高三第一学期期末冲刺卷

- 江苏省南通六县一市高三第一学期期末冲刺卷数学试题命题人：数学学科专家组成员第Ⅰ部分（填空题70分）一、填空题：共14小题，每小题5分，共70分，请将正确答案填写在答题纸对应部分。

1、若复数（为虚数单位），则 ★ ；2、已知向量()()1,5,,==b n m a ，若向量+2与向量2-共线，则nm= ★ ； 3、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3213,2,S S S 成等差数列，则等比数列{}n a 的公比为 ★ ；4、某人有甲、乙两只密码箱，现存放两份不同的文件，则此人使用同一密码箱存放这两份文件的概率是 ★ ；5、一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如图所示）. 为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，再从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（元/月）收入段应抽出★ 人.6、在等式 35tan 95tan 35tan 95tan ∆=∆--中，根号下的∆表示的正整数是 ★ ；7、已知是一条直线，是两个不同的平面. 若从“①；②；③”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确的命题 ★ ；（请用代号表示）8、按如图所示的流程图运算，若输入，则输出的12z i =-i z z z ⋅+=[)2500,3500l ,αβl α⊥//l βαβ⊥8x =0．0．0．0．0．第5★ ；9、已知函数()x x x f 2ln +=,若()()x f x f 322<+，则实数x 的取值范围是 ★ ；10、已知集合{}{}φ≠⋂>=≥-+=B A a x x B x x x A ，且，0232，则实数a 的取值范围是 ★ ；11、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，， 则= ★ ；12、设点P 在椭圆()012222>>=+b a b y a x 上，直线l 的方程为c a x 2-=，且点F 的坐标为()0,c -，作l PQ ⊥于点Q ，若Q F P ,,三点构成一个等腰直角三角形，则椭圆的离心率e = ★ ；13、如图正六边形ABCDEF 中，P 是CDE ∆内(包括边界)的动点， 设()R ∈+=βαβα,，则βα+的取值范围是 ★ ；14、设函数()32++-=a ax x x f ，()a ax x g 2-=．若存在R x ∈0，使得()00<x f 与()00<x g 同时成立，则实数a 的取值范围是 ★ ；k =6cos b aC a b+=tan tan tan tan C CA B+（第13题）第II 部分（解答题90分）二、解答题：本大题共六小题，共计90分。

请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、本小题14分在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足()02=⋅+⋅+CB CA c BA BC c a 。

（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若b =，试求AB CB ⋅的最小值。

16、本小题14分如图，在四棱锥ABCD P -中，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形， AC ＝6，BD ＝8，E 是PB 上任意一点，△AEC 面积的最小值是3。

（Ⅰ）求证：AC ⊥DE ；（Ⅱ）求四棱锥ABCD P -的体积。

17、本小题15分已知圆O ：422=+y x 和点()a M ,1，（1） 若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程； （2）若2=a ，过点M 的圆的两条弦AC 、BD 互相垂直，求BD AC +的最大值。

A（第16题）CDE PFB18、本小题15分已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和n S ，且满足：6542=⋅a a ，1851=+a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）若211<<i ,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项，求i 值； （3）是否存在常数k ，使得数列{}kn Sn+为等差数列，若存在，求出常数k ；若不存在，请说明理由.19、本小题16分某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。

为了增加企业竞争力，决定优 化产业结构，调整出*()x x ∈N 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润 为310()500xa -万元(0)a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高000.2x . （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？20、本小题16分已知函数()()0ln 2>+-=x x b ax x f ．（1）若1=a ，()x f 在()+∞,0上是单调增函数，求b 的取值范围； （2）若2≥a ，1=b ，求方程()xx f 1=在(]1,0上解的个数。

-第一学期江苏省南通六县一市期末冲刺卷数 学 加 试 题21．B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵21 30A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量.22．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程：12x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4sin(22πθρ+=．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和圆C 的位置关系．23．（本小题满分10分）如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=, OA ⊥底面ABCD , 2OA =,M 为OA 的中点. （Ⅰ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小； （Ⅱ）求平面OAB 与平面OCD 所成的二面角的余弦值.24．(本小题满分10分)已知函数()sin f x x x =-, 数列{n a }满足：1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<== （1）用数学归纳法证明：01n a <<；(2) 证明：3116n n a a +<．D O M A B C-第一学期江苏省南通六县一市期末冲刺卷数学试题答案填空题：1、6-2i ；2、5；3、31；4、21；5、40；6、3；7；32\1⇒；8、3；9、（1,2）；10、a<3;11、4；12、22；13、【3,4】；14、a>7;15、解：（Ⅰ）因为(2)0a c BC BA cCA CB +⋅+⋅=，所以(2)cos cos 0a c ac B cab C ++=， 即(2)cos cos 0a c B b C ++=，则(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++= …………4分所以2sin cos sin()0A B C B ++=，即1cos 2B =-，所以23B π=………………8分（Ⅱ）因为22222cos 3b ac ac π=+-，所以22123a c ac ac =++≥，即4ac ≤…12分所以AB CB ⋅=21cos 232ac ac π=-≥-，即AB CB ⋅的最小值为2-………………14分16、（Ⅰ）证明：连接BD ，设AC 与BD 相交于点F ．因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ．……………2分又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥AC ．………………4分 而AC ∩BD ＝F ，所以AC ⊥平面PDB ．E 为PB 上任意一点，DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE ．……………………7分 （Ⅱ）连EF ．由（Ⅰ），知AC ⊥平面PDB ，EF ⊂平面PBD ，所以AC ⊥EF ．……9分S △ACE ＝12AC ·EF ，在△ACE 面积最小时，EF 最小，则EF ⊥PB ． …11分 S △ACE ＝3，12×6×EF ＝3，解得EF ＝1． ……………………………12分由△PDB ∽△FEB ，得PD PBEF FB=．由于EF ＝1，FB ＝4，PB =所以PB ＝4PD ，即4PD ．解得PD ．……………………14分V P —ABCD ＝13S □ABCD ·PD ＝13×24．…………………………15分 18、解：（1）解：}{n a 为等差数列，∵184251=+=+a a a a ，又6542=⋅a a ，∴2a ，4a 是方程065182=+-x x 的两个根 又公差0>d ，∴42a a <，∴52=a ，134=a .∴ 115,313,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ∴11, 4.a d ==∴34-=n a n .…………5分（2）由121i <<,211,,a a a i 是某等比数列的连续三项，2211i a a a =⋅∴，即2)34(811-=⋅i ， 解得3=i . （3）由(1)知，n n n n n S n -=⋅-+⋅=2242)1(1, 假设存在常数k，使数列为等差数列， 【法一】由2231231⋅+⋅=⋅++⋅+k S k S k S ， 得26231511⋅+⋅=⋅++⋅+k k k , 解得1=k .n n kn S n 222==+∴,易知数列为等差数列.【法二】假设存在常数k，使数列为等差数列，由等差数列通项公式可知an b =+，得222(1)2n k n an abn b +-=++恒成立，可得2,0,1a b k ===.n n kn S n 222==+∴,易知数列为等差数列.19.（1）由题意得：000.10(1000)(1)2x x -+⨯≥101000， …………………………4分 即2500x x -≤0,又0,x >所以0x <≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．…………………………………………6分 （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310()500xa x -万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)(1)500x x -+万元，则00310())(15000.2x a x x x -+≤10(1000-， …………………………………………10分所以231000500x ax -≤212500x x x +--， 所以ax ≤221000500x x ++， 即a ≤210001500x x++恒成立， …………………………………………12分因为21000500x x +≥24=，当且仅当21000500x x=，即500x =时等号成立． 所以5a ≤， 又>0a ， 所以05a <≤，即a 的取值范围为(0,5]． …………………………………………16分20、（1）2ln ,(02),()|2|ln 2ln ,(2).x b x x f x x b x x b x x -++<<⎧=-+=⎨-+⎩≥① 当0＜x ＜2时，()2ln f x x b x =-++，()1bf x x'=-+． 由条件，得10b x-+≥恒成立，即b ≥x 恒成立．∴b ≥2． …………………… 2分 ② 当x ≥2时，()2ln f x x b x =-+，()1b f x x'=+． 由条件，得10b x+≥恒成立，即b ≥－x 恒成立．∴b ≥－2． …………………… 4分综合①，②得b 的取值范围是b ≥2． …………………… 5分（2）令1()|2|ln g x ax x x =-+-，即122ln ,(0),()122ln ,().ax x x x ag x ax x x x a ⎧-++-<<⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩≥当20x a <<时，1()2ln g x ax x x =-++-，211()g x a x x '=-++． ∵20x a <<，∴12ax >．则2(2)()244a a a a g x a -'>-++=≥0．即()0g x '>，∴()g x 在（0，2a）上是递增函数． ………………… 7分当2x a ≥时，1()2ln g x ax x x=-+-，211()g x a x x'=++＞0．∴()g x 在（2a ，＋∞）上是递增函数．……… 9分∵g (x )的图象在（0，＋∞）上不间断，∴()g x 在（0，＋∞）上是递增函数． ………………… 10分 ∵22()ln 2a g aa=-，而a ≥2，∴2ln 0a≤，则2()g a＜0． …………… 12分 ∵a ≥2，∴3)1(-=a g 当a ≥3时，3)1(-=a g ≥0∴g (x )＝0在]1,0(上有惟一解．…………………………………………… 14分 当32<≤a 时，3)1(-=a g <0∴g (x )＝0在]1,0(上无解．………………………………………………… 16分21．B ．解：设A 的一个特征值为λ，由题意知：()3.1 , 032 0 31221=-==-⋅-=---λλλλλλ即，所以 ……4分11112 111 ,3 03A x x a y y λ=--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦当时,由得属于特征值的特征向量 7分 22 3 , 32 113 3 01A x x a y y λ=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦当时,由得属于特征值的特征向量 10分 C ．解：（Ⅰ）消去参数t ，得直线l 的普通方程为12+=x y …3分)4πρθ=+，即)cos (sin 2θθρ+=，两边同乘以ρ得)cos sin (22θρθρρ+=， 得⊙C 的直角坐标方程为2)1()1(22=-+-x x ……6分（Ⅱ）圆心C 到直线l 的距离255212|112|22<=++-=d ，所以直线l 和⊙C 相交 10分22．解: 作AP CD ⊥于点P,如图,分别以AB,AP,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,(222AB P D -,(0,0,2),(0,0,1)O M …2分 （Ⅰ）设AB 与MD 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB MD ==--∵， 1cos ,23AB MDAB MD πθθ===⋅∴∴ , ∴AB与MD 所成角的大小为3π…5分 （Ⅱ）22(0,,2),(,2)222OP OD =-=--∵， ∴设平面OCD 的法向量为1(,,)n x y z =,则110,0n OP n OD ==，即2022022y z x y z -=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩， 取z =,解得1(0,4,n = . …… 6分易知 平面OAB 的一个法向量为2(0,1,0)n = 7分121212.22cos ,n n n n n n <>==……9分 由图形知，平面OAB 与平面OCD …10分 23．证明: （1）(i) 当n=1时,由已知显然结论成立. (ii) 假设当n=k 时结论成立,即01k a <<.因为0<x<1时'()1cos 0f x x =->,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[0,1]上连续,从而1(0)()(1),01sin11k k f f a f a +<<<<-<即. 故n=k+1时,结论成立. 由(i)、(ii)可知，01n a <<对一切正整数都成立. …………………5分（2）设函数31()sin 6g x x x x =-+，01x <<．由（1）知，当01x <<时，sin x x <，从而222'22()cos 12sin 2()0.22222x x x x x g x x =-+=-+>-+= 所以g (x)在(0,1)上是增函数. 又g (x)在[0,1]上连续,且g (0)=0, 所以当01x <<时，g (x)>0成立. 4于是31()0,sin 06n n n n g a a a a >-+>即．故3116n n a a +<． …………………10分。