2020年邯郸市高三二模模理科数学试卷(含答案和解析)
2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省邯郸市高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()13z i i -=+（i 为虚数单位),则复数z =（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【答案】B【解析】运用复数的除法运算法则求出复数z ,在根据共轭复数的定义求出复数z . 【详解】由题意()13z i i -=+,可变形为()()()()31324121112i i i iz i i i i ++++====+-+-. 则复数12z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义,属于基础题.2．已知全集{}{},40,2U R A x x B x x ==->=<,则()U A B ⋃=ð（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．[)4,+∞ D ．()4,+∞【答案】A【解析】根据集合补集的定义和并集的定义,结合数轴即可求出. 【详解】因为{},2U R B x x ==<,所以{}2U C B x x =≥,又{}4A x x =>， 所以(){}2U A C B x x ⋃=≥， 故选：A 【点睛】本题考查了集合补集和并集的运算,利用数轴是常用的方法. 3．曲线()3f x x x =-在点(1,(1))f --处的切线方程为（ ）A ．220x y ++=B ．220x y +-=C ．220x y -+=D ．220x y --=【答案】C【解析】对函数进行求导,利用导数的几何意义求出切线的斜率,再用点斜式求出切线方程,最后化成一般式即可. 【详解】()2 '31x f x =-,故切线的斜率为()'12f -=.又()10f -=.所以曲线()3f x x x=--在点()()1,1f --处的切线方程为21)(y x =+.即220x y -+=. 故选:C 【点睛】本题考查了导数的几何意义,考查了求函数的切线方程,考查了直线的点作斜式方程以及一般方程.4．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()()22:129C x y ++-=相切，则p =（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】求出抛物线的准线方程,根据直线与圆的相切关系即可求出p 的值. 【详解】抛物线()220y px p =>的准线为2Px =-. 由题意2P x =-与圆()()22:1 2 =9C x y -=+相切.所以132P -=--解得8P =. 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线的准线方程,考查了直线与圆的相切关系,考查了数学运算能力. 5．《九章算术⋅衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ） A ．甲付的税钱最多 B ．乙、丙两人付的税钱超过甲 C ．乙应出的税钱约为32 D ．丙付的税钱最少【答案】B【解析】通过阅读可以知道,A D 说法的正确性,通过计算可以知道,B C 说法的正确性. 【详解】甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知,A D 正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的3511002<不超过甲。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(二)(含答案)
2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列 结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020届邯郸市高三年级第二次模拟考试试题（精校解析版）
2020届邯郸市高三年级第二次模拟考试试题（精校解析版）2020届邯郸市高三年级第二次模拟考试试题(精校解析版)第一部分听力（共两节，满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. What is the man’s attitude towards the plan?A. Positive.B. Ambiguous.C. Disapproving.2. Where does this conversation most probably take place?A. At a train station.B. At a bus stop.C. At the museum.3. What will the woman talk about next?A. Her school.B. Her marks.C. Study tips.4. What is the man doing now?A. Complaining about a film.B. Taking a walk outside.C. Reading film reviews.5. What does the woman mean?A. She won’t hold a birthday party.B. She is planning a birthday party.C. She hopes to have a different birthday.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。
河北省邯郸市2020届高三上学期摸底考试数学理试题版含答案
高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-->，{|0}B x x =>，则AB =（ ）A ．(1,2)B ．(0,2)C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞ 2.若复数z 满足(1)23i z i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为（ ） A ．-2 B ．2 C ．-4 D ．43.在ABC ∆中，若4AB AC AP +=，则PB =（ ）A ．3144AB AC - B ．3144AB AC -+ C ．1344AB AC -+ D ．1344AB AC -4. 12,F F 分别是双曲线C ：22197x y -=的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且1||8PF =，则12PF F ∆的周长为（ ）A ． 15B ．16 C. 17 D ．185.用电脑每次可以从区间(0,1)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127 B ．23 C. 827 D ．496.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n 个面是矩形，体积为V ，则（ ）A ．4,10n V ==B ．5,12n V == C. 4,12n V == D ．5,10n V ==7.若sin()2cos )4πααα+=+，则sin2α=（ ）A ．45-B ．45 C. 35- D ．358. 设函数()f x 的导函数为'()f x ，若()f x 为偶函数，且在(0,1)上存在极大值，则'()f x 的图像可能为（ ）A ．B ．C. D ．9. 我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）10.已知函数2()1f x ax bx =-+，点(,)a b 是平面区域201x y x m y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩内的任意一点，若(2)(1)f f -的最小值为-6，则m 的值为（ ）A ． -1B ． 0 C. 1 D ．211. 若函数sin(2),6()cos(2),62x x m f x x m x ππππ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩恰有4个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．11(,](,]126123ππππ-- B ．1125(,](,](,]123126123ππππππ---- C. 11[,)[,)126123ππππ-- D ．1125[,)[,)[,)123126123ππππππ----12.直线y x a =+与抛物线25(0)y ax a =>相交于,A B 两点，(0,2)C a ，给出下列4个命题：1P ：ABC ∆的重心在定直线730x y -=上；2p ：||3AB a -2103p ：ABC ∆的重心在定直线370x y -=上；4p ：||3AB a -5其中的真命题为（ ）A ．12,p pB ．14,p p C. 23,p p D ．34,p p第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，若sin :sin :sin 3:4:6A B C =，则cos B = ． 14.若2332log (log )log (log )2x y ==，则x y += ． 15.若5()(12)x a x ++的展开式中3x 的系数为20，则a = ． 16.已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面积，且AB CD a ==，AC AD BC BD ====，则a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在等差数列{}n a 中，3412a a +=，公差2d =，记数列21{}n a -的前n 项和为n S . （1）求n S ； （2）设数列1{}n nn a S +的前n 项和为n T ，若25,,m a a a 成等比数列，求m T .18. 如图，在底面为矩形的四棱锥P ABCD -中，PB AB ⊥. （1）证明：平面PBC ⊥平面PCD ；（2）若异面直线PC 与BD 所成角为60，PB AB =，PB BC ⊥，求二面角B PD C --的大小.19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态，一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：车辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲：(1)4 1.1yx =+，方程乙：(2)26.41.6y x=+. （1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注：i i i e y y =-，i e 称为相应于点(,)i i x y 的残差（也叫随机误差））；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放，根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6,0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.4,0.6，问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入-成本）.20. 如图，设椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，F 为右焦点，直线6y x =与C 的交点到y 轴的距离为27，过点B 作x 轴的垂线l ，D 为l 上异于点B 的一点，以BD 为直径作圆E .（1）求C 的方程；（2）若直线AD 与C 的另一个交点为P ，证明：直线PF 与圆E 相切. 21. 已知函数21()ln 12f x x ax bx =-++的图像在1x =处的切线l 过点11(,)22. （1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 的最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +≥. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2cos 2sin (02)ρθθθπ=+≤<，点(1,)2M π，以极点O 为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线2:12x t l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于,A B 两点，且||||MA MB >.（1）若(,)P ρθ为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求此时点P 的极坐标；（2）求||||MA MB . 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()|2|f x x =-.（1）求不等式()5|1|f x x ≤--的解集； （2）若函数1()(2)g x f x a x =--的图像在1(,)2+∞上与x 轴有3个不同的交点，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CBADC 6-10: DCCBA 11、12：BA二、填空题13.2936 14. 593 15. 14- 16.三、解答题17.（1）∵3412a a +=，∴112521012a d a +=+=，∴11a =，∴21n a n =-， ∴212(21)143n a n n -=--=-，2(143)22n n nS n n +-==-（2）若25,,m a a a 成等比数列，则225m a a a =，即23(21)9m -=，∴14m = ∵11111()(21)(21)22121n nn a S n n n n +==--+-+，∴141111111114(1)(1)2335272922929m T T ==-+-++-=-=. 18. （1）证明：由已知四边形ABCD 为矩形，得AB BC ⊥， ∵PB AB ⊥，PBBC B =，∴AB ⊥平面PBC .又//CD AB ，∴CD ⊥平面PBC .∵CD ⊂平面PCD ，∴平面PBC ⊥平面PCD .（2）解：以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.设1PB AB ==，(0)BC a a =>，则(0,0,0)B ，(0,0,)C a ，(1,0,0)P ，(0,1,)D a ，所以(1,0,)PC a =-，(0,1,)BD a =，则||cos60||||PC BDPC BD •=，即22112a a =+， 解得1a =（1a =-舍去）.设111(,,)n x y z =是平面PBD 的法向量，则0n BP n BD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，即11100x y z =⎧⎨+=⎩，可取(0,1,1)n =-.设222(,,)m x y z =是平面PCD 的法向量，则00m PD m CD ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩即22220x y z y -++=⎧⎨=⎩，可取(1,0,1)m =，所以1cos ,2||||n m n m n m •<>==-，由图可知二面角B PD C --为锐角，所以二面角B PD C --的大小为60. 19. 解：（1）①经计算，可得下表：②22210.1(0.1)0.10.03Q =+-+=，220.10.01Q ==，12Q Q >，故模型乙的拟合效果更好.（2）若投放量为8千辆，则公司获得每辆车一天的收入期望为100.660.48.4⨯+⨯=， 所以一天的总利润为(8.4 1.7)800053600-⨯=（元）若投放量为1万辆，由（1）可知，每辆车的成本为26.41.6 1.66410+=（元）， 每辆车一天收入期望为100.460.67.6⨯+⨯=，所以一天的总利润为(7.6 1.664)1000059360-⨯=（元） 所以投放1万辆能获得更多利润，应该增加到投放1万辆. 20.（1）解：由题可知，12c a =，∴2a c =，223b c =， 设椭圆C 的方程为2222143x y c c+=，由22221436x y c c y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得22||77c x ==，∴1c =，2a =，23b =，故C 的方程为22143x y +=. （2）证明：由（1）可得：(1,0)F ，设圆E 的圆心为(2,)(0)t t ≠，则(2,2)D t ， 圆E 的半径为||R t =， 直线AD 的方程为(2)2ty x =+. 设过F 与圆E 相切的直线方程为1x ky =+，||t =，整理得：212t k t-=，由2(2)2112t y x t x y t ⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得22262363t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 又∵22222626()()33143t t t t -+++=， ∴直线PF 与圆E 相切. 21.（1）由'1()f x ax b x=-+，得'(1)1f a b =-+， l 的方程为1(1)(1)(1)2y a b a b x --++=-+-，又l 过点11(,)22，∴111(1)(1)(1)222a b a b --++=-+-，解得0b =. ∵21()()(1)ln (1)12g x f x a x x ax a x =--=-+-+，∴2'1()(1)1(1)1()1(0)a x x ax a x a g x ax a a x x x --+-+-+=-+-==>， 当1(0,)x a ∈时，'()0g x >，()g x 单调递增；当1(,)x a∈+∞时，'()0g x <，()g x 单调递减.故2max 111111()()ln ()(1)1ln 22g x g a a a a a a a a==-+-+=-.（2）证明：∵4a =-，∴2212121211221212()()3ln 21ln 213f x f x x x x x x x x x x x x x ++++=++++++++，212121212ln()2()22x x x x x x x x =++++-+=，∴2121212122()ln()x x x x x x x x +++=-令12(0)x x m m =>，()ln m m m ϕ=-，'1()m m mϕ-=，令'()0m ϕ<得01m <<；令'()0m ϕ>得1m >.∴()m ϕ在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，∴()(1)1m ϕϕ≥=，∴212122()1x x x x +++≥，120x x +>，解得：1212x x +≥. 22. （1）2cos 2sin )4πρθθθ=+=+，02θπ≤<，∴当4πθ=时，ρ取得最大值P的极坐标为)4π.（2）由2cos 2sin ρθθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+，即22220x y x y +--=， 故曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=.将1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)(1)2x y -+-=并整理得：210t -=，解得t =，∵||||MA MB >，∴由t的几何意义得，||2MA =，||2MB =，故||2||MA MB ==23.（1）由()5|1|f x x ≤--，得|1||2|5x x -+-≤，∴2235x x >⎧⎨-≤⎩或1215x ≤≤⎧⎨≤⎩或1325x x <⎧⎨-≤⎩，解得14x -≤≤，故不等式()5|1|f x x ≤--的解集为[1,4]-.（2）122,111()(2)|22|1122,12x x xh x f x x x x x x x⎧-+≥⎪⎪=-=--=⎨⎪+-<<⎪⎩，当112x <<时，1()2222h x x x =+-≥=，当且仅当12x x =，即2x =时取等号，∴min ()2h x =， 当1x ≥时，1()22h x x x=-+递减， 由1()(2)0g x f x a x=--=，得()h x a =， 又1()(1)12h h ==，结合()h x的图像可得2,1)a ∈.。
2020邯郸市高三理科数学二模模拟试题+答案
高三理科数学参考答案题号答案一、选择题l .D 在集合A 中，注意到a>1,log a 3>log a a, ..A —(1,3),E —CZ,+=)'C R B —(—=,zJ, :.A n cC R E )— (1,2]'故选D.l 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12D B D B D A B B D D D B 2. B z = (8—i ) (2—3i) 13—26i /n I n•, /n n 、=13 =l —2i, 故CD@正确，＠＠错误．故选B.3.D 在抽取的100名学生中，只能说出第一旬“春”或一旬也说不出的有100—45—32=23人，设全校三年23 X 级学生中对“二十四节气“歌只能说出第一旬“春”或一旬也说不出的有x 人，所以，X 115人，100 500故选D.4. B•: f(x)是R上的奇函数且单调递增，．二＄＠＠是偶函数且在(0,十=)上单调递增，故选B.5.D不等式组满足区域是由三点(1,3),( 4,0),(0,0)所构成的三角形内部及其边界，当O<a冬3或当—l 冬a <O时，直线ax+y —z =O过点(—1,3)时，z 取最大值1,解得a =2;当a>3时，过(0,0)取得最大值，无解；当a <1时，直线过(4,0)取得最大值，解得a =—（舍）；当a =O时，最大值为3'不符合题意．选D.6.A 由f(x)—sin(2x飞得sin (—气+cp )—o,即—气＋中飞(k E Z), 即厂抎＋气(k E Z), 令K ——1,则中＝—千，故选A.7. B 由半径r 2和弦长ABI凶5可得圆心(0,0)到直线l的距离为d 1 c l'即a z +b z c 2,:.勹当a 2+b2=2时，c =士迈，而当c =及时，矿+b 2=2, 故选B.8. B —ta n a1—m 2 m cos 2a = =— 2 '解得m 2=2 立.2亢1 +ta n 飞1+mz m +4':. c os 2a =—了,sin 2a = 3 , s m (a 勹）＝1—c os (纭十互2 2) =』+sin 2仪＝吾上2 2 3十，故选B.2 9. D 当双曲线为等轴双曲线时，e =迈．当双曲线为非等轴双曲线时，直线l与渐近线中的一条垂直，a b b c 2 矿十矿 1 4 1 2 :. X ——1, :. 矿—4a —l ,e 2——————+—+1————24a —1 a a a a ( ) +5<5, .. e 冬石，故选D.10. D 领导和队长站两端有A�种排法，其余5人分两种情况讨论：BC 相邻且与D相邻：凡A;种排法，BC相邻且与D不相邻：A�A�A;种排法，所以共有A仅A�A;+ A �A�A;) = 7 2种，故选D.11. D 将平面ABB 1A 1与平面BCC 1且放在一个平面内，连接AC 1,与B凡的交点即为M,此时BM =3,设1 1 四棱锥A —BCC 1M的体积为V 1,V 1=—X —X (3+7)X4X 3=20,三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V =32 V —V —X4X 3X7—42, :. 1 11 V 1 ——，故选D.10高三理科数学参考答案第1页（共4页）。
2020年河北省高三第二次适应性考试数学(理)试题-含答案
角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一五音阶音序，且宫、羽不相邻，且位于角音阶的同侧，
可排成的不同音序有（ ）
A.20 种
B.24 种
C.32 种
D.48 种
9.已知函数
与 轴交于点
，距离 轴最近的最大
值点
，若
，且
，恒有
，则实数 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.如图， 为 的外心，
为钝角， 是边 的中点，则
f（x）＝（4x+4﹣x）|x|是偶函数，但是 f（1）≠0，
f（x）＝（4x﹣4﹣x）log2|x|是奇函数，不满足题意． f（x）＝（4x+4﹣x）log2|x|是偶函数，f（1）＝0 满足题意；
f（x）＝（4x+4﹣x）
|x|是偶函数，f（1）＝0，x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意．
20.（本题满分 12 分） 由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3 个人依次进行，每人必须 在 1 分钟内完成，否则派下一个人．3 个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否 则淘汰出局．根据以往 100 次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．
（2）若 f (x1) f (x2 ) ， x1 x2 ，求证： ex1 ex2 2 ．
请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，请用 2B 铅 笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22．(本小题满分 10 分)选修 4 4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系
（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47，求 a、b 的值，并分别求出甲、乙在 1 分钟内解开 密码锁的频率； （2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并 且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5，各人是否解开密码锁相互独立． ①求该团队能进入下一关的概率； ②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到最小，并说明 理由． 21.（本题满分 12 分） 已知函数 f (x) ex x ． （1）讨论 f (x) 的单调性；
2019-2020学年河北省邯郸市第十四中学高三数学理模拟试卷含解析
2019-2020学年河北省邯郸市第十四中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在区间(π，2π)内没有最值，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B易知函数的单调区间为，.由得因为函数在区间内没有最值，所以在区间内单调，所以，所以，解得.由得当时，得当时，得又，所以综上，得的取值范围是故选B.2. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的图形表示，其中正确的有1②③参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元，0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) ①②(B) ②③(C) ①③(D)①②③参考答案：B【考点】分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】①错，当用电量为超过2880度至4800度之间时，不是所有的单价都是0.5383元，只是超出2800的部分单价为0.5383，不超过2800的部分单价还是0.4883元。
②③都正确。
3. 若复数的实部与虚部互为相反数,b= （▲）A.0B.1C.-1D.参考答案：B略4. 气象台预报“茂名市明天降雨的概率是80%”，下列理解正确的是( )。
A．茂名市明天将有80%的地区降雨 B．茂名市明天将有80%的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定要淋雨 D．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大参考答案：D5. 已知集合，集合，则集合A. B. C. D.参考答案：D6. 在中，内角A，B，C的对边分别是，若（）A． B．60C．120 D．150参考答案：A略7. 阅读右面的程序框图，若输出的，则输入的的值可能为（）A． B．C． D．参考答案：试题分析：若输入，符合条件，得到不合题意；若输入，符合条件，得到不合题意；若输入，符合条件，得到符合题意.故选.考点：算法与程序框图.8. 执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13参考答案：C【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，求出s=时n的值是11，得到n=12时，s＞，输出n的值为12．【解答】解：第一次循环，s=，n=2，第二次循环，s=+，n=3，第三次循环，s=++，n=4，…，第m次循环，s=+++…+=（1﹣）=，解得：m=10，n=m+1=11，第m+1次循环，s＞，n=12，输出n=12；故选：C．9. 若i为虚数单位，且复数满足，则复数的虚部是（）A．B．C．D．参考答案：D略10. （文）函数的图象如右图所示，则导函数的图象的大致形状是参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知如下算法语句输入t;If t<5 Then y=t2+1;Else if t<8 Then y=2t-1;Else y=;End IfEnd if输出y若输入t=8,则下列程序执行后输出的结果是.参考答案：9略12. 在△ABC中，D是BC的中点，AD＝8，BC＝20，则的值为．参考答案：－3613. 已知数列{a n}满足：对任意的n∈N*均有a n+1=ka n+2k﹣2，其中k为不等于0与1的常数，若a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2、3、4、5，则满足条件的a1所有可能值的和为．参考答案：【考点】数列递推式．【分析】依题意，可得a n+1+2=k（a n+2），再对a1=﹣2与a1≠﹣2讨论，特别是a1≠﹣2时对公比k分|k|＞1与|k|＜1，即可求得a1所有可能值，从而可得答案．【解答】解：∵a n+1=ka n+2k﹣2，∴a n+1+2=k（a n+2），∴①若a1=﹣2，则a1+1+2=k（a1+2）=0，a2=﹣2，同理可得，a3=a4=a5=﹣2，即a1=﹣2复合题意；②若a1≠﹣2，k为不等于0与1的常数，则数列{a n+2}是以k为公比的等比数列，∵a i∈{﹣272，﹣32，﹣2，8，88，888}，i=2，3，4，5，a n+2可以取﹣270，﹣30，10，90，∴若公比|k|＞1，则k=﹣3，由a2+2=10=﹣3（a1+2）得：a1=﹣；若公比|k|＜1，则k=﹣，由a2+2=﹣270=﹣（a1+2）得：a1=808．综上所述，满足条件的a1所有可能值为﹣2，﹣，808．∴a1所有可能值的和为：﹣2=．故答案为：．14. 定义在R上的函数满足，则=_________。
2020年河北省邯郸市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二
数学试卷一、选择题1.已知全集U R =,集合{}|021x A x =<<,{}3|log 0B x x =>,则( )A. {}|0x x <B. {}0x x C. {}|01x x << D. {}1x x 2.23cos 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.32 B. 12C. 3D. 12-3.已知抛物线的焦点()(),00F a a <,则抛物线的标准方程是( ) A. 24y ax = B. 22y ax = C. 24y ax =- D. 22y ax =- 4、命题 命题函数的图象过点,则( )A. 假 真B. 真 假C. 假 假D.真真5、执行下边的程序框图，则输出的A 是（ ）A ．B ．C ．D ．6、在直角梯形ABCD 中， ，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知2sin 21cos2αα=+,则tan 2α= ( )A. 43-B. 43C. 43-或0D. 43或08.32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为( )A.-8B.-12C.-20D.20 9、函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．10、F 是双曲线C ：的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂直，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ，若，则C 的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．211.直线y a =分别与曲线()21,ln y x y x x =+=+交于,A B ,则AB 的最小值为( ) A. 3 B. 2C.32D.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) 12、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A. B. C.4 D.二、填空题13、已知 ,若 ,则 =14.为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为0.850.25y x ∧=-，由以上信息，得到下表中c 的值为__________．15、在半径为5的球面上有不同的四点A 、B 、C 、D ，若 ，则平面BCD 被球所截面图形的面积为 . 16、已知 ，满足 ，则的取值范围为 . 三、解答题17、设数列的前n项和为，满足，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若成等差数列，求证：成等差数列.小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放1个.18、小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放1个.若小王发放5元的红包2个,求甲恰得1个的概率;若小王发放3个红包,其中5元的2个,10元的1个.记乙所得红包的总钱数为,求的分布列和期望.19、如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值.已知圆20、已知圆,点,以线段AB为直径的圆内切于圆,记点B的轨迹为.(Ⅰ)求曲线的方程;(Ⅱ)直线AB交圆于C,D两点,当B为CD中点时,求直线AB的方程.21、已知函数，.（Ⅰ）时，证明：；（Ⅱ），若，求a的取值范围.22、如图，圆周角的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD 交BC于点F.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若D，E，C，F四点共圆，且弧长AC等于弧长BC，求.23、选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C：，直线（t为参数）.（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线的普通方程；（Ⅱ）设，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线的距离相等，求点P的坐标.24、选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若的最小值为1，求a的值.参考答案1.答案：A解析：解析 {}210|0xx A x x <⇒<⇒=<,{}3log 011x x B x x >⇒>⇒=⇒{}|1x x =≤,所以{|0}x x =<,故选A. 2.答案：A 解析： 3.答案：A解析：【命题立意】本题考查抛物线的标准方程.【解题思路】先通过抛物线的焦点位置,确定抛物线标准方程的形式,然后再求未知参数p 的值.因为抛物线的焦点为()(),00F a a <,所以可设其标准方程为()220y px p =->,则2p a =-,所以抛物线的标准方程为24y ax =,故选A.答案： 4、解析： 因为 所以 解得 或在这个范围内没有自然数,所以命题 为假命题.命题 为真命题.故选A. 答案： 5、 解析：；，； ，； ，；，；输出A ，.考点：程序框图. 答案： 6、解析： 由题意画出图形，设 ，则 ， ，在 中，．考点：余弦定理 7.答案：D解析：因为2sin 21cos2αα=+,所以22sin 22cos αα=,所以()2cos 2sin cos 0ααα-=,解得cos 0α=或1tan 2α=,若cos 0α=,则2k παπ=+,k Z ∈,22k αππ=+,k Z ∈,所以tan 20α=;若1tan 2α=,则22tan 4tan 21tan 3ααα==-,综上所述,故选D. 8.答案：C解析：∵3622112x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴6161rr r r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()6261r r r C x -=-,令620r -=,即3r =,∴常数项为()336120C -=-,故选C.答案： 9、解析：当为第一象限角时，，所以；当为第二象限角时，，所以；当为第三象限角时，，所以；当为第四象限角时，，所以；考点：三角函数的符号答案：10、解析：由已知渐近线为，，由条件得，F到渐近线的距离，则，在中，，则，设的倾斜角为，即，则，在中，，在中，，而，即，即，∴ ，∴，即.考点：双曲线的标准方程及其性质、向量的运算.11.答案：C解析：答案：12、解析：根据几何的三视图,画出该几何体的直观图,如下图可知该几何体,是将一个棱长为2的正方体,沿着如图所示的截面,截去之后剩下的几何体,根据三视图的数据,可知该几何体的表面积为.答案：13、解析：试题分析:若,则;若,则矛盾,所以.点评:分段函数的求值是一个重要的考点,分段求值时要看清自变量所属的范围再求解.14.答案：6解析：答案：15、解析：过点A向面BCD作垂线，垂足为M，则M是外心，而外接球球心位于AN上，如图所示，设所在截面圆半径为r，∵ ，，∴在中，，∴ ，∴ ，在中，，∴ .考点：球的截面问题.答案：16、解析：∵ ，而，∴ ，∴ ，当且仅当时取等号，又∵ ，即，∴ ，综上可得：.考点：均值不等式、配方法.答案：17、解析：本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和公式、等差中项等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力. 第一问，当时，代入到已知等式中可直接求出的值，当时，利用，得到与的关系，从而得出数列为等比数列，从而得到数列的通项公式；第二问，利用等比数列的前n项和公式，利用等差中项列出等式，通过约分，化简，得到a 3＋a 6＝2a 9，再同时除以q，即得到结论.试题解析：（Ⅰ）当n＝1时，由(1－q)S 1＋q＝1，当n≥2时，由(1－q)S n＋q n＝1，得(1－q)S n－1＋q n－1＝1，两式相减得(1－q)a n＋q n－q n－1＝0，因为q(q－1)≠0，得a n＝q n－1，当n＝1时，a 1＝1．综上a n＝q n－1． 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以{a n}是以1为首项，q为公比的等比数列．所以，又S 3＋S 6＝2S 9，得，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q得a 2＋a 5＝2a 8．故a 2，a 8，a 5成等差数列． 12分考点：等比数列的通项公式及前n项和公式、等差中项.答案：18、解析：(Ⅰ)设“甲恰得一个红包”为事件A,.(Ⅱ)X的所有可能值为0,5,10,15,20., ,.X的分布列:答案：19、解析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、二面角等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力.第一问，连结AC 1，CB 1，取中点，连结、，由于△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形，所以CC 1⊥OA，CC 1⊥OB 1，所以利用线面垂直的判定，得到CC 1⊥平面OAB 1，再利用线面垂直的性质得到CC 1⊥AB 1；第二问，利用向量法，利用第一问的相互垂直关系建立空间直角坐标系，写出相应的的坐标及相应向量的坐标，求出平面CAB 1和平面A 1AB 1的法向量，再利用夹角公式求出，最后判断出二面角是钝角还是锐角.试题解析：（Ⅰ）证明：连AC 1，CB 1，则△ACC 1和△B 1CC 1皆为正三角形．取CC 1中点O，连OA，OB 1，则CC 1⊥OA，CC 1⊥OB 1，则CC 1⊥平面OAB 1，则CC 1⊥AB 1．4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，OA＝OB 1＝，又AB 1＝，所以OA⊥OB 1．如图所示，分别以OB 1，OC 1，OA为正方向建立空间直角坐标系，则C(0，－1，0)，B 1( ，0，0)，A(0，0，)，6分设平面CAB 1的法向量为m＝(x 1，y 1，z 1)，因为，，所以，取m＝(1，－，1)．8分设平面A 1AB 1的法向量为n＝(x 2，y 2，z 2)，因为，，所以，取n＝(1，0，1)．10分则，因为二面角C-AB 1-A 1为钝角，所以二面角C-AB 1-A 1的余弦值为．12分考点：线线垂直、线面垂直、二面角.答案：20、解析：(Ⅰ)设AB的中点为M,切点为N,连OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,取A关于y轴的对称点A¢,连A¢B,故|A¢B|+|AB|=2(|OM|+|MN|)=4.所以点B的轨迹是以A¢,A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,,b=1,则曲线Γ的方程为.(Ⅱ)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则.又解得,.则k OB=,k AB=,则直线AB的方程为,即或.答案：21、解析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力.第一问，对求导，再构造函数进行二次求导，通过对的分析，得到的最小值，从而得到，判断得出在内单调递增，从而求出最小值；第二问，构造，对求导，需构造函数进行二次求导，结合第一问的结论，可得在单调递减，然后对、、进行讨论，证明的最大值小于等于0即可.试题解析：（Ⅰ）令p(x)＝f¢(x)＝e x－x－1，p¢(x)＝e x－1，在(－1，0)内，p¢(x)＜0，p(x)单减；在(0，＋∞)内，p¢(x) ＞0，p(x)单增．所以p(x)的最小值为p(0)＝0，即f¢(x)≥0，所以f(x)在(－1，＋∞)内单调递增，即f(x)＞f(－1)＞0．4分（Ⅱ）令h(x)＝g(x)－(ax＋1)，则h¢(x)＝－e －x－a，令q(x)＝－e －x－a，q¢(x)＝－．由（Ⅰ）得q¢(x)＜0，则q(x)在(－1，＋∞)上单调递减．6分（1）当a＝1时，q(0)＝h¢(0)＝0且h(0)＝0．在(－1，0)上h¢(x)＞0，h(x)单调递增，在(0，＋∞)上h'(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)的最大值为h(0)，即h(x)≤0恒成立．7分（2）当a＞1时，h¢(0)＜0，x∈(－1，0)时，h¢(x)＝－e －x－a＜－1－a＝0，解得x＝∈(－1，0)．即x∈( ，0)时h¢(x)＜0，h(x)单调递减，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．9分（3）当0＜a＜1时，h¢(0)＞0，x∈(0，＋∞)时，h¢(x)＝－e －x－a＞－1－a＝0，解得x＝∈(0，＋∞)．即x∈(0，)时h¢(x)＞0，h(x)单调递增，又h(0)＝0，所以此时h(x)＞0，与h(x)≤0恒成立矛盾．11分综上，a的取值为1．12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值.答案：22、解析：本题主要考查几何证明、四点共圆、角的转化等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、读图能力、运算求解能力. 第一问，利用圆的弦切角相等，同弧所对的圆周角相等，角平分线进行角间的转化，得到内错角相等，即得证BC∥DE；第二问，结合第一问中的结论，得∠CFA＝∠ACF，利用同弧所对圆周角相等得∠CBA＝∠BAC，通过角之间的转化，在三角形ACF中，计算出，从而得到的值.试题解析：（Ⅰ）证明：因为∠EDC＝∠DAC，∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以B C∥DE．4分（Ⅱ）解：因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由（Ⅰ）知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF．设∠DAC＝∠DAB＝x，因为弧长AC＝弧长BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，π＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则，所以∠BAC＝2x＝．10分考点：几何证明、四点共圆、角的转化.答案：23、解析：本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力. 第一问，利用椭圆的参数方程，直接得到将直线的参数方程消参，得到直线的普通方程；第二问，由于P点在椭圆上，结合参数方程设出P点坐标，利用两点间的距离公式，及点到直线的距离公式，再相等，解出及，从而得到P点坐标.试题解析：（Ⅰ）C：（θ为参数），l：x－y＋9＝0．4分（Ⅱ）设,则，P到直线l的距离．由|AP|＝d得3sinθ－4cosθ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得，．故．10分考点：极坐标方程与直角坐标方程的转化、参数方程与普通方程的转化.答案：24、解析：本题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质等基础知识，意在考查考生的分析问题解决问题的能力、运算求解能力.第一问，先利用零点分段法去掉绝对值，得到关于的分段函数，再分别解的不等式，综合所得不等式；第二问，利用不等式的性质，关键是等号成立的条件必须同时成立，得到最小值，令其等于1，解绝对值不等式即可得到a的值.试题解析：（Ⅰ）因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝，且f(1)＝f(－1)＝3，所以，f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}；4分（Ⅱ）|2x－a|＋|x＋1|＝|x－|＋|x＋1|＋|x－|≥|1＋|＋0＝|1＋|当且仅当(x＋1)(x－)≤0且x－＝0时，取等号．所以|1＋|＝1，解得a＝－4或0． 10分考点：不等式的证明、绝对值不等式的解法、不等式的性质.。
2023届河北省邯郸市高三二模数学试题及答案
邯郸市2023届高三年级第二次模拟试题数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2A x x =<，{}23B x x x =≤，则()R A B ⋂=ð（）A.{}20x x -<< B.{}02x x <≤ C.{}3x x > D.{}23x x -<≤2.若()1i z z +=，则2i z +=（）A.12-B.12C.1i 2-D.1i 23.向量m ，n 满足5m n ⋅= ，且()1,3m =- 则n 在m上的投影向量为（）A.55,3⎛⎫- ⎪⎝⎭ B.13,1010⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D.10310,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭4.已知直线y x =是曲线()ln f x x a =+的切线，则a =（）A.1- B.1C.2- D.25.2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，来自A 省的3名代表和B 省的3名代表合影留念.假设6名代表站成一排，则A 省的3名代表互不相邻，且B 省的3名代表也互不相邻的概率为（）A.120B.110 C.310D.156.已知函数()()cos 22f x x πθθ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则函数()f x 的极值点为（）A.()6k k ππ+∈Z B.()62k k ππ+∈Z C.()12k k ππ+∈Z D.()122k k ππ+∈Z7.如图①，“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为()233V R h h π=-，其中R 是球的半径，h 是球缺的高.某航空制造公司研发一种新的机械插件，其左右两部分为圆柱，中间为球切除两个相同的“球缺”剩余的部分，制作尺寸如图②所示（单位：cm ）.则该机械插件中间部分的体积约为（3π≈）（）A.362326cmB.362328cmC.362352cm D.362356cm8.设ln 5ln 3a =-，232e 5b =，23c =，则（）A.c b a>> B.a b c>> C.a c b>> D.c a b>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知()f x 是定义在R 上的函数，()()0f x f x --=，且满足()1f x +为奇函数，当[)0,1x ∈时，()cos2xf x π=-，下列结论正确的是（）A.()10f = B.()f x 的周期为2C.()f x 的图象关于点()1,0中心对称D.202322f ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知O 为坐标原点，抛物线()2:20E x py p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点()0,2且斜率为k 的直线l 与E 交于A ，B 两点，()3,2C --，则下列叙述正确的是（）A.E 的准线方程为1x =-B.4OA OB ⋅=-恒成立C.若2k =，则20FA FB += D.若CFA CFB ∠=∠，则32k =-11.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，以A 为顶点的三条棱长都是2，113A AD A AB BAD π∠=∠=∠=，则（）A.EF ∥平面11A C DB.1AC =C.四边形11BDD B 的面积为2D.平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为12.已知函数()()23f x x x =-，若存在a b c <<满足()()()f a f b f c ==，()()g x f x m =+，下列结论正确的是（）A.若()()()0g a g b g c ===，则()4,0m ∈-B.9a b c ++=C.()0,4abc ∈ B.()2,3a b +∈三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.()41313x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_________.（用数字作答）14.已知直线:50l x y -+=与圆22:2440C x y x y +---=交于A ，B 两点，若M 是圆上的一动点，则MAB △面积的最大值是___________.15.若数列{}n a 从第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列{}n a 为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上，用剪刀沿直线剪一圆形纸片，将剪()*n n ∈N刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为nb，经实际操作可得12b =，24b =，37b =，411b =，…，根据这一规律，得到二阶等差数列{}n b ，则6b =________；若将圆形纸片最多分成1276块，则n =_________.（本题第一空2分，第二空3分）16.已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C于M 、N 两点，交y 轴于点P ，2BPPO=，BMN △的周长为16，则椭圆的标准方程为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知条件：①22cos a b c B =+；②2sin cos sin 2cos a A B b A C +=；③232cos 2C C =-.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足：___________.（1）求角C 的大小；（2）若c =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点I ，求ABI △周长的最大值.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，0n a >，13a =，记数列{}n a 的前n 项的乘积为n S ，且n S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n a b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()1,n T n n ∈-.19.（本小题满分12分）某企业为在推进中国式现代化新征程中展现更大作为，在提升员工敬业精神和员工管理水平上实施新举措制定新方案.现对员工敬业精神和员工管理水平进行评价，从企业中选出200人进行统计，其中对员工敬业精神和员工管理水平都满意的有50人，对员工敬业精神满意的人数是总人数的40%，对员工管理水平满意的人数是总人数的45%.（1）完成对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表，依据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联？项目对员工管理水平满意对员工管理水平不满意合计对员工敬业精神满意对员工敬业精神不满意合计（2）若将频率视为概率，随机从企业员工中抽取3人参与此次评价，设对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望.（3）在统计学中常用()()()P B A T B A P B A=表示在事件A 发生的条件下事件B 发生的优势，现从该企业员工中任选一人，A 表示“选到对员工管理水平不满意”、B 表示“选到对员工敬业精神不满意”，请利用样本数据，估计()T B A 的值.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.050.010.001nx 3.841 6.63510.82820.（本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，BC AD ∥，BC ⊥平面PAB ，22PA AB BC AD ====，E 为AB 的中点，且PE EC ⊥.（1）求证：BD ⊥平面PEC .（2）求二面角E PC D --的余弦值.21.（本小题满分12分）已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）过()12,0P ，()20,4P ，()3P-，()4P 四个点中的三个点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且11P A PB ⊥，求证：直线l 经过一个不在双曲线C 上的定点，并求出该定点的坐标.22.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 1f x x x mx m =+-+.（1）若()f x 单调递减，求m 的取值范围；（2）若()f x '的两个零点分别为a ，b ，且2a b <，证明：2632eab >.（参考数据：ln 20.69≈）邯郸市2023届高三年级第二次模拟试题数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ADCBBBCA二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.题号9101112答案ACD BD ABD ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.5-14.315.375016.2211612x y +=四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）选择条件①22cos a b c B =+.由余弦定理得222222222a c b a c b a b c b ac a +-+-=+⋅=+，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==，又()0,C π∈，所以3C π=.选择条件②2sin cos sin 2cos a A B b A C +=.可得sin cos sin cos cos a A B b A A C +=.由正弦定理得，2sin cos sin sin cos cos A B A B A A C +=，因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos A B B A C +=，得()sin A B C +=.因为A B C π++=，所以sin C C =，tan C =又()0,C π∈，所以3C π=.232cos2C C =-.232cos112cos 2C C C ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭，cos 2C C +=，所以sin 16C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又()0,C π∈，所以7,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以62C ππ+=，即3C π=.（2）因为3C π=，所以23ABC BAC π∠+∠=，因为BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，所以3ABI BAI π∠+∠=，所以23AIB π∠=，设ABI θ∠=，则3BAI πθ∠=-，且03πθ<<，在ABI △中，由正弦定理得，2342sin sin sinsin 33BI AI AB AIB ππθθ====∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以4sin 3BI πθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，4sin AI θ=，所以ABI △的周长为4sin 4sin 3πθθ⎛⎫+-+⎪⎝⎭314cos sin 4sin 22θθθ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 4sin 3πθθθ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为03πθ<<，所以2333πππθ<+<，所以当32ππθ+=，即6πθ=时，ABI △的周长取得最大值，最大值为4+.故ABI △周长的最大值为4+.18.【解题指导】（1）根据21n n n S a +=，可得2211n n n S a +++=，两式相除可得11nn n n a a ++=，两边取对数可得1lg lg 1n na a n n+=+，结合2n =时求得29a =，可得21lg lg lg 321a a ==，可得lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，即可求得答案.（2）由（1）的结论可得11n n n a b a -=+的解析式，从而求得n T ，结合放缩法以及等比数列的前n 项和公式确定nT 的范围.【解析】（1）由题意知n S 为正项数列{}n a 的前n项的乘积，n S =，可得21n n n S a +=，2211n n n S a +++=，两式相除得11n n n n a a ++=，所以11lg lg n n n n a a ++=，即()1lg 1lg n n n a n a +=+，所以1lg lg 1n na a n n+=+，当2n =时，()2232122S a a a ==，所以()23223a a =，解得29a =，所以21lg lg lg 321a a ==，结合1lg lg 1n n a a n n +=+，可知数列lg n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是常数列，所以1lg lg lg 31n a a n ==，所以lg lg 3lg 3n n a n ==，所以3n n a =.（2）由（1）可得1312113131n n n n n n a b a --===-+++，则12122221111112313131313131n n nT n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，由于1212111111111111331131313133323213n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++<+++==-< ⎪+++⎝⎭- ，故1211121313131n nT n n ⎛⎫=-+++>-⎪+++⎝⎭，且n T n <，所以1n n T n -<<，即()1,n T n n ∈-.19.【解析】（1）由题意可得关于对员工敬业精神和员工管理水平评价的2×2列联表项目对员工管理水平满意对员工管理水平不满意合计对员工敬业精神满意503080对员工敬业精神不满意4080120合计90110200零假设为0H ：对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意无关.据表中数据计算得：()220.012005080304016.498 6.6358012090110x χ⨯⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为对员工敬业精神满意与对员工管理水平满意有关联.（2）对员工敬业精神和对员工管理水平都满意的概率为14，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3.其中()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21313271C 4464P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()2231392C 4464P X ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭；()3113464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以随机变量X 的分布列为X 0123P27642764964164则()27279130123646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）()()()()()()()()()()()808303P AB P B A P A P AB n AB T B A P AB P AB n AB P B AP A ======，所以估计()T B A 的值为83.20.【命题立意】本题考查空间点、直线与平面的位置关系等知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查数形结合思想；体现应用性、创新性、综合性，考查直观想象、数学运算的核心素养.【解析】方法一：（1）因为BC ⊥平面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以BC PE ⊥.因为PE EC ⊥，EC BC C ⋂=，所以PE ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以PE BD ⊥.又因为1tan tan 2ABD BCE ∠=∠=，所以ABD BCE ∠=∠，90ABD CEB ∠+∠=︒，即BD CE ⊥.因为PE CE E ⋂=，所以BD ⊥平面PEC .（2）由（1）得PE AB ⊥，E 为AB 的中点，所以2PBPA AB ===.以E 为坐标原点，EB ，EP 所在直线分别为x 轴，z 轴，过点E 作BC 的平行线为y 轴，建立空间直角坐标系Exyz ，则(P ，()1,2,0C ，()1,1,0D-，()1,0,0B ，(1,2,PC = ，(1,1,PD =- ，(0,0,PE =.设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =.由0PC m⋅= ，0PD m ⋅= 得200x y x y⎧+-=⎪⎨-+-=⎪⎩，令1x =，则2y =-，z =，即(1,2,m =- .由（1）知平面PCE 的一个法向量为()2,1,0BD =-，所以10cos ,5m BD m BD m BD⋅==-.根据观察，二面角E PC D --为锐二面角，所以二面角E PC D --的余弦值为5.方法二：（1）依题意得AD ⊥平面PAB ，以A 为坐标原点，AB方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PAB θ∠=，()0,θπ∈，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,1,0D ，()1,0,0E ，()2cos ,0,2sin P θθ，()12cos ,0,2sin PE θθ=-- ，()1,2,0CE =--.因为PE EC ⊥，所以2cos 10PE CE θ⋅=-= ，1cos 2θ=，所以3πθ=.所以(P，(1,2,PC =，(0,0,PE =，(1,1,PD =-.设平面PEC 的法向量为(),,m x y z =.由0PC m ⋅= ，0PE m ⋅=，得200x y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1y =，则2x =-，即()2,1,0m =- .由()2,1,0BD m =-=，所以BD ⊥平面PEC .（2）设平面PCD 的法向量为(),,n a b c =.由0PC n ⋅= ，0PD n ⋅=，得200a b a b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =-，则2b =，c =(1,n =-.所以cos ,5m n m n m n⋅===.所以二面角E PC D --的余弦值为105.21.【解析】（1）根据双曲线的对称性可知()3P -，()4P 关于y 轴对称，所以3P ，4P 必同时在双曲线上，而()20,4P 不可能在双曲线22221x y a b-=上.则双曲线还经过点()12,0P ，则22214x y b-=，将点()3P -代入，可得21b =.所以双曲线C 的方程为2214x y -=.（2）（ⅰ）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2244y kx mx y =+⎧⎨-=⎩，整理得，()222148440k x kmx m ----=.由()()()22221408414440k km k m ⎧-≠⎪⎨∆=----->⎪⎩，得222140140k k m ⎧-≠⎪⎨-+>⎪⎩（*），且122814km x x k +=-，21224414m x x k --=-，因为()12,0P ，所以()1112,P A x y =- ，()1222,PB x y =- ，因为11P A PB ⊥，所以110P A PB ⋅= ，即()()1212220x x y y --+=，所以()()()121212240x x x x kx m kx m -+++++=，即()()()2212121240k x x km x x m ++-+++=，所以()()2222244812401414m km k km m k k --++-++=--，化简，得22316200m km k ++=，即()()31020m k m k ++=，所以103m k =-或2m k =-，且均满足（*），当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线l 过定点()2,0，即点1P ，不符合题意，舍去；当103m k =-时，直线l 的方程为103y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线l 过定点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合题意.（ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为()2x n n =>，由2244x n x y =⎧⎨-=⎩，解得22214A B A B x x n n y y ==⎧⎪⎨==-⎪⎩，依题意，因为11P A PB ⊥，()12,0P ，所以2A y n =-，即()222A y n =-，所以221444n n n -=-+，即2316200n n -+=，解得2n =（舍）或103n =，所以直线l 的方程为103x =，直线l 过点10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，直线l 经过一个不在双曲线C 上的定点，定点的坐标为10,03⎛⎫⎪⎝⎭.22.【解析】（1）由()()2ln 1f x x x mx m =+-+得，()()ln 220f x x mx x '=-+>，因为()f x 单调递减，所以()ln 220f x x mx '=-+≤在0x >时恒成立，即ln 22x m x+≥，令()()ln 20x g x x x +=>，则()2ln 1x g x x --'=，可知10e x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增；1e x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，则1e x =时()g x 取最大值1e e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2e m ≥，e 2m ≥，所以m 的取值范围是e,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）因为()()ln 220f x x mx x '=-+>有两个零点a ，b ，令()()()ln 220x f x x mx x ϕ'==-+>，则()12x m xϕ'=-，当0m ≤时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，不符合题意，可知0m >，且20b a >>，要证明2632e ab >，只需证明ln 2ln 5ln 26a b +>-.由ln 220ln 220a ma b mb -+=⎧⎨-+=⎩得ln 22ln 22a ma b mb =-⎧⎨=-⎩，则ln ln 2a b m a b -=-，所以()()lnln ln ln 2ln 22626261a a b a b a b m a b a b a a b b b -⎛⎫+=+-=+-=+- ⎪-⎝⎭-.令a t b =，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，要证明ln 2ln 5ln 26a b +>-，只需证明()ln 25ln 21t t t +>-.令()()ln 21t h t t t =+-，且10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()223ln 11t t t h t t --+'=-，令()23ln 1u t t t t =--+，且10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()()22123210t t u t t t t --'=-+=>，则()u t 在10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，故()113ln 23022u t u ⎛⎫<=+-< ⎪⎝⎭，故()0h t '<，则()h t 在10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减，所以()15ln 22h t h ⎛⎫>=⎪⎝⎭，即()ln 25ln 21t t t +>-，则有ln 2ln 5ln 26a b +>-，所以2632e ab >，即原不等式成立.。
2020-2021学年河北省高考数学二模试卷(理科)及答案解析
河北省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或33．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm35．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．217．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.88．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．111．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是名．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【考点】1D：并集及其运算．【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．2．若复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3【考点】A2：复数的基本概念．【分析】根据复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，可得x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x．【解答】解：∵复数z=（x2+2x﹣3）+（x+3）i为纯虚数，∴x2+2x﹣3=0，x+3≠0，解得x=1．故选：B．3．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=（）A．2 B．﹣4 C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用直线斜率的定义、二倍角的正切公式，进行计算即可．【解答】解：∵角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y=2x上，∴tanθ=2；∴tan2θ==﹣，故选D．4．已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，那么该三棱锥的体积等于（）A．cm3B．2cm3C．3cm3D．9cm3【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】该三棱锥高为3，底面为直角三角形．【解答】解：由三视图可知，该三棱锥的底面为直角三角形，两个侧面和底面两两垂直，∴V=××3×1×3=．故选A．5．在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax ﹣a2＞0}这个事件的测度为3，故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，故选：D．6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，a+b=12，则△ABC面积的最大值为（）A．8 B．9 C．16 D．21【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据基本不等式求得ab的范围，进而利用三角形面积公式求得．【解答】解：∵ab≤（）2=36，当且仅当a=b=6时，等号成立，∴S△ABC=absinC≤×36×=9，故选：B．7．某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元（其他因素不考虑），计算收费标准的框图如图所示，则①处应填（）A．y=2.0x+2.2 B．y=0.6x+2.8 C．y=2.6x+2.0 D．y=2.6x+2.8【考点】EF：程序框图．【分析】由题意可得：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，应按超过2公里的里程每公里收2.6元，另每车次超过2公里收燃油附加费1元收费，进而可得函数的解析式．【解答】解：当满足条件x＞2时，即里程超过2公里，超过2公里时，每车收燃油附加费1元，并且超过的里程每公里收2.6元∴y=2.6（x﹣2）+7+1=8+2.6（x﹣2），即整理可得：y=2.6x+2.8．故选：D．8．已知一个球的表面上有A、B、C三点，且AB=AC=BC=2，若球心到平面ABC的距离为1，则该球的表面积为（）A．20πB．15πC．10πD．2π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由正弦定理可得截面圆的半径，进而由勾股定理可得球的半径和截面圆半径的关系，解方程代入球的表面积公式可得．【解答】解：由题意可得平面ABC截球面所得的截面圆恰为正三角形ABC的外接圆O′，设截面圆O′的半径为r，由正弦定理可得2r=，解得r=2，设球O的半径为R，∵球心到平面ABC的距离为1，∴由勾股定理可得r2+12=R2，解得R2=5，∴球O的表面积S=4πR2=20π，故选：A．9．当双曲线的焦距取得最小值时，其渐近线的方程为（）A．y=±x B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦距2c=2=2，由二次函数的性质分析可得当m=1时，双曲线的焦距最小，将m的值代入双曲线方程可得此时双曲线的方程，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦距2c=2=2，分析可得：当m=1时，双曲线的焦距最小，此时双曲线的方程为：﹣=1，其渐近线的方程为y=±x，故选：B．10．已知数列{a n}中，前n项和为S n，且，则的最大值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣a n﹣1，化为：==1+，由于数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：C．11．若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A． B． C．D．【考点】KE：曲线与方程．【分析】取特殊点代入进行验证即可．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选B．12．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．则下列命题中：①若C点在线段AB上，则有d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）．②若点A，B，C是三角形的三个顶点，则有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）．③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线x=0．④若A为坐标原点，B在直线x+y﹣2=0上，则d（A，B）的最小值为2．真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】IS：两点间距离公式的应用；2K：命题的真假判断与应用．【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．【解答】解：若点C在线段AB上，设C点坐标为（x0，y0），x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）成立，故①正确；在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0﹣x1|+|y0﹣y1|+|x2﹣x0|+|y2﹣y0|≥|（x0﹣x1）+（x2﹣x0）|+|（y0﹣y1）+（y2﹣y0）|=|x2﹣x1|+|y2﹣y1|=d（A，B）③，故②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|=|x﹣1|+|y|}，由|x+1|=|x﹣1|，解得x=0，∴到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即③成立；设B（x，y），则d（A，B）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|=|x|+|2﹣x|≥2，即d（A，B）的最小值为2，故④正确；综上知，正确的命题为①③④，共3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知△ABC中，若AB=3，AC=4，，则BC= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】先根据向量的数量积公式可得•=||•||cosA=6，再根据余弦定理即可求出．【解答】解：∵AB=3，AC=4，，∴•=||•||cosA=6，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB••cosA=9+16﹣12=13，∴BC=，故答案为：．14．某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，x和y须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是7 名．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由题意由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，又不等式组画出可行域，又要求该校招聘的教师人数最多令z=x+y，则题意求解在可行域内使得z取得最大．【解答】解：由于某所学校计划招聘男教师x名，女教师y名，且x和y须满足约束条件，画出可行域为：对于需要求该校招聘的教师人数最多，令z=x+y⇔y=﹣x+z 则题意转化为，在可行域内任意去x，y且为整数使得目标函数代表的斜率为定值﹣1，截距最大时的直线为过⇒（4，3）时使得目标函数取得最大值为：z=7．故答案为：7．15．若直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，则的展开式中x的系数为210 ．【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，求出a=2，由此利用分类讨论思想能求出=（x+﹣2）5的展开式中x的系数．【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0与2x+4y﹣3=0平行，∴，解得a=2，∴=（x+﹣2）5，∴展开式中x的系数为：++=80+120+10=210．故答案为：210．16．已知定义在（0，∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）是连续不断的，若方程f'（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f=2017，设a=f（20.5），b=f（log43），c=f（logπ3），则a，b，c的大小关系是a＞c＞b ．【考点】3S：函数的连续性．【分析】根据题意得出f（x）是单调函数，得出f（x）﹣log2015x是定值；设t=f（x）﹣log2015x，得f（x）=t+log2015x，结合f（x）是单调增函数判断a，b，c的大小．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数；由题意得∀x∈（0，+∞），f=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2015x是定值，设t=f（x）﹣log2015x，则f（x）=t+log2015x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5，∴a＞c＞b．故答案为：a＞c＞b．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列{a n}是等差数列，且a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）在（1）中，设b n=，求证：当c=﹣时，数列{b n}是等差数列．【考点】8E：数列的求和；8C：等差关系的确定．【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，即可求{a n}的通项公式；（2）先化简b n，再利用定义证明即可．【解答】解：（1）解方程x2﹣6x+5=0得其二根分别为1和5，∵a1，a2（a1＜a2）分别为方程x2﹣6x+5=0的二根∴以a1=1，a2=5，∴{a n}等差数列的公差为4，∴=2n2﹣n；（2）证明：当时，=，∴b n+1﹣b n=2（n+1）﹣2n=2，∴{b n}是以2为首项，公差为2的等差数列．18．为了检验训练情况，武警某支队于近期举办了一场展示活动，其中男队员12人，女队员18人，测试结果如茎叶图所示（单位：分）．若成绩不低于175分者授予“优秀警员”称号，其他队员则给予“优秀陪练员”称号．（1）若用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“优秀警员”的概率是多少？（2）若所有“优秀警员”中选3名代表，用ξ表示所选女“优秀警员”的人数，试求ξ的分布列和数学期望．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人．用分层抽样的方法，与古典概率计算公式即可得出．（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3．利于古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）根据茎叶图，有“优秀警员”12人，“优秀陪练员”18人用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是所以选中的“优秀警员”有4人，“优秀陪练员”有6人．用事件A表示“至少有1名“优秀警员”被选中”，则=．因此，至少有1人是“优秀警员”的概率是（2）依题意，ξ的取值为0，1，2，3.，，，，因此，ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3p∴．19．如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求二面角D﹣EC﹣B的正弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，四边形AEFG 为平行四边形，即AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，可证平面BDE⊥平面BCD（2），过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，可得∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中．由面积相等可知：，；，根据余弦定理=，即可．【解答】解：（1）证明：如下图所示：取BD边的中点F，BC的中点为G，连接AG，FG，EF，由题意可知，FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE，即四边形AEFG为平行四边形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF⊂面BDE，故平面BDE⊥平面BCD（2）由AB=2，AE=1可知，，同理又DC=BC=2，EC为△BEC，△DEC的公共边，知△BEC≌△DEC，过点B在△BEC内做BM⊥EC，垂足为M，连接DM，则DM⊥EC，所以∠DMB为所求二面角的平面角在等腰三角形EBC中，BC=2．由面积相等可知：，；根据余弦定理=所以二面角D﹣EC﹣B正弦值为20．已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，A（a，0），b（0，b），D（﹣a，0），△ABD的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设P（x0，y0）是椭圆C在第二象限的部分上的一点，且直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求四边形ABNM的面积．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）根据椭圆的离心率公式及三角形的面积公式，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）求得直线PA的方程，求得丨BM丨，同理求得丨AN丨，由，代入即可求得四边形ABNM的面积．【解答】解：（1）由题意得，解得a=2，．∴椭圆C的方程为．（2）由（1）知，A（2，0），，由题意可得，因为P（x0，y0），﹣2＜x0＜0，，．∴直线PA的方程为令x=0，得．从而=．直线PB的方程为．令y=0，得．从而|AN|=|2﹣x N|=．∴|AN|•|BM|=，=，=，=．∴=，四边形ABNM的面积2．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=e x的切线l1，l2，若两切线的斜率互为倒数，求证：1＜a＜2．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）利用导数求函数的单调区间，从而求解函数f（x）的极值；（2）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设l1的方程，整理得，再令，求导确定函数的单调性，从而问题得证．【解答】（1）解：①若a≤0时，＞0所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，故无极大值和极小值②若a＞0，由得，所以．函数f（x）单调递增，，函数f（x）单调递减故函数f（x）有极大值a﹣lna﹣1，无极小值．（2）证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则=，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得令，则，所以m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．又x0为m（x）的一个零点，所以①若x1∈（0，1），因为，，所以，因为所以=1﹣lnx1，所以1＜a＜2．②若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以a=1﹣lnx1=0（舍去）．综上可知，1＜a＜2．选修4-4：坐标系与参数方程22．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sinθ+cosθ=．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求出圆心到直线的距离，即可求直线l被圆C所截得的弦长．【解答】解：（1）圆C的参数方程化为普通方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的极坐标方程化为平面直角坐标方程为x+y=1，（2）圆心到直线的距离，故直线l被圆C所截得的弦长为．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，即可求不等式f（x）≥3的解集；（2）f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，利用关于x的不等式f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或解得：或，∴不等式的解集为或．（2）∵f（x）=|x﹣1|+|x+1|﹣2≥|（x﹣1）﹣（x+1）|﹣2=0，且f（x）≥a2﹣a﹣2在R上恒成立，∴a2﹣a﹣2≤0，解得﹣1≤a≤2，∴实数a的取值范围是﹣1≤a≤2．。
河北省邯郸市魏徵中学2020年高三数学理模拟试卷含解析
河北省邯郸市魏徵中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设曲线在点（1，）处的切线与直线平行，则（）A． 1 B．C．D．参考答案：A2. 已知菱形ABCD的对角线AC长为1，则=（）A．4 B．2 C．1 D．参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积定义，写出，由零星的对角线互相垂直平分，利用三角中余弦函数的定义、以及||?cos∠DAC=||，即可得到答案．【解答】解：菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，则AC⊥BD，且AO=AC=．由平面向量的数量积定义可知： =||?||cos∠DAC=||?||=1×=，故选：D．【点评】本题考查两平面向量的数量积的定义，借助菱形的对角线互相垂直平分，考查基本的三角函数的运算，是一道基础题．3. 已知函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且当时，有函数（） A．4 B．2 C．－2 D．参考答案：C4. 若x>0, y>0且，则的最小值为( )A．3 B．C．2 D．3+参考答案：D略5. 总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为（）附：第6行至第9行的随机数表2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 49503211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 67322748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 16207477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125A. 3B. 16C. 38D. 20参考答案：D【分析】由简单随机抽样，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，按题目要求取出结果【详解】按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则编号依次为33，16，20，38，49，32，则选出的第3个个体的编号为20，故选：D．【点睛】本题考查了简单随机抽样，属简单题4.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据截面与底面所成的角是45°，根据直角三角形写出椭圆的长轴长，而椭圆的短轴长是与圆柱的底面直径相等，求出的值，根据椭圆的离心率公式，代入的值，求出结果．【详解】设圆柱底面圆的半径为，∵与底面成45°角的平面截圆柱，∴椭圆的半长轴长是，半短轴长是，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查平面与圆柱的截线，考查椭圆的性质，考查等腰直角三角形的边长之间的关系，是一个比较简单的综合题目，题目涉及到的知识比较多6. （08年宁夏、海南卷理）已知复数，则=（）A． B． C． D．参考答案：【解析】，，故选B答案：B7. a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b M，a∥b，则a∥M；③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④ 若a⊥M，b⊥M，则a∥b.其中正确命题的个数有 ( )A、0个B、1个 C、2个 D、3个参考答案：B8. “”是“且”的（）A．必要非充分条件 B．充分非必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A9. 下面四个条件中，是成立的充分而不必要的条件为（）A. B.C. D.参考答案：D【分析】根据充分必要条件的定义，对每一项进行逐一判断.【详解】解：选项A：当时，由只能得到，不是充分条件；选项B：当，时，满足，不能使成立，不是充分条件；选项C：根据三次函数的单调增可知，，是充要条件；选项D：由，当时，由于存在性原因，不能得到与的大小关系，所以，成立的充分而不必要的条件为．故选：D【点睛】本题考查了充分必要条件，解决此类问题首先要搞清楚什么是条件，什么是结论，由条件得出结论满足充分性，由结论推出条件满足必要性.10. 若函数的最大值为，则（）A．2 B． C.3 D．参考答案：C，则，.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设圆C：，过圆心C作直线l交圆于A、B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为．参考答案：12. 已知点A（﹣1，0），B（1，0），若点C满足条件AC=2BC，则点C的轨迹方程是．参考答案：3x2+3y2﹣10x+3=0考点：轨迹方程．专题：直线与圆．分析：先设点C的坐标是（x，y），根据题意和两点间的距离公式列出关系式，再化到最简即可．解答：解：设点C的坐标是（x，y），因为点A（﹣1，0），B（1，0），且AC=2BC，所以，两边平方后化简得，3x2+3y2﹣10x+3=0，所以点C的轨迹方程是：3x2+3y2﹣10x+3=0，故答案为：3x2+3y2﹣10x+3=0．点评：本题考查了动点的轨迹方程的求法，以及两点间的距离公式，考查了计算化简能力13. 如果是实数，那么实数m= .参考答案：略14. 如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则·的取值范围是.参考答案：15. 在中，是的中点，，点在上且满足,则的值为参考答案：略16. 将集合M={1，2，…12}的元素分成不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a1，a2，a3，a4}B={b1，b2，b3，b4}C={c1，c2，c3，c4}，c1＜c2＜c3＜c4，且a k+b k=c k，k=1，2，3，4，则集合C为：_________．参考答案：{8，9，10，12}，{7，9，11，12}，{6，10，11，12}略17. 已知球O是棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面AC D1截球O的截面面积为。
河北省邯郸市2020届高三年级第二次模拟考试数学(理科)试卷(解析版)
2020年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{a|log a3＞1}，B＝{a|3a＞9}，则A∩（∁R B）＝（）A．（0，3）B．（1，3）C．（0，2]D．（1，2]2．已知复数z=8−i2+3i（i为虚数单位），下列说法：其中正确的有（）①复数z在复平面内对应的点在第四象限；②|z|=√5；③z的虛部为﹣2i；④z=1−2i．A．1个B．2个C．3个D．4个3．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（）A．69人B．84人C．108人D．115人4．已知f（x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的有（）①y＝|f（x）|；②y＝f（x2+x）；③y＝f（|x|）；④y ＝e f（x ）+e ﹣f （x ）．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④5．设实数x ，y 满足不等式组{x −y +4≥0，3x +y ≤0，y ≥0，，若z ＝ax +y 的最大值为1，则a ＝（ ）A ．−14B ．14C ．﹣2D ．26．已知函数f （x ）＝sin2x cos φ+cos2x sin φ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（ ）A ．−π3B ．π3C ．−5π6D ．5π67．设直线l ：ax +by +c ＝0与圆C ：x 2+y 2＝4相交于A ，B 两点，且|AB|=2√3，则“a 2+b 2＝2”是“c =√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知α为锐角，且tanα=m ，cos2α=−m 2m 2+4，则sin 2(α+π4)=（ ） A ．23B ．√23+12C ．45D ．959．已知直线l ：abx −(4a −1)y +m =0(a ＞14)与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 为直角三角形，则双曲线的离心率e 的最大值为（ ） A ．√2B ．√3C ．2D ．√510．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A ，B ，C ，D ，E ，F 6人（其中A 是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC 相邻，而BD 不相邻的排法种数为（ ） A ．36种B ．48种C ．56种D ．72种11．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，平面ABC 是下底面．M 是BB 1上的点，AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CC 1＝7，过三点A 、M 、C 1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（ ）A ．910B ．109C ．1011D ．111012．如图，在△ABC 中，tan C ＝4．CD 是AB 边上的高，若CD 2﹣BD •AD ＝3，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线y ＝2x 2上的点A （1，2）到焦点F 的距离为 ． 14．曲线y ＝f （x ）＝x n e x 在x ＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为2e 3，则n ＝ ．15．在△ABC 中，|AB →|=4，AC →⋅AB →=8，则AB →⋅BC →= ．16．已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ，A 到平面PBC 的距离是2√55，则三棱锥外接球的表面积为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步票．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．已知数列{a n }满足数列{log 2a n }的前n 项和为A n =12n(n +1)．（1）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（2）若数列{1a n}的前n 项和为T n ，求S n ﹣8T n 的最小值．18．2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗击疫情的第一线，迅速控制住疫情．但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A 、B 、C 三个科研团队进行加急疫苗研究，其研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组成的团队成员，专家预测这A 、B 、C 三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床接种的概率分别为34，23，12，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立．（1）求六个月后A ，B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率； （2）设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X ，求X 的分布列和数学期望．19．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BB 1=√2BC ，D 是CC 1的中点． （1）证明：B 1C ⊥平面ABD ；（2）若AB ＝BC ，E 是A 1C 1的中点，求二面角A ﹣BD ﹣E 的大小．20．已知A （0，2），B （0，﹣2），动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为−12． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m ，C 的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点，若F 是△AMN的垂心，求直线l的方程．21．已知函数f(x)=(1+sinx)cosxsinx+2x−π．（1）证明：函数f（x）在（0，π）上是减函数；（2）若x∈(0，π2)，f(x)＞m(π2−x)2，求m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应题号后面的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρ={2，0≤θ＜π2，√3sin(θ−π6)，π2≤θ≤π．（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线ρsinθ＝1交于A，B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．（1）若m＝1，求x2+4y2+12z2的最小值；（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{a|log a3＞1}，B＝{a|3a＞9}，则A∩（∁R B）＝（）A．（0，3）B．（1，3）C．（0，2]D．（1，2]【分析】先根据条件求得A，B，进而求得结论．解：因为集合A＝{a|log a3＞1}；所以：a＞1；且log a3＞log a a⇒A＝（1，3），∵B＝{a|3a＞9}＝（2，+∞），∴∁R B＝（﹣∞，2]；∴A∩（∁R B）＝（1，2]．故选：D．2．已知复数z=8−i2+3i（i为虚数单位），下列说法：其中正确的有（）①复数z在复平面内对应的点在第四象限；②|z|=√5；③z的虛部为﹣2i；④z=1−2i．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一分析四个命题得答案．解：∵z=8−i2+3i=(8−i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=13−26i13=1−2i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣2），在第四象限；|z|=√5；z的虚部为﹣2；z=1+2i．故①②正确；③④错误．故选：B．3．中国农历的“二十四节气”是凝结着中华民族的智慧与传统文化的结晶，“二十四节气”歌是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗，2016年11月30日，“二十四节气”正式被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产，也被誉为“中国的第五大发明”．某小学三年级共有学生500名，随机抽查100名学生并提问“二十四节气”歌，只能说出春夏两句的有45人，能说出春夏秋三句及其以上的有32人，据此估计该校三年级的500名学生中，对“二十四节气”歌只能说出第一句“春”或一句也说不出的大约有（）A．69人B．84人C．108人D．115人【分析】先求出只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生人数，可得它所占的比例，再用样本容量500乘以此比例，即为所求．解：由题意，只能说出第一句，或一句也说不出的同学有100﹣45﹣32＝23人，故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生占的比例为23100，故只能说出第一句“春”或一句也说不出的学生共有500×23100=115人，故选：D．4．已知f（x）是R上的奇函数且单调递增，则下列函数是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的有（）①y＝|f（x）|；②y＝f（x2+x）；③y ＝f （|x |）； ④y ＝e f（x ）+e ﹣f （x ）．A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【分析】由已知可得f （x ）是R 上的奇函数且单调递增，当x ＞0时，f （x ）＞f （0）＝0，然后结合函数的性质分别进行检验即可． 解：因为f （x ）是R 上的奇函数且单调递增， 故当x ＞0时，f （x ）＞f （0）＝0，①g （﹣x ）＝|f （﹣x ）|＝|f （x ）|＝g （x ）为偶函数，且当x ＞0时，g （x ）＝|f （x ）|＝f （x ）单调递增，符合题意；②g （﹣x ）＝f （x 2﹣x ）≠g （x ），故不满足偶函数；③g （﹣x ）＝f （|﹣x |）＝f （|x |）＝g （x ），且 x ＞0时g （x ）＝f （x ）单调递增，符合题意；④g （﹣x ）＝e f （﹣x ）+e ﹣f （﹣x ）＝e ﹣f （x ）+e f （x ）＝g （x ），满足偶函数，且x ＞0时，f （x ）＞0，e f （x ）＞1，根据对勾函数的单调性可知g （x ）＝e f （x ）+e ﹣f （x ）单调递增，符合题意． 故选：B ．5．设实数x ，y 满足不等式组{x −y +4≥0，3x +y ≤0，y ≥0，，若z ＝ax +y 的最大值为1，则a ＝（ ）A ．−14B ．14C ．﹣2D ．2【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z ＝ax +y 取得最大值的位置，求出a 即可．解：作出实数x，y满足不等式组{x−y+4≥0，3x+y≤0，y≥0，的可行域如图：可知A（﹣1，3），B（﹣4，0），O（0，0），当0＜a≤3或﹣1≤a＜0时，目标函数z＝ax+y经过（﹣1，3），取得最大值为1，解得a＝2，当a＞3时，目标函数z＝ax+y经过（0，0），取得最大值为1，无解，当a＜﹣1时，目标函数z＝ax+y经过（﹣4，0），取得最大值为1，解得a=−14（舍去），当a＝0时，目标函数z＝ax+y取得最大值为3，不符合题意．故选：D．6．已知函数f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ图象的一个对称中心为(−π3，0)，则φ的一个可能值为（）A．−π3B．π3C．−5π6D．5π6【分析】先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性即可求解．解：f（x）＝sin2x cosφ+cos2x sinφ＝sin（2x+φ），由题意可得，sin（φ−2π3）＝0，所以φ−2π3=kπ即φ=2π3+kπ，k∈Z，结合选项可知，当k＝﹣1时，φ=−13π．故选：A．7．设直线l：ax+by+c＝0与圆C：x2+y2＝4相交于A，B两点，且|AB|=2√3，则“a2+b2＝2”是“c=√2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由半径r＝2和弦长|AB|=2√3，可得圆心（0，0）到直线l的距离d＝1=√a2+b，即a2+b2＝c2．进而判断出结论．解：由半径r＝2和弦长|AB|=2√3，可得圆心（0，0）到直线l的距离d＝1=√a2+b，即a2+b2＝c2．由“a2+b2＝2＝c2，解得c=±√2．∴“a2+b2＝2”是“c=√2”的必要不充分条件．故选：B．8．已知α为锐角，且tanα=m，cos2α=−m 2m2+4，则sin2(α+π4)=（）A．23B．√23+12C．45D．95【分析】利用二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式解得m2＝2，可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin2α的值，进而利用二倍角公式化简所求即可求解．解：∵cos2α=cos2α−sin2αcos2α+sin2α=1−tan2α1+tan2α=1−m21+m2=−m2m2+4，解得m2＝2，∴cos2α=−1 3，∴sin2α=√1−cos22α=2√23，∴sin2（α+π4）=1−cos(2α+π2)2=12+sin2α2=√23+12．故选：B．9．已知直线l：abx−(4a−1)y+m=0(a＞14)与双曲线x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB为直角三角形，则双曲线的离心率e的最大值为（）A．√2B．√3C．2D．√5【分析】利用双曲线是否是等轴双曲线，结合△OAB为直角三角形，转化求法双曲线的离心率的表达式，求解最大值．解：当双曲线是等轴双曲线时，e=√2，双曲线不是等轴双曲线时，直线l与渐近线中的一条垂直，所以：ab4a−1×ba=1，∴b2＝4a﹣1，e2=c2a2=a2+b2a2=−1a2+4a+1=−（1a−2）2+5≤5，a=12时，取得最大值；∴e≤√5．双曲线的离心率e的最大值为：√5．故选：D．10．2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F6人（其中A是队长）圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且BC相邻，而BD不相邻的排法种数为（）A．36种B．48种C．56种D．72种【分析】解：根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，由排列数公式计算可得其排法数目，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，若BC相邻且不与D相邻，由加法原理可得其排法数目，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，有A22＝2种情况，②中间5人分2种情况讨论：若BC相邻且与D相邻，有A22A33＝12种安排方法，若BC相邻且不与D相邻，有A22A22A32＝24种安排方法，则中间5人有12+24＝36种安排方法，则有2×36＝72种不同的安排方法；故选：D．11．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB＝3，BC＝4，AC＝5，CC1＝7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为（）A．910B．109C．1011D．1110【分析】由题意画出图形，可得当截面周长最小时的BM值，再由已知可得底面中AB ⊥BC，分别求出截面上下两部分的体积，作比得答案．解：由AB＝3，BC＝4，AC＝5，得AB2+BC2＝AC2，∴AB⊥BC．将平面ABB1A1与平面BCC1B1放在一个平面内，连接AC1，与BB1的交点即为M，此时BM＝3，设四棱锥A﹣BCC1M的体积为V1，则V1=13×12×(3+7)×4×3=20，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=12×4×3×7=42．∴当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为V−V 1V 1=1110．故选：D ．12．如图，在△ABC 中，tan C ＝4．CD 是AB 边上的高，若CD 2﹣BD •AD ＝3，则△ABC 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】直接利用三角形的面积公式以及余弦定理，勾股定理化简求解即可． 解：S =12BC ⋅ACsinC =14tanC ⋅2BC ⋅ACcosC ＝BC 2+AC 2﹣AB 2＝AC 2+BC 2﹣（AD +BD ）2 ＝2（CD 2﹣BD •AD ） ＝6． 故选：B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．抛物线y ＝2x 2上的点A （1，2）到焦点F 的距离为178．【分析】求出抛物线的准线方程，利用抛物线的性质求解即可． 解：抛物线y ＝2x 2，的标准方程为：x 2=12y ．准线方程为：y =−18，点A （1，2）到焦点F 的距离为A 到准线的距离：2+18=178．故答案为：178．14．曲线y ＝f （x ）＝x n e x 在x ＝1处的切线与坐标轴围成三角形的面积为2e 3，则n ＝ 2或−23．【分析】先求出x ＝1处的切线方程，然后分别求出切线与x ，y 轴交点的横坐标、纵坐标，然后表示出三角形的面积，令其等于2e 3，解出n 的值．解：由已知得：f ′（x ）＝（x n +nx n ﹣1）e x ， 所以f （1）＝e ，f ′（1）＝（n +1）e ， 所以切线为：y ﹣e ＝（n +1）e （x ﹣1）． 令x ＝0得y ＝﹣ne ；令y ＝0得x =nn+1，所以S △=12×n 2|n+1|e =2e3， 解得n ＝2或−23．故答案为：2或−23．15．在△ABC 中，|AB →|=4，AC →⋅AB →=8，则AB →⋅BC →= ﹣8 ．【分析】先根据平面向量的减法运算可知BC →=AC →−AB →，再代入原等式，并结合数量积的运算即可得解．解：∵|AB→|=4，AC→⋅AB→=8，∴AB→⋅BC→=AB→⋅(AC→−AB→)=AB→⋅AC→−AB→2=8﹣42＝﹣8，故答案为：﹣8．16．已知三棱锥P﹣ABC中，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，A到平面PBC的距离是2√55，则三棱锥外接球的表面积为20π．【分析】取BC的中点，连结AD，PD，由题意得AD⊥BC，推导出平面PAD⊥平面PBC，过A点向PD引垂线交PD于M，则AM⊥平面PBC，延长AD到O1，O1是△ABC的外心，过O1作平面ABC的垂线，交PA的垂直平分面于O，O是三棱锥外接球球心，三棱锥外接球半径r＝AO=√5，由此能求出三棱锥外接球表面积．解：取BC的中点，连结AD，PD，由题意得AD⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，BC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面PBC，过A点向PD引垂线交PD于M，则AM⊥平面PBC，∴AM=2√55=PA⋅ADPD，解得AD＝1，∠BAC＝120°，延长AD到O1，使AO1＝2，∴O1是△ABC的外心，过O1作平面ABC的垂线，交PA的垂直平分面于O，∴O是三棱锥外接球球心，∴三棱锥外接球半径r＝AO=√5，∴三棱锥外接球表面积S＝4πr2＝20π．故答案为：20π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步票．第17～21题为必考题，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足数列{log2a n}的前n项和为A n=12n(n+1)．（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（2）若数列{1a n}的前n项和为T n，求S n﹣8T n的最小值．【分析】（1）先求得首项a1，再由log2a n＝A n﹣A n﹣1⇒a n＝2n，然后求得前n项和S n；（2）由（1）可求得1a n =12n，然后求出T n，再求S n﹣8T n的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可．解：（1）由已知得当n＝1时，log2a1＝A1＝1，解得a1＝2，当n≥2时，log2a n＝A n﹣A n﹣1=12n(n+1)−12n(n−1)=n∴a n＝2n，当n＝1也符合，∴a n＝2n，S n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2；（2）由（1）知1a n=12，∴T n=12[1−(12)n]1−12=1﹣（12）n，∴S n﹣8T n＝2n+1﹣2﹣8+82n=2n+1+82n−10≥2√2n+1⋅82n−10＝8﹣10＝﹣2，当且仅当2n+1=82n时取等号，即当n＝1时取得最小值﹣2．18．2020年初，一场新冠肺炎疫情突如其来，在党中央强有力的领导下，全国各地的医务工作者迅速驰援湖北，以大无畏的精神冲在了抗击疫情的第一线，迅速控制住疫情．但国外疫情严峻，输入性病例逐渐增多，为了巩固我国的抗疫成果，保护国家和人民群众的生命安全，我国三家生物高科技公司各自组成A、B、C三个科研团队进行加急疫苗研究，其研究方向分别是灭活疫苗、核酸疫苗和全病毒疫苗，根据这三家的科技实力和组成的团队成员，专家预测这A 、B 、C 三个团队未来六个月中研究出合格疫苗并用于临床接种的概率分别为34，23，12，且三个团队是否研究出合格疫苗相互独立．（1）求六个月后A ，B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率； （2）设六个月后研究出合格疫苗并用于临床接种的团队个数为X ，求X 的分布列和数学期望．【分析】（1）A ，B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种分两种情况：A 团队研究出但B 团队未研究出，B 团队研究出但A 团队未研究出，然后根据相互独立事件的概率求解即可；（2）X 的可能取值为0，1，2，3，再根据相互独立事件的概率逐一求出每个X 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（1）由题意得，六个月后，A 、B 两个团队恰有一个研究出合格疫苗并用于临床接种的概率为P =23×14+13×34=512． （2）X 的可能取值为0，1，2，3，P （X ＝0）=12×13×14=124，P （X ＝1）=12×13×14+12×23×14+12×13×34=624=14， P （X ＝2）=12×23×14+12×23×34+12×13×34=1124，P （X ＝3）=12×23×34=624=14． ∴X 的分布列为X 0123P12414112414数学期望E （X ）=0×124+1×14+2×1124+3×14=2312． 19．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，BB 1=√2BC ，D 是CC 1的中点．（1）证明：B 1C ⊥平面ABD ；（2）若AB ＝BC ，E 是A 1C 1的中点，求二面角A ﹣BD ﹣E 的大小．【分析】（1）设BC ＝2，证明△DCB ∽△CBB 1，得∠BDC ＝∠BCB 1，可得∠DBC +∠BCB 1＝90°，则BD ⊥B 1C ，由三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，得BB 1⊥AB ，进一步得到AB ⊥平面BCC 1B 1，从而有AB ⊥B 1C ，进一步得到B 1C ⊥平面ABD ；（2）设BC ＝2，以B 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面ABD 的一个法向量与平面BDE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A ﹣BD ﹣E 的大小．【解答】（1）证明：设BC ＝2，∴BB 1=2√2，DC BC=√22，BCBB 1=2√2=√22． ∴DC BC=BC BB 1，则△DCB ∽△CBB 1，得∠BDC ＝∠BCB 1，∵∠DBC +∠BDC ＝90°，∴∠DBC +∠BCB 1＝90°，得BD ⊥B 1C ． ∵三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ， 又AB ⊂平面ABC ，∴BB 1⊥AB ，又∵AB ⊥BC ，BB 1∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCC 1B 1， 而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥B 1C ， 又BD ∩AB ＝B ，∴B 1C ⊥平面ABD ；（2）解：设BC ＝2，建立如图所示空间直角坐标系，由（1）知，E （1，1，2√2），D （0，2，√2）， A （2，0，0），B 1（0，0，2√2），C （0，2，0）． 由（1）知平面ABD 的一个法向量CB 1→=(0，−2，2√2)， BE →=(1，1，2√2)，BD →=(0，2，√2)．设平面BDE 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)．由{n →⋅BE →=x +y +2√2z =0n →⋅BD →=2y +√2z =0，取z =−√2，得n →=(3，1，−√2)． ∴cos ＜CB 1→，n →＞=23×23=−12．由图可知二面角A ﹣BD ﹣E 为锐角，则二面角A ﹣BD ﹣E 的大小为60°．20．已知A （0，2），B （0，﹣2），动点P （x ，y ）满足PA ，PB 的斜率之积为−12． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）已知直线l ：y ＝kx +m ，C 的右焦点为F ，直线l 与C 交于M ，N 两点，若F 是△AMN 的垂心，求直线l 的方程．【分析】（1）由题意可得P 的坐标之间的关系，且横坐标不为0，求出P 的轨迹方程；（2）由（1）可得右焦点F 的坐标，联立直线与椭圆的方程可得两根之和及两根之积，由F 是△AMN 的垂心可得AF ⊥MN ，NF ⊥AM ，可得m 的值．解：（1）由题意可得y−2x⋅y+2x =−12（x ≠0），整理可得x 28+y 24=1，所以动点P 的轨迹C 的方程：x 28+y 24=1（x ≠0）；（2）由（1）可得右焦点F （2，0），可得k AF =2−00−2=−1， 因为F 为垂心，所以直线MN 的斜率为1，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立直线l 与椭圆的方程：{y =x +mx 2+2y 2=8整理可得：3x 2+4mx +2m 2﹣8＝0，△＝16m 2﹣4×3×（2m 2﹣8）＞0，即m 2＜12，x 1+x 2=−4m3，x 1x 2=2m 2−83， 由已知可得AM ⊥NF ，所以k AM •k NF ＝﹣1，即y 1−2x 1⋅y 2x 2−2=−1，整理可得y 2（y 1﹣2）+x 1（x 2﹣2）＝0，即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2y 2＝0，即y 1y 2+x 1x 2﹣2x 1﹣2（x 2+m ）＝0，整理可得y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣2m ＝0，而y 1y 2＝（x 1+m ）（x 2+m ）＝x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2=m 2−83所以m 2−83−2⋅−4m3−2m +2m 2−83=0，解得m =−83或m ＝2（舍）， 所以直线l 的方程为：y ＝x −83．21．已知函数f(x)=(1+sinx)cosxsinx+2x −π．（1）证明：函数f （x ）在（0，π）上是减函数；（2）若x ∈(0，π2)，f(x)＞m(π2−x)2，求m 的取值范围．【分析】（1）求导，结合基本不等式可得f ′（x ）≤0在（0，π）上恒成立，由此即可得证；（2）当m ≤0时，由（1）f(x)＞m(π2−x)2在x ∈(0，π2)上成立；当m ＞0时，利用导数可推导存在x ∈(t ，π2)，使得f(x)＜m(π2−x)2与f(x)＞m(π2−x)2矛盾， 综合即可得出结论．解：（1）证明：f(x)=cosxsinx +cosx +2x −π，则f′(x)=−1sin 2x −sinx +2≤−1sin 2x −sin 2x +2≤−2√1sin 2x⋅sin 2x +2=0，当且仅当sin x ＝1时取等号， 故函数f （x ）在（0，π）上是减函数；（2）因为x ∈(0，π2)，当m ≤0时，由（1）知，f(x)＞f(π2)=0≥m(π2−x)2成立； 当m ＞0时，令g(x)=cosx +x −π2，g ′（x ）＝﹣sin x +1＞0， ∴g （x ）在(0，π2)上单调递增， ∴g(x)＜g(π2)=0，即cosx ＜π2−x ，∴f(x)−m(π2−x)2=cosx sinx +cosx +2x −π−m(π2−x)2＜cosx sinx +x −π2−m(π2−x)2，令h(x)=cosx sinx +x −π2−m(π2−x)2，则h′(x)=−cos 2x sin 2x +2m(π2−x)＞−(π2−x)2sin 2x+2m(π2−x) =π2−x sin 2x[2msin 2x −(π2−x)]=π2−x sin 2x[2mcos 2(π2−x)−(π2−x)]，令p（x）＝2m cos2x﹣x，p′（x）＝﹣4m cos x sin x﹣1＜0，∴p（x）在(0，，π2)上单调递减，则q(x)=p(π2−x)=2mcos2(π2−x)−(π2−x)在(0，π2)上递增，∵q(0)＜0，q(π2)＞0，∴存在t∈(0，π2)，使得q（t）＝0，即x∈(0，π2)时，q（x）＞q（t）＝0，∴h′（x）＞0，则h（x）在(t，π2)递增，故h(x)＜h(π2)=0，∴存在x∈(t，π2)，使得f(x)＜m(π2−x)2与f(x)＞m(π2−x)2矛盾，∴实数m的取值范围为（﹣∞，0]．一、选择题22．已知在极坐标系中曲线C的极坐标方程为ρ={2，0≤θ＜π2，√3sin(θ−π6)，π2≤θ≤π．（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线ρsinθ＝1交于A，B，求|AB|．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和两点间的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C与极轴所在直线围成的图形是一个半径为2的14圆周及一个两直角边分别为2与2√3的直角三角形，所以S=π+2√3．（2）曲线C与曲线ρsinθ＝1交于A，B，所以{ρ=2ρsinθ=1，得到A（2，π6）转换为直角坐标为A（√3，1）．极坐标方程ρsinθ＝1转换为直角坐标方程为y＝1，极坐标方程ρ=√3sin(θ−π6)转换为直角坐标方程为x−√3y+2√3=0，所以B（−√3，1），所以|AB|＝2√3．[选修4-5：不等式选讲]23．设x，y，z∈R，z（x+2y）＝m．（1）若m＝1，求x2+4y2+12z2的最小值；（2）若x2+2y2+3z2＝m2﹣8，求实数m的取值范围．【分析】（1）由均值不等式及其变形把x2+4y2+12z2转化成z（x+2y）＝1，求出最小值．（2）由均值不等式和绝对值不等式得x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，进而得到关于m的不等式，解出即可．解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即a2+b2≥12（a+b）2，∴x2+4y2+12z2≥12（x+2y）2+12z2≥12•2|（x+2y）z|＝1，当且仅当x＝2y，x+2y＝z时，即x＝2y=12z，等号成立，∴x2+4y2+12z2的最小值是1．（2）∵m2﹣8＝x2+2y2+3z2＝（x2+z2）+2（y2+z2）≥2|xz|+4|yz|，（当且仅当|x|＝|y|＝|z|时等号成立），又2|xz|+4|yz|≥2|xz+2yz|＝2|z（x+2y）|＝|m|，（当且仅当xz与yz非异号时等号成立）．∴m2﹣8≥2|m|，即m2﹣2|m|﹣8≥0，解得|m|≥4，即m≥4或m≤﹣4，所以m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）．。
2020年高考模拟河北省邯郸市(3月)高考(理科)数学模拟测试卷 含解析
2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|x2﹣6x+5≥0}，N＝{y|y＝x2+1}，则M∩N＝（）A．[5，+∞）B．{1}∪[5，+∞）C．[1，5]D．R3．（1﹣2x）6的展开式第三项为（）A．60B．﹣120C．60x2D．﹣120x34．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．设变量x，y满足约束条件则z＝（x﹣3）2+y2的最小值为（）A．2B．C．4D．6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算数和几何的纽带）图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（）A．120B．145C．270D．2857．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（）A．B．C．2D．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于点（3，0）对称，当x∈（0，3）时f （x）＝e x，则当x∈[2018，2019]时，f（x）的最小值为（）A．0B．e C．e2D．e39．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．10．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交准线于点M．若＝，|＝9，则p为（）A．2B．3C．4D．511．已知点A（0，1），B（x1，2），C（x2，﹣2）在函数的图象上，且|BC|min＝5．给出关于f（x）的如下命题：p：f（x）的最小正周期为10q：f（x）的对称轴为x＝3k+1（k∈Z）r：f（2020）＞f（2019）s：方程f（x）＝2lgx有3个实数根；其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．112．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，有一个过点B且平行于平面AB1C的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知{a n}是首项为1的等比数列，若4a n，2a n+1，a n+2成等差数列，则a n＝．14．执行如图所示的程序框图，若输出的y值为1，则可输入的所有x值组成的集合为．15．若A，B，C三点满足，且对任意λ∈R都有，则的最小值为．16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r，其中r≥3），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余r﹣1个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r﹣1个外卖店取单．设事件A k＝{第k次取单恰好是从1号店取单}，P（A k）是事件A k发生的概率，显然P（A1）＝1，P（A2）＝0，则P（A3）＝，P（A k+1）与P（A k）的关系式为．（k∈N*）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝1，．（1）求B；（2）若B，A，C成等差数列，求△ABC的面积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，AB∥CD，AB⊥AD，点E为PC的中点．平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为，求PD与平面PAB所成角的正弦值．19．中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广．某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失．公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量t（单位：mm）的数据，得到如图茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）．另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如表所示．≤10 （10，50]（50，100]＞100 周降雨量t（单位：mm）猕猴桃轻灾正常轻灾重灾灾害等级根据上述信息，解答如下问题．（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率．①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；②若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元．方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元．方案3：不采取防控措施．问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由．20．已知椭圆过点且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上存在三个不同的点A，B，P，满足，求弦长|AB|的取值范围．21．已知函数．（1）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（2）求证：．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，点P是曲线C：，（t为参数数）上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段OP顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M的坐标为，射线l与曲线C1、C2分别交于A，B两点，求△MAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|（x+1）+|x﹣1|（x+a）．（1）当a＝0时，求f（x）≥0的解集；（2）若f（x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接由已知的复数化简得到其在复平面内对应点的坐标得答案【解答】答案：B解：∵，∴所以z在复平面内对应的点为（﹣，）位于第二象限．故选：B．2．已知集合M＝{x|x2﹣6x+5≥0}，N＝{y|y＝x2+1}，则M∩N＝（）A．[5，+∞）B．{1}∪[5，+∞）C．[1，5]D．R【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．解：M＝{x|x≤1或x≥5}，N＝{y|y≥1}，∴M∩N＝{1}∪[5，+∞）．故选：B．3．（1﹣2x）6的展开式第三项为（）A．60B．﹣120C．60x2D．﹣120x3【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣2x）6的展开式第三项．解：（1﹣2x）6的展开式第三项，故选：C．4．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行判断即可．解：因为，所以f（x）为奇函数，排除C，当x→0+时，f（x）＞0，排除B、D，故选：A．5．设变量x，y满足约束条件则z＝（x﹣3）2+y2的最小值为（）A．2B．C．4D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：画出变量x，y满足约束条件的可行域，可发现z＝（x﹣3）2+y2的最小值是（3，0）到2x﹣y﹣2＝0距离的平方．取得最小值：＝．故选：D．6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算数和几何的纽带）图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（）A．120B．145C．270D．285【分析】记第n个五角形数为a n，由a1＝1＝1+3×0，a2﹣a1＝4＝1+3×1，a3﹣a2＝7＝1+3×2，推导出a n＝1+3（n﹣1），由累加法能求出结果．解：记第n个五角形数为a n，由题意知：a1＝1＝1+3×0，a2﹣a1＝4＝1+3×1，a3﹣a2＝7＝1+3×2，a4﹣a3＝10＝1+3×3，…∴a n＝1+3（n﹣1），由累加法得：a n＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3+a5﹣a4+…+a n﹣a n﹣1＝1+（1+3×1）+（1+3×2）+（1+3×3）+…+[1+3（n﹣1）]＝1×n+3[1+2+3+…+（n﹣1）]＝n+3×＝，∴＝145．故选：B．7．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合函数的导数求解切线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．解：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为函数f（x）＝ln（x+1）图象也过原点，结合图形可知切点就是（0，0），，∴．故选：A．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于点（3，0）对称，当x∈（0，3）时f （x）＝e x，则当x∈[2018，2019]时，f（x）的最小值为（）A．0B．e C．e2D．e3【分析】根据条件可知f（x）的周期为6，然后将问题转化为求x∈[2，3]时f（x）最小值．解：∵f（x）关于（3，0）对称，∴f（x）+f（6﹣x）＝0，∴f（x）＝﹣f（6﹣x）＝f（x﹣6），∴f（x）的周期为6，∴x∈[2018，2019]时，f（x）最小值即为x∈[2，3]时f（x）的最小值．∵x∈[2，3），∴，∵f（3）＝f（﹣3）＝﹣f（3），∴f（3）＝0，∴x∈[2，3]，f（x）min＝0．故选：A．9．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由，结合已知m+n＝2可考虑利用基本不等式求解．解：当m+n＝2时，，因为，当且仅当m+1＝n+2，即时取等号，则，即最小值为．故选：D．10．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交准线于点M．若＝，|＝9，则p为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据抛物线的性质和相似三角形列方程求出p的值．解：过A，B做准线的垂线，垂足为A1，B1，x轴与准线交点为F1则，设|BF|＝t，则|BB1|＝t，|AA1|＝|AF|＝2t，，因为，p＝4．故选：C．11．已知点A（0，1），B（x1，2），C（x2，﹣2）在函数的图象上，且|BC|min＝5．给出关于f（x）的如下命题：p：f（x）的最小正周期为10q：f（x）的对称轴为x＝3k+1（k∈Z）r：f（2020）＞f（2019）s：方程f（x）＝2lgx有3个实数根；其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据函数图象过点A，求出φ的值；再根据图象过点B和点C，两点之间的距离为5，求出|x1﹣x2|＝3，进而求出函数的周期和ω，再由f（x）的性质即可得到结论．解：由题意得，∵f（0）＝1，∴sinφ＝，∴φ＝；∵∴，∴，∴T＝6，所以p为假命题对称轴为x＝3k+1（k∈Z），所以q为真命题；f（2020）＝f（4）＝﹣2，f（2019）＝f（3）＝﹣1，所以r为假命题；方程f（x）＝2lgx有3个根，所以s为真命题．故选：C．12．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，有一个过点B且平行于平面AB1C的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是（）A．B．C．D．【分析】根据投影面平移不影响正投影的形状和大小，以平面AB1C为投影面，构造四棱柱，画出投影图形，再计算正投影的面积．解：投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以以平面AB1C为投影面，构造四棱柱，得到投影为五边形B1MACN，如图所示；则计算可得正投影的面积为S＝S矩形MACN+＝2×+×2×＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知{a n}是首项为1的等比数列，若4a n，2a n+1，a n+2成等差数列，则a n＝2n﹣1．【分析】设{a n}是首项为1，公比设为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式．解：{a n}是首项为1，公比设为q的等比数列，4a n，2a n+1，a n+2成等差数列，可得4a n+1＝4a n+a n+2，即4qa n+4a n+a n q2，即为4q＝4+q2，∴q＝2，∴a n＝2n﹣1，故答案为：2n﹣1．14．执行如图所示的程序框图，若输出的y值为1，则可输入的所有x值组成的集合为．【分析】由题知是分支结构，分别在不同的分支即可求出结果．解：（1）当x＞0时，|lgx|＝1得；（2）当x＝0时，不符；（3）当x＜0时（x+1）2＝1得x3＝﹣2，故答案为15．若A，B，C三点满足，且对任意λ∈R都有，则的最小值为﹣5．【分析】根据条件可得点C到直线AB的距离为2，设M为AB的的中点，根基平面向量和差关系以及平面向量数量积的运算积的得到答案．解：因为对任意λ∈R都有，故点C到AB所在直线的距离为2设AB中点为M，则当且仅当CM⊥AB时等号成立，故答案为：﹣5．16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r，其中r≥3），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余r﹣1个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r﹣1个外卖店取单．设事件A k＝{第k次取单恰好是从1号店取单}，P（A k）是事件A k发生的概率，显然P（A1）＝1，P（A2）＝0，则P（A3）＝，P（A k+1）与P（A k）的关系式为P（A k+1）＝[1﹣P（A k）]．（k∈N*）【分析】A2＝{第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，从而P（A2）＝0，A3＝{第3次取单恰好是从1号店取单}，由此利用条件概率计算公式能求出结果．解：A2＝{第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以P（A2）＝0，A3＝{第3次取单恰好是从1号店取单}，因此，．故答案为：；P（A k+1）＝[1﹣P（A k）]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝1，．（1）求B；（2）若B，A，C成等差数列，求△ABC的面积．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可求a＝sin A，利用正弦定理可求sin B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）利用三角形内角和定理，等差数列的性质可求A，利用两角和的正弦函数公式可求sin C，可求a＝sin A＝，利用三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵．∴由余弦定理可得c•＝sin A﹣，又∵b＝1，∴＝sin A﹣，∴a＝sin A，∴sin B＝b＝，又∵B∈（0，π），∴B＝，或．（2）∵B，A，C成等差数列，即2A＝B+C，又A+B+C＝π，∴A＝，又B＝，可得sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝×（）＝，∴a＝sin A＝，∴S△ABC＝ab sin C＝ab sin（A+B）＝×1×＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，AB∥CD，AB⊥AD，点E为PC的中点．平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值为，求PD与平面PAB所成角的正弦值．【分析】（1）由四边形ABEF为平行四边形，得AB∥EF，AB＝EF，结合点E为PC 的中点，得CD＝2EF＝2AB＝2，求解三角形可得BD⊥BC，再由已知得到PC⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面PBC，从而得到平面PBD⊥平面PBC；（2）以C为原点，CD为x轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设P（0，0，h）（h ＞0），由二面角A﹣PB﹣C的余弦值为列式求得h，求出与平面PAB的一个法向量，可得PD与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB∥EF，AB＝EF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，又∵点E为PC的中点，∴CD＝2EF＝2AB＝2．在直角梯形ABCD中，连接BD，由AB＝AD＝1，CD＝2，可得，则BD2+BC2＝DC2，∴BD⊥BC，又∵PC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD，而PC∩BC＝C，∴BD⊥平面PBC，又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；（2）解：由（1）知∠DCB＝45°，又PC⊥底面ABCD，∴以C为原点，CD为x轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A（2，1，0），B（1，1，0），D（2，0，0），设P（0，0，h）（h＞0），∴，∵BD⊥平面PBC，∴平面PBC的法向量可取．设平面ABP法向量为，由，取z＝1，得．∴，解得h＝2．∴，，则，∴PD与平面PAB所成角的正弦值为．19．中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广．某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失．公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量t（单位：mm）的数据，得到如图茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）．另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如表所示．≤10 （10，50]（50，100]＞100 周降雨量t（单位：mm）猕猴桃轻灾正常轻灾重灾灾害等级根据上述信息，解答如下问题．（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率．①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；②若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元．方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元．方案3：不采取防控措施．问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由．【分析】（1）根据茎叶图，能求出中位数和众数．（2）①根据图中的数据，求出该地区周降雨量t（单位：mm）的概率，由此能估计该地在今年发生重、轻害的概率和无灾害概率，②方案1：设每亩的获利为X1（元），则X1的可能取值为6000，﹣10800，求出X1的分布列，从而得到每亩净利润为5440﹣400＝5040（元）．方案2：设每亩的获利为X2（元），则X2的可能取值为6000元，于是P（X2＝6000）＝1，E（X2）＝6000，净利润为6000﹣1080＝4920（元）．方案3：设每亩的获利为X3（元），则X3的可能取值为6000，﹣5400，﹣10800，求出X3的分布列，从而得到每亩亏损为1400（元）．由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好．解：（1）根据茎叶图，可得中位数为：＝12.5，众数为10．（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量t（单位：mm）的概率：P（t≤10）＝＝，，P（50＜t≤100）＝，P（t≥100）＝，，，∴估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为，②方案1：设每亩的获利为X1（元），则X1的可能取值为6000，﹣10800，则X1的分布列如下：X16000﹣10800P（X1）则E（X1）＝＝5440（元），则每亩净利润为5440﹣400＝5040（元）．方案2：设每亩的获利为X2（元），则X2的可能取值为6000元，于是P（X2＝6000）＝1，E（X2）＝6000，净利润为6000﹣1080＝4920（元）．方案3：设每亩的获利为X3（元），则X3的可能取值为6000，﹣5400，﹣10800，则X3的分布列如下：X16000﹣5400﹣10800P（X1）则E（X3）＝﹣5400×﹣10800×＝﹣1400（元），于是每亩亏损为1400（元）．由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好．20．已知椭圆过点且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上存在三个不同的点A，B，P，满足，求弦长|AB|的取值范围．【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可求出椭圆的标准方程；（2）由题意可知四边形OAPB为平行四边形，设直线l过A、B两点，对直线l的斜率分情况讨论，若直线l垂直于x轴此时|AB|＝6，若直线l不垂直于x轴，设l：y＝kx+m （m≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，代入椭圆方程得到m2＝3+4k2，再利用弦长公式求出，因为3+4k2≥3，则，解得．解：（1）由题意知，又因为c2+b2＝a2，解得a2＝16，b2＝12．则椭圆标准方程为；（2）因为，则由向量加法的意义知四边形OAPB为平行四边形，设直线l过A、B两点，①若直线l垂直于x轴，易得：P（4，0），A（2，3），B（2，﹣3）或者P（﹣4，0），A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3），此时|AB|＝6，②若直线l不垂直于x轴，设l：y＝kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），将直线y＝kx+m代入C的方程得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，故，因为，所以x0＝x1+x2，y0＝y1+y2，则，，即，因为P在椭圆上，有，化简得m2＝3+4k2，验证，△＝64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣12）＝144m2＞0，所以，所以，因为3+4k2≥3，则，即，得，综上可得，弦长|AB|的取值范围为．21．已知函数．（1）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（2）求证：．【分析】（1）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；（2）原不等式转化为证，结合不等式的特点构造函数，结合函数性质及导数可证．解：（1）当a＝1时，，，令，则g（x）在（0，+∞）上为减函数，且g（1）＝0，所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减．故f（x）递增区间为（0，1）；f（x）递减区间为（1，+∞），（2），，只需证，即，易证ln（1+x）＜x（x＞0）成立．记h（x）＝1﹣xlnx﹣ax，则h'（x）＝﹣lnx﹣1﹣a＝0令h'（x）＝0，得x＝e﹣（a+1），当x∈（0，e﹣（a+1））时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（e﹣（a+1），+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以，，即，命题得证（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，点P是曲线C：，（t为参数数）上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段OP顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M的坐标为，射线l与曲线C1、C2分别交于A，B两点，求△MAB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C1：，（t为参数）转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2＝4．转换为极坐标方程为ρ＝4sinθ．将线段OP顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2．所以Q（ρ，θ）对应的Q（），所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）利用点到直线的距离公式的应用，点M到直线的距离d＝4sin＝2．所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝，所以．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x+a|（x+1）+|x﹣1|（x+a）．（1）当a＝0时，求f（x）≥0的解集；（2）若f（x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求得a＝0时，f（x）的解析式，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）讨论a＝0，a＜0，a＞0，化简f（x）的解析式，判断是否恒成立，可得所求范围．解：（1）当a＝0时，f（x）＝|x|（x+1）+|x﹣1|x．当x≥1时，f（x）＝x（x+1）+（x﹣1）x＝2x2，此时f（x）≥0的解集为{x|x≥1}；当0≤x＜1时，f（x）＝x（x+1）+（1﹣x）x＝2x，此时f（x）≥0的解集为{x|0≤x＜1}；当x＜0时，f（x）＝﹣x（x+1）﹣（x﹣1）x＝﹣2x2，此时f（x）≥0的解集为∅，综上所述f（x）≥0的解集为{x|x≥0}；（2）由（1）可知当a＝0时，在x∈（﹣∞，0）内f（x）＜0恒成立；当a＜0时，在x∈（﹣∞，0）内f（x）＝﹣（x+a）（x+1）﹣（x﹣1）（x+a）＝﹣2x （x+a）＜0恒成立；当a＞0时，在x∈（﹣a，0）内f（x）＝（x+a）（x+1）﹣（x﹣1）（x+a）＝2（x+a）＞0，不满足f（x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立的条件，综上所述a≤0．。