高中数学导数的概念、运算及其几何意义练习题
高中数学专题练习《导数的概念及其几何意义》含详细解析
5.1.2 导数的概念及其几何意义基础过关练题组一 导数的定义及其应用1.函数y=f(x)的自变量x 由x 0变化到x 0+Δx 时,函数值的改变量Δy 为( )A.f(x 0+Δx)B.f(x 0)+ΔxC.f(x 0)·ΔxD.f(x 0+Δx)-f(x 0)2.函数f(x)在x=x 0处的导数可表示为( )A.f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)ΔxB.f'(x 0)=lim Δx→0[f(x 0+Δx)-f(x 0)]C.f'(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0)D.f'(x 0)=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx3.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .4.如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 ; (2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 . 5.求函数y=x 2+1在x=0处的导数.题组二 导数的几何意义及其应用6.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是( )A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率7.某司机看见前方50m处有行人横穿马路,这时司机开始紧急刹车,在刹车的过程中,汽车的速度v是关于刹车时间t的函数,其图象可能是( )8.已知函数f(x)在R上有导函数,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是( )A.f'(a)<f'(b)<f'(c)B.f'(b)<f'(c)<f'(a)C.f'(a)<f'(c)<f'(b)D.f'(c)<f'(a)<f'(b)9.如图,函数y=f(x)的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点P的横坐标是5,则f(5)+f'(5)=( )B.1C.2D.0A.12题组三 求曲线的切线方程10.若曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则( )A.a=-1,b=1B.a=1,b=-1C.a=-2,b=1D.a=2,b=-111.函数f(x)=x3+x-2的图象在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则P点的坐标为( )A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)或(-1,-4)D.(2,8)或(-1,-4)12.若点A(2,1)在曲线y=f(x)上,且f'(2)=-2,则曲线y=f(x)在点A处的切线方程是 .13.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是 .14.试求过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程.能力提升练题组一 导数的定义及其应用1.(2020浙江宁波中学高二下期中测试,)甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是( )A.甲厂B.乙厂C.两厂一样D.不确定2.(2020河南新乡高二上期末,)若f'(2)=3,则lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx= . 3.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.题组二 导数的几何意义及其应用4.(2020黑龙江佳木斯一中高二上期末,)函数f(x)的图象如图所示,则下列数值排序正确的是( )A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)5.()已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率6.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( )A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0>f(x1)+f(x2)2<f(x1)+f(x2)2题组三 求曲线的切线方程7.(2020浙江金华一中高二下期中,)已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为( )A.-∞,-B.[-1,0]C.[0,1]D.-1,+∞28.(2020浙江丽水高二下期末,)已知过点P(-1,1)的直线m交x轴于点A,若抛物线y=x2上有一点B,使得PA⊥PB,且AB是抛物线y=x2的切线,则直线m的方程为 .,过9.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1x两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率,否则只得结论分)答案全解全析基础过关练1.D 分别写出x=x 0和x=x 0+Δx 时对应的函数值f(x 0)和f(x 0+Δx),两函数值相减就得到了函数值的改变量,所以Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0).2.A 由导数的定义知A 正确.3.答案 2解析 由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴lim Δx→0ΔyΔx =a,∴f'(1)=a=2.4.答案 (1)12 (2)34解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为f (1)-f (-1)1―(―1)=2―12=12.(2)由函数f(x)的图象知,,-1≤x ≤1,<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)-f (0)2―0=3―322=34.5.解析 Δy=(0+Δx )2+1-0+1=(Δx )2+1―1(Δx )2+1+1=(Δx )2(Δx )2+1+1,∴ΔyΔx =Δx (Δx )2+1+1,∴y'x=0=lim Δx→0ΔyΔx =lim Δx→0Δx (Δx )2+1+1=0.6.D f'(x 0)的几何意义是函数y=f(x)的图象在点(x 0,f(x 0))处的切线的斜率.7.A 在刹车过程中,汽车速度呈下降趋势,排除选项C,D;由于是紧急刹车,所以汽车开始时速度下降非常快,图象较陡,排除选项B,故选A.8.A 由题意可知,f'(a),f'(b),f'(c)分别是函数f(x)在x=a 、x=b 和x=c 处切线的斜率,则有f'(a)<0<f'(b)<f'(c),故选A.9.C ∵函数y=f(x)的图象在x=5处的切线方程是y=-x+8,∴f'(5)=-1,又f(5)=-5+8=3,∴f(5)+f'(5)=3-1=2.故选C.10.B 由题意得,f'(1)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(1+Δx )2+a(1+Δx )+b -1-a -bΔx =lim Δx→0(Δx )2+2Δx +aΔxΔx =2+a.∵曲线f(x)=x 2+ax+b 在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.又∵点(1,1)在曲线y=x 2+ax+b 上,∴1+a+b=1,解得b=-1,∴a=1,b=-1.故选B.11.C f'(x)=lim Δx→0ΔyΔx=lim Δx→0(x +Δx )3+(x +Δx )-2-x 3-x +2Δx=3x 2+1.设P(x 0,y 0),则f'(x 0)=3x 20+1=4,所以x 0=±1,当x 0=1时,f(x 0)=0,当x 0=-1时,f(x 0)=-4,因此P 点的坐标为(1,0)或(-1,-4).12.答案 2x+y-5=0解析 由题意知,切线的斜率k=-2.∴在点A(2,1)处的切线方程为y-1=-2(x-2),即2x+y-5=0.13.答案 2x-y-1=0解析 设切点坐标为(x 0,y 0),y=f(x)=x 2,则由题意可得,切线斜率f'(x 0)=limΔx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2x 0=2,所以x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.14.解析 Δy Δx =(x +Δx )3+1―x 3-1Δx =3x (Δx )2+3x 2Δx +(Δx )3Δx=3xΔx+3x 2+(Δx)2,则lim Δx→0ΔyΔx =3x 2,因此y'=3x 2.设过点M(1,1)的直线与曲线y=x 3+1相切于点P(x 0,x 30+1),根据导数的几何意义知曲线在点P 处的切线的斜率为k=3x 20①,过点M 和点P 的切线的斜率k=x 30+1―1x 0-1②,由①-②得3x 20=x 30x 0-1,解得x 0=0或x 0=32,所以k=0或k=274,因此过点M(1,1)且与曲线y=x 3+1相切的直线有两条,方程分别为y-1=274(x-1)和y=1,即27x-4y-23=0和y=1.能力提升练1.B 在t 0处,虽然有W 甲(t 0)=W 乙(t 0),但W 甲(t 0-Δt)<W 乙(t 0-Δt),所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好.2.答案 6解析 limΔx→0f (2+2Δx )-f (2)Δx=2lim Δx→0f (2+2Δx )-f (2)2Δx =2f'(2)=6.3.解析 f'(10)=1.5表示服药后10 min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升1.5 μg/mL. f'(100)=-0.6表示服药后100 min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6 μg/(mL ·min).也就是说,如果保持这一速度,每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降0.6 μg/mL.4.B 如图所示, f'(2)是函数f(x)的图象在x=2(即点A)处切线的斜率k 1, f'(3)是函数f(x)的图象在x=3(即点B)处切线的斜率k 2,f (3)-f (2)3―2=f(3)-f(2)=k AB 是割线AB 的斜率.由图象知0<k 2<k AB <k 1,即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.5.D ∵f(x)在a 到b 之间的平均变化率是f (b )-f (a )b -a,g(x)在a 到b 之间的平均变化率是g (b )-g (a )b -a ,f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f (b )-f (a )b -a=g (b )-g (a )b -a,∴A 、B 错误;易知函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x 0处的导数,即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理函数g(x)在x=x 0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,由题中图象知C 错误,D 正确.故选D.6.AD 由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x 轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.A 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)异号,即f(x)图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为负,故A 正确;B 选项表示x 1-x 2与f(x 1)-f(x 2)同号,即f(x) 图象的割线斜率f (x 1)-f(x 2)x 1-x 2为正,故B 不正确表示x 1+x 22对应的函数值,即图中点B 的纵坐标,f (x 1)+f(x 2)2表示当x=x 1和x=x 2时所对应的函数值的平均值,即图中点A 的纵坐标,显然有<f (x 1)+f(x 2)2,故C 不正确,D 正确.故选AD.7.D 设点P 的横坐标为x 0,则点P 处的切线倾斜角α与x 0的关系为tan α=f'(x 0)=lim Δx→0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx =2x 0+2.∵α,∴tan α∈[1,+∞),∴2x 0+2≥1,即x 0≥-12,∴点P 的横坐标的取值范围为-12,+∞.8.答案 x-y+2=0或x+3y-2=0解析 令y=f(x)=x 2,设B(t,t 2),则k AB =lim Δx→0f (t +Δx )-f (t )Δx =2t,则直线AB 的方程为y=2tx-t 2.当t=0时,符合题意,此时A(-2,0),∴直线m 的方程为x-y+2=0.当t ≠0时,0,PA=+1,―1,PB =(t+1,t 2-1),∵PA ⊥PB,∴PA ·PB =0,+1(t+1)-(t 2-1)=0,解得t=4或t=-1(B,P重合,舍去),此时A(2,0),∴直线m 的方程为x+3y-2=0.综上,直线m 的方程为x-y+2=0或x+3y-2=0.9.解析 由y =x 2,y =1x,得x =1,y =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=lim Δx→0f (Δx +1)―f (1)Δx =lim Δx→0(Δx +1)2-12Δx =lim Δx→0(Δx+2)=2,g'(1)=lim Δx→0g (Δx +1)―g (1)Δx =lim Δx→01Δx +1-11Δx=lim Δx→0-所以两条切线的方程分别为y-1=2(x-1),y-1=-(x-1),即y=2x-1与y=-x+2,两条切线与x,0,(2,0),所以两切线与x轴围成的三角形的面积为12×1×|2―12|=34.。
专题13 导数的概念及其意义、导数的运算(原卷版)
基础知识：
导数的几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
基本题型：
1、（过某点处切线的方程）若经过点P(2,8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为( )
基本题型：
1．设 ， ， ，…， ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，其导函数记为 ，则 （）
A．2B． C．3D．
3．求下列函数的导数．
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） ．
基本方法：
复合函数的求导：先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元。
类型四、解析式中含有导数值的函数
3．（多选）设函数 ，则下列说法正确的是（）
A． B．
C． 在 处的切线方程为 D．
基本方法：
1．求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．
2．常见形式及具体求导的几种方法
连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导
三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导
分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导
①直线 在点 处“切过”曲线 ：
②直线 在点 处“切过”曲线 ：
③直线 在点 处“切过”曲线 ：
④直线 在点 处“切过”曲线 ：
⑤直线 在点 处“切过”曲线 ： ．
5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数 的图像在点 处的切线方程为( )
A． B． C． D．
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.2.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.3.设，则曲线在处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率为，故选B．【考点】导数的几何意义．4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则的值是A．2B．C．D．【答案】B【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：B．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．5.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．6.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．【答案】【解析】与已知直线垂直的直线的斜率,,解得,代入曲线方程所以切线方程为,整理得：【考点】1.导数的几何意义；2.直线的垂直.7.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义8.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.9.在曲线处的切线方程为。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
人教A版高中数学选择性必修第二册课后习题 第五章 一元函数的导数及其应用 导数的概念及其几何意义
5.1.2 导数的概念及其几何意义A 级必备知识基础练1.函数f(的值为( ) A.3B.2C.1D.42.若函数f(x)=16x 2,则f'(-3)的值等于( ) A.32B.1C.-1D.-123.若曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处的切线方程为5x-y+1=0,则( ) A.f'(x 0)>0 B.f'(x 0)<0 C.f'(x 0)=0D.f'(x 0)不存在4.已知f(x)=-23x 2,若f'(a)=13,则a 的值等于( ) A.-14B.14C.-49D.345.(多选题)曲线y=9x在点P 处的切线的倾斜角为3π4,则点P 的坐标可能为( ) A.(3,3) B.(-3,-3) C.(9,1)D.(1,9)6.(多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是( )A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率7.函数y=f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是.在点(1,0)处的切线的倾斜角等于.8.曲线y=1-1xB级关键能力提升练9.(多选题)为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应率(单位时间的供应量)不逐步提高的是( )10.利用导数的定义求函数y=f(x)=√x+2在x=2处的导数.11.已知曲线y=x2.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.5.1.2 导数的概念及其几何意义1.B 由已知得m 2-1-(12-1)m-1=3,∴m+1=3,∴m=2.2.C f'(-3)=limΔx→0f (-3+Δx)-f(-3)Δx=limΔx→016Δx-1=-1.3.A 由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.4.A 由导数的定义得f'(x)=limΔx→0-23(x+Δx)2-(-23x2)x+Δx-x=limΔx→0-43xΔx-23(Δx)2Δx=lim Δx→0(-43x-23Δx)=-43x,因此f'(a)=-43a=13,则a=-14.5.AB 由导数定义得y'=limΔx→09x+Δx-9xΔx=limΔx→0-9x(x+Δx)=-9x2,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-9x02=tan3π4=-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).6.AD ∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是f(b)-f(a)b-a,g(x)在[a,b]上的平均变化率是g(b)-g(a)b-a ,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴f(b)-f(a)b-a=g(b)-g(a)b-a,故A正确,B错误;易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)的图象在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)的图象在该点处的切线的斜率,由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)的图象在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)的图象在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.7.2 ∵y=f(x)=x2,∴在ΔyΔx =(1+Δx)2-12Δx=limΔx→0(2+Δx)=2.8.π4经验证,点(1,0)在曲线上.因为y'|(1-11+Δx)-0Δx=limΔx→011+Δx=1,所以曲线在该点处的切线的斜率等于1,故切线的倾斜角等于π4.9.ACD10.解∵Δy=√(2+Δx)+2−√2+2=√4+Δx-2,ΔyΔx =√4+Δx-2Δx=(√4+Δx-2)(√4+Δx+2)Δx(√4+Δx+2)=√4+Δx+2,∴f'(2)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→√4+Δx+2=14.11.解(1)设切点为((x0+Δx)2-x02Δx=lim Δx→0x02+2x0·Δx+(Δx)2-x02Δx=2x0,∴y'|x=1=2.∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'|x=x=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0).由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0), ①再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=x02, ②联立①②得x0=1或x0=5.从而当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.。
高中数学导数知识点归纳的总结及例题(word文档物超所值)
为函数
_____ _ 的图象的顶点在第四象限，则其导
o
y
x
-33
)
(x
f
y'
=
()y f x ='()f x 为( )
（安微省合肥市2010年高三第二次教学质量检测文科）函数()y f x =的图像如下右)
(x f y '=
（2010年浙江省宁波市高三“十校”联考文科）如右图所示是某
一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）
象大致形状是（ ）
2009湖南卷文）若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数
()x 在区间[,]a b 上的图象可能是
y
y
y
14.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),
y=g(x)的图象可能是（ ）
15.(2008珠海一模文、理)设是函数的导函数，将和的图)('x f )(x f )(x f y =)('x f y =像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．16.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数
)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（
）
函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
y。
第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测
(0 +ℎ)−(0 −ℎ)
(, )，则 lim
ℎ
ℎ→0
）
A．′ 0
B．2′ 0
C．−2 ′ 0
D．0
【答案】B
0 +ℎ − 0 −ℎ
【解析】由题意知， lim
ℎ
ℎ→0
0 +ℎ − 0 −ℎ
ℎ→0 0 +ℎ − 0 −ℎ
= 2lim
故选：B
= 2′ 0 ．
变化率为（ ）
3
A．
300
cm/s
6π
3
B．
3
300
cm/s
5π
C．
150
cm/s
3π
3
D．
150
cm/s
2π
【答案】C
2
1
1
【解析】设注入溶液的时间为（单位：s）时，溶液的高为ℎcm，则 π ⋅ ℎ
3
5
因为ℎ′ =
1 3 150
，所以当
3 π 2
= π时，ℎ′ =
1 3 150
3
π3
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为
1
【解析】() = ′(1) −1 − (0) + 2 2 ⇒ ′() = ′(1) −1 − (0) +
令 = 1得： (0) = 1
() =
′(1) −1
−+
1 2
2
⇒ (0) = ′(1) −1 = 1 ⇔ ′(1) =
1
得：() = − + 2 2
则 ′ (0) = 1且(0) = 0，即切线的斜率为 = 1，切点坐标为(0,0)，
所以切线方程为 = ．
北师大版数学高二选修1试题 3.2导数的概念及其几何意义
第三章 §2一、选择题1．如果函数y ＝f (x )在点(3,4)处的切线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，则f ′(3)等于( ) A ．2 B ．－12C ．－2D ．12[答案] C[解析] ∵切线的斜率为－2，∴f ′(3)＝－2，故选C.2．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0 D ．f ′(x 0)不存在 [答案] B[解析] 由导数的几何意义可知f ′(x 0)＝－12<0，故选B.3．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] Δy ＝13(－1＋Δx )3－13×(－1)3＝Δx －(Δx )2＋13(Δx )3，Δy Δx ＝1－Δx ＋13(Δx )2，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1－Δx ＋13(Δx )2)＝1， ∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫－1，－73处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 4．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是( )A ．2B ．52C ．1D ．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1，Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0.5．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 由已知点(0，b )是切点． Δy ＝(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b ＝(Δx )2＋aΔx ，∴Δy Δx＝Δx ＋a ，y ′|x ＝0＝lim Δx →0 Δy Δx ＝a . ∵切线x －y ＋1＝0的斜率为1，∴a ＝1. 又切点(0，b )在切线上，∴b ＝1.6．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2s 末的瞬时速度为( )A ．－4.8m/sB ．－0.88m/sC ．0.88m/sD ．4.8m/s[答案] A[解析] Δs Δt ＝2[1－(1.2＋Δt )2]－2(1－1.2)2Δt＝－4.8－2Δt ，当Δt 趋于0时，ΔsΔt 趋于－4.8，故物体在t ＝1.2s 末的瞬时速度为－4.8m/s.二、填空题7．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________. [答案] 12[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3＋2－23－2Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx －2)[(2＋Δx )2＋(2＋Δx )·2＋22]Δx ＝lim Δx →0[4＋4Δx ＋(Δx )2＋4＋2Δx ＋4] ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12. 8．若抛物线y ＝x 2与直线2x ＋y ＋m ＝0相切，则m ＝________. [答案] 1[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，易知，y ′|x ＝x 0＝2x 0.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0＝－2y 0＝x 20，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝1，即P (－1,1)，又P (－1,1)在直线2x ＋y ＋m ＝0上， 故2×(－1)＋1＋m ＝0，即m ＝1. 三、解答题9．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切． (1)求切点的坐标； (2)求a 的值．[答案] (1)⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1) (2)3227[解析] (1)设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)． f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2＋1－(x 3－x 2＋1)Δx ＝3x 2－2x .由题意知，k ＝1，即3x 20－2x 0＝1，解得x 0＝－13或x 0＝1. 于是切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，2327或(1,1)． (2)当切点为⎝⎛⎭⎫－13，2327时，2327＝－13＋a ，∴a ＝3227； 当切点为(1,1)时，1＝1＋a ，∴a ＝0(舍去)． ∴a 的值为3227，切点坐标为(－13，2327)．10．求下列函数的导数．(1)求函数y ＝x 在x ＝1处的导数； (2)求y ＝x 2＋ax ＋b (a ，b 为常数)的导数． [答案] (1)y ′|x ＝1＝12 (2)y ′＝2x ＋a[解析] (1)解法一：(导数定义法)：Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx＝11＋Δx ＋1.lim Δx →0＝11＋Δx ＋1＝12，∴y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)：Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －xΔx ＝1x ＋Δx ＋x .∴lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x＝12x . ∴y ′＝12x，∴y ′|x ＝1＝12.(2)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋b －(x 2＋ax ＋b )Δx ＝lim Δx →0 x 2＋2x (Δx )＋(Δx )2＋ax ＋a (Δx )＋b －x 2－ax －b Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋a (Δx )＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋a ＋Δx ) ＝2x ＋a .一、选择题1．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1B ．π4C.54π D ．－π4[答案] B[解析] 由导数的定义可知f ′(x )＝x ， 所以f ′(1)＝1＝tan θ，故θ＝π4.2．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则ab 的值为( )A.23 B ．－23C.13 D ．－13[答案] D[解析] 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3， 由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13.3．已知函数y ＝f (x )的图像如图，f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．0>f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )<0C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．f ′(x A )>f ′(x B )>0[答案] B[解析] f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图像在点A ，B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )<0. 4．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2 D ．y ＝－2x ＋2[答案] A [解析]∵f ′(x )＝lim Δx →0 (Δx ＋x )3－2(Δx ＋x )＋1－x 3＋2x －1Δx ＝lim Δx →0 (Δx )3＋3x ·(Δx )2＋3x 2·Δx －2Δx Δx ＝lim Δx →0((Δx )2＋3x ·Δx ＋3x 2－2)＝3x 2－2， ∴f ′(1)＝3－2＝1， ∴切线的方程为y ＝x －1. 二、填空题5．函数y ＝f (x )的图像在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.[答案] 2[解析] 由条件知，f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝－1， ∴f (5)＋f ′(5)＝2.6．如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4)，则f [f (0)]＝__________；lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)[答案] 2 －2[解析] 考查函数的基本概念、图像与导数的定义．易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)x －2 (2<x ≤6)，∴f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2(也可直接由图示得知) 由导数的定义知lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝f ′(1)＝－2.三、解答题7．已知曲线C ：y ＝1t －x 经过点P (2，－1)，求(1)曲线在点P 处的切线的斜率． (2)曲线在点P 处的切线的方程． (3)过点O (0,0)的曲线C 的切线方程． [答案] (1)1 (2)x －y －3＝0 (3)y ＝4x[解析] (1)将P (2，－1)代入y ＝1t －x中得t ＝1， ∴y ＝11－x.∴Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝11－(x ＋Δx )－11－x Δx ＝1(1－x －Δx )(1－x )，∴lim Δx →0Δy Δx ＝1(1－x )2， ∴曲线在点P 处切线的斜率为k ＝y ′|x ＝2＝1(1－2)2＝1.(2)曲线在点P 处的切线方程为y ＋1＝1×(x －2)，即x －y －3＝0.(3)∵点O (0,0)不在曲线C 上，设过点O 的曲线C 的切线与曲线C 相切于点M (x 0，y 0)，则切线斜率k ＝y 0x 0＝1(1－x 0)2，由于y 0＝11－x 0，∴x 0＝12，∴切点M (12，2)，切线斜率k ＝4，切线方程为y －2＝4(x －12)，即y ＝4x .8．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1、l 2和x 轴围成的三角形的面积 [答案] (1)y ＝－13x －229 (2)12512[解析] (1)y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx ＝lim Δx →0 2x (Δx )＋(Δx )2＋Δx Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1. ∴f ′(1)＝2×1＋1＝3，∴直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)，则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2. ∵l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23.∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16y ＝－52.故直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)．l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)、(－223，0)．所以所求三角形的面积S ＝12×253×|－52|＝12512.。
2023年新高考数学一轮复习4-1 导数的概念、运算及导数的几何意义(真题测试)含详解
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）A ．e 2B ．eCD ．2e二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（ ） A ． B ．C ．D ．10．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则（ ）A ．()sin cos f x x x x '=-B ．()sin cos f x x x x '=+C ．()ππf '=-D ．2πa =-11．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（ ）A．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r > C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=12．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ）A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤三、填空题13．（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．14．（2015·全国·高考真题（文））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．15.（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16．（2012·浙江·高考真题（文））定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 四、解答题17．（2022·浙江·高三专题练习）已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．18．（2021·全国·高三专题练习）已知曲线313y x =.求该曲线的过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程.19．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限． (1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．20．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =）（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤） （2）求1122n n PQ P Q P Q +++21．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线()()()211ln ,2f x x x x ax b a b =+--+∈R 在1x =处的切线经过坐标原点．(1)求b 的值；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围．22．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x=．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】C 【解析】 【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可. 【详解】①21121y x ∆-==∆-，②41321y x ∆-==∆-，③81721y x ∆-==∆-，④1112212y x -∆==-∆-． 故选：C ．2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-， 因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 【答案】A 【解析】【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件；当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件；当y ＝ex 时，y ′＝ex ＞0恒成立，不满足条件；当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞)【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ． 8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 2B ．e CD ．2e【答案】B 【解析】 【分析】分别设公切线与()21f x x =+和:()2ln 1C g x a x =+的切点()211,1x x +，()22,2ln 1x a x +，根据导数的几何意义列式，再化简可得2222222ln a x x x =-，再求导分析22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>的最大值即可【详解】()2f x x '=，()2a g x x'=，设公切线与()21f x x =+的图象切于点()211,1x x +，与曲线:()2ln 1C g x a x =+切于点()22,2ln 1x a x +，∴()()2221211221212ln 1122ln 2a x x a a x x x x x x x x +-+-===--，故12a x x =，所以212211212ln 2x x x x x x x -=-，∴122222ln x x x x =-⋅，∵12a x x =，故2222222ln a x x x =-，设22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>，则()2(12ln )h x x x '=-，∴()h x在上递增，在)+∞上递减，∴max ()e h x h ==， ∴实数a 的最大值为e 故选：B. 二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（ ）A ． B ．C ．D ．【答案】ACD 【解析】 【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果. 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B 满足条件，所以在时间[0，T ]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD 选项， 故选：ACD.10．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则（ ）A ．()sin cos f x x x x '=-B ．()sin cos f x x x x '=+C ．()ππf '=-D ．2πa =-【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知，选项A 、选项B ，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C ，可将πx =带入求解出的()f x '中进行求解判断，选项D ，根据求解出的()πf '结合直线方程的斜率，利用在πx =处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出a 的值.【详解】选项A ，已知曲线()sin 1f x x x =-，所以()sin cos f x x x x '=+，故该选项错误； 选项B ，已知曲线()sin 1f x x x =-，所以()sin cos f x x x x '=+，故该选项正确；选项C ，因为()sin cos f x x x x '=+，所以()πsin ππcos πf '=+0ππ=-=-，故该选项正确；选项D ，直线210ax y ++=的斜率为2a-，而()ππf '=-，由已知，曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，所以(π)12a--=-，所以2πa =-，该选项正确； 故选：BCD.11．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r > C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=【答案】BD 【解析】 【分析】 A ：设()()()()1021tan ,tan =1021r r r r αθ--=--，由图得αθ>，所以该选项错误； B:根据图象和导数的几何意义得()()12r r '>'，所以该选项正确； C:设120,3,V V == 3(3)()22r r >，所以该选项错误；D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确. 【详解】 解：A ：设()()()()1021tan ,tan =1021r r r r αθ--=--，由图得αθ>，所以tan tan ,αθ>所以()()()()10211021r r r r -->--，所以该选项错误；B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得()()12r r '>'，所以该选项正确；C:设()()1212123(3)=(0,3,),2222r V r V V V r r V V r ++⎛⎫= ⎪⎝⎭==∴，因为3()(0)2r r ->3(3)(),2r r -所以3(3)()22r r >，所以该选项错误； D:()()2121r V r V V V --表示1122(,()),(,())A V r V B V r V 两点之间的斜率，()0r V '表示00(,())C V r V 处切线的斜率，由于()012,V V V ∈，所以可以平移直线AB 使之和曲线相切，切点就是点C ,所以该选项正确. 故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ） A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出a ，b 的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答. 【详解】设直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ， 由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =， 因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，对于A ，211212()2228a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当122a b ==时取“=”，A 正确；对于B ，21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有232≤，=4a b =时取“=”，由214a b a b+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，max C 正确； 对于D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，11(,1)2a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，33a b +<，D 不正确. 故选：AC 三、填空题13．（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________． 【答案】3 【解析】'()ln f x a x a =+，所以'(1)3f a ==．14．（2015·全国·高考真题（文））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________． 【答案】8 【解析】 【详解】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.15.（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.16．（2012·浙江·高考真题（文））定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 【答案】94【解析】 【详解】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.四、解答题17．（2022·浙江·高三专题练习）已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．【答案】()2442f x x x =++【解析】 【分析】分析可知，函数()f x 为二次函数，可设()()20f x ax bx c a =++≠，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】由()f x '为一次函数可知()f x 为二次函数．设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+．所以，()()()()()()222212212x f x x f x x ax b x ax bx c '--=+--++=，即()()2220a b x b c x c -+-+-=，所以，02020a b b c c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得442a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()2442f x x x =++.18．（2021·全国·高三专题练习）已知曲线313y x =.求该曲线的过点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.【答案】123160x y --=或3320x y -+=. 【解析】 【分析】设出曲线过P 点的切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标带入到切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可. 【详解】解：设切点坐标为()00,x y ，切点在曲线上，∴在点()00,x y 处切线的斜率为020x x k y x =='=.∴切线方程为()2000y y x x x -=-.又切线过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且切点()00,x y 在曲线313y x =上()200030082,31,3y x x y x ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩整理得3200340x x -+=，即()()200210x x -+=，解得02x =或01x =-.∴当02x =，083y =，即切线斜率为4时，切线的方程为123160x y --=；当01x =-，031y =-，即切线斜率为1时，切线的方程为3320x y -+=.综上，所求切线方程为123160x y --=或3320x y -+=.19．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限． (1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程． 【答案】(1)(1,4)--； (2)4170x y ++=. 【解析】 【分析】（1）设点000(,)P x y ，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答. （2）求出直线l 的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答. (1)由32y x x =+-求导得：231y x '=+，设切点000(,)P x y ，而点0P 在第三象限，即000,0x y <<，依题意，20314x +=，解得：01x =-，此时，04y =-，显然点(1,4)--不在直线410x y --=上，所以切点0P 的坐标为(1,4)--. (2)直线1l l ⊥，而1l 的斜率为4，则直线l 的斜率为14-，又l 过切点0P (1,4)--，于是得直线l 的方程为14(1)4y x +=-+，即4170x y ++=，所以直线l 的方程为：4170x y ++=.20．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =）（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤）（2）求1122n n PQ P Q P Q +++【答案】（1）11k k x x -=-()2k n ≤≤（2）11ne e e --- 【解析】 【详解】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x 轴的交点坐标；（2）尝试求出通项n n P Q 的表达式，然后再求和．（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵x y e =，∴x y e '=， ∴111(,)k x k k Q x e---，在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-，令0y =，则11k k x x -=-（2k n ）．（2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--，∴(1)k x k k k PQ e e--==，于是有 112233n n PQ PQ PQ P Q ++++12(1)1111n k e e e ee -------=++++=-11ne e e --=-， 即112233n n PQ PQ PQ P Q ++++11ne e e --=-．21．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线()()()211ln ,2f x x x x ax b a b =+--+∈R 在1x =处的切线经过坐标原点．(1)求b 的值； (2)若()0f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】(1)32b = (2)[)1,+∞【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得()f x 在1x =处的切线方程，代入坐标原点即可求得b ；（2）采用分离变量的方式可得()1131ln 22a g x x x x x ⎛⎫≥=+-+ ⎪⎝⎭，利用导数可求得()g x 单调性，由此可得()max 1g x =，进而得到a 的取值范围.(1)()1ln x f x x x a x+'=+--，()11f a '∴=-，又()112f a b =--+，()f x ∴在1x =处的切线为：()()1112y a b a x ++-=--，又该切线过原点，112a b a ∴+-=-+，解得：32b =.(2)由（1）得：()()2131ln 22f x x x x ax =+--+，()f x 定义域为()0,∞+；若()0f x ≤恒成立，则1131ln 22a x x x x ⎛⎫≥+-+ ⎪⎝⎭；令()1131ln 22g x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()222ln 212x x x g x x--+-'=； 令()22ln 21h x x x x =--+-，则()()221x x h x x-+'=-；210x x -+>恒成立，()0h x '∴<，()h x ∴在()0,∞+上单调递减，又()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 131122g x g ∴==-+=，1a ∴≥，即a 的取值范围为[)1,+∞.22．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程； （Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）[方法一]：导数法显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--， 令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. [方法二]【最优解】：换元加导数法 ()()2222121121()12(0)2|2|4||t t S t t t t t ++=⋅⋅+=⋅≠．因为()S t 为偶函数，不妨设0t >，221()4S t =⋅，令a =2,0t a a =>．令412()a g a a +=，则面积为21[()]4S g a =，只需求出412()a g a a+=的最小值．34422412312()a a a a g a a a ⋅---='=()()()222223223(2a a a a a a a-++==．因为0a >，所以令()0g a '=，得a = 随着a 的变化，(),()g a g a '的变化情况如下表：所以min [()]g a g ===所以当a =2t =时，2min 1[()]324S t =⨯=． 因为[()]S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==． 综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出412()(0)a g a a a +=>的最小值．令4312444()a g a a a a a a +==+++≥=当且仅当34a a=，即a =所以当a =2t =时，2min 1[()]324S t =⨯=．因为()S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到()()()()()22222222222121241646464()41616324||444tt t t S t t t t t t ++++++=≥==+++≥=+++ ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.60。
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习18 导数的概念及其意义、导数的运算
高考数学总复习考点知识讲解与提升练习 专题18 导数的概念及其意义、导数的运算考点知识1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝. f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(2)函数y ＝f (x )的导函数(简称导数)f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； [f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)；[cf (x )]′＝cf ′(x )． 5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f (x )′＝－f ′(x )[f (x )]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.(×) (4)(cos2x ) ′＝－2sin2x .(√) 教材改编题1．若函数f (x )＝3x ＋sin2x ，则() A ．f ′(x )＝3x ln3＋2cos2x B ．f ′(x )＝3x ＋2cos2x C ．f ′(x )＝3xln3＋cos2xD ．f ′(x )＝3xln3－2cos2x答案A解析因为函数f (x )＝3x ＋sin2x ， 所以f ′(x )＝3x ln3＋2cos2x .2．函数f (x )＝e x ＋1x在x ＝1处的切线方程为．答案y ＝(e －1)x ＋2解析由题意得，f ′(x )＝e x－1x2，∴f ′(1)＝e －1，又∵f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.3．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝. 答案－1e解析由题意得f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，解得a ＝－1e.题型一导数的运算例1(1)(多选)下列求导正确的是() A ．[(3x ＋5)3]′＝9(3x ＋5)2 B ．(x 3ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x x 2′＝2x cos x ＋4sin x x 3D ．(2x ＋cos x )′＝2x ln2－sin x 答案ABD解析对于A ，[(3x ＋5)3]′＝3(3x ＋5)2(3x ＋5)′＝9(3x ＋5)2，故A 正确； 对于B ，(x 3ln x )′＝(x 3)′ln x ＋x 3(ln x )′＝3x 2ln x ＋x 2，故B 正确； 对于C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin x x 2′＝(2sin x )′x 2－2sin x (x 2)′x 4＝2x cos x －4sin x x 3，故C 错误；对于D ，(2x ＋cos x )′＝(2x )′＋(cos x )′＝2x ln2－sin x ，故D 正确．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4答案C解析因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(1)(多选)下列求导运算正确的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝xe x，则f′(x)＝1－xe xD．若f(x)＝x ln x，则f′(x)＝ln x＋1答案ACD解析f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f (x )＝xe x ，f ′(x )＝e x －x e x (e x )2＝1－xex ，故C 正确；f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝(x )′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1，故D 正确．(2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝.答案π236＋2π3解析∵f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f (x )＝x 2＋4π3sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.题型二导数的几何意义 命题点1求切线方程例2(1)(2023·大同模拟)已知函数f (x )＝2e 2ln x ＋x 2，则曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为()A ．4e x －y ＋e 2＝0B ．4e x －y －e 2＝0C ．4e x ＋y ＋e 2＝0D ．4e x ＋y －e 2＝0 答案B解析因为f (x )＝2e 2ln x ＋x 2，所以f ′(x )＝2e 2x＋2x ，所以f (e)＝2e 2lne ＋e 2＝3e 2，f ′(e)＝4e ，所以曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y －3e 2＝4e(x －e)，即4e x －y －e 2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y ＝ln|x |过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________. 答案y ＝1e xy ＝－1ex解析先求当x >0时，曲线y ＝ln x 过原点的切线方程，设切点为(x 0，y 0)， 则由y ′＝1x ，得切线斜率为1x 0，又切线的斜率为y 0x 0，所以1x 0＝y 0x 0，解得y 0＝1，代入y ＝ln x ，得x 0＝e ， 所以切线斜率为1e ，切线方程为y ＝1e x .同理可求得当x <0时的切线方程为y ＝－1e x .综上可知，两条切线方程为y ＝1e x ，y ＝－1e x .命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·重庆模拟)已知a 为非零实数，直线y ＝x ＋1与曲线y ＝a ln(x ＋1)相切，则a ＝________. 答案e解析设切点坐标为(t ，a ln(t ＋1))，对函数y ＝a ln(x ＋1)求导得y ′＝a x ＋1，所以⎩⎨⎧at ＋1＝1，a ln (t ＋1)＝t ＋1，解得t ＝e －1，a ＝e.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y ＝(x ＋a )e x ，所以y ′＝(x ＋a ＋1)e x .设切点为A (x 0，(x 0＋a )0e x )，O 为坐标原点，依题意得，切线斜率k OA ＝y ′|0x x ＝＝(x 0＋a ＋1)0e x ＝000()e x x a x +，化简，得x 20＋ax 0－a ＝0.因为曲线y ＝(x ＋a )e x 有两条过坐标原点的切线，所以关于x 0的方程x 20＋ax 0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a 2＋4a >0，解得a <－4或a >0，所以a 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 的切线”． 跟踪训练2(1)曲线f (x )＝x 2＋x －2e x在(0，f (0))处的切线方程为()A ．y ＝3x －2B ．y ＝3x ＋2C ．y ＝－3x －2D ．y ＝－3x ＋2 答案A解析由题知f ′(x )＝(2x ＋1)e x －(x 2＋x －2)e x (e x )2＝－x 2＋x ＋3e x ，所以f ′(0)＝3，f (0)＝－2，所以曲线f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y －(－2)＝3(x －0)，即y ＝3x －2.(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y ＝a cos x x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π，－a π处的切线方程为y ＝2π2x ＋b ，则a 的值是() A.4πB ．－2C ．－4πD ．2解析令y ＝f (x )＝a cos x x ，则f ′(x )＝－a (x sin x ＋cos x )x 2， 曲线在点⎝⎛⎭⎪⎫π，－a π处的切线的斜率为f ′(π)＝a π2＝2π2，解得a ＝2. 题型三两曲线的公切线例4(1)若直线l ：y ＝kx ＋b (k >1)为曲线f (x )＝e x －1与曲线g (x )＝eln x 的公切线，则l 的纵截距b 等于() A ．0B ．1C ．eD ．－e 答案D解析设l 与f (x )的切点为(x 1，y 1)，则由f ′(x )＝e x －1，得l ：y ＝11e x x －＋(1－x 1)11e x －. 同理，设l 与g (x )的切点为(x 2，y 2)， 则由g ′(x )＝e x ，得l ：y ＝ex 2x ＋e(ln x 2－1)．故⎩⎨⎧11e x －＝ex 2，(1－x 1)11e x －＝e (ln x 2－1).解得⎩⎨⎧x 1＝1，x 2＝e或⎩⎨⎧x 1＝2，x 2＝1.则l ：y ＝x 或y ＝e x －e.因为k >1，所以l ：y ＝x 不成立，故b ＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y ＝ln x －1与y ＝ax 2存在公切线，则正实数a 的取值范围是()A ．(0,2e] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12e －3，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤0，12e －3D ．[2e ，＋∞)解析设公切线与曲线y ＝ln x －1和y ＝ax 2的切点分别为(x 1，ln x 1－1)，(x 2，ax 22)，其中x 1>0，对于y ＝ln x －1有y ′＝1x ，则y ＝ln x －1的切线方程为y －(ln x 1－1)＝1x 1(x －x 1)，即y ＝xx 1＋ln x 1－2，对于y ＝ax 2有y ′＝2ax ，则y ＝ax 2的切线方程为y －ax 22＝2ax 2(x －x 2)，即y ＝2ax 2x －ax 22，所以⎩⎨⎧1x 1＝2ax 2，ln x 1－2＝－ax 22，则－14ax 21＝ln x 1－2，即14a＝2x 21－x 21ln x 1(x 1>0)， 令g (x )＝2x 2－x 2ln x ，则g ′(x )＝3x －2x ln x ＝x (3－2ln x )， 令g ′(x )＝0，得x ＝32e ，当x ∈(0，32e )时，g ′(x )>0，g (x )单调递增； 当x ∈(32e ，＋∞)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减， 所以g (x )max ＝g (32e )＝12e 3，故0<14a ≤12e 3，即a ≥12e －3.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝x 2－m ，h (x )＝6ln x －4x ，设两曲线y ＝f (x )与y ＝h (x )在公共点处的切线相同，则m 等于() A ．－3B ．1C ．3D ．5 答案D解析依题意，设曲线y ＝f (x )与y ＝h (x )在公共点(x 0，y 0)处的切线相同． ∵f (x )＝x 2－m ，h (x )＝6ln x －4x ， ∴f ′(x )＝2x ，h ′(x )＝6x－4，∴⎩⎨⎧f (x 0)＝h (x 0)，f ′(x 0)＝h ′(x 0)，即⎩⎨⎧x 20－m ＝6ln x 0－4x 0，2x 0＝6x－4，∵x 0>0，∴x 0＝1，m ＝5.(2)已知f (x )＝e x －1，g (x )＝ln x ＋1，则f (x )与g (x )的公切线有() A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条 答案C解析根据题意，设直线l 与f (x )＝e x －1相切于点(m ，e m －1) ，与g (x )相切于点(n ，ln n ＋1)(n >0)，对于f (x )＝e x －1，f ′(x )＝e x ，则k 1＝e m ， 则直线l 的方程为y ＋1－e m ＝e m (x －m ) ， 即y ＝e m x ＋e m (1－m )－1，对于g (x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝1x ，则k 2＝1n，则直线l 的方程为y －(ln n ＋1)＝1n(x －n )，即y ＝1nx ＋ln n ，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则⎩⎨⎧e m＝1n ，(1－m )e m＝ln n ＋1，可得(1－m )(e m －1)＝0，即m ＝0或m ＝1，则切线方程为y ＝e x －1或y ＝x ，故f (x )与g (x )的公切线有两条．课时精练1．(2023·广州模拟)曲线y ＝x 3＋1在点(－1，a )处的切线方程为() A ．y ＝3x ＋3B ．y ＝3x ＋1 C ．y ＝－3x －1D ．y ＝－3x －3 答案A解析因为f ′(x )＝3x 2，所以f ′(－1)＝3， 又当x ＝－1时，a ＝(－1)3＋1＝0，所以y ＝x 3＋1在点(－1，a )处的切线方程为y ＝3(x ＋1)， 即y ＝3x ＋3.2．记函数f (x )的导函数为f ′(x )．若f (x )＝e x sin2x ，则f ′(0)等于() A ．2B ．1C ．0D ．－1答案A解析因为f(x)＝e x sin2x，则f′(x)＝e x(sin2x＋2cos2x)，所以f′(0)＝e0(sin0＋2cos0)＝2.3．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝12x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于()A．1B．2C．3D．4 答案C解析由题意得f(1)＝12×1＋2＝52，f′(1)＝1 2，所以f(1)＋f′(1)＝52＋12＝3.4．已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l 的斜率为()A．－2B．2C．－eD．e答案B解析设切点坐标为(t，t ln t)，∵f(x)＝x ln x，∴f′(x)＝ln x＋1，直线l的斜率为f′(t)＝ln t＋1，∴直线l的方程为y－t ln t＝(ln t＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－t ln t＝－t(ln t＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.5．已知函数f (x )＝a ln x ，g (x )＝b e x ，若直线y ＝kx (k >0)与函数f (x )，g (x )的图象都相切，则a ＋1b的最小值为()A ．2B ．2eC ．e 2D. e 答案B解析设直线y ＝kx 与函数f (x )，g (x )的图象相切的切点分别为A (m ，km )，B (n ，kn )．由f ′(x )＝ax，有⎩⎨⎧km ＝a ln m ，am ＝k ，解得m ＝e ，a ＝e k .又由g ′(x )＝b e x，有⎩⎨⎧kn ＝b e n，b e n＝k ，解得n ＝1，b ＝ke，所以a ＋1b ＝e k ＋ek≥2e 2＝2e ，当且仅当a ＝e ，b ＝1e时等号成立．6．(多选)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新不动点”，则下列函数中只有一个“新不动点”的是() A ．g (x )＝x ·2xB ．g (x )＝－e x －2xC ．g (x )＝ln xD ．g (x )＝sin x ＋2cos x 答案ABC解析对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln2，由x·2x＝2x＋x·2x·ln2，解得x＝11－ln2，∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；对于B，g′(x)＝－e x－2，由－e x－2＝－e x－2x，得x＝1，∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；对于C，g′(x)＝1 x ，根据y＝ln x和y＝1x的图象可看出ln x＝1x只有一个实数根，∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，得3sin x＝－cos x，∴tan x＝－1 3，根据y＝tan x和y＝－13的图象可看出方程tan x＝－13有无数个解，∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝.答案ln x (答案不唯一)解析若函数f (x )＝ln x ，则f (x 1x 2)＝ln(x 1x 2)＝ln x 1＋ln x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，满足①；f (x )＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1x>0，满足②，故f (x )＝ln x 符合题意．8．已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)·(x －5)，则f ′(3)＝________. 答案12解析由题意得，f ′(x )＝x (x －1)(x －2)(x －4)(x －5)＋(x －3)[x (x －1)(x －2)(x －4)(x －5)]′，所以f ′(3)＝3×(3－1)×(3－2)×(3－4)×(3－5)＋0＝12. 9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x . (1)求f ′(e)及f (e)的值；(2)求f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程． 解(1)∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，∴f ′(e)＝－1e ，f (x )＝－2xe ＋ln x ，∴f (e)＝－2ee ＋lne ＝－1.(2)∵f (x )＝－2x e ＋ln x ，f ′(x )＝－2e ＋1x， ∴f (e 2)＝－2e 2e ＋lne 2＝2－2e ，f ′(e 2)＝－2e ＋1e2，∴f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线方程为y －(2－2e)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2e ＋1e 2(x －e 2)，即(2e －1)x ＋e 2y －e 2＝0.10．(2022·全国甲卷)已知函数f (x )＝x 3－x ，g (x )＝x 2＋a ，曲线y ＝f (x )在点(x 1，f (x 1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．解(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3x21－1，又f(x1)＝x31－x1，所以切线方程为y－(x3－x1)＝(3x21－1)(x－x1)，1即y＝(3x21－1)x－2x31.将y＝(3x21－1)x－2x31代入y＝x2＋a，得x2－(3x21－1)x＋a＋2x31＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(3x21－1)2－4(a＋2x31)＝0，整理，得4a＝9x41－8x31－6x21＋1.令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．由h′(x)＝0，得x＝－13，0,1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，↘由表知，当x＝－13时，h(x)取得极小值h⎝⎛⎭⎪⎫－13＝2027，当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．11．已知曲线y＝e x在点(x1，1e x)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于()A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案B解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x x －1e x x 1＋1e x ，曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得⎩⎨⎧1ex ＝1x 2，1ex －1e x x 1＝－1＋ln x 2，解得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lne x ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1， 又x 2＝11ex ， 所以x 2＝x 1－1x 1＋1， 所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1， 所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.12．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为00型分式，比如：当x →0时，e x －1x的极限即为00型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：lim x →0e x －1x ＝lim x →0(e x －1)′x ′＝lim x →0e x 1＝lim x →0e x ＝e 0＝1，则lim x →1x 2ln x x 2－1＝.答案12解析lim x →1x 2ln x x 2－1＝lim x →1(x 2ln x )′(x 2－1)′＝lim x →12x ln x ＋x 2x ＝lim x →1⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋12＝ln1＋12＝12.13．已知a ，b 为正实数，直线y ＝x －a2与曲线y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2相切，则a 24－b 的取值范围是()A ．(－∞，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．[1，＋∞) D．(0,1) 答案D解析函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋b 2的导函数为y ′＝1x ＋b 2，令y ′＝1x ＋b 2＝1，解得x ＝1－b 2，所以切点为⎝⎛⎭⎪⎫1－b 2，0，代入y ＝x －a2，得a ＋b ＝2， 因为a ，b 为正实数，所以a ∈(0,2)， 则a 24－b＝a 22＋a，令g(a)＝a22＋a，a∈(0,2)，则g′(a)＝a(a＋4)(2＋a)2>0，则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)<g(a)<g(2)＝1，即g(a)∈(0,1)，所以a24－b∈(0,1)．14．设a i(i＝0,1,2，…，2022)是常数，对于∀x∈R，都有x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022·(x－1)(x－2)…(x－2022)，则－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2020！a2021－2021！a2022＝________.答案2021解析因为x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)·(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)，则令x＝1，可得a0＝1.对x2022＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)(x－2)＋…＋a2022(x－1)(x－2)…(x－2022)两边求导可得2022x2021＝a1＋a2[(x－1)(x－2)]′＋…＋a2022[(x－1)(x－2)…(x－2022)]′，令f n(x)＝(x－1)(x－2)…(x－n)，则f n′(x)＝(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－n)]′＋(x－2)(x－3)…(x－n)，所以f n′(1)＝(1－2)×…×(1－n)＝(－1)n－1(n－1)！，所以2022×12021＝a1＋a2×(－1)1×1＋a3×(－1)2×2！＋…＋a2022×(－1)20212021！，故2022＝a1－a2＋2！a3－…－2021！a2022，所以－a0＋a1－a2＋2！a3－3！a4＋4！a5－…＋2020！a2021－2021！a2022＝2022－1＝2021.21 / 21。
高中数学导数专题01 导数的概念及其几何意义(练)(解析版)
专题01 导数的概念及其几何意义A 组 基础巩固1.在平均变化率的定义中，自变量的增量x ∆是（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆≠D ．0x ∆= 【答案】 C【解析】 x ∆可正可负但不能为零。
2．（2021·全国高二课时练习）汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[][][]011223,,,,,t t t t t t 上的平均速度分别为123,,v v v ，则三者的大小关系为（ ）A ．231v v v =<B ．123v v v <=C ．123v v v <<D ．231v v v <<【答案】C【分析】由平均变化率的几何意义判断．【详解】由题意得，123,,OA AB BC v k v k v k ===，由题图易知OA AB BC k k k <<， ∴123v v v <<，故选：C.3．（2021·全国高二单元测试）已知()y f x =的图象如图所示，则()A f x '与()B f x '的大小关系是（ ）A ．f ′(x A )＞f ′(xB ) B ．f ′(x A )＜f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定【答案】B【分析】根据导数的几何意义，结合图象可得答案.【详解】由导数的几何意义可知，f ′(x A )，f ′(x B )分别是切线在点A 、B 处切线的斜率， 由图象可知f ′(x A )＜f ′(x B )．故选：B4．（2021·全国高二课时练习）（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c 与时间t 的关系为()c f t =，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t 变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是（ ）A ．在1t 时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B ．在2t 时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C ．在23[,]t t 这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D ．在12[,]t t ，23[,]t t 两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同． 【答案】ACD 【分析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项. 【详解】对于A ，在1t 时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A 正确；对于B ，甲、乙两人在2t 时刻的切线的斜率不相等，即两人的()2f t '不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B 错误；对于C ，根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是()()3232f t f t t t --，故C 正确；对于D ，在[]12,t t 时间段，甲的平均变化率是()()2121f t f t t t --，在[]23,t t 时间段，甲的平均变化率是()()3232f t f t t t --，显然不相等，故D 正确．故选：ACD 【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是()()f t t f t t+-.5.（2021·全国高二单元测试）一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么s t∆∆为（ ）A ．在t 时刻该物体的瞬时速度B ．当时间为Δt 时物体的瞬时速度C ．从时间t 到t ＋t ∆时物体的平均速度D ．以上说法均错误 【答案】C【分析】根据函数的平均变化率的定义判断． 【详解】根据平均变化率的概念可知， st∆∆表示从时间t 到t ＋t ∆时物体的平均速度． 故选：C ．6.（2021·全国高二单元测试）在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1，2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则y x∆∆为（ ）A ．Δx ＋12x ∆+B ．Δx －1x∆－2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1x∆ 【答案】C【分析】根据平均变化率的定义计算．【详解】Δy ＝f (1＋Δx )－f （1）＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴yx∆∆＝Δx ＋2． 故选：C ．7．（2021·全国高二单元测试）酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8 cm ，上口宽6 cm ，水以20 cm 3/s 的流量倒入杯中，当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为________．【答案】80cm /s 9π【分析】利用体积公式计算得到1312803t h π⎛⎫= ⎪⎝⎭，再求出水深为4cm ，对应的时间为0t 的大小，最后利用导数可求瞬时变化率. 【详解】由题意，设t 时刻水面高为h ，水面圆半径为r , 则38r h =可得 3,8r h = 此时水的体积为2313364r h h ππ⨯⨯⨯= 又由题设条件知，此时的水量为20t故有3320,64t h π= 故有1312803t h π⎛⎫= ⎪⎝⎭23112801280333t h ππ-⎛⎫'=⨯⨯ ⎪⎝⎭当水深为4cm ，对应的时间为0t ，则0320t π=23312801128020333t th πππ-=⎛⎫⨯ ⎪=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝'⎭809π= 所以当水深为4 cm 时，水升高的瞬时变化率为80cm /s 9π故答案为：80cm /s 9π【点睛】注意导数可以用来求瞬时速度、瞬时加速度等，这类问题的关键是要找到两类变量之间的关系.8．（2021·全国高二单元测试）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s 与时间t 之间的函数关系为218s t =，则2t =时，木块的瞬时速度为________．【答案】12【分析】利用导数的定义可知，函数218s t =在2t =处的导数值即是木块在2t =处的瞬时速度. 【详解】解：2211()118848t t t s t t t t +∆-∆==+∆∆∆. 当2t =，且t ∆趋于0时，s t∆∆趋于12．故答案为：12. 9.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则[(0)]f f = ；0(1)(1)limx f x f x∆→+∆-∆= .【答案】 2，- 2【解析】 由图可知：f(0)=4,f(4)=2; f(x)=-2x+4,带入可得。
高二数学导数的概念和几何意义试题
高二数学导数的概念和几何意义试题1.如果曲线和直线相切，则 .【答案】【解析】设曲线与直线的切点坐标为（m,n）,由题意可知,所以-3 =-6，得m= ,带入得,或，代入，求得.【考点】导数的几何意义.2.已知函数（）.（1）当时，求的图象在处的切线方程；（2）若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；（3）若函数的图象与轴有两个不同的交点，且，求证：（其中是的导函数）．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】解题思路：（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用该区间上的极值的正负判断函数零点的个数；（3）通过构造函数求最值进行证明.规律总结：利用导数研究函数的性质是常见题型，主要是通过导数研究函数的单调性、求单调区间、求极值、最值以及不等式恒成立等问题，往往计算量较大，思维量大，要求学生有较高的逻辑推理能力.试题解析：（1）当时，，，切点坐标为，切线的斜率，则切线方程为，即.（2），则，因，故时，.当时，；当时，.所以在处取得极大值.又，，，则，在上有两个零点，则解得，即实数的取值范围是.（3）因为的图象与轴交于两个不同的点，所以方程的两个根为，则两式相减得.又，，则.下证（*），即证明，，因为，∴，即证明在上恒成立.所以，又，∴，所以在上是增函数，则，从而知，故（*）式成立，即成立.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的零点.3.一物体做加速直线运动，假设（s）时的速度为，则时物体的加速度为．【答案】4【解析】由导数的物理意义知：物体的加速度为速度的导函数，所以时物体的加速度为【考点】加速度为速度的导函数4.下列关于函数的性质叙述错误的是（）A．在区间上单调递减B．在定义域上没有最大值C．在处取最大值3D．的图像在点处的切线方程为【答案】C【解析】因为，于是可得00极小值当时，，当时，所以可知A、B正确，C不正确，在处取得极大值3，并不是最大值而的图像在点处的切线的斜率为，故此时的切线方程为综上可知，只有C是错误的，故选C．【考点】导数在研究函数性质上的应用．5.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为18.则( )A．64B．32C．16D．8【答案】A【解析】求导数可得，所以在点处的切线方程为：，令x=0，得y＝；令y=0，得x=3a．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积 S＝，解得a=64故选A．【考点】导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点切线方程.6.已知．若曲线在处的切线与直线平行，求a的值；当时，求的单调区间．【答案】（1）；（2）单调递增区间为，；单调递减区间为【解析】（1）先求导，由直线方程可知此直线斜率为2，则曲线在处的切线的斜率也为2.由导数的几何意义可知。
(完整版)导数的几何意义(基础练习题)
导数的几何意义（1）1.设f(x)＝1x，则limx→af x－f ax－a等于( )A．－1aB.2aC．－1a2D.1a22．在曲线y＝x2上切线倾斜角为π4的点是( )A．(0,0) B．(2,4)C．(14，116) D．(12，14)3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A．1 B.1 2C．－12D．－14．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处切线方程为2x＋y＋1＝0，则( )A．h′(a)<0 B．h′(a)>0C．h′(a)＝0 D．h′(a)的符号不定5．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝18t2，则当t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.146．函数f (x )＝－2x 2＋3在点(0,3)处的导数是________．7．如图是函数f (x )及f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.8．设曲线y ＝x 2在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为________．9．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．10．求双曲线y ＝1x 在点(12，2)处的切线的斜率，并写出切线方程．导数的几何意义（2）1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在2．函数在处的切线斜率为（ ） A ．0 B 。
1 C 。
2 D 。
33．曲线y ＝12x 2－2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32处切线的倾斜角为( )A ．1B.π4 C.54πD ．－π44．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 5．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－26．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x轴斜交7．函数在点处的导数的几何意义是__________________________________________________;曲线在点P处的切线方程为是_____________________________________________.8．已知函数f(x)＝x2＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_________________________9．求过点P(-1,2)且与曲线y=3x2-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程10．若曲线f(x)=ax3+3x2+2在x=-1处的切线斜率为4，求a的值。
高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.2导数的概念及其几何意义要点一 导数的概念1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】(1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若ΔyΔx的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导或无导数．(2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0.要点二 导数的几何意义对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0)x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时，k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 【重点总结】(1)曲线的切线与割线①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x 在x ＝0处有切线，但不可导．曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx【重点总结】函数在某点处的导数与导函数的区别(1)函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．(2)函数f(x)在x0处的导数就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数f(x)在x＝x0处有意义，则f′(x0)存在．()(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．()(3)导函数f′(x)的定义域与函数f(x)的定义域相等．()(4)曲线f(x)＝x2在原点(0,0)处的切线方程为y＝0.()【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√2．若函数f(x)＝－3x－1，则f′(x)＝()A．0 B．－3xC．3 D．－3【答案】D【解析】k＝li mΔx→0－3(x＋Δx)－1－(－3x－1)Δx＝－3.3．设曲线y＝x2＋x－2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为() A．(0，－2) B．(1,0)C．(0,0) D．(1,1)【答案】B【解析】设点M(x0，y0)，∴k＝limΔx→0(x0＋Δx)2＋(x0＋Δx)－2－(x20＋x0－2)Δx＝2x0＋1，令2x0＋1＝3，∴x0＝1，则y0＝0.故选B.4．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】2【解析】点(5，f(5))在切线y＝－x＋8上，∴f(5)＝－5＋8＝3.且f′(5)＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝2.题型一 求函数在某点处的导数【例1】(1)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，则f ′(3)＝________. 【答案】(1)16【解析】(1)Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴f ′(3)＝li m Δx →0(2Δx ＋16)＝16.(2)已知函数f (x )＝2x 2＋4x ，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 【答案】(2)2【解析】(2)根据导数的定义f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx ＝li m Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →2(x 0＋Δx )2＋4(x 0＋Δx )－(2x 20＋4x 0)Δx＝li m Δx →04x 0·Δx ＋2(Δx )2＋4ΔxΔx ＝li m Δx →(4x 0＋2Δx ＋4)＝4x 0＋4，∴f ′(x 0)＝4x 0＋4＝12，解得x 0＝2.【方法归纳】用导数定义求函数在某一点处的导数的三个步骤 (1)作差Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作比Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)取极限f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 简记为一差、二比、三极限．【跟踪训练1】已知函数f (x )＝x ＋1x，则f ′(1)＝________.【答案】0【解析】f ′(1)＝lim Δx →f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤(1＋Δx )＋11＋Δx －(1＋1)Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫Δx ＋11＋Δx －1Δx＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1－11＋Δx ＝0题型二 求曲线的切线方程【例2】已知曲线y ＝13x 3，求曲线在点P (3,9)处的切线方程．【解析】由y ＝13x 3，得y ′＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →013(x ＋Δx )3－13x 3Δx＝13li m Δx →3x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx＝13li m Δx →[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝x 2， y ′|x ＝3＝32＝9，即曲线在P (3,9)处的切线的斜率等于9. 由直线的点斜式方程可得，所求切线方程为y －9＝9(x －3)， 即9x －y －18＝0.【变式探究】本例条件不变，求曲线过点M (1,0)的切线方程．【解析】设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30，由例2知切线方程为：y －13x 30＝x 20(x －x 0) ∵切线过点(1,0)， ∴－13x 30＝x 20(1－x 0)即23x 30－x 20＝0，解得x 0＝0或x 0＝32. ∴切点坐标为(0,0)或⎝⎛⎭⎫32，98，∴切线方程为：y ＝0或y －98＝94⎝⎛⎭⎫x －32. 即y ＝0或9x －4y －9＝0. 设切点，写出切线方程，已知点代入，求切点． 【方法归纳】1．求曲线上某点切线方程的三个步骤2．过曲线外的点P (x 1，y 1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q (x 0，y 0)．(2)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)．(3)利用Q 在曲线上和f ′(x 0)＝k PQ ，解出x 0，y 0及f ′(x 0)． (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 【跟踪训练2】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)试问(1)中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？若有，求出公共点的坐标；若没有，说明理由． 【解析】将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1，所以切点为(1,1)． Δy Δx ＝(1＋Δx )3－13Δx ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3Δx＝3＋3Δx ＋(Δx )2， 当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于3，所以y ′|x ＝1＝3.故所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝1，x 2＝－2.从而求得公共点为(1,1)，(－2，－8)．故(1)中的切线与曲线C 的公共点除切点(1,1)外，还有点(－2，－8)． 题型三 导数几何意义的应用 探究1 求切点坐标【例3】已知曲线y ＝x 2＋6的切线分别符合下列条件，求切点． (1)平行于直线y ＝4x －3； (2)垂直于直线2x －y ＋5＝0. 【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)．f ′(x )＝li m Δx →f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝li m Δx →0 (x ＋Δx )2＋6－(x 2＋6)Δx＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .∴过(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0.(1)∵切线与直线y ＝4x －3平行，∴2x 0＝4，x 0＝2，y 0＝x 20＋6＝10， 即过曲线y ＝x 2＋6上点(2,10)的切线与直线y ＝4x －3平行． (2)∵切线与直线2x －y ＋5＝0垂直，∴2x 0×2＝－1，得x 0＝－14，y 0＝9716，即过曲线y ＝x 2＋6上点⎝⎛⎭⎫－14，9716的切线与直线2x －y ＋5＝0垂直． 【方法归纳】求满足某条件的曲线的切点坐标的步骤(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导函数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，解方程求x 0； (5)点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求y 0得切点坐标．探究2 与曲线的切点相关的问题【例4】已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2. (1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形面积．【解析】(1)y ′＝lim Δx →0(x ＋Δx )2＋(x ＋Δx )－2－x 2－x ＋2Δx＝lim Δx →02xΔx ＋(Δx )2＋ΔxΔx＝lim Δx →0(2x ＋Δx ＋1)＝2x ＋1.所以y ′|x ＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l 1的方程为y ＝3(x －1)，即y ＝3x －3.设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， 则l 2的方程为y ＝(2b ＋1)x －b 2－2.因为l 1⊥l 2，则有2b ＋1＝－13，b ＝－23，B ⎝⎛⎭⎫－23，－209，所以直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝－52.所以直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫16，－52. l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫－223，0. 所以所求三角形的面积S ＝12×253×52＝12512.(1)先由已知求出l 1的斜率，再由l 1⊥l 2，求出l 2的斜率，进而求出切点坐标，得出l 2的方程． (2)求出l 1与l 2的交点坐标，l 1，l 2与x 轴的交点，求出直线l 1，l 2和x 轴围成的三角形的面积． 【方法归纳】利用导数的几何意义处理综合应用题的两种思路(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量．【跟踪训练3】(1)已知y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )＝f ′(x B ) C ．f ′(x A )<f ′(x B )D ．f ′(x A )与f ′(x B )大小不能确定 【答案】A【解析】由y ＝f (x )的图象可知，k A >k B ，根据导数的几何意义有f ′(x A )>f ′(x B )．故选A.(2)曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.【答案】(2)±1【解析】(2)因为f ′(a )＝li m Δx →(a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2，所以曲线在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )．令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫23a ，0，由题意知三角形面积为12⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝12×⎪⎪⎪⎪a 3·|a 3|＝16a 4＝16.∴a 4＝1，即a ＝±1. 【易错辨析】求切线方程时忽略“过”与“在”的差异致错【例5】已知抛物线y ＝x 2＋x ＋1，则过抛物线原点的切线方程为________． 【答案】3x －y ＝0或x ＋y ＝0【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →(x 0＋Δx )2＋(x 0＋Δx )＋1－(x 20＋x 0＋1)Δx＝lim Δx →0(2x 0＋1＋Δx )＝2x 0＋1，所以斜率k ＝2x 0＋1，故所求的切线方程为y －y 0＝(2x 0＋1)(x －x 0)，将(0,0)及y 0＝x 20＋x 0＋1代入上式得：－(x 20＋x 0＋1)＝－x 0(2x 0＋1)， 解得x 0＝1或x 0＝－1，所以k ＝3或k ＝－1，所以切线方程为y ＝3x 或y ＝－x ， 即3x －y ＝0或x ＋y ＝0. 【易错警示】 1.出错原因把原点当作切点，易求的是在原点处的切线方程. 2.纠错心得(1)看清楚求的是原点处的切线，还是过原点的切线． (2)过原点的切线，原点不一定是切点，需设切点为(x 0，y 0).一、单选题1．设()f x 在0x x =处可导，则()()000lim2h f x h f x h h→+--=（ ）． A ．()02f x ' B ．()012f x ' C ．()0f x ' D ．()04f x '【答案】C 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】解：∵()f x 在0x 处可导， ∵()()()0000lim2h f x h f x h f x h→+--'=，故选：C.2．函数()y f x =在0x x =处的导数可表示为0x x y ='，即（ ）． A ．()()()000f x f x x f x =+∆-' B ．()()()0000lim x f x f x x f x ∆→'=+∆-⎡⎤⎣⎦ C ．()()()0000lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆D ．()()()000f x x f x f x x+∆-'=∆【答案】C 【分析】结合导数定义直接选择即可. 【解析】x x y ='是()0f x '的另一种记法，根据导数的定义可知C 正确．故选：C3．若函数()f x 在0x x =处可导，则()()000limh f x h f x h→+-的结果（ ）．A ．与0x ，h 均无关B ．仅与0x 有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与0x 无关D ．与0x ，h 均有关【答案】B 【分析】根据导数的定义即可求解. 【解析】 解：因为()()()0000limh f x h f x f x h→+-'=，所以结果仅与0x 有关，而与h 无关， 故选：B.4．设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)lim12x f f x x→--=-，则'(1)f 为（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【答案】B 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】 因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-，所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---，即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-. 故选：B.5．已知函数f (x )可导，且满足0(3)l (m 2i 3)x f f x x∆→-+∆=∆，则函数y ＝f (x )在x ＝3处的导数为（ ）A ．－1B ．－2C ．1D ．2【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】 由题意，()()()()()003333lim lim3x x f f x f x f f xx∆→∆→-+∆+∆-=-=-∆'∆，所以()32f '=-.故选：B.6．已知函数()f x 的图像如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()310132f f f f '<-'<< B ．()()()()310312f f f f -''<<< C ．()()()()310312f f f f '<-'<< D ．()()()()310132f f f f ''<<-< 【答案】B 【分析】结合图象，判断出()()()()310,3,,12f f f f ''-的大小关系. 【解析】由题图可知函数()f x 的图像在1x =处的切线的斜率比在3x =处的切线的斜率大，且均为正数，所以()()031f f ''<<. AB 的斜率为()()3131f f --，其比在1x =处的切线的斜率小，但比在3x =处的切线的斜率大，所以()()()()310312f f f f -''<<<. 故选:B7．已知函数()2ln 8f x x x =+，则()()121lim x f x f x∆→+∆-∆的值为（ ）A ．20-B ．10-C ．10D ．20【分析】根据导数的定义可得()()()0121lim 21x f x f f x∆→+∆='-∆，再用求导公式可得()28f x x'=+，代入1x =即可得解. 【解析】因为()2ln 8f x x x =+，所以()28f x x'=+， 所以()()()()()020121121lim2lim 21202x x f x f f x f f xx∆→∆→+∆-+∆-=∆'==∆.故选：D8．下列说法正确的是（ ）A ．曲线的切线和曲线有且只有一个交点B ．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处无切线D ．若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但()0f x '不一定存在 【答案】D 【分析】根据瞬时变化率和导数的基本概念对各选项逐一判断即可. 【解析】对于A ，曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A 错误；对于B ，过曲线上的一点作曲线的切线，由于曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，所以这个点不一定是切点，故B 错误；对于C ，()0f x '不存在，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率不存在，但切线可能存在，故C 错误； 对于D ，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，但切线斜率可能不存在，所以()0f x '不一定存在，故D 正确. 故选：D二、多选题9．已知函数()f x 的图象如图所示，()f x '是()f x 的导函数，则下列数值的排序正确的是（ ）A ．()()32f f ''<B ．()()()332f f f '<-C ．()()()232f f f '<-D ．()()320f f -<【答案】AB 【分析】根据导数的几何意义可得()()23f f ''>，记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，根据两点坐标求出直线AB 的斜率，结合图形即可得出()()()323f f f '->. 【解析】由函数的图象可知函数()f x 是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x =处的切线斜率1k 大于在3x =处的切线斜率2k ，所以()()23f f ''>； 记()()22A f ，，()()33B f ，，作直线AB ，则直线AB 的斜率()()()()323232f f k f f -==--，由函数图象，可知120k k k >>>，即()()()()23230f f f f ''>->>. 故选：AB10．(多选题)若函数f (x )在x ＝x 0处存在导数，则000()()limh f h x f x h→+-的值（ ）A ．与x 0有关B ．与h 有关C ．与x 0无关D ．与h 无关【答案】AD 【分析】由导数的定义进行判定. 【解析】由导数的定义，得：'0000()()lim()h f x f x f x hh →-=+，即函数f (x )在x ＝x 0处的导数与x 0有关，与h 无关. 故选:AD.11．甲､乙两个学校同时开展节能活动，活动开始后两学校的用电量()W t 甲（单位：kW h ⋅），()W t 乙（单位：kW h ⋅）与时间t （单位：h ）的关系如图所示，则一定有（ ）A ．甲校比乙校节能效果好B ．甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小C ．两学校节能效果一样好D ．甲校与乙校在活动期间的用电量总是一样大 【答案】AB 【分析】根据切线斜率的实际意义判断AC 选项的正确性.根据平均变化率的知识确定B 选项的正确性.根据图象判断用电量是否“总是一样大”，由此判断D 选项的正确性. 【解析】由图可知，对任意的()100,t t ∈，曲线()W t 甲在1t t =处的切线斜率的绝对值比曲线()W t 乙在1t t =处的切线斜率的绝对值大，所以甲校比乙校节能效果好，A 正确，C 错误； 由图可知，()() 000W t W t -甲甲()()000W t W t -<乙乙，则甲校的用电量在[]00,t 上的平均变化率比乙校的用电量在[]00,t 上的平均变化率小，B 正确；由于曲线()W t 甲和曲线()W t 乙不重合，故D 错误. 故选：AB.12．（多选）设()f x 在0x 处可导，下列式子中与()0f x '相等的是（ ） A ．()()0002lim2x f x f x x x∆→--∆∆B ．()()000limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆C ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆-+∆∆D ．()()0002limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【答案】AC 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【解析】 对于A ，()()()()()000000202222lim lim 22x x f x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→--∆-∆+∆--∆'==∆∆，A 满足； 对于B ，()()()()()000000202lim 2lim 22x x f x x f x x f x x x f x x f x x x ∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，B 不满足； 对于C ，()()()00002limx f x x f x x f x x∆→+∆-+∆'=∆，C 满足；对于D ，()()()()()000000302232lim 3lim 33x x f x x f x x f x x x f x x f x x x∆→∆→+∆--∆-∆+∆--∆'==∆∆，D 不满足. 故选：AC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题13．某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】①②④ 【分析】对解析式上下同时除以t e ，结合反比例函数模型可判断①正确；对10()9tt e Q t e =+求导，()Q t '即为该生物种群数量的增长速度与时间的关系式，结合导函数特征和对勾函数模型可判断③错，②④正确 【解析】1010()991t t t e Q t e e ==++，因为0te >，故()911,t e+∈+∞，()100,1091t e ∈+，故该生物种群的数量不会超过10，①正确；由()28109090()()89191t tt t t t e e Q t Q t e e e e=⇒'=+++=+，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，③错；因为81tt e e +为对勾函数模型，故81tt e e+≥，当且仅当9t e =时取到等号，故811890t t e e++整体先增加后减小，当()03ln92,t =∈时，()Q t '最大，故②④正确， 综上所述，①②④正确， 故答案为：①②④ 14．若02)(=f x '，则00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+=________.【答案】1- 【分析】利用导数的定义进行求解. 【解析】00Δ0()(Δ)lim2Δx f x f x x x→-+00Δ0(Δ)()1lim 2Δx f x x f x x →+-=- '01()2f x =-1=-.故答案为1-.15．已知函数f (x )，则()1f '＝________. 【答案】12 【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【解析】()()()001111lim lim 21x x f x f f x x →→+∆-'====∆+∆+.故答案为：12.16．函数()f x 在R 上可导，且()02f '＝，x y R ∀∈，，若函数()()()f x y f x f y +＝成立，则()0f ＝________．【答案】1 【分析】令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，再根据条件即可求出答案． 【解析】解：令0y ＝，则有()()()0f x f x f ＝，()02f '＝， ()f x ∴不恒为0， ()01f ∴＝，故答案为：1．四、解答题17．已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值. 【答案】1.06 【分析】将'(1)1,(1)2,Δ0.03f f x ===代入'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆中计算即可得到答案.【解析】由'000()()()f x x f x f x x +∆≈+⋅∆，可知'(1.03)(1)(1)0.03120.03 1.06f f f ≈+⨯=+⨯=.18．已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【答案】(500)1002MC =，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002. 【分析】利用导数的定义计算即可. 【解析】设500Q =时，产量的改变量为Q ∆，22(500)2(500)(5002500)C Q Q Q Q ∆+∆++∆-+⨯=∆∆ 1002Q =∆+，则0(500)lim (1002)1002Q MC Q ∆→=∆+=，即产量为500时的边际成本为1002，其实际意义是：此时多生产1件产品，成本要增加1002.。
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导数的概念、运算及其几何意义
黑龙江 依兰高中 刘 岩
A 组基础达标
选择题：
1．已知物体做自由落体运动的方程为21(),2
s s t gt ==若t ∆无限趋近于0时， (1)(1)s t s t
+∆-∆无限趋近于9.8/m s ，那么正确的说法是（ ） A ．9.8/m s 是在0～1s 这一段时间内的平均速度
B ．9.8/m s 是在1～（1+t ∆）s 这段时间内的速度
C ．9.8/m s 是物体从1s 到（1+t ∆）s 这段时间内的平均速度
D ．9.8/m s 是物体在1t s =这一时刻的瞬时速度.
2． 已知函数f ’ (x)＝3x 2 , 则f (x)的值一定是（ ）
A. 3x +x
B. 3x
C. 3x +c (c 为常数)
D. 3x+c (c 为常数)
3. 若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /
(x)的图象是（ ）
4.下列求导数运算错误．．
的是（ ） A.
20122013x 0132c x ='+）（ (c 为常数) B. x xlnx 2lnx x 2+='）（ C. 2x
cosx xsinx x cosx +='）（ D . 3ln 33x x ='）（ 5．.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12
，则切点的横坐标为（ ） A ． 2
B ． 3
C ． 12
D ．1 填空题：
1．若2012)1(/
=f ，则x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0= ，x
f x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0= ，x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim 0= ， x f x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim 0= 。
2．函数y=(2x －3)2 的导数为 函数y= x -e
的导数为
A x
D C x B
3. 若函数()f x 满足，321()(1),3
f x x f x x '=-⋅-则(1)f '的值
B 组能力过关
选择题：
（2010全国新课标高考题） 曲线2
x y x =+在点（－1，－1）处的切线方程为 ( ) A. y=2x ＋1 B. y=2x －1 =－2x －3 =－2x －2 填空题：
（哈九中2012届高三11月份月考试题） 已知函数1
1)1ln()(+-+-+=x a ax x x f ， 若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线12:+-=x y l 平行，则 a 的值
参考答案
A 组基础达标
选择题:
填空题: 1. 2012,-2012,-503,2024;
提示: x
f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0=2012)1(/=f ; x f x f x ∆--∆+→∆)1()1(lim 0=－x
f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0= －=)1(/f －2012 x x f f x ∆∆+-→∆4)1()1(lim 0=41-x f x f x ∆-∆+→∆)1()1(lim 0=4
1-=)1(/f －503 x f x f x ∆-∆+→∆)1()21(lim 0= 2x
f x f x ∆-∆+→∆2)1()21(lim 0=2=)1(/f 2048 （∵x ∆→0，则2x ∆→0）
2. 8x －12 ， -x
e -
3. 0
提示：(1)f '为常数，f ’ (x)=x 2－2(1)f 'x －１， 令ｘ＝１则(1)f '＝１－2(1)f '－１，解得(1)f '＝０
B 组能力过关
选择题： A 填空题： 3
提示：f ’ (x)＝-1
x 1+a ＋2)1(+x a ，∵)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与 直线12:+-=x y l 平行，而直线12:+-=x y l 的斜率为－２，∴f ’ (１)＝－２
f ’ (１)＝-1
11+a ＋2)11(+a ＝－２，解得 a ＝３．。