次序统计量及其分布

, X n )T 的次序统计量，样本的极差定义为 R X ( n ) X (1) max X i min X i
1 i n 1 i n
xi min xi 其观测值为 r x( n ) x(1) max 1 i n 1 i n
4、样本极差的意义 样本极差主要用来描述样本变化幅度以及离散 程度的特征，具有和样本方差类似的含义，但它受 样本异常值的影响较小，同时也容易计算，也可以 作为总体均方差的估计. 在实际中应用比较广泛. 例3(p32例1.20) 从总体中抽取容量为6的样本， 测得样本值为 32, 65, 28, 35, 30, 29 试求,样本中位数、样本均值、样本极差、样本方差、 以及样本标准差。
P{ X (1) y,
(2)当x y时，
, X ( n ) y } P{ X ( i ) y } [F ( y )]n
i 1
n
F( X(1) , X( n ) ) ( x, y ) P{ X (1) x, X ( n) y}
又由于 { X ( n ) y } { X (1) x , X ( n ) y } { X (1) x , X ( n ) y } { X (1) x , X ( n ) y } { x X (1) y , , x X ( n) y}
, X n为来自总体X的样本，则第k
个次序统计量X k的分布密度为
n! f X( k ) ( x ) [ F ( x )]k 1[1 F ( x )]n k f ( x ) ( k 1)!( n k )!
其中k 1, 2,
证
, n.
n 1
根据分布函数的定义，可以得到
P{ X ( i ) x X ( i 1) } P{ X ( n ) x }
0 y1 y2 其他，
yn ,
定理1.21 设总体X的分布密度为f ( x)(或分布函数
为F ( x ), X1 , X 2 ,
, X n为来自总体X的样本，则次序
T 统计量( X (1) , X ) （n） 的联合分布密度为
n( n 1)[ F ( y ) F ( x )]n 2 f ( x ) f ( y ), x y f ( X (1) , X ( n ) ) ( x , y ) 其他， 0,
其观测值为
x n1 ， ( ) 2 x 1 [ x n x n1 ], ( ) 2 (2) 2
n为奇数， n为偶数，
2、样本中位数的意义 样本中位数主要用来描述样本位置的特征， 具有和样本均值类似的含义，但它不受样本异常值 的影响，同时也容易计算，也可以作为总体均值的 估计. 缺点是分布不容易计算，因而在理论讨论时， 带来一定困难. 3、样本极差 定义 设(X (1) , X ( 2 ) , , X ( n ) )T 为样本( X1 , X 2 ,
其中( i1 , i2 ,
, in )是(1, 2,
-1
, n)的一个置换，这样的
置换共n ! ,因而c ( n !) 。由此可见，此条件分布 与总体无关，故
次序统计量是充分统计量.
3、次序统计量的分布
定理1.19 设总体X的分布密度为f ( x)(或分布函数
为F ( x ), X1 , X 2 ,
第1.4节 次序统计量及其分布
一、次序统计量 二、样本中位数和样本极差
一、次序统计量
1、 次序统计量 设( X1 , X 2 , , X n )T 是从总体X中抽取的一个样本,
( x1 , x2 ,
, xn )T 是其一个观测值, 将观测值按由小到
大的次序重新排列为 x(1) x( 2 ) x( n ) 当( X1 , X 2 , , X n )T 取值为( x1 , x2 , xn )T 时, 定义 X ( k )取值为x( k ) ( k 1, 2, n),由此得到
n 1
F ( x) n! k 1 n k = t ( 1 t ) dt (利用分部积分) ( k 1)!( n k )! 0
因此
n! f X（k）( x ) = ( F ( x ))k 1 (1 F ( x ))n k f ( x ) ( k 1)!( n k )!
匀分布,( X1 , X 2 , 分布.
解
, X n )为总体X的样本, 试求X ( k )的
总体X的分布密度为 1, 0 x 1 f ( x) 0, 其他
X的分布函数为 0, x 0 F ( x ) x, 0 x 1 1, x 1
n! k 1 n k f X（k）( x ) = ( F ( x )) (1 F ( x )) f ( x ) ( k 1)!( n k )! n! = ( x )k 1 (1 x )n k , 0 x 1. ( k 1)!( n k )!
例2(p30例1.19) 设总体X 服从区间 [0, ] 上的均
匀分布,( X1 , X 2 ,
, X n )为总体X的样本, 试求样本
的联合分布. 解 总体X的分布密度为
1 , 0 x f ( x ) 0, 其他 样本的联合分布为
f ( y1 , y2 ,
n! n, , yn ) 0,
证
根据分布函数的定义可得
F( X(1) , X( n ) ) ( x, y ) P{ X (1) x, X ( n) y}
以下分两种情形讨论：
(1)当x y时，
F( X(1) , X( n ) ) ( x, y) P{ X (1) x, X ( n) y} P{ X ( n) y}
FX( k ) ( x ) P{ X ( i ) x X ( i 1) } P{ X ( n ) x }
i k n 1
F ( x )),因此
= P{v ( x ) i } P{v ( x ) n}
i k
i = C n [F ( x )]i [1 F ( x )]n i i k n 1
f ( X (1 ) , X ( n ) ) ( x , y )
2 F( X(1) , X( n ) ) ( x , y ) xy
n( n 1)[ F ( y ) F ( x )]n 2 f ( x ) f ( y ), x y 其他， 0,
二、样本中位数和样本极差
i k n 1 ik
FX( k ) ( x ) P{ X ( k ) x } P{( X ( i ) x X ( i 1) X ( n ) x )
设vn ( x ) ( x )表示 x1 , x2 ,
, xn中不超
过 于 x 的个数. 它表示的是总体X 作n次重复独立观 测时，事件{ X x }出现的次数，也就是样本观测中 ( X1 , X 2 , , X n )T 不超过x的个数，因而vn ( x ) B( n,
, X ( n ) )T 称为样本 ( X1 , X 2 , , X n )T 的次序统计量. ( X (1) , X ( 2 ) ,
对应的( x(1) , x( 2 ) , x( n ) )称为其观测值 .
X ( k ) : 样本( X 1 , X 2 ,, X n )的第k个次序统计量.
特别地，X (1) min X i 称为最小次序统计量 .
1 i n
X ( n ) max X i 称为最大次序统计量 .
1 i n
注
由于每个X ( k )都是样本( X 1 , X 2 ,, X n )的函数,
所以, X (1) , X ( 2) ,, X ( n )也都是随机变量 , 并且它们 一般不相互独立 .
定义1.12 设样本X1 , X 2 , , X n按由小到达的顺序重排为
证 由充分统计量的定义可知，只需要证明其条件 分布与总体分布无关即可.由于样本具有独立性与同分 布性，因而
P{ X1 x1 ,
P{ X i1 x(1) , c
, X n xn | X(1) x(1) ,
, X( n) x( n) }
, X ( n) x( n) }
, X in x( n ) | X (1) x(1) ,
X(1) X( 2) X( n)
则称(X (1) , X ( 2 ) ,
, X ( n ) )T 为样本( X1 , X 2 ,
, X n )T 的
次序统计量，X ( k )称为样本的第k个次序统计量,
X (1)称为样本的最小次序统计量, X ( n)称为样本的 最大次序统计量.
2、次序统计量的性质 定理1.19 次序统计量是充分统计量
1、样本中位数 定义 设(X (1) , X ( 2 ) ,
, X ( n ) )T 为样本( X1 , X 2 ,
n为奇数， n为偶数，
, X n )T 的次序统计量，样本的中位数定义为
X n 1 ， ( ) 2 X 1 [ X n X n1 ], ( ) 2 (2) 2
因而
[ F ( y )]n F( X (1) , X ( n ) ) ( x , y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ [ F ( y ) F ( x )]n
所以
F( X (1) , X ( n ) ) ( x , y ) [ F ( y )]n [ F ( y ) F ( x )]n
于是可以得到其联合分布密度为
6 1 2 样本方差：sn xi2 x 2 167.583 6 i 1
1 6 2 2 样本标准差：sn x x 12.954 i 6 i 1
再 见
定理1.20 设总体X的分布密度为f ( x)(或分布函数
为F ( x ), X1 , X 2 , 统计量( X (1) , X , （2）
, X n为来自总体X的样本，则次序
T ,X ) （n） 的联合分布密度为 n n ! f i ( yi ), y1 y2 yn f ( y1 , y2 , , yn ) i 1 0, 其他， 证明省略
说明 (1) 最大次序统计量X ( n )的分布密度为
f X( n ) ( x ) n[ F ( x )]n1 f ( x )
( 2) 最小次序统计量X (1)的分布密度为 f X(1) ( x ) n[1 F ( x )]
n 1
f ( x)
例1(p30例1.18) 设总体X 服从区间 [0,1] 上的均
解
首先将样本观测值进行排序，可得
28, 29, 30, 32, 35, 65,
则
1 样本中位数：x ( x( 3) x( 4 ) ) 31 2 1 6 样本均值：x xi 36.5 6 i 1
样本极差：r max xi min xi 65 28 37
1 i 6 1 i 6