巧用隔板分组法解一类数学题
专题十一：隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)
隔板法在解排列组合问题中的应用隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考.一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数原理，共有222C ×1=231种不同的方法.点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？分析：本题是名额分配问题，用隔板法.解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有物品问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，每组不空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这n 件物品之间的1n -空档中选取1m -个位置放隔板，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n C --种不同的放法，根据分步计数原理，共有1×11m n C --=11m n C --种不同排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n C --种分法.对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握.。
隔板法解排列组合问题
隔板法解排列组合问题一、有7个相同的球和4个相同的盒子，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？A. 15种B. 20种C. 35种D. 56种（答案：C）二、将5本不同的书分给3个同学，每个同学至少得到一本，问有多少种分配方式？A. 60种B. 120种C. 150种D. 210种（答案：C）（注：此题应用隔板法时需先对书进行排序，再插入隔板）三、有8个相同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子里至少有一个苹果，且苹果不能切分，问有多少种摆放方式？A. 28种B. 36种C. 45种D. 56种（答案：B）（注：此题实际为组合问题中的“插板法”或“隔板法”的特例，但由于苹果和盘子都相同，需特殊处理）四、将6个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球，问有多少种放法？A. 1260种B. 1560种C. 1860种D. 2160种（答案：B）（注：此题需先对小球进行全排列，再应用隔板法）五、有9个相同的糖果和2个相同的杯子，要求每个杯子里至少放3个糖果，问有多少种放法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案：C）（注：此题需先满足每个杯子的最小糖果数，再应用隔板法）六、将7个不同的玩具分给4个小朋友，每个小朋友至少得到一个玩具，问有多少种分配方式？A. 840种B. 1680种C. 3360种D. 5040种（答案：B）（注：此题需先对玩具进行全排列，再应用隔板法，并考虑小朋友的区分性）七、有10个相同的饼干和3个相同的碟子，要求每个碟子里至少放2个饼干，且饼干不能切分，问有多少种摆放方式？A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种（答案：A）（注：此题需先满足每个碟子的最小饼干数，再应用隔板法，但由于饼干和碟子都相同，需特殊处理）八、将5封不同的信件投入3个不同的邮筒中，每个邮筒至少有一封信，问有多少种投法？A. 60种B. 150种C. 210种D. 252种（答案：B）（注：此题需先对信件进行全排列，再应用隔板法，并考虑邮筒的区分性，同时需排除不符合条件的情况）。
巧用隔板法解题
巧用隔板法解题作者：杨玉凤来源：《中学教学参考·理科版》2012年第05期众所周知，把N个相同的元素分成n(n≤N)份，每份至少一个元素，常用隔板法，其方法是在N个相同元素所形成的N-1个空档中间插入n-1个隔板，共有C n-1N-1种情况.其方法数C n-1N-1等价于线性不定方程x1+x2+x3+…+x n=N(x i≥1,i=1,2,…,n；n≤N)的正整数解的个数C n-1N-1，但由于受“x i≥1”的限制，在具体解题中隔板法往往不能得到很好的应用.笔者在处理此类问题时，发现了一个非常适用的好方法，使得隔板法的应用更灵活更方便.本文特列举几例说明如下.【例1】 10个相同的小球放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，共有多少种不同放法？分析：此题是隔板法的最典型例题，可直接用隔板法.解法1：把10个球分成3份，每份至少1个球，在10个相同的小球中间有9个空档，插入两块隔板，共有C29不同的放法.解法2：设放入第i(i=1,2,3)个盒子的球的个数为x i，则x1+x2+x3=10(x i≥1,i=1,2,3).此不定方程解的个数为C29=36，即为此题的方法数.【例2】把20个相同的球全部装入编号分别为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数，问有多少种不同的装法？分析：此题要求每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数，比例1难多了，不可直接用隔板法，此例说明隔板法并不具一般性.常见解法为解法1，其思维突破口是：先在1、2、3号盒中分别放进0、1、2个球，然后再分，此法有一定的思维要求，不太容易想到.其实在实际解题时，有不少学生会有如下思维：先在1、2、3号盒中分别放进1、2、3个球，再分剩下的14个球，其答案为C213＝78是错误的.但如能充分利用隔板法与不定方程之间的等价性，则可得解法2，此解法更具一般性，使隔板法的应用更灵活更方便.解法1：先在1、2、3号盒中分别放进0、1、2个球，再把剩下的17个球分成3份，每份至少1个球，在17个球中间有16个空档，插入两块隔板，共有C216＝120种不同的装法.解法2：设放入第i(i=1,2,3)个盒子的球的个数为x i，则x1+x2+x3=20(x1≥1,x2≥2,x3≥3)①，此不定方程解的个数即为此题的方法数，但方程①的解的个数不可直接求，可设y1=x1,y2=x2-1,y3=x3-2，则可得新的不定方程y1+y2+y3=17(y1≥1,y2≥1,y3≥1)，此不定方程①解的个数为C216＝120，等价于方程的解的个数，所以此题的方法数为C216＝120.【例3】将k个相同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，每个盒子可以放任意多个球，也可以是空的，共有多少种不同放法？分析：因为允许有些盒子不放球，其常见解法有两种：解法1对空盒子的个数进行分类讨论；解法2就很难想到了，把4个盒子也看作4个相同的球，思维能力要求极高.但如能充分利用隔板法与不定方程之间的等价性，则可得解法3.解法1：如有零个盒子空，有C3k-1种放法；如有一个盒子空，有C14C2k-1种放法；如有两个盒子空，有C24C1k-1种放法；如有三个盒子空，有C34种放法.共有C3k-1+C14C2k-1+C24C1k-1+C34=C3k+3种放法.解法2：k个球可放进1个盒子或2个、3个、4个盒子，有些盒子可以是空的，直接用隔板法是不行的，因为隔板法只适用于每份至少一个球的情形，把4个盒子也看作4个相同的球，则共有k+4个球，然后再把它们分成4份，每份至少一个球，则不同的放法有C3k+3种.解法3：设放入第i(i=1,2,3,4)个盒子的球的个数为x i，则x1+x2+x3+x4=k(x i≥0,i=1,2,3,4)②，此不定方程解的个数即为此题的方法数，但方程②的解的个数不可直接求，可设y1=x1+1,y2=x2+1,y3=x3+1,y4=x4+1，则可得新的不定方程y1+y2+y3+y4=k+4(y i≥1,i=1,2,3,4)，此不定方程解的个数为C3k+3，等价于方程①的解的个数，所以此题的方法数为C3k+3.【例4】 (a+b+c)8的展开式共有多少项？分析：此题是三项式问题，可转化为二项式问题求解，可得解法1.但实际上，此题也可用隔板法求解，可得解法2.解法1：(a+b+c)8=［a+(b+c)］8=a8+C18a7(b+c)+…(b+c)8.在a8中有1项；在C18a7(b+c)的展开式中有2项；…在C r8a8-r(b+c)r的展开式中有r+1项；…在(b+c)8展开式中有9项，所以(a+b+c)8的展开式共有1+2+3+…+9=45项.解法2：设(a+b+c)8的某个展开式中含x1个a，x2个b，x3个c，则x1+x2+x3=8(x i≥0,i=1,2,3)③.设y1=x1+1,y2=x2+1,y3=x3+1，则可得新的不定方程y1+y2+y3=11(y1≥1,y2≥1,y3≥1)，此不定方程解的个数C210=45为，等价于方程③的解的个数，所以(a+b+c)8的展开式共有C210=45项.(责任编辑金铃）。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用隔板法，即拓展隔板法，在高中数学解题中的应用十分广泛。
它是一种利用排列组合思想解决问题的方法，常被用于解决组合数学、排列组合、概率等问题。
隔板法的应用范围涉及数学、物理、化学等多个学科，其思想灵活、简单易懂，因而备受青睐。
本文将从隔板法的原理、应用及高中数学解题实例三个方面进行探讨，希望能为读者带来一些启发和帮助。
一、隔板法的原理所谓隔板法，是指在一列物体中插入一定数量的隔板，以便将这列物体分成多个子集。
在数学中，我们通常使用这一方法来解决排列组合问题。
具体来说，隔板法适用于以下两类问题：1. 将n个相同的物体分成m份，每份至少一个的分法。
其中第一类问题对应于排列问题，而第二类问题对应于组合问题。
接下来我们通过具体的实例来解释这两类问题的解决方法。
对于这类问题，我们可以设想有n个相同的物体和m-1个隔板，我们需要将这些物体放置在m个容器中。
我们可以将这些容器从左到右编号为1,2,...,m，其中第i个容器表示第i-1个和第i个隔板之间的物体数量。
那么问题就变成了，如何将n个相同的物体和m-1个隔板进行排列，使得满足每一个容器内至少有一个物体。
根据排列数的性质，我们可知，这个问题的解法个数为C(n+m-1, m-1)。
隔板法在高中数学解题中有着广泛的应用，尤其在排列组合和概率相关的问题中经常能见到。
下面我们通过几个典型的高中数学解题实例来说明隔板法的应用。
1. 高中生在选修课选课时，需要选择4门课程，学校提供了10门可供选择的课程。
请问一共有多少种不同的选课方案？这是一个典型的排列问题，也是一个非常简单的例子。
我们可以使用隔板法来解决这个问题。
这个问题可以看作是将10门可供选择的课程分成4份，每份至少一个的排列问题。
根据隔板法的原理，这个问题的解法个数为C(10+4-1, 4-1) = C(13, 3) = 286种。
2. 有4个红色的球、3个蓝色的球和2个绿色的球，现在需要从这些球中选择3个球，问一共有多少种不同的选择方案？通过以上实例的分析，我们可以看出，隔板法在解决高中数学排列组合问题中的应用非常广泛，而且思路和方法也非常简单。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
拓展隔板法在高中数学解题中的应用
拓展隔板法在高中数学解题中的应用拓展隔板法是一种在高中数学解题中常用的方法，它可以帮助我们快速解决一些复杂的问题，尤其是排列组合、概率等题型。
让我们来了解一下什么是拓展隔板法。
拓展隔板法是一种将问题中的对象用隔板分隔成若干个部分，从而简化问题的方法。
它的基本思想是将对象看作是隔板之间的空间，通过确定隔板的位置来确定问题的解。
下面以一道排列组合题为例来说明拓展隔板法的应用。
假设有6个苹果要分给3个人，每人至少得到一个苹果，问有多少种分法？我们可以将6个苹果看作是5个间隔的隔板，这样我们可以将它们分为6个空间，每个空间表示一个人分到的苹果数。
问题转化为在5个间隔上放3个隔板的问题。
假设5个间隔的位置为o o o o o，我们可以在其中三个位置上放置隔板，来表示三个人分到的苹果数。
我们可以在第一个和第二个间隔之间放一个隔板，表示第一个人分到了2个苹果；第三个和第四个间隔之间放一个隔板，表示第二个人分到了2个苹果；第四个和第五个间隔之间放一个隔板，表示第三个人分到了2个苹果。
这样就得到了一种分法。
事实上，我们只需确定了三个隔板的位置，问题就得到了解答。
而隔板的位置共有C(5,3)种，即从5个间隔中选出3个间隔来放置隔板的方法数。
答案就是C(5,3) = 10种。
从这个例子可以看出，拓展隔板法能够将复杂的问题转化为简单的组合问题，从而解决问题。
这种方法有一定的普适性，可以在排列组合、概率等题目中得到应用。
除了排列组合和概率题目外，拓展隔板法还可以用于解决其他一些与隔板分隔有关的问题，如划分问题、集合划分问题等。
在解题过程中，我们需要将问题转化为隔板的放置问题，并通过组合数学的知识求解。
对于有些问题，我们还可以通过引入辅助隔板来处理特殊情况，进一步简化问题。
拓展隔板法是一种在高中数学解题中常用的方法。
它可以将复杂的问题转化为简单的组合问题，并通过组合数学的知识求解。
熟练掌握拓展隔板法的应用，可以帮助我们在解题过程中节省时间，提高解题效率。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
事业单位行测数量关系解题技巧：隔板法解决同素分堆问题
2019事业单位考试公共基础——隔板法排列组合问题是解决完成一件事的方法数的问题，是大家公认的难度较大的题型。
原因有二，一是题目很灵活，不同题目需要我们完成的事情不同;二是解法灵活，不同人做同一件事的做法不同。
尤其是考试中时间又紧，大家基本没有太多的时间来解这种题目，即使有些同学做了，正确率也不高。
因此我们针对排列组合中不同特征的题目，总结了不同的常用方法。
而隔板法就是我常用来解决排列组合中同素分堆问题的方法，接下来就给大家重点介绍下这个方法。
一、理论概述标准隔板法解决的问题：同素分堆，每堆至少分一个的问题。
公式推导：n个元素形成了中间n-1个空，分成m堆，只需隔m-1个板，因此在n-1个空中隔m-1个板，有Cn-1m-1种方法。
总结：n 个相同元素分成m 堆，每堆至少分一个，有Cn-1m-1种方法。
非标准的同素分堆问题：同素分堆，每堆至少分a(a>1)个。
解决方法：先给每堆分a-1个，转化为每堆至少分一个的标准问题，再套公式。
二、例题精讲【例1】8本相同的书，分给3个学生，每人至少分一个，有多少种分法?A.20B.21C.28D.30答案：B。
解析：8个相同的元素，分成3堆，每堆至少分一个，符合标准问法，用隔板法解决，根据公式得，C72=21种方法。
故选B。
【例2】某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，一共有多少种不同的发放方法?A.7B.9C.10D.12答案：C。
解析：同素分堆的非标准问法，用隔板法，转化成标准问法，先给每堆分8个，则剩余6个学习材料，即转化为：6份材料分给3个部门，每个部门至少分一个，因此根据公式得，C52=10种分法。
通过以上练习，大家会发现，隔板法可以帮助我们快速解决同素分堆问题。
希望大家平时多练习，掌握同素分堆问题的多种考法，提升排列组合题目的正确率。
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
巧用隔板法解决一类排列组合问题
变式2
把12个完全相同的球，放入编号为1、2、3、4的盒子中， 每个盒子的小球个数不小于其编号数，问有多少种不同 的放法？123 Nhomakorabea4
变式3
把12个完全相同的球，放入编号为1、2、3、4的盒子中， 允许有空盒，问有多少种不同的放法？
1
2
3
4
共有 种放法。 每个盒子拿出一个球还回去.
解法透析
将m个相同的元素有序地放入n个不同的盒子中（允许空盒）, 需要先另外借来n个相同的元素，转化为将m+n个元素用隔板
巧用隔板法解决一类排列组合问题
典例聚焦
例1.把12个完全相同的球，放入编号为1、2、3、4的盒 子中，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？
1
2
3
4
基本模型特点：
（1）有若干个相同的元素； （2）将这些元素有序地分为几组，且每组至少一个元素； （3）不能剩余。
解法透析
将m个相同的元素有序地放入n个不同的盒子中（不允许空盒）,
法放入n个盒子中，最后每个盒子都拿出一个球还回去，所以
共有
种放法。
拓展训练
（1）求方程
的正整数解的个数.
（2）求方程
的非负整数解的个数.
(3)从方程
的所有非负整数解中随机
取出一组解，则该解是正整数解的概率为多少？
相当于在m-1个间隔中插入n-1个隔板，因此不同的放法与不同
的隔板插法种数相同，共有
种放法。
变式1. 把12个完全相同的球，放入编号为1、2、3、4的盒子中，每 个盒子至少放两个球，问有多少种不同的放法？
1
2
3
4
解法透析： 将m个相同的元素有序放入n个不同的盒子中，每个盒子中至少
微专题隔板法解排列组合问题
微专题“隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将〃个相同元素分成加组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.（1）当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有才种，即给〃个元素中间的（〃-1 ）个空隙中插入（〃?—1）个隔板.（2）任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有种，即将〃个相同元素与（/〃-1）个相同隔板进行排序，在（〃+〃?-1）个位置中选（/〃-1）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了 3组.图1―1所示的是其中一种装法.o 0|0oooo|oO O图1—1将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有C；=36 （种）.例2.求方程巧+ 工2 +…+与=7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7,用5个标有修、£、…、%的5个不同的盒子表示未知数演、招、…、与，要得到方程玉+支,+…+Z=7的正整数解的个数.可分以下两步完成：第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法：第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有C：种放法，由分步计数原理知，共有C：种不同放法.我们把标有七（尸1,2,…，5）的每个盒子得到的小球数勺（i=l, 2,…，5; k«N记作：七二%.这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程/+与+…+/=7的每一组解（储，的，…，勺）.C ： = C ；弋=15 （个）2x1所以，方程M + /+…+%=7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程玉+占+…+/=7的非负（或正） 整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有〃个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的 分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给 4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有G ： =165（种）.题型三：每盒分别有〃 i ，〃2,…,巧”个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3, 4, 5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不 少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2, 3, 4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分 到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放 法共有Gj =45（种）题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在 11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 、种排法.所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法. 点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒 子数少L例6.求应+匕+…+幺）’°展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表辕指数10,用5个标有片、%的5个不同的盒子表示数为、占、乙，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有为（1=12 (5)每个盒子得到的小球数尤（；1, 2,…，5; k"）,记作‘的左次方.这样，将10个 相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知, 这样的放法共有种，故但+Z+…的展开式中共有项。
高中数学 第一章 计数原理 1.4 计数应用题“隔板法”
“隔板法”及其应用排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
例1、将7个相同的球放入4个不同的盒子中，（1）不出现空盒时的放入方式共多少种？（2）任意放入时的方式共有多少种？该题有多种解法，先介绍其中的“隔板法”。
解：（1）将7个相同小球一字排开，在其中间的6个空格中加入无区别的3个“隔板”将球分成四份。
故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法，则不同的放法共有2036==C N 种。
（2）每种放法对应于将7个相同小球与3个相同“隔板”进行的一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有120310==C N 种放入的方式。
思维启迪 凡“相同小球放入不同盒中”的问题，即“n 个相同元素有序分成m 组（每组的任务不同）”的问题一般可用“隔板法”解，即（1）当每组含元素数目至少一个时，其不同分组方式为11--=m n C N 种，即给n 个元素的中间1-n 空格加入1-m 个“隔板”。
（2）任意分组，可出现某些组含元素为0个时，其不同分组方式为11--+=m m n C N 种，即将n 个相同元素与1-m 个相同“隔板”进行排序，在1-+m n 个位置中选1-m 个安排隔板。
例2、将10个优秀的指标分配给3个班级，（1）每班至少一个，则共有多少种分配方法？（2）任意分配共有多少种分配方法？（3）若班级为一、二、三班，若名额数不小于班级数，则共多少种分配方法？ 分析：由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子模型。
可采用“隔板法”。
（1）插隔板，即9个空格中插入2个隔板，共有3629==C N 种分配方法。
（2）排隔板，即10个指标和2个隔板，共12个位置选2个放隔板，共有66212==C N 种分配方法。
（3）先给一班0个优秀名额，二班1个优秀名额，三班2个优秀名额，再对剩下的4个优秀名额用插隔板法，共有1025==C N 种分配方法。
2014上海公务员行测备考：巧用隔板法解排列组合问题
中公教育2014年公务员考试
2014上海公务员行测备考：巧用隔板法解排列组合问题
例1：一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?
A.4
B.6
C.8
D.10
例2：某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?
A.7
B.9
C.10
D.12
还有一些题目对于分法没有要求，即不要求每个对象至少一个。
类似的，我们就要想办法转化为至少一个。
例3：将7个大小形状相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，问共有多少方法?
A.12
B.24
C.36
D.48。
利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)
利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++展开式中共有多少项？ 解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i =，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
取514-=块相同隔板，连同10个相同的小球排成一排，共14个位置。
人教B版选修23第一章利用隔板法巧解排列、组合问题
利用隔板法巧解排列、组合题隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有种排法。
厂3 11 10 9 菇Cn = --------------- =165（种）3 2 1所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
一、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。
将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。
第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C9种不同分法。
由分步计数原理知，共有C9种不同分法。
5厶9 8 7 6 丄C5=C4= =126 （种）。
9 9 4 3 2 1答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
二、求n项展开式的项数。
10例3、求（为X2 X5）展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幕指数10,用5个标有x1、X2、…、X5的5个不同的盒子表示数x1、x2、…、x5,将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有X i （i=1,2,…,5 ）每个盒子得到的小球数k i （i=1 , 2,…,5; k i N ），记作X i的k i次方。
高考数学复习专题15 隔板法模型(解析版)
专题15 隔板法模型例1．2020年高考强基计划中,北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ) A ．462 B ．126 C ．210 D ．132【解析】将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序， 共有59126N C ==种方案。
故选：B .例2．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ) A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位(不包含两端）中插入两块板即可， 因此,不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =。
故选：C。
例3．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友,每个小朋友至少分得4个苹果,问有多少种不同的分配方案？( ) A ．680 B ．816 C ．1360 D ．1456【解析】先给每个小朋友分三个苹果,剩余18个苹果利用“隔板法”,18个苹果有17个空,插入三个 “板"。
共有317C =680种方法。
故选：A.例4．从A 、B 、C 、D 4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种（ ） A ．42B ．56C ．84D ．168【解析】将10个人排成一排，然后从中间形成的9个空中选3个，分别放入一个隔板，即可将10个人分为4个部分，且每部分至少1个人,由此可得每班人数的不同情况有3998784321C ⨯⨯==⨯⨯种．故选C ．例5．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有( ）种 A ．41 B ．56 C ．156 D ．252【解析】问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档"插入档板， 即产生符合要求的方法数．故有5856C =种． 故选:B例6．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组 A ．165 B ．120C ．38D ．35【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A。
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巧用隔板分组法解一类分配问题
福建惠安第三中学 仇文波
刊发《中学教研》2007年第10期
转载于《福建教育》2008年第4期
隔板分组法往往用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题，对有些题来说，若能使用该方法，则可使问题化难为易，迎刃而解，下面列举范例说明隔板分组法的妙用。
一．要求盒子中都有小球
例1．12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？
分析：将12个小球排成一排，中间有11个缝，在这11个缝中选出3个，放上“隔板”，若记“|”看作隔板，则如图，00|000|0000|000隔板把一排球分成四组，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，3个，4个，3个小球。
这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一
种从11个缝中选出3个缝的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311165C =种.
例2：求不定方程10321=++x x x 的正整数解（321,,x x x ）的组数
分析：把10看成10个相同的小球，则问题转化为10个相同的小球投入3个不同的盒子，要求每个盒子至少有1个小球，则不同的放法有多少种？把10个小球排成一排，则中间有9个缝，在9个缝中选两个后各插入一块“隔板”，则把小球分成三部分，放入3个盒子中，由于小球是相同的，显然“插法”和“放法”是一一对
应的，于是共有3629=C 种放法，即对应的组数有36组.
二、允许有的盒子中没有小球
例3：将5个相同的小球放入4个不同的盒子中，则有多少种放法.
分析：5个相同的小球放入4个不同的盒子，因允许有的盒子没有小球，故可以对空盒子的个数进行分类，分为四类：第一类，仅有一个空盒子，可分为两步，第一步先从4个不同盒子中选1个空盒子，有14C 种选法；第二步再把5个相同的小球放入剩下3个不同的盒子，每一个盒子至少有一个小球，有24C 种放法。
由分步计数原理知有1244C C 种放法。
同理可求得第二类，有两个空盒子，有2144C C 种放法；第三类，有三个空盒子，有3
4C 种
放法；第四类，没有空盒子，有34C 种放法。
由分类计数原理知，共有12213344444456C C C C C C +++=种，显然，若按上面的解法，则比较繁杂。
事实上，可设4个不同盒子的球的个数分别为1234,,,x x x x 且12345x x x x +++=，1234,,,x x x x 都为自然数。
由10x ≥，20x ≥，30x ≥，40x ≥得111x +≥，211x +≥，311x +≥，411x +≥，又9)1()1()1()1(4321=+++++++x x x x ，则问题转化为9个相同的球，放入4个不同的盒子，每个盒子至
少有一个球，由隔板分组知有3856C =种放法，显然这种解法比第一种解法来得简单. 由上面的第二种解法，我们知道处理这类允许盒子放空的问题，可以通过多放球来处理。
而多放球个数为盒子个数，然后把总的球放入盒子，每一个盒子至少有一个球，化归为第一类问题，下面通过例子再进一步说明。
例4：求不定方程10321=++x x x 的自然数解（321,,x x x ）的组数.
分析：由已知01≥x ，02≥x ，03≥x
可以得到111≥+x ，112≥+x ，113≥+x
又 13)1()1()1(321=+++++x x x
从而解的组数转化为把13个相同的小球放入三个不同盒子，要求每个盒子至少有1个，由隔板分组可知道有66212=C 种放法，相应的解的组数有66组.
例5：由}5,4,3,2,1{=M ，}8,7,6{=N 构成映射N M f →:，满足)5()4()3()2()1(f f f f f ≤≤≤≤，求不同映射个数和以M 为定义域，N 为值域的函数个数.
分析：因为M 中5个元素对应的象是从小到大排列，不能交叉对应，于是把5个原象看成5个相同的球，放入3个不同的盒子，允许有的盒子中没有球，因有3个不同盒子，故可以多放入3个球，这样球的总个数达到8个，问题转化为8个不同的球放入3个不同盒子，每一个盒子至少有1个球，由隔板分组法知有27C =21种放法，可求得不同映射的个数为21个，若N 为函数值域，则N 中3个元素都是象，相当于3个不同盒子都要分到球，由隔板分组法可求得函数个数是624=C 个.
例6：10
)(d c b a +++的展开式有几项.
分析：展开式中的每一项都是由d c b a ,,,中的一个或多个相乘而得到的10次式，所以可以看成10个相同的小球，投入四个不同的盒子，盒子允许放空，因有4个不同盒子，故可以多放入4个球，这样总球数达到14个，问题化归为14个不同的球，投入4个不同盒子，每一个盒子不空，由隔板法得313C 种投法，而一种投法对应展
开式中的一项，故展开式有286313=C 项. 三、每一个盒子中的小球数都有明确的限制
处理这类题往往通过多放入小球或减少小球的个数，化归为第一类问题.
例7：12个相同的小球放入编号为4,3,2,1的盒子中，要求每个盒子中的小球数不少于其编号数，问不同的放法有多少种.
分析：先将1个、2个、3个小球分别放入编号为2、3、4号盒子内，则问题转化为剩下的6个小球放入四
个盒子中，每盒至少有一个小球的放法，由隔板法得到放法有1035=C 种.
例8：求不定方程10321=++x x x 满足21≥x 、32-≥x 、33≥x 的整数解),,(321x x x 的组数.
分析：由21≥x 、32-≥x 、33≥x
得111≥-x 、142≥+x 、123≥-x 又10321=++x x x
∴11)2()4()1(321=-+++-x x x
问题转化为11个相同的小球放入3个不同盒子中，要求每个盒子至少有一个小球，由隔板分组知有45
210=C 种放法，而每一种放法对应一组解，故有45组解.
例9：晚会上共有8个演唱节目和2个舞蹈节目，要求两个舞蹈节目之间至少要有2个演唱节目，问有多少种不同的节目顺序表？
分析：记“×”为演唱节目，“O ”为舞蹈节目
节目顺序表如图所示{{132.........x x x O O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯123个个
个 由题意可知01≥x ，22≥x ，03≥x 且8321=++x x x ，123,,x x x 都为整数，于是有9)1()1()1(321=++-++x x x ，则问题转化为9个相同的小球放入3个不同盒中，每个盒子至少有一个小球，由隔板分组法知有2
8C 种放法，而实际上演唱节目和舞蹈节目是不同的，可以再各自进行全排列，所以有 288C ！2！种节目顺序表.。