2.1离散化

T 1 s 2 z T 1 s 2
双线性变换

令
s u jv z x jy

于是
T 1 s 2 z T 1 s 2
2 z 1 s T z 1 2 (x2 y 2 ) 1 2y s u jv [ j ] 2 2 2 2 T ( x 1) y ( x 1) y
t0
t
t 0 kT , t (k 1)T
x[(k 1)T ] e x(kT )
AT百度文库
( k 1)T
kT
e A[( k 1)T ] Buh (τ)dτ
零阶保持法

系统输出
x(k 1) e x(k ) e At dt Bu(k )
AT 0 T
t (k 1)T
数字信号

自变量离散，取值也离散的信号。 由连续信号经过A/D转换得到。
阶梯信号

实际数字系统中多为阶梯信号。
常用的离散化方法

差分法 双线性变换法 零极点匹配法 冲击响应不变法（Z变换法） 零阶保持器法
常用的离散化方法


双线性变换法 零极点匹配法


冲击响应不变法 （Z变换法） 零阶保持器法
s 0 W ( z ) z 1
零极点匹配法

特殊之处：无穷远零点
K s ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) W ( s) ( s1 p1 )(s p2 ) ( s pn )
s j,
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT )(z ) nm W ( z) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )
双线性变换

主要特点
梯形法则对微分方程进行近似求解 将s平面影射为z平面上的单位圆，不 改变系统的稳定性 方法简单 主要用于快速数字仿真和数字滤波器 等方面

可控标准型

传递函数
( z n a1 z n 1 an 1 an )Y ( z ) U ( z ) z nY ( z ) a1 z n 1Y ( z ) an 1 zY ( z ) anY ( z ) U ( z )
W (s) b0
' n 1 ' bq s bn
u（ k ）
W （z ）
s n a1 s n1 a n
双线性变换

系统状态方程
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx(t ) Du(t )
0 I n 1 A , B 0 an a1 ' ' C [ b b n 1 ] , D b0 0 0 1

一拍时延
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT )(z 1) nm1 W ( z) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )
冲击响应不变法

准则
W(z) 的单位脉冲响应等 于W(s)单位脉冲响应在 离散点的数值
ze
jT
, ,

T
, z 1
零极点匹配法

对象
K s ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) W ( s) ( s1 p1 )(s p2 ) ( s pn )

变换结果
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT )(z 1) nm W ( z) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )
x(k 1) Fx(k ) Gu(k ) 0 F 0 an I n 1 0 , G 0 a1 1
零极点匹配法

对象
K s ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) W ( s) ( s1 p1 )(s p2 ) ( s pn )
2.1 离散化

常见信号分类 常用的离散化方法

2.1.1 信号分类

传统模拟信号 连续信号 阶梯信号 采样信号


离散信号

数字信号
模拟信号

在规定的连续时间内，信号幅值可以取连 续范围内的任意值。
采样信号

仅在自变量的离散点上有定义的信号。

可以看作一系列 脉冲序列，由连 续信号经过采样 得到。
F e , G e At dtB
AT 0
T
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
零阶保持法

特点

对带有零阶保持器的情况，该法最精确 用于离散化被控对象（零阶保持器输出）
双线性变换和零阶保持法的比较

双线性变换
x[(k 1)T ] x(kT )

( k 1)T
W (s) C(sI A)1 B D
双线性变换

系统状态的解
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx(t ) Du(t )
x[(k 1)T ] x(kT )

( k 1)T
kT
[ Ax(t ) Bu(t )]dt
x(k 1) x(k )
本节要点


四种常用的离散化方法 不同离散化方法的适用条件 问题


离散传递函数相同的两个系统动态特性是否 相同？ 如何绘制离散传递函数的频率特性曲线？ 差分法的物理意义
kT
[ Ax(t ) Bu(t )]dt
T x(k 1) x(k ) [ Ax(k 1) Bu(k 1) Ax(k ) Bu(k )] 2

零阶保持法
x(k 1) e x(k )
AT ( k 1)T kT
e A[( k 1)T ] Buh (τ)dτ
冲击响应不变法

利用状态方程进行离散化的关键

eAT的计算 （zI- eAT)-1的计算
冲击响应不变法

提示

输入是离散量u(kT) 当信号后有零阶保持器时有需作处理： W(s) TW(s)
W （ h s）
u（ h t）
y（t） y（k） W（s） y（k）
u（k）
u（k）
W（z）
TW（s）
1
1
双线性变换
Y ( z) W ( z) U ( z) 2 z 1 C I A B D T z 1 [C ( sI A) 1 B D ] W (s)
s 2 z 1 T z 1 1
s
2 z 1 T z 1
2 z 1 s T z 1
1
零阶保持法

对象(基于能控标准型实现）
(t ) Ax(t ) Buh (t ) x y (t ) Cx(t ) Duh (t )
uh (t ) u(k ), kT t (k 1)T

系统输出
x(t ) e
A( t t0 )
x(t0 ) e A(t ) Buh (τ)dτ

差分方程
x1 (k ) y (k ) x1 (k 1) x2 (k ) xn (k 1) an x1 (k ) an 1 x 2(k ) a1 x(k ) u (k )
可控标准型
x1 (k ) y (k ) x1 (k 1) x2 (k ) xn (k 1) an x1 (k ) an 1 x 2(k ) a1 x(k ) u (k )
u （t ） y（t ） y（k ） W （s ） y（k）

变换
z e sT
u（ k ）
W （z ）
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT ) W ( z) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )

增益
W ( s)
y（ 2 t）
-（k） y
1 e Wh ( s ) s
sT
W（z）
零阶保持法

意义 方法及过程（基于传递函数）

对象
W * (s) Wh (s)W (s)
sT 1 e W * ( s) W ( s) s

z变换
W ( s) W ( z ) (1 z ) Z [ ] s
u（t）
W（s）
y（t）
u（k）
W（s）
y（ 2 t）
u （t ）
y（t ） y（k ） W （s ） y（k） W （z ） u （k ） W （s ）
y（t ） y（k ）
u（ k ）
W （z ）
y（k）
双线性变换

系统传递函数
u （t ） y（t ） y（k ） W （s ） y（k）
Y ( s) b0 s n b1 s n 1 bn W ( s) n U ( s) s a1 s n1 a n
u （k ） y（t ） y（k ） W （s ） y（k）
u（k）
W（s）
y（ 2 t）
W （z ）
冲击响应不变法

步骤


计算单位脉冲响应h(t)=L [W(s)] 离散序列h(kT) 用z变换求离散传递函数
-1
冲击响应不变法

利用状态方程的变换实例



准备工作 W(s) 能控标准型实现[A, B, C, D] 求单位脉冲响应h(t) 离散化h(t)h(kT) z变换W(z)
T [ Ax(k 1) Bu(k 1) Ax(k ) Bu(k )] 2
T T ( z 1) I 2 A( z 1) X ( z ) 2 B( z 1)U ( z )
双线性变换

系统状态的解
T T ( z 1 ) I A ( z 1 ) X ( z ) B( z 1)U ( z ) 2 2
2 z 1 I A T z 1 X ( z ) BU ( z )
2 z 1 X ( z) I A BU ( z) T z 1
Y ( z ) CX ( z ) DU ( z ) 2 z 1 C I A BU ( z ) DU ( z ) T z 1