第六章静定平面桁架
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《静定平面桁架》课件
平面桁架的应用场景
01
桥梁工程
作为桥梁的主要受力结构，承载车辆和人群的重量。
02
建筑工程
用于大型工业厂房、仓库、展览馆等建筑的屋面结构。
03
景观工程
作为景观桥梁、廊道等结构，起到连接和支撑的作用。
平面桁架的基本组成
弦杆
主要承受轴向拉力或压 力，是平面桁架的主要 承载杆件。
腹杆
连接弦杆，主要承受剪 力和扭矩，分为斜腹杆 和竖腹杆两种。
静定平面桁架的研究成果总结
静定平面桁架是一种结构形式简 单、受力性能良好的结构体系， 在桥梁、建筑等领域得到了广泛
应用。
在过去的研究中，静定平面桁架 的静力性能、稳定性、优化设计 等方面得到了深入探讨，取得了
丰硕的成果。
静定平面桁架的承载能力、刚度 和稳定性等方面得到了充分验证 ，为实际工程应用提供了可靠的
静定平面桁架
目录
• 平面桁架概述 • 静定平面桁架的分类 • 静定平面桁架的力学特性 • 静定平面桁架的设计与优化 • 静定平面桁架的实例分析 • 总结与展望
01 平面桁架概述
定义与特点
定义
平面桁架是一种由杆件组成的结 构，其所有杆件都位于同一平面 内。
特点
具有结构简单、受力明确、计算 简便等优点，广泛应用于桥梁、 建筑等领域。
D
静定平面桁架的材料选择
钢材
高强度、轻质、耐腐蚀，广泛用于大型结构 和重载静定平面桁架。
复合材料
铝合金
质轻、耐腐蚀、美观，适用于对视觉要求较 高的场合。
如玻璃纤维和碳纤维，高强度、轻质，适用 于对重量要求极高的场合。
02
01
木质
自然、美观，适用于小型、低负载的静定平 面桁架或装饰性结构。
06静力学专题——桁架、摩擦、重心(阅读版)
China University of Mining & Technology
§6-2 摩擦
摩擦 滚动摩擦 静滚动摩擦 动滚动摩擦
滑动摩擦 静滑动摩擦 动滑动摩擦 摩擦
湿摩擦
干摩擦
《摩擦学》
一、滑动摩擦
Fx 0 FT Fs 0
F s FT
静滑动摩擦力的特点 1 方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向； 2 大小：0 F s Fmax 3 Fmax f s FN（库仑摩擦定律）
取节点Ｅ
Fiy 0 FEG Fix 0 FEF
例6-4 已知：P1,P2,P3, 尺寸如图。 求： １，２，３杆所受力。 解： 求支座约束力
M 0 F 0
A
iy
F Ay
FBy
从1，2，3杆处截取左边部分
F F
iy
0
0
F2 F1 F3
动滑动摩擦的特点 1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 2 大小：F d f d F N
f d f s （对多数材料，通常情况下）
二、摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
F RA
全约束力
物体处于临界平衡状态时， 全约束力和法线间的夹角。 摩擦角
tan f
Fmax f s FN fs FN FN
FA max f sA FNA FB max f sA FNB
(3) (4) (5) (6) (7)
FBmax smax P
解上述5个方程，得
f sA (tan f sB ) smax l 1 f sA f sB 所求 s 值为 f (tan f sB ) 0 s sA l 1 f sA f sB
§6-2 摩擦
摩擦 滚动摩擦 静滚动摩擦 动滚动摩擦
滑动摩擦 静滑动摩擦 动滑动摩擦 摩擦
湿摩擦
干摩擦
《摩擦学》
一、滑动摩擦
Fx 0 FT Fs 0
F s FT
静滑动摩擦力的特点 1 方向：沿接触处的公切线， 与相对滑动趋势反向； 2 大小：0 F s Fmax 3 Fmax f s FN（库仑摩擦定律）
取节点Ｅ
Fiy 0 FEG Fix 0 FEF
例6-4 已知：P1,P2,P3, 尺寸如图。 求： １，２，３杆所受力。 解： 求支座约束力
M 0 F 0
A
iy
F Ay
FBy
从1，2，3杆处截取左边部分
F F
iy
0
0
F2 F1 F3
动滑动摩擦的特点 1 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 2 大小：F d f d F N
f d f s （对多数材料，通常情况下）
二、摩擦角和自锁现象
1 摩擦角
F RA
全约束力
物体处于临界平衡状态时， 全约束力和法线间的夹角。 摩擦角
tan f
Fmax f s FN fs FN FN
FA max f sA FNA FB max f sA FNB
(3) (4) (5) (6) (7)
FBmax smax P
解上述5个方程，得
f sA (tan f sB ) smax l 1 f sA f sB 所求 s 值为 f (tan f sB ) 0 s sA l 1 f sA f sB
第6章静定桁架
熟练之后可以直接在结构∑上X进=0行，，N不35必= －列平60衡－方X程34=。－如9图0。所示。
11
特殊结点的力学特性 （注意：这些特性仅用于桁架结点）
N1=0
P
N1=0
N1
N2=N1 N3
N2=0
N2=P
β
N3=0
例：求图示结构各杆内力。
E
N1
F
解：先找出零杆
N3 N4 N1=N2
β
N2=－N1
2
40kN
4
6
60kN 80kN
V8=100kN V1=80kN
3m×4=12m
2、求内力
取结点1
Y13
N13
1
X13
取∑由X1Y3结比==10－5点6例0，9k822关N000NY×8系203131得=30－07/N45284=∑∑0－，YX==689000k+－N2-70取605－∑∑－结XY1==10点0500N==3，，3005X。，34NN2234==4600V，，8=100kN
可
大
楼
高层钢结构的发展，桁架也成为了建筑主体 结构，不再是桥梁和屋架。
6
桁架的分类: 按几何组成可分为以下三种
1、简单桁架 —— 由基础或一个基本 铰结三角形开始， 依此增加二元体所 组成的桁架
7
2、联合桁架——由简单桁架按 几何不变体系组成法则所组 成的桁架。
8
3、复杂桁架——不属于以上两类桁架之外的其它桁架。其几何 不变性往往无法用两刚片及三刚片组成法则加 以分析，需用零荷载法等予以判别。
N2
N4=N3
G
由B点平衡可得 ∑Y=P+NBAsinα=0
NBA=－P/sinα
工程力学终于知识点
三、扭转轴的内力 扭矩 ——T 扭矩的正负规定：
按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方
向为正；反之为负。
3、扭矩图
扭矩图——表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
要求：
①扭矩图和受力图对齐； ②扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。
快速作扭矩图
上上下下
四、薄壁圆筒的扭转
r0/d≥10 时，称为薄壁圆筒。
作用于杆上的合外力的作用线与杆的轴线重合。
2、变形特点
杆件产生轴向的伸长或缩短。
二、 内力·截面法·轴力和轴力图 1、内力
指截面上分布内力系的合力。
2、截面法
截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
3、轴力FN
沿杆轴线方向作用的内力，称为轴力。
轴力正负规定：
以使脱离体受拉为正，使脱离体受压为负。
F N3
一定为零力杆。
F N2
3
3、两杆相结，不共线，且节点 处的载荷沿其中某一杆件， 则另一杆为零力杆。
2 A 1 FN1 F N2
2
F A 1 F N1
三、重心坐标的一般公式
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
zc
Pi zi P
四、组合形体的重心
1、分割法
如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而
此法适合于求桁架部分杆件的内力。
注:
（1）所有杆件均假设受拉。 （2）每次对象只能列出三个方程。 （3）合理确定坐标方位、矩心位置及方程次序。
两种方法并不 相互独立，可 配合使用。
二、桁架零力杆的判断方法
F N2
1、两杆相结，不共线，且节点
2
处没载荷，则此两杆均为零力杆。
按右手螺旋法则， 扭矩矢量沿截面外法线方
向为正；反之为负。
3、扭矩图
扭矩图——表示扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。
要求：
①扭矩图和受力图对齐； ②扭矩图上标明扭矩的大小、正负和单位。
快速作扭矩图
上上下下
四、薄壁圆筒的扭转
r0/d≥10 时，称为薄壁圆筒。
作用于杆上的合外力的作用线与杆的轴线重合。
2、变形特点
杆件产生轴向的伸长或缩短。
二、 内力·截面法·轴力和轴力图 1、内力
指截面上分布内力系的合力。
2、截面法
截面法四部曲 —截开 —取出 —代替 —平衡
3、轴力FN
沿杆轴线方向作用的内力，称为轴力。
轴力正负规定：
以使脱离体受拉为正，使脱离体受压为负。
F N3
一定为零力杆。
F N2
3
3、两杆相结，不共线，且节点 处的载荷沿其中某一杆件， 则另一杆为零力杆。
2 A 1 FN1 F N2
2
F A 1 F N1
三、重心坐标的一般公式
xc
Pi xi P
yc
Pi yi P
zc
Pi zi P
四、组合形体的重心
1、分割法
如果一个物体由几个简单形状的物体组合而成，而
此法适合于求桁架部分杆件的内力。
注:
（1）所有杆件均假设受拉。 （2）每次对象只能列出三个方程。 （3）合理确定坐标方位、矩心位置及方程次序。
两种方法并不 相互独立，可 配合使用。
二、桁架零力杆的判断方法
F N2
1、两杆相结，不共线，且节点
2
处没载荷，则此两杆均为零力杆。
静定平面桁架
静定平面桁架一. 学习内容和要求本节主要学习静定平面桁架结构的受力特点和结构特点以及桁架结构的内力计算方法——结点法、截面法、联合法。
通过学习，熟练掌握桁架结构计算的方法，能够判断零杆、计算桁架的轴力。
二. 主要内容（一）静定平面桁架的特点1. 静定平面桁架：由若干直杆在两端铰接组成的静定结构。
桁架在工程实际中得到广泛的应用，但是，结构力学中的桁架与实际有差别，主要进行了以下简化：(1)所有结点都是无摩擦的理想铰；(2)各杆的轴线都是直线并通过铰的中心；(3)荷载和支座反力都作用在结点上。
2. 桁架的受力特点桁架的杆件都在两端受轴向力，因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。
3. 桁架的分类简单桁架：由一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。
联合桁架：由几个简单桁架，按两刚片法则或三刚片法则所组成的几何不变体。
复杂桁架：不属于前两种的桁架。
4.桁架内力计算的方法结点法、截面法、联合法。
（二）结点法1、结点法：截取桁架的一个结点为脱离体计算桁架内力的方法。
2、结点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系求解内力的。
3、利用结点法求解桁架，主要是利用汇交力系求解，每一个结点只能求解两根杆件的内力，因此，结点法最适用于计算简单桁架。
4、分析时,各个杆件的内力一般先假设为受拉,当计算结果为正时,说明杆件受拉;为负时,杆件受压。
5、结点单杆的概念:在同一结点的所有内力为未知的各杆中,除结点单杆外,其余杆件均共线。
单杆结点主要有以下两种情况：（1）、结点只包含两个未知力杆，且此二杆不共线，则每杆都是单杆。
（2）、结点只包含三个未知力杆，其中有两杆共线，则第三杆是单杆。
性质及应用：A、结点单杆的内力，可由该结点的平衡条件直接求出。
B、当结点无荷载时，则单杆必为零杆。
（内力为零）C、如果依靠拆除结点单杆的方法可将整个桁架拆完，则此桁架可应用结点法按照每次只解一个未知力的方式求出各杆内力。
第06章 静力学专题-桁架、重心
yili li
yi L
li
zC
zili li
zi li
L
极限为：
xdl
ydl
xC
C
L
,
yC
C
L
,
zdl
zC
C
L
z
O x
Pi zi
yi yC
C
P zC
xi
xC y
本章小结
1. 了解桁架的构成、结构特点以及桁架杆件内力的求解 方法;
§6.1 桁架 基本三角形 三个铰链为节点连接的三根杆构成的三角形 平面简单桁架
平面简单桁架节点和杆件数的关系 桁架节点数为n，杆件数为m，则 m-3=2(n-3) 即 m=2n-3 或 m+3=2n
§6.1 桁架 无冗杆桁架 从桁架中抽出任何一根杆，原有的几何形状不能保持， 没有多余杆件的桁架 有冗杆桁架 从桁架中抽出一根杆或几根杆件，原有的几何形状能 保持，桁架有多余杆件
S
xdS
ydS
xC
S
S
,
yC
S
S
,
zdS
zC
S
S
z ds
Pi
C
zi
PzC
O
yi
xi
xC y
x
yC
§6.3 重心
如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与 其长度 L 相比是很小的，则重心公式为
xC
xili li
xi li
L
yC
(3)、节点连接三根杆，其中两根共线，并且在此节 点上无外载荷，则第三根杆件为零杆
静定结构的内力—结点法求静定平面桁架内力(建筑力学)
20kN
FyDC FNDC
C
30 5
D A
FNDF
2m
F
FxDF
4m
FyDF
FNDF
51
2
Fy 0，
FyDC 30 20 FyDF 0
(FyDF 10kN )
FyDC 30 20 10 20kN
FNDC FyDC (l / l y ) 20( 5 / 1) 44.72kN (压)
FAy= FBy= 30kN (↑) FAx= 0KN
2）判断零杆： 见图中标注。 3）求各杆轴力：
20kN
D 0
0
AE
20kN
C
20kN
G
1m
0
1m
F
H
B
30kN 2m 2m 2m 2m 30kN
取结点隔离体的顺序为：A、E、D、C。
由于结构对称，荷载对称，只需计算半边结构。
结点A： Fy 0，
4) 运用比例关系：
FN Fx 。Fy l lx ly
结点受力的特殊情况：
1）
FN1
0。
90
0
FN2
s
结点上无荷载，则FN1＝FN2＝0。
由∑FS＝0，可得FN2＝0，故FN1＝0。
2）
FN1
FN2
Fy 0， FN 3 0；
0
FN3
Fx 0，
FN 1
FN
。
2
3） FN1
FN4 FN3
结点C：
Fy 0，
FNCF 20 40 0， FNCF 20kN(拉)。
20 5
20k N
C
20 5
FNCF
20kN
结构力学教程——第6章 静定桁架和组合结构
1’ 2’ 3’ 4’
a
cd
b
12345
P PP 6d
4d d3
B
VB 1.5P
解：（1）求支座反力
A
VA 1.5P
1’ 2’ 3’ 4’
a
cd
b
1 2 3 4 5
P PP 6d
4d d3
B
VB 1.5P
（2）求内力
Na Nb
1’ 2’
Y 0 Na P VA 0.5P
Na
4
d
3
M 2
（3）桁架杆件的轴力
正负号：拉为正
N
l
ly
N
Ny
α
α
lx
Nx
N
N Nx Ny
l lx ly
知识点
6.2 结点法
（1）结点法定义及计算步骤
结点法：在计算桁架杆件轴力时，截取某个结点为 隔离体，结点上的荷载和各杆轴力组成的力系为平 面汇交力系，利用汇交力系平衡条件计算各杆的未 知轴力。
结点法最适合于计算简单桁架全部杆件的轴力。
NDB
D
NDE NDC =0
N1 =0 N2 =0
L形结点
N1
N2
N3 =0 T形结点
➢ 零杆的判断
00
00
0 0
0 0
0
0
知识点
6.3 截面法
（1）截面法定义及计算步骤
截面法：用截面切断拟求杆件,取桁架截出的一部分 作为隔离体(隔离体应包含两个以上的结点)。隔离 体上所作用的荷载和桁架杆件轴力为平面一般力系， 利用平面一般力系的三个独立的平衡方程，可计算 所切各杆的未知轴力。
（1）组合结构的特点
静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算
图13-11
静定平面桁架的内力计算
按照桁架的杆件所在位 置不同，可分为弦杆和腹杆 两类。弦杆是指在桁架上、 下外围的杆件，上边的杆件 称为上弦杆，下边的杆件称 为下弦杆。桁架上弦杆和下 弦杆之间的杆件称为腹杆， 腹杆又称为竖杆和斜杆。弦 杆上相邻两结点之间的区间 称为节间，其距离d称为节间 长度（见图13-12）。
静定平面桁架的内力计算
常用的桁架一般是按下列两种方式组成的。 （1）由基础或由一个基本铰结三角形开始，依 次增加二元体，组成一个桁架，如图13-11（a）、 （b）、（c）所示。这样的桁架称为简单桁架。 （2）几个简单桁架按照几何不变体系的简单组 成规则联成一个桁架，如图13-11（d）、（e）所 示。这样的桁架称为联合桁架。
静定平面桁架的内力计算
【例13-5】
图13-16
静定平面桁架的内力计算
静定平面桁架的内力计算
一般截面法截断的杆件个数不超过三根可以直 接求得杆的内力，但有一些特殊情况虽然截开的杆件 个数超过三个，但对于某一个杆件仍可以直接求解， 如图13-17所示。图13-17(a)中除a杆外截断的其他 杆件交于一点K，则取隔离体对K点取矩，可以直接 求得a杆轴力；图13-17（b）中除b杆外，截断的其 他杆件都相互平行，则取隔离体，利用∑Fx=0，可能完全符合上述理想情况。例如，桁架的 结点具有一定的刚性，有些杆件在结点处可能是连续直杆，或杆 件之间的夹角几乎不变动。另外，各杆轴无法绝对平直，结点上 各杆的轴线也不一定全交于一点，荷载不一定都作用在结点上等。 因此，桁架在荷载作用下，其中某些杆件必将发生弯曲而产生弯 曲应力，并不能如理想情况下只产生轴向均匀分布的应力。通常 把桁架理想情况下计算出来的应力称为初应力或基本应力，由非 理想情况产生的附加应力称为次应力。关于次应力的计算有专门 的参考文献论述，本节只限于讨论桁架的理想情况。
结构力学6静定拱平面桁架
§3-5 静定平面桁架
12. 例4：求EF、ED、CD与DG杆内力
§3-5 静定平面桁架
§3-5 静定平面桁架
§3-5 静定平面桁架
13. 截面法和结点法联合应用 例1：求平面桁架a、b杆的内力
§3-5 静定平面桁架
§3-5 静定平面桁架
§3-5 静定平面桁架
例2：求平面桁架HC杆的内力
§3-4 静定拱
三铰拱的内力计算
三铰拱的内力值不仅与荷载及三个铰的位置有关，而 且与各铰间拱轴线的形状有关。
§3-4 静定拱
7. 例题1：试作下面三铰拱的内力图，拱轴线为抛
物线，其方程为
。
§3-4 静定拱
§3-4 静定拱
§3-4 静定拱
§3-4 静定拱
8. 斜拱的计算原理。
§3-4 静定拱
§3-4 静定拱
6. 三铰拱的数解法
三铰拱的反力只 与荷载及三个铰的位 置有关，而与各拱间 的拱轴线性状无关。 当荷载及拱跨l不变时
，H将与f成反比，f越
大即拱越陡时H越小； f越小即拱越平坦时H 越大。
§3-4 静定拱
三铰拱的内力计算
§3-4 静定拱
三铰拱的内力计算
拱内任一截面的 弯矩M等于相应 简支梁对应截面 的弯矩M0减去推 力引起的弯矩 Hy。由于推力 的存在，拱的弯 矩比梁要小。
3. 桁架的优点 各杆只承受轴力，截面上的应力是均匀分布的
，可同时达到容许值，材料能够得到充分利用。 因而与梁相比，用料更省，能跨越更大的跨度。
§3-5 静定平面桁架
4. 平面桁架内杆件的分类：弦杆和腹杆
§3-5 静定平面桁架
5. 平面桁架的分类 外形：平行弦桁架（a）、折弦桁架（b）与三角形桁架（c） 水平推力：无推力桁架或梁式桁架（a、b、c）和推力桁架或拱
结构力学之静定平面桁架
450 N1 P
静定平面桁架
A
B Nb
X B P Y
UNIVERSITY OF JINAN
为求Nb，取结点B为研究对象， ∑X=0，
2 N b P cos 45 P 2
0
（拉力）
静定平面桁架
（三）结点法和截面法的联合应用
在例题3中，先用截面法求出部分杆的轴力后，再用结 点法求出b杆的轴力。在一道题中，结点法和截面法都 得到了应用。求解桁架，不必拘泥与那种方法，只要 能快速求出杆件的轴力，就是行之有效的。 1．基本理论 隔离体（研究对象），平衡力系 2．技巧 （1）结点法和截面法的联合应用，不分先后，简单、快捷 求出内力为前提。 （2）巧取隔离体，即巧作截面，避免求解联立方程。 （3）尽力避免求未知力臂，可把所求力沿其作用线延长至 恰当位置后分解，先求分力，再用相似定理求该力。 （4）结点法求解时，选恰当的坐标系，尽力避免求联立方 程。 （5）有零杆的结构，先去掉零杆。
静定平面桁架
原结构去掉零杆后变为下图：
UNIVERSITY OF JINAN
通过此题的过程，我们要学会巧取坐标系， 掌握受力图的画法。
静定平面桁架
（二）截面法（截取两个以上结点作为研究对象） 1．截面法的应用条件：
截面所截断的各杆中，未知力的个数不超过3个
UNIVERSITY OF JINAN
2．截面单杆的概念
解：1）先找零离力杆。
N67=0，N63=0， N85=0 2）取结点8为研究对象，画出 受力图
3
4
5
4m 1
3m N87 8 40 kN N85=0 3m ∑X=0，N87+40=0， 得： N87= -40 kN（得负值表示受压）
第六章 静力学专题-桁架、摩擦、中心
桁架上每个节点的平衡。
2、截面法：应用平面任意力系的平衡条件，研究桁 架由截面切出的部分的平衡。
§6-1 桁架
一、节点法：
例题 已知P=10kN，试求各杆内力。
解：1) 研究整体，求支座 约束力：
FAy
FBy
Fx 0 : FBx 0
FBx
MA(F) 0:
4FBy 2P 0
M B (F ) 0 : 2P 4FAy 0
第六章 静力学专题
• §1 桁架 • §2 摩擦 • §3 重心
§6-1 桁架
建筑
通讯
桥梁
输电
§6-1 桁架
桁 架:
由一些细长直杆 按适当方式分别在两 端连接而成的几何形 状不变的结构。
§6-1 桁架 桁架是工程中常见的一种结构。
桁架的优点： 结构“轻”； 能充分发挥材 料的力学性能。
§6-1 桁架
Q F1' F1 F4 10kN （受压）
F’1
F4
F’3
注意：节点法的理论基础是平面汇交力系的平 衡理论。在应用节点法时,所选取节点的 未知量一般不应超过两个。
§6-1 桁架
二、截面法：
例题 已知h，a，P。求：4，5，6杆内力。
解：首先求支座约束力： FAy
I
Fx 0 : FAx 0
二力杆
A
FA
A
FC
C
B
FB
B
轴向力
FB
B
§6-1 桁架 平面简单静定桁架模型：基本三角形
总杆数：3 节点数：3
总杆数：5 节点数：4
总杆数：7 节点数：5
若设总杆件数目为m ，而对应的总节点数目为n， 则有：m-3 = 2(n – 3 )，即m=2n-3 。 因此有下面的结论：
2、截面法：应用平面任意力系的平衡条件，研究桁 架由截面切出的部分的平衡。
§6-1 桁架
一、节点法：
例题 已知P=10kN，试求各杆内力。
解：1) 研究整体，求支座 约束力：
FAy
FBy
Fx 0 : FBx 0
FBx
MA(F) 0:
4FBy 2P 0
M B (F ) 0 : 2P 4FAy 0
第六章 静力学专题
• §1 桁架 • §2 摩擦 • §3 重心
§6-1 桁架
建筑
通讯
桥梁
输电
§6-1 桁架
桁 架:
由一些细长直杆 按适当方式分别在两 端连接而成的几何形 状不变的结构。
§6-1 桁架 桁架是工程中常见的一种结构。
桁架的优点： 结构“轻”； 能充分发挥材 料的力学性能。
§6-1 桁架
Q F1' F1 F4 10kN （受压）
F’1
F4
F’3
注意：节点法的理论基础是平面汇交力系的平 衡理论。在应用节点法时,所选取节点的 未知量一般不应超过两个。
§6-1 桁架
二、截面法：
例题 已知h，a，P。求：4，5，6杆内力。
解：首先求支座约束力： FAy
I
Fx 0 : FAx 0
二力杆
A
FA
A
FC
C
B
FB
B
轴向力
FB
B
§6-1 桁架 平面简单静定桁架模型：基本三角形
总杆数：3 节点数：3
总杆数：5 节点数：4
总杆数：7 节点数：5
若设总杆件数目为m ，而对应的总节点数目为n， 则有：m-3 = 2(n – 3 )，即m=2n-3 。 因此有下面的结论：
静定平面桁架.
N1
N2
N3 N1 N2
N3 0 N1
P
N1 P N2 0
N2
N2 N1
D
C
7
10
4
1
8
2
5
9
11 6
3
A
B
C AB
二)截面法
平面一般力系
X 0
Y 0
M 0
截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相 交于一点时，则此杆件称为该截面的截面单杆。
截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。
O
y
例1、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。
(1) Na Nb
1.5P
1‘ 2‘ 3‘ 4‘ e
a
cd
b
A 1 2 3 4 5 P PP 6d
4d d3
B
VA 1.5P 1‘ 2‘
VB 1.5P
1
Na 2 Nb
4d 3
Y 0 Na P VA 0.5P
1.75
sin 0.0835 cos 0.996
Q图 (kN)
如截面A
15.17 14.96
N图 (kN)
14.92 QA 2.5 0.996 15 0.0835 1.24kN
NA 2.5 0.083515 0.996 15.15kN
§3-5 静定平面桁架
一、概述
桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆
件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的
一种结构形式。
上弦杆
腹杆
下弦杆
理想桁架： （1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上 满足上述假设产生的应力称主应力、不满足上述假设而产生的应力 称次应力
静定平面桁架.
12.4 静定平面桁架梁和刚架的主要内力是弯矩，由于弯矩引起截面上的正应力是非均匀分布的，其截面最外边缘应力最大，而靠近中性轴上的应力很小，则中性轴附近的材料没有充分利用。
而桁架的各杆件主要承受轴力，受力较为合理，因而可以充分利用材料。
所谓桁架是指各个杆件的两端按一定方式互相联结组成的一种结构，如钢筋混凝土屋架、施工中用的脚手架等。
如图11.10所示，在桁架中，几根杆件相互联结的地方称为结点。
桁架的杆件，由于所在位置不同，可分为弦杆和腹杆。
弦杆又分为上弦杆和下弦杆，腹杆又分为竖杆和斜杆。
弦杆上两相邻的结点的区间称为节间，其距离d 称为节间长度，两支座之间的距离l 称为桁架的跨度，两支座的连线到桁架最高点之间的垂直距离H 称为桁高。
上弦杆斜杆图11.10工程中实际的桁架，如钢筋混凝土桁架和钢桁架，各结点做成后，一般具有刚性，而且各杆轴线也不一定都交于一点，所以按照实际的桁架进行内力分析计算比较困难。
但从桁架的实际工作情况、计算分析和模型实际的结果来看，各杆件主要承受轴力，而弯矩和剪力则很小，可以忽略不计。
因此，为了简化计算，通常采用如下假定（1） 各结点都是光滑的铰结点。
（2） 各杆轴都是直线，并都在同一平面内且通过铰的中心。
（3） 荷载和支座反力，都作用在结点上，并位于桁架的平面内。
通常把符合上述假定的桁架称为理想桁架。
桁架内力分析的计算方法，主要有结点法、截面法，以及上述两种方法的联合应用。
一、结点法在桁架杆件内力计算时，可以截取桁架中的一部分作为隔离体，考虑隔离体的平衡来计算内力。
若截取的隔离体只包含一个结点时，就称为结点法。
一般来说，任何静定桁架的杆件内力都可以用结点法求出。
但是，由于结点上的荷载、反力和杆件内力组成一个平面汇交力系。
而平面汇交力系可以建立两个平衡方程式∑=0X 和∑=0Y ，因此，在实际计算时，应先从不多于两个未知力的结点开始，以后每次选取的计算结点，其未知力也不应超过两个。
静定平面桁架
18
22避免使用三角函数避免使用三角函数llllxxllyynnnnnnxxyynnllxxllxxyyllyy33假设拉力为正假设拉力为正结点法101122334455667788443m12m3m12m40kn40kn60kn60kn80kn80knvv118080knknvv88100100knkn一平面汇交力系一平面汇交力系nn1212xx1313yy1313334455结点结点18080801380138013131260122240406060nn2323nn2424结点结点224023602433406080nn3535xx3434yy3434结点结点33408040343440344034603035356040609011二零杆概念二零杆概念pp121011截面法是计算桁架内力的另一基本方法
N24
N 24 60
V1=80kN
结点1 Y13
1 80
Y13 80
3 X 13 80 60 4 5 N13 80 100 4
结点3
3
Y34 40 80 0
60
80 40 Y34
X13
N35 X34
X 34
Y34 40 3 40 30 4
8
2 结点法
分析时的注意事项： 1、尽量建立独立方程：
2、避免使用三角函数 N l N ly
N
X
Y
lx
N X Y = = l lx ly
3、假设拉力为正
+
9
一、平面汇交力系
3
-90
5
7
பைடு நூலகம்结点2
4m
40
H=0 1
N23
N 23 40
22避免使用三角函数避免使用三角函数llllxxllyynnnnnnxxyynnllxxllxxyyllyy33假设拉力为正假设拉力为正结点法101122334455667788443m12m3m12m40kn40kn60kn60kn80kn80knvv118080knknvv88100100knkn一平面汇交力系一平面汇交力系nn1212xx1313yy1313334455结点结点18080801380138013131260122240406060nn2323nn2424结点结点224023602433406080nn3535xx3434yy3434结点结点33408040343440344034603035356040609011二零杆概念二零杆概念pp121011截面法是计算桁架内力的另一基本方法
N24
N 24 60
V1=80kN
结点1 Y13
1 80
Y13 80
3 X 13 80 60 4 5 N13 80 100 4
结点3
3
Y34 40 80 0
60
80 40 Y34
X13
N35 X34
X 34
Y34 40 3 40 30 4
8
2 结点法
分析时的注意事项： 1、尽量建立独立方程：
2、避免使用三角函数 N l N ly
N
X
Y
lx
N X Y = = l lx ly
3、假设拉力为正
+
9
一、平面汇交力系
3
-90
5
7
பைடு நூலகம்结点2
4m
40
H=0 1
N23
N 23 40
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F N AG F N AE co s33.2 5 53k 0（N 拉）
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18:10
§6-2 结点法
5 kN 2m
10 kN E
10 kN 10 kN
C 5 kN
F
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
FNGE
结构力学
FNGA G FNGD
取G点为隔离体
X0 Y 0
FNGD FNGA 30 kN
E 点无荷载,红对色称杆轴不受处力的杆垂不直对受称力轴的杆不受力
FFAAyy
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FFBBy y
18:10
§6-3 截面法
结构力学
截面法定义:
作一截面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体 (隔离体包含一个以上的结点)，根据平衡条件来计算所截 杆件的内力。
应用范围 1、求指定杆件的内力；
2、计算联合桁架。
-FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0 FyED=(FAa-F1a-F2(a+d))/ (a+2d)
再由比例关系求FNED，其拉或压需视上式右端分子 为正或为负而定。
(5) DG杆如何求？ 利用II-II截面 ，投影法
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18:10
§6-3 截面法
结构力学
示例2：试求图示桁架a 杆的内力。
练习: 试指出零杆
P 0
0
结构力学
P
P P P
P
P
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18:10
§6-2 结点法
练习: 试指出零杆
结构力学
下图示对称结构在正对称荷 载作用下，若A 点无外荷载， 则位于对称轴上的杆1、2都 P 是零杆。
为什么?
12
F
F构力学
结点法计算简化的途径：
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称: 受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。
1、桁架的计算简图(truss structure)
屋架
计算简图
128m
64m
16m
武汉长江大桥所采用的桁架型式
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18:10
§6-1 平面桁架的计算简图
空间桁架荷载传递途径：
结构力学
横梁 主桁架 纵梁
荷载传递: 轨枕-> 纵梁-> 结点横梁-> 主桁架
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18:10
§6-1 平面桁架的计算简图
30kN 30kN
AJ M
G
75kN D a E
FNEC
30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN
1
AJ
M
B
75 kN
G
Da E
1C
5 m 6=30 m
4m
75 kN
2m
解 (1) 求支座反力。 (2)直接求出a 杆的位置困难。首先作截面Ⅰ-Ⅰ，求 出FNEC ，然后取结点E 就可求出a 杆的轴力。
FN2
FN3
FN3
FN1 =FN2 FN3=FN4
FN1 =FN2 FN3=F
退出
FN1
FN4 FN1
F
FN2
FN2
FN3
FN3
FN1 =FN2 FN3=FN4
FN1 =FN2 FN3=F
18:10
§6-2 结点法
结构力学
(4) 四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则 在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。
结构力学
桁架各部分名称：
斜杆 Diagonal chard
弦杆
上弦杆 Top chard
竖杆Vertical chard
腹杆
下弦杆 Bottom chard
桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷 载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架
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18:10
§6-1 平面桁架的计算简图
1. 对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直 接判断该结点的某些杆件的内力为零。 零杆
(1) 两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都 为零。
F N1
FN2
FN1=FN2=0
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18:10
§6-2 结点法
结构力学
(2) 三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则 第三杆是零杆，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相 同（同为拉力或压力）。
次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲， 由此引起的内力。
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
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18:10
§6-1 平面桁架的计算简图
结构力学
2、桁架的分类
一、根据维数分类
1）. 平面（二维）桁架（plane truss） ——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一
作截面Ⅰ-Ⅰ，取截面左侧部份为隔离体，由
MJ 0 7 5 3 0 5 F N E C 6 0
故 FNEC87.k5N
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18:10
§6-3 截面法
结构力学
30kN 30kN
AJ M
G
75kN D a E
FNEC
(3) 取结点E 为隔离体，由
FNEG
平面内
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18:10
§6-1 平面桁架的计算简图
结构力学
2）. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
退出
18:10
§6-1 平面桁架的计算简图
二、按外型分类
1. 平行弦桁架 2. 三角形桁架 3. 抛物线桁架
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结构力学
18:10
§6-1 平面桁架的计算简图
退出
18:10
§6-2 结点法
结构力学
小结:
•以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。 •按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点 的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超 过独立平衡方程数。 •由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
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18:10
§6-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
18:10
§6-2 结点法 二、桁架的内力计算
结构力学
1. 结点法和截面法
结点法—最适用于计算简单桁架。
取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。 原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。
通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴力 为压力。
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18:10
§6-2 结点法
结构力学
例5-1 试用结点法求三角形桁架各杆轴力。
结构力学
5 kN
FNAE
A
FNAG
20 kN
5 kN 2m
A 20 kN
10 kN E
10 kN 10 kN
C
F
G
D
H
2 m 4=8 m
5 kN
B 20 kN
取A点为隔离体，由
X0 Y 0
F N AE co sF N AG 0
2k 0 N 5 k N F N Ac E o 0 s
有 所以
FN AE 1k 5N 533.k5N （4压）
FN1
FN4 FN1
F
FN2
FN2
FN3
FN3
FN1 =FN2 FN3=FN4
FN1 =FN2 FN3=F
退出
FN1
FN4 FN1
F
FN2
FN2
FN3
FN3
FN1 =FN2 FN3=FN4
FN1 =FN2 FN3=F
18:10
§6-2 结点法
结构力学
值得注意：若事先把零杆剔出后再进行计算， 可使计算大为简化。
与等代梁比较，得出：FNCD=M0E/h （自己总结）
当荷载向下时，M0E为正，FNCD为拉力，即简支桁 架下弦杆受拉。
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18:10
§6-3 截面法
结构力学
(3) 求上弦杆EF内力
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 由 力 矩 平 衡 方 程 ∑MD=0，先求EF杆的水平分力FxEF，此时力臂即为桁 高H。
5 kN 2m
A 20 kN
10 kN
10 kN 10 kN
C
E
F
G
D
H
2 m 4=8 m
5 kN
B 20 kN
结构力学
10 kN
C
FNCE
FNCF FNCD
取C点为隔离体，由
X0， FN CE FN CH 0
Y0 ， 10 2 F k N Cs N Ei n F N C D 0
得
FN CD 1k 0N 215(22.3 61kk 0N N)
F N EC F N ED 3.35k4N
Y0 F N E s C i - F N n E s D i F n N E s A i 1 n k 0 0 N
F N EC F N ED 1053.5 3 联立解出 FNEC22.3k6N ， FNED11.1k8N
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18:10
§6-2 结点法
截面如何选择？
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18:10
§6-3 截面法
结构力学
解: (1) 求出支座反力FA和FB。
(2) 求下弦杆CD内力，利用I-I截面 ，力矩法
取EF和ED杆的交点E为矩心， CD杆内力臂为竖杆 高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。
FAd-F1d-F2×0-FNCDh=0 FNCD=(FAd-F1d-F2×0)/h
可一次性求出全部内力；
2、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力，
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§6-2 结点法
5 kN 2m
10 kN E
10 kN 10 kN
C 5 kN
F
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
FNGE
结构力学
FNGA G FNGD
取G点为隔离体
X0 Y 0
FNGD FNGA 30 kN
E 点无荷载,红对色称杆轴不受处力的杆垂不直对受称力轴的杆不受力
FFAAyy
退出
FFBBy y
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§6-3 截面法
结构力学
截面法定义:
作一截面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体 (隔离体包含一个以上的结点)，根据平衡条件来计算所截 杆件的内力。
应用范围 1、求指定杆件的内力；
2、计算联合桁架。
-FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0 FyED=(FAa-F1a-F2(a+d))/ (a+2d)
再由比例关系求FNED，其拉或压需视上式右端分子 为正或为负而定。
(5) DG杆如何求？ 利用II-II截面 ，投影法
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§6-3 截面法
结构力学
示例2：试求图示桁架a 杆的内力。
练习: 试指出零杆
P 0
0
结构力学
P
P P P
P
P
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§6-2 结点法
练习: 试指出零杆
结构力学
下图示对称结构在正对称荷 载作用下，若A 点无外荷载， 则位于对称轴上的杆1、2都 P 是零杆。
为什么?
12
F
F构力学
结点法计算简化的途径：
2.对称结构受对称荷载作用, 内力和反力均为对称: 受反对称荷载作用, 内力和反力均为反对称。
1、桁架的计算简图(truss structure)
屋架
计算简图
128m
64m
16m
武汉长江大桥所采用的桁架型式
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§6-1 平面桁架的计算简图
空间桁架荷载传递途径：
结构力学
横梁 主桁架 纵梁
荷载传递: 轨枕-> 纵梁-> 结点横梁-> 主桁架
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§6-1 平面桁架的计算简图
30kN 30kN
AJ M
G
75kN D a E
FNEC
30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN
1
AJ
M
B
75 kN
G
Da E
1C
5 m 6=30 m
4m
75 kN
2m
解 (1) 求支座反力。 (2)直接求出a 杆的位置困难。首先作截面Ⅰ-Ⅰ，求 出FNEC ，然后取结点E 就可求出a 杆的轴力。
FN2
FN3
FN3
FN1 =FN2 FN3=FN4
FN1 =FN2 FN3=F
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FN1
FN4 FN1
F
FN2
FN2
FN3
FN3
FN1 =FN2 FN3=FN4
FN1 =FN2 FN3=F
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§6-2 结点法
结构力学
(4) 四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则 在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。
结构力学
桁架各部分名称：
斜杆 Diagonal chard
弦杆
上弦杆 Top chard
竖杆Vertical chard
腹杆
下弦杆 Bottom chard
桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷 载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架
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§6-1 平面桁架的计算简图
1. 对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直 接判断该结点的某些杆件的内力为零。 零杆
(1) 两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都 为零。
F N1
FN2
FN1=FN2=0
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§6-2 结点法
结构力学
(2) 三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则 第三杆是零杆，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相 同（同为拉力或压力）。
次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲， 由此引起的内力。
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
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§6-1 平面桁架的计算简图
结构力学
2、桁架的分类
一、根据维数分类
1）. 平面（二维）桁架（plane truss） ——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一
作截面Ⅰ-Ⅰ，取截面左侧部份为隔离体，由
MJ 0 7 5 3 0 5 F N E C 6 0
故 FNEC87.k5N
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§6-3 截面法
结构力学
30kN 30kN
AJ M
G
75kN D a E
FNEC
(3) 取结点E 为隔离体，由
FNEG
平面内
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§6-1 平面桁架的计算简图
结构力学
2）. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
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§6-1 平面桁架的计算简图
二、按外型分类
1. 平行弦桁架 2. 三角形桁架 3. 抛物线桁架
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结构力学
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§6-1 平面桁架的计算简图
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§6-2 结点法
结构力学
小结:
•以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。 •按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点 的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超 过独立平衡方程数。 •由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
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§6-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
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§6-2 结点法 二、桁架的内力计算
结构力学
1. 结点法和截面法
结点法—最适用于计算简单桁架。
取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。 原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。
通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴力 为压力。
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§6-2 结点法
结构力学
例5-1 试用结点法求三角形桁架各杆轴力。
结构力学
5 kN
FNAE
A
FNAG
20 kN
5 kN 2m
A 20 kN
10 kN E
10 kN 10 kN
C
F
G
D
H
2 m 4=8 m
5 kN
B 20 kN
取A点为隔离体，由
X0 Y 0
F N AE co sF N AG 0
2k 0 N 5 k N F N Ac E o 0 s
有 所以
FN AE 1k 5N 533.k5N （4压）
FN1
FN4 FN1
F
FN2
FN2
FN3
FN3
FN1 =FN2 FN3=FN4
FN1 =FN2 FN3=F
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FN1
FN4 FN1
F
FN2
FN2
FN3
FN3
FN1 =FN2 FN3=FN4
FN1 =FN2 FN3=F
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§6-2 结点法
结构力学
值得注意：若事先把零杆剔出后再进行计算， 可使计算大为简化。
与等代梁比较，得出：FNCD=M0E/h （自己总结）
当荷载向下时，M0E为正，FNCD为拉力，即简支桁 架下弦杆受拉。
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§6-3 截面法
结构力学
(3) 求上弦杆EF内力
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 由 力 矩 平 衡 方 程 ∑MD=0，先求EF杆的水平分力FxEF，此时力臂即为桁 高H。
5 kN 2m
A 20 kN
10 kN
10 kN 10 kN
C
E
F
G
D
H
2 m 4=8 m
5 kN
B 20 kN
结构力学
10 kN
C
FNCE
FNCF FNCD
取C点为隔离体，由
X0， FN CE FN CH 0
Y0 ， 10 2 F k N Cs N Ei n F N C D 0
得
FN CD 1k 0N 215(22.3 61kk 0N N)
F N EC F N ED 3.35k4N
Y0 F N E s C i - F N n E s D i F n N E s A i 1 n k 0 0 N
F N EC F N ED 1053.5 3 联立解出 FNEC22.3k6N ， FNED11.1k8N
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§6-2 结点法
截面如何选择？
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§6-3 截面法
结构力学
解: (1) 求出支座反力FA和FB。
(2) 求下弦杆CD内力，利用I-I截面 ，力矩法
取EF和ED杆的交点E为矩心， CD杆内力臂为竖杆 高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。
FAd-F1d-F2×0-FNCDh=0 FNCD=(FAd-F1d-F2×0)/h
可一次性求出全部内力；
2、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力，