截面的几何性质

z
A
O
z1 z b,
z1
I y1 z1 dA ( z b)2dA z 2dA 2 zbdA b 2dA
A A A A A
I y 2bSy b2 A
I z1 y1 dA ( y a )2dA y 2dA 2 yadA a 2dA
2 A A A A A
I z 2aSz a 2 A
I y1 z1 y1 z1dA ( y a )(z b)dA
A A
yzdA azdA bydA abdA
A A A A
I yz aSy bSz abA
I y1 I y 2bSy b A
I p Iz I y
I y Iz
1 I y I z I p ( D4 d 4 ) 2 64
• 常用截面的形心、惯性矩、惯性半径
截面图形 矩 形 形心位置 惯性矩 惯性半径
截面中心
bh3 Iz 12
hb 3 Iy 12
iz
h
2 3 b iy 2 3
圆 形
答案：
y x1 h
IX1
1 3 bh 4
o
b
x
图示截面图形对z轴的惯性矩Iz＝
1 1 3 HB hb 3 （A） 12 12 1 1 3 3 BH bh （B） 12 12 1 1 3 3 BH bh （B） 12 12 1 1 3 3 BH bh （D） 12 12
B
。
H/ 2
Z’
H/ 2 b
答案：D
bh bh Iz 12 12 b 3 h h 3 12
3 3
I y Iz
D 4


64 64 4 D (1 4 ) 64

d 4
三、
y1
惯性矩和惯性积的平行移轴公式
z1
y z dA y
y1
已知 I z , I y , I yz
b a O1
2
y1 y a,
2
I z1 I z 2aSz a 2 A
I y1z1 I yz aSy bSz abA
若y、z轴是截面图形的形心轴 S y Sz 0 平行移轴公式
I y1 I yC b A
2
I z1 I zC a A
2
I y1z1 I yC zC abA
截面图形 三 角 形
形心位置
惯性矩
惯性半径
h yC 3
bh3 Iz 36
2 iz h 6
半 圆 形
8 4 Iz R 8 9 iz 0.264R 4R yC 0.1098R 4 3 R 4 iy R 2 Iy 8
截面图形
形心位置
ydA
y
A zd A
A
z
zC
dA C
y
yC
A
z
• 截面图形对其形心轴的静矩恒等于零。 • 截面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必 为形心轴。
• 组合截面图形的静矩和形心位置
组合截面图形对某一轴的静矩等于各组成 部分对同一轴的静矩的代数和
Sz Ai yCi AyC
Sz yC A Sy zC A
S y Ai zCi AzC
组合截面图形的形心坐标计算公式
A y A
i i
Ci
Az A
(正 负 面 积 法 公 式 )
i Ci i
例 试确定下图的形心。
10
解 ： 组合图形，用正负面积法求解。
y
C1(0,0)
120
C2
1.用正面积法求解，图形分割 及坐标如图(a)
z
C
C1 80
C2(-35,60)
10
zC
z
Ci
Ai
A A1 A2 35 10 110 20.3 10 110 80 10

zC1 A1 zC2 A2
图(a)
60 10 110 yC 34.7 10 110 80 10
2.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)
y
10 负面积 120 C2 C1 C1（0,0） C2（5,5）
zC
C
10
z
A A1 A2 5 ( 70 110) 20.3 120 80 70 110
z
Ci
Ai

zC1 A1 zC2 A2
5 ( 70 110) yC 20.3 120 80 70 110
80
图(b)
二、 平面图形的惯性矩、惯性积和惯性半径
§7-1 截面的几何性质
一、 平面图形的静矩和形心
• 平面图形的静矩
S z ydA
A
y z r y
面积A
dA
S y zdA
A
o 图形对z轴和y轴的静矩(一次矩)。
单位为m3 或mm3。
z
• 平面图形的形心：平面图形几何形状的中心。
Sz yC A zC Sy A

A
惯性矩
R4 sin cos Iz 4 16sin2 9
惯性半径
扇 形
yC
iz
Iz A
2 R si n Iy 4 iy R 3 sin cos Iy A 4
Iz
椭 圆 形
ab3
椭圆中心
4 ba3 Iy 4
b iz 2
a iy 2
• 平面图形的惯性积
I yz yz dA
A
y x r y
面积A
dA
图形对过点O的一对坐标轴 y和z的惯性积。
o
z
• 惯性积可能为正值或负值，也可能等于零。 • 单位为m4 或mm4。
• 若y、z两个坐标轴中有一为截面图形的对称轴，则 其惯性积恒等于零。
• 组合截面图形的惯性矩
h
C
z
I y z 2dA
A
iz iy
h Iz A 2 3
Iy b 2 3 A
b
• 例7-3 求直径为D的圆截面对过其圆心的正 交坐标轴z和y的惯性矩和惯性半径。
极惯性矩 I p A r dA
2
dr r O D
r 2 r dr
2
D 2 0
• 平面图形的惯性矩
I z y 2 dA
A
I y z 2 dA
A
y x
面积A
• 平面图形的极惯性矩
dA y z
Ip
r dA y
2 A A
2
z
2
dA
o
r
I p Iz I y
• 惯性矩和极惯性矩为正值，单位为m4 或mm4。
• 平面图形的惯性半径
y x r y

D 4
32
I p Iz I y
I y Iz
1 D 4 I y Iz I p 2 64
i y iz Ip 2 D A 4
I p A r dA r 2 r dr
2 2
D 2 d 2
dr r
d O D


32
( D4 d 4 )
图示组合图形，由两个直径相等的圆截 面组成，求此组合图形对形心主轴y和z 的惯性矩
y
答案：
5D 4 32
；
Biblioteka Baidu
z
D
4
32
D
D
图示平面图形对z、z1、z2三根相平行轴 的惯性矩中，以对 轴的惯性矩为最 大，而对 轴的惯性矩最小。
答案：
h/2
z2 z
z2
h/2
z
b
z1
图示x轴//x1 轴，已知三角形对x轴的惯 3 性矩为 I X bh / 12 ，则 I X＝ 。 1
面积A
Iz i A
2 z
Iy i A
2 y
dA
iz iy
Iz A Iy A
o
图形对z轴和y轴的惯性半径 （单位为m 或mm）
z
• 例7-2 求矩形截面对其对称轴z和y的惯性矩 和惯性半径。 y • 解：
I z y 2 dA
A
dy y

h 2 h 2
3 bh y 2bdy 12 b 2 b 2 3 hb z 2 hdz 12
圆心处
Iz I y
D 4
64
D iz i y 4
截面图形 圆 环
形心位置
惯性矩
惯性半径
圆心处
Iz I y
iz i y
4
D 64

d d4 D 1 4 D

2
薄 圆 环
圆心处 I I R z y
3 0

R0 iz i y 2