同步发电机模型

⎤ ⎡ −id ⎤ ⎥ ⎢ −i ⎥ ⎥⎢ q⎥ ⎥ ⎢ −i0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ if ⎥ + 0 ⎥ ⎢ iD ⎥ ⎥⎢ ⎥ 0 ⎥ ⎢ ig ⎥ ⎢ ⎥ rQ ⎥ ⎦ ⎣ iQ ⎦
⎡ Ψ d ⎤ ⎡ −ωΨ q ⎤ ⎢Ψ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ q ⎥ ⎢ ωΨ d ⎥ ⎢ Ψ0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ p ⎢Ψ f ⎥ + ⎢ 0 ⎥ ⎢Ψ D ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢Ψg ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢Ψ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎦ ⎣ Q⎦ ⎣
1） 定子绕组自感
Laa = Ls + Lt cos 2θ Lbb = Ls + Lt cos 2(θ − 120� ) Lcc = Ls + Lt cos 2(θ + 120� )
对于隐极机
Lt = 0
Laa = Lbb = Lcc = Ls
2） 定子绕组互感
Lab = Lba = −[ M s + Lt cos 2(θ + 30� )] Lbc = Lcb = −[ M s + Lt cos 2(θ − 90� )] Lca = Lac = −[ M s + Lt cos 2(θ + 150� )]
Lac Lbc Lcc L fc LDc Lgc LQc
Laf Lbf Lcf L ff LDf Lgf LQf
LaD LbD LcD L fD LDD LgD LQD
L ag Lbg Lcg L fg LDg L gg LQg
L aQ ⎤ ⎡ −ia ⎤ ⎢ ⎥ LbQ ⎥ ⎥ ⎢ −ib ⎥ LcQ ⎥ ⎢ −ic ⎥ ⎥⎢ ⎥ L fQ ⎥ ⎢ i f ⎥ LDQ ⎥ ⎢ iD ⎥ ⎥⎢ ⎥ L gQ ⎥ ⎢ ig ⎥ ⎢ ⎥ LQQ ⎥ ⎦ ⎣ iQ ⎦
3 u aBiaB 2
2 uaB 3 uaB = iaB 2 S aB
�
定子绕组电阻、电抗及阻抗基值： RaB = X aB = Z aB =
�
定子绕组自感基值： 根据 L
u di = u ，可得： LB = aB t B = X aB / ω B dt iaB uaB ωB
� �
定子绕组磁链基值： Ψ aB = LaBiaB = u aBt B =
0 0 L0 0 0 0 0
Mf 0 0 Lf M fD
0 0
MD 0 0 M fD LD
0 0
0 Mg 0 0 0
Lg M gQ
⎤ ⎥ ⎥ ⎡ −i ⎤ ⎥⎢ d⎥ ⎥ ⎢ −iq ⎥ 0 ⎥ ⎢ −i0 ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎥ ⎢ if ⎥ 0 ⎥⎢ i ⎥ ⎥⎢ D ⎥ ⎥ ig ⎥ M gQ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ iQ ⎦ ⎥ LQ ⎥ ⎦
Adq 0 = PAabc
派克变换的逆变换形式：
cos θ − sin θ 1⎤ ⎡ Ad ⎤ ⎡ Aa ⎤ ⎡ ⎢ A ⎥ = 2 ⎢ cos(θ − 2π 3) − sin(θ − 2π 3) 1⎥ ⎢ A ⎥ ⎢ b⎥ 3⎢ ⎥⎢ q⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ cos( θ + 2 π 3) − sin( θ + 2 π 3) 1 ⎣ ⎦⎢ ⎣ A0 ⎥ ⎦ ⎣ Ac ⎦
对隐极机 Lt = 0 3） 转子绕组自感
L ff = L f = const
LDD = LD = const Lgg = Lg = co nst LQQ = LQ = const
4） 转子绕组互感
d、q 正交， d、q 间互感为 0 L fg = Lgf = L fQ = LQf = LDg = LgD = LDQ = LQD = 0 d 轴上绕组间互感为常数： LDf = L fD = M fD q 轴上绕组间互感为常数： LgQ = LQg = M gQ
写成紧凑形式：
Aabc = P −1 Adq0
⎧ua = pΨ a − raia ⎪ 对式 ⎨ub = pΨ b − rb ib 两边同乘以变换阵 P 可得： ⎪u = pΨ − r i c c c ⎩ c ⎡ud ⎤ ⎡ rd ⎢u ⎥ = ⎢ 0 ⎢ q⎥ ⎢ ⎢ ⎣ u0 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 0 rq 0 0 ⎤ ⎡ −id ⎤ ⎢ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎢ −iq ⎥ + r0 ⎥ ⎦⎢ ⎣ −i0 ⎥ ⎦ ⎡Ψ d ⎤ ⎥ p⎢ ⎢Ψ q ⎥ ⎢ ⎣Ψ0 ⎥ ⎦
2IR
下标 a 表示电枢绕组，可代表 a、b、c 或 d、q、 0 中任一绕组；
I R 为发电机额定相电流的有效值。
即选取额定相电流的峰值为基值。 � 定子绕组电压基值： uaB =
2U R
U R 为定子额定相电压的有效值， 2U R 为额定相电压的峰值；
根据原则一确定定子绕组其它变量的基值： � 定子绕组容量基值： S aB = 3U R I R =
经 Park 变换后转子与定子绕组间的互感是不对称的。 三． 同步电机标幺值的选取 1. 标幺制基值系统的选取原则 原则一：标幺基值的选取应使基本定理的有名值方程和标幺值方程形式相同； 原则二：通过适当地选择电感基值，以解决同步电机 dq0 坐标下有名值方程中定子、转子绕组互感不可逆 的问题； 原则三：通过适当选取基值，使传统的标幺电机参数（如 d、q 同步电抗 X d 、X q ）保留在标幺值电机方 程中； 2. 基值选取的步骤 1） 确定各个绕组的公共基值： 角频率基值： ω B = 2π f B = 314.16rad / s 时间基值： t B = 1 ω B 2） 定子绕组的基值 � 定子绕组电流基值： iaB =
可得： Ψ fB i fB = 再由 Ψ fB =
u fB ωB
, Ψ aB =
uaB 3 ，可得： u fB i fB = uaB iaB ，即 S fB = SaB 2 ωB
故要满足定子绕组与励磁绕组互感标幺值可逆需满足定子绕组与转子绕组的容量基值相等。 2） 各阻尼绕组基值的选取 同理可得，各阻尼绕组与定子绕组互感基值选为：
2. 各绕组磁链方程
⎡ Ψ a ⎤ ⎡ Laa ⎢Ψ ⎥ ⎢L ⎢ b ⎥ ⎢ ba ⎢ Ψ c ⎥ ⎢ Lca ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Ψ f ⎥ = ⎢ L fa ⎢ Ψ D ⎥ ⎢ LDa ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ Ψ g ⎥ ⎢ Lga ⎢Ψ ⎥ ⎢L ⎣ Q ⎦ ⎣ Qa
Lab Lbb Lcb L fb LDb Lgb LQb
LDaB =
3 3 3 LaDB ， LgaB = LagB ， LQaB = LaQB 2 2 2
各绕组容量基值： S aB = S DB = S gB = S QB 即：
3 uaB iaB = u DBiDB = u gBi gB = u QBiQB 2
3） 各绕组互感基值与自感基值的关系 � 励磁绕组与定子绕组自感互感关系
5） 定子与转子绕组间
Laf = L fa = M f cos θ Lbf = L fb = M f cos(θ − 120� ) Lcf = L fc = M f cos(θ + 120� ) LaD = LDa = M D cos θ LbD = LDb = M D cos(θ − 120� ) LcD = LDc = M D cos(θ + 120� ) Lag = Lga = − M g sin θ Lbg = Lgb = − M g sin(θ − 120� ) Lcg = Lgc = − M g sin(θ + 120� ) LaQ = LQa = − M Q sin θ LbQ = LQb = − M Q sin(θ − 120� ) LcQ = LQc = − M Q sin(θ + 120� )
LafB =
Ψ aB Ψ aB iaB Ψ fB LaB L fB = = i fB iaB Ψ fB i fB L faB 3 LafB 2
即： LafB L faB = LaB L fB ，由 L faB = 可得： LafB =
2 LaB L fB 3 3 LaB L fB 2
L faB =
�
故可得各绕组在 dq0 坐标下的
⎡ud ⎤ ⎡ rd ⎢u ⎥ ⎢ 0 ⎢ q⎥ ⎢ ⎢ u0 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢u f ⎥ = ⎢ 0 ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎢ 0 ⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎣
0 rq 0 0 0 0 0
0 0 r0 0 rf 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rD 0 0 0 0 rg 0
Mf LafB
L fd * =
3 Mf M f =2 = = Ldf * 3 L afB LafB 2
确定了互感的基值，再按第一约束原则确定励磁绕组电压 u fB 和电流 i fB 的基值： 由 L faB =
Ψ fB
iaB
=
3 3 Ψ aB LafB = 2 2 i fB 3 Ψ aB iaB 2
二．派克变换 经典派克变换：
⎡ Ad ⎤ ⎡ cos θ ⎢ A ⎥ = 2 ⎢ − sin θ ⎢ q⎥ 3⎢ ⎢ ⎢ ⎣ A0 ⎥ ⎦ ⎣ 12
写成紧凑形式：
cos(θ − 2π 3) cos(θ + 2π 3) ⎤ ⎡ Aa ⎤ ⎢ ⎥ − sin(θ − 2π 3) − sin(θ + 2π 3)⎥ ⎥ ⎢ Ab ⎥ ⎥ 12 12 ⎦⎢ ⎣ Ac ⎥ ⎦
LafB =
Ψ aB i fB
，
L faB =
Ψ fB
iaB
定子绕组 d 和励磁绕组 f 的有名值互感为：
Ldf = M f L fd =
3 Mf 2
要使标幺值互感可逆，需选： L faB =
3 LafB 2
这样，转子绕组与励磁绕组的标幺值为：
Ldቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ * =
Ldf LdfB L fd L faB
=
�
u fB i fB
�
励磁绕组自感基值： L fB =
X fB ωB u fB ωB
�
励磁绕组磁链基值： Ψ fB = L fB i fB =
4） 阻尼绕组 D、g、Q 的基值 各阻尼绕组的电流、电压基值也应满足原则二和原则三的约束。其它各变量的基值选取与励磁绕组完 全相同，只需将下标 f ，分别改为 D、g、Q 即可。 3. 确保标幺值互感可逆的约束： 1） 定子绕组和励磁绕组间的互感基值选取： 根据互感定义定子绕组与励磁绕组互感基值为：
同步发电机模型
一． 同步发电机 abc 坐标下的有名值方程 1. 各绕组电压方程 定子各绕组电压方程：
⎧ua = pΨ a − raia ⎪ ⎨ub = pΨ b − rb ib ⎪u = pΨ − r i c c c ⎩ c
转子各绕组电压方程：
⎧u f = pΨ f + ra ia ⎪ ⎪uD = pΨ D + rDiD ≡ 0 ⎨ ⎪u g = pΨ g + rg ig ≡ 0 ⎪u = pΨ + r i ≡ 0 Q Q Q ⎩ Q
电抗标幺值与电感标幺值相等，以后不加区分：
X* =
X ω L L = B = = L* X B ωB LB LB
3） 励磁绕组 f 的基值 励磁绕组电压、电流基值 u fB、i fB 应满足基值选取原则二和原则三的约束，现假定电压、电流基值已 选定，则根据原则一，可导出其它基值： � 励磁绕组容量基值： S fB = u fB i fB 励磁绕组阻抗基值： R fB = X fB = Z fB =
在 dq0 坐标下各绕组的磁链方程为：
⎡ Ld ⎢ 0 ⎡Ψd ⎤ ⎢ ⎢Ψ ⎥ ⎢ 0 ⎢ q ⎥ ⎢3 ⎢ Ψ0 ⎥ ⎢ M f ⎢ ⎥ ⎢2 Ψ f ⎢ ⎥ = ⎢3 ⎢Ψ D ⎥ ⎢ 2 M D ⎢ ⎥ ⎢ ⎢Ψg ⎥ ⎢ 0 ⎢Ψ ⎥ ⎢ ⎣ Q⎦ ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣
0 Lq 0 0 0 3 Mg 2 3 MQ 2
d 轴阻尼绕组 D 与定子绕组自感互感关系
LaDB =
2 LaB LDB 3 3 LaB LDB 2
LDaB =
�
q 轴阻尼绕组 g 与定子绕组自感互感关系 LagB =
2 LaB LgB 3 3 LaB LgB 2
LgaB =
�
q 轴阻尼绕组 Q 与定子绕组自感互感关系 LaQB =
0 MQ 0
3 ⎧ ⎪ Ld = Ls + M s + 2 Lt = const ⎪ 3 ⎪ 式中： ⎨ Lq = Ls + M s − Lt = const 2 ⎪ ⎪ L0 = Ls − 2M s = const ⎪ ⎩
Ld、Lq 分别称为 d、q 轴同步电感。对隐极机 Lt = 0, Ld = Lq ，对凸极机 Ld > Lq 。