A空间解几与向量代数1-2

M1M2 {x 2 x 1 ,y 2 y 1 } 0 x1 x2 x
( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j
x2 –x1 为M1M2 在 x 轴上的投影(长度)或坐标 y2 –y1 为 M1M2 在 y 轴上的投影(长度)或坐标
M1M2 {x 2 x 1 ,y 2 y 1 }
为A’与B’，则A’B’的数值称为 . A AB 在轴 u 上的投影。
.B
且 A B A B .
A B u
且 A B A B . 即A 当 B的方向 u的与 正轴 向 取正相 ； 即A 当 B的方向 u的与 正轴 向 取负相 。 记作 pr j u AB AB. 轴 u 称为投影轴。
定理 1 ： pr j u ABAB co,s(A,^ B u )
一 向 称 axi ,量 ,般 向 a为 a 在 y j,a 向 a各 a z量 k 的 分 坐 a 坐量 x 标i 标 。别 a y 轴 j a a —上 在 为 zk — ax的 ,数{a各 向 量ya投 ,xa,za影 y,坐 量 az}
{向 c a,x,,aa o , 量 c y与 ,,称 ax zs o },,为 c y 分向 ,za向轴 为 的 s o 量称 a 。坐 量 的 的 s a 方标 的 向表 —夹 为 角—。示向角 式 z量a。记为
一个原点o , 三个坐标轴 (x, y, z 轴两两垂直) i,j,k为基本单位向 III z量。 II
规定正向：符合右手法则。IV
. p(x, y, z)
构成三个坐标平面：
VI
xoy, yoz, zox
0I
y
分空间为八个卦限:
x
VIII
V
空间点 P
有序数组 (x, y, z)
原点坐标: (0, 0, 0)
在空间直角坐标系中:
点 M1 (x1, y1 , z1),
z
M2(.x2 , y2, z2)
M2 (x2, y2, z1) 向量 M1M2 a
在 x 轴上的投影为:
0
x
x2x1 ax
.
M1(x1, y1, z1) y
在 y 轴上的投影为: y2y1 a y
在 z 轴上的投影为 : z2 z1 az
卦限： I 点的 (,,)
符号: V
(,,)
II
(,,)
VI
(,,)
III
(,,)
VII
(,,)
IV
(,,)
VIII
(,,)
坐标面:
xoy
点的坐标: (x, y, 0)
yoz
(o, y, z)
zox
(x, 0, z)
坐标轴 :
x
y
z
点的坐标: (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z)
而向量是研究空间解几的一个重要工具。
本章重点：
向量的运算 向量的数量积与向量积 二次曲面方程及其图形 旋转曲面方程 平面方程及其求法 空间直线方程及其求法 空间直线与平面的关系 空间曲线在坐标面上的投影
§1 向量及其线性运算
一、空间直角坐标系与向量的坐标表示 1. 向量 向量：有大小也有方向的量。 a M2
方向余弦。
0
y
可表示向量的方向。 x
a a 由x 方y 投向a a 影 余c c 定弦理o ： o ，,,c s s o cco,oc ssso ,aac aaxs y xo s 0zaaay
可保持大小、方向不变进行平移。
又称平移向量， 以下研究的向量均为自由向量。 共线向量： a // b ,
相等两向向量量：经a过平b移可重合a(在一b条直线上)
且指向一致。
向量夹角： 两向 a 与 b 交 量于 s, 一 把其中一向量绕 s 旋转，使其正向
记显若sb作类然把似，一a(a当 当 当 与可条,^aa另定轴ba 的//)一义 //ubb或角向向看b 且 且 度量量作(时 bφ的与向,指 指 ^，正轴a量称 ， )向向 向 ，u规 重的a 为 与 合相 相 夹定 ，0 角b 的 同 反 这( a 20个,： ； ； ^ . 时 时 夹 旋u).转,， ， 角
M1M2 ( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j ( z 2 z 1 ) k
=
a
{ x 2 x 1 , y 2 y 1 ,z 2 z 1 } a xi a yj a zk{ax,ay,az}
M1M2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
或空间两轴 u1, u2 的夹角 (u1,^u2).
注意：空间无负角; 空间没有顺时针方向与逆时针方向的概念。
空间一点 A 在轴 u 上的投影: 过点A 作垂直于轴 u 的平面,
则平面与轴 u 的交点A’ 称为点A 在轴 u 上的投影。
向量 AB 在轴 u 上的投影:
.A . A’
u
向量 AB 的起点A与终点B在轴 u 上的投影
A. .B
—— 投影定理 u’
A B u
定理 2 ： 定理 3 ：
n n
prju( ai ) prjuai
i1
i1
p ru j(a )p ru ja
2. 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，
点 M1 (x1, y1), M2 (x2, y2)
y
y2
M.2 (x2, y2平面解析几何：
平面上的点 平面上的图形
一对数(x, y) 方程 f (x, y) = 0
空间的点
一对数(x, y, z)
空间的图形
方程 f (x, y, z) = 0
因此，我们可用代数方法来研究几何问题。
在学习一元微积分学的过程中， 平面解析几何的知识是必不可少的 ；
在学习多元微积分学的过程中， 空间解析几何的知识是必不可少的。
一向量起点 M1，终点 M2 ， M1 则用有向线段 M1M2 或 a 表示。
线段的长度表示 M1M2 的大小， 称为向量的模, 记为 M1M2 或 a 。
箭头所指的方向就是向量的方向。
单位向量： 模为 1 的向量， 记为 a0 或 M1M20 。
零向量： 模为 0 的向量, 记为 0, 自由向量： 与始点位置无关的向量，
称为向 量 M1M2
的坐标表达式，
( x 2 x 1 ) i ( y 2 y 1 ) j
称为向量 M1M2 的坐标表达式的分解式。
M 1 M 2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2
—— 平面两点间的距离
3 . 空间直角坐标系
对空间的向量 , 建立空间直角坐标系 ：