北京理工大学848理论力学2015年考研冲刺班辅导讲义讲解
【内部资料】北京理工大学 考研 线性代数提高班讲义(二)
三、向量【考试内容】向量的概念,向量的线性组合和线性表示,向量组的线性相关与线性无关,向量组的极大线性无关组,等价向量组,向量组的秩,向量组的秩与矩阵的秩之间的关系,向量空间及其相关概念,n维向量空间的基变换和坐标变换,过渡矩阵,向量的内积,线性无关向量组的正交规范化方法,规范正交基,正交矩阵及其性质. 【考试要求】1.理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念．2.理解向量组线性相关、线性无关的概念,掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法．3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念,会求向量组的极大线性无关组及秩．4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系．5.了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念．(数学一)6.了解基变换和坐标变换公式,会求过渡矩阵．（数学一）7.了解内积的概念,掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法．8.了解规范正交基（数学一）、正交矩阵的概念以及它们的性质．【试题分类】题型3.1 向量的线性组合与线性表示题型3.2 向量组的线性相关性题型3.3 求向量组的秩与矩阵的秩题型3.4 有关向量空间的命题【分数分布】从表中可以看出,本部分平均每年直接命题约占总分的3.38%,约占线性代数部分的15.35%,重点是向量组线性相关、线性无关的概念及其判定问题，其所占分值近半．【例题分析】题型3.1 向量的线性组合与线性表示例3.1 (89, 3分) 设A 是n 阶矩阵, 且A 的行列式0=A ，则A 中(A) 必有一列元素全为0. (B) 必有两列元素对应成比例. (C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合. (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合.例3.2 (91, 8分) 已知),5,3,1,1(),3,2,0,1(21==αα)8,4,2,1(),1,2,1,1(43+=+-=a a αα, )5,3,1,1(+=b β.(1) b a ,为何值时,β不能表示成4321,,,αααα的线性组合?(2) b a ,为何值时,β有4321,,,αααα的唯一的线性表示式?并写出该表示式.例3.3 (92, 7分) 设向量组321,,ααα线性相关, 向量组432,,ααα线性无关, 问:(1) 1α能否由32,αα线性表出?证明你的结论.(2) 4α能否由321,,ααα线性表出?证明你的结论.例3.4已知向量,),,,(,),,,(T T 2143121121--=--=ααTT),,,(,),,,(031335443λαα-=--=, Tk ),,,(150-=β.(1)k ,λ为何值时,β不能由4321,,,αααα线性表出?(2) k ,λ为何值时,β可由4321,,,αααα线性表出?并写出该表示式.(4) (2011) (11分) 设向量组TTT)5,3,1(,)1,1,0(,)1,0,1(321===ααα不能由向量组TT T a ),4,3(,)3,2,1(,)1,1,1(321===βββ线性表示。
北京理工大学848理论力学考试大纲
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详情请查阅理硕教育官网848 理论力学（1）考试要求①了解：点的运动描述，刚体的平移、定轴转动和平面运动的描述，约束和自由度的概念，力系的两个特征量及力系简化的四种最简形式，二力构件的特点，静摩擦力应满足的物理条件，刚体的质心和规则刚体(均质细长直杆、圆盘、圆环等)对中心惯性主轴的转动惯量，动力学三个基本定理及其守恒定律，达朗贝尔原理与动量原理的关系，利用虚位移原理求解平衡问题的特点，利用动力学普遍方程求解动力学问题的优势。
②理解：用弧坐标表示点的速度、切向加速度和法向加速度，平面运动刚体的角速度和角加速度，平面运动刚体的速度瞬心，平面运动刚体的加速度瞬心，平面运动刚体上点的曲率中心，绝对运动、相对运动和牵连运动(尤其是动点的相对速度和相对加速度，动点的牵连速度和牵连加速度，动点的科氏加速度)，常见约束的约束力特点，纯滚动圆盘的运动描述和所受摩擦力特性，物体平衡与力系平衡的差别，刚体转动惯量的平行轴定理，刚体的平移、定轴转动、平面运动的动能、动量、对某点的动量矩及达朗贝尔惯性力系的简化结果的计算，动静法的含义，虚位移概念和虚位移原理，动力学普遍方程的本质。
③掌握：用速度瞬心法、速度投影定理，两点速度关系的几何法或投影法对平面运动刚体系统进行速度分析，用两点加速度关系的投影法或特殊情况下加速度瞬心法对平面运动刚体系统进行加速度分析，用点的速度合成公式的几何法或投影法以及加速度合成公式的投影法对平面运动刚体系统进行运动学分析，力系的主矢和对某点的主矩的计算，最简力系的判定，物系平衡问题的求解（尤其要掌握通过巧妙选取研究对象和平衡方程对问题进行快速求解），带摩擦物系平衡问题的求解，物系动力学基本特征量(动能、动量、对某点的动量矩、达朗伯惯性力系的等效力系等)的计算，动能定理的积分或微分形式的应用，动量守恒、质心运动守恒和质心运动定理的应用，对定点的动量矩定理、相对于质心的动量矩定理及其守恒定律的应用，用达朗贝尔原理(动静法)求解物系的动力学问题（包括动力学正问题：已知主动力求运动和约束力，以及动力学逆问题：已知运动求未知主动力和约束力），用虚位移原理求解物系的平衡问题（特别是利用虚位移原理求解作用于平衡的平面机构上主动力之间应满足的关系，会利用虚位移原理求解平面结构的某个外部约束力或求解其中某根二力杆的内力），用动力学普遍方程快速求解物系动力学问题中某点加速度或某刚体角加速度。
北京理工大学2015年848理论力学真题
30 。问：当滑块 A 上升 b 高度时，此时杆 AB 的角速度 AB ？并求系统此时
的动量及对点 D 的动量矩（可用 AB 表示） 。
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六、质量为 m，边长为 2r 的菱形板， DAB 30 ，在 B 点与半径为 r 质量为 m 的圆盘 G 铰接，圆盘 G 可绕点 O 1 转动，此时 O 1 BE 在同一条直线上。菱形板 在 A 点与长为 2r 质量不计的柔绳连接， 绳与竖直方向夹角为 30 。 由此状态 无初速度释放，求菱形板的角加速度，圆盘的角加速度及绳的张力。
2
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三、圆盘半径为 r， 受重力 P， 杆 OA 的质量不计， 在杆 OA 的 A 端施加一个 F 2P 的力，力的方向与 OA 成 60 角。圆盘在 D 处的静摩擦因数 f SD
3 ，在 B 2
处的静摩擦因数 f SB 的取值范围。
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北京理工大学 2015 年 848 理论力学真题回忆版
一、半径为 R 1
3r 的圆盘圆心为 A，在半径为 R 2 3 3r 的与地面固定的凹
轮上做纯滚动，其角速度为 0 （顺时针）角加速度为 0 （逆时针） 。杆 BC 长为 3r，分别与圆盘上点 B 和滑块 C 铰接，其中 AB=r。滑块 C 可在与水平 面夹角为 60 的滑道中无摩擦滑动，其中 A、B 连线与铅垂线夹角为 30 。求 滑块 C 的速度和加速度。
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3 ，杆 OA 2 3r ，在圆盘上施加一个力偶 M，求 M 12
3
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2015北理工考研848理论力学
2015年北京理工大学机械与车辆学院考研
本人为北京理工大学机械与车辆学院的2012级硕士研究生，考研理论力学分数为140+，曾多次辅导过考研的学生，在启航、海文、海天都辅导过学生,利用课余时间自己编写了2001-2013年的理论力学真题答案，完全按照考研教材的答题模式,另外还有8套模拟题，买资料考研全程提供解惑答疑。
请大家不要相信某些商家吹嘘的什么独家资料独家真题，现在能弄到真题真的不是事了，848理论力学考研真题都在制定教材的后面，其中01-03年真题在《工程力学学习指导》上，04-09年在兵器出版社出版的《工程力学教程-理论力学》（这本书现在已经不再出版），10-13年的真题在电子工业出版社的《理论力学教程上》（水小平老师亲自编写的新版考研教材，2013年就已经出版了）所以对于那些吹嘘自己才有独家真题的那些商家，我深深的鄙视你们，我想对你说你out 了。
第二，根本就不需要什么本科生课件，笔记，期末考题，而且也没有时间看那么多东西！首先，因为这些东西和真题的出入以及出题形式真的差别比较大，出题思想在课本以及真题里就已经很明了了，其次本科生的笔记和课件东西是很多的，要想从里面找到考研的中心内容，难度可想而知。
大家都学习过理论力学，还需要课件吗？再次，课本上包含大量的和真题接近的例题以及解答，这些东西就够了。
所以有些商家卖了一堆没用的资料，什么课件，笔记，期末考题，还卖那么贵，我只能说是在忽悠大家第一次考研，相信你们过后肯定会后悔！并没有只要大家把课本和真题吃透，然后在做几套模拟题，就没
问题。
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北京理工大学848理论力学2015年考研冲刺班辅导讲义
内部资料翻版必究1.2，1.3，1.4，1.5，1.62.4，2.9，2.10，2.12，2.16，2.18，2.23，2.24，2.29，2.30，2.32，2.333.6，3.7，3.8，3.16，3.17，3.18，3.19，3.20，3.21，3.305.2，5.3，5.4，5.6，6.2，6.3，6.4，6.5，6.6，7.7，7.8，7.9，7.10，7.12，7.14，7.15，7.20，7.26，7.2719.5，19.10，19.12，19.13，19.15，19.16，19.18，19.19；20.5，20.10，20.12，20.13，20.14，20.1521.1，21.2，21.4，21.9，21.11，21.12，21.13，21.14理论力学静力学 刚体在力系作用下平衡规律 运动学 运动特性之间的几何关系动力学 物体变化规律与其所受力之间的关系理论力学上半部分重点 运动学点的运动学：直角坐标法 弧坐标法刚体运动学：平动 定轴转动 一般平面运动运动学——刚体一般平面运动平面图形上任意两点的速度关系B A BA v v v =+平面图形上任意两点的加速度关系nB A BA BAτ=++a a a a平面图形上点的速度分析方法 1. 基点法B A BA v v v =+2. 速度投影定理[][]A B AB AB v v = 不能求出刚体的角速度！3. 速度瞬心法BA AB ω=⋅v BA AB ω=⋅vM MP v v =确定速度瞬心 P 点位置的方法1.已知平面图形上A,B 两点的速度方向 a.两点速度不相平行b.两点速度平行，AB 连线不垂直于速度2.已知平面图形上A,B 两点的速度方向，且AB 连线垂直于两点上的速度方向 a.两点速度大小不相同 b.两点速度大小相同3.平面图形沿某固定曲线作纯滚动运动学——点的合成运动基本概念绝对运动、牵连运动；动点、动系 点的速度合成定理 牵连运动为平动时的加速度合成定理(1) 动点的选择----两部件之间的接触点（明确指明是哪个部件上的哪个点） ----圆轮的圆心 ----相交点(2) 动系的选择a.动点对动系一定要有相对运动(故动系不能固结于动点所在的刚体上)b.相对运动的轨迹要清楚2. 分析动点的绝对运动轨迹、相对运动轨迹及动系相对于定系的牵连运动状态3. 对动点写出速度合成关系 分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程 选取合适的动点，动系v(a) (b) (c)MP MPω=⋅v v v v a e r=+a e r =+a a a re a v v v +=(d) (e)FDEC A BO 1O 2θω(f)OOv O 1CBA60︒(g)BωOCϕDEF O1A(h)静力学基本概念力偶、约束和约束反力、受力分析；力系平衡与等效的基本性质，二力体（杆）力系的简化主矢、主矩，平面平行力系的简化分布载荷力系的平衡平衡的充分必要条件平面任意力系平衡方程的形式（3 个独立方程）()0ixiyA iFFM⎧=⎪=⎨⎪=⎩∑∑∑F(x , y 互不平行) （x 不垂直于AB）（A、B、C 三点不共线）物系平衡()0iA A iM M⎧'==⎪⎨==⎪⎩∑∑F FF()0()0ixA iB iFMM⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑FF()0()0()0A iB iC iMMM⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑FFF（a ）aF（b ）q 2q（c ）特殊的空间力系及独立平衡方程个数（1） 空间汇交力系 3个独立方程 （3） 空间力偶系 3个独立方程 （3） 空间平行力系 3个独立方程 平面任意力系的独立平衡方程为3个 一矩式 二矩式 三矩式对于单个刚体，在平面力系作用下的平衡问题，只能写出3个独立的平衡方程，求解3个未知量；当未知量超过3个时，问题无法求解。
北京理工大学848理论力学复习指导
谢谢大家
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
4．体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下《岳阳楼记》，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于《岳阳楼记》的千古名篇——《醉翁亭记》。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1．学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】
848理论力学复习指导
理硕教育
（1）命题规律 详细介绍848理论力学真题的考查内容，题目形式，命题方法，分值分布
等。 （2）复习方法
复习资料及其使用方法，复习经验等。
（1）命题规律
第一题：
主要考查刚体平面运动的知识点。要求我们求解速度、角速度、加速度和 角加速度等量，因此要把两点速度关系和两点加速度关系熟练掌握，并按照步 骤进行解题，正确画出矢量图对解题有很大帮助，而且画图也是分数的一部分， 因此做题步骤和图解缺一不可。
北京理工大学考研848理论力学
848 理论力学（1）考试要求①了解：点的运动描述，刚体的平移、定轴转动和平面运动的描述，约束和自由度的概念，力系的两个特征量及力系简化的四种最简形式，二力构件的特点，静摩擦力、滚动摩阻力偶应满足的物理条件，刚体的质心和规则刚体(均质细长直杆、圆盘、圆环等)对中心惯性主轴的转动惯量，动力学三个基本定理及其守恒定律，达朗贝尔原理与动量原理的关系，利用虚位移原理求解平衡问题的特点，利用动力学普遍方程求解动力学问题的优势。
②理解：用弧坐标表示点的速度、切向加速度和法向加速度，平面运动刚体的角速度和角加速度，速度瞬心，加速度瞬心，曲率中心，绝对运动、相对运动和牵连运动(尤其是相对速度和相对加速度，牵连速度和牵连加速度，科氏加速度)，常见约束的约束力特点，纯滚动圆盘的运动描述和所受摩擦力特性，物体平衡与力系平衡的差别，转动惯量的平行轴定理，刚体的平移、定轴转动、平面运动的动能、动量、动量矩及达朗贝尔惯性力系的简化结果的计算，动静法的含义，虚位移概念和虚位移原理，动力学普遍方程的本质。
③掌握：用速度瞬心法、速度投影定理，两点速度关系的几何法或投影法对平面运动刚体系统进行速度分析，用两点加速度关系的投影法或特殊情况下加速度瞬心法对平面运动刚体系统进行加速度分析，用点的速度合成公式的几何法或投影法以及加速度合成公式的投影法对平面运动刚体系统进行运动学分析，力系的主矢和对某点的主矩的计算，最简力系的判定，物系平衡问题的求解（尤其要掌握通过巧妙选取研究对象和平衡方程对问题进行快速求解），带摩擦单刚体或物系平衡问题的求解，物系动力学基本特征量(动能、动量、动量矩、达朗伯惯性力系的等效力系等)的计算，动能定理的积分或微分形式的应用，动量守恒、质心运动守恒和质心运动定理的应用，对定点的动量矩定理、相对于质心的动量矩定理及其守恒定律的应用，用达朗贝尔原理(动静法)求解物系的动力学问题（包括动力学正问题：已知主动力求运动和约束力，以及动力学逆问题：已知运动求未知主动力和约束力），用虚位移原理求解物系的平衡问题（特别是利用虚位移原理求解作用于平衡的平面机构上主动力之间应满足的关系，会利用虚位移原理求解平面结构的某个外部约束力或求解其中某根二力杆的内力），用动力学普遍方程快速求解物系动力学问题中某点加速度或某刚体角加速度或调速器匀速转动时角速度与对应稳定位置的关系。
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特殊平面力系的平衡方程（1）平面汇交力系 2个独立方程 （2）平面力偶系 1个独立方程 （3）平面平行力系 2个独立方程理论力学上半部分各章重点回顾 §1.关于点的速度、加速度3. 均为矢量——有大小，有方向速度：A v加速度：A a速度的大小：A v 加速度的大小：Aa速度、加速度的方向：可画图用箭头表示或（♒）（♓）（♑）（♐） （2）直角坐标表示方法：Ax v ，Ay v ，Ax a ，Aya（3）自然轴系表示方法（仅作为了解）§2 刚体的平面运动 3. 刚体平面运动的形式刚体平面平动：刚体上各点的速度，加速度矢量相同 刚体定轴转动：刚体一般平面运动：满足两点速度关系，两点加速度关系 刚体的整体运动学量：角位移ϕ 角速度ϕω =角加速度ωα =2.矢量法求解刚体平面运动3. 两点速度关系BAA B v v v +=AB v BA ⊥， AB v BA ⋅=ω矢量法即为应用两点的速度关系求解任一瞬时刚体作平面运动时的速度问题2 ρωραρωτ===n A a a v一般的求解步骤1.运动分析2.速度分析3.求解矢量方程：A.通过所作速度矢量图的几何关系求解未知量B.建立坐标轴，对矢量方程进行投影求解未知量(2)速度投影定理ABBABAvv][][=(3)速度瞬心法0=Pvω⋅=PAvAω⋅=PBvB若刚体瞬时平动，则 注意：速度瞬心点的加速度一般都不为零（如圆轮与地面的接触点） (4)两点加速度关系 ατ⋅=AB a BA 方向⊥AB ，与角加速度转向一致2ω⋅=AB a nBA 方向由B 指向A求解平面图形上某点的加速度（或刚体角加速度）的步骤：（1）分析系统中各刚体的运动状态（平动？定轴转动？一般平面运动？）。
（2）速度分析（求各有关点的速度及刚体角速度）。
（3）加速度分析：选定基点A （常为加速度已知的点），由两点加速度关系求未知点的加速度或刚体角加速度。
（4）也可利用定义 求角加速度。
(5)当C 为同一刚体上的A ，B 两点的中点时：纯滚动圆轮角速度、角加速度与轮心速度、加速度 3. 在固定平面上纯滚动若圆轮的角速度 ω ，角加速度 α 则轮心O 的速度、加速度：αωr dtdv a r v OO O ====∞→ωP n BABA A B a a a a ++=τ)(21B A C a a a +=ϕωωα ===dt d轮缘上任意M 点的速度、加速度：ω⋅=MP v M 方向 MP ⊥ ，与ω转向一致 n MOMO O M a a a a ++=τM ，O 两点加速度关系注意n MP MP M a a a +≠τ 速度瞬心P 点的加速度：n POn PO PO O P a a a a a =++=τ2ωr a a nPO P ==注意速度瞬心点 P 的加速度不为零。
(2)在固定凸圆面上纯滚动 (3)在固定凹圆面上纯滚动 轮心O 点的速度、加速度rR r v a r dt dv a r v O nO OO O +=====222ωραωτr R r v a r dt dv a r v O nO OO O -=====222ωραωτ轮缘上任意M 点的速度、加速度：ω⋅=MP v M 方向 MP ⊥ ，与ω转向一致nMOMO n O O M a a a a a +++=ττ——M ，O 两点加速度关系§3 复合运动3. 动点动系的正确选择 两条：1、动点相对于动系有相对运动2、动点的相对运动轨迹应清楚 2.点的复合运动基本关系速度合成关系re a v v v+=其中牵连速度 ev 的物理意义为：该瞬时动系上与动点M 重合的点m （牵连点）的绝对速度。
加速度合成关系Cr e a a a a a ++=加速度合成关系式中各量的物理意义： 绝对加速度 ----定系中动点的加速度 相对加速度 ---- 动系中动点的加速度 牵连加速度 ----动系中与动点M 重合的m 点（牵连点）相对于定系的绝对加速度科氏加速度 ----为动点的相对速度与动系的牵连角速度共同引起的附加加速度科氏加速度的大小科氏加速度的方向：由 的方向随 ωe 的转动方向旋转90º后得到刚体的复合运动§5 静力学基本概念 §6 力系的简化3. 基本概念力，力偶，力偶矩，力矩：力对点之矩，力对轴之矩 2.取分离体画受力图 注意(1)明确研究对象，将其取为分离体，画出其上全部主动力和约束力。
(2)要根据约束的特点画出约束力，不要根据自己对物体运动状态或平衡的想象画约束力。
(3)不要漏画约束力或约束力偶（如固支端约束），(4)系统内部各物体间的相互作用力要体现出作用力与反作用力。
3.力系向某一点简化（该点为简化中心）力系的主矢∑=iR F F力系的主矩∑⨯=ii O F r M力系的第二不变量O R M F ⋅判断力系的最简形式平衡力系，合力，合力偶，螺旋（右手/左手） 力系向不同的点简化后的主矢为相同的矢量力系对不同点的主矩之间的关系：RO A F M M ⨯+=特别注意连续分布平行力系的简化结果：连续分布平行力系合力的大小为分布图形的面积 合力的方向为平行力的方向a ar a e ac a r v r e c v a ω2=合力的作用线过图形的形心第二讲上述内容经典题圆盘纯滚动，A v =常矢量求此时轮心O 的速度和加速度如何选择动点动系？（a）（b）注意两种情形区别：杆与轮接触—相切还是仅为相接触(c)(d)(e)(f)取分离体，画分离体的受力图选定研究对象，作为分离体从系统中分离出来；受力图上包括该分离体所受的全部力（主动力、约束力）；约束力一定要根据约束条件本身的特点画出；已知：qaFqaM==,22求固支端的全部约束力及约束力偶图示各机构均作平面运动，(1)找出各图中每个刚体在图示位置的速度瞬心；(2)指出各刚体角速度的转向；(3)画出M点的速度方向。
直角折杆OAB可绕O轴转动，OB=a，BM=b，试求图示位置杆上M点的速度，加速度，并在图中标出其方向。
如图所示机构，杆OA角速度为，板ABC和杆OA及DC铰接，问图中OA 和AB线上各点的速度分布规律是否正确？以下图示各个机构，试为其选择适当的动点、动系，并说明你选择的动系的牵连运动及动点的绝对运动轨迹和相对运动轨迹，根据选择的动点动系画出动点速度合成关系、加速度合成关系中各矢量的方向。
ωα图示凸轮摆杆机构中，凸轮绕O轴转动，角速度为，角加速度为，方向如图，摆杆为直角弯杆，可绕B轴转动，取杆上A点为动点，动系固连于凸轮。
（1）画出动点A的速度合成关系式中各速度矢量的方向。
（2）画出动点A的加速度合成关系式中各加速度矢量的方向。
试画出图示结构各部分的分离体受力图。
图示结构，A 处为固支端，D 处为铰支座，C 处为光滑接触，F=400N ，m N M ⋅=300︒=45αC ，B 为各杆的中点，DE 杆长为l=1m ，不计各杆自重，求固支端A 及铰支座D 处的约束力。