经典高中数学最全数列总结及题型精选.pdf
数列知识点总结和题型归纳总结-精选.pdf
高三总复习----数列一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作n a 。
例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①： 1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，…数列①的通项公式是n a = n （n 7，n N ），数列②的通项公式是n a =1n（n N ）。
说明：①n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = f n 表示数列的通项公式；②同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n=1,21()1,2n k kZ n k；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6 项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N （或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替f n ，其图象是一群孤立点。
例：画出数列12n a n的图像.（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, …(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)nnn S n a S S n ≥例：已知数列}{n a 的前n 项和322ns n，求数列}{n a 的通项公式练习：1．根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；（2）2212，2313，2414，2515；（3）11*2，12*3，13*4，14*5。
(完整版)数列全部题型归纳(非常全面,经典)
数列百通通项公式求法 (一)转化为等差与等比1、已知数列{}n a 满足11a =，n a =,n N *∈２≤n ≤８），则它的通项公式n a 什么2.已知{}n a 是首项为2的数列，并且112n n n n a a a a ---=，则它的通项公式n a 是什么3.首项为2的数列，并且231n n a a -=，则它的通项公式n a 是什么4、已知数列{}n a 中，10a =，112n na a +=-，*N n ∈.求证：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；并求数列{}n a 的通项公式；5.已知数列{}n a 中，13a =，1222n n a a n +=-+，如果2n n b a n =-，求数列{}n a 的通项公式（二）含有n S 的递推处理方法1）知数列{a n }的前n 项和S n 满足log 2（S n +1）=n +1，求数列{a n }的通项公式.2.）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，2(2)8n n a S +=则，数列n a3）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，111,0,4n n n n a S S a a -=-≠=则，数列na4）12323...(1)(2)n a a a na n n n +++=++求数列n a（三） 累加与累乘（1）如果数列{}n a 中111,2nn n a a a -=-=(2)n ≥求数列n a（2）已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式(3) 12+211,2,=32n n n a a a a a +==-,求此数列的通项公式.（4）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足，211,2n n S n a a ==则，数列n a（四）一次函数的递推形式1. 若数列{}n a 满足1111,12n n a a a -==+(2)n ≥，数列n a2 .若数列{}n a 满足1111,22n n n a a a -==+ (2)n ≥，数列n a（五）分类讨论（1）2123(3),1,7n n a a n a a -=+≥==，求数列n a（2）1222,(3)1,3nn a n a a a -=≥==，求数列n a（六）求周期16 （1） 121,41nn na a a a ++==-，求数列2004a（2）如果已知数列11n n n a a a +-=-，122,6a a ==，求2010a拓展1：有关等和与等积（1）数列{n a }满足01=a ,12n n a a ++=,求数列{a n }的通项公式（2）数列{n a }满足01=a ,12n n a a n ++=,求数列{a n }的通项公式(3).已知数列满足}{n a )(,)21(,3*11N n a a a n n n ∈=⋅=+,求此数列{a n }的通项公式.拓展2 综合实例分析1已知数列{a n }的前n 项和为n S ，且对任意自然数n ，总有()1,0,1n n S p a p p =-≠≠（1）求此数列{a n }的通项公式(2)如果数列{}n b 中，11222,,n b n q a b a b =+=<，求实数p 的取值范围2已知整数列{a n }满足31223341 (3)n n n n a a a a a a a a --+++=，求所有可能的n a3已知{}n a 是首项为１的正项数列，并且2211(1)0(1,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+==L ，则它的通项公式n a 是什么4已知{}n a 是首项为1的数列，并且134n n n a a a +=+，则它的通项公式n a 是什么5、数列{}n a 和{}n b 中，1,,+n n n a b a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且11=a ，21=b ，设nn n b a c =，求数列{}n c 的通项公式。
数列知识点总结及题型归纳---含答案
一、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为a n a n 1 d(n 2)或a n 1 a n d(n 1)。
例：等差数列a n 2n 1，a n a n 1__________题型二、等差数列的通项公式：a n & (n 1)d ；说明：等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。
例：1.已知等差数列a n中，a7 a9 16，a4 1,则等于( )A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. ｛a n｝是首项a1 1，公差d 3的等差数列，如果务2005，则序号n等于(A) 667 ( B) 668 (C) 669 (D) 6703. 等差数列a n 2n 1,b n 2n 1，则a.为______________________________ g为________________ (填“递增数列”或数列“递减数列”)题型三、等差中项的概念：定义：如果a , A, b成等差数列，那么A叫做aa , A, b成等差数列A -_b即：2a n 12例：1•设a n是公差为正数的等差数列，若a1 a2A. 120 B . 105 C.2.设数列｛a n｝是单调递增的等差数列，前三项的和为A. 1B.2C.4D.8a b与b的等差中项。
其中A2a n a n 2(2a n a n m a n m)a315, qa2a3 80，贝U a11 a12 a13() 90 D . 7512,前三项的积为48,则它的首项是( )题型四、等差数列的性质: (1 ) 在等差数列a n中,在等差数列a n中,在等差数列a n中,在等差数列a n中,每一项是它相邻二项的等差中项;m)d , d n);题型五、等差数列的前n和的求和公式：S n(a1 a n)na1q，则a m a n a p a q ；(S n An2 Bn (A,B为常数) an是等差数列递推公式：S n @1 a n)n2(a m a n (m 1) )n3d2 从第2项起,(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列;(3)(4) 对任意m , n N , a n a m (n 若m , n , p , q例：1.如果等差数列a n中，a3 a4 a5 12，那么a1 a2 a763a n 的前n 项和为S n ，若S 9 72 ,则a 2 a 4比=9.设等差数列 a n 的前n 项和为S n ,若a 6 S 3 12 ,则a n _____________________________10. 已知数列｛ b n ｝是等差数列，b 1=1, b+b 2+…+b °=100.,则b n = ____________________S n11. 设｛ a n ｝为等差数列，$为数列｛ a n ｝的前n 项和，已知 S ?= 7, S 5= 75, T n 为数列｛ ——｝的前n 项n和，求T n 。
高中数学最全数列总结及题型精选
高中数学最全数列总结及题型精选-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII高中数学：数列及最全总结和题型精选一、数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…②：514131211，，，，… 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，n a = (1)n-=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥二、等差数列(一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
高中数列知识全面总结及练习
高中数列知识全面总结及练习高中数列是数学中的一个重要概念，数字的思维和计算能力离不开数列的理解。
在高中数学学习中，学习者要学到的知识有：一、数列的概念；二、数列的定义；三、数列的类别；四、数列的性质；五、前n项和；六、数列的通项公式；七、数列的变换公式；八、数列的特殊性质等。
一、数列的概念数列是一组有次序，并有一定规律的若干数字所组成的集合，每一个数都被称为数列的一个项。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
由于数列具有次序，所所以可以定义第一项，第二项，第三项……第n项的含义，n是正整数。
二、数列的定义数列也可以用等差、等比、加减运算或混合记法等表示为数列，读者可以用数学符号一一定义数学这样的数列：若把a1，a2，a3...an，看作一个数列，则称这个数列为：a1, a1 + d再, a1 + 2d再,a1 + 3d再，...，an，其中d叫做“公差”，上述的数列便称为“等差数列”。
若把a1，a2，a3......an看作一个数列，则称这个数列为：a1，ar1，ar2......ar(n-1)，an，三、数列的类别可以把数列划分为有限数列、无限数列和无穷数列：1.有限数列是指数列中项数是有限的数列；2.无限数列是指数列中项数是无限的数列；3.无穷数列是指数列中项数是不可能计算出来的，其中包括有限个项数，也包括无限数列。
四、数列的性质1.等差数列：其中任意两项的差值都相等；2.等比数列：其中任意两项的比值都相等；3.等差等比数列：即项的差值和比值都是相等的数列；4.混合等差等比数列：即项的差值或比值中有一样是相等的数列。
五、前n项和前n项和指的是数列的前n项的累加结果，对于等差数列和等比数列一般可以用公式表示：（1）若a1,a2,...,an为等差数列，则前 n 项和 S n = n(a1 + an)/2；六、数列的通项公式对等差数列或者等比数列而言，可以建立数列的通项公式，它是一般项a_n的函数。
高中数学必修5《数列》知识点总结及题型分析
高中数学必修5《数列》知识点总结及题型分析1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列； 2°.通项公式：;11k n k n n q a qa a --==. 3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公比为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公比为q n的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列. ⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）； 2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 3.正确理解与运用等差、等比数列基本公式1°.注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2°．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.4．巧设“公差、公比”是解决问题的重要方法①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）” ②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )” ③四数成等差数列，可设四数为：“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或” ④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或” 5.由递推公式求通项公式的方法①1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为1()n n a a f n +-=，从而就有21321(1),(2),,(1).n n a a f a a f a a f n --=-=-=-将上述1n -个式子累加，变成1(1)(2)(1)n a a f f f n -=+++-，进而求解。
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结
(完整版)数列题型及解题方法归纳总结数列是数学中一个重要的概念，也是数学中常见的题型之一。
数列题目通常会给出一定的条件和规律，要求我们找出数列的通项公式、前n项和等相关内容。
下面对数列题型及解题方法进行归纳总结。
一、数列的基本概念1. 数列的定义：数列是按照一定规律排列的一列数，用通项公式a_n表示。
2. 首项和公差：对于等差数列，首项是指数列的第一个数，公差是指相邻两项之间的差值。
通常用a1表示首项，d表示公差。
3. 首项和公比：对于等比数列，首项是指数列的第一个数，公比是指相邻两项之间的比值。
通常用a1表示首项，r表示公比。
二、等差数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公差，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 + (n-1)d。
（2）已知相邻两项的值，求公差。
根据 a_(n+1) - a_n = d，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公差。
根据 a_n = a1 + (n-1)d，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公差和项数，求前n项和。
使用公式S_n= (n/2)(a1 + a_n)。
（2）已知首项、末项和项数，求公差。
由于S_n =(n/2)(a1 + a_n)，可以列方程求解。
（3）已知首项、公差和前n项和，求项数。
可以列方程并解出项数。
3. 找满足条件的项数：（1）已知首项、公差和条件，求满足条件的项数。
可以列方程，并解出项数。
三、等比数列的常见题型及解题思路1. 找通项公式：（1）已知首项和公比，求第n项的值。
使用通项公式a_n = a1 * r^(n-1)。
（2）已知相邻两项的值，求公比。
根据 a_n / a_(n-1) = r，解方程即可。
（3）已知首项和第n项的值，求公比。
根据 a_n = a1 * r^(n-1)，解方程即可。
2. 找前n项和：（1）已知首项、公比和项数，求前n项和。
使用公式S_n = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
最基础最全面的数列题型总结(附答案)
1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知，则在数列的最大项为__（答：）；（2）数列的通项为，其中均为正数，则与的大小关系为___（答：）；（3）已知数列中，，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；2.等差数列的有关概念：（1）等差数列的判断方法：定义法或。
如设是等差数列，求证：以b n=为通项公式的数列为等差数列。
（2）等差数列的通项：或。
如(1)等差数列中，，，则通项（答：）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：）（3）等差数列的前和：，。
如（1）数列中，，，前n项和，则＝＿，＝＿（答：，）；（2）已知数列的前n项和，求数列的前项和（答：。
（4）等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。
提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；偶数个数成等差，可设为…，,…（公差为2）3.等差数列的性质：（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。
（3）当时,则有，特别地，当时，则有。
如（1）等差数列中，，则＝____（答：27）；（2）在等差数列中，，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0 B、都小于0，都大于0 C、都小于0，都大于0 D、都小于0，都大于0 （答：B）(4) 若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、、，…也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列。
如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为。
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一、数列
1. 数列的定义： 按照一定顺序排列的一列数称为数列， 数列中的每个数称为该数的，在这里，只强调有“次序”
，而不强调有“规
律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项 a n 与项数 n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集 ( 或它的有限子集 ) 的函数当自变量从小到大依 次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列
2、 （1）等差数列的判断方法：
① 定义法 ： an 1 an d (常数 )
a n 为等差数列。
② 中项法 ： 2a n 1 an an 2
a n 为等差数列。
③ 通项公式法 ： a n an b （ a,b 为常数）
a n 为等差数列。
④ 前 n 项和公式法 ： sn An 2 Bn （ A,B 为常数）
函数且常数项为 0. 等差数列 {a n } 中， Sn 是 n 的一次函数， 且点（ n，Sn ）均在直线 y = d x
n
n
2
d
+ (a 1 － ) 上
2 （ 2）若公差 d
0 ，则为递增等差数列，若公差
d 0 ，则为常数列。
d 0 ，则为递减等差数列，若公差
（ 3）对称性：若 a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
a 3d, a d , a d , a 3d , …（公差为 2 d ）
3. 等差数列的性质：
（ 1）当公差 d 0 时，等差数列的通项公式 an a1 (n 1)d dn a1 d 是关于 n 的一
次函数， 且斜率为公差 d ；前 n 和 Sn
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文德教育知识框架求和公式及性质， 掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用， 就有可 数列的分类能在高考中顺利地解决数列问题。
数列 函数角度理解一、典型 的技巧解法数列的通项公式1、求通 公式的概念数列的递推关系（ 1） 察法。
（2）由 推公式求通 。
等差数列的定义 a n a nd ( n 2)1于由 推公式所确定的数列的求解，通常可通 推公式的 化成等等差数列的通项公式a na 1 ( n 1)d差数列或等比数列 。
等差数列S nn ( a 1 a n ) na 1 n(n 1)d (1) 递推式为 a n+1=a n +d 及 a n+1=qa n （d ， q 为常数）等差数列的求和公式2 2 例 1、 已知 {a } 足 a =a +2，而且 a =1。
求 a 。
nn+1n1 n等差数列的性质 a n a m a p a q ( mn p q)例 1、解∵a n+1-a n =2 常数∴ {a n } 是首1，公差 2 的等差数列两个基a nnnq( n2) ∴ a =1+2（ n-1 ）即 a =2n-1等比数列的定义1本数列a n1例 2、已知 {} 足，求 an 1a n a n 1a n ，而 a 1 2 ？等比数列的通项公式a na 1 q n =2等比数列a 1 a n q a 1 (1 q n )1)数列S n1q1 ( q等比数列的求和公式qna 1 ( q 1)等比数列的性质a n a m a p a q ( m npq)公式法 分组求和错位相减求和数列 裂项求和求和倒序相加求和 累加累积 归纳猜想证明分期付款 数列的应用其他（ 2） 递推式为 a n+1=a n +f （n ）例 3、已知 { a n } 中 a1a1，求 a n .， an 112n4n 2 1解： 由已知可知 a n 1a n(2n11 (1 1 )1)( 2n 1)2 2n 1 2n 1令 n=1， 2，⋯，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a 2-a 1） +（ a 3-a 2） +⋯+（ a -a n-1 ）n掌握了数列的基本知识， 特别是等差、等比数列的定义、 通项公式、a nb n 3( 1)n2( 1) na na 11(1 1 ) 4n 3 2n2322n 1 4n2★ 明 只要和f （ 1） +f （ 2） +⋯ +f （ n-1 ）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （ n ）以 n=1，2，⋯，（ n-1 ）代入，可得 n-1 个等式累加而求 a n 。
高中数学数列考点分析总结(精华版~)
一、数列1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．⑵在数列中同一个数可以重复出现．⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式.4.数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++=Λ21； ②⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n nn . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1Λ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >.1、已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1+=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）二、 等差数列1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
高中数学：数列经典题目集锦及答案经典及题型精选
数列经典题目集锦一一、构造法证明等差、等比 类型一：按已有目标构造1、 数列{a n }，{b n }，{c n }满足：b n ＝a n －2a n ＋1，c n ＝a n ＋1＋2a n ＋2－2，n ∈N *.(1) 若数列{a n }是等差数列，求证：数列{b n }是等差数列； (2) 若数列{b n }，{c n }都是等差数列，求证：数列{a n }从第二项起为等差数列；(3) 若数列{b n }是等差数列，试判断当b 1＋a 3＝0时， 数列{a n }是否成等差数列？证明你的结论．类型二： 整体构造2、设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且(S n ＋1＋λ)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1对一切n ∈N *都成立．(1) 若λ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2) 求λ的值，使数列{a n }是等差数列．二、两次作差法证明等差数列3、设数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，已知11,6,1321===a a a ，且*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，（其中A ,B 为常数）．(1)求A 与B 的值；(2)求数列{}n a 为通项公式；三、数列的单调性4.已知常数0λ≥，设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S , 满足：11a =，()11131n n n n n na S S a a λ+++=+⋅+（*n ∈N ）． （1）若0λ=，求数列{}n a 的通项公式；（2）若112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．5.设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有121321n n n n a b a b a b a b --++++13246n n +=⋅--，且集合*|,nn b M n n N a λ⎧⎫=≥∈⎨⎬⎩⎭中有且仅有3个元素，求λ的取值范围.四、隔项（分段）数列问题6. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n （n 为奇数），a n －3n （n 为偶数）.(1) 是否存在实数λ，使数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项的和，求满足S n ＞0的所有正整数n .7.若{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=(d 为常数)，则称数列{}n b 是公差为d 的“隔项等差”数列． （Ⅰ）若17,321==c c ，{}n c 是公差为8的“隔项等差”数列，求{}n c 的前15项之和； （Ⅱ）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=． ①求证：数列{}n a 为“隔项等差”数列，并求其通项公式；②设数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．五、数阵问题8.已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1＋a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2＋b 1，a 1＋b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．(1) 求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；(2) 按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项： 第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10， b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 项和为S n .求满足S n <22 014的最大正整数n .数列经典题目集锦答案1.证明：(1) 设数列{a n }的公差为d ，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ b n ＋1－b n ＝(a n ＋1－2a n ＋2)－(a n －2a n ＋1)＝(a n ＋1－a n )－2(a n ＋2－a n ＋1)＝d －2d ＝－d ， ∴ 数列{b n }是公差为－d 的等差数列． (4分) (2) 当n ≥2时，c n －1＝a n ＋2a n ＋1－2，∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ a n ＝b n ＋c n －12＋1，∴ a n ＋1＝b n ＋1＋c n2＋1，∴ a n ＋1－a n ＝b n ＋1＋c n 2－b n ＋c n －12＝b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12.∵ 数列{b n }，{c n }都是等差数列，∴b n ＋1－b n 2＋c n －c n －12为常数， ∴ 数列{a n }从第二项起为等差数列． (10分)(3) 结论：数列{a n }成等差数列．证明如下： (证法1)设数列{b n }的公差为d ′， ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，∴ 2n b n ＝2n a n －2n ＋1a n ＋1，∴ 2n －1b n －1＝2n －1a n －1－2n a n ，…，2b 1＝2a 1－22a 2，∴ 2n b n ＋2n －1b n －1＋…＋2b 1＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，设T n ＝2b 1＋22b 2＋…＋2n －1b n －1＋2n b n ，∴ 2T n ＝22b 1＋…＋2n b n －1＋2n ＋1b n ，两式相减得：－T n ＝2b 1＋(22＋…＋2n －1＋2n )d ′－2n ＋1b n ，即T n ＝－2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ， ∴ －2b 1－4(2n －1－1)d ′＋2n ＋1b n ＝2a 1－2n ＋1a n ＋1，∴ 2n ＋1a n ＋1＝2a 1＋2b 1＋4(2n －1－1)d ′－2n ＋1b n ＝2a 1＋2b 1－4d ′－2n ＋1(b n －d ′)， ∴ a n ＋1＝2a 1＋2b 1－4d′2n ＋1－(b n －d ′)． (12分) 令n ＝2，得a 3＝2a 1＋2b 1－4d′23－(b 2－d ′)＝2a 1＋2b 1－4d′23－b 1， ∵ b 1＋a 3＝0，∴2a 1＋2b 1－4d′23＝b 1＋a 3＝0，∴ 2a 1＋2b 1－4d ′＝0，∴ a n ＋1＝－(b n －d ′)，∴ a n ＋2－a n ＋1＝－(b n ＋1－d ′)＋(b n －d ′)＝－d ′，∴ 数列{a n }(n ≥2)是公差为－d ′的等差数列． (14分) ∵ b n ＝a n －2a n ＋1，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 数列{a n }是公差为－d ′的等差数列． (16分)(证法2)∵ b n ＝a n －2a n ＋1，b 1＋a 3＝0，令n ＝1，a 1－2a 2＝－a 3，即a 1－2a 2＋a 3＝0，(12分) ∴ b n ＋1＝a n ＋1－2a n ＋2，b n ＋2＝a n ＋2－2a n ＋3，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝(2a n ＋1－a n －a n ＋2)－2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)． ∵ 数列{b n }是等差数列，∴ 2b n ＋1－b n －b n ＋2＝0， ∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝2(2a n ＋2－a n ＋1－a n ＋3)．(14分) ∵ a 1－2a 2＋a 3＝0，∴ 2a n ＋1－a n －a n ＋2＝0， ∴ 数列{a n }是等差数列．(16分)2.解析：(1) 若λ＝1，则(S n ＋1＋1)a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，a 1＝S 1＝1.∵ a n ＞0，S n ＞0，∴ S n ＋1＋1S n ＋1＝a n ＋1a n ，(2分) ∴S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1＋1S n ＋1＝a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n ，化简，得S n ＋1＋1＝2a n ＋1. ①(4分) ∴ 当n ≥2时，S n ＋1＝2a n . ② ①－②，得a n ＋1＝2a n ，∴a n ＋1a n＝2(n ≥2)．(6分) ∵ 当n ＝1时，a 2＝2，∴ n ＝1时上式也成立，∴ 数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，a n ＝2n －1(n ∈N *)．(8分) (2) 令n ＝1，得a 2＝λ＋1.令n ＝2，得a 3＝(λ＋1)2.(10分) 要使数列{a n }是等差数列，必须有2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝0.(11分) 当λ＝0时，S n ＋1a n ＝(S n ＋1)a n ＋1，且a 2＝a 1＝1. 当n ≥2时，S n ＋1(S n －S n －1)＝(S n ＋1)(S n ＋1－S n )，整理，得S 2n ＋S n ＝S n ＋1S n －1＋S n ＋1，S n ＋1S n －1＋1＝S n ＋1S n ，(13分) 从而S 2＋1S 1＋1·S 3＋1S 2＋1·…·S n ＋1S n －1＋1＝S 3S 2·S 4S 3·…·S n ＋1S n ，化简，得S n ＋1＝S n ＋1，∴ a n ＋1＝1.(15分) 综上所述，a n ＝1(n ∈N *)，∴ λ＝0时，数列{a n }是等差数列．(16分)3.解析：(1)由11,6,1321===a a a ，得18,7,1321===S S S ．把2,1=n 分别代入*1,)25()85(N n B An S n S n n n ∈+=+--+，得⎩⎨⎧-=+-=+48228B A B A ， 解得，8,20-=-=B A ．(2)由(1)知，82028)(511--=---++n S S S S n n n n n ，即82028511--=--++n S S na n n n ，① 又8)1(2028)1(5122-+-=--++++n S S a n n n n ． ②②-①得，20285)1(51212-=---+++++n n n n a a na a n ，即20)25()35(12-=+--++n n a n a n ． ③ 又20)75()25(23-=+-+++n n a n a n ．④④-③得，0)2)(25(123=+-++++n n n a a a n ，520n +≠，∴02123=+-+++n n n a a a ，又32215a a a a -=-=，所以32120a a a -+=， 因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列． 故45)1(51-=-+=n n a n ．4.解析：(1) 0λ=时,111n n n n naS S a a +++=+∴1n n n na S S a +=∵0n a >，∴0n S > ∴ 1n n a a +=，∵11a =，∴1n a =(2) ∵()11131n n n n n n a S S a a λ+++=+⋅+ 0n a > ，∴1131nn n n nS S a a λ++-=⋅+ 则212131S S a a λ-=⋅+，2323231S S a a λ-=⋅+， ，11131n n n n n S S a a λ----=⋅+()2n ≥ 相加，得()2113331n nnS n a λ--=+++-则()3322n n n S n a n λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭，该式对1n =也成立， ∴()*332n n n S n a n N λ⎛⎫-=+⋅≥ ⎪⎝⎭． ③ ∴()1*13312n n n S n a n N λ++⎛⎫-=++⋅≥ ⎪⎝⎭． ④ ④－③，得1113333122n n n n n a n a n a λλ+++⎛⎫⎛⎫--=++⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即11333322n n n n n a n a λλ++⎛⎫⎛⎫--+⋅=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵0λ≥，∴133330,022n n n n λλ+--+>+> . ∵112n n a a +<对一切*n ∈N 恒成立， ∴332nn λ-+1133()22n n λ+-<+对一切*n ∈N 恒成立． 即233nnλ>+对一切*n ∈N 恒成立． 记233n n nb =+,则()()()111423622233333333n n n n n n n n n n b b +++-⋅-+-=-=++++ 当1n =时，10n n b b +-=； 当2n ≥时，10n n b b +->∴ 1213b b ==是{}n b 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是13λ>. 5. 解析：（1）数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴215364a a a ==，38a ∴=，又5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=⋅=； ……4分（2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列，①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+，1121,24m k l k ----⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 13m k l k =+⎧∴⎨=+⎩. ………… 6分②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立， ③若25l k m a a a =+，同理也不成立，综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+，则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列，所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分（3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--++++=⋅--， 即123112122223246n n n n n b b b b n +--++++=⋅--，（*）∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----++++=⋅--，（**）则（**）式两边同乘以2，得2341123122223284n n n n n b b b b n +---++++=⋅--，（***）∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥，又当1n =时，21232102b =⋅-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=-.………14分 212n n n b n a -∴=，111212352222n n n n nn n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --->，即2121b b a a >；3n ∴≥时，110n n n n b b a a ---<，此时n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递减， 又1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =， 71162λ∴<≤. ……………16分 6. 解析：(1) 设b n ＝a 2n －λ，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－λa 2n －λ＝13a 2n ＋1－λa 2n －λ.(2分)若数列{a 2n －λ}是等比数列，则必须有13a 2n＋1－λa 2n －λ＝q (常数)，即⎝⎛⎭⎫13－q a 2n ＋(q －1)λ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13－q ＝0（q －1）λ＋1＝0⎩⎨⎧q ＝13，λ＝32，(5分) 此时b 1＝a 2－32＝13a 1＋1－32＝－16≠0，所以存在实数λ＝32，使数列{a 2n －λ}是等比数列．(6分)(注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分) (2) 由(1)得{b n }是以－16为首项，13为公比的等比数列，故b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32.(8分)由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，(10分)所以a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2[13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ]－6(1＋2＋…＋n )＋9n＝－2·13[1－⎝⎛⎭⎫13n ]1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n－3(n －1)2＋2，(12分)显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减．又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ， 同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n ＞0的所有正整数n 为1和2.(16分) 7.解析：（Ⅰ）易得数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n前15项之和53527)6517(28)593(=⨯++⨯+=……………………………4分 （Ⅱ）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（1） ， )1(221+=+++n a a n n （2）（1）-（2）得22=-+n n a a （*∈N n ）．所以，{}n a 为公差为2的“隔项等差”数列． ……………………………6分当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122， 当n 为奇数时，()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ； …8分②当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． ……………………………12分 故当k n 2=时，222k S k =，a k k S k ++=+22212，222)1(2+=+k S k ，由()222212++⋅=k k k S S S ，则2222)1(22)22(+⋅=++k k a k k ，解得0=a ．所以存在实数0a =，使得22122++k k k S S S 、、成等比数列（*N k ∈）……………………………16分8. 解析：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（a 1＋d ）＝a 1＋2d ，b 1（b 1q ）＝b 1q 2，（a 1＋2d ）＋（a 1＋b 1q ）＝2[（a 1＋d ）＋b 1]，（a 1＋d ）2＝a 1（b 1q ），解得a 1＝d ＝1，b 1＝q ＝2.故a n ＝n ，b n ＝2n .(6分)(2) 将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-.(11分)P 45－22 014＝452（452＋1）2＋22 071－22 014－2>0，P 44－22 014＝442（442＋1）2－21 981(233－1)－2<0.当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 012)时，S n －22 014＝－22 013－2＋452（452＋1）2<0.(13分)当S n ＝452（452＋1）2＋(2＋22＋…＋22 013)时，S n －22 014＝－2＋452（452＋1）2>0.可得到符合S n <22 014的最大的n ＝452＋2 012＝4 037.(16分)。
高中数学数列知识点总结（2020年8月整理）.pdf
数列基础知识点《考纲》要求：1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题；3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
数列的概念N *或其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式一个数列{a n }的 与 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式．3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：=n a ⎪⎩⎪⎨⎧≥==21n n a n4．求数列的通项公式的其它方法⑴ 公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法．⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明．⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴ －312⨯，534⨯，－758⨯，9716⨯…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…；⑶ 1，1，2，2，3，3， 解： ⑴ a n ＝(－1)n)12)(12(12+−−n n n⑵ a n ＝)673(212+−n n（提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得)673(21)43)(1(211)]53(10741[12+−=−−+=−++++++=n n n n n a n⑶ 将1，1，2，2，3，3，…变形为,213,202,211+++ ,,26,215,204 +++ ∴4)1(1222)1(111++−++=−++=n n n n n a 变式训练1.某数列{a n }的前四项为0，2，0，2，则以下各式： ① a n ＝22[1＋(－1)n] ② a n ＝n )(11−+ ③ a n ＝ ⎩⎨⎧)(0)(2为奇数为偶数n n 其中可作为{a n }的通项公式的是 （ ） A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 解：D例2. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．⑴ S n ＝3n－2⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1解 ⑴ a n ＝S n －S n －1 (n ≥2) a 1＝S 1 解得：a n ＝⎩⎨⎧=≥⋅−)1(1)2(321n n n ⑵ a n ＝⎩⎨⎧≥+=)2(22)1(5n n n 变式训练2：已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．解：,110101)1lg(+=⇒=−⇒=−n n n n n S S n S 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝10n－10n－1＝9·10n －1．故a n ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥⋅=−)2(109)1(111n n n例3. 根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2) ⑵ a 1＝1，a n ＝113−−+n n a (n ≥2) ⑶ a 1＝1，a n ＝11−−n a nn (n ≥2) 解：⑴ a n ＝2a n －1＋1⇒(a n ＋1)＝2(a n －1＋1)(n ≥2)，a 1＋1＝2．故：a 1＋1＝2n，∴a n ＝2n－1．⑵a n ＝（a n －a n －1）＋（a n －1－a n －2）＋…＋（a 3－a 2）＋（a 2－a 1）＋a 1＝3n －1＋3n －2＋…＋33＋3＋1＝)13(21−n ． (3)∵nn a a n n 11−=− ∴a n ＝⋅−−⋅−=⋅⋅⋅⋅⋅−−−−−12111232211n n n n a a a a a a a a a n n n n n n nn n 112123=⋅⋅⋅−−变式训练3.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n n a a (n ∈N *)，求该数列的通项公式． 解：方法一：由a n ＋1＝22+n na a 得 21111=−+n n a a ，∴{na 1}是以111=a 为首项，21为公差的等差数列． ∴na 1＝1＋(n －1)·21,即a n ＝12+n方法二：求出前5项，归纳猜想出a n ＝12+n ，然后用数学归纳证明． 例4. 已知函数)(x f ＝2x－2－x，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式． 解：n a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2−=−=−n a a nn 21−=−得n n a n −+=12 变式训练4.知数列{a n }的首项a 1＝5．前n 项和为S n 且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5（n ∈N *）． (1) 证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2) 令f (x)＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x)在点x ＝1处导数f 1(1)． 解：(1) 由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴ n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，两式相减，得： S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1 从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，∴ a 1＋a 2＝2a 1＋6, 又a 1＝5，∴ a 2＝11 ∴111+++n n a a ＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列. (2) 由(1)知a n ＝3×2n－1∵ )(x f ＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n∴ )('x f ＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1从而)1('f ＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n)－(1＋2＋…＋n) ＝3[n ×2n ＋1－(2＋ (2))]－2)1(+n n ＝3(n －1)·2n ＋1－2)1(+n n ＋6方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等.2．由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．3．由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f(n)，nn a a 1+＝f(n)，a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）．数列的概念与简单表示法●三维目标知识与技能：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n 项和与n a 的关系过程与方法：经历数列知识的感受及理解运用的过程。
高中数列知识大总结(绝对全)
典例精析题型一 归纳、猜想法求数列通项【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式⑴7，77，777，7777，…⑵,638,356,154,32-- ⑶1，3，3，5，5，7，7，9，9… 解析：⑴将数列变形为),110(97-⨯),110(972-)110(973-，, )110(97-n⑵分开观察，正负号由1)1(+-n 确定，分子是偶数2n，分母是31⨯，53⨯，75⨯，, )12()12(+⨯-n n ，故数列的通项公式可写成)12)(12(2)1(1+--=+n n n a n n⑶将已知数列变为1+0，2+1，3+0，4+1，5+0，6+1，7+0，8+1，9+0，…。
可得数列的通项公式为2)1(1nn n a -++= 点拨：联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律，从而求得通项。
题型二 应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求其通项公式.⑴23-=nn S ⑵)0()2(812>+=n n na a S解析：⑴当123,1111=-===S a n 时， 当)23()23(,211---=-=≥--n nn n n S S a n 时132-⋅=n又11=a 不适合上式，故⎩⎨⎧≥⋅==-)2(32)1(11n n a n n(2)2,)2(81,112111=+===a a S a n解得时当2121)2(81)2(81,2+-+=-=≥--n n n n n a a S S a n 时当 所以0)2()2(212=+---n n a a所以0)4)((11=--+--n n n n a a a a又4,01=->-n n n a a a 所以，可知{}n a 为等差数列，公差为4所以244)1(2)1(1-=⋅-+=-+=n n d n a a n21=a 也适合上式，故 24-=n a n点拨：本例的关键是应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列的通项，特别要注意验证1a 的值是否满足"2"≥n 的一般性通项公式。
(完整版)数列知识点总结及题型归纳(可编辑修改word版)
1⎩⎨ 数列一、数列的概念（1） 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作 a n ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个位置的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 a n ； 数列的一般形式： a 1 ， a 2 ， a 3 ，……， a n ，……，简记作例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年各省参加高考的考生人数。
{a n } 。
（2） 通项公式的定义：如果数列{a n }的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…1 1 1 1 ②：1， ，， ， …2 3 4 5数列①的通项公式是 a n = 数列②的通项公式是 a n = 说明：n （ n ≤ 7， n ∈ N + ）， n（ n ∈ N + ）。
①{a n } 表示数列， a n 表示数列中的第 n 项， a n = f (n ) 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，a n = (-1)n ⎧-1, n = 2k -1=⎨+1, n = 2k (k ∈ Z ) ；③不是每个数列都有通项公式。
例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3） 数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N + （或它的有限子集）的函数 f (n ) 当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ……， f (n ) ，……．通常用 a n 来代替 f (n ) ，其图象是一群孤立点。
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（A） 667 （ B） 668
3. 等差数列 an 2n 1, bn
减数列”） ( 三 ) 、等差中项的概念：
（ C） 669
（D） 670
2n 1 ，则 a n 为
bn 为
（填“递增数列”或“递
1 / 11
定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。其中 A
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， an = ( 1)n =
1,n
2k 1 (k
Z) ；
1,n 2k
③不是每个数列都有通项公式。例如， 1， 1.4 ，1.41 ， 1.414 ，……
（ 3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集
N （或它的有限子集）的函数 f ( n) 当自变量 n 从 1 开始
( 十 ). 利用 an
S1
(n 1)
求通项．
Sn Sn 1 (n 2)
1. 数列 { an} 的前 n 项和 Sn n2 1 ．（ 1）试写出数列的前 5 项；（2）数列 { an} 是等差数列吗？（ 3）你能写出数列
{ an} 的通项公式吗？
4 / 11
2. 设数列
{ an } 的前 n 项和为
D
． 75
( 四 ) 、等差数列的性质：
（ 1）在等差数列 an 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（ 2）在等差数列 an 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
（ 3）在等差数列 an 中，对任意 m ， n N ， an am ( n m) d ， d an am (m n) ； nm
2. 一个等差数列前 20 项和为 75，其中奇数项和与偶数项和之比 1：2，求公差 d
3. 一个等差数列共有 10 项，其偶数项之和是 15，奇数项之和是 25 ，则它的首项与公差分别是
2
( 七 ) . 对与一个等差数列， Sn , S2 n Sn , S3 n S2 n 仍成等差数列。
例： 1. 等差数列 { an} 的前 m项和为 30，前 2m项和为 100，则它的前 3m项和为（
高中数学：数列及最全总结和题型精选
一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作
an ，在数列第一个位置的项叫第
的叫第 2 项，……，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 an ；
1 项（或首项） ，在第二个位置
数列的一般形式： a1 ， a2 ， a3 ，……， an ，……，简记作 an 。
a3 12， S12 0， S13 0 ①求出公差 d 的范围， ②指出 S1， S2， ， S12 中哪一个值最大，并说明理由。
3．（ 02 上海）设｛ an｝（ n∈ N*）是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，且 S5＜ S6， S6＝ S7＞ S8，则下列结论错误．．的是
（）
A. d＜ 0 B. a7＝ 0 C. S9＞ S5
5．（ 06 全国 II ）设 Sn 是等差数列｛ an｝的前 n 项和，若 S3 ＝ 1 ，则 S6 ＝
S6 3
S12
A． 3 10
B． 1 3
C
．1
8
( 八 ) ．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
D． 1 9
a n 1 an d (常数）（ n N ） an 是等差数列
②中项法：
2an 1 an an 2 （ n N )
2 / 11
（ 1）若项数为偶数，设共有
2n 项，则① S 偶 S 奇 nd ； ② S奇 S偶
an ； an 1
（ 2）若项数为奇数，设共有
2n 1项，则① S 奇 S 偶 an a中 ；② S奇 S偶
n。 n1
1. 一个等差数列共 2011 项，求它的奇数项和与偶数项和之比 __________
依次取值时对应的一系列函数值 f (1), f (2), f (3), ……， f (n) ，……．通常用 an 来代替 f n ，其图象是 一群孤
立点 。
（ 4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系
分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
）
_______
A.130
B.170
C.210
D.260
2. 一个等差数列前 n 项的和为 48，前 2 n 项的和为 60，则前 3 n 项的和为
。
3．已知等差数列 a n 的前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，则前 110 项和为
4. 设 Sn 为等差数列 a n 的前 n 项和， S4 14， S10 S7 30，则 S9 =
2 A．
3
1
1
2
B．
C.
D.
3
3
3
8. （ 2009 陕西卷文）设等差数列 an 的前 n 项和为 sn , 若 a6 s3 12 , 则 an
9．（ 00 全国）设｛ an｝为等差数列， Sn 为数列｛ an｝的前 n 项和，已知 S7＝ 7，S15＝75， Tn 为数列｛ Sn ｝的 n
前 n 项和，求 Tn。 ( 六 ) . 对于一个等差数列：
D. S6 与 S7 均为 Sn 的最大值
n 4．已知数列 an 的通项
n
98 （ n N ），则数列 an 的前 30 项中最大项和最小项分别是
99
5. 已知 { an } 是等差数列，其中 a1 31 ，公差 d 8。
（ 1）数列 { an } 从哪一项开始小于 0？
（ 2）求数列 { an } 前 n 项和的最大值，并求出对应 n 的值．
D.
4. 已知一个数列 { an } 的前 n 项和 sn 2 n2 ，则数列 { a n} 为（ ）
A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列
D.
5. 已知一个数列 { an } 满足 a n 2 2 a n 1 an 0 ，则数列 { a n } 为（ ）
A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列
Sn
2
=2n
，求数列
{ a n} 的通项公式；
3. （ 2010 安徽文）设数列 { an} 的前 n 项和 Sn n2 ，则 a8 的值为（ ）
（ A） 15
(B) 16 (C) 49
（ D） 64
4、 2005 北京卷）数列 { an} 的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an 1 { an} 的通项公式．
2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数
列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d 表示。用递推公式表示为 an an 1 d (n 2)
或 an 1 an d (n 1)
例：等差数列 an 2 n 1 ， an a n 1
( 二 ) 、等差数列的通项公式： an a1 (n 1)d ；
D.
无法判断 无法判断 无法判断 无法判断 无法判断
6. 数列 an 满足 a1 =8， a 4 2，且 a n 2 2 a n 1 an 0 （ n N ）
3 / 11
①求数列 an 的通项公式；
7．（ 01 天津理， 2）设 Sn 是数列 { an} 的前 n 项和，且 Sn=n2，则 { an} 是（
1 Sn ，n=1， 2，3，……，求 a2，a3 ，a4 的值及数列
3
三、等比数列
等比数列定义
一般地， 如果一个数列从第 ．二．项．起．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ．．，那么这个数列就叫做等比数列，
这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母
q 表示 (q 0) ，即： an 1： an q (q 0)
A． 13
B
． 35
C
． 49
D
． 63
3. （ 2009 全国卷Ⅰ理） 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S9 72 , 则 a2 a4 a9 =
4. 若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的.12 项
C.11 项
（ a1
d ）n 。
2
2
递推公式： Sn
(a1 a n )n 2
(a m an (m 1) )n 2
例： 1. 如果等差数列 an 中， a3 a4 a5 12 ，那么 a1 a2 ... a7
（ A） 14
（ B） 21
（ C）28
（ D） 35
2. （ 2009 湖南卷文）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，已知 a2 3 ， a6 11 ，则 S7 等于 ( )
a n 是等差数列
③通项公式法：
an kn b ( k, b为常数 ) an 是等差数列 ④前 n 项和公式法： Sn An 2 Bn ( A, B为常数 ) an 是等差数列
例： 1. 已知数列 { a n} 满足 an an 1 2 ，则数列 { an } 为 （ ）
A. 等差数列 B. 等比数列 C. 既不是等差数列也不是等比数列
说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d 0为递增数列， d 0 为常数列， d 0 为递减数列。
例 ： 1. 已知等差数列 an 中， a 7 a9 16， a4 1，则 a12 等于（
）
A．15 B ．30 C ．31 D ．64
2. { an} 是首项 a1 1 ，公差 d 3的等差数列，如果 an 2005，则序号 n 等于