复数与参数方程( )

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《复变函数》第1章

2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第3页
(3) 除法: z1 x1 iy1 ( x1 iy1 )( x2 iy 2 ) z ( x2 iy 2 )( x2 iy 2 ) z 2 x2 iy2 x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2 复数的运算满足交换律、结合律和分配律. (4) 共轭复数性质 z1 z1 i) z1 z 2 z1 z 2 , z1 z 2 z1 z 2 , ; z2 z2 ii) z z ; 2 2 iii) z z Re( z ) Im( z ) ; iv) z z 2 Re( z ) , z z 2 i Im( z ) .
3 1 5 . zz 2 2 2
2
2
2013-7-12
《复变函数》(第四版)
第6页
§2 复数的几何意义
1. 复平面, 复数的其它表示法 (1) z = x + iy ↔ 点( x, y ) ( 几何表示法 ) (2) z = x + iy ↔ 向量OP ( 向量表示法 )
2
辐角: Arg z
( z 0 ) 无穷多个, 相差2kπ . y tan( Arg z ) x 辐角主值: 0 arg z 0 k = 0, ±1, ±2, …… Arg z arg z 2k 当z = 0时, | z | = 0 , 而辐角不确定.
2013-7-12 《复变函数》(第四版) 第8页
, y x | z |
y Arg z的主值arg z (z 0)可由Arc tan x 的主值 y arc tan x 来确定: y arctan x x 0， — 在第一、四象限 2 x 0， 0 y arg z y 0 — — 二象限 y arctan x x 0， 0 — — 二象限 x 0， 0 y arctan y 其中 (图示) x 2 2 3 arg z . 例: z = －3 + 3i 2 4 4 (或 arg z arctan( 1) arctan 1 4

第一章复数与复变函数

例4 指出满足下列条件的点 z 的全体所构成的图形.
第一 (1) 节
z − z1 z−2 < 3, =k. z+2 z − z2
5 −1 − 2
•
y
解：设 z = x + iy,
复数则 z −2 <3 z +2 及即为 ( x − 2) + iy < 3 ( x + 2) + iy 其代 2 2 2 x − 2) + y < 9( x + 2) + 9 y2 ( 数 2 2 运 5 3 2 算整理得： x + + y >
∴ z = z1 + t ( z2 − z1 ) , − ∞ < t < +∞
称为复数的参数方程
z1 + z2 显然 z1与 z2的中点 z = 2
0
z2
•
z
•
z1
x
而 z = z1 + t ( z2 − z1 ) , 0 ≤ t ≤ 1表示 z1 到z2 的直线段
z3 − z1 由此可知：三点 z1 , z2 , z3 , 共线 ⇔ = t ( 实数 ) z2 − z1
w = re
n
i
θ + 2kπ
n
θ + 2kπ θ + 2kπ = r cos + i sin n n ( k = 0,1,L,n −1)
n
第一节复数及其代数运算
四、曲线的复数方程
已知曲线： F
( x , y )=
0
z+z z−z 若令 z = x + iy , 则 x = , y= 2 2i z+z z−z 代入得： F , =0 2i 2 为曲线复数形式的方程.

复变函数与场论简明教程：复数与复变函数

n
n
则1的n次方根分别为1, ω， ω2， …， ωn－1。
［例3］求解因为
6
3+i 1 i
复数与复变函数
3
i
2
cos
π 6
i
sin
π 6
2e
πi 6
1i
2cosຫໍສະໝຸດ π 4isin
π 4
πi
2e 4
复数与复变函数
所以
3i 1i
πi
2e 6 i
2e 4
5πi
2e 12
z=reiθ
(1.1.7)
这种表示形式称为复数的指数表示式。由于辐角的多值
性，复数z的三角表示式和指数表示式并不是唯一的。复数的各种表示法可以互相转换，以适应在讨论不同问题时的
需要。
复数与复变函数［例2］将复数z=1+sin1+icos1化为三角表示式与指数
解先求出z的模r和辐角主值arg z:
1
cos
1
π 2
1
arctg
2
sin
π 4
1 2
cos
2
cos2
π 4
π 4 1 2
1 2
π 4
1 2
于是z的三角表示式为
复数与复变函数
z
2
cos
π 4
1 2
cos
π 4
1 2
i
sin
π 4
1 2
z的指数表示式为
z
2
cos
π 4
1 2
ei
π 4
1 2
复数与复变函数
3π 2(m n)π π 2kπ

1.2复数的运算及其几何意义

x1 ) y1 )
参数 t (, ),
上式可以借助复数合并为一个式子，即：
z x(t ) iy(t ) x1 t( x2 x1 ) + i [y1 t( y2 y1 )]. 过z1 , z2的直线方程是： z z(t ) z1 ), 0 t 1.
则将向量OZ1按逆时针方向
•z
y
旋转一个角 2 ,
r • z1
再伸长(缩短)到原来的 r2 倍，
所得向量OZ就表示乘积z1 z2.
1
o
r1
2
•
r2
z2
x
z1z2 r1r2[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
10
可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:
设 zk rk (cosk i sink ) rkeik , (k 1,2,, n)
28
cos
π 4
2kπ 4
i sin
π 4
2kπ 4
w3
(k 0,1,2,3).
即 0
1
28
cos
π 16
i
sin
π 16
,
1
1
28
cos
9π 16
i
sin
9π 16
,
2
1
28
cos
17π 16
i
sin
17π 16
,
3
1
28
cos
25π 16
i sin
25π 16
.
15
;
(2) z z;
(3) z z z 2 ;
(4) z z 2 Re(z), z z 2i Im(z).
复数和、差、共轭的几何意义

高考复数知识点精华总结

高考复数知识点精华总结1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模, 且2||z z z ⋅==a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

《复变函数》第一章复数与复变函数

( z ≠ 0)
的定义域, w 值的全体组成的集合称为函数 w = f ( z ) 的值域. 及 w = z +1
z 1
( z ≠ 1)
均为单值函数,w = n z
均为多值函数.
今后如无特别说明,所提到的函数均为单值函数.
设 w = f ( z ) 是定义在点集则
容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律. 全体复数并引进上述运算后称为复数域,必须特别提出的是,在复数域中,复数是不能比较大小的.
2.复平面
从上述复数的定义中可以看出,一个复数 z = x + iy 实际上是由一对有序实数 ( x, y ) 唯一确定.因此,如果我们把平面上的点 ( x, y )与复数 z = x + iy 对应,就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系. 由于 x 轴上的点和 y 轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数,因而通常称
对应相等,即 x1 = x2 且 y1 = y2 虚部为零的复数可看作实数,即x + ii0 = x ,
0 特别地, + ii0 = 0 ,因此,全体实数是全体复数的一部分.
实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数,复数 x + iy 为互为共轭复数,记为
( x + iy ) = x iy
和 x iy
2.区域与约当(Jordan)曲线
定义1.5 若非空点集 D 满足下列两个条件: (1) D 为开集. (2) D 中任意两点均可用全在 D 中的折线连接起来,则称 D 为区域 (图) 定义1.6 若 z0 为区域 D 的聚点且 z0 不是 D 的内点,则称 z0 为 D 的界点, D 的所有界点组成的点集称为 D 的边界,记为 D , 若 r > 0 ,使得 N r ( z0 ) ∩ D = ,则称 z 0 为 D 的外点定义1.7 区域 D 加上它的边界 C 称为闭区域,记为 D = D + C

复变函数论

arg
z

arctg
3 1

3

2 3

，
Argz arg z 2k 2 2k ,
3
(k 0,1,2,3)
z

2(cos(
2

)

sin(
2

))

i(
2e
2 3
)
3
3
二、复数的运算：
1．相等： x1 iy1 x2 iy2 x1 x2, y1 y2 2.四则运算：运算规律
复数形式的方程表示时更简明。
2
2i
实数形式复数形式
z xiy
例 6: 连接 z1及 z2两点的线段的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) (o t 1)
过 z1及z2两点直线的参数方程为：
z z1 t(z2 z1) ( t )
例 7: 求下列方程所表示的曲线
2
2
当 x 0, y 0 时，
x 0, y 0, arg z 0

x

0,
y

0, arg
z

当 x 0 时，
一象限二象限
arg z( (0, )) arctan y ( (0, ))
2
x
2
arg
z (

(
,
))

arctan
y
(
(

,0))
(x 2)2 y2 9 .
2）几何上，该方程表示到复平面上点 2 和点 4
距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接

复变函数全套课件

不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不是有界函数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的上 n个值就是以原 ,n r点为为半中径的圆的内 n边接形正 n个的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.
5
复变函数的概念
复变w与函自数变 z之量间的 wf(关 z) 系相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0. 说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐把角 π 满 0 π 中的足 0 称 A z 为的 r,g 记主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,

复数、极坐标参数方程

1.复数2(12)i -的共轭复数是 _____ ．2.设复数z 满足(2)12z i i +=-（为虚数单位），则z =___________3.已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝ .4. 已知复数z 满足13=++i z ，则z 的最大值是___________5.已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = ___________.6.已知曲线C 的参数方程为x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为_____________.7.在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t y t x 21 (t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.8．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝sin α (α为参数)．(1)已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．9．在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ,直线2C的极坐标方程分别为4sin ,cos 4πρθρθ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭. (I)求1C 与2C 交点的极坐标;(II)设P 为1C 的圆心,Q 为1C 与2C 交点连线的中点.已知直线PQ 的参数方程为()3312x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.。

高考复数知识点精华总结

复数1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

高中数学基础知识大筛查(9)-复数,参数方程和极坐标等七个内容

- 1 -基础知识大筛查-算法初步，参数方程和极坐标等七个内容一、参数方程和极坐标1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化：6.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =；在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

复数的若干应用

复数的若干应用摘要本文从六个方面阐述了复数在高等数学以及初等数学中的简单应用，包括复数在高阶导数、级数、实积分、非齐次微分方程、初等代数﹑解析几何题等领域的应用。

采用的主要思想是利用欧拉公式进行三角函数与复指数之间转换，以及利用复数不等式解实数问题，从而使问题得以简化。

关键词复数；欧拉公式；不等式Some applications of complex numbersAbstrac tThis paper describes six areas in advanced mathematics and complex in the simple application of elementary mathematics, including the application of the plural in the higher order derivatives, series, real integration, non-homogeneous differential equations, elementary algebra and so on. The main idea is to use Euler formula to convert between trigonometric functions and the complex index, and to use the plural inequalities to solve the complex real problems, so the problem can be simplified. Key words Plural; Euler formula; Inequality目录摘要 (Ⅰ)英文摘要 (Ⅱ)1 绪论 (1)2 复数在高等数学中的应用 (3)2.1 复数在高阶导数中的应用 (3)2.2 复数在级数中的用 (5)2.2.1 复数在函数项级数求和中的应用 (5)2.2.2 复数在函数的幂级数展开式中的应用 ............................ (5)2.3 复数在实积分中的应用 (7)2.4 复数在非齐次线性微分方程中的应用 (9)3 复数在初等数学中的用 (10)3.1 复数在函数最值中的用 (10)3.2 复数在解析几何中的用 (11)结论 (13)参考文献 ............................................................................................................. . (14)1 绪论我们知道，在实数范围内，解形如02=++c bx ax )0(≠a 的方程时，如果判别式042<-ac b ，是无解的，只有把实数集扩充到复数集才能解决。

明德第一章复数与复变函数

y 虚轴
P x, y
复数z x iy可用xoy平面上坐标为( x，y )的点p表示.此时，
x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴平面— 复平面或 z平面
0
z x iy
x 实轴

数z与点z同义
2. 向量表示法
z x iy 点P ( x，y ) oP { x , y } 显然下列各式成立可用向量 oP表示z x iy。 x z, y z, 称向量的长度为复数z=x+iy 的模或绝对值； 2 以x轴正方向为始边,OP 为终边的的夹角 θ 称为复数 2 z z z z . z x y, z=x+iy的辐角. y 虚轴 uu r
2 2
法 2. 将 z x iy 代入得： x y 1 i 2
x y 1 i 4 即 x y 1 4
2 2 2
2
z 2i z 2
解: 由几何意义， z 2i z 2 即 z 2i z 2
0
特别的，以z0为圆点？
z z0 Re i 0 2 , 为参数
x
0 2 , 为参数
例5 指出下列方程表示的曲线
1
解:法 1.
zi 2
由几何意义 z i 2 即 z i 2 表示到 i
距离为2的点的轨迹, 即圆 x y 1 4
n
k 0,1,,n 1
(1) 当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现。
n n (2)几何上， z 的n个值是以原点为中心， r 为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点。

高中数学的复数运算的公式分析

高中数学的复数运算的公式分析数学的学习中也有些的知识点是需要学生记忆的，下面是店铺给大家带来的有关于高中数学的复数运算的公式的介绍，希望能够帮助到大家。

高中数学的复数运算的公式1.知识网络图2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.4. ⑴复数的单位为i，它的平方等于-1，即.⑵复数及其相关概念：①复数—形如a + bi的数(其中);②实数—当b = 0时的复数a + bi，即a;③虚数—当时的复数a + bi; ④纯虚数—当a = 0且时的复数a + bi，即bi.⑤复数a + bi的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部(注意a，b都是实数)⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若为复数，则若，则.(×)[为复数，而不是实数]若，则.(√) ②若，则是的必要不充分条件.(当，时，上式成立) 5. ⑴复平面内的两点间距离公式：. 其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离. 由上可得：复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：.⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程. ②表示线段的垂直平分线的方程. ③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程(若，此方程表示线段). ④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程(若，此方程表示两条射线).⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. ②. 左边取等号的条件是，右边取等号的条件是. 注：.6. 共轭复数的性质：，(a + bi)()注：两个共轭复数之差是纯虚数. (×)[之差可能为零，此时两个复数是相等的]7⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论. ②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若是1的立方虚数根，即，则 . 8. ⑴复数是实数及纯虚数的充要条件：①. ②若，是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：. 9. ⑴复数的三角形式：. 辐角主值：适合于0≤<的值，记作. 注：①为零时，可取内任意值. ②辐角是多值的，都相差2 的整数倍. ③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化：，，.⑶几类三角式的标准形式：10. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于的一元二次方程时，应注意下述问题：①当时，若>0，则有二不等实数根;若=0，则有二相等实数根;若<0，则有二相等复数根(为共轭复数). ②当不全为实数时，不能用方程根的情况. ③不论为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.11. 复数的三角形式运算：棣莫弗定理：高中数学的知识点的口诀高中数学口诀一、《集合与函数》内容子交并补集，还有幂指对函数。

2024学年福建省长泰一中高三培优班考前测验(数学试题)试题(1)

2024学年福建省长泰一中高三培优班考前测验（数学试题）试题（1）请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24(4)2h 2π+π+B ．216(2)4h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+2．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（） A ．12B ．16C ．20D ．83．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<4．在复平面内，31ii+-复数（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A ．1112B ．6C ．112D ．2236．已知12,F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于,A B 两点，若22240,5BF AB BF AF ⋅==，则双曲线C 的离心率为（） A ．13B ．4C ．2D ．37．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab +=B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>8．若2332a b a b +=+，则下列关系式正确的个数是（） ①0b a << ②a b = ③01a b <<< ④1b a << A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数13()4sin 2,0,63f x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈π ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，若函数()()3F x f x =-的所有零点依次记为123,,,...,n x x x x ，且123...n x x x x <<<<，则123122...2n n x x x x x -+++++=（）A ．503πB ．21πC ．1003πD ．42π10．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，25SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（） A ．643π B ．2563π C ．4363π D ．2048327π 11．设实数满足条件则的最大值为（） A ．1B ．2C ．3D ．412．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

复变函数第一章第一节复数

（一）复变函数第一章１－４节）（１０学时）１、复数（第一章第一节）学习内容：复数定义及运算复数的定义、相等即运算，复数的代数式，复数的模与幅度角、共轭复数。

复数及其基本运算：幅角的概念与计算；正确理解幅角的多值性；复数的三角表示与指数表示；复数的城访与开方复数的表示及其运算：ｚ＝ｘ＋ｉｙｘ，ｙ∈Rz 1=y x11i +y xz 222i +=)(i )(y y x x zz 212121±+±=± )()(1221212121y x y x y y x x zz i ++-=∙)0()()(2222221122222212121≠+-+++=zyx y x y x y x y y x xzz iiy x z -= |z |=yx 22+复数的三角表示与指数表示 Z =r (c o s θ+s i n θ) Z =r θi r =|z |Argz =θθθθ2i11111r r z )isin cos (=+=θθθ2i22222r r z )isin cos (=+=)(i 212121212121r r r r z z )](isin )(cos [θθθθθθ+=+++= [rr z z 2121=)0()](isin )(cos z rr 2)(i 21212121≠=-+--θθθθθθθθθin nnnrr z)]n (isin )]n (cos [=+=)1-0,1,2,k (r )n2k isinn2k cos(r z n2k nnn1nz ｎ⋯⋯==+++==+πθπθπθ难点：幅角的概念与计算；幅角的多值性；复数的乘方开方。

要求：了解复数定义及其几何表示，熟练掌握复数的运算。

例设Ｚ＝２－２ｉ，求3z解：ｒ＝8)2(222=+-A r g z =a r c t g22-+2π=π47 3z =)32k 47isin 32k 47cos (86ππππ+++x yarctg 0,0≥>y xx y arctg +2π0,0<>y xA r g z =2π0,0>=y x 23π0,0<=y x xyarctg +π 0<x2. 曲线与区域（第一章第二节）学习内容：平面点集：邻域，内点，外点，边界点，边界，开集，闭集，有界集，曲线（连续曲线，简单曲线，简单闭曲线，光滑曲线，分段光滑曲线），区域，闭区域，单连通区域，多连通区域。

复变函数

y y
z x iy
( x, y)
复数 z x iy 可以用复平面上的点 ( x , y ) 表示.
o
x
x
16
2. 复数的模(或绝对值)
复数 z x iy 可以用复平面上的向量OP 表示,
向量的长度称为z 的模或绝对值,
记为 z r x y .
2 2
y y
显然下列各式成立
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 ) 参数 t ( , ),
28
故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 )
0 t 1
1 若取 t , 2 z1 z2 . 得线段 z1 z2 的中点坐标为 z 2
27
例6 将通过两点 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直
线用复数形式的方程来表示.
解
通过两点 ( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的直线的方程
x x1 t ( x2 x1 ) 参数 t ( , ), y y1 t ( y2 y1 )
2 2
(4) z z 2 Re( z ), z z 2i Im( z ).
以上各式证明略.
8
1 3i 例2 设 z , 求 Re( z ), Im( z ) 与z z . i 1 i
解
i 3i (1 i ) 3 1 1 3i i, z i i (1 i )(1 i ) 2 2 i 1 i
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式

复数与参数方程( )

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