第十三章_拉普拉斯变换考题

dn f (t) [ ]= SnF(S) − Sn−1 f (0− ) −L− f n−1(0− ) dtn
② 频域导数性质
： [ f (t)] = F(s) 设
−
： 则
dF(s) [−tf (t)] = ds
∞ d ∞ −st −st 证 ： ∫0 f (t)e dt= ∫0− f (t )(−t )e dt ds
3S2 + 4S + 5 f 1 已 F 例 ： 知 (S) = 求 (0+ ) 2 S(S + 2S + 3) 3S2 + 4S + 5 = lim 2 =3 s→ (S + 2S + 3) ∞
例2： ：
R
ε(t)
−st
dt
M = s −C
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 的拉氏变换式F(s)总存在。 总存在。 即f(t)的拉氏变换式 的拉氏变换式 总存在
3.典型函数的拉氏变换 3.典型函数的拉氏变换
F (S) =
f (t) = ε (t)
+∞ ∫ − 0
应用微分性质
d t [ f (t)] = ∫0 f (t)dt dt t F(s) = sφ(s) − ∫0 f (t)dt t=0
−
−
例 解
2 [t ε(t)] = 3 s
2
f 求: f ( t ) = tε( t)和 (t) = t 2ε(t)的 函 象 数 ∞ 11 [tε(t)] = [ 0− ε(t)dt] = s s
1 1 s s
根据延迟性质 F(s) = − e−sT 例2 解 求三角波的象函数
f (t) = t[ε(t) − ε(t −T)] 1 e−sT F(s) = 2 − 2 s s f (t) = tε(t) − (t −T)ε(t −T) −Tε(t −T) 1 1 −sT T −sT F(s) = 2 − 2 e − e s s s
例2 解
求: f (t) = δ( t)的 函 象 数
1 dε(t) [ε(t)] = δ(t) = s dt 1 d [δ(t)]= [ ε(t)] = S = 1 S dt
推广： 推广：
d2 f (t) ' − − [ ] = s[sF(s) − f (0 )] − f (0 ) 2 dt
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= S2F(S) − Sf (0− ) − f '(0− )
初值定理： 初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则 在 处无冲激则
t→ + 0 s→ ∞
f (0+ ) = lim f (t) = limSF(S)
终值定理： 终值定理：
lim f (t)存 时 在 t →∞
f (∞) = lim f (t) = limSF(S)
t→ ∞ s→ 0
f (∞) = lim f (t) = limSF(S)
2. 微分性质
① 时域导数性质
： 若 [ f (t)] = F(S)
则
∫ udv = uv − ∫ vdu
df ( t ) dt = sF( s ) − f (0− )
∞ df (t) −st e dt = ∫ e−st df (t) ∫0− dt 0−
∞
df ( t ) 证 ： = dt
13.2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质 1.线性性质
若
则
[A f ( t ) + A f ( t )] = A [ f ( t )] + A [ f ( t )]
1 1 2 2
1 1 2 2
[ f1( t )] = F ( S ) , 1
[ f2( t )] = F ( S ) 2
= A1F ( S ) + A2F ( S ) 1 2
F(s) ∴ φ(s) = s
∫
Q t ε(t)] = 2∫0 tdt [
2
t
4.延迟性质 4.延迟性质
： 设
注
[ f (t)] = F(s)
： [ f (t − t0 )] = e F(s) 则
−st0
f (t − t0 ) = 0 当 t < t0
： 证
令 − t0 = τ t
[ f(t - t )] = ∫
[ f (t)] = F (s) + e−sT F (s) + e−2sT F (s) + ⋅ ⋅ ⋅ 1 1 1
= F (s)[e 1
−sT
+e
−2sT
+e
−3sT
+ ⋅ ⋅ ⋅]
1 F (s) = 1 −sT 1− e
1 F (s) [ f (t)] = 1 −sT 1− e
T 本 中 f1(t ) = ε(t ) − ε(t − ) 例 ： 2
t→ ∞ s→ 0
证：利用导数性质
∞ d lim∫0− f (t)e−st dt s→ 0 dt
[ = lim SF(S) − f (0− )]
s→ 0
∞ d f (t ) lime−stdt ∫ − = 0 dt s→0
f (t) ∞ −
0
s→ 0
= f (∞) − f (0− ) = limSF(S) − f (0− )
= e f (t)
−st
∞
∞
0−
−∫ e−st f (t)( −s)dt
0−
=− f (0− ) +sF(s)
例1
求: f (t) = cos(ω t )的 函 象 数
dsin(ωt) 1 dsin(ω ) t 解 = ωcos(ωt) ⇒cos(ωt) = dt ω dt 1 d [cosωt] = (sin(ωt) ωdt s ω s = −0 = 2 2 2 ω s +ω s +ω2
3
象函数F(s) 存在的条件： 存在的条件： 象函数
∞ ∫0−
f (t)e dt < ∞
−st
e−st为收敛因子
如果存在有限常数M和 使函数 满足： 使函数f(t)满足 如果存在有限常数 和c使函数 满足：
f (t) ≤ M e
则
ct
t ∈[0, ∞)
∞ −(s−c)t 0
∫
∞
−
0
f (t)e dt ≤ ∫ − M e
1 2
对应 复频域函数F(s)(象函数) 复频域函数F(s)(象函数) F(s)(象函数
写 F(s) = 简
s为复频率
[ f (t)]
s = σ + jω
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 又称运算法。 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t<0
, f(t)=0 正变换
F(s) = +∞ f (t)e−stdt ∫0− 1 c+ j∞ f (t) = F(s)estds 2πj ∫c− j∞
f ( t )e
− st
dt
(1)单位阶跃函数的象函数 (1)单位阶跃函数的象函数
F(s) = [ε (t)] = ∫0
1 −st ∞ 1 = =− e s s 0
∞
−
= ∫∞ e−stdt ε (t)e dt 0+
−st
(2)单位冲激函数的象函数 (2)单位冲激函数的象函数
f (t) = δ (t)
求: f (t) = te 的 函 象 数
−at
[te
−αt
d 1 1 )= ] =− ( ds s + α (s + α)2
3.积分性质 3.积分性质
： [ f (t)] = F(s) 设
： 则 [∫0
t
−
： 证 令
[∫0 f (t)dt] = φ(s)
−
−
t
1 f (t)dt] = F(s) s
0
∞
= ∫t f (t − t0 )e
− 0
∞
0−
f (t − t0 )e−stdt
−s( t −t0 ) −st0
e dt
−st0
e
−st0
∫
∞
−
0
f (τ)e dτ = e F(s)
e 延 因 迟 子
− st0
−sτ
例1 解
求矩形脉冲的象函数
f(t) 1 T f(t) T T t
f (t) = ε(t) − ε(t −T)
例 1 解 例 2 解
ε 求: f (t) = U ( t )的 函 象 数
U F(s) = [Uε(t)] = U [ε(t)] = S
求: f (t) = sin(ω t)的 函 象 数
F(s) =
[sin(ωt)]
=
1 jω t − jω t 2 j (e − e )
1 1 1 ω = − = 2 2 j S − jω S + jω S +ω2
= ∫0 [A1 f1( t ) + A2 f2( t )]e−stdt 证 A1 f1( t ) + A2 f2( t ) ：
∞
[
]
= ∫0 A1 f1( t )e dt + ∫0 A2 f2( t )e dt
−st −st
∞
∞
= A1F ( S ) + A2F ( S ) 1 2
根据拉氏变换的线性性质， 根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时， 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。 计算。
∴
1 1 −sT / 2 F(s) = ( − e ) 1 s s
1 1 1 −sT/ 2 1 1 [ f (t)] = ( − e ) = ( −ST / 2 ) −sT S 1+ e 1− e s s
1 F(S +α) = L e−αt f (t)] [ L tε(t)] = 2 [ S 1 1 L 例 ： [te−αtε(t)] = (S +α)2 S +α −αt 2 L 例 ： [e cosωtε(t)] = (S +α)2 +ω2 s 五.初值定理和终值定理 初值定理和终值定理 L ωt] = 2 [cos s +ω2
例3 解
求周期函数的拉氏变换 求周期函数的拉氏变换 设f1(t)为第一周函数 为第一周函数
f(t) 1 ... T/2 T t
[ f1(t)] = F (s) 1
1 F (s) 则 ： [ f (t)] = 1 −sT 1− e 证 f (t) = f1(t) + f1(t −T)ε(t −T) + ： f1(t − 2T)ε(t − 2T) + ⋅ ⋅ ⋅
F(s) = [δ (t)] = ∫0 δ (t)e dt = ∫0 δ ( t )e dt
−st
−st
−
−
∞
0+
= e−s0 =1
(3)指数函数的象函数 (3)指数函数的象函数
f (t )=e
F( s ) =
at
∞
−
[e ] = ∫
at
0
e e dt
at
−st
1 −( s−a )t ∞ 1 e =− = s +a 0 s −a
例
1
熟悉的变换 对数变换 把乘法运算变换为加法运算
A × B = AB ↓ ↓ ↑ lg A+ lg B = lg AB
2
相量法
把时域的正弦运算变换为复数运算
弦 正 量 i1 + i2 = i 量 相
拉氏变换： 拉氏变换： )(原函数 原函数) 时域函数f(t)(原函数)
↓ ↓ =↑ & & & I +I = I
=
例1 解
[−tf (t)]
求: f (t) = tε( t)的 函 象 数
d 1 1 [tε(t)] = − ( ) = ( 2 ) ds S S
例2 解 例3 解
求: f (t) = tnε( t)的 函 象 数
dn ! [tnε(t)] = (−1)n n (s) = ( n ) n+1 ds s
注
1
+∞
−
[ f (t)] −1 [F(S)]
0+
−
正变换 反变换
−st +∞
+
F(S) = ∫0 f (t)e dt = ∫0 f (t)e dt + ∫0 f (t)e−stdt
−st
在t＝0− 至t＝0＋ ＝ ＝ f(t)=δ(t)时此项 ≠ 0 δ 时此项
2
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 用大写字母表示, 象函数 ， 。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。 用小写字母表示， 原函数 。
反变换
积分下限从 开始，称为 0− 积分下限从0− 开始，称为0− 拉氏变换 。 0 + 0 积分下限从 + 开始，称为 + 拉氏变换 。 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换,计及t=0时 今后讨论的拉氏变换均为 0− 拉氏变换,计及 时f(t) 包含的冲击。 包含的冲击。
F(S) = 简 写 f (t) =
第13章 拉普拉斯变换 13章
重点 (1) 拉普拉斯变换的基本原理和性质 (2) 掌握用拉普拉斯变换分析线性电 路的方法和步骤 (3) 电路的时域分析变换到频域分析 的原理
13.1 拉普拉斯变换的定义
1. 拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换， 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函 (t)与复变函数F(s)联系起来 与复变函数F(s)联系起来， 数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变 换为复频域问题， 换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域 的代数方程以便求解。 的代数方程以便求解。