利用期望与方差的性质求期望或方差

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高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧

高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。

本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。

通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。

2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。

这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。

二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。

通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。

2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。

这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。

三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。

概率分布中的期望与方差计算技巧

定性
质量控制：在生产过程中，方差用于衡量产品质量的一致性和稳定性，通过控制产品质量指标的方差来提高产
品质量
社会科学研究：在社会科学研究中，方差用于分析调查数据的变异性和不确定性，以及比较不同样
本之间的差异
期望与方差在金融领域的应用
风险评估：用于衡量投资组合的风险和预期收益
资本资产定价模型（CAPM）：用于确定资产的预期收益率，并评估市场风险
定义：离散概率分布的方差是各个可能结果与期望值的差的平方的期望值。
计算公式：方差 = Σ (p(x) * (x μ)²)，其中p(x) 是概率，μ是期望值。
举例：假设一个随机变量X只取两个值，X=0的概率为 0.5，X=1的概率为0.5，则方差 = (0.5 * (0 - μ)² + 0.5 * (1 - μ)²)。
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资产定价：为金融资产（如股票、债券等）定价，以确定其内在价值
投资组合优化：通过期望和方差等参数，选择最佳投资组合以最大化预期收益并最小化风险
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方差的定义
方差是衡量数据点与平均值之间离散程度的统计量。
方差计算公式为：方差 = Σ((数据点 - 平均值)^2) / 数据点个数。
方差的值越小，说明数据点越接近平均值，离散程度越小；方差的值越大，说明数据点离散程度越大。
方差在概率分布中表示随机变量取值的不确定性程度。
离散概率分布的方差计算
注意事项：可能不是整数
连续概率分布的期望值计算
定义：连续概率分布的期望值是所有可能取值的加权平均值，其中每个取值的权重为其概率密度函数在该点的

概率与统计中的期望与方差计算

概率与统计中的期望与方差计算概率与统计是一门研究随机现象规律的学科，其中期望与方差是重要的概念与计算方法。

期望和方差是衡量随机变量分布特征的统计量，它们在各个领域的应用广泛。

本文将介绍期望和方差的定义、计算公式以及在实际问题中的应用。

一、期望的定义与计算在概率论中，期望是随机变量取值的平均数，也可以看作是随机变量的加权平均。

设X是一个离散型随机变量，其取值为x1，x2，...，xn，对应的概率为p1，p2，...，pn。

则随机变量X的期望E(X)定义为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn对于连续型随机变量，期望的计算稍有不同。

若X的概率密度函数为f(x)，则其期望E(X)定义为：E(X) = ∫(x*f(x))dx （积分范围为整个取值区间）在实际计算中，可以利用期望的线性性质简化计算。

设a、b为常数，X和Y分别是随机变量，则有：E(aX + bY) = a*E(X) + b*E(Y)同时，期望也满足可加性（若X和Y相互独立）：E(X + Y) = E(X) + E(Y)二、方差的定义与计算方差是用来衡量随机变量取值与其期望之间的离散程度。

设X是一个随机变量，其期望为E(X)，则随机变量X的方差Var(X)定义为：Var(X) = E((X - E(X))^2)方差是随机变量离散程度的平方，因此方差的单位为原随机变量的单位的平方。

方差越大，表示离散程度越大，反之亦然。

利用方差的性质，我们可以将方差表示为：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2方差也满足线性性质：设a、b为常数，X为随机变量，则有：Var(aX + b) = a^2*Var(X)三、期望与方差的应用期望和方差是概率与统计中重要的工具，在实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用例子：1. 投资决策：在金融领域，投资者关注投资的风险与收益。

期望和方差可以作为衡量投资回报的重要指标，投资组合的预期收益和风险可以通过这两个统计量进行计算与比较。

协方差公式性质证明过程_期望方差协方差及相关系数的基本运算

协方差公式性质证明过程_期望方差协方差及相关系数的基本运算期望（Expected Value）是概率论与数理统计中的重要概念之一，表示随机变量的平均值。

设X是一个随机变量，其概率密度函数为f(x)，则X的期望定义为：E(X) = ∫xf(x)dx方差（Variance）是测量随机变量离其期望的平均距离的指标。

设X是一个随机变量，其期望为μ，则X的方差定义为：Var(X) = E((X-μ)²) = E(X²) - (E(X))²协方差（Covariance）衡量两个随机变量之间的线性相关性。

设X和Y为两个随机变量，其期望分别为μX和μY，则X和Y的协方差定义为：Cov(X, Y) = E((X-μX)(Y-μY)) = E(XY)-μXμY相关系数（Correlation Coefficient）是用来刻画两个随机变量之间相关关系的指标，它是协方差标准化的结果。

设X和Y为两个随机变量，其协方差为Cov(X, Y)，则X和Y的相关系数定义为：ρ(X, Y) = Cov(X, Y) / (√(Var(X)) * √(Var(Y)))现在我们来证明协方差的一些性质。

性质1：Cov(X, X) = Var(X)证明：Cov(X, X) = E((X-μX)(X-μX)) = E((X-μX)²) = Var(X)性质2：Cov(X, Y) = Cov(Y, X)证明：Cov(X, Y) = E((X-μX)(Y-μY)) = E((Y-μY)(X-μX)) = Cov(Y, X)性质3：Cov(aX, Y) = aCov(X, Y)，其中a为常数证明：Cov(aX, Y) = E((aX-μ(aX))(Y-μY)) = E(a(X-μX)(Y-μY)) =aE((X-μX)(Y-μY)) = aCov(X, Y)性质4：Cov(X, Y + Z) = Cov(X, Y) + Cov(X, Z)证明：Cov(X, Y + Z) = E((X-μX)(Y+Z-μ(Y+Z))) = E((X-μX)(Y-μY+Z-μZ))=E((X-μX)(Y-μY))+E((X-μX)(Z-μZ))= Cov(X, Y) + Cov(X, Z)性质5：Cov(aX + b, Y) = aCov(X, Y)，其中a和b为常数证明：Cov(aX + b, Y) = E((aX + b - μ(aX + b))(Y-μY)) = aE((X-μX)(Y-μY)) = aCov(X, Y)性质6：Cov(X + Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)证明：Cov(X + Y, Z) = E(((X + Y)-μ(X + Y))(Z-μZ)) = E((X-μX)(Z-μZ) + (Y-μY)(Z-μZ))=E((X-μX)(Z-μZ))+E((Y-μY)(Z-μZ))= Cov(X, Z) + Cov(Y, Z)以上就是协方差的一些性质的证明过程。

二项分布的数学期望和方差公式

二项分布的数学期望和方差公式二项分布是概率论中重要的离散概率分布之一，常用于描述重复进行相同试验的结果情况。

数学期望和方差是二项分布的重要统计量，本文将详细介绍二项分布的数学期望和方差的公式。

首先，我们来定义二项分布。

设有n次重复独立的试验，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p，试验结果只有成功或者失败两种情况。

则二项分布是描述n次试验中成功次数的概率分布。

1.二项分布的数学期望数学期望是描述随机变量均值的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的中心位置。

对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。

二项分布的数学期望记为E(x)，表示n次试验中成功次数的均值。

根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的期望可以表示为：E(x) = np其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

2.二项分布的方差方差是描述随机变量分散程度的数理统计指标，可以看作是随机变量分布的离散程度。

对于二项分布，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。

二项分布的方差记为Var(x)，表示n次试验中成功次数的离散程度。

根据二项分布的定义，每次试验中成功的概率为p，失败的概率为q，那么成功次数的方差可以表示为：Var(x) = npq方差的计算方法是将每次试验成功的概率乘以失败的概率，再乘以试验次数。

另外，二项分布的标准差可以通过方差开方得到，标准差是描述随机变量分布离散程度的一个重要指标。

3.二项分布的性质对于二项分布的数学期望和方差，有以下几个性质：性质1：数学期望的性质-当试验次数n固定时，成功概率p越大，数学期望越大。

-当成功概率p固定时，试验次数n越多，数学期望越大。

性质2：方差的性质-当试验次数n固定时，随着成功概率p的增加，方差先减小后增大，形状类似一个U型曲线。

-方差的计算方法中，成功概率p和失败概率q都会影响方差的大小。

成功概率p越大，失败概率q越小，方差越小。

随机变量的数学期望和方差

随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。

对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。

一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。

通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。

对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。

以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。

则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。

二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。

通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。

对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。

则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。

数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即()1k k k E X x p ∞==∑。

设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。

性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。

2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。

(常考题)人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测题(有答案解析)(4)

一、选择题1．将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1、2、3、4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（3ξ=表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则()E ξ、(21)E ξ+分别等于（）A ．2516、258 B ．2516、338 C ．32、3D ．32、4 2．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（）A ．73B ．53C ．13D ．163．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，成等差数列，则D X 的最大值为（） A ．29B ．59C ．34D ．234．元旦游戏中有20道选择题，每道选择题给了4个选项（其中有且只有1个正确）.游戏规定：每题只选1项，答对得2个积分，否则得0个积分.某人答完20道题，并且会做其中10道题，其它试题随机答题，则他所得积分X 的期望值()E X =（） A ．25B ．24C ．22D ．205．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．456．在一个袋子中装有6个除颜色外完全相同的球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，从中依次不放回地抽取2个球，则在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球的概率为（）A．15B．25C．35D．457．已知三个正态分布密度函数()()2221e2iixiixμσϕπσ--=（, 1,2,3i=）的图象如图所示则（）A．123123==μμμσσσ<>，B．123123==μμμσσσ><，C．123123μμμσσσ=<<=，D．123123==μμμσσσ<<，8．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，其密度函数2222()xf x e-μ-σ=π⋅σ（）x∈R（）曲线如图所示，正态变量X在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，则成绩X位于区间(52,68]的人数大约是（）A．997B．954C．683D．3419．若随机变量()100,,X B p X~的数学期望()24E X=，则p的值是( )A．25B．35C．625D．192510．下列关于正态分布2(,)(0)N μσσ>的命题： ①正态曲线关于y 轴对称；②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”； ③设随机变量~(2,4)X N ，则1()2D X 的值等于2；④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移. 其中正确的是（） A ．①②B ．③④C ．②④D ．①④11．2018年6月18日，是我国的传统节日“端午节”.这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅.小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为( ) A ．14B ．34C ．110D ．31012．将两枚骰子各掷一次，设事件A ={两个点数都不相同}，B ={至少出现一个3点}，则(|)P B A =（）A ．13B ．518C ．1011D ．12二、填空题13．游乐场某游戏设备是一个圆盘，圆盘被分成红色和绿色两个区域，圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针，且指针受电子程序控制，前后两次停在相同区域的概率为14，停在不同区域的概率为34，某游客连续转动指针三次，记指针停在绿色区域的次数为X ，若开始时指针停在红色区域，则()E X =______.14．已知随机变量~(2,)(01)B p p ξ<<，当()()E D ξξ⋅取最大值时，p =________． 15．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．16．下列说法中，正确的有_______．①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而()26.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N a ，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．17．已知随机变量X 的分布列为(0,0)a b >>，当D(X)最大时，E(X)=_______________．18．以下4个命题中，所有正确命题的序号是______.①已知复数()12i z i i +=-，则z =；②若()727012731x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1234567127a a a a a a a ++++=++ ③一支运动队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，则样本中男运动员有16人；④若离散型随机变量X 的方差为()3D X =，则()2112D X -=.三、解答题19．已知某射手射中固定靶的概率为34，射中移动靶的概率为23，每次射中固定靶､移动靶分别得1分､2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射手进行3次打靶射击：向固定靶射击1次，向移动靶射击2次.（1）求“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列和数学期望.20．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄､蓝两种颜色的单车，已知黄､蓝两种颜色单车的投放比例为1:2.监管部门为了解两种颜色单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车数量用ξ表示，求ξ的分布列及数学期望.21．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ，求X 的分布列及数学期望． 22．“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在175cm 及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.23．某单位招聘员工时，要求参加笔试的考生从5道A类题和3道B类题共8道题中任选3道作答.（1）求考生甲至少抽到2道B类题的概率；（2）若答对A类题每道计1分，答对B类题每道计2分，若不答或答错，则该题计0分.考生乙抽取的是1道A类题，2道B类题，且他答对每道A类题的概率为23，答对每道B类题的概率是12，各题答对与否相互独立，用X表示考生乙的得分，求X的分布列和数学期望.24．为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：年龄[)20,28[)28,36[)36,44[)44,52[)52,60接受的人数1461528170.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？44岁以下 44岁及44岁以上总计接受不接受总计8人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望.20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001 0k2.7063.841 6.635 10.82822()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++25．2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生成绩的中位数；（2）若按照分层随机抽样从成绩在[)(]80,90,90,100的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记x 为3人中成绩在[]90,100的人数，求x 的分布列和数学期望. 26．共享交通工具的出现极大地方便了人们的生活，也是当下一个很好的发展商机.某公司根据市场发展情况推出共享单车和共享电动车两种产品.市场调查发现，由于两种产品中共享电动车速度更快，故更受消费者欢迎，一般使用共享电动车的概率为23，使用共享单车的概率为13.该公司为了促进大家消费，使用共享电动车一次记2分，使用共享单车一次记1分.每个市民各次使用共享交通工具选择意愿相互独立，市民之间选择意愿也相互独立. （1）从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，记总得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）记某一市民已使用该公司共享交通工具的累计得分恰为n 分的概率为n B (比如：1B 表示累计得分为1分的概率，2B 表示累计得分为2分的概率，n *∈N )，试探求n B 与1n B -之间的关系，并求数列{}n B 的通项公式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可求得()E ξ，利用数学期望的性质可求得(21)E ξ+. 【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3、4，()1223333333371464C C C P ξ⨯+⨯+===，()1223333322192464C C C P ξ⨯+⨯+===， ()123333373464C C C P ξ++===，()3114464P ξ===，所以，()3719712512346464646416E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，因此，()()2533212121168E E ξξ+=+=⨯+=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=）进行计算；（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.2．A解析：A 【分析】由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果．【详解】由随机变量X 的分布列得：11123m ++=，解得16m =， ()11111012363E X ∴=-⨯+⨯+⨯=-，23Y X =+，()()2723333E Y E X ∴=+=-+=．故选：A ．【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D解析：D 【分析】分别运用等差数列的中项性质和概率的性质，以及离散型随机变量的期望和方差公式，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值．【详解】解：因为a ，b ，c 成等差数列，∴2b a c =+，∵1a b c ++=，∴13b =，23c a =-， ∴()823E X a =-，2422()4969833E X a b c a a a =++=++-=-则()()()22D XE XE X =-22821224439333a a a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭，当13a b c ===时取等号．则()D X 的最大值为23. 故选：D. 【点睛】本题考查离散型随机变量的期望和方差的求法，考查等差数列的中项性质，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．4．A解析：A 【分析】设剩余10题答对题目为Y 道,则可表示出总的得分情况为202X Y =+.由二项分布可先求得()E Y ,即可得所得积分X 的期望值()E X 【详解】设剩余10题答对题目为Y 个,有10道题目会做,则总得分为202X Y =+,且1~10,4Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭由二项分布的期望可知()110 2.54E Y =⨯= 所以()()2202 2.52025E X E Y =+=⨯+= 故选:A 【点睛】本题考查了离散型随机变量的简单应用,二项分布的数学期望求法,属于中档题.5．A解析：A 【分析】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，计算出事件AB 的概率和事件A 的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为()()()P AB P B A P A =.【详解】记事件:A 甲获得冠军，事件:B 比赛进行三局，事件:AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，由独立事件的概率乘法公式得()12313944432P AB C =⋅⋅⋅=，对于事件A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件AB ，()2392743232P A ⎛⎫∴=+=⎪⎝⎭，()()()932132273P AB P B A P A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，所求概率为()()()|P AB P B A P A =，求解即可.【详解】设抽取第一个球是红球的事件为A ，第二个球是黄球的事件为B ，则()16P A =，()1216515P AB =⨯=，则所求概率为()()()25P AB P B A P A |==. 故选B. 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生对条件概率知识的掌握，属于基础题.7．D解析：D 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等故选D ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．8．C解析：C 【解析】分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数. 详解：由图得8μσ=== 因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%，对应人数为68.3%1000683⨯=，选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.9．C解析：C 【解析】分析：由题意结合二项分布数学期望的计算公式求解实数p 的值即可. 详解：随机变量()100,,X B p ~则X 的数学期望()100E X p =，据此可知：10024p =，解得：625p =. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查二项分布的数学期望公式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．C解析：C 【解析】分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．详解：①正态曲线关于x μ=轴对称，故①不正确，②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；正确； ③设随机变量()~2,4X N ，则12D X ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值等于1；故③不正确；④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.正确. 故选C.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．11．A解析：A 【解析】分析：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅”，求出22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（），利用()()|P AB P B A P A =（），可得结论．详解：设事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =“取到的两个都是腊肉馅馅”，由题意，22223241,10101010C C C P A P AB +====（），（），()()1|.4P AB P B A P A ∴==（）故选A ．点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键．12．A解析：A 【解析】分析：利用条件概率求(|)P B A .详解：由题得2265()30,()3010,n A A n AB A ===-=所以(|)P B A =()101.()303n AB n A ==故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =, (|)P B A =()()n AB n A . 二、填空题13．【分析】依题意画出数形图即可求出的分布列即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则的分布列如下： 0 1 2 3 故故答案为：【点睛】本题考查概率的计算随机解析：2716【分析】依题意画出数形图，即可求出X 的分布列，即可求出数学期望；【详解】解：该游客转动指针三次的结果的树形图如下：则X 的分布列如下：X0 1 2 3P164 2164 3964 364故()01236464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 故答案为：2716【点睛】本题考查概率的计算，随机变量的分布列和数学期望，解答的关键是画出树形图.14．【分析】利用二项分布数学期望方差的计算公式先列出然后构造函数利用导数求解最大值及取得最值时的值【详解】因为所以故设函数则令得或（舍）故当时当所以在上递增上递减故在处取最大值其最大值为故答案为：【点睛解析：23【分析】利用二项分布数学期望、方差的计算公式先列出()()E D ξξ⋅，然后构造函数，利用导数求解最大值及取得最值时p 的值. 【详解】因为~(2,)(01)B p p ξ<<，所以()2E p ξ=，()()21D p p ξ=-，故()2()()41E D p p ξξ⋅=-，设函数()()()232414401f p p p p pp =-=-+<<，则()2128f p p p '=-+，令()0f p '=得，23p =或0p =（舍），故当()0f p '>时，203p <<，当()0f p '<，213p <<，所以()f p 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，2,13⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故()f p 在23p =处取最大值，其最大值为32222164433327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：23. 【点睛】本题考查二项分布的数学期望、方差的运算，考查利用导数分析函数的最值，难度一般.15．05【解析】依题意有解得解析：0.5 【解析】依题意有()10.25p p -=，解得0.5p =.16．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小时只能解析：②④ 【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】回归直线ˆˆˆybx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误；由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；故答案为：②④ 【点睛】本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.17．【分析】先计算再计算当时最大得到答案【详解】由题知故当时最大此时故答案为【点睛】本题考查了期望和方差意在考查学生的计算能力解析：54【分析】先计算13b a =-，再计算()24E X a =-，2()166D X a a =-+，当316a =时()D X 最大,得到答案.由题知13()22(13)24b a E X a a a=-∴=+-=-,2222()(42)(41)2(4)(13)166D X a a a a a a a a =-⋅+-⋅+⋅-=-+,故当316a =时()D X 最大, 此时5()4E X = 故答案为54【点睛】本题考查了期望和方差，意在考查学生的计算能力.18．①③④【分析】根据复数的模的运算可知①正确；代入所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确【详解】①则①正确；②令则；令则②错误；③抽样比为：则男运动员应抽取解析：①③④ 【分析】根据复数的模的运算可知z z ==，①正确；代入0x =，1x =，所得式子作差即可知②正确；利用分层抽样原则计算可知③正确；根据方差的性质可知④正确. 【详解】①()11212i i z i i i ++==-+，则111212i i z z i i ++=====++，①正确； ②令0x =，则()7011a =-=-；令1x =，则0123456772a a a a a a a a +++++=++1234567721129a a a a a a a ∴+++++=+=+，②错误；③抽样比为：28256427=+，则男运动员应抽取：256167⨯=人，③正确；④由方差的性质可知：()()2143412D X D X -==⨯=，④正确. 本题正确结果：①③④ 【点睛】本题考查命题的真假性的判断，涉及到复数模长运算、二项式系数和、分层抽样、方差的性质等知识，属于中档题.三、解答题19．（1）13；（2）分布列答案见解析，数学期望：4112.（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，得到D ABC BC A =+，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】（1）记“该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次”为事件D ，则()34P A =，()()23P B P C ==， D ABC BC A =+，其中ABC C AB +互斥，,,,,A B C B C 相互独立，从而()()()()322114336P ABC P A P B P C ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，则()()()()13P D P ABC ABC P ABC P ABC =+=+=，所以该射手射中固定靶且恰好射中移动靶1次的概率为13. （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，5，则()()()()()3221011143336P X P ABC P A P B P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====---=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()3111143312P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=，1211121(2)()()()()()()()4334339P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=，()()()()()()()()321312134334333P X P ABC ABC P A P B P C P A P B P C ==+=+=⨯⨯+⨯⨯=()()()()()122144339P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,3221(5)()()()()4333P X P ABC P A P B P C ====⨯⨯=,该射手的总得分X 的分布列为随机变量X 的数学期望()012345.3612939312E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】求随机变量X 的期望与方差的方法及步骤：理解随机变量X 的意义，写出X 可能的全部值；求X 取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；由期望和方差的计算公式，求得数学期望()(),E X D X ；若随机变量X 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解. 20．（1）80243；（2）分布列答案见解析，数学期望：4081. 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列和期望. 【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为23，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝色单车的个数”，则X 服从二项分布，即2~5,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以抽取的5辆单车中有3辆是蓝色单车的概率为3235218033243C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）随机变量ξ的可能取值为：0､1､2､3､4.()203p ξ==，()1221339p ξ==⨯=，()212223327p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()312233381p ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()4114381p ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列如下表所示：()2222140012343927818181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.21．(1)0.28；(2)分布列见解析，()0.6E X =. 【分析】(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；(2)首先确定X 可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可. 【详解】(1)设部件1需要调整为事件A ，部件2需要调整为事件B ，部件3需要调整为事件C ，由题意可知：()()()0.1,0.2,0.3P A P B P C ===. 部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：()()11110.90.810.720.28P A P B ⎡⎤⎡⎤---=-⨯=-=⎣⎦⎣⎦.(2)由题意可知X 的取值为0，1,2,3.且：()()()()0111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==---⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()10.110.210.3=-⨯-⨯-0.504=，()()()()111P X P A P B P C ⎡⎤⎡⎤==--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦()()()11P A P B P C ⎡⎤⎡⎤+--⎣⎦⎣⎦0.10.80.7=⨯⨯0.90.20.7+⨯⨯0.90.80.3+⨯⨯ 0.398=，()()()()21P X P A P B P C ⎡⎤==-⎣⎦()()()1P A P B P C ⎡⎤+-⎣⎦()()()1P A P C P B ⎡⎤+-⎣⎦0.10.20.7=⨯⨯0.10.80.3+⨯⨯0.90.20.3+⨯⨯ 0.092=.()()()()30.10.20.30.006P X P A P B P C ===⨯⨯=，故X 的分布列为：其数学期望：0.50400.39810.09220.00630.6E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.思路点晴：求离散型随机变量X 的数学期望的一般步骤：（1）先分析X 的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到X 的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X 的数学期望. 22．（1）168.5cm ；（2）710；（3）分布列见解析，98. 【分析】（1）根据茎叶图得到文学院志愿者身高，再根据中位数的定义可求得结果；（2）根据分层抽样得到5人中“高个子”和“非高个子”的人数，再根据对立事件的概率公式可求得结果；（3）ξ的可能取值为0、1、2、3，根据超几何分布的概率公式可得ξ的可能取值的概率，从而可得分布列和数学期望. 【详解】（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181，其升高的中位数为：168169168.52+=cm ；（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人， ∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人，则从这5人中选2人，至少有1人为高个子的概率23257110C P C =-=；（3）由题可知：文学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0、1、2、3，故305338105(0)5628C C P C ξ⋅====，2153383015(1)5628C C P C ξ⋅====， 12533815(2)56C C P C ξ⋅===，0353381(3)56C C P C ξ⋅===，即ξ的分布列为：所以19()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】关键点点睛：掌握中位数的定义、分层抽样的特点以及超几何分布的概率公式是本题的解23．（1）27；（2）分布列见解析；期望为83.【分析】（1）利用组合数计算考生甲至少抽到2道B 类题的种数，利用古典概型的概率计算公式可求概率.（2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，分别计算出各自的概率后可得分布列，再利用公式计算期望即可. 【详解】解：（1）设“考生甲至少抽到2道B 类题”为事件A ，则213353382()7C C C P A C +== （2）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，所以2211(0)113212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2211(1)1326P X ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭，122111(2)113226P X C ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122111(3)13223P X C ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭， 222211(4)1C 3212P X ⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2211(5)326P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为所以123456631263EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：离散型随机变量的分布列的计算，注意理解每个取值的含义，并借助排列组合的知识计算相应的概率.24．（1）联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异；（2）分布列答案见解析，数学期望为32.【分析】（1）列出22⨯列联表，然后代入公式计算2K ，然后与表格的数据比较大小即可判断；（2）根据分层抽样判断出44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，然后判断X 的可能取值，利用超几何分布计算概率即可.【详解】解：（1）由题可得22⨯联表如下：∵2100(3554515)25 6.25 3.841505080204K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯. ∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.（2）由题意可知，抽取的8人中44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，所以X 的可能取值有0，1，2.0262281(0),28C C P X C ===1126283(1),7C C P X C ===262815(2),28C P X C === 所以随机变量X 的分布列为：()012287282E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】易错点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．25．（1）0.016a =，73.5分；（2）分布列见解析，1.【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得0.016a =，再结合中位数的计算方法，即可求解；（2）根据题意，得出在[80,90)抽取了4人，[90,100]抽取了2人，得到随机变量ξ的取【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，可得(0.0120.0240.040.008)101a ++++⨯=，解得0.016a =，由[50,60),[60,70)的概率之和为(0.0120.024)100.36+⨯=，所以中位数为0.14701073.50.4+⨯=（分）. （2）由题意，可得在[80,90)共有0.01610508⨯⨯=（人），在[90,100]共有0.00810504⨯⨯=（人），所以在[80,90)抽取了4人，在[90,100]抽取了2人，所以随机变量ξ的取值为0,1,2，可得3211244242333666131(0),(1),(2)555C C C C C P P P C C C ξξξ=========，所以数学期望为()0121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1. 26．（1）分布列答案见解析，数学期望：5；（2）1213n n B B -=-+，13425153n n B -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据题意，得到总得分为随机变量ξ的可能取值为3,4,5,6，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得其数学期望；（2）已调查过的累计得分恰为n 分的概率为n B ，得出1213n n B B -+=，结合等比数列的定义，得到35nB ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】（1）由题意，从首次使用共享交通工具的市民中随机抽取3人，则总得分为随机变量ξ的可能取值为3,4,5,6，。

概率论中的期望与方差计算技巧

概率论中的期望与方差计算技巧概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机事件的规律性。

在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们能够帮助我们描述和分析随机变量的特征和变异程度。

本文将介绍一些计算期望和方差的技巧，帮助读者更好地理解和应用概率论。

首先，我们来了解一下期望的概念。

在概率论中，期望是随机变量的平均值，它是对随机变量取值的加权平均。

对于离散型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，X表示随机变量，x表示随机变量的取值，P(X=x)表示随机变量取值为x的概率。

这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率，然后将所有结果相加，即可得到期望。

对于连续型随机变量，期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)表示随机变量的概率密度函数。

这个公式的意义是，将每个取值乘以其对应的概率密度，然后对所有结果进行积分，即可得到期望。

接下来，我们来讨论一下方差的计算技巧。

方差是用来衡量随机变量的离散程度的指标，它表示随机变量与其期望之间的差异。

方差的计算公式为：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，E(X)表示随机变量的期望。

这个公式的意义是，将随机变量与其期望的差值平方，然后对所有结果进行加权平均，即可得到方差。

在实际计算中，计算期望和方差可能会遇到一些复杂的情况。

下面，我们将介绍一些常见的计算技巧，帮助读者更好地应用概率论。

首先，对于独立随机变量的期望和方差计算，可以利用期望和方差的性质进行简化。

如果X和Y是独立随机变量，那么它们的期望和方差的计算可以分别简化为：E(X+Y) = E(X) + E(Y)Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)这个性质在实际计算中非常有用，可以简化复杂问题的求解过程。

其次，对于二项分布和泊松分布的期望和方差计算，可以利用分布的特性进行简化。

对于二项分布，期望和方差的计算公式为：E(X) = npVar(X) = np(1-p)其中，n表示试验次数，p表示每次试验成功的概率。

正态分布的数学期望与方差

正态分布的数学期望与方差正态分布：密度函数为：分布函数为的分布称为正态分布，记为N(a, σ2).密度函数为：或者称为n元正态分布。

其中B是n阶正定对称矩阵，a是任意实值行向量。

称N(0,1)的正态分布为标准正态分布。

（1）验证是概率函数（正值且积分为1）（2）基本性质：（3）二元正态分布：其中，二元正态分布的边际分布仍是正态分布：二元正态分布的条件分布仍是正态分布：即（其均值是x的线性函数）其中r可证明是二元正态分布的相关系数。

（4）矩，对标准正态随机变量，有（5）正态分布的特征函数多元正态分布（1）验证其符合概率函数要求（应用B为正定矩阵，L为非奇异阵，然后进行向量线性变换）（2）n元正态分布结论a) 其特征函数为：b) 的任一子向量,m≤n 也服从正态分布，分布为其中，为保留B 的第，…行及列所得的m阶矩阵。

表明：多元正态分布的边际分布还是正态分布c) a,B分别是随机向量的数学期望及协方差矩阵，即表明：n元正态分布由它的前面二阶矩完全确定d) 相互独立的充要条件是它们两两不相关e) 若，为的子向量，其中是，的协方差矩阵，则是，相应分量的协方差构成的相互协方差矩阵。

则相互独立的充要条件为＝0f) 服从n元正态分布N(a,b)的充要条件是它的任何一个线性组合服从一元正态分布表明：可以通过一元分布来研究多元正态分布g) 服从n元正态分布N(a,b),C为任意的m×n阶矩阵，则服从m元正态分布表明：正态变量在线性变换下还是正态变量，这个性质简称正态变量的线性变换不变性推论：服从n元正态分布N(a,b)，则存在一个正交变化U，使得是一个具有独立正态分布分量的随机向量，他的数学期望为Ua，而他的方差分量是B的特征值。

条件分布若服从n元正态分布N(a,b)，，则在给定下，的分布还是正态分布，其条件数学期望：(称为关于的回归)其条件方差为：（与无关）。

期望-方差公式-方差和期望公式

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载期望-方差公式-方差和期望公式地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容期望与方差的相关公式-、数学期望的来由早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目，题目是这样的：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。

当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为1/2+(1/2)*(1/2)=3/4，或者分析乙获胜的概率为(1/2)*(1/2)＝1/4。

因此由此引出了甲的期望所得值为100*3/4=75法郎，乙的期望所得值为25法郎。

这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。

定义1 若离散型随机变量可能取值为（=1，2，3 ，…），其分布列为（=1，2，3，…），则当<时，则称存在数学期望，并且数学期望为E=，如果=，则数学期望不存在。

定义2 期望：若离散型随机变量ξ，当ξ=xi的概率为P（ξ=xi）=Pi （i=1，2，…，n，…），则称Eξ=∑xi pi为ξ的数学期望，反映了ξ的平均值.期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.Eξ由ξ的分布列唯一确定.二、数学期望的性质（1）设C是常数，则E(C)=C 。

（2）若k是常数，则E(kX)=kE(X)。

（3）。

方差的定义前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量一个重要的数字特征。

但是在一些场合下，仅仅知道随机变量取值的平均值是不够的，还需要知道随机变量取值在其平均值附近的离散程度，这就是方差的概念。

2022-2023学年百校联盟高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

20．已知，，且函数有奇偶性，求a，b的值
21．设不等式的解集为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.
（1）若，求；
（2）命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
故选D
【点睛】本题是基础题，考查圆锥的特征，底面面积，侧面积的求法，考查计算能力
10、A
【解析】由题图知，，最小正周期，所以，所以 .因为图象过点，所以，所以，所以，令，得，所以，故选A.
【考点】三角函数的图象与性质
【名师点睛】根据图象求解析式问题的一般方法是：先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值
2．若，，则角的终边在
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3．将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，则是
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
5．已知定义在上的奇函数满足当时，，则关于的函数，（）的所有零点之和为（）
A. B.
C. D.
6．设集合M＝{x|x＝ ×180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝ ×180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A.M＝NB.N⊆M
C.M⊆ND.M∩N＝∅
7．已知函数，则（）
A.3B.2

多项式分布的期望和方差

多项式分布的期望和方差
有限微积分中，多项式分布是一种常用的概率分布。

它由一个有限数量的有限状态组成，每一状态都有固定的概率。

多项式分布具有许多独特的性质，其中一个最重要的性质就是它的期望和方差。

期望是一种特殊的数学量度，可以衡量特定概率分布的中心值。

而方差则反映了这一概率分布的方差，是衡量分布离散性的关键参数。

多项式分布的期望和方差可以用相应的公式求得。

根据多项式概率分布的定义，期望是概率乘以可能的值的总和，即奇异期望：即E(X)=∑Xi*pi ,其中Xi为可能出现的值，pi为Xi 对应的概率。

方差的公式为VAR(X)=∑[Xi–E(X)(Xi–E(X))]*pi , 其中Xi和E(X)的含义与期望的公式相同。

因此，多项式分布的期望和方差可以用相应的公式求得。

期望体现了概率分布的中心值，方差为算法衡量离散程度提供了有效的指标。

通过熟练掌握多项式分布的期望和方差计算方法，对包含有限状态的各类概率分布进行精确计算更容易。

只有了解多项式分布期望和方差的知识，我们才能正确合理地分析不同分布的性质和表现特征，更好地应用它们。

数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质

即()1k k k E X x p ∞==∑。

设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。

数学期望和方差公式

数学期望和方差公式数学期望和方差是概率论和统计学中重要的概念，在许多领域中有广泛的应用。

它们是度量随机变量分布的指标，可以帮助我们了解随机现象的平均值和离散程度。

本文将详细介绍数学期望和方差的定义、性质以及计算公式。

一、数学期望数学期望，也称为均值或平均值，是衡量随机变量平均值的指标。

对于离散型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = Σx * P(X = x)其中，x代表随机变量X可能取到的值，P(X = x)表示随机变量取到x的概率。

对于连续型随机变量X，它的数学期望E(X)的定义如下：E(X) = ∫x * f(x) dx其中，f(x)表示X的概率密度函数。

数学期望具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意两个随机变量X和Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。

2. 递推性质：对于离散型随机变量X，可以通过递推公式E(X) = Σx * P(X = x)来计算。

3. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有E(X + c) = E(X) + c。

数学期望的计算公式可以帮助我们求解随机变量的平均值，进而了解随机现象的集中程度。

二、方差方差是衡量随机变量取值的离散程度的指标，它表示随机变量与其均值之间的差异程度。

对于离散型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = Σ(x - E(X))^2 * P(X = x)对于连续型随机变量X，其方差Var(X)的定义如下：Var(X) = ∫(x - E(X))^2 * f(x) dx方差具有以下性质：1. 线性性质：对于任意实数a和b，以及任意随机变量X和Y，有Var(aX + bY) = a^2 * Var(X) + b^2 * Var(Y)。

2. 位置不变性：对于随机变量X和常数c，有Var(X + c) = Var(X)。

3. 零偏性：Var(X) >= 0，当且仅当X是一个常数时，等号成立。

数学期望与方差解析

数学期望与方差解析数学期望和方差是统计学中重要的概念，我们经常在数据分析和概率论中会用到这两个概念。

本文将对数学期望和方差进行详细解析，包括定义、性质、计算方法等内容，帮助读者更好地理解和运用这两个概念。

一、数学期望数学期望是随机变量的平均值的概念，用来衡量随机变量的集中趋势。

对于一个随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = Σ x * P(X=x)其中，x为随机变量X的取值，P(X=x)为随机变量X取值为x的概率。

数学期望的计算方法是将随机变量所有可能取值与其对应的概率相乘，然后求和。

数学期望的意义在于它可以用来描述随机变量的平均水平。

数学期望有以下性质：1. 线性性质：对于任意常数a、b和随机变量X、Y，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。

2. 非负性质：对于任意非负随机变量X，有E(X) ≥ 0。

3. 单调性质：若X和Y是两个随机变量，且X≤Y，则E(X) ≤ E(Y)。

二、方差方差是衡量随机变量离散程度的指标，计算随机变量与其数学期望之间的差异。

对于随机变量X，其方差Var(X)定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]方差的计算方法是将随机变量与其期望之间的差值平方后取期望。

方差越大，表示随机变量的取值波动越大；方差越小，表示随机变量的取值趋于稳定。

方差是衡量随机变量分散程度的量，可以帮助我们更好地理解随机变量的变化情况。

方差的性质包括：1. 非负性质：方差永远不会小于0，即Var(X) ≥ 0。

2. 方差与数学期望之间的关系：Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。

通过数学期望和方差的解析，我们可以更好地理解随机变量的特征和分布规律，为数据分析和概率推断提供有力支持。

掌握数学期望和方差的计算方法和性质，对于深入学习统计学和概率论具有重要意义。

愿本文对读者有所帮助，引发更多关于概率统计的思考和讨论。

期望与方差的性质及应用

期望与方差的性质及应用期望与方差是概率论中两个重要的概念，用于描述一个随机变量的特征。

以下是对期望与方差的性质及其在实际应用中的一些例子。

1. 期望的性质期望是随机变量取值的加权平均，表示了变量的中心位置。

其性质如下：- 线性性质：对于两个随机变量X和Y，和常数a，b，有E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)。

这个性质是期望的一个重要特点，它使得我们可以将复杂的问题简化为线性组合。

- 常数性质：对于一个常数c，E(c) = c。

这表示常数的期望等于常数本身。

- 单调性：如果随机变量X和Y满足X ≤Y，那么E(X) ≤E(Y)。

这个性质说明了期望的顺序性。

2. 期望的应用- 对于离散型随机变量，期望的应用很广泛。

例如，我们可以用期望来求解投掷一枚骰子的平均点数，以及计算购买彩票的预期收益。

期望还可以用于计算游戏的平均盈亏。

- 在连续型随机变量中，期望可以用于计算概率密度函数下的面积。

例如，我们可以用期望来计算某个地区的平均降雨量，或者计算某个产品的平均寿命。

期望还可以用于求解连续概率分布的中位数和众数。

3. 方差的性质方差是随机变量与其期望之间差异的平方的期望，用于衡量变量的离散程度。

其性质如下：- 线性性质：对于两个随机变量X和Y，和常数a，b，有Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y)。

这个性质表示方差与常数放缩相关。

- 非负性：方差始终大于等于0，即Var(X) ≥0。

- 方差的开方称为标准差，它表示了随机变量的离散程度。

标准差越大，表示随机变量的取值越分散。

4. 方差的应用- 方差可以用于评估一个投资组合的风险。

在投资领域中，投资者往往希望选择一个方差较小的投资组合，以降低风险。

- 方差还可以用于评估统计模型的拟合程度。

在回归分析中，我们可以通过计算残差的方差来评估模型的质量。

- 方差还可以用于度量数据的波动性。

例如，股票市场中的波动性可通过计算股价的方差来进行衡量。

数学期望与方差的公式

数学期望与方差的公式数学中，期望和方差是两个重要的概念。

它们是统计学和概率论中的核心概念，用于描述和衡量概率分布的特性和不确定性。

在本文中，我们将详细介绍数学中期望和方差的定义和计算公式，并对其性质和应用进行详细讨论。

首先，让我们从期望开始。

期望是概率分布的平均值，表示对概率分布的中心位置的度量。

对于一个离散随机变量X，其期望E(X)可以用以下公式来计算：E(X)=Σ(x*P(X=x))其中，x是随机变量X可能取的值，P(X=x)是X取值为x的概率。

对于一个连续随机变量X，其期望E(X)可以用以下公式来计算：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，f(x)是X的概率密度函数。

期望有很多重要的性质。

首先，期望是线性的，即对于常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。

这意味着我们可以将常数系数从一个随机变量中提取出来。

此外，期望还满足E(c)=c，其中c是一个常数。

这意味着一个常数的期望就是它本身。

接下来，让我们来讨论方差。

方差衡量了随机变量偏离其期望值的程度。

对于一个离散随机变量X，其方差Var(X)可以用以下公式来计算：Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X = x))同样，对于一个连续随机变量X，其方差Var(X)可以用以下公式来计算：Var(X) = ∫((x - E(X))^2 * f(x))dx方差也有一些重要的性质。

首先，方差可以用来度量概率分布的离散程度。

方差越大，随机变量的取值就越分散。

其次，方差是非负的，即Var(X) ≥ 0，且只有当X是常数时，方差才为0。

最后，方差具有一个重要的线性性质，即对于常数a和b，Var(aX + b) = a^2 * Var(X)。

这意味着我们可以通过常数系数的平方来调整随机变量的方差。

除了期望和方差，还有一些其他的重要的概念与它们相关。

例如，协方差是用来度量两个随机变量之间线性关系的程度。

Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))协方差的符号可以表明随机变量之间的关系是正相关还是负相关。

期望、方差、协方差及相关系数的基本运算

期望、⽅差、协⽅差及相关系数的基本运算转载位置：/articles/basic-statistics-calculate.html这篇⽂章总结了概率统计中期望、⽅差、协⽅差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。

期望定义设P(x)P(x)是⼀个离散概率分布函数，⾃变量的取值范围为{x1,x2,⋯,xn}{x1,x2,⋯,xn}。

其期望被定义为：E(x)=∑k=1nxkP(xk)E(x)=∑k=1nxkP(xk)设p(x)p(x)是⼀个连续概率密度函数。

其期望为：E(x)=∫+∞−∞xp(x)dxE(x)=∫−∞+∞xp(x)dx性质1、线性运算规则期望服从线性性质（可以很容易从期望的定义公式中导出）。

因此线性运算的期望等于期望的线性运算：E(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+cE(ax+by+c)=aE(x)+bE(y)+c这个性质可以推⼴到任意⼀般情况：E(∑k=1naixi+c)=∑k=1naiE(xi)+cE(∑k=1naixi+c)=∑k=1naiE(xi)+c2、函数的期望设f(x)f(x)为x的函数，则f(x)f(x)的期望为：离散：E(f(x))=∑k=1nf(xk)P(xk)E(f(x))=∑k=1nf(xk)P(xk)连续：E(f(x))=∫+∞−∞f(x)p(x)dxE(f(x))=∫−∞+∞f(x)p(x)dx⼀定要注意，函数的期望不等于期望的函数，即E(f(x))≠f(E(x))E(f(x))≠f(E(x))！。

3、乘积的期望⼀般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除⾮变量相互独⽴。

因此，如果x和y相互独⽴，则E(xy)=E(x)E(y)E(xy)=E(x)E(y)。

期望的运算构成了统计量的运算基础，因为⽅差、协⽅差等统计量本质上是⼀种特殊的期望。

⽅差定义⽅差是⼀种特殊的期望，被定义为：Var(x)=E((x−E(x))2)Var(x)=E((x−E(x))2)性质1、展开表⽰反复利⽤期望的线性性质，可以算出⽅差的另⼀种表⽰形式：Var(x)=====E((x−E(x))2)E(x2−2xE(x)+(E(x))2)E(x2)−2E(x)E(x)+(E(x))2E(x2)−2(E(x))2+(E(x))2E(x2)−(E(x))2Var(x)=E((x−E(x))2)=E(x2−2xE(x)+ (E(x))2)=E(x2)−2E(x)E(x)+(E(x))2=E(x2)−2(E(x))2+(E(x))2=E(x2)−(E(x))22、常数的⽅差常数的⽅差为0，由⽅差的展开表⽰很容易推得。