中考数学解答重难专题专题四 第14题几何图形综合题

专题四 第14题几何图形综合题

(2016～2019.14)

1. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，P 为矩形ABCD 内一动点，且满足S △P AB ＝13

S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A ＋PB 的最小值为________．

第1题图

2. 如图，边长为23的菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，且点E 是BC 的中点，连接BD ，交AE 于点F ，点M 是AD 上的一个动点，连接MF 、MC ，则MF ＋MC 的最小值为________．

第2题图

3. 如图，正方形ABCD 的边长是4，点M 是AB 的中点，CN ＝14

CD ，P 是直线AC 上的一点，则|PM －P N |的最大值为________．

第3题图

4.如图，菱形ABCD 的边长为3，∠BAD ＝60°，点E 、F 在对角线AC 上(点E 在点F 的左侧)，且EF ＝1，则DE ＋BF 的最小值为________．

第4题图

5. (2019西工大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为8，点E 是正方形内部一点，连接BE 、CE ，且∠ABE ＝∠BCE ，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、P E ，则PD ＋PE 的最小值为________．

第5题图

6. 如图，已知四边形ABCD ，连接AC 、B D.若AB ＝AD ＝BD ，AC ＝27，∠BCD ＝30°，则BC 2＋CD 2＝________．

第6题图

7. (2018陕师大附中模拟)如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的一个

动点，则PD －12

PC 的最大值为________．

第7题图

8. 如图，点E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、CD 上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝10 cm 2，S △BQC ＝20 cm 2，则阴影部分的面积为________cm 2.

第8题图

8. 如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD ＝60°，点E 是AD 上一动点(不与A 、D 重合)，点F 是CD 上一动点，且AE ＋CF ＝4，则△DEF 面积的最大值为________．

第9题图

10. 如图，O 为矩形ABCD 的对称中心，M 为BC 边上任一点，ON ⊥OM 且与CD 边交于点N .若AB ＝6，AD ＝4，则四边形OMCN 面积的最大值为________．

第10题图

11.如图，在正方形ABCD中，M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，△MCN的周长为8，则正方形ABCD的面积为________．

第11题图

12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AC的中点，将CD绕点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，连接AE，BE，则△AEB面积的最小值是________．

第12题图

13.如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一点，且P A⊥PB，连接AC、P C，则△P AC面积的最大值为________．

第13题图

14.如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝42，则四边形ABCD 面积的最小值是________．

第14题图

参考答案

1.41【解析】设△ABP中AB边上的高是h.∵S△P AB＝1

3S矩形ABCD，∴

1

2AB·h＝

1

3AB·AD，∴h＝

2

3AD＝2，

∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如解图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2＋2＝4，∴BE＝AB2＋AE2＝52＋42＝41，即P A＋PB的最小值为41.

第1题解图

2.27【解析】如解图，作点F关于AD的对称点N，连接CN，交AD于点M，则CN的长度即为MF＋MC的最小值．∵AE⊥BC，点E是BC的中点，四边形ABCD为菱形，∴CE＝BE＝3，∴cos∠ABC

＝BE

AB＝

1

2，∴∠ABC＝60°，∴AE＝3，∠EBF＝30°，∴EF＝1，∴AF＝2＝AN，∴EN＝5，在Rt△CEN中，

CN＝CE2＋EN2＝27.

第2题解图

3.13【解析】如解图，作点M关于直线AC的对称点M′，连接M′N，并延长与直线AC交于点P′，连接P′M，任意在直线AC上取一点P，连接PM，PN，PM′，有PM＝PM′，则PM－PN＝PM′－PN≤P′M′－P′N＝M′N，故M′N为|PM－PN|的最大值．在正方形ABCD中，∴∠BAD＝∠D＝90°，∵AB＝AD＝DC＝

BC＝4，∴△MAM′为等腰直角三角形，又AM＝BM＝1

2AB＝2，则有AM′＝AM＝2，且M′D＝2，又CN＝1，

则有DN＝3，在Rt△M′DN中，根据勾股定理得M′N＝M′D2＋DN2＝13，则|PM－PN|的最大值为13.

第3题解图

4. 10 【解析】如解图，作DM ∥AC ，连接MF ，且DM ＝EF ＝1，连接BM .∵DM ＝EF ，DM ∥EF ，∴四边形DEFM 是平行四边形，∴DE ＝FM ，∴DE ＋BF ＝FM ＋FB ≤BM ，根据两点之间线段最短可知，此时DE ＋FB 最短连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝3，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形，∴BD ＝AB ＝3.∵DM ∥AC ，且AC ⊥BD ，∴∠MDB ＝90°.在Rt △BDM 中，BM ＝12＋32＝10，∴DE ＋BF 的最小值为10.

第4题解图

5. 413－4 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＋∠CBE ＝90°，∵∠ABE ＝∠BCE ，∴∠BCE ＋∠CBE ＝90°，∴∠BEC ＝90°，∴点E 在以BC 为直径的半圆上移动．如解图，设BC 的中点为O ，作半圆O ，作正方形ABCD 关于直线AB 对称的正方形ABGF ，则点D 的对应点是点F ，连接FO 交AB 于点P ，交半圆O 于点E ，则线段EF 的长即为PD ＋PE 的最小值．∵∠G ＝90°，FG ＝BG ＝AB ＝8，OE ＝4，∴OG ＝12，∴OF ＝FG 2＋OG 2＝413，∴EF ＝413－4, ∴PD ＋PE 的长度最小值为413－4.

第5题解图

6. 28 【解析】∵AB ＝AD ＝BD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠DAB ＝60°.如解图，把△ACD 绕点A 顺时针旋转60°得到△AEB ，连接CE ，则△ACE 是等边三角形，∴CE ＝AC ＝27，∵∠DAB ＋∠BCD ＝60°＋30°＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝360°－90°＝270°，∴∠ABE ＋∠ABC ＝270°，∴∠CBE ＝90°，在Rt △BCE 中，BC 2＋BE 2＝CE 2＝28，∵BE ＝CD ，∴BC 2＋CD 2＝BC 2＋BE 2＝28.

第6题解图

7. 5 【解析】如解图，在BC 上取一点G ，使得BG ＝1，则CG ＝3，∵PB BG ＝21＝2，BC PB ＝42＝2，∴PB BG

＝BC PB ，∵∠PBG ＝∠PBC ，∴△PBG ∽△CBP ，∴PG PC ＝BG PB ＝12，∴PG ＝12PC ，∴PD －12

PC ＝PD －PG ＝DG ，∴当点P 在DG 的延长线上时，PD －12

PC 的值最大，最大值为DG ＝42＋32＝5.