精选高中数学第三章圆锥曲线与方程4.2_4.3圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点课时作业北师大版选修2_1

4.2 圆锥曲线的共同特征 4.3 直线与圆锥曲线的交点

课时目标 1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单的应用.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题．

1．圆锥曲线的共同特征

圆锥曲线上的点到________________的距离与它到____________的距离之比为定值e. 当__________时，该圆锥曲线为椭圆； 当________时，该圆锥曲线为抛物线； 当________时，该圆锥曲线为双曲线． 2．曲线的交点

设曲线C 1：f(x ，y)＝0，C 2：g(x ，y)＝0，M(x 0，y 0)是C 1与C 2的公共点⇒{ ，故求曲线

交点即求方程组⎩⎪⎨

⎪

⎧

f (x ，y )＝0

g (x ，y )＝0

的实数解．

一、选择题

1．如

图中共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1、e 2、e 3、e 4，其大小关系为( ) A ．e 1

2．直线y ＝2k 与曲线9k 2x 2＋y 2＝18k 2

|x|(k ∈R 且k ≠0)的公共点的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

3．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与

双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)

C ．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

4．已知抛物线C 的方程为x 2

＝12y ，过点A (0，－1)和点B (t,3)的直线与抛物线C 没有公

共点，则实数t 的取值范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－

22∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)

D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

5．若直线y ＝mx ＋1和椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，那么m 2

的值为( ) A.12 B.23C.34D.45

6．已知抛物线y 2

＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x

二、填空题

7．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为______．

8．过椭圆x 25＋y 2

4＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原

点，则△OAB 的面积为______．

9．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2

＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________． 三、解答题

10．中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为

3

2

，与直线x ＋y －1＝0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

能力提升

12．设抛物线y 2

＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，|BF |＝2，则△BCF 与△ACF 的面积之比

S △BCF

S △ACF

等于( )

A.45

B.23

C.47

D.12

13．设双曲线C ：x 2a

2－y 2

＝1 (a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B .

(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；

(2)若设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →

，求a 的值．

1．圆锥曲线共同特征的应用

在涉及到求圆锥曲线上的点到该曲线的焦点的距离时，可以借助圆锥曲线的共同特征将其转化为求该点到定直线的距离，这样只要知道该点的横坐标即可． 2．直线与圆锥曲线位置关系的判定

判断直线与圆锥曲线的位置关系时，将直线方程代入曲线方程，消元后得关于x (或y )的方程，当二次项系数不为零时，可由判别式Δ来判断．

当Δ>0时，直线与曲线相交；当Δ＝0时，直线与曲线相切；当Δ<0时，直线与曲线相离．

3．“点差法”的应用

用“点差法”求弦中点和弦斜率．设弦端点坐标，分别代入圆锥曲线方程，作差、变形，结合中点坐标公式和斜率公式，可以建立中点坐标与斜率的关系式，在此关系式中若知

中点坐标可求斜率，若知斜率可求弦中点的轨迹方程．

4．2 圆锥曲线的共同特征 4．3 直线与圆锥曲线的交点

知识梳理

1．一个定点 一条定直线 01 2．f(x 0，y 0)＝0 g(x 0，y 0)＝0 作业设计

1．C [椭圆中，b ＝a 2－c 2

，所以e 越大，则c 越接近a ，则b 越小，椭圆越扁，所以e 1

2．D [9k 2x 2＋y 2＝18k 2|x|⇒9k 2x 2－18k 2|x|＋y 2＝0⇒9k 2(x 2－2|x|)＋y 2＝0，x 2＝|x|2

.

∴上式变为9k 2(|x|－1)2＋y 2－9k 2

＝0.

∴9k 2(|x|－1)2＋y 2＝9k 2

.

即(|x|－1)2

＋y 29k

2＝1.①

∵是选择题，故不妨设k ＝1，

则①变为(|x|－1)2

＋y 29

＝1，

当x>0时，曲线为(x －1)2

＋y 29＝1；

x<0时，为(x ＋1)2

＋y 29

＝1.

作出图像与y ＝2相交得交点为4个．]

3．D [过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜

角应大于等于l 的倾斜角，又l 的倾斜角是60°，从而b

a

≥3，

故c

a

≥2.] 4．D [过A 、B 的直线方程为y ＝4t x －1代入x 2＝12y ，得：2x 2

－4t

x ＋1＝0，由题意知Δ

＝16

t 2－8<0， ∴t 2

>2，即t>2或t<－ 2.]

5．C [由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2

＝1，

得x 2＋4(mx ＋1)2

－1＝0， 即(4m 2＋1)x 2＋8mx ＋3＝0，由Δ＝64m 2－12(4m 2＋1)＝0，得m 2

＝34

.]

6．B [∵y 2

＝2px 的焦点坐标为(p 2

，0)，

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p 2，即x ＝y ＋p 2

，将其代入y 2＝2px 得y 2

＝2py

＋p 2，即y 2－2py －p 2

＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2p ，∴y 1＋y 22

＝p ＝2，∴

抛物线的方程为y 2

＝4x ，其准线方程为x ＝－1.] 7.12

解析 由已知，得c ＝2，b 2a ＝3⇒b 2＝3a ⇒a 2

－4＝3a ⇒a ＝4，e ＝c a ＝24＝12

.