命题与简易逻辑知识总结

《命题与简易逻辑知识总结》

一、知识总结：

1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．

真命题：判断为真的语句．

假命题：判断为假的语句．

2．“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．

3．原命题：“若p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ”

否命题：“若p ⌝，则q ⌝”逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”

4．四种命题的真假性之间的关系：

（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

5．若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．

若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．

利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；

6．逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝．

7．⑴全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；

全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∃．

⑵存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∀；

二、专项训练

1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ）

A ．简单命题

B ．非p 形式的命题

C ．p 或q 形式的命题

D ．p 且q 的命题

答案：D

解析：“垂直平分”的含义是“垂直且平分”．所以是D ．

2．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（ ）

A ．“p 且q ”是假命题

B ．“p 或q ”是真命题

C ．“非p ”是真命题

D ．“非q ”是真命题

答案：D

解析：“p 且q ”型命题的真假是一假必假，“p 或q ”型命题的真假是一真必真，“非p ”型命题和命题p 的真假相反．所以答案是D ．

3．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A 必要不充分条件

B 充分不必要条件

C 充要条件

D 既不充分也不必要

答案：B

解析：因为互为逆否命题的命题真假相同，所以q 是p 充分不必要条件，答案是B ．

4．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四

个命题中，真命题的个数是（ ）

A 0

B 1

C 2

D 3

答案：C

解析：原命题是真，则逆否命题为真，逆命题为假，所以否命题为假，即有两个真命题，答案是C ．

5．下列命题中为全称命题的是（ ）

A 有些圆内接三角形是等腰三角形 ；

B 存在一个实数与它的相反数的和不为0；

C 所有矩形都有外接圆 ；

D 过直线外一点有一条直线和已知直线平行．

答案：C

解析：“所有的”、“任意一个”等属于全称量词，“存在一个”、“至少有一个”等属于存在量词，因此全称命题是C ，答案为C ．

6．下列全称命题中真命题的个数是（ ）

①末位是0的整数，可以被3整除；

②对12,2+∈∀x Z x 为奇数． ③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；

A 0

B 1

C 2

D 3

答案：C

解析：①比如10，末位是0，但不能被3整除，所以是假命题；②③是真命题．答案是C ．

7．下列特称命题中假命题的个数是（ ）

①0,≤∈∃x R x ；

②有的菱形是正方形；

③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．

A 0

B 1

C 2

D 3

答案：A

解析：①比如-1，；②正方形都是菱形③1既不是合数也不是素数．答案是A ．

8．命题“存在一个三角形，内角和不等于 180”的否定为（ ）

A 存在一个三角形，内角和等于 180

B 所有三角形，内角和都等于 180

C 所有三角形，内角和都不等于 180

D 很多三角形，内角和不等于

180．

答案：B

解析：存在命题的否定是全称命题：“所有三角形，内角和都等于 180”．答案是B ．

9．命题“a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 __________ ．

答案：若a+b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数．

解析：“是”的否定是“不是”，“都是”的否定是“不都是”．

10．（1）如果命题“p 或q ”和“非p ”都是真命题，则命题q 的真假是_________．

（2）如果命题“p 且q ”和“非p ”都是假命题，则命题q 的真假是_________． 答案：（1）真；（2）假

解析：（1）“p 或q ”型命题一真则真，“非p ”型命题和命题p 真假相反．所以“非p ”为真则p 为假，又因为“p 或q ”为真，所以q 为真．

（2）“p 且q ”型命题一假必假，“非p ”型命题和命题p 真假相反．所以“非p ”为假则p 为真，又因为“p 且q ”为假，所以q 为假．

11．填空：指出下列复合命题的真假．

(1)5和7是30的约数．（ ）

(2)菱形的对角线互相垂直平分． （ ）

(3)8x －5＜2无自然数解． （ ）