双曲线离心率求解的基本方法
双曲线离心率如何求——从一道高考真题谈起
双曲线离心率如何求从一道高考真题谈起ʏ河南省禹州市第一高级中学 冯会远求双曲线的离心率,是高考常考题型㊂那么双曲线的离心率该如何求呢?让我们从一道高考真题谈起㊂题目:(2023年高考新课标Ⅰ卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点A 在双曲线C 上,点B 在y 轴上,F 1A ңʅF 1B ң,F 2A ң=-23F 2B ң,则双曲线C 的离心率为㊂分析:方法1:利用双曲线的定义与向量数量积的几何意义得到|A F 2|,|B F 2|,|B F 1|,|A F 1|关于a ,m 的表达式,从而利用勾股定理求得a =m ,最后利用余弦定理得到a ,c 的齐次方程,进行得解㊂方法2:依题意设出各点坐标,从而由向量坐标运算求得x 0=53c ,y 0=-23t ,t 2=4c 2,将点A 代入双曲线C 的方程得到关于a ,b ,c 的齐次方程,最后得解㊂图1解析:(方法1)依题意,如图1,设|A F 2|=2m ,则|B F 2|=3m =|B F 1|,|A F 1|=2a +2m ㊂在R t әA B F 1中,9m 2+(2a +2m )2=25m 2,则(a +3m )(a -m )=0,故a =m 或a =-3m(舍去)㊂所以|A F 1|=4a ,|A F 2|=2a ,|B F 2|=|B F 1|=3a ,则|A B |=5a ㊂故c o s øF 1A F 2=|A F 1||A B |=4a 5a =45㊂所以在әA F 1F 2中,c o søF 1A F 2=16a 2+4a 2-4c 22ˑ4a ˑ2a=45,整理得5c 2=9a 2㊂故e =c a =355㊂(方法2)依题意,得F 1(-c ,0),F 2(c ,0),令A (x 0,y 0),B (0,t )㊂因为F 2Aң=-23F 2B ң,所以(x 0-c ,y 0)=-23(-c ,t ),则x 0=53c ,y 0=-23t ㊂又F 1A ңʅF 1B ң,所以F 1A ң㊃F 1B ң=83c ,-23t㊃(c ,t )=83c 2-23t 2=0,则t 2=4c 2㊂又点A 在双曲线C 上,则259c 2a 2-49t 2b2=1,整理得25c 29a 2-4t 29b 2=1,即25c 29a 2-16c29b2=1㊂所以25c 2b 2-16c 2a 2=9a 2b 2,即25c 2(c 2-a 2)-16a 2c 2=9a 2(c 2-a 2)㊂整理得25c 4-50a 2c 2+9a 4=0㊂则(5c 2-9a 2)(5c 2-a 2)=0,解得5c 2=9a 2或5c 2=a 2㊂又e >1,所以e =355或e =55(舍去)㊂故e =355㊂点评:解决过双曲线焦点的三角形的关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a ,b ,c 的齐次方程,从而得解㊂从这道高考真题的解法可以看出,双曲线离心率的求法主要有两种方法:定义法和方程法㊂我们再来看几个变式题㊂变式1:过双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F ,作x 2+y 2=a 2的一条切线,设切点为T ,该切线与双曲线E 在第一象限交于点A ,若F A ң=3F T ң,则双曲线E 的离心率为( )㊂A.3 B .5C .132 D .152分析:取线段A T 中点,根据给定条件,结03 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月合双曲线定义及勾股定理解答㊂图2解析:如图2,令双曲线E 的右焦点为F ',半焦距为c ,取线段A T 中点M ,连接O T ,A F ',F 'M ㊂因为F A 切圆x 2+y2=a 2于T ,所以O T ʅF A ,|F T |=|O F |2-|O T |2=c 2-a 2=b ㊂因为F A ң=3F T ң,所以|A M |=|M T |=|F T |=b ,|A F '|=|A F |-2a =3b -2a ㊂而O 为F F '的中点,于是F 'M ʊO T ,即F 'M ʅA F ,|F 'M |=2|O T |=2a ㊂在R t әA F 'M 中,(2a )2+b 2=(3b -2a )2,整理得b a =32㊂所以双曲线E 的离心率e =ca=1+b 2a2=132,选C ㊂点评:本题采用了定义法,关键是应用双曲线的定义和几何图形的性质,求出a 与b 的关系式,进而再通过a 2+b 2=c 2,来求a 与c 的关系式,即双曲线的离心率㊂变式2:已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左㊁右焦点分别为F 1㊁F 2,点M 在双曲线E 上,әF 1M F 2为直角三角形,O 为坐标原点,作O N ʅM F 1,垂足为N ,若2MN ң=3N F 1ң,则双曲线E 的离心率为㊂分析:根据给定条件,确定直角三角形的直角顶点位置,建立方程并结合双曲线定义求出|M F 1|,|M F 2|,再借助相似三角形性质列式求解㊂图3解析:әF 1M F 2为直角三角形,显然øM F 1F 2ʂ90ʎ,否则N 与F 1重合㊂若øF 1M F 2=90ʎ,由O N ʅM F 1,得O N ʊM F 2,则N 为M F 1的中点,与2MN ң=3N F 1ң矛盾㊂于是øM F 2F 1=90ʎ,即M F 2ʅx 轴,如图3㊂令双曲线半焦距为c ,由x =c ,x 2a 2-y 2b2=1,得y 2=b 4a2㊂因此,|M F 2|=b 2a ,|M F 1|=b2a +2a =a 2+c 2a㊂由2MN ң=3N F 1ң,得|N F 1|=25|M F 1|=2(a 2+c 2)5a㊂显然әO N F 1ʐәM F 2F 1,则|N F 1||F 1F 2|=|O F 1||M F 1|,即a 2+c 25a c =a c a 2+c2,整理得a 2+c 2=5a c ㊂则e 2-5e +1=0,解得e =5+12或e =5-12(舍去),所以双曲线E 的离心率为5+12㊂点评:本题采用了方程法,即通过建立关于离心率的方程来求得离心率,解答的关键是充分利用几何图形中相似三角形的对应边成比例建立方程㊂变式3:双曲线C :x 2a 2-y2b 2=1(a >0,b >),过虚轴端点且平行x 轴的直线交双曲线C 于A ,B 两点,F 为双曲线的一个焦点,且A F ʅB F ,则该双曲线的离心率e 为㊂分析:解决本题的落脚点是 A F ʅB F ,对于解决线线垂直问题,高中阶段我们常用的策略有:(1)两条直线垂直且斜率存在,则两条直线斜率之积等于-1;(2)考虑三边边长,利用勾股定理构造直角三角形;(3)转化为向量问题,两条垂线对应向量的数量积为零;(4)利用直角三角形的几何性质㊂解析:(方法1,利用 两条直线垂直且斜率存在,则两直线斜率之积等于-1)如图4,已知A ,B 两点的纵坐标都为b ,将b 代入双曲线方程得x =ʃ2a ,所以A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂13解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月图4设F (c ,0)为双曲线右焦点,则k A F =-bc +2a ,k B F =-bc -2a㊂因为A F ʅB F ,所以k A F ㊃k B F =-b c +2a ㊃-bc -2a=-1,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①易知c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂离心率e =1+ba2=62㊂(方法2,әA F B 是直角三角形,利用勾股定理解题)根据方法1可得A (-2a ,b ),B (2a ,b )㊂设F (c ,0)为双曲线的右焦点,则:|A B |=22a ,|A F |=(c +2a )2+b 2,|B F |=(c -2a )2+b 2㊂因为A F ʅB F ,所以由勾股定理得:|A F |2+|B F |2=|A B |2,即(c +2a )2+b 2+(c -2a )2+b 2=8a 2㊂整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又在双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法3,转化为向量求解)根据方法1可得A F ң=(c +2a ,-b ),B F ң=(c -2a ,-b )㊂因为A F ʅB F ,所以A F ңʅB F ң㊂则(c -2a )(c +2a )+b 2=0,整理得c 2+b 2=2a 2㊂①又双曲线中有c 2=a 2+b 2㊂②由①②,得b 2a2=12㊂故离心率e =1+ba2=62㊂(方法4,转化为直角三角形性质求解)由方法2可得|A B |=22a ,如图5,设图5虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|A B |2=2a ㊂即c 2+b 2=2a ,c 2+b 2=2a 2㊂后面过程与前三种方法相同㊂(方法5,转化为双曲线定义求解)图6如图6,设虚轴端点为C ,连接C F ,则|C F |=|C A |=|C B |=2a ㊂由题意|A F |-|B F |=2a ,|A F |2+|B F |2=8a 2,得|A F |=(3+1)a ,|B F |=(3-1)a ㊂t a n øF A B =|B F ||A F |=(3-1)a(3+1)a=2-3,则t a nøF C B =t a n 2øF A B =33,故øF C B =30ʎ,øF C O =60ʎ㊂因为s i n øF C O =|O F ||C F |,所以s i n 60ʎ=c2a,则e =62㊂点评:双曲线有两个虚轴端点以及两个焦点,本题未明确给出哪个端点哪个焦点,看似让人无从下手,实则增加了问题的灵活性,同学们只需根据双曲线的对称性,任意选取其中的一个虚轴端点和焦点即可解决本题㊂方法总结:离心率是双曲线最重要的几何性质,求离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式e =ca ;②只需要根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程,解方程即可得离心率e 的值㊂当求双曲线的离心率时一定要注意数形结合思想和双曲线定义的应用㊂(责任编辑 徐利杰)23 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2023年12月。
双曲线的离心率
双曲线的离心率双曲线是一种经典的二次曲线，它是两个一模一样的开口向外的分支，彼此之间不存在交点，并且它们与直线称为渐近线。
双曲线的形状因其离心率而异，离心率越小，它的开口越窄，而离心率越大，它的开口越宽，形状越扁平。
这篇文章将介绍双曲线的离心率及其相关性质。
一、什么是离心率在介绍双曲线的离心率之前，我们先来介绍一下什么是离心率。
离心率是一个参数，用来描述椭圆、双曲线等曲线形状的程度。
几何上，椭圆和双曲线都是曲线的焦点与直线的距离之比。
对于一个椭圆或双曲线来说，焦点是一个固定点，而直线称为准线。
焦点到准线的距离称为焦距，离心率是焦距与主轴长度的比值。
对于一个椭圆而言，离心率的值在0到1之间，0表示一个完美的圆形，而1表示一个极端扁平的椭圆。
离心率为0.5的椭圆称为圆形。
对于一个双曲线而言，离心率的值一般大于1，它越大，曲线的形状越扁平。
二、双曲线的定义一个双曲线可以用以下方程表示：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1其中a和b是正实数，它们控制了曲线的形状，a称为水平半轴，b称为垂直半轴。
对于双曲线而言，曲线的两个分支的形状是相同的，都是向外开口的，而且彼此之间没有交点。
曲线的顶点是原点，它是两个分支的交点，而直线y=0和x=0称为渐近线，它们分别过曲线的两个极点。
三、双曲线的离心率离心率可以通过以下公式计算：e = √(a^2 + b^2)/a在计算双曲线的离心率之前，需要先找到曲线的水平半轴a和垂直半轴b。
如果我们知道了双曲线的顶点和极点的坐标，可以计算a和b的值。
设顶点的坐标为(0,0)，极点的坐标为(c,0)，其中c是焦距的值，那么有以下公式：a = (x1 + x2)/2b = (y1 + y2)/2其中(x1,y1)和(x2,y2)是两个分支的端点的坐标。
双曲线的离心率e就可以用上述公式计算出来。
四、双曲线离心率的性质1. 离心率越大，双曲线的开口越宽。
2. 离心率越大，双曲线的形状越扁平。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现. 椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出,a c ，求解e 已知标准方程或,a c 易求时，可利用离心率公式c e a=来求解。
例1. 过双曲线C ：)0b (1by x 222>=-的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于点B 、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是（ ）A. 10B. 5C.310D. 25分析：这里的1,a c ==2b ，即可利用定义求解。
解：易知A （-1，0），则直线l 的方程为1x y +=。
直线与两条渐近线bx y -=和bx y =的交点分别为B )1b b ,1b 1(++-、C )1b b,1b 1(--，又|AB|=|BC|，可解得9b 2=，则10c =故有10ace ==，从而选A 。
二、变用公式)c e a =双曲线，)c e a ==椭圆，整体求出e例2. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为（ ） A.35 B. 34C.45D.23 分析：本题已知b a=34，不能直接求出a 、c ，可用整体代入套用公式。
解：因为双曲线的一条渐近线方程为43y x =，所以 43b a =，则53c e a ===，从而选A 。
1.设双曲线（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于( C )A. C. D.解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即224b a =e ∴===2.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若12AB BC =uur uu u r，则双曲线的离心率是 ( )A ．B ．C ．D ． 答案：C【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B ，C ，，，222,4AB BC a b =∴=uur uu u r 因此 ，即224b a =，e ∴===3.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为( ) A ． B ． C ． D ．【解析】因为，再由有即2223b a =从而可得e ∴===B三、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
离心率的五种求法
7.设 分别是双曲线 的左、右焦点，若双曲线上存在点 ， 且 ，则双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
解
8．如图， 和 分别是双曲线 （ ）的两个焦点， 和 是以 为圆心，以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且 是等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A B C D
离心率的五种求法
离心率的五种求法
离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现.
椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ．
一、直接求出 ，求解
已知标准方程或 易求时，可利用离心率公式 来求解。
例1.过双曲线C： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（ ）
A. B. C. D.
解：由已知，直线 的方程为 ，由点到直线的距离公式，得 ，
又 ,∴ ,两边平方，得 ，整理得 ，
得 或 ，又 ，∴ ，∴ ，∴ ，故选A
11.知 、 是双曲线 （ ）的两焦点，以线段 为边作正三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
解：如图，设 的中点为 ，
A． B． CБайду номын сангаас D．
解析：满足 的点 总在椭圆内部，所以c<b.
4.设 ，则双曲线 的离心率 的取值范围是（B）
，又 ，
在 中，由余弦定理，得 ,
即 ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故选B
3.设 是等腰三角形， ，则以 为焦点且过点 的双曲线的离心率为（ B ）
A． B． C． D．
4.设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
双曲线的离心率问题
双曲线的离心率问题一、引言双曲线是平面几何中的一种重要曲线，其离心率问题是双曲线研究中的重要内容之一。
本文将从离心率定义、离心率的几何意义、离心率的范围、离心率与双曲线的关系、离心率与渐近线的关系、离心率与焦点的关系、离心率与轴比的关系、离心率与实轴和虚轴的关系以及离心率与准线的关系等方面，对双曲线的离心率问题进行详细阐述。
二、离心率定义离心率是描述双曲线的一个重要参数，其定义为：双曲线的焦距除以双曲线的实轴长度。
离心率的数学表达式为：e=c/a，其中c为焦距，a为实轴长度。
三、离心率的几何意义离心率的几何意义是描述双曲线在平面上的开口程度。
当离心率e越大时，双曲线的开口程度越大；当离心率e越小时，双曲线的开口程度越小。
四、离心率的范围离心率的范围为0<e<1。
其中，0表示圆，1表示直线，0<e<1表示双曲线的形状。
五、离心率与双曲线的关系离心率与双曲线的关系密切。
离心率的改变会导致双曲线的形状和开口程度发生变化。
同时，离心率也是双曲线的一个重要参数，可以用于描述双曲线的几何特征。
六、离心率与渐近线的关系离心率与渐近线的关系也十分重要。
渐近线是双曲线在某一方向上的近似直线，离心率的大小决定了渐近线的斜率。
当离心率e越大时，渐近线的斜率越大；当离心率e越小时，渐近线的斜率越小。
七、离心率与焦点的关系离心率与焦点的关系是双曲线的一个重要特征。
双曲线的焦点到中心的距离为c，其中c的表达式为：c^2=a^2+b^2（在实数轴上）或者c^2=|a^2-b^2|（在复数轴上）。
因此，离心率的改变会导致焦点的位置发生变化。
八、离心率与轴比的关系轴比是描述双曲线的一个重要参数，其定义为：实轴长度a与虚轴长度b的比值。
离心率的改变会影响轴比的大小，进而影响双曲线的形状和开口程度。
九、离心率与实轴和虚轴的关系实轴和虚轴是双曲线的重要特征线。
离心率的改变会影响实轴和虚轴的长度和位置，进而影响双曲线的形状和开口程度。
求解双曲线离心率问题的常见策略
此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
解 ：直线与双曲线右支只有一 个交点 知其斜率小于等于渐近线 的斜率 ，即
ｔ ６。 鱼 即 √ 得 ａ ０≤ ６ ， ｎ
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ｄ
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０ 。 Ｄ～
ｂ ≥３ 一口 ａ２ｃ ≥３ ａ
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设双 曲线 方程 为 一 脯 心率 ｅ：
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求 解 双 曲 线 离 心 率 问 题 的 常 见 策 略
ｌ Ｊ
６
即
河北 省 邯 郸 市第 一 中学 赵 静
双曲线中离心率是 重要的几何性 决定双曲线的形状是较开阔 质， 还是较狭窄， 因而高考中常考查离 心率问 Ｐ＝三且口 题． ＋６ ＝ｆ
ｄ
，
只 要找到口 ６ｃ中 ，， 任两个量闻的倍数关系即可求出离心率的值： 心率的范围． 求离 在于建立关于 ｂ ｃ ， ， 的不等式． 进而转化为Ｐ ＝三的
口
不等式求解
一
、
通过坐标与几何关系确定ａ， ， ｂ Ｃ关系求ｅ
例１ 双曲 一 ：ｌ ＞ ， ＞ ） 右 点 ． 线 设 （ ０６ ｏ 的 焦 为Ｆ， 准 与 条 近 交 ， 点， Ａ Ｑ 直角 形， 双 日 右 线， 两 渐 线 于尸 Ｑ两 ￣ Ｐ Ｆ是 三角 求
双曲线离心率求解技巧
双曲线离心率求解技巧双曲线是数学中一种常见的曲线形状，其特点是离心率大于1。
在解决问题和分析双曲线时，了解和计算离心率是一项重要的技巧。
下面是一些关于双曲线离心率求解技巧的详细说明。
首先，让我们回顾一下双曲线的定义。
双曲线可以通过以下方程表示：(x²/a²) - (y²/b²) = 1其中，a和b是曲线的两个参数，通过改变这两个参数的值可以调整曲线的形状。
曲线的离心率可以通过参数a 和b来计算，具体方法如下：1. 找到曲线的焦点坐标。
双曲线的焦点坐标可以通过下面的公式计算：c = √(a² + b²)其中，c是双曲线曲线的焦点到原点的距离。
根据焦点的位置，曲线可以分为两种类型：左右开口和上下开口。
如果曲线是左右开口的，焦点坐标的x分量为±c，y分量为0；如果曲线是上下开口的，焦点坐标的x分量为0，y 分量为±c。
2. 计算离心率。
离心率是一个用来描述在双曲线上的点离焦点的距离和该点到曲线的距离之比。
数学上，离心率可以通过以下公式计算：e = c/a离心率大于1，说明曲线是一个双曲线。
离心率越接近于1，曲线的形状越趋向于直线。
离心率越大，曲线的形状越弯曲。
计算离心率是分析和解决问题的关键步骤之一，因为离心率的大小可以告诉我们关于曲线特性的很多信息。
例如，离心率越大，曲线的焦点越集中，曲线在焦点附近的形状会发生明显变化。
除了上述的求解技巧，还有一些常见的双曲线的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和使用双曲线。
以下是一些常见的例子：1. 长轴和短轴：在双曲线上，a被称为长轴，b被称为短轴。
它们之间的关系是a²- b²= 1。
长轴是双曲线在水平方向上的最长距离，短轴是双曲线在垂直方向上的最短距离。
2. 渐近线：双曲线的渐近线是指曲线在无限远处趋于的直线。
双曲线有两个渐近线，一个是左右开口的情况下的水平渐近线（y = ±(b/a) * x），另一个是上下开口的情况下的垂直渐近线（x = ±(a/b) * y）。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式是指双曲线的离心率有三种可能的表示形式：椭圆离心率，双曲线离心率和双曲线参数离心率。
首先，椭圆离心率是指双曲线的离心率的椭圆形式。
椭圆离心率的表示形式是C=a/b，其中C代表椭圆离心率，a代表双曲线的短半轴长，b代表双曲线的长半轴长。
第二种双曲线离心率表示形式是双曲线离心率。
双曲线离心率的表示形式是C=e，其中C代表双曲线离心率，e代表双曲线的离心率。
最后，双曲线参数离心率的表示形式是C=e/2，其中C代表双曲线参数离心率，e代表双曲线的离心率。
双曲线的三种离心率公式可以用来表示双曲线的各种形状，从而有助于我们对双曲线的研究。
椭圆离心率可以用来表示双曲线的轮廓，双曲线离心率可以表示双曲线的不同程度的弯曲，而双曲线参数离心率可以表示双曲线的不同程度的扭曲。
双曲线是很多几何图形的一种，它的三种离心率公式可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并且可以应用到许多数学问题中。
例如，可以使用双曲线离心率来计算两个双曲线之间的距离，可以使用双曲线参数离心率来计算双曲线的曲率，也可以使用椭圆离心率来计算双曲线的面积。
总之，双曲线的三种离心率公式可以用来帮助我们更好地理解双曲线的形状，它们也可以用来解决许多数学问题，这使得它们极具有实用价值。
离心率的五种求法
离心率的五种求法离心率的五种求法一、直接求出a、c，求解e当已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=c/a来解决。
例如，已知双曲线2-x^2/y^2=1（a>c）的一条准线与抛物线y^2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为(3a^2c^2-13c^2)/(2a^2c)。
解法为：抛物线y=-6x的准线是x=2c^2/3，即双曲线的右准线x=c^2/(a-c)=2c^2/3-1/3.由此得到c=2，a=3，e=c/a=2/3.因此，选D。
变式练1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1,0)、F2(-1,0)，则其离心率为√(2/3)。
解法为：由F1(1,0)、F2(-1,0)知2c=2，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a-c=1，a+c=2，解得a=3/2，e=c/a=√(2/3)。
因此，选C。
变式练2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为√13/2.解法为：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=c/a=√13/2.因此，选C。
变式练3：点P(-3,1)在椭圆4x^2/a^2+2y^2/b^2=1（a>b）的左准线上，过点P且方向为(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为√113/5.解法为：由题意知，入射光线为y-1=-x/2，关于y=-2的反射光线（对称关系）为y+5=-2(x+3)，解得a=3，c=√5，则e=c/a=√113/5.因此，选A。
二、构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。
1到l1的距离，又AB的长为2a，∴XXX的长为a。
设AB的中点为M，则MF1为椭圆的半长轴，由于F1在x轴右侧，∴F1的横坐标为c，且c>a。
设F1为（c，0），则根据椭圆的统一定义，可得c2x2y2a2c2。
其中c为椭圆的半焦距，由题意可得AD的长为a，即MF1的长为a，又MF1为椭圆的半长轴，∴a=c，代入上式得x2y2122c离心率为e=cacc1故选D。
抓住关键__掌握方法_双曲线离心率的求法_王泽龙
，
∴ kAB ·kOP
=－
b2 a2
（值范围
例 7 如图 2，在直角 DEF 中，∠DEF
=
90°，| E→F |
= 2，| E→F + E→D |
=
5 2
，椭圆
C：
x2 a2
+
y2 b2
= 1，以 E、F 为焦点，且过点 D，点 O 为
坐标原点．
（ 1） 求椭圆 C 的标准方程；
为 60°，则双曲线的离心率为
．
分析 先 确 定 双 曲 线 的 图 形，结 合
ＲtB1 OF1 中边角之间几何特征，建立相应的 关系式，进而求解对应的离心率，利用几何法
求解双曲线的离心率关键是应用几何图形的
性质．
解 如图 1，不失一般性，假设双曲线的
焦点在 x 轴上． 由于 c ＞ b，所以
∠B1 F1 B2 = 60°，∠B1 F1 O = 30°． 在 ＲtB1 OF1 中，
设 MN 的中点为 H，则 KH ⊥ MN，此条件涉及
到弦 MN 的中点及弦 MN 的斜率，故用“点差
法”． 解
( ) （ 1）
x2 + y2 43
= 1，K 0，12
． （ 过程
略）
设 M（ x1 ，y1 ） ，N（ x2 ，y2 ） ，H（ x0 ，y0 ） ，直线 l
的斜率为 k（ k ≠ 0） ，则
2a = | PF1 | － | PF2 | = （ 槡3 － 1） m．
而 2c = 2m，
所以根据离心率的定义，有
e=
c a
=
2c 2a
=2 槡3 － 1
=
槡3
+ 1．
椭圆双曲线的离心率问题求解策略
椭圆\双曲线的离心率问题求解策略作者：王峰来源：《中学生数理化·教与学》2011年第04期离心率是椭圆、双曲线的一个重要参数，它与基本元素a，b，c及准线、渐近线、第二定义有着密切的关系.求椭圆、双曲线的离心率的值或范围问题是一类极富思考性和挑战性的重要题型.下面通过典例分类导析，旨在探索该题型的规律，揭示其解题方法.一、求椭圆、双曲线的离心率的值1.直接求出a、c，求解e已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式e=ca来求解.例1 已知双曲线-的一条准线与抛物线-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）.A.32B.32C.33D.233分析：抛物线-6x的准线是x=32，即双曲线的右准线-1c=32，则-3c-2=0，解得c=2,a=3,所以e=ca=233.答案为D.2.变用公式，整体求出e例2 已知双曲线x-的一条渐近线方程为y=43x，则双曲线的离心率为（）.A.53B.43C.54D.32分析：本题不能直接求出a、c，可用整体代入套用公式.答案为A.3.统一定义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率e是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题.例3 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）A.2B.22C.12D.24分析：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为F，则MF⊥x轴，知|MF|是通径的一半，则有|MF|=22.由圆锥曲线统一定义，得离心率e=|MF|d=22.答案为B.4.构造a、c的齐次式，解出e根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.二、求椭圆、双曲线的离心率的范围1.利用圆锥曲线的范围、焦半径的范围等，借用范围构造不等式例４已知双曲线-的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0).若双曲线上存在一点P，使sin∠PF1F2sin∠PF2F1=ac，则该双曲线的离心率的取值范围是．分析：在ΔF1PF2中，由正弦定理得PF2sin∠PF1F2=PF1sin∠PF2F1.由已知得PF2PF1=ac，即PF1=caPF2.可知点P在双曲线的右支上.又由定义知PF1-PF2=2a，则caPF2-PF1=2a.所以-a.由双曲线的几何性质知，PF2>c-a，即-a>c-a 即-2ac-，故该双曲线的离心率的取值范围是12.利用三角形两边之和大于第三边或基本不等式，把等量关系转化为不等量关系进而构造不等式例５已知双曲线-的左、右焦点分别为F1,F2，若P为双曲线右支上一点，且，则该双曲线的离心率的取值范围是 .解析：由定义知|PF1|-|PF2|=2a.又因|PF1|=4|PF2|,所以|PF1|=8a3,|PF2|=2a3.因|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,则8a3+2a3≥2c,即e≤53.又因双曲线e>1，故该双曲线的离心率的取值范围是1注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
双曲线离心率所有公式
双曲线离心率所有公式
双曲线离心率公式是e=c/a =√(a²+b²)/a =√[1+(b/a)²]。
在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
从代数上说双曲线是在笛卡尔平面上由如下方程定义的曲线使得，这里的所有系数都是实数，并存在定义在双曲线上的点对（x，y）的多于一个的解。
注意在笛卡尔坐标平面上两个互为倒数的变量的图像是双曲线。
离心率的五种求法
离心率的五种求法椭圆的离心率10<<e ，双曲线的离心率1>e ，抛物线的离心率1=e ． 一、直接求出a 、c ，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a 、c 易求时，可利用率心率公式ace =来解决。
例1：已知双曲线1222=-y ax （0>a ）的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 23 C. 26 D. 332变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为()0,11F 、()0,32F ，则其离心率为（ ）A.43 B. 32 C. 21 D. 41 变式练习2：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（ ）A.23 B. 26 C. 23 D 2变式练习3：点P （-3，1）在椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的左准线上，过点P 且方向为()5,2-=a 的光线，经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A33 B 31 C 22D 21 二、构造a 、c 的齐次式，解出e根据题设条件，借助a 、b 、c 之间的关系，构造a 、c 的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e 的一元方程，从而解得离心率e 。
例2：已知1F 、2F 是双曲线12222=-by a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）A. 324+B.13- C.213+ D. 13+变式练习1：设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线L过()0,a ，()b ,0两点.已知原点到直线的距离为c 43，则双曲线的离心率为( )A. 2B.3 C. 2 D.332变式练习2：双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为1F 、2F ，021120=∠MF F ，则双曲线的离心率为（ ）A3 B26 C 36 D 33 三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3：设椭圆的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若21PF F ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。
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双曲线离心率的求法 一、利用双曲线定义 例1．已知椭圆E 上存在点P ，在P 与椭圆E 的两个焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2中， 121221sin :sin :sin 7:10:11.PF F F PF PF F ∠∠∠=则椭圆E 的离心率等于
二、利用平面几何性质
例2 设点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-的右支上，双曲线两 焦点21F F 、，|PF |4|PF |21=，求双曲线离心率的取值范围。
三、利用数形结合
例3 （同例2）
四、利用均值不等式
例4 已知点P 在双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>--的右支上，双曲线两焦 点为21F F 、，|
PF ||PF |221最小值是a 8，求双曲线离心率的取值范围。
五、利用已知参数的范围
例5 已知梯形ABCD 中，|CD |2|AB |=，点E 分有向线
段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B
为焦点，当4
332≤λ≤时，求双曲线离心率的取值范围。
六、利用直线与双曲线的位置关系
例6 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-与直线l ：1y x =+交于P 、Q 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、利用点与双曲线的位置关系
例7 已知双曲线)0a (1y a
x 222
>=-上存在P 、Q 两点关于直线 1y 2x =+对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、利用非负数性质
例8 已知过双曲线)0b ,0a (1b
y a x 22
22>>=-左焦点1F 的直线l 交 双曲线于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥（O 为原点），求双曲线离心率的取值范围。
九、利用双曲线性质
例9.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -．若双曲线上存在点P 使1221sin sin PF F a PF F c
∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是。