第四章 数学建模
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（这里 dh 0 ），于是
dV r 2 dh
其中 r 是时刻 t 的水面半径，上式右端取负号是由于 dh 0 而 dV 0 的缘故。注意 到
r 1002 (100 h) 2 200h h 2
于是有
dV (200h h 2 )dh
74
图4-1
这样便得到未知函数 h h(t ) 应满足的微分方程
动第二定律，便可得到质点运动所满足的微分方程：
73
m
这里 f (t ) 是外力。
d 2x dx bx a f (t ) 2 d t dt
（4.12）
在无外力与阻力作用的情况下，(4.12)所描述的振动称为简谐振动。这时
m
d 2x bx 0 d 2t
b 。 m
其通解为 x(t ) A cos(t ), 这里
若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 是稳定的；
/ /
（4.3）
若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 是不稳定的。 二阶方程的平衡点及稳定性 考虑二阶自治系统（方程的右端不显含自变量 t ）
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
（4.4）
69
代数方程组
f ( x, y ) 0 的实根 x x0 , y y0 称为自治系统 （4.4） 的平衡点或奇点， g ( x, y ) 0
记作 P0 ( x0 , y0 ) ，它也是方程组（4.4）的解。 如 果 存 在 某 个 邻 域 ， 使 方 程 组 （ 4.4 ） 的 解 x(t ), y (t ) 从 这 个 邻 域 内 的 某 个
dx a1 x a2 y dt dy b x b y 1 2 dt
其系数矩阵为
（4.6）
A
系统（4.6）有唯一平衡点 P0 (0, 0) ，设
a1 b1
a2 b2
p (a1 b2 ), q det A 0
且系统（4.6）的特征方程 det( A I ) 0 有特征根
72
4.1.3 微分方程模型的建立
当我们描述实际对象的某些特性随时间或空间而演变时，通常要建立针对对象 的动态模型。我们先对具体问题作简化假设，然后依据对象内在的或类比于其它对象 的规律列出微分方程，再求出方程的解并将结果翻译回实际对象，这样便能实现对实 际对象的描述、分析、预测和控制了。这个过程大致就是微分方程建模，即是把形形 色色的实际问题转化为微分方程定解问题的过程。 建立微分方程模型，大致可分为三步： （1）根据实际要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、重要参数等。 （2）依据物理学、几何学、化学或生物学等学科的知识，找出这些量所满足的 基本规律。 （3）运用这些规律列出方程和定解条件。 建立微分方程常用的方法有三种。 1. 利用基本规律直接列出方程 在数学、物理、力学、化学等学科中有许多经过实践检验的规律和定律，如牛顿 运动定律、基尔霍夫电流及电压定律、物质的放射性规律等，这些都涉及到某些函数 的变化率。根据相应的规律，便可列出微分方程。 例4.2（物体冷却问题） 物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比， 如果物体在20分钟内由 100 C 冷却到 60 C ， 那么经过多长时间此物体的温度将达到
2
t 变化的规律。
由流体力学知道，水从小孔流出的流量 Q ，即通过孔口横截面的水的体积 V 对 时间 t 的变化率，满足以下公式
dV 0.62 S 2 gh dt 2 其中0.62为流量系数， S 为孔口横截面积， g 是重力加速度。这里 S 1cm ，故 Q dV 0.62 2 gh dt 另一方面，如图4-1，设在微小时间间隔 [t , t dt ] 内，水面高度由 h 降至 h dh
第四章
§4.1
微分方程模型
微分方程基本知识
4.1.1 常微分方程稳定性理论简介
一阶方程的平衡点及稳定性 考虑一阶自治方程
dx f ( x) （4.1） dt 这里，方程的右端 f ( x) 不显含自变量 t 。代数方程 f ( x) 0 的实根 x x0 称为自治
方程（4.1） 的平衡点或奇点，它也是方程（4.1）的解。 在实际问题中，我们不仅要得到问题的解，还要讨论 t 时解的变化趋势。如 果存在某个邻域，使方程（4.1）的解 x(t ) 从这个邻域内的某个 x(0) 出发，满足
lim x(t ) x0
t
（4.2）
则称平衡点 x0 是稳定的；否则，称 x0 是不稳定的。 判断平衡点 x0 是否稳定，可采用直接方法。对 f ( x) 在 x0 点作泰勒展开，只取一 次项，则得到方程（4.1）的近似线性方程
dx f / ( x0 )( x x0 ) dt 显然， x0 也是（4.3）的平衡点。关于 x0 的稳定性有结论：
当无外力策动但有阻力时，(4.12)所描述的振动称为衰减振动（或阻尼振动）。 而在有外力作用下，(4.12)所描述的振动称为受迫振动。 2. 微元分析法 用微积分学中微元分析法建立微分方程模型，实际上是寻求微元之间的关系式。 在建立这些关系时也要针对微元运用已知的规律或定律。 例4.4 （容器漏水问题） 有高为1米的半球形容器， 水从底部横截面积为1 cm 的 小孔流出。开始时容器装满水，请确定水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随时间
0 0
300 C ？
该问题适用于牛顿冷却定律：即温度为 T 的物体放入常温 T0 的介质中时， T 的 变化速率正比于 T 与周围介质的温度差。 由题意知
dT 1 k (T T0 ), T (0) 100, T 60 (4.11) dt 3 例4.3（质点线性振动问题） 质量为 m 的质点固定在弹簧上沿水平轴在有阻力 的介质中作振动，平衡位置 x 0 ，试讨论质点的运动规律。 由物理学的知识可知，质点所受的弹力满足胡克（Hooke）定律，为 bx ，这里 b dx 。利用牛顿运 是弹簧的弹性系数。而介质阻力与质点运动速度成正比，阻力为 a dt
p, q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
平衡点ห้องสมุดไป่ตู้型 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心
稳定性 稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
p0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
1,2 i, 0
1,2 i, 0 1,2 i, 0
p 0, q 0, p 2 4q
p 0, q 0
4.1.2 偏微分方程定解问题及其适定性
在对连续型的量建立数学模型时，如果我们研究的量只与一个变量有关(如只与 时间有关)，则导出的数学模型往往是常微分方程。而在许多实际问题中，所研究的 量可能与多种因素有关，如一个物理量可以与它的空间位置和时间有关，又如研究人 口密度变化时，需要考虑各年龄段人口的分布情况，这时人口密度不只是随时间而变 化，还和人口的年龄有关。在对这种连续的与多种因素有关的量建立数学模型时，往 往涉及偏微分方程。 例4.1 信号在电路中的传输 描述信号在电路中的传输过程时，如果信号频率处于足够低的范围，则沿一条 物理支路上的每一点的电流在同一时刻可认为是相同的， 这时应用物理学基本定理可 得到只含有对时间的导数的方程式，即常微分方程。但如果信号频率达到足够高时， 则同一时刻，同一物理支路中的不同位置的电流值就不能认为是相同的，它将与该点 距信号源的距离 x 有关，而电压 u 也将是 x 和 t 的函数。此时，利用分布参数的概念 可导出电流 i ( x, t ) 和电压 u ( x, t ) 所满足的方程组
在(4.7)，(4.8)，(4.9)这类等式中，均含有未知函数的偏导数，因此称为偏微 分方程（组）。偏微分方程的建立往往与物理问题紧密联系，出现在物理学中的最典 型的偏微分方程包括热传导方程、拉普拉斯方程、波动方程等。一维和二维的热传导 方程是指
u 2u a 2 F ( x, t ), t x
0.62 2 gh dh (200h h 2 ) dt
及初始条件 h(0) 100 。 求解微分方程初值问题，得
是不稳定的。
f ( P0 ) y g ( P0 ) y
则当 p 0 且 q 0 ， 平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 是稳定的； 当 p 0或q 0， 平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 由于对二阶非线性自治系统，我们可将 f ( x, y ), g ( x, y ) 在平衡点处作泰勒展开， 再取一次项得到其近似线性方程组，且二者在 p, q 0 时有相同的平衡点和稳定性， 所以，我们具体讨论二阶线性常系数方程组。考虑二阶自治系统
u 2u t a x 2 F ( x, t ), x (0, l ), t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t ), t 0 u t 0 g ( x), x (0, l ) 就是一种定解问题，其中 a 0, u u ( x, t ) 。
i u L0 R0i t x C u G u i 0 0 t x
和 G0 很小可近似为零时， 方程组(4.7)可简化为
（4.7）
式中 L0 , R0 , C0 和 G0 分别表示传输线单位长度的分布电感、 电阻、 电容和电导。 当 R0
71
i u L0 t x C u i 0 t x
利用（4.8）容易推导出
2 2u 2u 2u 2 u 0 t 2 x 2 t 2 x 2
（4.8）
C0 L0
其中 0 1/
(4.9)
L0C0 。(4.9)式便是通常的电报方程。
x(0), y (0) 出发，满足
lim x(t ) x0 ， lim y (t ) y0
t t
（4.5）
则称平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 是稳定的。 判断平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 是否稳定，有如下判别准则：设
f ( P0 ) x f ( P0 ) g ( P0 ) p ，q g ( P0 ) y x x
如果在指定的区域，偏微分方程定解问题至少存在一个解，则称该问题具有存 在性；如果它只存在一个解，则称该问题具有唯一性；如果对该问题中的定解条件作 微小变化，它的解也相应只有微小改变，则称具有稳定性。如果一个偏微分方程定解 问题的解同时具有存在性、 唯一性和稳定性， 则称此问题是适定的， 否则称为病态的。
2u 2u u a 2 2 F ( x, y , t ) t x y
(4.10)
它们具有丰富的物理背景，而且在图像处理及其它领域中有广泛应用。 偏微分方程定解问题及其适定性 对于偏微分方程，只有在给出适当的初始条件和边界条件的情况下才能求解， 这些条件称为定解条件。在同时给定了偏微分方程以及定解条件后，才构成一个定解 问题。典型的定解问题包括初始值问题、边值问题和初边值问题，如一维扩散方程初 边值问题
1 , 2 ( p p 2 4q )
于是，系统（4.6）的平衡点的类型及稳定性，完全由特征根 1 , 2 或相应的 p, q 的取值所确定,表4.1给出了相应的结果。
1 2
70
表4.1
由特征方程决定的平衡点的类型及稳定性
1 , 2 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 0
dV r 2 dh
其中 r 是时刻 t 的水面半径，上式右端取负号是由于 dh 0 而 dV 0 的缘故。注意 到
r 1002 (100 h) 2 200h h 2
于是有
dV (200h h 2 )dh
74
图4-1
这样便得到未知函数 h h(t ) 应满足的微分方程
动第二定律，便可得到质点运动所满足的微分方程：
73
m
这里 f (t ) 是外力。
d 2x dx bx a f (t ) 2 d t dt
（4.12）
在无外力与阻力作用的情况下，(4.12)所描述的振动称为简谐振动。这时
m
d 2x bx 0 d 2t
b 。 m
其通解为 x(t ) A cos(t ), 这里
若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 是稳定的；
/ /
（4.3）
若 f ( x0 ) 0 ，则 x0 是不稳定的。 二阶方程的平衡点及稳定性 考虑二阶自治系统（方程的右端不显含自变量 t ）
dx f ( x, y ) dt dy g ( x, y ) dt
（4.4）
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代数方程组
f ( x, y ) 0 的实根 x x0 , y y0 称为自治系统 （4.4） 的平衡点或奇点， g ( x, y ) 0
记作 P0 ( x0 , y0 ) ，它也是方程组（4.4）的解。 如 果 存 在 某 个 邻 域 ， 使 方 程 组 （ 4.4 ） 的 解 x(t ), y (t ) 从 这 个 邻 域 内 的 某 个
dx a1 x a2 y dt dy b x b y 1 2 dt
其系数矩阵为
（4.6）
A
系统（4.6）有唯一平衡点 P0 (0, 0) ，设
a1 b1
a2 b2
p (a1 b2 ), q det A 0
且系统（4.6）的特征方程 det( A I ) 0 有特征根
72
4.1.3 微分方程模型的建立
当我们描述实际对象的某些特性随时间或空间而演变时，通常要建立针对对象 的动态模型。我们先对具体问题作简化假设，然后依据对象内在的或类比于其它对象 的规律列出微分方程，再求出方程的解并将结果翻译回实际对象，这样便能实现对实 际对象的描述、分析、预测和控制了。这个过程大致就是微分方程建模，即是把形形 色色的实际问题转化为微分方程定解问题的过程。 建立微分方程模型，大致可分为三步： （1）根据实际要求确定要研究的量，包括自变量、未知函数、重要参数等。 （2）依据物理学、几何学、化学或生物学等学科的知识，找出这些量所满足的 基本规律。 （3）运用这些规律列出方程和定解条件。 建立微分方程常用的方法有三种。 1. 利用基本规律直接列出方程 在数学、物理、力学、化学等学科中有许多经过实践检验的规律和定律，如牛顿 运动定律、基尔霍夫电流及电压定律、物质的放射性规律等，这些都涉及到某些函数 的变化率。根据相应的规律，便可列出微分方程。 例4.2（物体冷却问题） 物体在空气中的冷却速度与物体、空气的温差成正比， 如果物体在20分钟内由 100 C 冷却到 60 C ， 那么经过多长时间此物体的温度将达到
2
t 变化的规律。
由流体力学知道，水从小孔流出的流量 Q ，即通过孔口横截面的水的体积 V 对 时间 t 的变化率，满足以下公式
dV 0.62 S 2 gh dt 2 其中0.62为流量系数， S 为孔口横截面积， g 是重力加速度。这里 S 1cm ，故 Q dV 0.62 2 gh dt 另一方面，如图4-1，设在微小时间间隔 [t , t dt ] 内，水面高度由 h 降至 h dh
第四章
§4.1
微分方程模型
微分方程基本知识
4.1.1 常微分方程稳定性理论简介
一阶方程的平衡点及稳定性 考虑一阶自治方程
dx f ( x) （4.1） dt 这里，方程的右端 f ( x) 不显含自变量 t 。代数方程 f ( x) 0 的实根 x x0 称为自治
方程（4.1） 的平衡点或奇点，它也是方程（4.1）的解。 在实际问题中，我们不仅要得到问题的解，还要讨论 t 时解的变化趋势。如 果存在某个邻域，使方程（4.1）的解 x(t ) 从这个邻域内的某个 x(0) 出发，满足
lim x(t ) x0
t
（4.2）
则称平衡点 x0 是稳定的；否则，称 x0 是不稳定的。 判断平衡点 x0 是否稳定，可采用直接方法。对 f ( x) 在 x0 点作泰勒展开，只取一 次项，则得到方程（4.1）的近似线性方程
dx f / ( x0 )( x x0 ) dt 显然， x0 也是（4.3）的平衡点。关于 x0 的稳定性有结论：
当无外力策动但有阻力时，(4.12)所描述的振动称为衰减振动（或阻尼振动）。 而在有外力作用下，(4.12)所描述的振动称为受迫振动。 2. 微元分析法 用微积分学中微元分析法建立微分方程模型，实际上是寻求微元之间的关系式。 在建立这些关系时也要针对微元运用已知的规律或定律。 例4.4 （容器漏水问题） 有高为1米的半球形容器， 水从底部横截面积为1 cm 的 小孔流出。开始时容器装满水，请确定水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随时间
0 0
300 C ？
该问题适用于牛顿冷却定律：即温度为 T 的物体放入常温 T0 的介质中时， T 的 变化速率正比于 T 与周围介质的温度差。 由题意知
dT 1 k (T T0 ), T (0) 100, T 60 (4.11) dt 3 例4.3（质点线性振动问题） 质量为 m 的质点固定在弹簧上沿水平轴在有阻力 的介质中作振动，平衡位置 x 0 ，试讨论质点的运动规律。 由物理学的知识可知，质点所受的弹力满足胡克（Hooke）定律，为 bx ，这里 b dx 。利用牛顿运 是弹簧的弹性系数。而介质阻力与质点运动速度成正比，阻力为 a dt
p, q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
平衡点ห้องสมุดไป่ตู้型 稳定结点 不稳定结点 鞍点 稳定退化结点 不稳定退化结点 稳定焦点 不稳定焦点 中心
稳定性 稳定 不稳定 不稳定 稳定 不稳定 稳定 不稳定 不稳定
p0
p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q p 0, q 0, p 2 4q
1,2 i, 0
1,2 i, 0 1,2 i, 0
p 0, q 0, p 2 4q
p 0, q 0
4.1.2 偏微分方程定解问题及其适定性
在对连续型的量建立数学模型时，如果我们研究的量只与一个变量有关(如只与 时间有关)，则导出的数学模型往往是常微分方程。而在许多实际问题中，所研究的 量可能与多种因素有关，如一个物理量可以与它的空间位置和时间有关，又如研究人 口密度变化时，需要考虑各年龄段人口的分布情况，这时人口密度不只是随时间而变 化，还和人口的年龄有关。在对这种连续的与多种因素有关的量建立数学模型时，往 往涉及偏微分方程。 例4.1 信号在电路中的传输 描述信号在电路中的传输过程时，如果信号频率处于足够低的范围，则沿一条 物理支路上的每一点的电流在同一时刻可认为是相同的， 这时应用物理学基本定理可 得到只含有对时间的导数的方程式，即常微分方程。但如果信号频率达到足够高时， 则同一时刻，同一物理支路中的不同位置的电流值就不能认为是相同的，它将与该点 距信号源的距离 x 有关，而电压 u 也将是 x 和 t 的函数。此时，利用分布参数的概念 可导出电流 i ( x, t ) 和电压 u ( x, t ) 所满足的方程组
在(4.7)，(4.8)，(4.9)这类等式中，均含有未知函数的偏导数，因此称为偏微 分方程（组）。偏微分方程的建立往往与物理问题紧密联系，出现在物理学中的最典 型的偏微分方程包括热传导方程、拉普拉斯方程、波动方程等。一维和二维的热传导 方程是指
u 2u a 2 F ( x, t ), t x
0.62 2 gh dh (200h h 2 ) dt
及初始条件 h(0) 100 。 求解微分方程初值问题，得
是不稳定的。
f ( P0 ) y g ( P0 ) y
则当 p 0 且 q 0 ， 平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 是稳定的； 当 p 0或q 0， 平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 由于对二阶非线性自治系统，我们可将 f ( x, y ), g ( x, y ) 在平衡点处作泰勒展开， 再取一次项得到其近似线性方程组，且二者在 p, q 0 时有相同的平衡点和稳定性， 所以，我们具体讨论二阶线性常系数方程组。考虑二阶自治系统
u 2u t a x 2 F ( x, t ), x (0, l ), t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t ), t 0 u t 0 g ( x), x (0, l ) 就是一种定解问题，其中 a 0, u u ( x, t ) 。
i u L0 R0i t x C u G u i 0 0 t x
和 G0 很小可近似为零时， 方程组(4.7)可简化为
（4.7）
式中 L0 , R0 , C0 和 G0 分别表示传输线单位长度的分布电感、 电阻、 电容和电导。 当 R0
71
i u L0 t x C u i 0 t x
利用（4.8）容易推导出
2 2u 2u 2u 2 u 0 t 2 x 2 t 2 x 2
（4.8）
C0 L0
其中 0 1/
(4.9)
L0C0 。(4.9)式便是通常的电报方程。
x(0), y (0) 出发，满足
lim x(t ) x0 ， lim y (t ) y0
t t
（4.5）
则称平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 是稳定的。 判断平衡点 P0 ( x0 , y0 ) 是否稳定，有如下判别准则：设
f ( P0 ) x f ( P0 ) g ( P0 ) p ，q g ( P0 ) y x x
如果在指定的区域，偏微分方程定解问题至少存在一个解，则称该问题具有存 在性；如果它只存在一个解，则称该问题具有唯一性；如果对该问题中的定解条件作 微小变化，它的解也相应只有微小改变，则称具有稳定性。如果一个偏微分方程定解 问题的解同时具有存在性、 唯一性和稳定性， 则称此问题是适定的， 否则称为病态的。
2u 2u u a 2 2 F ( x, y , t ) t x y
(4.10)
它们具有丰富的物理背景，而且在图像处理及其它领域中有广泛应用。 偏微分方程定解问题及其适定性 对于偏微分方程，只有在给出适当的初始条件和边界条件的情况下才能求解， 这些条件称为定解条件。在同时给定了偏微分方程以及定解条件后，才构成一个定解 问题。典型的定解问题包括初始值问题、边值问题和初边值问题，如一维扩散方程初 边值问题
1 , 2 ( p p 2 4q )
于是，系统（4.6）的平衡点的类型及稳定性，完全由特征根 1 , 2 或相应的 p, q 的取值所确定,表4.1给出了相应的结果。
1 2
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表4.1
由特征方程决定的平衡点的类型及稳定性
1 , 2 1 2 0 1 2 0 1 0 2 1 2 0 1 2 0