圆的基本性质知识点
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结一、圆的定义和基本性质1. 圆的定义：圆是平面上的一组点，到一个确定的点距离相等。
2. 圆的元素：圆心、半径、直径、圆周。
3. 圆的性质：圆的半径相等，圆的直径是两倍的半径。
圆周上的任意两点与圆心的距离相等。
圆心到圆周的距离是半径。
4. 圆的定理：圆心角定理、弧长定理、切线定理等。
二、圆的相关角度和单位1. 角度的定义：角度是一个衡量平面角的单位。
2. 角度的度量单位：度、弧度。
3. 圆周角和对应角：圆周角是指圆的圆心角度数，对应角是指相等的角。
4. 角度的运算和转换：角度的加减、角度和弧度的转换。
三、圆的周长和面积1. 圆的周长公式：周长=2πr，r为半径。
2. 圆的面积公式：面积=πr²。
3. 圆的周长和面积的应用：在解决实际问题时，常常利用圆的周长和面积公式进行计算和推导。
四、圆的相关定理和推论1. 圆的同位角定理：同位角相等的定理。
2. 圆的相交定理：相交弦定理、外接角定理、内接角定理等。
3. 圆的切线定理和切线角定理：切线和切线角的性质和应用。
五、圆的相关方程和函数1. 圆的标准方程：圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
2. 圆的一般方程：圆的一般方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D，E，F为常数。
3. 圆的相关函数和图像：三角函数的正弦曲线和余弦曲线与圆的关系。
六、圆的应用1. 圆的应用领域：几何学、物理学、工程学等。
2. 圆的应用案例：圆的运动、圆的工程设计、圆的运动学分析等。
3. 圆的应用技术：在计算机图形学、图像处理、地理信息系统等领域有广泛的应用。
总结：圆是一个很基础却又富有深刻意义的几何图形，它在数学和自然界中都有着广泛的应用和影响。
通过对圆的认识知识点的总结和概述，有助于我们更好地理解圆的性质和定理，提高数学素养和解决实际问题的能力。
圆的相关知识和技能对于我们的学习和工作都有着重要的意义。
圆的主要知识点总结
圆的主要知识点总结一、圆的定义圆是由平面上到一个固定点的距离恒定不变的所有点的集合。
这个固定点称为圆心，距离称为半径。
圆可以用圆心和半径来描述，也可以用圆的直径来描述，直径是圆的任意两点间的距离的两倍。
二、圆的性质1. 圆的直径：任意一条过圆心的直线称为圆的直径，圆的直径等于半径的两倍。
2. 圆的周长：圆的周长是其边界上的长度，可以用公式C=2πr来计算，其中r为圆的半径，π是一个常数（约为3.14159）。
3. 圆的面积：圆的面积是其内部的区域，可以用公式A=πr²来计算，其中r为圆的半径。
4. 弧长和扇形面积：圆的一部分称为圆弧，由圆心到圆弧两端的直线称为弦，弧长等于该弧所对的圆心角的度数与圆的周长的乘积的1/360。
三、圆的公式1. 圆的周长公式：C=2πr (其中C为周长，r为半径，π为圆周率)2. 圆的面积公式：A=πr² (其中A为面积，r为半径，π为圆周率)3. 圆的圆心角和弧长的关系：L=θr (其中L为弧长，θ为圆心角的度数，r为半径)四、圆的应用1. 圆的运动：圆的运动是一种简单的运动形式，例如地球围绕太阳的运动、机械转动等。
2. 圆的建筑：圆形建筑具有抗震、抗风的稳定性，如圆形穹顶、圆形建筑等。
3. 圆的航天应用：太阳系中的行星轨道、卫星轨道等都是圆形或近似圆形的。
4. 圆的机械应用：摩擦轮、齿轮、滚珠轴承等都是基于圆的原理设计的。
五、相关定理1. 圆的切线定理：切线与半径垂直、相切于圆于一点2. 圆的内接正多边形面积：圆的内接正多边形的面积近似等于圆的面积3. 圆的圆心角定理：圆心角的度数等于其所对的弧的度数4. 圆的切线长度定理：切线与圆的切点处的切线长度相等综上所述，圆是一种非常重要的几何图形，它有着许多重要的性质和应用。
通过学习圆的定义、性质、公式和相关定理，我们可以更好地理解和应用圆的知识，在日常生活和工作中能够更好地解决问题和应用到实际情况中。
圆的基本性质
圆的基本性质【基础知识】知识点1：圆的对称性 （1）圆的旋转不变性圆具有旋转不变性，即绕圆心旋转__________后，仍与原来的圆重合；由于圆绕圆心旋转180°后与自身重合，圆是中心对称图形，对称中心是________； （2）圆的轴对称性圆是轴对称图形，它的对称轴是________________________________________________； 知识点2：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧； 逆定理及其运用知识点3：圆心角、弧、弦之间的关系（1）在______________中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；（2）在______________中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等；【经典例题】【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴；（2）平分弦的直径垂直于弦； 【例2】若O 的半径为5，弦AB 长为8，求拱高；【例3】如图，O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知6AE cm =，2EB cm =，30CEA ∠=︒，求CD 的长；【例4】如图，在O 中，弦8AB cm =，OC AB ⊥于C ，3OC cm =，求O 的半径长。
【例5】如图1，AB是O的直径，CD是弦，AE CD⊥，垂足为E，BF CD⊥，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由；如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC CD⊥，FD CD⊥，EC、FD分别交直径AB于E、F两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？【巩固练习】1、判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧（）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧（）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（）（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行（）（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）2、已知：如图，O中,弦AB∥CD,AB CD<，直径MN AB⊥，垂足为E，交弦CD于点F；图中相等的线段有；图中相等的劣弧有；3、已知：如图，O中，AB为弦，C为AB的中点，OC交AB于D，6AB cm=，1CD cm=，求O的半径OA。
圆的性质及相关定理
圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。
在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。
一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。
圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。
半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。
2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。
直径的长度等于半径的两倍。
3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。
圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。
4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。
直径是最长的弦。
5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。
角度是以度为单位的度量，用符号°表示。
二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。
2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。
3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。
4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。
5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。
6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。
三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。
3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。
4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。
总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。
通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。
希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。
数学关于圆的知识点
数学关于圆的知识点圆是数学中的一种基本几何形状，具有许多独特的性质和特点。
本文将介绍一些关于圆的数学知识点。
一、圆的定义和基本性质圆是由平面上的一组点构成，这些点到一个固定点的距离都相等。
这个固定点称为圆心，距离称为半径。
圆可以用一个大写字母表示，如圆O。
圆的基本性质有：1. 圆的直径是任意两点在圆上的最大距离，它等于圆的半径的两倍。
2. 圆的周长是圆上任意一点到相邻两点的弧长之和，用2πr表示，其中r是圆的半径。
3. 圆的面积是圆内部所有点组成的区域，用πr²表示，其中π约等于3.14159，r是圆的半径。
二、圆的弧长和扇形圆的周长也可以称为圆的弧长。
当圆的半径为r时，圆的弧长等于2πr。
如果只取圆上的一段弧，那么这段弧的长度可以通过圆的弧度来表示。
圆的弧度是弧长与半径的比值。
圆的扇形是由圆心、圆周上的两点以及与这两点相连的弧所围成的图形。
扇形的面积可以通过弧度与圆的半径的平方的乘积来计算。
三、圆的切线和切点圆与直线的关系是圆的重要性质之一。
如果一条直线与圆相交于圆上的一点，且这条直线与圆的切线垂直，那么这条直线称为圆的切线，这个相交点称为切点。
圆的切线有以下性质：1. 切线与半径的夹角是直角。
2. 切线与半径在切点处相交。
3. 半径与切线的乘积等于切点到圆心的距离的平方。
四、圆的切圆和切点圆与圆的关系也是圆的重要性质之一。
如果一个圆与另一个圆相交于圆上的一点，且这两个圆的切线相交于这个点，那么这两个圆称为切圆，这个相交点称为切点。
切圆的性质有：1. 切圆与切线相切于同一点。
2. 切圆的半径与切点到圆心的距离相等。
五、圆的坐标表示圆可以通过坐标系来表示。
如果圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，那么圆的方程为(x-a)² + (y-b)² = r²。
这个方程可以用来表示圆上的所有点的坐标。
六、圆的变换圆可以通过平移、旋转和缩放等变换来改变形状和位置。
这些变换不会改变圆的半径和周长，但会改变圆心和圆的位置。
圆的性质知识点总结
圆的性质知识点总结圆是我们日常生活中常见的一种几何形状。
它具有一些独特的性质，我们通过下面的总结来了解圆的性质。
一、圆的定义和要素圆可以定义为平面上任意点到固定点的距离保持不变的集合。
这个固定点称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆中的任意一条线段，它的两个端点都在圆上，称为弦。
经过圆心的弦称为直径，直径是弦中最大的一段。
二、圆的基本性质1. 圆的半径相等性质：圆上任意两点到圆心的距离相等。
2. 弧的定义：在圆上，由两个点所确定的部分称为弧。
圆上一段既非弦也非整个圆的弧称为弧段。
3. 圆心角：圆上以圆心为顶点的角。
圆心角所对的弧长是该角度的两倍。
4. 弦的性质：等长的弦所对的圆心角相等，且直径是圆上最长的弦。
5. 弧长的比例：相等弧所对的圆心角相等，弧长和圆周长之间存在比例关系。
三、圆的周长和面积公式1. 周长：圆的周长等于圆周上一整条弧的长度。
周长的计算公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径，π是一个常数，约等于3.14159。
2. 面积：圆的面积是指圆内部的所有点组成的部分所占据的平面面积。
面积的计算公式为S=πr^2，其中S表示面积，r表示半径。
四、圆的判定定理1. 弦切定理：如果一个弦和它所对的圆心角相等，那么这个弦被平分。
2. 弦心定理：如果两个弦的两个端点分别在另一个弦上，那么这两个弦的长度乘积等于它们所决定的弧的长度乘积。
3. 切线性质：从一个点外切圆上的切线和这条切线上这个点到圆心的线段垂直。
五、圆的相关定理1. 相交弦定理：如果两个弦相交，那么它们所对的圆心角相等。
2. 弦切角定理：相交的两条弦所对的弧所决定的角相等。
3. 弦切切定理：切线和弦的交角等于它所对的弧所决定的角。
六、圆的应用1. 圆的运动：物体在圆周上做匀速圆周运动时，物体的速度大小恒定，但方向不断改变。
2. 圆锥曲线：圆可以通过用直线旋转一条线段得到，例如圆锥曲线中的椭圆、抛物线和双曲线。
3. 圆的几何画法：使用圆规、尺子等几何工具可以进行圆的画法，如确定一个圆的圆心、半径等。
圆的基本性质知识点总结
圆的基本性质知识点总结圆是平面上的一个几何图形，是由距离一个固定点的距离始终相等的所有点组成。
圆的基本性质有以下几个方面：1.圆的定义：圆是由平面上到一个固定点的距离都相等的点组成的图形。
2.圆的元素：圆由圆心、半径、直径、弦、弧等几个元素组成。
-圆心：圆的中心点，通常表示为O。
-半径：从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常表示为r。
-直径：通过圆心的一条直线，两端点在圆上，直径是半径的两倍，通常表示为d。
-弦：在圆上连接两点的线段。
-弧：圆上的一段曲线，是由弦所确定的。
3.圆的唯一性：在平面上，给定圆心和半径，唯一确定一个圆。
4.圆的周长和面积：-周长：圆的周长也叫做“圆周长”或“周长”，是圆的边界的长度。
周长C等于直径d乘以圆周率π，即C=πd。
-面积：圆的面积是圆内部的部分，通常表示为A。
面积A等于圆的半径r的平方乘以π，即A=πr²。
5.圆与直线的关系：-圆的直角：圆的半径是以任意点与与之相切的直线垂直相交。
-切线：如果直线刚好和圆相切，那么它是圆的切线。
切线与半径的夹角是直角。
-弦的性质：圆上的弦，如果经过圆心，那么它是圆的直径。
否则，弦将分割圆周上的两个弧。
并且，同一圆上的等长弦所对的弧相等，且同等弧所对的弦相等。
6.圆的相似性：-圆的相似性质：如果两个圆的半径之比相等，那么这两个圆是相似的。
相似的圆形状相同，但可能有不同的大小。
7.圆的相关定理：-弧的定理：两条弦所对圆心角相等，那么这两条弦所对的弧相等。
-弧与弦的定理：如果一条弦上的两个弧所对圆心角相等，那么这两个弧也相等。
-弧与切线的定理：如果一个圆的一条切线与圆上的一条弦相交，那么两条切线所对的弧相等。
以上是圆的基本性质的总结，掌握这些知识点可以帮助我们理解圆的特性和运用这些性质解决与圆相关的几何问题。
高中数学圆知识点总结
高中数学圆知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上到一个定点的距离等于常数的所有点的集合所组成的图形。
这个定点叫做圆心，这个常数叫做圆的半径。
2. 圆的符号表示：我们通常用一个大写字母表示圆心，用小写字母 r 表示半径，从而表示某个圆为原点 O ，半径为 r 的圆为∠O(r) 。
3. 圆的元素：圆由圆心、半径以及圆上的所有点组成，这些点到圆心的距离都等于半径的长度。
二、圆的基本性质1. 圆的直径：圆上任意两点间的最长距离叫做圆的直径，圆的直径等于圆的半径的二倍。
2. 圆周率：圆周率是一个无理数，通常用符号π 来表示，它的近似值是3.14159 ，是圆周长和直径之比的数学常数。
3. 圆的周长：圆的周长等于圆的直径乘以π ，也可以用公式表示为：C=2πr 。
4. 圆的面积：圆的面积等于π 乘以圆的半径的平方，也可以用公式表示为：S=πr^2 。
5. 弧长和扇形面积：圆的一部分叫做圆弧，圆弧的长度叫做弧长，弧长和圆的周长的比值等于弧所对的圆心角的比值；圆的一部分叫做扇形，扇形的面积等于扇形所对的圆心角的比值。
三、圆的相关定理1. 圆心角的性质：圆心角是圆上的一个角，它的顶点在圆心上，它的两条边都是圆的弧。
圆心角的大小可以用角度或弧度表示，弧度是圆的一种度量单位，弧长等于半径乘以圆心角的弧度。
弧长和弧所对的圆心角的关系，用公式表示为：L=rθ 。
2. 弦的性质：弦是圆上的一段线段，它的两端都在圆上，弦也可以看做是圆上的一个弧。
弦的性质包括：两条相等的弧所对的弦也是相等的；圆的直径是圆的最长弦，且它恰好把圆分成两个相等的半圆。
3. 切线的性质：切线是指平面上的一条直线，它只与圆相交于一点，这个点叫做切点。
切线和半径的垂直平分线相交于圆上的切点处成直角，切线和圆心之间的连线是切线的切线长。
4. 正弦定理和余弦定理：这两个定理属于三角形和圆的结合性质，它们可以用来求解三角形和圆的面积。
四、圆的相关应用1. 圆和直线的位置关系：圆和直线的位置关系有着许多重要的定理和知识点，这些知识点在几何、代数和三角等领域都有着广泛的应用，学习和掌握它们对我们解题和理解圆的相关性质是非常重要的。
圆的知识点
圆的知识点一、圆的定义和基本性质圆是由平面上到定点距离相等的所有点所组成的图形，这个定点称为圆心，到定点距离称为半径。
符号表示为O(r)，O表示圆心，r表示半径。
圆有如下的基本性质：1. 圆的任何直径都是圆的最长的一条线段，它的长度等于半径的两倍。
2. 圆的任何弦都小于或等于圆的直径。
3. 圆的内部所有点到圆心的距离相等。
4. 圆的外部所有点到圆心的距离都大于圆的半径。
5. 圆的周长是圆周的长度，用C表示，公式为C=2πr，其中π≈3.14159。
6. 圆的面积为圆内所有点到圆心的距离之和，用S表示，公式为S=πr²。
二、圆的分类1. 根据周长分类根据周长的长短，圆可以分为：大圆、小圆、等圆。
大圆是半径最长的圆，周长最长；小圆是半径最短，周长最短；等圆是半径相等的圆，周长相等。
2. 根据圆心排列分类根据圆心排列的位置，圆可以分为：内切圆、外切圆、相切圆。
内切圆是与多边形的内部相切的圆；外切圆是与多边形的边缘相切的圆；相切圆是与两个或多个圆相切的圆。
3. 根据位置关系分类根据位置关系的不同，圆可以分为：相离的圆、相交的圆、包含的圆和重叠的圆。
相离的圆是没有交集的圆；相交的圆是有交集但不包含的圆；包含的圆是其中一个圆包含另一个圆的情况；重叠的圆是圆的一部分或全部在另一个圆内部的情况。
三、圆的相关定理1. 相交圆上切线定理对于两个相交的圆，从圆外一点引各自的切线，切点连线和两圆心连线的夹角相等。
2. 相切圆定理对于两个相切的圆，它们的切点连接这两个圆的圆心得到的直线垂直于切点连线。
3. 相似圆定理对于两个相似的圆，它们的半径比例等于它们的周长比例，也等于它们的面积比例。
4. 切线长定理对于一个半径为r的圆和一个以圆心为顶点的角，它的两条边分别相交圆于A和B两点，则切线长等于AB的长度，也就是r的平方除以从顶点到AB中点的距离。
5. 垂线定理对于两个相交的圆，它们的切线构成的角的平分线和两圆心之间的连线的中垂线相交于点O，连接O点和两个切点构成的线段互相垂直。
专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
圆的认识知识点
圆的认识知识点圆是几何学中的基本图形，它在我们的日常生活中无处不在。
本文将介绍圆的定义、性质以及与圆相关的知识点。
一、圆的定义圆是平面上所有到一定点距离相等的点的集合。
这个点被称为圆心，到圆心距离相等的距离被称为半径。
圆可用以下的数学符号表示：⭕。
圆由圆心和半径唯一确定。
二、圆的性质1. 圆的直径圆的直径是通过圆心且两端点在圆上的线段。
直径的长度是半径长度的两倍。
可以表示为d=2r，其中d是直径的长度，r是半径的长度。
2. 圆的周长圆的周长是指圆上一周的长度。
公式为C=2πr，其中C是周长，r是半径的长度，π是一个常数，近似值约为3.14。
3. 圆的面积圆的面积是指圆内部的平面范围。
公式为A=πr^2，其中A是面积，r是半径的长度，π是一个常数，近似值约为3.14。
4. 弧长和扇形面积弧长是圆上一部分的长度，可以通过弧度来度量。
弧度是一个中心角所对应的弧长与半径的比值。
扇形是圆内部被一条弧和两条半径所夹的区域，扇形的面积可以通过圆心角的大小来计算。
5. 切线和切点切线是与圆相切且垂直于半径的直线。
切点是切线与圆相交的点。
切线与半径垂直的性质使得切线与半径之间的夹角为直角。
三、与圆相关的知识点1. 弦弦是圆上任意两点之间的线段。
弦的长度可以小于、等于或大于直径的长度。
2. 弦长公式如果知道弦的长度和圆的半径，可以利用弦长公式求出两点之间的弦的距离。
弦长公式为L = 2r sin(θ/2)，其中L是弦的长度，r是半径的长度，θ是圆心角的度数。
3. 相切与相交当两个圆之间的弦恰好相切于一个点时，我们称这两个圆相切。
两个圆相交时，它们有两个不同的交点。
4. 切线定理切线定理是指从一个点到圆的切点所作的切线段长度的平方等于这个点到圆心的线段与圆的半径的乘积。
五、总结圆是几何学中的重要图形，具有许多重要的性质和知识点。
通过了解并掌握圆的定义、性质以及与圆相关的重要知识点，我们可以更好地理解和应用圆的概念。
在实际生活和学习中，圆的认识对于解决各种与圆有关的问题都有重要的帮助。
《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质第一节 圆 第二节 圆的轴对称性 第三节 圆心角 第四节 圆周角 第五节 弧长及扇形的面积 第六节 侧面积及全面积 六大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、垂径定理4、垂径定理的逆定理及其应用5、圆心角的概念及其性质6、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则：点P 在⊙O 外 ；点P 在⊙O 上 ； 点P 在⊙O 内 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
圆的知识点简洁总结
圆的知识点简洁总结
一、圆的定义和性质
圆是由平面上与一个确定点的距离恒定的所有点构成的集合。
这个确定点叫做圆心，恒定的距离叫做半径。
圆上的每一个点到圆心的距离都等于半径。
圆的直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段，直径的长度是半径的两倍。
圆的周长等于直径乘以圆周率π（π的值约为3.14159），面积等于半径的平方乘以π。
二、圆的相关公式
1. 圆的周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示半径。
2. 圆的面积公式：A=πr²，其中A表示圆的面积，r表示半径。
三、圆的相关定理
1. 圆的同位角定理：圆的内切四边形的对角余弦值相等。
2. 圆的圆心角定理：圆心角所对的弧长是它的两边所对的圆周角的一半。
3. 圆的切线定理：切线与圆的切点的切线与切点处半径垂直，这是一个直角三角形。
四、圆的性质和应用
1. 圆的轨迹是直径中的中点。
2. 圆的轨迹是一个点到一个给定的定点的距离等于给定长度的轨迹。
3. 圆的轨迹是同一个点到两个给定点的距离等于给定长度的轨迹。
4. 圆是许多几何图形的基础，如圆锥、圆柱、圆环等，也是许多数学问题的基础，如圆的相关定理的证明、圆的弧长问题等。
5. 圆在日常生活中有许多应用，如电子设备中的圆形零件、轮胎、钟表、餐具等。
总的来说，圆作为数学中常见的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。
通过学习圆的相关知识点，可以更好地理解和应用这一几何图形，同时也可以为我们解决实际问题提供一定的参考和思路。
圆的知识点总结归纳
圆的知识点总结归纳圆是几何学中最基本也是最重要的概念之一，它在生活中随处可见，应用广泛。
本文将从圆的定义、性质、相关定理以及应用等方面进行总结归纳。
一、圆的定义圆是由平面上距离某一定点（圆心）相等的所有点构成的图形。
二、圆的性质1. 圆心和圆的关系：圆的任意一点到圆心的距离相等。
2. 圆上任意两点之间的关系：圆上任意两点到圆心的距离相等。
3. 圆的直径：通过圆心的两个互相垂直的直线段称为圆的直径，直径的长度是圆的最大长度。
4. 圆的半径：圆的半径是由圆心到圆上任意一点所组成的线段，半径的长度是圆的特定长度。
5. 圆周：由圆上所有的点组成的曲线称为圆周，圆周是圆的重要组成部分。
三、圆的相关定理1. 圆心角定理：圆心角的度数等于其所对应的弧上的弧度数。
2. 弧长公式：弧长等于弧所对的圆心角的弧度数除以360度再乘以周长。
3. 弧与弦的关系：两个互相垂直的弦所对应的弧等于其所对应的圆心角的一半。
4. 弦与切线的关系：切线与其所对应的弦垂直，并且切线与半径的夹角等于所对应的弦与半径的夹角。
5. 切线定理：从圆外一点引圆的两条切线相交所决定的弦，其两端作角的正切等于该点到圆心的距离除以圆的半径。
四、圆的应用1. 圆的测量：通过测量圆的直径、半径、弧长等参数，可以计算出圆的面积和周长。
2. 圆的描绘：利用圆的性质，可以在平面上准确地绘制出圆的形状，常见于建筑设计、机械制图等领域。
3. 圆的运动：机械系统中的转动运动常常套用圆的概念，通过控制圆的半径和角速度，实现物体的旋转。
4. 圆的光学应用：在光学系统中，例如望远镜、显微镜、摄影镜头等，通过对圆形透镜的设计和使用，可以实现光的聚焦、放大等功能。
5. 圆的几何推理：在几何证明中，圆的性质经常被应用，例如通过利用切线定理证明两条直线平行。
综上所述，圆作为几何学中重要的概念之一，其定义、性质、相关定理以及应用十分广泛。
对于学习和理解圆的知识点，我们可以通过理论的学习和实际的应用相结合，加深对圆的理解和应用能力，进一步发展几何学和数学的相关知识。
圆的知识点总结归纳
圆的知识点总结归纳圆是几何学中的基本概念，它在我们日常生活和学习中都扮演着重要的角色。
本文将对圆的定义、性质和相关公式进行总结归纳，以帮助读者更好地掌握圆的知识。
一、圆的定义圆是由平面上的一点到另一点距离恒定的所有点的集合。
这个恒定的距离被称为圆的半径，用字母r表示。
圆心是距离其他点最远的点，用字母O表示。
二、圆的性质1. 圆的直径：圆上经过圆心的一条线段，长度等于圆的半径的两倍。
直径用字母d表示。
公式：d = 2r2. 圆的周长：圆上任意一点到圆心的距离等于半径的弧长。
圆的周长也被称为圆的周长，用字母C表示。
公式：C = 2πr，其中π是一个数学常数，约等于3.14159。
3. 圆的面积：圆的面积是指圆内所有点的集合。
圆的面积用字母A表示。
公式：A = πr²。
三、圆的相关公式1. 弧长公式：根据圆心角和半径可以计算弧长。
公式：L = 2πr(θ/360°)，其中L表示弧长，θ表示圆心角的度数。
2. 扇形面积公式：根据圆心角和半径可以计算扇形的面积。
公式：A = （πr²θ）/ 360°，其中A表示扇形的面积，θ表示圆心角的度数。
3. 弦长公式：根据夹在圆上的圆心角和半径可以计算弦长。
公式：L = 2r*sin(θ/2)，其中L表示弦长，θ表示夹在圆上的圆心角的度数。
四、圆的应用1. 圆的几何证明：在几何证明中，圆的性质经常被应用，例如利用圆的切线性质证明两条直线垂直等。
2. 圆的平面几何问题：在平面几何问题中，常常需要根据圆的性质求解，例如判断点是否在圆内、判断两个圆的位置关系等。
3. 圆的应用于实际问题：在实际生活中，圆的性质和公式也有广泛应用，例如计算圆柱体的表面积和体积，设计轮胎的尺寸等。
综上所述，圆是几何学的基础概念，具有许多重要的性质和公式。
通过深入理解圆的定义和性质，我们可以更好地应用它们于数学问题和实际生活中。
希望本文的总结和归纳能够帮助读者更好地掌握圆的知识。
圆各知识点总结
第24章 圆知识点总结一、 圆的基本性质1.圆的有关概念（1）圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； 拓展：a.垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；b.角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；c.到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；d.到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
(2)圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
(3)弦：圆上任意两点连成的线段；通过圆心的弦是直径，是圆中最长的弦，也是圆的对称轴。
(4) 弧：圆上任意两点之间的部分；以A 、B 为端点的弧记作B A(5)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分为两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（半圆是弧，不包括直径的部分，因此求半圆的周长时不要画蛇添足。
）(6)劣弧：在同圆或等圆中，弧长小于该圆半圆的弧叫劣弧。
优弧：弧长大于该圆半圆的弧叫优弧。
（优弧通常用三个字母表示，如C AB。
） (7)同心圆：圆心相同，半径不同的两个圆叫做同心圆(8)等圆：能够重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆也叫等圆. (9)弦心距：从圆心到弦的距离 2.圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
（2）圆是中心对称图形，对称中心为圆点。
3．垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分线所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
圆全部知识点
圆全部知识点圆是数学中的重要概念，广泛应用于几何学、物理学等领域。
本文将逐步介绍圆的定义、性质、相关定理，并探讨其在实际生活中的应用。
一、圆的定义圆是由平面上到一点的距离恒定的所有点的集合。
这个恒定的距离被称为半径，用字母r表示。
圆心是到圆上任意一点的距离恒定的点，通常用字母O表示。
二、圆的性质1.圆的直径：通过圆心的任意两点构成的线段称为圆的直径，记作d。
直径是圆的最长线段，其长度等于半径的两倍，即d = 2r。
2.圆的周长：圆的周长是指围绕圆的一条线段的长度，通常用字母C表示。
根据圆的性质，周长可以用公式C = 2πr计算，其中π是一个常数，约等于3.14159。
3.圆的面积：圆的面积是指圆所占据的平面的大小，用字母A表示。
根据圆的性质，面积可以用公式A = πr²计算。
4.圆的弧长：圆上两点之间的弧长是指连接这两点的圆弧的长度。
弧长可以用圆的半径r和夹角θ计算，公式为L = rθ，其中θ用弧度表示。
三、圆的相关定理1.弧长定理：弧长L与圆心角θ的关系可以用公式L = rθ表示。
2.弧度定理：角度θ与弧度的关系可以用公式θ = L / r表示。
3.切线定理：过圆外一点的切线与半径的关系是垂直。
切线与半径的夹角等于该切点所对应的弧的一半。
4.弦切角定理：一条弦与切线所夹的角等于弦所对应的圆心角的一半。
四、圆的应用圆的应用非常广泛，以下是一些实际生活中的例子：1.圆形建筑物：许多建筑物采用圆形设计，如剧院、球场等。
圆形结构能够为人们提供更好的视野和空间感。
2.轮胎：汽车、自行车等交通工具的轮胎一般采用圆形设计。
圆形轮胎能够提供更好的平衡和行驶稳定性。
3.圆形运动场：许多体育运动需要在圆形运动场上进行，如足球、篮球等。
圆形运动场能够提供更好的比赛体验和公平性。
4.圆形碗具：许多碗具、盘子等餐具采用圆形设计。
圆形碗具能够更好地容纳食物和提供更好的使用体验。
总结本文通过逐步介绍圆的定义、性质、相关定理和应用，帮助读者全面了解圆这一重要的数学概念。
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圆的基本性质复习总标1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。
三角形的内心和外心。
2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。
3.会用垂径定理进行有关计算。
知识梳理1.圆的有关概念（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。
（2）直径是经过圆心的弦。
是圆中最长的弦。
弧是圆的一部分。
2.圆周角与圆心角（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
90圆周角所对的弦是圆的直径。
（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
3.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。
（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。
垂径定理是研究有关圆的知识的基础。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。
易错知识点1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。
2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。
4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。
中考规律盘点及预测本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。
旗本性质的应用主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。
多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。
1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD=，，则AB 的长为…【 】A 、2B 、3C 、4D 、5【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得，由勾股定理得HB=1，则()2221R R =+-由此得2R=3或由相交弦定理得()2121R =⨯-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（ ） A ．10B ．20C ．30D ．40【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
()︒=︒-︒==∠2030702121Q P PAQ 选B3、（2008年海南） 如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 .第9题图【解析】主要考察：动点问题，此题可以用特殊位置来考虑，当点P 与O 重合时，则x=30 当P 与点B 重合时则x=︒90。
所以30°≤x ≤904、（山东滨州）如图所示，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ D ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个【解析】主要考察：垂径定理、以及直径所对的圆周角等于︒90由垂径定理得︒=∠⊥90,ADB AE OD ， 所以DAO ADO DCA ECB ∠=∠=∠=∠ 由,EOD AOD ∆≅∆得DEO EDO DAO ∠=∠=∠，所以选5个。
5、（2009年台湾）如图(十一)，长方形ABCD 中，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交AB 于E 点。
取BC 的中点为F ，过F 作一直线与AB 平行，且交于G 点。
求∠AGF =（ ）(A) 110︒ (B) 120︒ (C) 135︒ (D) 150︒ 。
【解析】要求AGF ∠则需连接AG ，过G 向AB 作垂线，运用在直角三角形中，一条直角边是斜边的一半，则这条直角边所对的角为30，所以AGF ∠=150︒，选D6、（2009年福州）如图，弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周， P 为弧AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP 周长的最大值是（ ）A ． 15B ． 20C ．15+．15+ 【解析】点P 在弧AD 上，当点P 运动到点D 时，四边形ACBP 的周长取到最大值，此时AD=25，四边形ACBP 的周长的最大值=AC+BC+DB+AD=15+25。
所以选C7、在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 分别是3和2,则∠BAC 的度数为__________________. 解析:(1)∠BAC=∠CAD-∠BAD=45°-30°=15°. (2)∠BAC=∠CAD+∠BAD=45°+30°=75°. 答案:15°或75°8、 （2009山西省太原市）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA AB BO -- 的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）解析：本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P 从点O 向点A 运动，OP 逐渐增大，当点P 从点A 向点B 运动，OP 不变，当点P 从点B 向点O 运动，OP 逐渐减小，故能大致地刻画s 与t 之间关系的是C ．9、（2008陕西）如图，在中，，，，是的角平分线．过三点的圆与斜边交于点，连接．（1）求证：； （2）求外接圆的半径．OA ．B ．C ．D ．（1）证明：，为直径．又是的角平分线，，．．（2）解：，．，．为直径，．，．．．．外接圆的半径为．【答案】C10.（2009年舟山）（本题12分）如图，AD 是⊙O 的直径．(1) 如图①，垂直于AD 的两条弦B 1C 1，B 2C 2把圆周4等分，则∠B 1的度数是 ，∠B 2的度数是 ；(2) 如图②，垂直于AD 的三条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3C 3把圆周6B 2，∠B 3的度数；(3)如图③，垂直于AD 的n 条弦B 1C 1，B 2C 2，B 3 C 3，…，B n C n 把圆周2n 等分，请你用含n 的代数式表示∠B n 的度数(只需直接写出答案)．B C 2n B -2答案（本题12分） 解：(1) 22.5°，67.5°……4分(2) ∵ 圆周被6等分，∴ 11B C =12C C = 23C C =360°÷6＝60°． ……1分∵ 直径AD ⊥B 1C 1，∴ 1AC =1211B C =30°，∴ ∠B 1m=121AC =15°．……1分 ∠B 2m=122AC =12×(30°＋60°)=45°， ……1分 ∠B 3m=123AC =12×(30°＋60°＋60°)=75°． (1)分(3) 11360360[(1)]2222n B n n n ︒︒∠=⨯+-⨯(9045)n n-︒=． (或3604590908n B n n ︒︒∠=︒-=︒-) (4)分课内基础训练一 、选择题1、（2008年镇江市）10．如图，⊙O 是等腰三角形的外接圆，，，为⊙O 的直径，，连结，则45 ，2 ．2（2008湖北黄石）．如图，为⊙O 的直径，点在⊙O 上，，则40° ．3、（湖南邵阳）如图（十），分别是⊙O的直径和弦，于点，连结、，，，则．（4、（2008乌鲁木齐）．如图4所示的半圆中，是直径，且，，则的值是．5、（2008年佳木斯市）在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为1cm或7cm6、（08河北）如图3，已知⊙O的半径为5，点到弦的距离为3，则⊙O上到弦所在直线的距离为2的点有（C ）A．1个B．2个C．3个D．4个7、(2008台州)下列命题中，正确的是（ C ）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等A．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤8、（2008年遵义市）5．如图，是的弦，半径，，则弦的长为（ D ）A．B．C．4 D．A B9、（2009年北京）如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是A B C D 10. （2009年北京）如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为BC 上一点，若∠CEA=28，则∠ABD=°.11、（2009年河北）如图2，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°12、如图，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ∥．若65ABD ∠=°，则ADC ∠= ．13、（2009年武汉）．如图，已知O ⊙的半径为1，锐角ABC △内接于O ⊙， BD AC ⊥于点D ，OM AB ⊥于点M ，则sin CBD ∠的值等于（ ）AB图2（第12题） OCBA D MA ．OM 的长B ．2OM 的长C ．CD 的长 D ．2CD 的长14、如图，AB 是O ⊙的直径，C D E 、、是O ⊙上的点，则12∠+∠= °．15、如图，一个宽为2 cm 的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的 一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和 “8”(单位：cm)，那么该圆的半径为Ｂ．2516cm Ｃ．3c m Ｄ．134cm16、如图, 已知CD 为⊙O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ,若 ∠D 的度数是50o ,则∠C 的度数是（ ）A .50oB . 40oC . 30oD .25o17、已知：如图17, ⊙O 的两条弦AE 、BC 相交于点D,连结AC 、 BE.若∠ACB ＝60°,则下列结论中正确的是（ ） A.∠AOB ＝60° B.∠ADB ＝60° C.∠AEB ＝60° D.∠AEB ＝30°18、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A 、B 、C 。