高等数学(高等教育出版社)第九章D9_5隐函数求导ok

一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx dy dx Fy
① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ;
Fy z y Fz
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
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＊若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,
则还可求隐函数的 二阶导数 :
Fx dy dx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
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x Fx dy e y x 0 cos y x x 0, y 0 Fy dx x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x

( e x y) (cos y x) (e x y ) ( sin y y 1)
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u u v v , , , . 例3. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 y x y2 y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 y x y2 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J
x x • 0 f1 1 f 2 y z x z y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
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x 1 f1 x y f 2 f1 y z f 2 z
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4

x x Fx z z2 2 z x Fz
2
x y x
Fx ( ) Fy


Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy

Fx y Fy Fy y Fx
2 Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
( cos y x ) F ( x, y ) sin y e x x y 1 0 x Fx e y, Fy cos y x
2
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3
x0 y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
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2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
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Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) ( F , G ) Fu Fv J x J ( u, x ) (u , v) Gu Gv Fu Fv 定理证明略. v 1 1 ( F , G ) Gu Gv 推导偏导数 y J ( u , y ) Fu Fv 公式如下： Gu Gv
Gu
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Gv
解的公式
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u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) u v Fx Fu Fv 1 F , G ) v (0 x x J u y v( u , y ) Gx Gu Gv 0 x x
解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① F e x y, Fy cos y x 连续 ; x ② F (0,0) 0 ;
③ Fy (0,0) 1 0 ,
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 .
思考与练习
设
求
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提示: z f ( x y z , x y z ) z z z f1 1 f 2 y z x y • x x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 f1 x 1 f 2 y z x x y • 1 z z
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
( F , G) ③J P (u, v)
0,
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
称为F、G 的雅可比 行列式.
Fv Gv
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定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
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(P85)
Fu Fx Gu G x Fu Fy Gu G y
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
u v Fx Fu Fv 0 x x 两边对 x 求导得 Gx Gu u Gv v 0 x x u v 这是关于 , 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x x Fx Fv Gx Gv u Fu Fv 系数行列式 J 0 , 故得 Fu Fv x Gu Gv
第五节 隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
第九章
C > 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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