dxdy +⎰⎰，其中D 是环形域2214x y ≤+≤．【答案】()4e e π- 【解析】()222222224011122x y r r D edxdy d e rdr e dr e e πθππ+=⋅=⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰．48．求微分方程'xy e y x x+=的通解． 【答案】()1x y e C x=+ 【解析】()()11ln ln 11x xdx dx x x x x x x e e y e e dx C e e dx C e dx C e C x x x x --⎛⎫⎛⎫⎰⎰=+=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．49．求幂级数11(1)(1)n n n x n∞-=--∑的收敛区间． 【答案】(0,2) 【解析】11(1)lim lim 11(1)n n n n n nu x n x u n x ++→∞→∞-=⋅=-+-，令11x -<，得111x -<-<，即02x <<，故收敛区间为(0,2)．50．求级数11n n nx∞-=∑的和函数．【答案】()()211S x x =-，()1,1x ∈-【解析】易求得此级数的收敛域为()1,1-，设()11n n S x nx ∞-==∑，()1,1x ∈-，则11000111()1xxx n n n n n n x S t dt nt dt nt dt x x ∞∞∞--===⎛⎫==== ⎪-⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰，()1,1x ∈-，两边求导，得()()2111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，故原级数的和函数为()()211S x x =-，()1,1x ∈-．四、应用题（每小题7分，共14分）51．计算由曲线0x =，x y e =，y e =所围成的平面图形的面积．【答案】1【解析】所求平面图形的面积()101x S e e dx =-=⎰．52．某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数3()400002000.002C x x x =+-，收入函数3()3500.004R x x x =-，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大？【答案】37500【解析】公司的利润22()()()3500.004400002000.002L x R x C x x x x x =-=---+21500.00240000x x =--，1500.004L x '=-，令0L '=，得唯一驻点37500x =，且0L ''<，由实际问题知最大值一定存在，故37500x =时，L 取得最大值，即生产37500辆自行车时，公司利润最大．五、证明题（6分）53．已知方程11730x x x x --+=有一正根1x =，证明方程1062117310x x x --+=必有一个小于1的正根．【证明】令1173()f x x x x x =--+，则根据题意可知(1)0f =，因为()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且(0)(1)0f f ==，故由罗尔定理可知：()0,1ξ∃∈，使得()0f ξ'=，即1062117310ξξξ--+=，故方程1062117310x x x --+=必有一个小于1的正根．。
2015年高考理科数学全国卷1(含答案解析)
绝密★启用前 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 2．sin20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=（ ）A ．32-B ．32C ．12-D ．123．设命题:p n ∃∈Ν，22n n ＞，则⌝p 为（ ）A ．2n n n ∀∈N 2，＞B ．2n n n ∃∈N 2，≤C ．2n n n ∀∈N 2，≤D ．=2n n n ∃∈N 2，4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0.648B ．0.432C ．0.36D ．0.3125．已知00()M x y ,是双曲线2212x C y -=：上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点.若120MF MF <，则0y 的取值范围是（ ）A ．33()33-， B ．33()66-， C ．2222()33-， D ．2323()33-， 6． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 7．设D 为ABC △所在平面内一点，=3BC CD ，则（ ）A ．1433AD AB AC =-+ B ．1433AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =-8．函数=cos(+)x f x ωϕ()的部分图象如图所示，则f x ()的单调递减区间为（ ）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）,C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出 的n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810．25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．6011．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()()21x f x e x ax a ＝－－＋，其中a<1，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________A ．3[)21,e-B ．43[,)23e -C ．3[,)234e D ．3[,)21e第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．若函数2()=()ln f x x a x x +＋为偶函数，则a =________. 14．一个圆经过椭圆22=1164x y+的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.15．若x ，y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≤≤则y x 的最大值为________.16．在平面四边形ABCD 中，==75=A B C ∠∠∠︒，=2BC ，则AB 的取值范围是________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2n n n +2=4+3a a S .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n+11=b a a ，求数列{}n b 的前n 项和．18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面AFC ； （Ⅱ）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188i i=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线24C y x ：=与直线)0(l y kx a a >：=＋交于M ，N 两点.（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示m ，n 中的最小值，设函数()min{(),()}h x f x g x =(0)x >，讨论()h x 零点的个数.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的切线，BC 交O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是O 的切线； （Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a -＋-（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】由1=i 1z z+-，得1i (1i)(1i)=i 1i (1i)(1i)z -+-+-===++-，故1z =，故选C ． 【提示】先化简复数，再求模即可． 【考点】复数的运算． 2.【答案】D【解析】原式1sin 20cos10cos20sin10sin302=+==，故选D ． 【提示】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可． 【考点】三角函数的运算． 3.【答案】C【解析】命题的否定是：22n n n ∀∈≤N ，．【提示】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论． 【考点】命题． 4.【答案】A【解析】根据独立重复试验公式可得，该同学通过测试的概率为2233C 0.60.40.6=0.648.⨯+【提示】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【考点】概率． 5.【答案】A【解析】由题知12(F F ，，220012x y -=，所以222120000000(3,)(3,)331MF MF x y xy x y y =-----=+-=-<，解得0y <<，故选A ． 【提示】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定0y 的取值范围． 【考点】双曲线． 6.【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r ，则116238,43r r ⨯⨯=⇒=所以米堆的体积为 2111632035,4339⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭故堆放的米约为320 1.6222,9÷≈故选B ． 【考点】圆锥体积．【提示】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可． 7.【答案】A【解析】由题知1114()3333AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+=+-=-+【提示】将向量AD 利用向量的三角形法则首先表示为AC CD +，然后结合已知表示为AC AC ，的形式．【考点】向量运算． 8.【答案】D【解析】由五点作图知，1π42,53π42ωϕωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得ππ,4ωϕ==，所以π()cos π,4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2ππ2ππ,,4k x k k π<+<+∈Z 解得1322,,44k x k k -<<+∈Z故()f x 的单调递减区间为132,2,44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选D ．【提示】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ，可得()f x 的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得()f x 的减区间． 【考点】三角函数运算． 9.【答案】C【解析】执行第1次，0.01,1,t S ==10,0.5,2n m === 0.5,0.25,2mS S m m =-===1,0.50.01n S t ==>=，是，循环，执行第2次， 0.25,0.125,2mS S m m =-===2,0.250.01n S t ==>=，是，循环，执行第3次，0.125,0.0625,2mS S m m =-===3,0.1250.01n S t ==>=，是，循环，执行第4次，0.0625,0.03125,2mS S m m =-===4,0.06250.01n S t ==>=，是，循环，执行第5次，0.03125,0.015625,2mS S m m =-===5,0.031250.01n S t ==>=，是，循环，执行第6次，0.015625,0.0078125,2mS S m m =-===6,0.0156250.01n S t ==>=，是，循环，执行第7次，0.0078125,S S m =-=2mm =0.00390625=， 7,0.00781250.01n S t ==>=，否，输出7,n =故选C ．【提示】由题意依次计算，当7,0.00781250.01,n S t ==>=停止由此可得结论． 【考点】程序框图． 10.【答案】C【解析】在25()x x y ++的五个因式中，2个取因式中2x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因式取y ，故52x y 的系数为212532C C C 30,=故选C ．【提示】利用展开式的通项进行分析，即可得出结论． 【考点】二项式展开式． 11.【答案】B【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球和半个圆柱的组合体，圆柱和球的半径都是r ，圆柱的高为2r ，其表面积为222214ππ2π225π41620π2r r r r r r r r ⨯+⨯++⨯=+=+，解得r=2，故选B ．【提示】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可． 【考点】空间几何体的表面积． 12.【答案】D【解析】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方．因为()e (21)xg'x x =+，所以当12x <-时，'()0g x <，当12x >-，()0,g'x >所以当12x =-时，12min [()]2e g x -=-．当0x =时(0)1g =-，(1)e 0g =>，直线y ax a =-恒过(1,0)且斜率a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3e g a a --=-≥--，解得312ea ≤<，故选D ．【提示】设()()e 21,,xg x x y ax a =-=-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得0()g x 在直线y ax a =-的下方，由导数可得函数的极值，数形结合可得(0)1a g ->=-且1(1)3e g a a --=-≥--，解关于a 的不等式组可得．【考点】带参函数．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1【解析】由题知ln(y x =是奇函数，所以22ln(ln(ln()ln 0x x a x x a +-=+-==，解得 1.a =【提示】由题意可得，()()f x f x -=，代入根据对数的运算性质即可求解 【考点】函数奇偶性．14.【答案】2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭【解析】设圆心为(,0)a ，则半径为4a -，则222(4)2,a a -=+解得32a =±， 故圆的标准方程为2232524x y ⎛⎫±+= ⎪⎝⎭．【提示】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程． 【考点】圆的标准方程． 15.【答案】3【解析】做出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点(1,3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值3.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定y x的最大值．【考点】线性规划问题．16.【答案】【解析】如下图所示：延长BACD ，交于点E ，则可知在△ADE 中，105DAE ∠=︒，45ADE ∠=︒，30,E ∠=︒∴设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =，2BC =，sin151m ⎫∴+︒=⎪⎪⎝⎭⇒m +=∴04x <<，而2AB m x +-,2x∴AB的取值范围是．【提示】如图所示，延长BACD ，交于点，设12AD x =，2AE x =，4DE x =，CD m =m +=AB 的取值范围． 【考点】平面几何问题． 三．解答题17.【答案】（Ⅰ）21n + （Ⅱ）11646n -+ 【解析】（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +； （Ⅱ）由（1）知，1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以数列{}n b 前n 项和为121111111=235572123n b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11646n -+． 【提示】（Ⅰ）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{}n a 的通项公式：（Ⅱ）求出11n n n b a a +=，利用裂项法即可求数列{}n b 的前n 项和．【考点】数列前n 项和与第n 项的关系，等差数列定义与通项公式． 18.【答案】（Ⅰ）答案见解析 【解析】（Ⅰ）连接BD ，设,BDAC G =连接EG FG EF ，，，在菱形ABCD 中，不妨设1GB =，由∠ABC=120°，可得AG GC ==由BE ⊥平面ABCD ，AB BC =，可知AE EC =， 又∵AE EC ⊥，∴EG EG AC =⊥，在Rt EBG △中，可得BE，故DF =在Rt FDG △中，可得FG =在直角梯形BDEF 中，由2BD =，BE，2DF =，可得2EF =， ∴222EG FG EF +=， ∴EG FG ⊥， ∵ACFG G =，∴EG ⊥平面AFC ， ∵EG ⊂平面AEC ， ∴平面AFC ⊥平面AEC ．（Ⅱ）如图，以G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，由（Ⅰ）可得0,A （，(E，2F ⎛- ⎝⎭，C ，∴AE =，1,CF ⎛=- ⎝⎭．故cos ,3||||AE CFAE CF AE CF <>==-，所以直线AE 与CF ．【提示】（Ⅰ）连接BD ，设BD AC G =，连接EG EF FG ，，，运用线面垂直的判定定理得到EG ⊥平面AFC ，再由面面垂直的判定定理，即可得到.（Ⅱ）以G 为坐标原点，分别以GB GC ，为x 轴，y 轴，GB 为单位长度，建立空间直角坐标系G xyz -，求得AE F C ，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【考点】空间垂直判定与性质，异面直线所成角的计算．19.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）答案见解析 （Ⅲ）(i )66.32 (ii )46.24【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断，y c =+y 关于年宣传费用x 的回归方程类型．(Ⅱ)令w =先建立y 关于w 的线性回归方程，由于81821()()108.8=68,16()iii ii w w yy d w w ==--==-∑∑ ∴56368 6.8100.6.==c y d w -⨯=-∴y 关于w 的线性回归方程为=100.6+68y w ，y ∴关于x 的回归方程为y （Ⅲ）（i ）由（Ⅱ）知，当49x =时，年销量y的预报值576.6y =， 年利润z 的预报值=576.60.249=66.32z ⨯-（ii ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值20.12z x =x +--，∴13.66.8,2=即46.24x =，z 取得最大值，故宣传费用为46.24千元时，年利润的预保值最大．【提示】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出．（Ⅱ）先建立中间量w =y 关于w 的线性回归方程，根据公式求出w ，问题得以解决．（Ⅲ）（Ⅰ）年宣传费49x =时，代入到回归方程，计算即可． （ii ）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【考点】线性回归方程求法，利用回归方程进行预报预测． 20.【答案】0y a --=0y a ++=（Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）由题设可得)Ma ，()N a -，或()M a-，)N a ．∵12yx '=，故24x y =在x =C在)a 处的切线方程为y a x -=-0y a --=，故24x y =在x =-处的导数值为，C 在()a -处的切线方程为y a x -=+，0y a ++=0y a --=0y a ++=． （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设(0,)P b 为符合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，．将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=．∴12124,4x x k x x a +==-．∴1212121212122()()()=y b y b kx x a b x x k a b k k x x x x a--+-+++=+． 当b a =-时，有12k k + =0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以(0,)P a -符合题意．【提示】（Ⅰ）求出C在)a 处的切线方程，故24x y =在x =-即可求出方程．（Ⅱ）存在符合条件的点(0,)P b ，11(,)M x y，22(,)N x y ，直线PM PN ，的斜率分别为12k k ，直线方程与抛物线方程联立化为2440x kx a --=，利用根与系数的关系，斜率计算公式可得12()=k a b k k a++=即可证明． 【考点】抛物线的切线，直线与抛物线位置关系． 21.【答案】（Ⅰ）34a =- （Ⅱ）答案见解析【解析】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=，即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==-，因此，当34a =-时，x 轴是曲线()y f x =的切线． （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在(1,)+∞无零点． 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，故1x =是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f g f ==<，故x =1不是()h x 的零点．当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在(0,1)的零点个数．(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在(0,1)无零点，故()f x 在(0,1)单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点；当a ≥0时，()f x 在(0,1)无零点．(ⅱ)若30a -<<，则()f x在⎛ ⎝单调递减，在⎫⎪⎪⎭单调递增，故当x =()f x取的最小值，最小值为14f =．①若0f >，即304x -<<，()f x 在(0,1)无零点．②若0f =，即34a =-，则()f x 在(0,1)有唯一零点；③若0f <，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时， ()f x 在(0,1)有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在(0,1)有一个零点．综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点．【提示】（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=解出即可． （Ⅱ）对x 分类讨论：当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，可得函数(1)min{(1),(1)}(1)0h f g g ===，即可得出零点的个数．当1x =时，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值即可得出．【考点】利用导数研究曲线的切线，分段函数的零点． 22.【答案】（Ⅰ）答案见解析 （Ⅱ）60ACB ∠=【解析】（Ⅰ）连接AE ，由已知得，AE BC AC AB ⊥⊥，，在Rt AEC △中，由已知得DE DC =，∴DEC DCE ∠=∠，连接OE ，OBE OEB ∠=∠， ∵90ACB ABC ∠+∠=， ∴90DEC OEB ∠+∠=，∴90OED ∠=，∴DE 是圆O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由已知得AB =，BE =，由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2x =x = ∴60ACB ∠=．【提示】（Ⅰ）连接AE 和OE ，由三角形和圆的知识易得90OED ∠=，可得DE 是O 的切线．（Ⅱ）设1CE AE x ==，，由射影定理可得关于x的方程2x =，解方程可得x 值，可得所求角度．【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理． 23.【答案】(Ⅰ)22cos 4sin 40ρρθρθ--+= (Ⅱ)12【解析】（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==， ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=．（Ⅱ）将=4θπ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得240ρ-+=，解得1ρ=2ρ12=MN ρρ-，因为2C 的半径为1，则2C MN △的面积111sin 45=22⨯．【提示】（Ⅰ）由条件根据cos sin x y ρθρθ==，求得12C C ，的极坐标方程．（Ⅱ）把直线3C 的极坐标方程代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，求得12ρρ，的值，从而求出2C MN △的面积．【考点】直角坐标方程与极坐标互化，直线与圆的位置关系．24.【答案】（Ⅰ）22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）(2)+∞，【解析】（Ⅰ）当1a =时，不等式()1f x >化为1211x x +-->，等价于11221x x x ≤⎧⎨--+->⎩或111221x x x -<<⎧⎨++->⎩或11221x x x ≥⎧⎨+-+>⎩，解得223x <<，∴不等式()1f x >的解集为22.3x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以ABC △的面积为22(1)3a +， 由题设得22(1)63a +>，解得2a >，所以a 的取值范围为(2)+∞，． 【提示】（Ⅰ）当1a =时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数()f x 的解析式，求得它的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积；再根据()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，从而求得a 的取值范围．【考点】含绝对值不等式解法，分段函数，一元二次不等式解法．。
二本2014-2015(1)高数试卷A及答案(1)
郑州轻工业学院2014-2015学年第一学期 高等数学A1、B1 试卷A试卷号：A20150114-1一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数2sin(1)()1x f x x -=-的（ ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ ）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 121(lim ）+→的值是（ ） （A ）e ； （B ）e1； （C ）2-e ； （D ）2e ． 4．设1,0(),0x f x x a x -≠⎪=⎨⎪=⎩，且3)(lim 0=→x f x ，则有（ ） （A ）3,3==a b ； （B ）,6=b a 可取任意实数；（C ）,3=b a 可取任意实数； （D ）3=a ，b 取任意实数．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ ） (A) 22x xe ； (B) 222x x e ； (C) 22(1)x xe x +； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．曲线243y x x =-+在其顶点处的曲率为__________． 2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则______,_______a b ==．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为_________，铅直渐近线为_________． 4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y =______________．5．3cos x dx =⎰________________． 三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 5．求不定积分：cos x e x dx ⎰． 6．求不定积分：4(1)x x dx -⎰．四、解答题（本题7分）设arctan ,0()0x x f x x <⎧⎪=≥，求'()f x ． 五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+． 2．设函数()f x 在[1,]e 上连续，且0()1f x <<，在(1,)e 内可导，且'()1x f x <．证明在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=．六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？七、综合分析题（本题满分5分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且恒有)()()(y f x f y x f =+，)(1)(x xg x f +=，其中1)(lim 0=→x g x ，试求)('x f ．2014-2015学年第一学期 高等数学A1、B1 试卷A 参考答案试卷号：A20150114-1一、单项选择题(每题3分，共15分)1．1x =为函数2sin(1)()1x f x x -=-的（ A ） （A ） 可去间断点； （B ）无穷间断点； （C ）跳跃间断点； （D ）震荡间断点．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----，则'()0f x =的实根的个数为（ C）（A ）2； （B ）3； （C ）4； （D ）5．3．极限x x x 1021(lim ）+→的值是（ D ）（A ）e ； （B ）e 1； （C ）2-e ； （D ）2e ．4．设1,0(),0x f x x a x -≠⎪=⎨⎪=⎩，且3)(lim 0=→x f x ，则有（B ）（A ）3,3==a b ； （B ）,6=b a 可取任意实数；（C ）,3=b a 可取任意实数； （D ）,3=a b 可取任意实数．5．设22()x f x dx x e C =+⎰，则)(x f =（ C ）(A) 22x xe ； (B) 222x x e ； (C) 22(1)x xe x + ； (D) 2(2)x xe x +.二、填空题(每题3分，共15分)1．曲线243y x x =-+在其顶点处的曲率为___2_____．2．若点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则a =32-，b = 92．3. 曲线22132x y x x -=-+水平渐近线为1y =，铅直渐近线为2x =．4．设52x y x e =+，则(2015)(0)y = 20152．5．3cos x dx =⎰ 31sin sin 3x x C -+．三、计算题 (每题6分，共36分)1．求极限：20sin 1lim x x e x x →--． 解：原式0cos lim 2x x e xx →-= ……3分0sin 1lim 22x x e x→+== …..6分2．求函数32()26187f x x x x =--+的单调区间及极值．解：函数的定义域为(,)D =-∞+∞2'()612186(3)(1)f x x x x x =--=-+ ……2分令'()0f x =，得驻点1,3x x =-=． ……3分单增区间为(,1],[3,)-∞-+∞，单减区间为[1,3]-，极大值(1)17f -=，极小值(3)47f =-．3．若函数()y y x =由方程sin y e xy x e ++=所确定，求0|x dy =．解：方程两边关于自变量x 求导，()y y x =，则有''cos 0y e y y xy x +++=，所以cos 'y y xy e x +=-+． …….3分当0x =时，代入方程得1y =，所以2'(0)y e=-， ……..5分 故02|x dy dx e==-． ……6分 4．求曲线sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程． 解：2sin 24sin cos dydy t dt t dx dx tdt-===-，……3分 在4t π=处，0,2dy x y dx===-，…….5分 所以切线方程为)2y x =--． ……6分 四、解答题（本题7分）5．求不定积分：e cos x x dx ⎰． 解：cos cos cos cos x x x x e x dx x d e e x e d x ==-⎰⎰⎰……2分 cos sin cos sin x x x x e x e x dx e x x d e =+=+⎰⎰cos sin sin (cos sin )cos x x x x x e x e x e d x e x x e xd x =+-=+-⎰⎰…….5分 移项得 1e cos (cos sin )2x x x dx e x x C =++⎰．……6分 6．求不定积分：4(1)x x dx -⎰．解法1：451(1)(1)5x x dx xd x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰⎰ ……2分 5511(1)(1)55x x x dx =---⎰ ……4分 5611(1)(1)530x x x C =---+ ……6分解法2：4454(1)(11)(1)(1)(1)x x dx x x dx x dx x dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰…..4分6511(1)(1)65x x C =-+-+ ……6分 解法3：令1x t -=，则1,x t dx dt =+=，……2分原式454=(1)t t dt t dt t dt +=+⎰⎰⎰ …..4分65651111(1)(1)6565t t C x x C =++=-+-+ ……6分 解法4：4432(1)(4641)x x dx x x x x x dx -=-+-+⎰⎰ …..4分54326543214341(464)65232x x x x x dx x x x x x C =-+-+=-+-++⎰……6分设arctan ,0()0x x f x x <⎧⎪=≥，求'()f x ．解：0x >时,()arctan f x x =，所以21'()1f x x =+；……2分0x <时()f x ='()f x = ……4分0x =时，(0)0f =，且00()(0)arctan '(0)lim lim 1x x f x f x f x x---→→-===，00()(0)'(0)lim lim x x f x f f x x +++→→-===+∞．所以()f x 在0x =处不可导． ……6分故21,01()0x x f x x ⎧<⎪+⎪=⎨>． ……7分五、证明题（每题7分，共14分）1．证明：当1x >时，2(1)ln 1x x x ->+．证法1：令()(1)ln 2(1)f x x x x =+--，1x ≥，则(1)0f =．……2分 11'()ln 2ln 1x f x x x x x +=+-=+-，且'(1)0f =．211''()0,1f x x x x =->>． ……5分所以1x >时，'()'(1)0f x f >=；1x >时，()(1)0f x f >=，整理即得2(1)ln 1x x x ->+． ……7分证法2：2(1)()ln ,11x f x x x x -=-≥+，且(1)0f =．……2分222211(1)14(1)'()2(1)(1)(1)x x x f x x x x x x x +---=-=-=+++． ……5分 当1x >时，'()0f x >，所以()(1)0f x f >=，即2(1)ln 1x x x ->+．……7分 2、设函数()f x 在[1,]e 上连续，且0()1f x <<，在(1,)e 内可导，且'()1x f x <．证明在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=．证明：（1）存在性令()()ln ,1F x f x x x e =-≤≤，显然()F x 在[1,]e 上连续，且(1)(1)0,()()10F f F e f e =>=-<，即(1)()0F F e <，故()F x 在[1,]e 上满足零点定理，所以至少存在一点(1,)e ξ∈，使得()0F ξ=，即()ln f ξξ=． ……5分（2）唯一性 因为1'()1'()'()0xf x F x f x x x-=-=<，所以()F x 在[1,]e 上单减，故()F x 在(1,)e 内至多有一个零点． 综上所述，()F x 在(1,)e 内仅有一个零点，即在(1,)e 内有且仅有一点ξ，使得()ln f ξξ=． ……7分六、应用题（本题8分）将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转一周构成一个圆柱体，当矩形的边长各为多少时，圆柱体的体积最大？解：设矩形一边长x ，则另一边长p x -．将其绕p x -边旋转，则旋转体的体积为223()(),0V x p x px x x p ππ=-=-<<， ……3分2'(23)V px x π=-，令'0V =，得驻点23x p =． 2''(26),''()203p V p x V p ππ=-=-<． ……7分 所以，当23x p =时，V 取极大值． 2133x p p x p =⇒-=． 由问题的实际意义知，当长和宽分别取2,33p p 时，体积最大． ……8分七、综合分析题（本题满分5分）设函数)(x f 在),(∞+-∞内有定义，且恒有)()()(y f x f y x f =+， )(1)(x xg x f +=，其中1)(lim 0=→x g x ，试证明()f x 在R 上处处可导，且)()('x f x f =．解：因为)(1)(x xg x f +=， 所以00()1()1(),lim lim ()1x x f x f x xg x g x x→→--===．……1分 0()()'()lim h f x h f x f x h→+-= ……3分 00()()()()1lim ()lim ()h h f x f h f x f h f x f x h h→→--===．……5分 所以，()f x 在R 上处处可导，且'()()f x f x =．。
河南15年高考数学试卷 (理科) 高清word 文字版
2015年普通高等学校招生全国统一试卷理科数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试卷相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足i zz =-+11，则=z （ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2 （2）=-000010sin 160cos 10cos 20sin （ ） （A ）23-（B ） 23（C ）21- （D ）21（3）设命题P ：,2,2n n N n >∈∃则P -为 （ ） （A ）n n N n 2,2>∈∀ （B ） n n N n 2,2≤∈∃ （C ）n n N n 2,2≤∈∀ （D ）n n N n 2,2=∈∃（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率 （ ）（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312（5）已知()00,y x M 是双曲线12:22=-y x C 上的一点，21,F F 是C 上的两个焦点，若021<∙→→MF MF ，则0y 的取值范围是 （ ）（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33,33 （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-63,63 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-322,322 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332,332 （6）《九章算术》是我国古代内人极为丰富的数学名著。
书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为“在屋内墙角处堆放米（，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺米堆的高度为5尺，问米堆的体积和米各是多少？已知1斛米的体积为1.62立方米 （ ）（A ）14斛 （B ） 22斛 （C ）36斛 （D ）66斛 （7）设D 为ABC ∆所在平面内的一点，→→=CD BC 3；则 （ ）（A ）→+→-=→AC AB AD 3431 （B ） →-→=→AC AB AD 3431（C ）→+→=→AC AB AD 3134 （D ）→-→=→AC AB AD 3134（8）函数())cos(ϕ+=wx x f 的部分图像如图所示，则()x f 的单调递减区间为 （ ）（A ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,43,41ππ （B ） z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,432,412ππ（C ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,43,41 （D ）z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,432,412（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n= （ ） （A ）5 （B ） 6 （C ）7 （D ）8（10）()52y x x ++的展开式，25y x 的系数为 （ ） （A ）10 （B ） 20 （C ）30 （D ）60（11）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成的几何体，该几何体的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为π2016+，则r= （ ）（A ）1 （B ） 2 （C ）4 （D ）8（12）设函数(),)12(a ax x e x f x +--=其中1<a ，若存在唯一的整数0x ，使得，则a 的取值范围是 （ ）（A ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,23e （B ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡-43,23e （C ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,23e （D ）⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23e第II 卷本卷分为必做题和选做题两部分，第（13）题-第（21）题为必做题，每个考生都必须作答，第（22）题-第（24）为选做题，考生按要求作答。
2015年全国1卷高考理科数学试卷及答案(精校word详细解析版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1） 设复数z 满足1+z1z-＝i ，则|z |＝(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(2)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(A )32-(B )32 (C )12- (D )12(3)设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为(A )∀n ∈N ， 2n >2n (B )∃ n ∈N ， 2n ≤2n (C )∀n ∈N ， 2n ≤2n (D )∃ n ∈N ， 2n ＝2n(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36 (D )0.312 (5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：=1 上的一点，F 1、F 2是C 的两个焦点，若12MF MF ⋅＜0，则y 0的取值范围是(A )(－33，33) (B )(－36，36) (C )(223-，223) (D )(233-，233) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛 (7)设D 为ABC 所在平面内一点,3BC CD =，则(A ) 1433AD AB AC =-+ (B ) 1433AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =+ (D ) 4133AD AB AC =-(8)函数f （x ）=cos （ωx+ϕ）的部分图像如图所示， 则f (x )的单调递减区间为A ．（k π﹣，k π+，），k ∈z B ．（2k π﹣，2k π+），k ∈z C ．（k ﹣，k+），k ∈zD ． （，2k+），k ∈z(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝(A )5 (B )6 (C )7 (D )8（10）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为(A )10 (B )20 (C )30 (D )60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何 体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 表面积为16 ＋ 20π，则r ＝(A )1 (B )2 (C )4 (D )812.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ,其中a 1,若存在 唯一的整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( )A .[32e -，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [32e，1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 (13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝ . (14)一个圆经过椭圆=1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ______________________ .(15)若x ，y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 ______________________ .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，2243n n n a a S +=+ (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)设 11n n n b a a +=，求数列}的前n 项和.(18) (本小题满分12分)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC ＝120°E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(Ⅰ)证明：平面AEC ⊥平面AFC ;(Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.(19) (本小题满分12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()i ii w w yy =--∑46.6 563 6.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i w x =8118i i w w ==∑(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋x y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：（ⅰ）年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()(),()niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑A B C F E D(20)(本小题满分12分)在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝24x 与直线y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点.(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.(21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=- .(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h (x )零点的个数.请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E ． （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； （Ⅱ）若OA= CE ，求∠ACB 的大小．(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C : x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 .(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I ）理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2015年郑州大学高等数学考试题(完整版)
高等数学模拟题第一部分 客观题一、判断题1、 函数x x x f sin )(=在),(+∞-∞上有界。
( 错 B)2、错B3、函数的极值点一定是函数的驻点。
( 错 B )4、对A5、设)(x f 是一个连续的奇函数，则0)(11=⎰-dx x f 。
（ 对A ） 二、单项选择题6、 、定积分 dx x ⎰--2/2/2sin 1ππ的值是： （ D ）（A ）0； (B) 1； (C) 2-； (D) 2；7、在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量． (A) )(1sin ∞→x x x (B) )0(1sin →x x (C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1∞→x x8、设(ln )1f x x '=+，则()f x =（ C ）.(A) 22x x c ++ (B)22x x e e c ++ (C)x x e c ++ (D)ln (2ln )2x x +9、.曲线2211x xe e y ---+=（ D ）(A) 无渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线，又有铅直渐近线10 、 C第二部分 主观题一、求解下列各题12、设()y y x =由方程组cos sin sin cos x t t t y t t t=+⎧⎨=-⎩确定，求dy dx 。
解：3、求曲线 2(1)y x x =- 的凹凸区间。
解：Y=(x-1)²x 求二阶导数，再找零点 x= - (1/2) ，以所找零点将定义域区间划分为2个区间，(-∞，-(1/2))和((-1/2)，+∞)，在前一个区间，f ' ' <0 ,为凹区间，后一个区间为凸区间。
在x= - (1/2) 的左右，其二阶导数变号，故拐点为(-(1/2), 7/8)4、求4e ⎰。
5、设222()()4xx f t dtF xx=-⎰，其中)(xf为连续函数，求2lim()xF x→。
2015-数一真题、标准答案及解析
2015 考研数学一答案一、选择题（1）设函数 f (x ) 在（-∞,+∞）连续，其 2 阶导函数 f ''(x ) 的图形如下图所示，则曲线y = f (x ) 的拐点个数为（）（A ）0（B ）1 (C) 2 ( D) 3【答案】C【解析】拐点为f "(x)正负发生变化的点（2）设y = 1 e 2 x + ⎛ x - 1 ⎫e x 是二阶常系数非齐次线性微分方程y " + ay ' + by = ce x 的一个特解2 ⎝3 ⎪⎭则：(A)a = -3,b = -1, c = -1. (B)a = 3,b = 2, c = -1. (C)a = -3,b = 2, c = 1. (D)a = 3,b = 2, c = 1.【答案】（A ）【解析】1 e2 x , - 1 e x为齐次方程的解，所以2、1为特征方程λ2 +a λ + b = 0的根， 2 3从而a = -(1+ 2) = -3,b = 1⨯ 2 = 2, 再将特解y = xe x 代入方程y "- 3y ' + 2 y = ce x 得 c = -1.∞ ∞ ⎰π ⎰⎰π ⎰π ⎰⎰π n nn f (x , y )dxdy =3 dθ sin 2θ ∞ ∞(3)若级数∑a 条件收敛，则x = 3与x = 3依次为幂级数∑na (x -1)n的 nnn =1n =1(A)收敛点，收敛点. (B)收敛点，发散点. (C)发散点，收敛点. (D)发散点，发散点.【答案】B【解析】∞∞∞因为∑a 条件收敛，故x = 2为幂级数∑a ( x -1)n的条件收敛点，进而得∑a ( x -1)nn =1n =1n =1的收敛半径为1，收敛区间为(0, 2)；又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故∑na ( x -1)n (0, 2) x = 3 x = 3 ∑na ( x -1)nn n =1的收敛区间仍为 ，因而 与 依次为幂级数nn =1的收敛点，发散点.（4） 设 D 是第一象限中曲线2xy = 1, 4xy = 1与直线 y = x , y =f (x , y ) 在 D 上连续，则⎰⎰ f (x , y )dxdy =D3x 围成的平面区域，函数（A ） π3 d θ1sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )rdr （B ） π3 d θ ⎰ sin 2θ1f (r cos θ, r sin θ )rdr 42sin 2θ42sin 2θ(C) π3 d θ1sin 2θ 1 f (r cos θ , r sin θ )dr ( D)π3 d θ ⎰sin 2θ 1 f (r cos θ, r sin θ )dr42sin 2θ【答案】B【解析】由 y = x 得，θ = π442sin 2θ由 y = 3x 得，θ = π3由2xy = 1得， 2r 2cos θ s in θ =1, r =由4xy = 1得， 4r 2cos θsin θ =1, r =sin 2θ 2sin 2θπ ⎰⎰ ⎰π ⎰1D42sin 2θ所以 f (r cos θ, r sin θ )rdr⎛1 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ （5） 设矩阵 A = 1 2 a ⎪， b =d ⎪ ，若集合Ω = {1, 2}，则线性方程组 Ax = b 有无⎪ ⎪ 1 4 a 2 ⎪ d 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭穷多个解的充分必要条件为（A ）a ∉Ω, d ∉Ω （B ） a ∉Ω, d ∈Ω （C ） a ∈Ω, d ∉Ω （D ） a ∈Ω, d ∈Ω【答案】D⎡1 1 1 1 ⎤⎡1 1 11⎤ 【解析】[ A ,b ] = ⎢1 2 a d ⎥ −−→ ⎢0 1a -1d -1⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎣1 4 a 2 d 2⎥⎦ ⎢⎣0 0(a -1)(a - 2)(d -1)(d - 2)⎥⎦Ax = b 有无穷多解↔ R ( A ) = R ( A ,b ) < 3↔ a = 1或 a = 2 且d = 1或 d = 2（6） 设二次型 f (x , x , x ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为2y 2 + y 2 - y 2 ，其中12 3123P = (e 1, e 2 , e 3 ) ，若Q = (e 1, -e 3 ,e 2 )，则 f (x 1, x 2 , x 3 ) 在正交变换 x = Qy 下的标准形为（A ） 2 y 2- y 2+ y 2（B ） 2 y 2+ y 2- y 2（C ） 2 y 2- y 2- y 2（D ） 2 y 2+ y 2+ y2 123123123123【答案】A【解析】设二次型对应的矩阵为 A , P = (e 1,e 2 ,e 3 ), 二次型在正交变换x = Py 下的标准行⎡2 为2 y 2+ y 2- y 2, 则 P -1AP = ⎢ 1 ⎤ ⎥ , 若Q = (e , -e ,e ), 则1 2 3 ⎢ ⎥1 32 ⎢⎣ -1⎦⎥ ⎡2 ⎤ Q -1AQ = ⎢ -1 ⎥ , 故在正交变换 x = Qy 下的标准型是： 2 y 2 -y 2 +y 2 故选 A 。
2015高考数学全国2卷试题及答案(清晰版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试试题及答案理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}21012，，，，--=A ,()(){}021<+-=x x x B ,则=B A A、{}0,1-B、{}1,0C、{}101，，-D、{}210，，2、若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a A、-1B、0C、1D、23、根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是A、逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最明显B、2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C、2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D、2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4、已知等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a aA、21B、42C、63D、845、设函数()()⎩⎨⎧-+=-1222log 1x x x f ,11≥<x x ,则()()=+-12log 22f f A、3B、6C、9D、126、一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与所剩部分体积的比值为A、81B、71C、61D、517、过三点()31，A ，()24，B ，()7,1-C 的圆与y 轴交于M 、N 两点，则=MN A、62B、8C、64D、108、右边程序框图的算法思路源于我国古代算术名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a A、0B、2C、4D、149、已知A ，B 是球O 的球面上两点， 90=∠AOB ，C 为该球面上的动点。
2015-2016高数(一.二)期末试卷A参考答案
课程名称:高等数学(一、二）（期末考试A ）第 3 页 （共 4 页）学 院: 专 业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――提示：请将答案写在答题纸上，写在试卷页或草稿纸上的无效。
交卷时请将答题纸（1-2页）和试卷页、草稿纸分开上交。
写在背面或写错位置的一定要注明。
一、 填空题（3分*5=15分）1. 设曲线L 是正方形区域{}(,)|01,01x y x y ≤≤≤≤的边界，则曲线积分4Lds =⎰16.2. 若级数∑∞=-1)1(n nu收敛，则=∞→n n u lim 1.3. 设0>p ，当p 满足1p >时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛. 4. 微分方程y x y y '=''-'''2)(的通解中含有 3 个相互独立的任意常数. 5. 微分方程212y x ''=满足初始条件00x y ==，01x y ='=的特解为4y x x =+. 二、单项选择题（3分*5=15分）1. 设∑是球面2221x y z ++=，而1∑是∑位于第一卦限部分，则曲面积分d z S ∑=⎰⎰（ A ）．（A ）0； （B ）12d z S ∑⎰⎰； （C ）18d z S ∑⎰⎰； （D ）⎰⎰∑1d 4S z ．2．若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则下列级数中发散的是（ C ）.（A ）1n n u ∞=∑； （B ）1n n u ∞=∑； （C ）11()n n u n ∞=+∑； （D ）11()3n n n u ∞=+∑.3．设2lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛半径=R （ A ）. （A ）21； （B ）1； （C ）2； （D ）2.4． 函数221ec x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的（C ）（A ）通解. (B)特解. (C)解但不是通解、特解. (D)不是解.5．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 对应的特征方程有根2，3，则该微分方程通解为（ D ）.(A)12cos 2sin 3y C x C x =+. (B) 212()x y C C x e =+. (C)32x x y e e =+. (D)3212x x y C e C e =+.三、曲线积分与曲面积分（8分*2=16分）1. 沿曲线L 从点)01(，A 到点)10(，B 计算对坐标的曲线积分⎰++Ly x x xy 1)d (d 22，其中L 为折线AOB （O 是原点）．解：法（1）2P Qx y x∂∂==∂∂，所以积分与路径无关，（2分） 选择路径：L x y -=1，则（4分）⎰⎰-++-=++0122d )]1)(1()1(2[1)d (d 2x x x x y x x xy L （6分）=+-=+-=⎰111d )123(12x x x 1． （8分）法（2）OB AO L +=，其中：AO 0=y ； ：OB 0=x ，则⎰⎰⎰+++++=++OBAOLy x x xy y x x xy y x x xy 1)d (d 21)d (d 21)d (d 2222（2分）012120d 00(01)d x x x =⋅++++⎰⎰（6分）1=．（8分） 2. 计算曲面积分()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是z =在0,1z z ==部分下侧.解：补面1221:1z x y =⎧∑⎨+≤⎩方向向上，（2分）记22:1xy D x y +≤，100I I dv Ω+==⎰⎰⎰，（5分） 所以1()0xyD I I x y dxdy =-=--=⎰⎰.（8分）课程名称:高等数学(一、二）（期末考试A ）第 3 页 （共 4 页）学 院: 专 业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――四、级数（8分*3=24分） 1. 证明级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛.解：由n nn n n n 2131111)1(2222=+≥+=+- ，及级数∑∞=121n n 发散， 得级数∑∞=+-121)1(n n n 发散（3分）；又112+=n u n ，有nn u n n u =+≤++=+111)1(1221，及011limlim 2=+=∞→∞→n u n n n ，由莱布尼茨判别法，得∑∞=+-121)1(n n n 收敛．（6分）因此级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛。
15年专升本高数真题
河南省2023年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学题 号一二三四五总 分分 值602050146150注意事项:答题前,考生务必将自己地姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上．本卷地试卷解析必须答在答题卡上,答在卷上无效．一、选择题（每小题2分,共60分）在每小题地四个备选解析中选出一个正确解析,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑．1．已知函数()f x x =,则1[()]f f x=A ．xB ．2xC ．1xD ．21x 2．已知函数84()f x x x =-,则()f x 是 A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．无法判断3．已知函数12()f x x =,则()f x 地定义域是A ．(0,)+∞B ．[0, )+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞4．已知极限0sin()lim 2x mx x→=,则可确定m 地值是A ．1B ．2C ．12D ．05．当0x →时,若212cos 2a x x - ,则可确定a 地值一定是A ．0B ．1C ．12D ．12-6．下列极限存在地是A ．21limx x x →∞+B ．01lim21x x →-C ．01limx x→D ．22limx x x→+∞+7．已知函数sin 0()10a xx f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,则在点0x =处,下列结论正确地是A ．1a =时,()f x 必然连续B ．0a =时,()f x 必然连续C ．1a =时,()f x 不连续D ．1a =-时,()f x 必然连续8．极限30sin limsin x x xx→-地值是A ．16B ．13C ．0D ．∞9．已知函数()()()f x x a g x =-,其中()g x 在点x a =处可导,则 ()f a '=A ．0 B ．()g a ' C ．()g a D ．()f a 10．已知曲线2()f x x =与3()g x x =,当它们地切线相互垂直时,自变量x 地值应为A ．-1B ．316-C ．16-D ．31611．已知函数()||f x x =,则该函数()f x 在点0x =处 A ．连续且可导 B ．不连续C ．连续但不可导D ．左右导数均不存在12．己知函数()cos f x x =在闭区间[0,2π]上满足罗尔定理,那么在开区间(0,2π)内使得等式()0f ξ'=成立地(0,2π)值是A.π2B.πC.0 D ．2π 13．已知函数()f x 在邻域(,)δδ-内连续,当(,0)x δ∈-时,()0f x '<；当(0,)x δ∈时,()0f x '>,则在邻域(,)δδ-内A.(0)f 是极小值B.(0)f 是极大值C.(0)f 不是极值D.(0)f 是最大值14．已知函数()f x 在开区间(,)a b 内有:()0f x '<且()0f x ''>,则在开区间(,)a b 内,()f x 是 A ．单调递减且形状为凸 B ．单调递增且形状为凸 C ．单调递减且形状为凹 D ．单调递增且形状为凹15. 已知曲线52y x =+,则该曲线地拐点(,)x y =A.(0,2)B.(1,3)C.(0,0)D.(1,1)- 16．己知函数()F x 是()f x 地一个原函数,则不定积分(2)d f x x =⎰A.1()2F x C + B.1(2)2F x C + C.()F x C + D.(2)F x C + 17．已知函数0()sin d xf x t t t =⎰,则()f x =A.sin xB.cos x xC.cos x x -D.sin x x 18．已知函数()f x 在闭区间[,]a a -上连续,则定积分4sin d aax x x -=⎰A ．-1B ．0C ．1D ．不确定19．已知定积分1123120d ,d ,I x x I x x ==⎰⎰ 则有A ．12I I >B ．12I I =C ．12I I <D ．不确定 20．已知函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续,且()0f x ≥,则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围成地平面图形地面积是A ．()d baf x x ⎰B ．()d abf x x ⎰C ．|()()|()f b f a b a --D ．不确定21. 已知下列微分方程,则可进行分离变量地是 ．A ．3sin xy y x '-=B ．2(cos )d ()d 0x y x y y x x -++= C ．sin cos y x y '= D ．420yy y x '-+=22．已知微分方程50y y ay '''-+=地一个解为2xe ,则常数a = A ．4 B ．3 C. 5 D ．623．下列各组角中,可以作为向量地一组方向角地是 A·πππ,,446 B·πππ,,432 C·πππ,,434 D·πππ,,43324．己知函数2223z x xy y =+-,则2zx y∂=∂∂A ．2B ．2C ．6D ．325. 某公司要用铁板做成一个容积为27m 。
2015年考研数学一真题及答案(完整版)
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2015年考研数学一真题及答案完整版）
河南省专升本考试高等数学真题2015年
河南省专升本考试高等数学真题2015年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.已知函数f(x)=x，则______A．xB．x 2C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 因为f(x)=x，则，所以C．2.已知函数f(x)=x 8 -x 4，则f(x)是______（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数√C.非奇非偶函数D.无法判断解析：[解析] f(-x)=(-x) 8 -(-x) 4 =x 8 -x 4 =f(x)，即f(x)为偶函数．3.f(x)的定义域是______（分数：2.00）A.(0，+∞)B.[0，+∞)√C.(-∞，0)D.(-∞，0]解析：[解析] f(x)的定义域为[0，+∞)．4.已知极限，则可确定m的值是______A．1B．2C．D．0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析B．5.当x→0时，若，则可确定a的值一定是______A．0B．1C．D．（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] 由，可知2a-cos0=2a-1=0C正确．6.下列极限存在的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] A项，，极限存在；B项，，极限不存在；C项，，极限不存在；C项，，极限不存在．7.x=0处，下列结论正确的是______（分数：2.00）A.a=1时，f(x)必然连续√B.a=0时，f(x)必然连续C.a=1时，f(x)不连续D.a=-1时，f(x)必然连续解析：[解析f(0)=1，故a=1时，f(x)必然连续．8.极限的值是______A．B．C．0D．∞（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析9.已知函数f(x)=(x-a)g(x)，其中g(x)在点x=a处可导，则f"(a)=______（分数：2.00）A.0B.g"(a)C.g(a) √D.f(a)解析：[解析10.已知曲线f(x)=x 2与g(x)=x 3，当它们的切线相互垂直时，自变量x的值应为______A．-1B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] f"(x)=2x，g"(x)=3x 2，两曲线的切线相互垂直，即f"(x)·g"(x)=-1，即2x·3x 2 =1，即11.已知函数f(x)=|x|，则该函数f(x)在点x=0处______（分数：2.00）A.连续且可导B.不连续C.连续但不可导√D.左右导数均不存在解析：[解析] ，故f(x)在x=0处连续．由于f" _(0)≠f" + (0)，故f(x)在x=0处不可导．12.已知函数f(x)=cosx在闭区间[0，2π]上满足罗尔定理，那么在开区间(0，2π)内使得等式f"(ξ)=0成立的ξ值是______A．B．πC．0D．2π（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] f(x)=cosx，f"(x)=-sinx，令f"(x)=-sinx-0，0＜x＜2π，可知x=π，即ξ=π．13.已知函数f(x)在邻域(-δ，δ)内连续，当x∈(-δ，0)时，f"(x)＜0；当x∈(0，δ)时，f"(x)＞0，则在邻域(-δ，δ)内 ______（分数：2.00）A.f(0)是极小值√B.f(0)是极大值C.f(0)不是极值D.f(0)是最大值解析：[解析] 由题可知f(x)在(-δ，0)内单调减少，在(0，δ)内单调增加，又由f(x)在(-δ，δ)上连续，可知f(x)在x=0处取得极小值．14.已知函数f(x)在开区间(a，b)内有：f"(x)＜0且f"(x)＞0，则在开区间(a，b)内，f(x)是______ （分数：2.00）A.单调递减且形状为凸B.单调递增且形状为凸C.单调递减且形状为凹√D.单调递增且形状为凹解析：[解析] f"(x)＜0f(x)为(a，b)内的减函数；f"(x)＞为(n，6)内的凹函数，本题选C．15.已知曲线y=2+x 5，则该曲线的拐点(x，y)=______（分数：2.00）A.(0，2) √B.(1，3)C.(0，0)D.(-1，1)解析：[解析] y"=5x 4，y"=20x 3，令y"=0，得x=0，且x＜0时，y"＜0，x＞0时，y"＞0，故(0，2)为曲线的拐点．16.已知函数F(x)是f(x)的一个原函数，则不定积分∫f(2x)dx=______A．B．C．F(x)+CD．F(2x)+C（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析17.f"(x)=______（分数：2.00）A.sinxB.xcosxC.-xcosxD.xsinx √解析：[解析18.已知函数f(x)在闭区间[-a，a]（分数：2.00）A.-1B.0 √C.1D.不确定解析：[解析] 由于被积函数x 4 sinx为奇函数，故19.______（分数：2.00）A.I1＞I2 √B.I1=I2C.I1＜I2D.不确定解析：[解析] 当0≤x≤1时，x 2≥x 3，且等号只在端点处成立，故I 1＞I 2．20.已知函数y=f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(x)≥0，则由曲线y=f(x)与直线x=a，x=b，y=0所围成的平面图形的面积是______A．B．C．|f(b)-f(a)|(b-a)D．不确定（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由定积分的几何意义可知A正确．21.已知下列微分方程，则可进行分离变量的是______（分数：2.00）A.xy"-3y=sinxB.(x-ycosx)dy+(y+x2)dx=0C.y"=sinxcosy √D.yy"-4y+2x=0解析：[解析] C项中，，分离变量，得C正确．22.已知微分方程y"-5y"+ay=0的一个解为e 2x，则常数a=______（分数：2.00）A.4B.3C.5D.6 √解析：[解析] (e 2x )"=2e 2x，(e 2x )"=4e 2x，代入微分方程，得4e 2x -5×2e 2x +ae 2x =(a-6)e 2x =0，由于e 2x＞0，故a=6．23.下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：[解析] 由于方向角α，β，γ必须满足cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，可以验证只有D项正确．24.已知函数z=2x 2 +3xy-y 2，则（分数：2.00）A.-2B.2C.6D.3 √解析：[解析25.某公司要用铁板做成一个容积为27m 3的有盖长方体水箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为______（分数：2.00）A.54m2 √B.27m2C.9m2D.6m2解析：[解析] 设长方体的长宽分别为a，b，则高为，于是，表面积，令，得由实际问题最值一定存在，可知最小表面积．26.已知平面闭区域D：1≤x 2 +y 2≤16，则二重积分（分数：2.00）A.45π√B.45C.48πD.48解析：[解析27.已知，若将积分次序改变，则______A．B．C．D．（分数：2.00）A. √B.C.D.解析：[解析] 由题，画出积分区域如图所示，交换积分次序，得28.已知L为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段，则曲线积分∫ L (x+y)ds=______ A．2B．C．1D．0（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 由于直线段的方程为x+y=1，故29.下列级数绝对收敛的是______A．B．C．D．（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：[解析] 对于B项，故收敛，原级数绝对收敛．30.已知级数，则下列结论正确的是______ A．若，则收敛B．若的部分和数列{S n }有界，则收敛C．若收敛，则绝对收敛D．若发散，则也发散（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[解析] A项中若，结论不成立；B项中若u n =(-1) n，结论不成立；D项中若，结论不成立；由绝对收敛的定义知，C项正确．二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知函数f(x)=x-1，则f(x)的反函数是y= 1．（分数：2.00）解析：x+1[解析] 由y=x-1，得x=y+1，交换x，y的位置，得反函数为y=x+1．32.极限．（分数：2.00）解析：0[解析] 由于，故为n→∞时的无穷小量，又为有界变量，故33.已知函数x=1是f(x)的 1间断点．（分数：2.00）解析：可去[解析，而f(1)=1，故x=1为f(x)的可去间断点．34.已知函数f(x)=lnx为可导函数，则f(x)在点x=1.01处的近似值为 1．（分数：2.00）解析：0.01[解析] 由f(x0+Δx)≈f(x0)+f"(x0)Δx35.不定积分∫cos(3x+2)dx= 1．（分数：2.00）解析：[解析36.定积分．（分数：2.00）解析：2[解析37.已知函数x=ln(x 2 +y 2 )，则全微分dz| (1，1) = 1．（分数：2.00）解析：dx+dy [解析] ，则38.与向量{-3，4，1)平行的单位向量是 1．（分数：2.00）解析： [解析] 向量的模为故与之平行的单位向量为39.微分方程y"=e x-y的通解是 1．（分数：2.00）解析：y=ln(e x +C) [解析 e y dy=e x dx,两边积分，得e y =e x +C，即通解为y=ln(e x +C)，C为任意常数．40.幂级数R= 1．（分数：2.00）解析：1[解析三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.已知函数f(x)为可导函数，且f(x)≠0，求函数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()43.计算不定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()44.计算定积分（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：45.求过点A(1，2，1)且与直线（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：所求直线的方向向量为故所求直线方程为：46.已知函数z=f(x，y)由方程x 2 +y 2 +z 2 -4z=0所确定，求全微分dz．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：方程两边微分，得2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0整理，得47.计算二重积分D是环形域1≤x 2 +y 2≤4．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()48.求微分方程（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：所求方程通解为49.求幂级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()=|x-1|＜1．∴-1＜x-1＜1，即0＜x＜2．故收敛区间为(0，2)．50.求级数（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：易求得此级数的收敛域为(-1，1)，设，x∈(-1，1)．则两边求导，得故原级数的和函数为四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.计算由曲线x=0，y=e x，y=e所围成的平面图形的面积．（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()52.某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数C(x)=40000+200x-0.002x 2，收入函数R(x)=350x-0.004x 2，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大?（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：公司的利润π-R(x)-C(x)=350x-0.004x 2 -40000-200x+0.002x 2=150x-0.002x 2 -40000．π"=150-0.004x，令π"=0，得唯一驻点x=37500．由于实际问题最大值一定存在，故x=37500时，π取得最大值．即生产37500辆自行车时，公司的利润最大．五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程x 11 -x 7 -x 3 +x=0有一正根x=1，证明方程11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0必有一个小于1的正根．（分数：6.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：[证明] 令f(x)=x 11 -x 7 -x 3 +x，则根据题意可知f(1)=0．因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，故由罗尔定理可知：ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=0，即11ξ10 -7ξ6 -3ξ2 +1=0，故方程11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0必有一个小于1的正根．。
2015河南卷高考数学试题及答案或解析下载_2015高考真题抢先版
2015年高考将于6月6、7日举行，我们将在第一时间收录真题，现在就请先用这套权威预测解解渴吧2014-2015学年度高三第二次大练习数学(文科）参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1、C2、C3、A4、B5、D6、D7、C8、A9、D10、A11、D12、D二、填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13、14、15、1216、∪三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）解：（１）设等差数列的公差为，则依题设．由,可得．由，得，可得．所以．可得．……………………………6分（２）设，则.即，可得，且．所以，可知．所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．所以前项和．…………………………12分18.（本小题满分12分）解：（1）M=13，N =2，p=0.30，=0.04，…………………2分………………4分（2）获一等奖的概率为0.04，获一等奖的人数估计为（人）……7分（3）记获一等奖的6人为，其中为获一等奖的女生，从所有一等奖的同学中随机抽取2名同学共有15种情况如下：，，，，，，，，，，，，，，，………9分女生的人数恰好为1人共有8种情况如下:，，，，，，，，所以恰有1名女生接受采访的概率. ………12分19.（本小题满分12分）解：（1）连BD，设A C交BD于O，由题意。
0.0080.0160.0240.0320.040706080901000.0120.0200.0280.0360.004在正方形ABCD中，，所以,得………5分（2）在棱SC上存在一点E，使设正方形边长，则由SD⊥平面PAC可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。
连B N。
在中知，又由于,故平面，得,由于,故.………12分20.（本小题满分12分）解：(1)设直线的方程为：，即，由垂径定理，得：圆心到直线的距离由点到直线距离公式，得：化简得：，解得或。
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高等数学模拟题
第一部分 客观题
一、判断题
1、 函数x x x f sin )(=在),(+∞-∞上有界。
( 错 B)
2、错B
3、函数的极值点一定是函数的驻点。
( 错 B )
4、对A
5、设)(x f 是一个连续的奇函数，则0)(11=⎰
-dx x f 。
（ 对A ） 二、单项选择题
6、 、定积分 dx x ⎰--2
/2/2sin 1ππ的值是： （ D ）
（A ）0； (B) 1； (C) 2-； (D) 2；
7、在下列指定的变化过程中，（ C ）是无穷小量． (A) )(1sin ∞→x x x (B) )0(1sin →x x (C) )0()1ln(→+x x (D) )(e 1
∞→x x
8、设(ln )1f x x '=+，则()f x =（ C ）.
(A) 22x x c ++ (B)22x x e e c ++ (C)x x e c ++ (D)ln (2ln )2x x +
9、.曲线2211x x
e e y ---+=（ D ）
(A) 无渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线，又有铅直渐近线
10 、 C
第二部分 主观题
一、求解下列各题
1
2、设()y y x =由方程组cos sin sin cos x t t t y t t t
=+⎧⎨=-⎩确定，求dy dx 。
解：
3、求曲线 2(1)y x x =- 的凹凸区间。
解：Y=(x-1)²x 求二阶导数，再找零点 x= - (1/2) ，以所找零点将定义域区间划
分为2个区间，(-∞，-(1/2))和((-1/2)，+∞)，在前一个区间，f ' ' <0 ,为凹区间，后一个区间为凸区间。
在x= - (1/2) 的左右，其二阶导数变号，故拐点为(-(1/2), 7/8)
4、求
4
e ⎰。
5、设
2
2
2
()
()
4
x
x f t dt
F x
x
=
-
⎰
，其中)
(x
f为连续函数，求
2
lim()
x
F x
→。
二、应用题
1、求由曲线2
=与直线2
y x
=+所围成的平面图形的面积。
y x
解：y=x²与y=x+2的交点为：(-1,1), (2,4)
则由曲线y=x²与y=x+2围成图形的面积等于y=x+2-x²在[-1,2]上的定积分. 所以：S=∫[-1,2]（x+2-x²）dx
=x²/2+2x-x³/3,l[-1,2]
=(2+4-8/3)-(1/2-2+1/3)
=(6-8/3+2-5/6)
=8-21/6 =27/6 =4.5
三、证明题。