高等数学(高等教育出版社)第九章D9_5隐函数求导ok
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9-5隐函数的求导公式
y
dy 0, dx x0
d2y dx 2
y
xy y2
y
x( y
x) y
1 y3
,
d2y dx2
x0
1.
2019年9月7日星期六
6
例 2 已知ln x2 y2 arctan y ，求 dy . x dx
解： 令 F ( x, y) ln x2 y2 arctan y , x
v (F ,G) Fu Fy Fu Fv . y J (u, y) Gu Gy Gu Gv
2019年9月7日星期六
13
例4 设 xu yv 0， yu xv 1， 求 u ，u ，v 和 v . x y x y
解1： 直接代入公式（略）。
解2： 运用公式推导的方法。（推荐使用）
将所给方程的两边对 x 求导并移项得
x
y
u x u
y x
v x v
u ,
v
x x
x J
y x2 y2,
yx
2019年9月7日星期六
14
u y
u x
v x
x y
xu x2
yv y2
第五节 隐函数的求导公式
(Implicit differentiation)
一、问题的提出 二、一个方程的情形 三、方程组的情形 四、小结
2019年9月7日星期六
1
一、问题的提出
在一元函数微分学中我们已经提出了隐函数的 概念，并且通过举例的方法指出了不经过显化直接 由方程 F( x, y) 求出隐函数的导数的方法。
高等数学@9.5隐函数的求导法则
x x
x 2 z
2z x 2
(2 z) x z x
(2 z)2
(2 z) x x
2 z (2 z)2
(2 z)2 x2 (2 z)3 .
例3 设 x =x(y,z)、 y =y(x,z)、 z =z(x,y) 都是由方程 F(x,y,z)=0所确定的具有连续偏导数的函数，
Fz
y) z
x z x
x
y
z y
z Fz
y ( y) zz
Fz
zFz Fz
z
练习题
1.求方程 z3 3xyz a3 确定隐函数z=z(x,y) 的偏导数
2. 设 z=z(x,y) 是由方程 f (x+y, y+z, z+x)=0
所确定的隐函数，求 z , z x y
解 设 F x y z, G x2 y2 z2 1
Fx 1, Fy 1, Fz 1, Gx 2x, Gy 2 y, Gz 2z,
J
Fx Gx
Fy Gy
1
2x
1 2y
2( y x)
dx 1 Fz dz J Gz
Fy Gy
11 J 2z
F dx F dy F dz 0, x y z
则方程F(x,y,z)=0在该邻域 内恒能唯 0,
连续且具有连续偏导数的
dz Fx dx Fy dy
函数 z = f (x, y)它满足条件
Fz
Fz
z0=f(x0, y0), 并有
1 J
x y
u v
vx x2
9-5 隐函数的求导公式-PPT精选文档
解
x x z ,y y求 把 看 成 的 函 数 对 偏 导 数 得， y y y x , z z 把 看 成 的 函 数 对 求 偏 导 数 得 . z 令 u x y z ,v xyz ,
则 z f ( u , v ),
x z x , y 把 看 成 的 函 数 对 求 偏 导 数 得
z z z yz xy ), fu (1 ) f v ( x x x z fu yzf v , 整理得 1 fu xyf x v
x z , y y 把 看 成 的 函 数 对 求 偏 导 数 得
x x yz ), 0 fu ( 1 ) fv (xz y y
fu xzf x v , 整理得 fu yzf y v x , z z 把 看 成 的 函 数 对 求 偏 导 数 得 y
y y 1 fu ( 1 ) f xy xz ), v ( z z
整理得
y 1 fu xyf v . z fu xzf v
z Fx ， x Fz
Fy z . y Fz
z x y z 4 z 0 例 3设 ， 求 . 2 x
2 2 2
2
2 2 2 F ( x , y , z ) x y z 4 z , 解 令 z F x x , 则 F 2 x , F 2 z 4 , x z x F 2z z
二、方程组的情形
(x , y,u ,v) 0 F G (x , y,u ,v) 0
隐函数存在定理 3 设F ( x , y , u, v ) 、G ( x , y , u, v ) 在 点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且 F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ,G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比 式）
高数9-5隐函数的求导方法
1
x y y x y
(1 y )( x y ) ( x y )(1 y ) y ( x y )2 2 2 2 y 2 xy 2( x y ) 2 ( x y) ( x y )3
两边再对 x 求导 (1 y) y ( x y ) y 1 y 1 ( y )2 x y y y x y x y
1.定理1 2.定理2
4/33
一、一个方程所确定的隐函数及其导数 定理1. 设函数 在点 P ( x0 , y0 ) 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0 则方程 的某邻域内可唯一确定一个 连续并有连续导数的函数 y = f (x) ,满足条件 Fx dy 并有 (隐函数求导公式) dx Fy
y F 1 f1 xyf 2 z . z f1 xzf 2 Fy
§9.5 隐函数的求导方法 一.一个方程的情形 二.方程组的情形
1.定理1 2.定理2
19/33
练习2:设
求
z f1 y z f 2 x 1 f1 x y f 2
z z z f1 1 f 2 y z x y z z( x, y ), x x x x x x x( y, z ), 1 f1 1 f 2 y z x y z z
【思考题】已知 x ( y ) ，其中 为可微函数，
z z z z y ? 求x x y
【思考题解答】
x y 1 记 F ( x , y , z ) ( ) , 则 Fx ， z z z x y ( y ) y 1 Fy ( ) , Fz 2 ( ) 2 , z z z z z y z ( ) Fy z z Fx z z , , Fz x y ( y ) x Fz x y ( y ) y z z
高等数学隐函数求导
(含导数 的方程)
（隐函数的显化）
例1. 求由方程
CONTENTS
在 x = 0 处的导数
01
解: 方程两边对 x 求导
02
得
03
因 x = 0 时 y = 0 , 故
04
确定的隐函数
05
例2. 求椭圆
在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即
的一阶导数 确定的隐函数 求由方程 练习： 二阶导数 解: 方程两边对 x 求导， 得
关系,
若上述参数方程中
二阶可导,
且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
,可得
例5
解
例6
解
所求切线方程为
?
例7. 设
, 且
求
已知
解:
练习:
解:
注意 :
对谁求导?
求
例8. 设由方程
确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故
1.隐函数求导法则
直接对方程两边求导
第二章
隐函数和参数方程求导
二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 ,
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
函数为隐函数 .
则称此
隐函数求导方法:
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
)
1
(ln
)
1
(ln
+
+
-
（隐函数的显化）
例1. 求由方程
CONTENTS
在 x = 0 处的导数
01
解: 方程两边对 x 求导
02
得
03
因 x = 0 时 y = 0 , 故
04
确定的隐函数
05
例2. 求椭圆
在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即
的一阶导数 确定的隐函数 求由方程 练习： 二阶导数 解: 方程两边对 x 求导， 得
关系,
若上述参数方程中
二阶可导,
且
则由它确定的函数
可求二阶导数 .
利用新的参数方程
,可得
例5
解
例6
解
所求切线方程为
?
例7. 设
, 且
求
已知
解:
练习:
解:
注意 :
对谁求导?
求
例8. 设由方程
确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故
1.隐函数求导法则
直接对方程两边求导
第二章
隐函数和参数方程求导
二、由参数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
一、隐函数的导数
若由方程
可确定 y 是 x 的函数 ,
由
表示的函数 , 称为显函数 .
例如,
可确定显函数
可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
函数为隐函数 .
则称此
隐函数求导方法:
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
)
1
(ln
)
1
(ln
+
+
-
《隐函数求导公式》课件
对数函数的隐函数求导
对于形如 (y = log_{a}{f(x)}) 的函数， 其导数为 (dy/dx = frac{1}{x ln a} cdot f'(x))。
三角函数的隐函数求导
正弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = sin{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = cos{f(x)} cdot f'(x))。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
商式法则是隐函数求导的基本法则之一，其基本思想是将两个函数的导数相减， 得到商的导数。具体来说，如果两个函数分别为u和v，那么它们的商的导数为 u'/v-uv'/v^2。
反函数求导法则
总结词
反函数求导法则用于求解反函数的导数，通过反函数求导法则可以将对反函数的求导转化为对原函数的求导。
详细描述
实践应用
建议学习者多做练习，通过解决实际问题来提高应用这些公式的熟练 度和准确性。
持续更新
提醒学习者隐函数求导公式并非一成不变，随着数学理论的发展，这 些公式可能会被改进或更新，需要保持关注和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习。
跨学科应用
强调这些公式在其他学科（如物理、工程等）中的应用价值，鼓励学 习者尝试将这些公式应用到其他领域中。
VS
余弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = cos{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = -sin{f(x)} cdot f'(x))。
参数方程的隐函数求导
参数方程的隐函数求导
对于参数方程 (x = x(t), y = y(t)) 描述的曲线，其导 数为 (dy/dx = frac{y'(t)}{x'(t)})。
参数方程的隐函数求导的应用
对于形如 (y = log_{a}{f(x)}) 的函数， 其导数为 (dy/dx = frac{1}{x ln a} cdot f'(x))。
三角函数的隐函数求导
正弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = sin{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = cos{f(x)} cdot f'(x))。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
商式法则是隐函数求导的基本法则之一，其基本思想是将两个函数的导数相减， 得到商的导数。具体来说，如果两个函数分别为u和v，那么它们的商的导数为 u'/v-uv'/v^2。
反函数求导法则
总结词
反函数求导法则用于求解反函数的导数，通过反函数求导法则可以将对反函数的求导转化为对原函数的求导。
详细描述
实践应用
建议学习者多做练习，通过解决实际问题来提高应用这些公式的熟练 度和准确性。
持续更新
提醒学习者隐函数求导公式并非一成不变，随着数学理论的发展，这 些公式可能会被改进或更新，需要保持关注和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ习。
跨学科应用
强调这些公式在其他学科（如物理、工程等）中的应用价值，鼓励学 习者尝试将这些公式应用到其他领域中。
VS
余弦函数的隐函数求导
对于形如 (y = cos{f(x)}) 的函数，其导数 为 (dy/dx = -sin{f(x)} cdot f'(x))。
参数方程的隐函数求导
参数方程的隐函数求导
对于参数方程 (x = x(t), y = y(t)) 描述的曲线，其导 数为 (dy/dx = frac{y'(t)}{x'(t)})。
参数方程的隐函数求导的应用
《D95隐函数求导》课件
结果分析：得到隐函数 f ( x , y, z ) 的 导 数 ， 进 一 步 求 解原问题
PART FIVE
隐函数求导公式：注意隐函数求导公式的使用，避免错误使用 隐函数求导步骤：按照隐函数求导的步骤进行求解，避免遗漏步骤 隐函数求导技巧：掌握隐函数求导的技巧，提高求解效率 隐函数求导应用：了解隐函数求导在实际问题中的应用，提高求解能力
确定求解精度：根据实际问题的需求，确定求解的精度要求 选择合适的算法：根据求解精度要求，选择合适的求解算法 调整参数：根据求解精度要求，调整求解过程中的参数，如迭代次数、步长等 验证结果：求解完成后，对结果进行验证，确保满足精度要求
导入必要的库和模块 定义隐函数 使用导数公式求解
编写代码实现求解过程 运行代码并查看结果 总结求解过程的注意事项
隐函数：f(x,y)=0 应用条件：f_x不等于0
求导公式：f'(x,y)=-f_y/f_x
计算方法：代入公式，求解导 数
确定隐函数：找 出需要求导的隐 函数
隐函数求导：使 用D95隐函数求 导公式进行求导
计算导数：将隐 函数代入求导公 式，计算导数
验证结果：检查导 数是否满足D95隐 函数求导公式，确 保结果正确
数学研究：在数学领域，D95隐函 数求导可以应用于微积分、代数、 几何等领域的研究。
经济分析：在经济领域，D95隐函 数求导可以应用于金融、经济、管 理等领域的分析。
添加标题
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工程应用：在工程领域，D95隐函 数求导可以应用于机械设计、电子 工程、计算机科学等领域。
教育领域：在教育领域，D95隐函 数求导可以应用于数学教育、科学 教育等领域。
步骤一：确定 f(x,y)的导数
9_5 隐函数的求导公式
解 (1) 将方程组改写成下面的形式
F ( x, y,u,v) x x(u,v) 0, G( x, y,u,v) y y(u,v) 0. 则按假设 J (F ,G) ( x, y) 0.
x
y
Fu d( z ) Fv d( z ) 0
F1(
z
d
x
z2
x
d
z
)
F2(
zdy z2 Nhomakorabeay
d
z
)
0
xF1 yF2 z2
dz
F1d x F2 d y z
dz
z x F1
y F2 (F1d x F2d y).
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
F ( x, y, u, v) 0 G( x, y, u, v) 0
u u(x, y)
v
v
(
x,
y)
由 F、G 的偏导数组成的行列式
J (F ,G) Fu Fv (u, v) Gu Gv
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
一邻域内连续且有连续偏导数, 又 ( x, y) 0. (u, v )
(1)
证明方程组
x y
x(u, v ), y(u, v )
在点( x, y, z)的某一邻域内唯一确定一组连续且具有
连续偏导数的反函数 u u( x, y),v v( x, y).
( 2) 求反函数u u( x, y),v v( x, y)对x, y的偏导 数.
《高等数学》电子课件(同济第六版)05第九章 第5节 隐函数的求导公式-PPT课件PPT文档共34页
《高等数学》电子课件(同济第六 版)05第九章 第5节 隐函数的求导公式
-PPT课件 51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通
54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥
55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
-PPT课件 51、没有哪个社会可以制订一部永远适用的宪法，甚至一条永远适用的法律。——杰斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通
54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥
55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
9-5隐函数的求导公式94485
x 求导，在求导过程z是 中x,注 y的 意函数，
则有FxFzxz0，
z Fx , x Fz
如果在方程的两关侧于同 y求时导，
则有Fy
Fz
z 0， y
z Fy y Fz
.
返回
例3 设 xln z，z 求 及 z. z y x y
解法1 令 F (x ,y,z)x ln zx ln z ln y ， z yz
F F dy x y dx
0
dy F x
dx
Fy
x
F y
x
返回
方F 程 (x,y)0所确定y的 y(x隐 )的函 导 dy 数 数 F x dx F y
例1 设 x2y210，求 dy
dx
解： 设 F(x,y)x2y21
Fx2x, Fy 2y
dy dx
Fx Fy
x y
返回
隐函数 存在定理1 设F(x,y)在P 点 (x0,y0)
一个具有连续偏导数的 zf(x,y)满 , z0 足 f(x 0 ,y 0 )
且
z Fx
x
Fz
z y
Fy Fz
返回
例3
已知 x2y2z24z0 ,求
2z x 2
解1(公式法): 令 F(x,y,z)x2y2z24z
则 F x 2x, F y 2y,
F z 2z4
z Fx x x Fz 2 z
2z x 2
( z ) x x x
x 2 z
（此时 注意： z是x的函数）
2zx( z ) (2 z)2 x
(2 z) x x
2z (2 z)2
(2 z)2 (2 z)3
x2
返回
例3 已知 x2y2z24z0 , 求 z x
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① 在点 ② F ( x0 , y0 , z0 ) 0 ; ③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0 , 则方程 在点 某一邻域内可唯一确 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 并有连续偏导数 Fx z , x Fz 的某邻域内具有连续偏导数 ;
Fy z y Fz
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 .
思考与练习
设
求
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结束
提示: z f ( x y z , x y z ) z z z f1 1 f 2 y z x y • x x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 f1 x 1 f 2 y z x x y • 1 z z
( F , G) ③J P (u, v)
0,
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
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(P85)
Fu Fx Gu G x Fu Fy Gu G y
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
u v Fx Fu Fv 0 x x 两边对 x 求导得 Gx Gu u Gv v 0 x x u v 这是关于 , 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x x Fx Fv Gx Gv u Fu Fv 系数行列式 J 0 , 故得 Fu Fv x Gu Gv
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
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结束
＊若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,
则还可求隐函数的 二阶导数 :
Fx dy dx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx dy dx Fy
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
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结束
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
Gu
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Gv
解的公式
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结束
u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) u v Fx Fu Fv 1 F , G ) v (0 x x J u y v( u , y ) Gx Gu Gv 0 x x
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
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2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
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x Fx dy e y x 0 cos y x x 0, y 0 Fy dx x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x
( e x y) (cos y x) (e x y ) ( sin y y 1)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
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结束
Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) ( F , G ) Fu Fv J x J ( u, x ) (u , v) Gu Gv Fu Fv 定理证明略. v 1 1 ( F , G ) Gu Gv 推导偏导数 y J ( u , y ) Fu Fv 公式如下： Gu Gv
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
称为F、G 的雅可比 行列式.
Fv Gv
雅可比 目录
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结束
定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
2
x y x
Fx ( ) Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy
Fx y Fy Fy y Fx
2 Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
x x Fx z z2 2 z x Fz
第五节 隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
第九章
C > 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① F e x y, Fy cos y x 连续 ; x ② F (0,0) 0 ;
③ Fy (0,0) 1 0 ,
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
( cos y x ) F ( x, y ) sin y e x x y 1 0 x Fx e y, Fy cos y x
2
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3
x0 y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
x x • 0 f1 1 f 2 y z x z y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
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x 1 f1 x y f 2 f1 y z f 2 z
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u u v v , , , . 例3. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 y x y2 y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 y x y2 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J
Fy z y Fz
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内容小结
1. 隐函数( 组) 存在定理
2. 隐函数 ( 组) 求导方法
方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 利用微分形式不变性 ; 方法3. 代公式 .
思考与练习
设
求
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提示: z f ( x y z , x y z ) z z z f1 1 f 2 y z x y • x x x f1 y z f 2 z x 1 f1 x y f 2 f1 x 1 f 2 y z x x y • 1 z z
( F , G) ③J P (u, v)
0,
P
则方程组 F ( x, y, u, v) 0 , G ( x, y, u, v) 0 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 u0 u( x0 , y0 ) ,
v0 v( x0 , y0 ) 的单值连续函数 u u( x, y) , v v( x, y), 且有偏导数公式 :
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(P85)
Fu Fx Gu G x Fu Fy Gu G y
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F ( x, y , u , v ) 0 有隐函数组 设方程组 G ( x, y, u , v) 0
则
u v Fx Fu Fv 0 x x 两边对 x 求导得 Gx Gu u Gv v 0 x x u v 这是关于 , 的线性方程组 , 在点P 的某邻域内 x x Fx Fv Gx Gv u Fu Fv 系数行列式 J 0 , 故得 Fu Fv x Gu Gv
(隐函数求导公式)
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
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＊若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,
则还可求隐函数的 二阶导数 :
Fx dy dx Fy
d y Fx Fx d y ( ) ( ) 2 x Fy y Fy d x dx
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x0 , y0 ) 0 ; ③ Fy ( x0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
单值连续函数 y = f (x) , 满足条件
Fx dy dx Fy
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x 2 z x
(2 z ) 2 x 2 (2 z )3
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二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即
u u ( x, y ) F ( x, y , u , v ) 0 v v ( x, y ) G ( x, y, u, v) 0 由 F、G 的偏导数组成的行列式
Gu
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Gv
解的公式
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u 1 ( F , G ) x J ( x, v )
v 1 ( F , G ) x J ( u , x )
同样可得
u 1 ( F , G ) y J ( y , v ) u v Fx Fu Fv 1 F , G ) v (0 x x J u y v( u , y ) Gx Gu Gv 0 x x
定理证明从略, 仅就求导公式推导如下:
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则
F ( x, y , f ( x , y ) ) 0
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz
同样可得
Fy z y Fz
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2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解法1 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
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x Fx dy e y x 0 cos y x x 0, y 0 Fy dx x 0
d y dx 2 x 0
2
d ex y ( ) d x cos y x
( e x y) (cos y x) (e x y ) ( sin y y 1)
两边对 x 求导
y
x0
ex y cos y x (0,0)
两边再对 x 求导
sin y ( y) 2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2 y 3 2 x0 dx
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定理2 . 若函数 F ( x, y, z ) 满足:
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Fx Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G x Gv x J ( x, v ) Gu Gv Fy Fv 1 u 1 ( F , G ) Fu Fv G y Gv y J ( y, v ) Gu Gv 1 v 1 ( F , G ) ( F , G ) Fu Fv J x J ( u, x ) (u , v) Gu Gv Fu Fv 定理证明略. v 1 1 ( F , G ) Gu Gv 推导偏导数 y J ( u , y ) Fu Fv 公式如下： Gu Gv
( F , G ) Fu J Gu (u, v)
称为F、G 的雅可比 行列式.
Fv Gv
雅可比 目录
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定理3. 设函数 ① 在点
导数；
满足:
的某一邻域内具有连续偏
② F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 , G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0 ;
2
x y x
Fx ( ) Fy
Fx x Fy Fy x Fx
2 Fy
Fx y Fy Fy y Fx
2 Fy
Fx x Fy 2 2 Fx y Fx Fy Fy y Fx 2 Fy3
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例1. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域
并求
dy d2 y , dx x 0 dx 2 x 0
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
2
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解法2 利用公式 设 F ( x, y , z ) x 2 y 2 z 2 4 z 则 Fx 2x , Fz 2z 4
x x Fx z z2 2 z x Fz
第五节 隐函数的求导方法
1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .
第九章
C > 0 时, 不能确定隐函数 2) 方程能确定隐函数时, 研究其连续性,可微性及求导方法问题.
例如, 方程
C < 0 时, 能确定隐函数
本节讨论:
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
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解: 令 F ( x, y ) sin y e x y 1, 则
x
① F e x y, Fy cos y x 连续 ; x ② F (0,0) 0 ;
③ Fy (0,0) 1 0 ,
由 定理1 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 且
( cos y x ) F ( x, y ) sin y e x x y 1 0 x Fx e y, Fy cos y x
2
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3
x0 y0 y 1
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导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y e x x y 1 0, y y( x)
x x • 0 f1 1 f 2 y z x z y y f1 x z f 2 x f1 y z f 2 y
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x 1 f1 x y f 2 f1 y z f 2 z
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u u v v , , , . 例3. 设 x u y v 0 , y u x v 1, 求 x y x y 解: 方程组两边对 x 求导，并移项得 u v x y u u v x x , 练习: 求 u v y y y x v 答案: x x u y u xv x y 2 2 2 由题设 J x y 0 y x y2 y x v xu yv u 1 u y xu yv 2 2 y x y2 2 x J v x x y 故有 xv yu v 1 2 2 x y x J