椭圆双曲线的焦点三角形

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椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a += 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。

【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程: ()222210x y a b a b += >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在21PF F ∆中，α=∠21F PF ，β=∠12F PF ，()βαβαsin sin sin ++=e二、椭圆其他结论标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a += >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 21、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b+=若已知切线斜率K ，切线方程为222b k a kx y +±=2、若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+= 3、椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点θ=∠21PF F ，则椭圆的焦点角形的面积为2tan221θb S PF F =∆4、以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5、过焦点的弦中，通径(过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦)最短ab 226、过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF 。

双曲线的焦点三角形面积的公式推导

双曲线的焦点三角形面积的公式推导双曲线的焦点三角形是数学中的一个经典问题，涉及到双曲线的性质和几何形状，也与三角形的面积计算有关。

在本文中，笔者将以从简到繁的方式，全面评估双曲线的焦点三角形面积公式，逐步推导并加深理解，从而能更深入地探讨这个问题。

让我们简单地了解一下双曲线这个基本概念。

双曲线是一个数学曲线，与椭圆、抛物线一样，属于二次曲线的一种。

它的数学定义是一组满足特定方程的点的集合，形式一般为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。

双曲线的性质非常丰富多样，其焦点三角形面积的公式推导将会涉及到双曲线的几何性质。

现在，让我们来思考一下如何计算双曲线的焦点三角形面积。

在给定双曲线的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的情况下，我们需要利用双曲线的几何性质和三角形的面积计算方法来推导出公式。

我们知道双曲线有两条渐近线，它们与双曲线相交于两个点，分别称为焦点。

我们可以得到双曲线的焦点坐标$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。

我们选择双曲线上的一点$(x,y)$，并连接它与两个焦点，得到一个三角形。

现在，我们要计算这个三角形的面积。

根据三角形面积的计算公式，我们可以得到双曲线的焦点三角形面积公式为$S=\frac{1}{2}ab$。

通过这个公式，我们可以简单地计算出双曲线的焦点三角形的面积，而不需要进行繁琐的几何证明和计算过程。

然而，这只是一个简单的推导过程。

如果我们要更深入地理解双曲线的焦点三角形面积公式，我们需要对双曲线的性质和相关定理进行更深入的研究和探讨。

我们可以结合双曲线的参数方程和极坐标方程来推导公式，或者利用双曲线的曲率和弧长来进行推导，这些都将有助于我们对双曲线的焦点三角形面积更深入地理解。

在总结回顾本文的内容时，我们可以看到，双曲线的焦点三角形面积公式是通过数学推导和几何性质相结合得到的。

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程一、椭圆中的焦点三角形面积公式1、公式：)2tan(221αb S F PF =∆． 2、推导过程：设椭圆的标准方程为：）（012222>>=+b a by a x ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，P 是椭圆上异于长轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依椭圆的定义及余弦定理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+==+=αcos 2222122212212222121PF PF PF PF F F c b a aPF PF cF F ⇒)cos 1(2)(21221221α+-+=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α+-=PF PF a c ）（⇒ααcos 12cos 1(222221+=+-=bc a PF PF ）)2tan()2(cos 22cos 2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 21222222121αααααααααb b b b PF PF S F PF =⨯=+⨯=⨯+⨯==∆ 即)2tan(221αb S F PF =∆．二、双曲线中的焦点三角形面积公式1、公式：1-2)2tan(21αb S F PF =∆． 2、推导过程：设双曲线的标准方程为：），（001-2222>>=b a by a x ，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上异于实轴两端点的任意一点，21PF PF 与的夹角为α，则在21F PF ∆中，依双曲线的定义及余弦定理，有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=+===αcos 22-22122212212222121PF PF PF PF F F b a c a PF PF cF F ⇒ )cos 1(2)(21221221α-+-=PF PF PF PF F F 即)cos 1(2)2(22122α-+=PF PF a c ）（⇒ ααcos 12cos 1(222221-=--=b a c PF PF ）12222221)2(tan )2(sin 22cos2sin 2cos 1sin sin cos 1221sin 2121-∆=⨯=-⨯=⨯-⨯==αααααααααb b b b PF PF S F PF 即1-2)2tan(21αb S F PF =∆．。

双曲线焦点三角形面积公式推导

双曲线焦点三角形面积公式推导设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a>b$，焦点坐标为$(\pm c,0)$，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$。

三角形顶点可以取在双曲线上任意三点，不妨设为$(a\sec\theta,b\tan\theta)$，$(a\sec\phi,b\tan\phi)$，$(a\sec\psi,b\tan\psi)$，其中$\theta<\phi<\psi$。

根据双曲线的定义，三角形的三边分别为：$|(a\sec\theta,a\tan\theta)(-c,0)|=a\sqrt{\sec^2\theta+1}$，$|(a\sec\phi,a\tan\phi)(-c,0)|=a\sqrt{\sec^2\phi+1}$，$|(a\sec\psi,a\tan\psi)(-c,0)|=a\sqrt{\sec^2\psi+1}$。

根据海伦公式，三角形面积为：$S=\sqrt{s(s-a\sqrt{\sec^2\theta+1})(s-a\sqrt{\sec^2\phi+1})(s-a\sqrt{\sec^2\psi+1})}$，其中$s=\frac{1}{2}(a\sqrt{\sec^2\theta+1}+a\sqrt{\sec^2\phi+1}+a\ sqrt{\sec^2\psi+1})$为半周长。

将三边代入海伦公式，并化简，可得：$S=\frac{ab}{2}\left|\cos(\theta+\psi-2\phi)+\cos(\theta-2\phi+\psi)+\cos(2\theta+\psi-3\phi)-\cos(\theta+\phi-2\psi)-\cos(\theta-3\phi+2\psi)-\cos(2\theta+\phi-\psi)\right|$ 这就是双曲线焦点三角形面积的公式。

焦点三角形面积最大值

焦点三角形面积最大值
焦点三角形面积的最大值是一个涉及几何学和三角学的问题。

首先，我们需要明确什么是焦点三角形。

在几何学中，焦点三角形通常指的是与某个特定几何形状（如椭圆或双曲线）的焦点有关的三角形。

以椭圆为例，椭圆有两个焦点，任意一点P在椭圆上，与这两个焦点连接形成的三角形就是焦点三角形。

要求这个三角形的面积最大值，我们可以考虑以下几种方法：利用三角形的面积公式：三角形的面积可以通过底和高来计算。

在这种情况下，底可以是两个焦点之间的距离，高是从椭圆上的一点到这条底线的垂直距离。

但是，由于椭圆上的点到焦点的距离是变化的，因此这种方法需要找到使高最大的那个点。

利用椭圆的性质：椭圆有一个性质，即任意一点到两个焦点的距离之和是常数（等于椭圆的长轴）。

这个性质可以用来找到面积最大的焦点三角形。

具体来说，当这个三角形是等腰三角形时（即两个焦点到椭圆上一点的距离相等），面积达到最大。

利用微积分：这个问题也可以通过微积分来解决。

我们可以设椭圆上的一点为P(x,y)，然后用x和y表示三角形的面积。

然后，对面积函数求导，找到使面积最大的x和y值。

无论使用哪种方法，找到焦点三角形面积的最大值都需要一定的数学知识和技巧。

在实际应用中，这个问题可能出现在物理、工程或计算机科学等领域，因此掌握解决这个问题的方法是非常重要的。

怎样解答与焦点三角形有关的问题

焦点三角形是指由椭圆或双曲线上一点与两个焦点构成的三角形.焦点三角形较为特殊，其一条边为椭圆的长轴或双曲线的实轴.与焦点三角形有关的问题经常出现在解析几何试题中.下面结合实例来探讨一下与焦点三角形有关的问题的解法.一、根据椭圆或双曲线的定义求解解答椭圆和双曲线中焦点三角形问题，首先要明确这两种圆锥曲线的几何特征和定义.椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹.若P为椭圆上一点，根据椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|=2a.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，用代数式可表示为||PF1|-|PF2||=2a.若∠F1PF2=θ，根据椭圆的定义可知（1）4c2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ；(2)S△PF1F2=|PF1||PF2|·sinθ；(3)焦点三角形的周长为2(a＋c).对于双曲线，也有类似的性质.例1.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为()5,0和()-5,0，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，ΔABC的面积为2，则双曲线的方程为.解：设||PF1=r1，||PF2=r2，根据双曲线的第一定义可知，||r1-r2=2a，因为PF1⊥PF2，所以r21+r22=||F1F22，可得ìíîïïïïr21+r22=20，SΔABC=12r1r2=2，||r1-r2=2a，解得a2=3，而c=5，所以b2=2，可得双曲线方程：x23-y22=1.此题比较简单，根据题目中的垂直关系，利用双曲线的定义和三角形的面积公式即可建立关于||PF1、||PF2的方程组，解方程组就可以求出双曲线的方程.例2.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1,F2，曲线C1和C2的一个交点为P，且PF1⊥PF2，则C1的离心率e1与C2的离心率e2一定满足的关系是（）.A.e1+e2=2B.1e1+1e2=2C.e21+e22=2D.1e21+1e22=2解：设椭圆C1的方程为x2a21+y2b21=1，双曲线C2的方程为x2a22-y2b22=1，点P在第一象限，半焦距为c.则||PF1+||PF2=2a1，||PF1-||PF2=2a2，所以||PF1=a1+a2,||PF2=a1-a2，因为PF1⊥PF2，||PF12+||PF22=4c2，所以a21+a22=2c2，所以æèçöø÷a1c2+æèçöø÷a2c2=2，即1e21+1e22=2.解答本题，需利用椭圆与双曲线的定义，借助勾股定理建立关于||PF1、||PF2的方程，然后将其转化为a、c的方程，根据圆锥曲线离心率公式e=c a，得到e1、e2的关系式.二、根据正余弦定理求解若三角形ABC的三个内角的对边为a、b、c，则有正弦定理：asin A=b sin B=c sin C=2R.余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A；b2=c2+a2-2ca cos B；c2=a2+b2-2ab cos C.在解答与焦点三角形有关的问题时，可根据正余弦定理建立关于焦点三角形三边的关系式，通过解方程求考点透视36丈丈丈丈数列求和问题是高考数学试题中的“常客”.这类问题的命题形式多变，侧重于考查等差、等比数列的性质、通项公式、前n 项求和公式.解答此类问题的常用方法有分类讨论法、并项求和法、倒序相加法、裂项相消法等.本文主要介绍分类讨论法、倒序相加法和裂项相消法.一、分类讨论法有时数列中出现几类具有不同特征的项，此时需采用分类讨论法来求数列的和.运用分类讨论法求数列的和，需根据数列中各项的特点，对n 进行分类讨论，如分奇数项、偶数项，分整数项、分数项，分正数项、负数项等.运用该方法解题，需仔细观察数列的通项公式的结构或数列中各项的特点，并确定分类的标准，然后逐类进行讨论，求出各类数列的和，最后综合所得的结果即可解题.例1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2=4，a n +1=2S n +1.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n -n -2|}的前n 项和.解：（1）数列n 的通项公式是a n n -1.（过程略）（2）设b n =||3n -1-n -2，则b 1=2，b 2=1，当n ≥3时，3n -1>n +2，可得b n =3n -1-n -2，n ≥3，设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3.当n ≥3时，T n =3+9()1-3n -21-3-()n +7()n -22=3n-n 2-5n +112，故T n =ìíîïï2,(n =1)3n -n 2-5n +112.()n ≥2数列{b n }的通项公式中含有绝对值，经分析可知，当n =1、2时和当n ≥3时数列的前n 项和式不一样，因此需采用分类讨论法，分别讨论当n =1、2时和当n ≥3时数列的通项公式和前n 项和，最后综合所有情况即可.二、倒序相加法倒序相加法是求数列前n 项和的常用方法之一，考点透视。

椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质

２
槡
２２２ｂ＋ｃｔａｎ θ ＝．２ｂｔａｎ θ 由圆锥曲线统一定义知
ｒｃｓａ，ｒｃｓａ，ｅｃｅｃ θ＋ θ－１＝２＝２２２２２２）则ｒｒｃ（ａ＝ｂ＋ｃｔ１＋－ｔａｎθ ａｎ θ，１２＝ｒｒ所以Ｒ＝１２２ｂｔａｎ θ ｂｔａｎ θ）由三角形内心坐标公式知Ｉ（ａ，．１＋ｓｅｃ θ
ｓｓｉｎｉｎ α α 故ｔ＝ａｎ α＝２ｃｏｓ α 槡１－ｓｉｎ α ＝
ｃｓｃｉｎ θ ＝ｓｉｎ θ．２２２２ｂｂｃａｓｃｓｏｓｉｎθ－ｉｎθ θ＋槡
２２
ｒ１＋ｅ由 ① 知ｔａｎ α＝ｂ１－ｅ
槡
④
槡（
ｂ－ｃｓｉｎθ ＝２ｂｓｉｎ θ
２
２
２
）
２
最后分母用均值不等式得
２８１＋ｅｅ时取等当ｒ＝１－ＲＳ≤ ｒ．．ｅｂ１＋ｅ性质１证毕．
数学通报２０１７年第５６卷第４期ｔａｎ θ 得ｒ＝ｂ１＋ｓｅｃ θ （ｒＲ１＋ｓｅｃｒ ⑤ 与 ⑥ 式相乘得ｒ θ）１２＝２由 ⑥ 两边平方整理得２２２２（２＋２＝ｒｂｔｓｅｃｔａｎａｎ θ＋ θ） θ， ⑥ ⑦
（
）
槡Байду номын сангаас
槡
ｂｃ－ａｓｓｃ）ｅｃｅｃ θ（ａ θ＋，ｘ－ａｎ θ＝ｙ－ｔ２ｔ２ｂａｎ θ
２２２ｃｔｂａｎ θ－），故令ｘ＝０知Ｗ（０，２ｂｔａｎ θ ２２２２）（ｃｔｂａｎ θ－２得Ｒ＝ＷＦ２＝ｃ＋２２４ｂｔａｎθ

秒杀题型焦点三角形(椭圆与双曲线)

2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)。

1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。

〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。

专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(一)

专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（一）【微点综述】圆锥曲线是高中数学的重要研究对象，其中具有相同焦点的椭圆与双曲线更是引人瞩目，耐人寻味．在近年高考及全国各地模拟考试中，频繁出现以共焦点的椭圆与双曲线为背景的两离心率之积与两离心率倒数之和的最值与范围问题，此类问题因涉及知识的交汇、体现综合运用能力，学生面对此类问题往往束手无策，本文介绍与此类问题有关的结论，通过具体例子说明结论的应用，供同学们复习时参考．一、常用结论【结论1】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则0000,,y am bn bnx y c c x am===．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭，又()()()2222222222222a n mbc b n c n b b n c +=++-=+，因此22202,a m amx x c c=∴=．又222222222200000022222201,11,,x y x y a m b n bn bn y b b y a b a c a c c x am ⎛⎫⎛⎫+=∴=-=-=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【结论2】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则1222221212,,PF F PF PF a m PF PF b n S bn ∆⋅=-⋅=-=．证明：由椭圆与双曲线的定义得12122,2,PF PF a PF PF m ⎧+=⎪⎨-=±⎪⎩两式分别平方再相减得2212PF PF a m ⋅=-．()()()222212121221cos 4,421cos 4PF PF PF PF c a PF PF c θθ∴+-⋅+=∴-⋅+=，()2121cos 2PF PF b θ∴⋅+=，同理可得()2121cos 2PF PF n θ⋅-+=-，()()()22221212121cos 1cos 2,cos PF PF PF PF b n PF PF b n θθθ∴⋅++⋅-+=-∴⋅=-，2212PF PF b n ∴⋅=-．由椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式得 1212222222tan ,tan ,22tan 2PF F PF F n n nS b S b bnb bθθθ∆∆==∴=∴=⋅=．【结论3】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2222tan ,cos 2n b n b a m θθ-==-．证明：由结论2得222tan 2n bθ=，又tan 0,tan 22n b θθ>∴=．注意到221212221212cos ,cos PF PF PF PF b n a mPF PF PF PF θθ⋅⋅-=∴==-⋅⋅．【结论4】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n -=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，则222212n b b n e e ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．证明：222222222222222222221212111,1,a b c b m c n n n b b n e c c c e c c c e e ⎛⎫⎛⎫+-===+===-∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【评注】结论4反映1212,,,e e b b 之间的等量关系式，等式左边是两分式之和，分母分别是2211,e e ，分子分别是2221,b b ，等式右边是1b 与2b 的平方和．【结论5】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，12,e e 分别为12,C C 的离心率，点()00,P x y 是1C 与2C 的一个公共点，12F PF θ∠=，则2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．证明：证法1：在12PF F ∆中，由余弦定理得22212122cos 4PF PF PF PF c θ+-⋅=，即2222212122cos sin 422PF PF PF PF c θθ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，()()22221212222221212sin cos 4,sin cos 1222222PF PF PF PF PF PF PF PF c c c θθθθ⎛⎫⎛⎫+-∴++-=∴+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212sin cos 221e e θθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．证法2：借助焦点三角形面积公式运用面积公式，设椭圆的短半轴长为1b ，双曲线的虚半轴长为2b ，则121tan 2PF F S b θ=△，1222tan2PF F b S θ=△，所以2221tan 2tan 2b b θθ=，2221b a c =-，2222b c m =-， ()()22222tan 2a c c m θ-=-，整理得：222212sin cos 221e e θθ+=，即22121cos 1cos 2e e θθ-++=．【结论6】已知点()()()12,0,,00F c F c c ->是椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>共同的焦点，点()00,P x y 是椭圆1C 与双曲线2C 的一个公共点，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．证明：椭圆1C 在点()00,P x y 处的切线方程为00221x x y ya b+=，该切线的斜率为20120x b k y a =-，双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线00221x x y ym n-=，该切线的斜率为20220x n k y m =，222220001222222000x b x n x b nk k y a y m y a m∴=-⋅=-；又由结论1得222222222000122220,,1y b n y a m x b n k k x a m=∴=∴=-，则椭圆1C 与双曲线2C 在点()00,P x y 处的切线相互垂直．【结论7】若点()00,P x y 是椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n-=>>的一个公共点，且它们在点()00,P x y 处的切线相互垂直，则椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．证明：由已知得222222221,1,x y a b x y m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y 得()22222222222222221111,a m b n x x a n b m b n a n b m +⎛⎫+=+∴= ⎪+⎝⎭，因此()2222222222000222222222222222222211,11m b n x y x b n a m a m a n b m b n n a n a n b m a n b m ⎡⎤+⎛⎫+-⎢⎥==-=-= ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦．由已知得222222222220000012222222222222222220001,,x b x n x b n x y b n a m k k y a y m y a m a m b n a n b m a n b m+-=-⋅=-=-∴=∴=++，22222222,,a m b n a b m n ∴-=+∴-=+∴椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点．二、应用举例共焦点的椭圆与双曲线问题一般有如下八类题型：（一）公共点问题；（二）公共焦点三角形问题；（三）角度问题；（四）公共点处切线有关问题；（五）求离心率的值（或取值范围）；（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题；（七）求12u ve e +（,u v 为正常数）型最值问题；（八）求2212ke le +（,k l 为正常数）型最值问题.下面我们举例说明题型（一）至（三）及其解题方法．（一）公共点问题1．已知点1F ，2F 分别为椭圆221:110xC y +=的左、右焦点，椭圆1C 与双曲线222:18x C y -=的一个交点为P ，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k ，则k =___________．（二）公共焦点三角形问题2．已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y m n-=>有公共焦点12,F F ，P是它们的一个公共点，则12PF F △的面积为_________，12PF F △的形状是_________．例3．（2022·上海·高三专题练习）3．已知1(2,0)F -､2(2,0)F ，设P 是椭圆2228x y +=与双曲线222x y -=的交点之一，则12PF PF ⋅=___________.4．椭图221:116x y C m +=与双曲线222:18x y C n-=有相同的焦点1F ，2F ，P 为两曲线的一个公共点，则12PF F △面积的最大值为（）A ．4B ．C ．2D ．（三）角度问题5．设椭圆2211128x y C +=：与双曲线2221(0):C mx y m -=>有公共的焦点1F ，2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，则12cos F PF ∠的值为（） A ．79B ．29C ．14D ．19例6．（2022浙江嘉兴市·高二月考）6．设椭圆22162x y += 与双曲线2213x y -= 有公共焦点1F ，2F ，P 是两条曲线的一个公共点，则12cos F PF ∠ 等于__________．【强化训练】一、单选题（2023·全国·高三专题练习）7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（） A ．22145x y -=B ．221810x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022·广东·惠来县第一中学高二月考）8．已知椭圆2219x y +=与双曲线22221x y a b -=共焦点12,F F ，设它们在第一象限的交点为P ，且120PF PF ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．7y x =B ．y =C ．y =D ．y = 9．若椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，P 是两条曲线的一个交点，则12PF F △的面积是A ．4B ．2C ．1D 1 （2022·全国·高三专题练习（文））10．已知双曲线()221:10y C x m m+=≠与222:122x y C -=共焦点，则1C 的渐近线方程为（）A ．0x y ±=B 0y ±=C ．0x ±=D 0y ±=（2022·四川·阆中中学高二月考（文））11．设椭圆2214924x y +=和双曲线22124y x -=的公共焦点为1F ，2F ，P 是两曲线的一个交点，则12F PF ∠的值为（）A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π（2022·福建省同安第一中学高二月考）12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（） A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2022河北·沧州市一中高二月考）13．若()1F ，)2F 是椭圆1C ：2218x y m+=与双曲线2C ：2214x y n -=的公共焦点，且P 是1C 与2C 一个交点，则12F PF ∠=（） A ．6πB ．3π C ．2π D ．23π （2022广东·石门中学高二月考）14．已知双曲线C ：2222x y a b -=1(a >0，b >0)的离心率为32，且与椭圆22110x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（） A ．22810x y -=1B ．2245x y -=1C ．2254x y -=1D ．22108x y -=1二、多选题（2022江苏·高二专题练习）15．若双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ，且1C ，2C 在第一象限相交于点P ，则（）A ．1PF =B ．1C 的渐近线方程为y x =±C ．直线2y x =+与1C 有两个公共点D ．12PF F △的面积为（2022·全国·高三专题练习）16．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有相同的焦点12,F F ，点P 为椭圆与双曲线的一个公共点，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，下列说法中正确的有（）A ．若a ＝2，b12PF PF ⊥，则1232PF F S =△ B ．若a ＝2，b212PF F F ⊥，则22e =C ．若a ＝5，m ，则b n +∈D ．若123F PF π∠=，且2e ∈，则1e ∈⎣⎦三、填空题（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）17．与椭圆2212449x y +=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线方程为______．18．已知椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，若P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=______.19．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y m m+=>和双曲线()2210xy n n-=>，点P 是它们的一个交点，则12F PF ∆面积的大小是________．（2016·上海市延安中学三模（文））20．已知椭圆2212:1(1)x C y a a+=>与双曲线2222:1(0)x C y m m -=>有公共焦点12,F F ，两曲线在第一象限交于点P ，PI 是12F PF ∠的角平分线，O 为坐标原点，1F G 垂直射线PI 于H 点，若1OH =，则=a _________．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，点P 是两曲线的一个交点，若122PF PF ⋅=，则22b n +的值为_____________. （2022宁夏中卫·三模（理））22．已知椭圆()222:103x y C b b+=>与双曲线221:1C x y -=共焦点，过椭圆C 上一点P 的切线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点（1F 、2F 为椭圆C 的两个焦点）．又O 为坐标原点，当ABO 的面积最小时，下列说法所有正确的序号是__________． ①1b =；①当点P 在第一象限时坐标为⎭； ①直线OP 的斜率与切线l 的斜率之积为定值12-；①12F PF ∠的角平分线PH （点H 在12F F ．参考答案：1【分析】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =；联立两方程解出0x ，0y ，即可代入得出答案.【详解】设点()00,P x y ，根据直线的斜率公式得到0y k x =，联立方程22110x y +=与2218x y -=消去y ，得：222108x x +=，解得x =0x =，代入22110x y +=解得：13y =±，即013y =±，00001y y k x x ∴====2． 1 直角三角形【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m n PF m n =+=-，进而根据勾股定理可判断直角三角形，进而可求面积.【详解】不妨设P 在第一象限，12,F F 为左右焦点，焦距为2c ，由椭圆和双曲线的定义可得：12122,2PF PF m PF PF n +=-=，故12,PF m n PF m n =+=-，又22211m n c -=+=，故可得22122PF PF m n =-=且()()2222222212122,42PF PF m n F F c m n +=+==+，故 2221212PF PF F F +=，因此12PF F △形状是直角三角形，以P 为直角， 1212112122PF F SPF PF ==⨯=，故答案为：1；直角三角形. 3．6【分析】由于椭圆与双曲线共焦点，利用两者的定义列出等式求出112||,||PF PF 即可得到答案.【详解】椭圆和双曲线分别化为标准方程为22184x y +=、22122x y -=，可知两曲线共焦点，设1122||,||PF r PF r ==，由定义有：121122r r r r r r ⎧⎧+==⎪⎪⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩11226r r r r ⎧=⎪⨯=⎨=⎪⎩. 故答案为：6.4．A【分析】由两曲线有相同焦点可得,m n 的关系，由椭圆与双曲线的定义可求得点P 到两焦点的距离，为确定值，因此当12PF PF ⊥时，12PF F △面积最大，同时求出,m n 验证正确性．【详解】由题意168m n -=+，即8m n +=，0,0m n >>．不妨设P在第一象限，则12128PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩1244PF PF ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩易知当12PF PF ⊥时，1212142PF F S PF PF ∆==．此时22212448c PF PF =+=，212c =，4m n ==，满足题意．故选：A.【点睛】本题考查椭圆与双曲线的焦点问题，考查椭圆与双曲线的定义．在三角形两边确定情况下，这两边垂直时三角形面积最大．掌握椭圆与双曲线的定义是解本题的关键． 5．A【分析】根据焦点坐标得出双曲线方程，根据椭圆定义和双曲线定义求出12PF F △的边长，利用余弦定理计算12cos F PF ∠的值即可．【详解】由椭圆方程可知：()12,0F -，()22,0F ，由双曲线性质可得：114m +=，故13m =，则222:13x C y -=，不妨设P 在第一象限，由椭圆定义可知：12PF PF +=由双曲线的定义可知：12PF PF -=1PF ∴=2PF 124F F =，22212121212||||7cos 29PF PF F F F PF PF PF +-∴∠==．故选：A ．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义与性质，余弦定理的应用，注意仔细审题，认真计算，属中档题． 6．13【详解】试题分析：，，，则，，考点：1.椭圆定义；2.双曲线定义；3.余弦定理； 7．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =，因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =，所以双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：A ． 8．A【分析】根据椭圆的方程求出双曲线焦点坐标，点P 是在原点为圆心，半径为焦半径的圆上，求出P 点的坐标，代入双曲线方程求解实半轴和虚半轴即可.【详解】对于椭圆2219x y += ，易得椭圆的半焦距的平方28c = ，即双曲线的半焦距的平方=8；对于双曲线22221x y a b-= ，有2228a b c +== …①，12120,PF PF PF PF =∴⊥ ，即P 点是在以原点为圆心，半径为c 的圆上，设()00,P x y ，则有22002200198x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ ，解得2200631,88x y == ，代入双曲线方程并与①联立：22226318818a b a b ⎧⎪⎪-=⎨⎪+=⎪⎩，化简后得：4216630a a -+= ，()()22790aa --= ，解得27a = 或9，由①可知：28a ＜，227,1ab ∴== ，双曲线的方程为：2217x y -=，渐近线方程为y = ；故选：A. 9．C【分析】由已知条件求得2211m n -=+，进而得出222m n -=，联立椭圆和双曲线的标准方程，可求得点P 的纵坐标，并求得12F F ，由此可计算得出12PF F △的面积.【详解】由于椭圆()22211x y m m+=>和双曲线()22210x y n n -=>有相同的焦点1F 、2F ，则2211m n -=+，可得222m n -=，联立22222211x y m x y n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2222222222m n x m n y m n ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，12F F =因此，12PF F △的面积是121211122PF F S F F ==⨯=△. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆和双曲线焦点三角形面积的计算，联立两曲线方程，求出交点坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 10．D【分析】首先求出2C 的焦点坐标，从而求出m 的值，即可得到1C 的方程，即可求出渐近线方程；【详解】解：双曲线222:122x y C -=中22a =、22b =，所以2224c a b =+=，即2C 焦点坐标为()2,0±，因为双曲线()221:10y C x m m --=≠与222:122x y C -=共焦点，所以()14m +-=，解得3m =-，所以双曲线221:13y C x -=，则1C0y ±=；故选：D 11．D【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立1||PF 与2||PF 的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦距12||10F F =，由椭圆、双曲线定义得：1212142PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，两式平方相加得：2221212||||100||PF PF F F +==，于是有122F PF π∠=，所以12F PF ∠的值为2π. 故选：D 12．B【分析】根据已知和渐近线方程可得b a =，双曲线焦距26c =，结合a b c 、、的关系，即可求出结论.【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为y x =，则b a =①. 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9①.由①①解得a ＝2，b C 的方程为22145x y -=.故选：B. 13．B【分析】根据题意，求得参数,m n ，再利用椭圆和双曲线定义，求得12,F P F P ，利用余弦定理，即可求得12F PF ∠.【详解】由题可知：85m =+，54n =+，解得3,1m n ==，不妨设P 为12,C C 在第一象限的交点，12,F P x F P y ==，由椭圆和双曲线定义可得：4,x y x y -=+=22x y =+=，则2224,4x y xy +==，又12F F =在①12F PF 中，由余弦定理可得：(2221224201cos ?282x y F PF xy+--∠===，则123F PF π∠=. 故选：B. 14．B【分析】根据椭圆与双曲线的概念和性质，结合题意即可求解.【详解】椭圆22110x y +=的焦点坐标为()3,0±，则双曲线的焦点坐标为()3,0±，可得c =3，又双曲线C ：2222x y a b-=1的离心率为32，所以32c a =，即a =2，所以b故所求的双曲线方程为2245x y -=1. 故选：B. 15．BD【解析】先由两曲线的焦点相同，求出2b ，可判断BC 选项；再将两曲线联立，求出点P 的坐标，可判断AD 选项，【详解】因为双曲线()2212:102x y C b b -=>与椭圆222:184x y C +=有相同的左右焦点1F ，2F ，所以2284b +=-，解得22b =，即221:122x y C -=，所以其渐近线方程为y x =±，焦点坐标为()12,0F -，()22,0F ，即B 正确；因为2y x =+与双曲线1C 的一条渐近线平行，且2y x =+过右焦点()22,0F ，所以直线2y x =+与1C 只有一个交点，即C 错；由2222122184x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2242x y ⎧=⎨=⎩，又1C ，2C 在第一象限相交于点P，所以(P ，因此1PF ==A 错，12PF F △的面积为121212PF F P SF F y =⋅=D 正确. 故选：BD.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于根据椭圆与双曲线共焦点，先求出双曲线的方程；再结合双曲线的性质，即可求解. 16．BD【分析】对于A ，求出12PF F S 即可判断，对于B ，可求出2232b PF a ==，152PF =，然后由双曲线的定义可得12m =，即可判断，对于C ，可得2218b n+=，然后设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，利用三角函数的知识可判断，对于D ，利用椭圆、双曲线的定义和余弦定理可得2212134e e +=，然后可判断.【详解】对于A ，若a ＝2，b 12PF PF ⊥则1222tantan 452PF F Sb θ=⋅=⋅︒A 错误对于B ：若a ＝2，b ①c ＝1212PF F F ⊥ ，2232b PF a ∴==，1224PF PF a +== 152PF ∴=所以1253122PF PF -=-= 12m ∴=， 22ce m == ，故 B 正确对于C ，若a ＝5，m 因为椭圆与双曲线共焦点 2222a b m n ∴-+= 2218b n ∴+=设,,0,2b n πθθθ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则(6sin 4b n πθθθ⎛⎫⎤+=+=+∈ ⎪⎦⎝⎭，故C 错误对于D ，设1||PF s =，2||PF t =，由椭圆和双曲线的定义可得2s t a +=，2s t m -=，解得s a m =+，t a m =-，在三角形12F PF 中，123F PF π∠=，可得22222222242cos 22()3c s t st a m am a m am a m π=+-=++++---，即有22234a m c +=，可得222234a m c c+=，即2212134e e +=，当2e ∈时可得1e ∈⎣⎦，故D 正确故选：BD17．221169y x -=【分析】求出椭圆的焦点，则可得双曲线的焦点，然后设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，由离心率求出a ，再由222b c a =-求出2b ，从而可求出双曲线的方程【详解】由2212449x y +=可得焦点坐标为(0,5),(0,5)-，由题意设双曲线方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，则554c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，得54c a =⎧⎨=⎩，所以22225169b c a =-=-=，所以双曲线方程为221169y x -=，故答案为：221169y x -=18．3【分析】由题意可得，12124,2PF PF PF PF +=-=，两式平方相减可得12PF PF ⋅的值. 【详解】解：因为椭圆2214x y m+=与双曲线221y x n -=有公共的焦点1F ，2F ，且P 为两曲线的一个交点，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，所以22112222112221624PF PF PF PF PF PF PF PF ⎧+⋅+=⎪⎨-⋅+=⎪⎩, 两式相减得，12412PF PF ⋅=，所以 123PF PF ⋅= 故答案为：3【点睛】此题考查了椭圆和双曲线的概念和性质，属于基础题. 19．1【解析】设1PF s =，2PF t =，由椭圆和双曲线的定义整理得2222 s t m n st m n⎧+=+⎨=-⎩，由焦点相同可得2m n -=，结合余弦定理可证明1290F PF ∠=︒，从而可求出面积.【详解】如图所示，不妨设两曲线的交点P 位于双曲线的右支上，设1PF s =，2PF t =．由双曲线和椭圆的定义可得 s t s t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2222 s t m n st m n ⎧+=+⎨=-⎩，在12PF F △中，()2221222414cos 222m n m s t c F PF st m n+--+-∠==-，①11m n -=+，①2m n -=，①12cos 0F PF ∠=，①1290F PF ∠=︒． ①12F PF △面积为112st =，故答案为:1.【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了双曲线的定义，考查了余弦定理，属于中档题.20【分析】由题意可得2OH GF 且212OH GF =,再结合双曲线的定义可得1m =，然后结合椭圆与双曲线有公共焦点求解即可.【详解】解：由PI 是12F PF ∠的角平分线，1F G 垂直射线PI 于H 点，则点H 为线段1F G 的中点，且1PG PF =,又O 为线段12F F 的中点，则2OH GF 且212OH GF =, 又1OH =,则22GF =,由双曲线的定义可得21222m PF PF GF =-==, 则1m =，又椭圆与双曲线有公共焦点，则2211a m -=+，则23a =，即a =【点睛】本题考查了双曲线的定义，重点考查了椭圆与双曲线共焦点的问题，属中档题. 21．2【分析】不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=，故()()22221212448PF PF PFPF a m +--=-=，解得答案.【详解】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>有公共焦点12,F F ，不妨设P 在第一象限，故2222a b m n -=+，且122PF PF a +=，122PF PF m -=.()()22221212124448PFPF PFPF a m PF PF +--=-=⋅=，即222a m -=，即222b n +=. 故答案为：2.【点睛】本题考查了椭圆和双曲线共焦点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 22．①①【分析】求出b 的值，可判断①的正误；设点()00,P x y 在第一象限内，利用基本不等式求得ABO 面积的最小值，利用等号成立可求得a 的值，可判断①的正误；利用斜率公式可判断①的正误；利用等面积法可求出PH 的长，可判断①的正误.【详解】对于①，双曲线1C的焦点坐标为()，所以，232b -=，0b >，1b ∴=，①正确；对于①，由于椭圆的对称性，设点P 为第一象限内的点，设点()00,P x y ，则220013x y +=，先证明椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 联立00221313x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得22002330x x x y -+-=，即220020x x x x -+=，解得0x x =.所以，椭圆C 在其上一点()00,P x y 处的切线方程为0013x xy y +=. 所以点03,0A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、010,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，由基本不等式可得22000013x y y +=，可得00x y ≤000013133222ABOSx y x y =⋅⋅=≥0y ==0x =0y =①错误；对于①，00OP y k x =，003l x k y =-，所以，13OP l k k =-，①错误；对于①，以12F F 为直径的圆的方程为222x y +=，22622⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则点P 在圆222x y +=上，则12PF PF ⊥， PH m =，由等面积法可得()1212116sin 45222F PF S PF PF m =⨯=⨯+⋅=△，解得m =故答案为：①①.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b+=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.。

双曲线焦点三角形的几何性质

双曲线焦点三角形的几何性质Revised as of 23 November 2020双曲线焦点三角形的几个性质在椭圆中，焦点三角形中蕴含着很多性质，这些性质都可以类比到双曲线焦点三角形中：设若双曲线方程为12222=-by a x ,21,F F 分别为它的左右焦点，P 为双曲线上任意一点，则有：性质1、若θ=∠21PF F 则2cot 221θb S PF F =∆特别地，当 9021=∠PF F 时，有221b S PF F =∆性质2、焦点三角形21F PF 在P ∠处的内角平分线，过2F 作平分线的垂线，设垂足为Q ，则Q 点的轨迹是性质3、以21,r r 为直径做一个圆与大圆（以21A A 为直径的圆）相切。

性质4、双曲线焦点三角形的内切圆与21,F F 相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线12222=-by a x 的焦点三角形的内切圆且三边21F F ，1PF ，2PF 于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为21,A A||||||||||||||||||212121AF AF BF CF PF PF -=-=-a AF AF a PF PF 2||||||,2||||||2121=-∴=-所以A 点在双曲线上，又因为A 在21F F 上，A 是双曲线与x 轴的交点即点21,A A性质5、在双曲线中A ，B 在双曲线上且关于原点对称，P 为椭圆上任意一点，则22ba k k PB PA = 性质6、P 点在x=c 上移动的过程当中，张角APB ∠的取值范围（A ，B 为两顶点）。

]arctan ,0[ba 性质7、双曲线离心率为e ，其焦点三角形21F PF 的旁心为A ，线段PA 的延长线交21F F 的延长线于点B ，则e AP BA =|||| 证明：由角平分线性质得e a c P F P F B F B F P F B F P F B F AP BA ==--===22||||||||||||||||||||21212211 性质8、双曲线的焦点三角形21F PF 中，βα=∠=∠1221,F PF F PF当点P 在双曲线右支上时，有112cot 2tan +-=e e βα 当点P 在双曲线左支上时，有112tan 2cot +-=e e βα。

利用二级结论秒杀椭圆双曲线(解析版)

利用二级结论秒杀椭圆双曲线【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一：椭圆焦点三角形的面积为S =b 2⋅tan θ2(θ为焦距对应的张角)证明：设PF 1=m ,PF 2=nm +n =2a 1 2c 2=m 2+n 2-2mn cos θ2 S △F 1PF 2=12mn sin θ3 ，1 2-2 ：mn =2b 21+cos θ⇒S △F 1PF 2=b 2⋅sin θ1+cos θ=b 2⋅2sin θ2cos θ22cos 2θ2=b 2tanθ2．双曲线中焦点三角形的面积为S =b 2tan θ2(θ为焦距对应的张角)【精选例题】1(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为．【答案】8【解析】因为P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ，则m +n =8,m 2+n 2=48，所以64=(m +n )2=m 2+2mn +n 2=48+2mn ，mn =8，即四边形PF 1QF 2面积等于8.故答案为：8.2设F 1，F 2是双曲线C :x 2-y 23=1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则△PF 1F 2的面积为()A.72B.3C.52D.2【答案】B 【解析】由已知，不妨设F 1(-2,0),F 2(2,0)，则a =1,c =2，∵|OP |=1=12|F 1F 2|，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上]即△F 1F 2P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即|PF 1|2+|PF 2|2=16，又|PF 1|-|PF 2| =2a =2，∴4=|PF 1|-|PF 2| 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16-2|PF 1||PF 2|，解得|PF 1||PF 2|=6，∴S △F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|=3，故选B ．【跟踪训练】1设P 为椭圆x 225+y 29=1上一点，F 1,F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则P 点的纵坐标为()A.334B.±334C.934D.±934【答案】B【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式S =b 2tan θ2求解即可.【详解】由题知S △F 1PF 2=9×tan60°2=3 3.设P 点的纵坐标为h ，则12⋅F 1F 2 ⋅h =33⇒h =±334.故选：B2设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =()A.1B.2C.4D.8【答案】A 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为S PF 1F 2=b 2tan θ2．∴b 2tan45°=4，则b =2，又∵e =ca=5，∴a =1．考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且k AB 与k OM 斜率存在时，则k AB ⋅K OM =−b 2a 2；(焦点在x 轴上时)，当焦点在y 轴上时，k AB ⋅K OM =−a 2b2若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，k PA ⋅K PB =−b 2a 2(焦点在x 轴上时)，当焦点在y轴上时，k PA ⋅K PB =−a 2b2下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，因为AB 过原点，由对称性可知，点B (-x 1，-y 1)，所以k PA ⋅k PB=y 0−y 1x 0−x 1⋅y 0+y 1x 0+x 1=y 02−y 12x 02−x 12．又因为点P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)在椭圆上，所以有x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2)．两式相减得y 02−y 12x 02−x 12=−b 2a 2，所以k PA ⋅k PB =−b 2a2．中点弦问题证明：设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，M x 0，y 0 则椭圆x 12a 2+y 12b 2=11x 22a 2+y 22b 2=12两式相减得y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2k AB ⋅k OM =y 2-y 1x 2-x 1⋅y 0x 0=y 2-y 1x 2-x 1⋅y 1+y 22x 1+x 22=y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2=e 2-1．双曲线中焦点在x 轴上为k OM ⋅k AB =b 2a 2，焦点在y 轴上为k OM ⋅k AB =a 2b 2，【精选例题】3已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，-1)，则G 的方程为A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1【答案】D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=-2，x 21a 2+y 21b 2=1， ① x 22a 2+y 22b 2=1， ②①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b 2a2，又k AB =0+13-1=12，所以b 2a 2=12，又9=c 2=a 2-b 2，解得b 2=9，a 2=18，所以椭圆方程为x 218+y 29=1，故选D4过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若k AB ⋅k OD =12，则C 的离心率为()A.6B.2C.3D.62【答案】D【分析】先设出直线AB 的方程，并与双曲线C 的方程联立，利用设而不求的方法及条件k AB ⋅k OD =12得到关于a 、c 的关系，进而求得双曲线C 的离心率【详解】不妨设过双曲线C 的焦点且斜率不为0的直线为y =k (x -c ),k ≠0，令A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)由x 2a 2-y 2b 2=1y =k (x -c )，整理得b 2-a 2k 2x 2+2a 2k 2cx -a 2k 2c 2+a 2b 2=0则x 1+x 2=2a 2k 2c a 2k 2-b 2，x 1x 2=a 2k 2c 2+a 2b 2a 2k 2-b 2，D a 2k 2c a 2k 2-b 2，kb 2ca 2k 2-b2则k OD =kb 2c a 2k 2c =b 2a 2k ，由k AB ⋅k OD =12，可得b 2a 2k ⋅k =12则有a 2=2b 2，即3a 2=2c 2，则双曲线C 的离心率e =c a =62，故选：D 5已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2．点M为C 上不在坐标轴上的任意一点，且MA 1，MA 2，MB 1，MB 2四条直线的斜率之积大于19，则C 的离心率可以是A.33B.63C.23D.73【答案】AC【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.【详解】设M x 0,y 0 ，依题意可得x 20a 2+y 20b 2=1，则y 20=b 2a 2a 2-x 20 ，x 20=a 2b2b 2-y 20 ，又A 1-a ,0 ,A 2a ,0 ,B 10,b ,B 20,-b ，所以k MA 1⋅k MA 2⋅k MB 1⋅k MB 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a ⋅y 0-b x 0⋅y 0+b x 0=y 20x 20-a 2⋅y 20-b2x 20=b 2a 22>19，b 2a 2>13，从而e =1-b 2a2∈0,63 .故选：AC .【跟踪训练】3已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3C.62D.52【答案】D【分析】设出A,B坐标，根据题意得k MA⋅k MB=14，代入斜率公式，由A点在双曲线上，消元整理得到a,b的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设A x0,y0，则B-x0,-y0，因为tanαtanβ=14，即k MA⋅k MB=14，由M(a,0)，所以y0-0x0-a⋅-y0-0 -x0-a =y20x20-a2=14，因为x20a2-y20b2=1，所以y20=b2a2x20-a2，即b2a2x20-a2x20-a2=14，得b2a2=14，所以b a =12，即b=12a，又c2=a2+b2，所以c2=a2+14a2，即c2=54a2，所以e=ca=52，故双曲线的离心率为e=52．故选：D.4已知A，B，P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为()A.52B.62C.2D.213【答案】D【分析】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，然后表示出k PA⋅k PB，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得k PA⋅k PB=b2a2=43，化简可求出离心率【详解】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，所以k PA⋅k PB=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1=y22-y21x22-x21．因为点A，P在双曲线上，所以x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x22-x12a2=y22-y12b2，所以b2a2=y22-y12x22-x12所以k PA⋅k PB=b2a2=43，所以e2=a2+b2a2=73，所以e=213．故选：D5已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为14，则双曲线的离心率是()A.62B.2 C.32D.2【答案】A【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出b2，从而可求出c，进而可求出离心率【详解】A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，则x124-y12b2=1，x224-y22b2=1，两式相减得14(x1-x2)(x1+x2)-1b2(y1-y2)(y1+y2)=0，所以(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=b24，因为P是AB的中点，所以x1+x2=2m，y1+y2=2n，因为直线OP的斜率为14，所以nm=14，因为过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以k AB=y1-y2x1-x2=2，所以y1-y2x1-x2⋅2n2m=b24，2×14=b24，得b2=2，所以c=a2+b2=4+2=6，所以离心率为e=ca=62故选：A考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b 【精选例题】1若双曲线x2a2-y2b2=1的焦点F2,0到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±3xB.y=±3xC.y=±13x D.y=±33x【答案】B【分析】由题可得b=3，a=1，即得.【详解】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点c,0到渐近线：y=bax，即bx-ay=0的距离为：d=bca2+b2=bcc=b=3，而c=2，从而a=1，故渐近线y=±bax即y=±3x.故选：B.2已知F是双曲线C：x2-my2=3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m【答案】A【解析】双曲线方程为x23m-y23=1，焦点F到一条渐近线的距离为b=3，故选A．【跟踪训练】1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为()A.x 24-y 212=1B.x 212-y 24=1C.x 23-y 29=1D.x 29-y 23=1【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为F c ,0 c >0 ，则x A =x B =c ，由c 2a 2-y 2b2=1可得：y =±b 2a ，不妨设：A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为：bx -ay =0，据此可得：d 1=bc -b 2 a 2+b 2=bc -b 2c ，d 2=bc +b 2a 2+b 2=bc +b 2c ，则d 1+d 2=2bc c =2b =6，则b =3,b 2=9，双曲线的离心率：e =c a =1+b 2a2=1+9a2=2，据此可得：a 2=3，则双曲线的方程为x 23-y 29=1，故选C ．2已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A.x 25-y 24=1B.x 24-y 25=1C.x 23-y 26=1D.x 26-y 23=1【答案】A 【解析】圆C :(x -3)2+y 2=4，c =3,而3bc=2，则b =2,a 2=5，故选A ．考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).【精选例题】3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【答案】D【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =c a=1+b 2a 2=1+6a2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463.故选：D .4(多选题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点分别F 1、F 2，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，双曲线和椭圆的离心率分别为e 1,e 2,△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，则()A.I 到y 轴的距离为aB.点D 的轨迹是双曲线C.若OP =F 1F 2 ，则1e 21+1e 22=5 D.若S △IPF 1-S △IPF 2≥12S △IF 1F2，则1<e 1≤2【答案】ACD【详解】设圆I 与△PF 1F 2三边PF 1,PF 2,F 1F 2的切点为A ,B ,C ，F 1C =F 1A =PF 1 -PB =PF 1 -PF 2 -F 2B =2a +F 2C ，又F 1C +F 2C =2c ，故F 2C =c -a ，故OC =a ，所以I到y轴的距离为a ，故A 正确；过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，延长F 2I 交PF 1于点E ，因为△PED ≅△PF 2D ，则D 为F 2E 的中点且PF 2 =PE ，于是OD =12F 1E =12PF 1 -PE =12PF 1 -PF 2 =a ，故点D 的轨迹是在以O 为圆心，半径为a 的圆上，故B 不正确；设椭圆的长半轴长为a 1，它们的半焦距为c ，并设PF 1 =m ,PF 2=n，根据椭圆和双曲线的定义可得：m+n=2a1,m-n=2a，所以m=a1+a,n=a1-a，在△POF1中，由余弦定理得：PF12=OF12+OP2-2OF1OPcos∠POF1，即m2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF1，在△POF2中，由余弦定理得：PF22=OF22+OP2-2OF2OPcos∠POF2，即n2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF2，由∠POF2=π-∠POF1，两式相加，则n2+m2=10c2，又n2+m2=2a21+2a2，所以2a21 +2a2=10c2，所以a21+a2=5c2，所以a21c2+a2c2=5，即1e21+1e22=5，故C正确；S△IPF1-S△IPF2≥12S△IF1F2，即PF1-PF2≥c，所以2a≥c，即1<e1≤2，故D正确.故选：ACD.5(多选题)已知F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则()A.圆O1和圆O2外切B.圆心O1在直线AO上C.S1⋅S2=π2D.S1+S2的取值范围是2π,3π【答案】AC【详解】双曲线x2-y23=1的a=1,b=3,c=2，渐近线方程为y=3x、y=-3x，两渐近线倾斜角分别为π3和2π3，设圆O1与x轴切点为G过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，可知直线AB的倾斜角取值范围为π3,2π3，O1、O2的的横坐标为x，则由双曲线定义AF1-AF2=2a，所以由圆的切线长定理知x-(-c)-c-x=2a，所以x=a.O1、O2的横坐标均为a，即O1O2与x轴垂直.故圆O1和圆O2均与x轴相切于G1,0，圆O1和圆O2两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，△AF1F2中，AF1>AF2，则AO只能是△AF1F2的中线，不能成为∠F1AF2的角平分线，则圆心O1一定不在直线AO上.选项B错误；在△O1O2F2中，∠O1F2O2=90°，O1O2⊥F2G，则由直角三角形的射影定理可知F2G2=O1G⋅O2G，即(c-a)2=r1⋅r2则r1⋅r2=1，故S1⋅S2=πr21⋅πr22=π2.选项C正确；由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1的取值范围为π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=tan ∠O 1F 2F 1∈33,3 ，又r 1⋅r 2=1，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+1r 21,r 1∈33,3 令f x =x +1x ,x ∈13,3 ，则f x 在13,1 单调递减，在1,3 单调递增.f 1 =2,f 13 =103,f 3 =103,f x =x +1x ,x ∈13,3 值域为2,103 故S 1+S 2=πr 21+1r 21,r 1∈33,3 的值域为2π,103π .选项D 错误.故选：AC .【跟踪训练】3已知双曲线方程是x 2-y 23=1，过F 2的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M 、N 分别为△CF 1F 2、△DF 1F 2的内心，则MN 的范围是.【答案】2,433【详解】因x 2-y 23=1，故a =1，b =3，c =a 2+b 2=2，如图，过M 点分别作MA ⊥F 1F 2，MP ⊥F 2C ，MQ ⊥F 1C ，垂足分别为A ,P ,Q ，因M 为△CF 1F 2的内心，所以AF 1 -AF 2 =QF 1 -PF 2 =CF 1 -CF 2 =2a =2，故A 点也在双曲线上，即A 为双曲线的右顶点，同理NA ⊥F 1F 2，所以M ,A ,N 三点共线，设直线CD 的倾斜角为θ，因双曲线的渐近线方程为y =±3x ，倾斜角为π3，根双曲线的对称性，不妨设π3<θ≤π2，因AF 2 =c-a =2-1=1，所以MA =MA AF 1=tan ∠MF 2A =tanπ-θ2，NA =NA NF 1=tan ∠NF 2A =tan θ2,所以MN =MA +NA =tan π-θ2+tan θ2=sin π-θ2cos π-θ2+sin θ2cos θ2=cos θ2sin θ2+sin θ2cos θ2=1sin θ2cos θ2=2sin θ，因π3<θ≤π2，所以sin θ∈32,1 ，所以2sin θ∈2,433，故答案为：2,4334(多选题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，若H 、G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则()A.C 的渐近线方程为y =±3xB.点H 与点G 均在同一条定直线上C.直线HG 不可能与l 平行D.HG 的取值范围为22,463【答案】ABD【详解】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，双曲线C 的右焦点F 2c ,0 到渐近线的距离为bcb 2+a 2=b =6，由题意知e =ca=1+b 2a2=1+6a2=2，所以a 2=2，所以c =b 2+a 2=22，故双曲线C 的方程为x 22-y 26=1，故渐近线方程为y =±3x ，故A 正确；对于B 选项，记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ，由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴，即H 、G 均在直线x =a 上，故B 正确；对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，HG ⎳l ，故C 错误；对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(O 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =EG +HE =c -a tan θ2+tan 90°-θ2=c -asin θ2cos θ2+sin 90°-θ2 cos 90°-θ2 .c -a sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a 1sin θ2cos θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为b a =3，倾斜角为60°，结合图形可知60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，所以，HG =22sin θ∈22,463，故D 正确.故选：ABD .考点五：已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.【精选例题】6已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为()A.43B.433C.4D.463【答案】B【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1a >a 1 ，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1=c a ，e 2=ca 1，因P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则由余弦定理可得：4c 2=m 2+n 2-2mn cosπ3⋯⋯①在椭圆中，由定义知m +n =2a ，①式化简为：4c 2=4a 2-3mn ⋯⋯②在双曲线中，由定义知m -n =2a 1，①式化简为：4c 2=4a 21+mn ⋯⋯③由②③两式消去mn 得：16c 2=4a 2+12a 21，等式两边同除c 2得4=a 2c 2+3a 21c2，即4=1e 21+3e 22，由柯西不等式得1e 21+3e 221+13 ≥1e 1+3e 2⋅132，∴1e 1+1e 2≤433.故选：B7已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1(左焦点)，F 2(右焦点)，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，C 1，C 2的离心率分别为e 1和e 2，且e 2=2，则()A.a 21-b 21=a 22+b 22B.1e 1+1e 2=2 C.e 1=25D.cos ∠F 1PF 2=34【答案】ACD【分析】A 由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B 、C 由椭圆、双曲线的定义可得|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，而|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，即可判定；D 记∠F 1PF 2=θ，应用余弦定理可得cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21，由已知及B 、C 分析，即可判断.【详解】设C 1，C 2的焦距为2c ，由C 1，C 2共焦点知：a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，故A 正确；△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形知|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，由P 在第一象限知：|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，即2a 1-2c =2a 2+2c ，即a 1-a 2=2c ，即1e 1-1e 2=2，故B 错；由e 2=2且1e 1-1e 2=2，易得e 1=25，故C 正确；在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=θ，根据定义PF 1+PF 2=2a 1PF 1-PF 2=2a 2⇒PF 1=a 1+a 2PF 2=a 1-a 2 ．由余弦定理有(2c )2=(a 1+a 2)2+(a 1-a 2)2-2(a 1+a 2)(a 1-a 2)cos θ．整理得2c 2=a 21+a 22-(a 21-a 22)cos θ，两边同时除以c 2，可得2=1e 21+1e 22-1e 21-1e 22cos θ，故cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21．将e 1=25,e 2=2代入，得cos θ=34．故D 正确故选：ACD ．【跟踪训练】5已知F 是椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 1的下顶点，双曲线C 2：x 2m 2-y 2n 2=1(m >0，n >0)与椭圆C 1共焦点，若直线AF 与双曲线C 2的一条渐近线平行，C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则1e 1+2e 2的最小值为．【答案】22【分析】根据直线AF 与C 2的一条渐近线平行，得到b c =nm，再结合双曲线与椭圆共焦点得到e 1e 2=1，再利用基本不等式求解.【详解】解：设C 1的半焦距为c (c >0)，则F c ,0 ，又A 0,-b ，所以k AF =b c，又直线AF 与C 2的一条渐近线平行，所以b c =n m ，所以b 2c 2=n 2m 2，所以a 2-c 2c 2=c 2-m 2m 2，所以a 2c 2=c 2m 2，所以e 1e 2=1，又1e 1+2e 2=e 2+2e 1e 1e 2=e 2+2e 1≥22e 1e 2=22，当且仅当e 2=2e 1，即e 1=22，e 2=2时等号成立，即1e 1+1e 2的最小值为22．故答案为：22考点六：设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A ,B 两点，若AF =λFB(λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1，即e cos θ =λ-1λ+1．【精选例题】8已知椭圆C :x 24+y 23=1过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF=2FB ，则直线l 的斜率k 的值为．【答案】±52【详解】由题，点A 位于x 轴上方且AF =2FB，则直线l 的斜率存在且不为0，F 1,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则可得-y 1=2y 2，设直线l 方程为x =ty +1，联立直线与椭圆x 24+y 23=1x =ty +1可得3t 2+4 y 2+6ty -9=0，∴y 1+y 2=-6t3t 2+4y 1y 2=-93t 2+4，∴y 2=6t 3t 2+4,-2y 22=-93t 2+4，∴-26t 3t 2+42=-93t 2+4，解得t =±255，则直线的斜率为±52.故答案为：±52.9已知F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l 经过点F 且与双曲线相交于A ,B 两点，记该双曲线的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若AF =2FB，则()A.8e 2-k 2=1B.e 2-8k 2=1C.9e 2-k 2=1D.k 2-9e 2=1【答案】C【详解】由题意，设直线l 的方程为x =my +c ，联立方程组x =my +cx 2a2+y 2b 2=1，整理得(b 2m 2-a 2)y 2+2b 2mcy +b 4=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得y 1+y 2=-2b 2mc b 2m 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2m 2-a 2，因为AF =2FB ，即(c -x 1,-y 1)=2(x 2-c ,y 2)，可得-y 1=2y 2，代入上式，可得y 2=2b 2mcb 2m 2-a 2-2y 22=b 4b 2m 2-a2，可得-22b 2mcb 2m 2-a22=b 4b 2m 2-a2，整理得-8m 2c 2=b 2m 2-a 2，即(8c 2+b 2)m 2-a 2=0，又由c 2=a 2+b 2，可得(9c 2-a 2)m 2-a 2=0，即(9e 2-1)m 2-1=0，所以(9e 2-1)⋅1k2-1=0，可得9e 2-1-k 2=0，即9e 2-k 2=1.故选：C .10已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 1倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若AF 2 =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【详解】设AF 1 =t ，则AF 2 =t +2a =BF 2 ，从而BF 1 =t +4a ，进而BA =4a .过F 2作F 2H ⊥AB =H ，则AH =2a .如图：在Rt △F 1F 2H 中，F 2H =2c sin30°=c ，F 1H =2c cos θ=3c =AF 2 ；在Rt △AF 2H 中，3c 2-c 2=2a2，即2c 2=4a 2，所以e = 2.故选：A 【跟踪训练】6斜率为12的直线l 过椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的焦点F ，交椭圆于A ,B 两点，若AF =23AB ，则该椭圆的离心率为．【答案】53【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由AF =23AB 得：AF =2FB ，∴x 1=-2x 2，即x1x 2=-2；不妨令F 0,c ，则直线l :y =12x +c ，由y =12x +c y 2a 2+x 2b2=1得：b 2+4a 2 x 2+4b 2cx -4b 4=0，∴x 1+x 2=-4b 2cb 2+4a 2x 1x 2=-4b 4b 2+4a2，∴x 1+x 22x 1x 2=x1x 2+x 2x 1+2=-16b 4c 2b 2+4a 2 24b 4b 2+4a 2=-4c 2b 2+4a2=-12，即8c 2=b 2+4a 2=a 2-c 2+4a 2=5a 2-c 2，∴9c 2=5a 2，∴e =c 2a 2=59=53；由椭圆对称性可知：当F 0,-c 时，e =53；∴椭圆的离心率为53.故答案为：53.7已知双曲线x 2a 2-y2b 2=1a ,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且倾斜角为π6的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且AF 2 =BF 2 ，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.22D.23【答案】A【详解】解：过F 2作F 2N ⊥AB 于点N ，设AF 2 =BF 2 =m ，因为直线l 的倾斜角为π6，所以在直角三角形F 1F 2N 中，NF 2 =c ，NF 1 =3c ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =2a ，所以BF 1 =2a +m ，同理可得AF 1 =m -2a ，所以AB =BF 1 -AF 1 =4a ，即AN =2a ，所以AF 1 =3c -2a ，因此m =3c ，在直角三角形ANF 2中，AF 2 2=NF 2 2+AN 2，所以3c 2=4a 2+c 2，所以c =2a ，则e =ca= 2.故选：A .考点七：已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交两条渐近线于P ,Q 两点.情形1.如图1.若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ,则e 2=2λλ−1(*)图1图2如图2.若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1【精选例题】11过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为A ，与双曲线的另一条渐近线交于点B ，若FB =2FA，则此双曲线的离心率为【答案】满足情形1，即λ=2，故e 2=2λλ−1，则e =212已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1，(a >0,b >0)过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若AF BF =12，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.5【答案】A【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点F c ,0 ，渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，如下图所示:由点到直线距离公式可知：FA =bcb 2+a2=b ，又∵c 2=a 2+b 2，∴OA =a ，∵AF BF=12，即BF =2b ，设∠AOF =α，由双曲线对称性可知∠AOB =2α，而tan α=b a ，tan2α=AB OA=3ba ，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tan α1-tan 2α=2×b a 1-b a2=2ab a 2-b 2，即3b a =2ab a 2-b 2，化简可得：a 2=3b 2，即b 2a2=13，由双曲线离心率公式可知：e =ca =1+b 2a2=1+13=233.故选：A .【跟踪训练】8已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别为直线l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线l 分别交l 1，l 2于A ,B 两点，且FB =2AF，则该双曲线的离心率为()A.233B.3C.43D.433【答案】满足情形2，即λ=2，e 2=2λ+1⇒e =233.9F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ,B 两点，若AB =2BF 1，则双曲线的离心率为A.52B.5C.103D.10【答案】B【详解】设直线方程为y =x +c ，与渐近线方程y =±b a x 联立方程组解得y B =bc a +b ,y A =bc b -a,因为AB =2BF 1 ，所以y B -y A =2(0-y B )y A =3y B ∴3bc a +b =bc b -a,∴b =2a ,∴c =5a ,e =5，选B .1已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1 ⋅PF 2 =3，且△PF 1F 2的面积为2，则b 2=()A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.【详解】PF 1 +PF 2=2a 如图所示：设∠F 1PF 2=θ，由题意PF 1 ⋅PF 2 =PF 1 ⋅PF 2 cos θ=3，S △PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2 sin θ=2，两式相比得tan θ=sin θcos θ=43，又θ∈0,π ，且cos 2θ+sin 2θ=1，所以cos θ=35,sin θ=45,PF 1⋅PF 2 =5，而由余弦定理有2c 2=F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2cos θ=PF 1 2+PF 2 2-6，即2c 2+6=PF 1 2+PF 2 2，且由椭圆定义有2a 2=PF 1 +PF 2 2=PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2=2c 2+6+10，所以4b 2=4a 2-4c 2=16，解得b 2=4.故选：C .2椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327【答案】A【分析】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，利用点差法可推出y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，结合题意推出y 0x 0=22，y 1-y 2x 1-x 2=-1，代入y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn化简，即可得答案.【详解】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则mx 21+ny 21=1,mx 22+ny 22=1，两式相减得m (x 21-x 22)+n (y 21-y 22)=0，由已知椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，可知x 1≠x 2，故y 21-y 22x 21-x 22=-m n ，即y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-m n ，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，则x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0，而y 1-y 2x 1-x 2=k MN =-1，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，即y 0x 0=22，故22⋅(-1)=-m n ，即m n =22，故选：A3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线距离为3，则双曲线C 实轴长()A.3B.3C.23D.6【答案】D【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b =3，再结合离心率即可得解.【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为y =-ba x 即bx +ay =0，设双曲线的的右焦点为F c ,0 ,c >0，则c 2=a 2+b 2，所以焦点到渐近线的距离d =bca 2+b 2=bcc=b =3，又离心率e =ca=2，所以a =3，所以双曲线C 实轴长2a =6.故选：D .4(多选题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为12，且经过点3,32,P 在椭圆上，则()A.PF 1 的最大值为3B.△PF 2F 1的周长为4C.若∠F 2PF 1=60°，则△PF 2F 1的面积为3D.若PF 1 PF 2 =4，则∠F 2PF 1=60°【答案】ACD【分析】先求出椭圆方程，然后根据椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题意，椭圆离心率为12，则a :b :c =2:3:1⇒a =23b ，则x 2a 2+y 2b 2=1⇒3x 24b 2+y 2b 2=1，代入3,32 ，得b 2=3⇒a 2=4，所以C :x 24+y 23=1，对A ，由题意PF 1 max =a +c =3，故A 正确；对B ,△PF 2F 1的周长为2a +2c =6，故B 错误；对C ，若∠F 2PF 1=60°，则由余弦定理得：F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°=PF 1 +PF 2 2-3PF 1 ⋅PF 2 .即(2c )2=(2a )2-3PF 1 ⋅PF 2 ，故PF 1 ⋅PF 2 =4，故S △PF 2F 1=12PF 1 ⋅PF 2 sin60°=3，故C 正确；对D ，由余弦定理F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 cos ∠F 2PF 1=PF 1 +PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅1+cos ∠F 2PF 1 ，即4=16-2×41+cos ∠F 2PF 1 ，解得cos ∠F 2PF 1=12，故∠F 2PF 1=60°，故D 正确，故选:ACD5(多选题)设椭圆的方程为x 22+y 24=1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是()A.直线AB 与OM 垂直B.若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x +y -3=0C.若直线方程为y =x +1，则点M 坐标为13,43D.若直线方程为y =2x +2，则|AB |=432【答案】AC【分析】根据椭圆中点弦的性质k AB ∙k OM =-42=-2，可以判断ABC ，对于D ,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得|AB |，从而判断正误．【详解】对于A ：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 222+y 224=1x 212+y 214=1，相减可得x 21-x 222+y 21-y 224=0，所以y 1-y 2x 1-x 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-42=-2≠-1，故A 错误；对于B ：根据k AB ∙k OM =-2，k OM =1，所以k AB =-2，所以直线方程为y -1=-2(x -1)，即2x +y -3=0，故B 正确；对于C ：若直线方程为y =x +1，点M 13,43，则k AB ∙k OM =1×4=4≠-2，所以C 错误；对于D ：若直线方程为y =2x +2，与椭圆方程x 22+y 24=1联立，得到2x 2+(2x +2)2-4=0，整理得：3x 2+4x =0，解得x 1=0,x 2=-43，所以|AB |=1+12∙-43-0 =423，故D 正确；故选：AC ．6(多选题)设A ，B 是双曲线x 2-y 24=1上的两点，下列四个点中可以为线段AB 中点的是()A.0,2B.-1,2C.1,1D.1,4【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得k AB⋅k=4，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称，所以当直线AB的方程为y=2时，线段AB的中点为(0,2)，故A正确；当直线AB的斜率存在且不为0时，设A x1,y1,B x2,y2，则AB的中点Mx1+x22,y1+y22，可得k AB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，因为A,B在双曲线上，则x21-y214=1x22-y224=1，两式相减得x21-x22-y21-y224=0，所以k AB⋅k=y21-y22x21-x22=4.对于选项B：可得k=-2,k AB=-2，则AB:y-2=2(x+1)，即y=2x+4，双曲线的渐近线方程为y=±2x，由于y=2x+4与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B 错误；对于选项C：可得k=1,k AB=4，则AB:y-1=4(x-1)，即y=4x-3，联立方程y=4x-3x2-y24=1，消去y得12x2-24x+13=0，此时Δ=242-4×12×13=-48<0，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,k AB=1，则AB:y-4=x-1，即y=x+3，联立方程y=x+3x2-y24=1，消去y得3x2-6x-13=0，此时Δ=-62+4×3×13>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：AD.7(多选题)若P是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2:x2m2-y2n2=1m>0,n>0在第一象限的交点，且C1，C2共焦点F1，F2，∠F1PF2=θ，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论中正确的是()A.PF1=m+a，PF2=m-a B.cosθ=b2-n2 b2+n2C.若θ=120°，则3e21+1e22=4 D.若θ=90°，则e21+e22的最小值为2【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ；再结合B ，基本不等式等讨论CD 选项即可.【详解】解：依题意，PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ,PF 2 =a -m ，A 不正确；令|F 1F 2|=2c ，由余弦定理得：cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(a +m )2+(a -m )2-4c 22(a +m )(a -m )=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2，因为在椭圆C 1中a 2-c 2=b 2，在双曲线C 2中，m 2-c 2=-n 2，所以cos θ=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2=b 2-n 2b 2+n 2，故B 选项正确；当θ=120°时，cos θ=b 2-n 2b 2+n 2=-12，即3b 2=n 2，所以3a 2+m 2=4c 2，即3a c2+m c2=4，所以，3e 21+1e 22=4，故C 选项正确；当θ=90°时，b 2=n 2，即a 2+m 2=2c 2，所以，a c2+m c 2=2，有1e 21+1e 22=2，因为0<e 21<1<e 22，所以，e 21+e 22=2e 21e 22<2e 21+e 2222，解得e 21+e 22>2，D 不正确；故选：BC8(多选题)如图，P 是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0)在第一象限的交点，且C 1,C 2共焦点F 1,F 2,∠F 1PF 2=θ,C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2，则下列结论正确的是()A.PF 1 =a +m ,PF 2 =a -mB.若θ=60°，则1e 21+3e 22=4C.若θ=90°，则e 21+e 22的最小值为2D.tanθ2=nb【答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2aPF 1 -PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ，PF 2 =a -m ，A 正确；在△F 1PF 2中，由余弦定理得：a -m 2+a +m 2-2a -m a +m cos θ=2c 2，整理得a 21-cos θ +m 21+cos θ =2c 2，a 21-cos θ c 2+m 21+cos θ c 2=2，即1-cos θe 21+1+cos θe 22=2，当θ=60°时，12e 21+32e 22=2，即1e 21+3e 22=4，B 正确；当θ=90°时，1e 21+1e 22=2，e 21+e 22=121e 21+1e 22(e 21+e 22)=1+12e 22e 21+e 21e 22≥1+e 22e 21⋅e 21e 22=2，当且仅当e 1=e 2=1时取“=”，而0<e 1<1,e 2>1，C 不正确；在椭圆中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4a 2-4c 2-2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2b 21+cos θ，在双曲线中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4m 2-4c 2+2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2n 21-cos θ，于是得2n 21-cos θ=2b 21+cos θ⇔n 2b 2=1-cos θ1+cos θ=2sin 2θ22cos 2θ2=tan 2θ2，而0<θ2<π2，则tan θ2=n b ，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.9己知椭圆C :x 2m 2+y 26=1的焦点分别为F 10,2 ，F 20,-2 ，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P 12,12为线段MN 的中点，则直线l 的方程为．【答案】3x +y -2=0【分析】先由题意求出m 2，再由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.【详解】根据题意，因为焦点在y 轴上，所以6-m 2=4，则m 2=2，即椭圆C :x 22+y 26=1，所以P 点为椭圆内一点，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则x 212+y 216=1，x 222+y 226=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 22=-y 1+y 2 y 1-y 26，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2，因为点P 12,12 为线段MN 的中点，所以x 1+x 2y 1+y 2=x 1+x 22y 1+y 22=x P y P=1212=1，所以直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2=-3×1=-3，所以直线l 的方程为y -12=-3x -12，即3x +y -2=0.故答案为：3x +y -2=0.10已知点A ,B ,C 是离心率为2的双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上的三点, 直线AB ,AC ,BC 的斜率分别是k 1,k 2,k 3,点D ,E ,F 分别是线段AB ,AC ,BC 的中点,O 为坐标原点，直线OD ,OE ,OF 的斜率分别是k '1,k '2,k '3.若1k '1+1k '2+1k '3=3,则k 1+k 2+k 3=【答案】3【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出y 0y 1-y 2 x 0x 1-x 2 =b 2a 2,结合离心率为2，求得k 1k '1=1.同理求得k 2k '2=1,k 3k '3=1.代入问题计算即可.【详解】因为双曲线Γ的离心率为2, 所以ba=1.不妨设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,D x 0,y 0 ,因为点A ,B 在Γ上，所以x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式相减,得x 1+x 2 x 1-x 2a 2=y 1+y 2 y 1-y 2b 2,因为点D 是AB 的中点，所以x 1+x 2=2x 0, y 1+y 2=2y 0,。

椭圆双曲线的焦点三角形

• 故选A．
• 【点评】本题主要考题．
当堂训练：
随堂检测：
小结
• 1. 求解圆锥曲线中的面积问题一般会利用余弦定理来求解，在解圆锥曲线的问题中，有些选择题或填空题，如果用常规方法去解题，无疑是小题大做,这在考试特别是高考中，是非常不可取的，运用特殊解法，不但可以节省时间，还可提高准确率；
的内角平分线l的垂线，设垂足为M，求点M的
轨迹。
【线是的分P△轨F析F迹2的2F】．延1M点长′F的线1关中上于位，∠线故F，1|PF故F2M|2的O′|M角=||平=PaF分，1|线由﹣P此|MP可F的2以|对=判2称a断，点出又M点O′在MM直【在解直答线P】F解2的：延点长F线1关上于，∠F1PF2的角平分线PM的对称点M′ 故|F2M′|=|PF1|﹣|PF2|=2a，又OM是△F2F1M′的中位线，故|OM|=a，点M的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆，点M的轨迹方程为x2+y2=a2．【点评】本小题主要考查轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，解答关键是应用角分线的性质解决问题．
4c2 4a2 2 PF1 PF2 1 cos F1PF2
PF1
PF2
2a2 2c2 1 cos F1PF2

2b2
1 cos F1PF2
1
1
2b2
S PF1F2 2 PF1 PF2 sin F1PF2 2 1 cos PF1F2 sin F1PF2
• |PM|=|PN|，|F1M|=|F1D|，|F2N|=|F2D|， • 由|PF2|﹣|PF1|=2a， • 即：|PM|+|MF1|﹣（|PN|+|NF2|）=﹣2a， • 得|MF1|﹣|NF2|=﹣2a即|F1D|﹣|F2D|=﹣2a， • 记C的横坐标为x0，则D（x0，0）， • 于是：x0+c﹣（c﹣x0）=﹣2a， • 得x0=﹣a， • 则内切圆的圆心的横坐标为﹣a．

专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)

A． 48 5
B． 36 5
C．16
D． 48 或 16 5
【答案】D
【详解】依题意， a 5,b 4, c 3 ，不妨设 F1 3, 0, F 3, 0 ，
对于直角三角形 MF1F2 ，
若 F1MF2
π 2
，
PF1 PF2 2a 10
由
PF1
2
PF2
2
4c
2
36
，整理得
PF1
PF2
7 7 3
3
2
33
【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，
在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，SPF1F2
b2 tan
要特别注意记忆
F1PF2 表
2
示的是哪个角.另外利用结论 SPF1F2
b2 求解焦点三角形面积适用选择填空题，解答题需先证后用.
即为 PF1 2 PF2 2 PF1 PF2 4c2
联立可得 PF1 PF2 4c2 4a2 4b2
F1F2P 的面积为
3,
可得 1 2
PF1
PF2
sin 60 1 4b 2 2
3 2
3b2
3
解得
b
1,
a
1 2
，所以双曲线的实轴的长
2a
1.
故选：A
7．（2022
秋·湖南怀化·高二校考阶段练习）椭圆 x2 100
直线 AF 的斜率为（）
A．
1 3
B． 2 3
C．
1 2
D． 2 2
【答案】A
【详解】设双曲线右焦点为 F2 ，连接 AF2 , BF2 ，由图形的对称性知 AFBF2 为矩形，则有 | AF | AF2 2a ，

椭圆双曲线知识点总结

椭圆知识点【知识点1】椭圆的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=【知识点2】椭圆的标准方程焦点在x 轴上椭圆的标准方程:()222210x ya b a b+= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0) 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为：()222210x y a b b a+= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】椭圆的几何性质:规律:(1)椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：焦点在分母大的那个轴上.(2)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(3)在椭圆中，离心率22222221a b a b a a c a c e -=-===(4)椭圆的离心率e 越接近１椭圆越扁；e 越接近于０，椭圆就接近于圆；【知识点4】椭圆中的焦点三角形:定义:∣PF 1∣+∣PF 2∣＝2a ∣F 1F 2∣＝2c余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)面积公式:在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是椭圆上任意一点，θ=∠21PF F ，则2tan 221θb S PF F =∆【知识点5】点(x 0,y 0)与椭圆22221x y a b+=(a >b >0)的位置关系:点P 在椭圆上⇔2200221x y a b+=点P 在椭圆内部⇔2200221x y a b +< 点P 在椭圆外部⇔2200221x y a b+>【知识点6】直线与椭圆位置关系的判断：① 直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=直线与椭圆相交0>∆⇔ 直线与椭圆相切0=∆⇔ 直线与椭圆相离0<∆⇔② 直线斜率不存在时22221x m x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解标准方程()222210x y a b a b += >> ()222210x y a b b a+= >> 图形性质范围 a x a -≤≤b y b -≤≤对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)， A 2(a,0)B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长轴A 1A 2的长为2a ；短轴B 1B 2的长为2b焦距 ∣F 1F 2 |=2c离心率 e=ca∈(0,1) a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 2双曲线知识点【知识点1】双曲线的概念:在平面内到两定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫双曲线．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a -=【知识点2】双曲线的标准方程焦点在x 轴上双曲线的标准方程: ()222210,0x y a b a b-= >>，焦点坐标为（c ，0)，（-c ，0)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为：()222210,0y x a b b a-= >>焦点坐标为（0，c ，）(o ，-c )【知识点3】双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b a x y ＝±a b x离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a 、b 、c 的关系 c 2＝a 2＋b 2(c ＞a ＞0，c ＞b ＞0)规律:1.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2.区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.(2)双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e ∈(0,1)． (3)在双曲线中，离心率22222221c c a b be a a a a+====+ (4)双曲线的离心率e 越接近大,开口越阔.【知识点4】双曲线中的焦点三角形:定义:∣PF 1∣-∣PF 2∣＝±2a ∣F 1F 2∣＝2c余弦定理:∣F 1F 2∣2=∣PF 1∣2+∣PF 2∣2-2∣PF 1∣∣PF 2∣cosθ(∠F 1PF 2=θ)面积公式:在双曲线12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上任意一点，θ=∠21PF F ，则122tan2F PF b S θ∆=【知识点5】直线与双曲线的位置关系的判断：设直线)0(:≠+=m m kx y l ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b（1）若0222=-k a b 即a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；（2）若0222≠-k a b 即ab k ±≠时，))((4)2(222222222b a m a k a b mk a -----=∆①0>∆⇒直线与双曲线相交，有两个交点； ②0=∆⇒直线与双曲线相切，有一个交点； ③0<∆⇒直线与双曲线相离，无交点；【知识点6】弦长公式:│AB │=2221212121||1()4k x x k x x x x +⋅-=+⋅+-⋅21ka∆=+， 12211AB y y k ==+-211k a∆=+ （其中k 为直线斜率）【知识点7】中点弦问题（点差法）：遇到弦中点，两式减一减。

双曲线上的点与焦点围成的三角形面积

双曲线上的点与焦点围成的三角形面积双曲线是一个非常特殊的数学曲线，它与椭圆、抛物线、圆等曲线有着不同的性质和特点。

双曲线由两个分离的支撑形成，这两个支撑与双曲线上的所有点的距离之和相等。

这两个支撑点被称为焦点，它们在双曲线上具有很重要的作用。

在本文中，我们将探讨双曲线上的点与焦点围成的三角形面积。

这个问题涉及到一些高等数学知识，如双曲线的方程和曲线积分，但我们将尽量用简单的语言和例子来解释它。

首先，我们来看一下什么是双曲线。

双曲线可以用下面的方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中$a$和$b$是双曲线的参数，控制曲线的形状。

双曲线有两个支撑，它们在$x$轴上分别位于$(-c,0)$和$(c,0)$处，其中$c=\sqrt{a^2+b^2}$是焦点之间的距离。

现在假设我们有一个双曲线上的点$P$，它与左侧焦点$F_1$和右侧焦点$F_2$的距离分别为$d_1$和$d_2$。

我们要计算的是点$P$、焦点$F_1$和焦点$F_2$围成的三角形面积$S$。

为了计算这个面积，我们可以使用曲线积分的方法。

具体地说，我们需要计算曲线$C$沿着点$P$到焦点$F_1$的路径的积分，再减去曲线$C$沿着点$P$到焦点$F_2$的路径的积分，即：$$S=\int_{C_1}ydx-\int_{C_2}ydx$$首先考虑曲线$C_1$，它可以表示为：我们可以进行一些代数变换，使得这个积分变为一个和已知函数有关的积分。

具体地说，我们令$x=a\cosh{u}$，得到：$$\int_{C_1}ydx=\int_{\cosh^{-1}{\frac{d_1}{a}}}^0b\sqrt{\cosh^2{u}-1}\sinh{u}du$$这个积分可以用三角代换来求解，最终结果为：进行同样的变换，令$x=a\cosh{u}$，得到：将这两个积分相减，得到：$$S=\frac{1}{2}ab\left(\ln{\frac{a+d_1}{b}}-\ln{\frac{a+d_2}{b}}-\frac{d_1}{a} \sqrt{1+\frac{d_1^2}{a^2}}+\frac{d_2}{a}\sqrt{1+\frac{d_2^2}{a^2}}\right)$$这个式子可以进一步化简，变成：这就是我们要求解的双曲线上的点与焦点围成的三角形面积的公式。

椭圆中与焦点三角形有关的问题

..椭圆中与焦点三角形有关的问题例 1：椭圆x2y21的焦点为F l、F2，点 P 为其上动点，当F1 PF2为钝角时，9 4点 P 横坐标的取值范围是 _______。

（二）问题的分析问题 1.椭圆 x 2y 21的焦点为F l、F2，点P为其上一点，当F1 PF2为直角时，94点 P 的横坐标是 _______。

问题 2.而此题为钝角，究竟钝角和直角有何联系？解题的关键在于点动，发现F1 PF2的大小与点P的位置有关，究竟有何联系。

性质一：当点 P 从右至左运动时，F1 PF2由锐角变成直角，又变成钝角，过了Y轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点 P 与短轴端点重合时，F1PF 2达到最大。

3.“性质一”是为什么呢？你能证明吗？问题 3：解三角形中我们常用的理论依据是什么？问题 4：究竟转化为求哪种三角函数的最值，经演算、试验，悟出“欲求F1PF 2的最大值，只需求cos F1 PF2的最小值”问题 5：由上面的分析，你能得出cos F1PF2与离心率 e 的关系吗？性质二：已知椭圆方程为x2y2a 1(ab 0), 两焦点分别为 F1 , F2 , 设焦点三角形2b2PF1F2中 F1PF2, 则 cos12e2 . （当且仅当动点为短轴端点时取等号）题x2y21(a b 0) 的两个焦点，椭圆上一2：已知F1、F2是椭圆b 2a 2点 P 使F1 PF2 90 ，求椭圆离心率 e 的取值范围。

变式1：已知椭圆x2y 21(a b 0) 的两焦点分别为F1, F2 , 若椭圆上存在一点P, 使a2b2得F1 PF2 1200 , 求椭圆的离心率 e 的取值范围。

变式 2 ：若椭圆x2y 2 1 的两个焦点 F1、 F2，试问：椭圆上是否存在点P ，使43F1 PF2 90 ？存在，求出点P 的纵坐标；否则说明理由。

（三）问题引入2x2y2，则 PF1F2题 3：P是椭圆 1 上的点，F l，F2是椭圆的焦点，若 F1 PF2543的面积等于 _______。

大招17 双曲线焦点三角形内切圆问题

大招17 双曲线焦点三角形内切圆问题大招总结双曲线焦点三角形的内切圆与12F F 相切于实轴顶点;且当P 点在双曲线左支时,切点为左顶点,且当P 点在双曲线右支时,切点为右顶点.证明:设双曲线22221x y a b-=的焦点三角形的内切圆且三边1212,,F F PF PF 于点,,A B C ,双曲线的两个顶点为12,A A||121212||PF PF CF BF AF AF -=-=-12122,2PF PF a AF AF a -=∴-=,A ∴在双曲线上,又A 在12F F 上, A 是双曲线与x 轴的交点即点12,A A椭圆焦点三角形的旁切圆与12F F 所在直线相切与顶点,当P 点位于左侧时,旁切圆在左侧切点是左顶点,在右侧时候,切点是右顶点证明:22,MP NP F N AF ==11112222F M F A F P F F PN NF a c ∴+=+++=+11F M F A a c ∴==+因此A 为切点典型例题例1.双曲线221169x y -=的左、右焦点分别12,F F P 、为双曲线右支上的点,12PF F 的内切圆与x 轴相切于点C ,则圆心I 到y 轴的距离为() A.1 B.2 C.3 D.4解:设三角形内切圆的切点为,,A B C ,其中C 在X 轴上,那么2121F C FC F A F B -=-,又AP PB =所以212121212F C FC F A F B F A AP F B BP F P F P a -=-=+--=-= 8=,又211210F C FC F F +== 所以C 点的横坐标为4,I 点的横坐标也为4, 故圆心I 到y 轴的距离为4.故选D.例2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F e 为双曲线的离心率,P 是双曲线右支上的点,12PF F 的内切圆的圆心为I ,过2F 作直线PI 的垂线,垂足为B ,则点B 的轨迹是() A.椭圆 B.圆 C.抛物线 D.双曲线解:()()12,0,,0F c F c -,内切圆与x 轴的切点是点A ,122PF PF a -=,及圆的切线长定理知, 122AF AF a -=,设内切圆的圆心横坐标为x ,则()()2x c c x a +--= x a ∴=;OA a =,在2PCF 中,由题意得,2F B PI ⊥于B ,延长交12F F 于点C ,利用2ΔPCB PF B ≅,可知2PC PF =,∴在三角形12F CF 中,有:()()111211112.2222OB CF PF PC PF PF a a ==-=-=⨯=即点B 的轨迹是以O 为圆心,半径为a 的圆, 故选B.例3.已知(P 在双曲线22214x y b-=上,其左、右焦点分别为12F F 、,三角形12PF F 的内切圆切x 轴于点M ,则2MP MF ⋅的值为（）A.1B.1C.2D.解:(P 在双曲线22214x y b -=上,可得b =()()123,0,3,0F F ∴-,如图,设(),0M x ,内切圆与x 轴的切点是点12,M PF PF 、与内切圆的切点分由双曲线的定义可得1224PF PF a -==,由圆的切线长定理知,PN PH =,故124NF HF -=,即124MF HF -=,设内切圆的圆心横坐标为x ,则点M 的横坐标为x , 故()()334,2x x x +--=∴=.(()2232,02MP MF ∴⋅=⋅-=,故选C.例4.点P 是双曲线22221x y a b-=右支上一点,12F F 、分别为左、右焦点.12PF F 的内切圆与x 轴相切于点N .若点N 为线段2OF 中点,则双曲线离心率为()1 B.2D.3 解:12PF F 的内切圆与x 轴相切于点.N ,设切点分别为,,N A B ,并设1122,,PA PB x BF NF y AF NF z ======,根据双曲线的定义122PF PF a -=,()()2,2x y x z a y z c ∴+-+=+=,解得z c a =-,点N 为线段2OF 中点,11,22z c c c a ∴=∴=-,2,2c a e ∴=∴=.故选B.自我检测1.椭圆2212:1(0)x C y a a +=>与双曲线2222:1(0)x C y m m-=>有公共焦点,左右焦点分别为12,F F ,曲线12,C C 在第一象限交于点,P I 是12PF F 内切圆圆心,O 为坐标原点,2F H 垂直射线PI 于H 点,OH =则I 点坐标是.解:由题意,122PF PF m m -===椭圆2212:1(0)x C y a a +=>与双曲线2222:1(0)x C y m m-=>有公共焦点,2211a m ∴-=+2a ∴=∴椭圆方程为2214x y +=,双曲线方程为2212x y -=联立方程可得P ⎝⎭设内切圆的半径为r ,圆心坐标为(),x r ,则由等面积可得(11422r ⨯=⨯+,2r ∴=-2PF的方程为y x =∴由I到直线的距离等于2-可得x =∴圆心坐标为.故答案为:2.已知点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左支上除顶点外的一点,12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,1221,PF F PF F ∠α∠β==,双曲线离心率为e ,则tan2tan2aβ=（） A.11e e -+ B.11e e +- C.22e 1e 1+- D.22e 1e 1-+解:依题意,在12PF F 中,由正弦定理得:()2121sin sin sin 180PF PF F F αβαβ==⎡⎤-+⎣⎦与合比定理得:()2121sin sin sin 180F F PF PF βααβ-=--⎡⎤-+⎣⎦,即()22sin sin sin c a αβαβ=+-,2sincossinsincoscossintantansin()222222222sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin tan tan 222222222c e a αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++++-======+-----tan112tantan ,.2121tan 2e e e e ααββ++∴=⋅∴=-- 故选B.3.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 和2F 点O 为双曲线的中心,点P 在双曲线的右支上,12PF F 内切圆的圆心为Q ,圆Q 与x 轴相切于点A ,过2F 作直线PQ 的垂线,垂足为B ,则下列结论成立的是（）A.OA OB >B.OA OB =C.OA OB <D.OA 与OB 大小关系不确定易知:121221211111,2222IF F PF F IF F PF F ∠∠α∠∠β====1212tan121tan2IAF A F A a c e IA F A c a e F Aαβ++====-- 3.解:()()12,0,,0F c F c -,内切圆与x 轴的切点是点A122PF PF a -=,及圆的切线长定理知, 122AF AF a -=,设内切圆的圆心横坐标为x ,则()()2x c c x a +--=x a ∴=;即OA a =,在三角形2PCF 中,由题意得,它是一个等腰三角形,2PC PF =,∴在三角形12F CF 中,有：()()111211112.2222OB CF PF PC PF PF a a ==-=-=⨯=OB OA ∴=.故选B.4.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,点P 在双线线上且不与顶点重合,满足1221tan3tan22PF F PF F ∠∠=,该曲线的离心率为 .解:易知p 点在左支上,估12PF F 的内切圆I易得I 切12F F 于A 点1221tan3tan22PF F PF F ∠∠=121133IA IA F A AF c a c a∴=∴=⋅-+33422c a c a a c c a ∴+=-∴=∴=2e ∴=5.已知点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于左、右顶点的任意一点,12,/2F F ～是左、右焦点,连接12,PF PF ,作12PF F 的旁切圆(与线段21,PF F P 延长线及12F F 延长线均相切),其圆心为O ',则动圆圆心O '的轨迹所在曲线是() A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线解:如图画出圆M ,切点分别为E D G 、、,由切线长相等定理知1122,,FG F E PD PE F D F G ===, 根据椭圆的定义知122PF PF a +=, ()1212PF PF F E DF PD PE ∴+=+=()1211FG F D FG F E =+= 122FG F G a =+=,22222,F G a c F G a c ∴=-=-,即点G 与点A 重合,∴点M 在x 轴上的射影是长轴端点,A M 点的轨迹是垂直于x 轴的一条直线(除去A 点);故选A.。

微重点椭圆、双曲线的二级结论的应用

微重点椭圆、双曲线的二级结论的应用椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式．法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解．考点一焦点三角形核心提炼焦点三角形的面积公式：P 为椭圆(或双曲线)上异于长轴端点的一点，F 1，F 2且∠F 1PF 2＝θ，则椭圆中12PF F S △＝b 2·tan θ2，双曲线中12PF F S △＝b 2tan θ2.例1 (2022·临川模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率为e ＝12，点P 为该椭圆上一点，且满足∠F 1PF 2＝π3，已知△F 1PF 2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 答案 D解析由e ＝12，得c a ＝12，即a ＝2c .①设△F 1PF 2的内切圆的半径为r ，因为△F 1PF 2的内切圆的面积为3π，所以πr 2＝3π，解得r ＝3(舍负)，在△F 1PF 2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知12F PF S △＝b 2tan ∠F 1PF 22＝12r (2a ＋2c )，即33b 2＝3(a ＋c )，② 又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③得c ＝3，a ＝6，b ＝33，所以该椭圆的长轴长为2a ＝2×6＝12. 易错提醒 (1)要注意公式中θ的含义．(2)椭圆、双曲线的面积公式不一样，易混淆．跟踪演练1 如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62答案 D解析设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3.又四边形AF 1BF 2为矩形，所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°，即b 22＝b 21＝1.所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62. 考点二焦半径的数量关系核心提炼焦半径的数量关系式：直线l 过焦点F 与椭圆相交于A ，B 两点，则1|AF |＋1|BF |＝2ab 2，同理，双曲线中，1|AF |＋1|BF |＝2ab 2.例2 已知双曲线C 的左、右焦点分别为F 1(－7，0)，F 2(7，0)，过F 2的直线与C 的右支交于A ，B 两点．若AF 2--→＝2F 2B --→，|AB |＝|F 1B |，则双曲线C 的方程为________．答案 x 23－y 24＝1解析如图，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ，∴|AB |＝3t ，|F 1B |＝3t ，又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴12t ＋1t ＝2a b 2，即32t ＝2a b2，又|F 1B |－|F 2B |＝2a ，∴3t －t ＝2a ，∴2t ＝2a ，∴t ＝a ， ∴32a ＝2ab 2，即3b 2＝4a 2，又c ＝7，∴a 2＋b 2＝7，解得b 2＝4，a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 24＝1.易错提醒公式的前提是直线AB 过焦点F ，焦点F 不在直线AB 上时，公式不成立．跟踪演练2 已知椭圆C ：x 216＋y 24＝1，过右焦点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF 2|＝2，则|AB |＝______，cos ∠F 1AB ＝________. 答案 83 －13解析由椭圆方程知a ＝4，b ＝2，|AF 2|＝2，又1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2，即12＋1|BF 2|＝84，解得|BF 2|＝23，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝83，由椭圆定义知|AF 1|＝8－2＝6，|BF 1|＝8－23＝223，在△AF 1B 中，由余弦定理，得 cos ∠F 1AB ＝62＋⎝⎛⎭⎫832－⎝⎛⎭⎫22322×6×83＝－13.考点三周角定理核心提炼周角定理：已知点P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A ，B 为长轴(或实轴)端点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.例3 已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左、右两个顶点为A ，B ，点M 1，M 2，…，M 5是AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为k (k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10，这10条直线的斜率乘积为( ) A ．－116B ．－132C.164D.11 024答案 B解析由椭圆的性质可得11·AP BP k k＝22·AP BP k k ＝－b 2a2＝－12.由椭圆的对称性可得11010111012·.BP AP BP AP AP AP k k k k k k =-＝，＝，同理可得293847561····=.2AP AP AP AP AP AP AP AP k k k k k k k k -＝＝＝∴直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为⎝⎛⎭⎫－125＝－132. 规律方法周角定理的推广：A ，B 两点为椭圆(双曲线)上关于原点对称的两点，P 为椭圆(双曲线)上异于A ，B 的任一点，则椭圆中k P A ·k PB ＝－b 2a 2，双曲线中k P A ·k PB ＝b 2a2.跟踪演练3 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上、下顶点分别为A ，B ，直线AF 2与该椭圆交于A ，M 两点，若∠F 1AF 2＝90°，则直线BM 的斜率为( ) A.13 B.12 C ．－1 D ．－12 答案 B解析 ∵∠F 1AF 2＝90°，∴△F 1AF 2为等腰直角三角形，∴b ＝c ， ∴a 2＝2b 2＝2c 2， ∴b 2a 2＝12，且∠AF 2O ＝45°，∴k MA ＝－1，又k MA ·k MB ＝－b 2a 2＝－12，∴k MB ＝12.考点四过圆锥曲线上点的切线方程核心提炼已知点P (x 0，y 0)为椭圆(或双曲线)上任一点，则过点P 与圆锥曲线相切的切线方程为椭圆中x 0xa 2＋y 0y b 2＝1，双曲线中x 0x a 2－y 0y b2＝1.例4 已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1.如图，设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝R 2(1<R <2)相切于点A ，与椭圆C 相切于点B ，则|AB |的最大值为________．答案 1解析连接OA ，OB ，如图所示．设B (x 0，y 0)，所以过点B 与椭圆相切的直线方程为x 0x4＋y 0y ＝1，即x 0x ＋4y 0y －4＝0，又R 2＝|OA |2＝16x 20＋16y 20， R 为圆半径，R ∈(1,2)，|AB |2＝|OB |2－R 2＝x 20＋y 20－16x 20＋16y 20，又x 24＋y 20＝1，所以x 20＝4－4y 20，所以|AB |2＝4－3y 20－43y 20＋1＝5－(3y 20＋1)－43y 20＋1≤5－24＝1，当且仅当3y 20＋1＝43y 20＋1，即y 20＝13，x 20＝83时，等号成立，所以|AB |max ＝1，此时R 2＝16x 20＋16y 20＝2，即R ＝2∈(1,2)，故当R ＝2时，|AB |max ＝1.规律方法 (1)该切线方程的前提是点P 在圆锥曲线上．(2)类比可得过圆(x －a )2＋(y －b )2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )·(y －b )＝1.跟踪演练4 已知F 为椭圆C ：x 23＋y 22＝1的右焦点，点A 是直线x ＝3上的动点，过点A 作椭圆C 的切线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则|MF |＋|NF |－|MN |的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 D解析由已知可得F (1,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (3，t )则切线AM ，AN 的方程分别为x 1x 3＋y 1y2＝1，x 2x 3＋y 2y2＝1，因为切线AM ，AN 过点A (3，t )，所以x 1＋ty 12＝1，x 2＋ty 22＝1，所以直线MN 的方程为x ＋ty2＝1，因为F (1,0)，所以1＋t ×02＝1，所以点F (1,0)在直线MN 上，所以M ，N ，F 三点共线，所以|MF |＋|NF |－|MN |＝0.专题强化练1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点P 作双曲线C 的切线l ，若直线OP 与直线l 的斜率均存在，且斜率之积为25，则双曲线C 的离心率为( )A.295B.303C.355D.305答案 C解析设P (x 0，y 0)，由于双曲线C 在点P (x 0，y 0)处的切线方程为xx 0a 2－yy 0b 2＝1，故切线l 的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0，因为k ·k OP ＝25，则b 2x 0a 2y 0·y 0x 0＝25，则b 2a 2＝25，即双曲线C 的离心率e ＝1＋25＝355. 2．(2022·保定模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l ：y ＝kx (k ≠0)与C 交于M ，N 两点，且四边形MF 1NF 2的面积为8a 2.若点M 关于点F 2的对称点为M ′，且|M ′N |＝|MN |，则C 的离心率是( ) A. 3 B. 5 C ．3 D ．5 答案 B解析如图，由对称性知MN 与F 1F 2互相平分，∴四边形MF 2NF 1为平行四边形， ∵F 2为MM ′的中点，且|MN |＝|M ′N |， ∴NF 2⊥MF 2，∴四边形MF 2NF 1为矩形， ∴1224NF F S a △＝，又12NF F S △＝b 2tan π4＝4a 2，即b 2＝4a 2，∴c 2－a 2＝4a 2，即c 2＝5a 2，即e ＝ca＝ 5.3．椭圆C ：x 29＋y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 2--→＝2F 2B --→，则△AF 1B 的外接圆面积为( ) A.5π2 B ．4π C ．9π D.25π4答案 D解析如图，a ＝3，b ＝2，c ＝5，令|F 2B |＝t ，则|AF 2|＝2t ， ∵1|AF 2|＋1|BF 2|＝2a b2， ∴1t ＋12t ＝32⇒t ＝1， ∴|BF 2|＝1，|AF 2|＝2，由椭圆定义知|BF 1|＝5，|AF 1|＝4，∴△ABF 1中，|AB |＝3，|AF 1|＝4，|BF 1|＝5， ∴AF 1⊥AB ，∴△ABF 1外接圆半径R ＝|BF 1|2＝52，其面积为25π4.4．(2022·石家庄模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，过原点O 的直线交C 于A ，B两点(点B 在右支上)，双曲线右支上一点P (异于点B )满足BA →·BP →＝0，直线P A 交x 轴于点D ，若∠ADO ＝∠AOD ，则双曲线C 的离心率为( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 答案 A 解析如图，∵BA →·BP →＝0，∴BA ⊥BP ，令k AB ＝k ， ∵∠ADO ＝∠AOD ， ∴k AP ＝－k AB ＝－k ，又BA ⊥BP ，∴k PB ＝－1k ，依题意知k PB ·k P A ＝b 2a 2，∴－1k ·(－k )＝b 2a 2，∴b 2a2＝1，即e ＝ 2. 5．(多选)(2022·济宁模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 是C 上异于A 1，A 2的一点，则下列结论正确的是( )A ．若C 的离心率为12，则直线P A 1与P A 2的斜率之积为－43B ．若PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为b 2C ．若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，22 D ．若|PF 1|≤2b 恒成立，则C 的离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，35 答案 BD解析设P (x 0，y 0)，所以x 20a 2＋y 20b2＝1，∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴a 2＝43b 2，∴12·PA PA k k ＝－b 2a 2＝－34， ∴选项A 错误；若PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2，∴选项B 正确；若C 上存在四个点P 使得PF 1⊥PF 2，即C 上存在四个点P 使得△PF 1F 2的面积为b 2， ∴12·2c ·b >b 2，∴c >b ，∴c 2>a 2－c 2， ∴e ∈⎝⎛⎭⎫22，1，∴选项C 错误；若|PF 1|≤2b 恒成立，∴a ＋c ≤2b ， ∴a 2＋c 2＋2ac ≤4b 2＝4(a 2－c 2)， ∴5e 2＋2e －3≤0，∴0<e ≤35，∴选项D 正确．6．(多选)(2022·广州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为A 1，A 2，P 为双曲线的左支上一点，且直线P A 1与P A 2的斜率之积等于3，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的离心率为2B ．若PF 1⊥PF 2，且12PF F S △＝3，则a ＝2C ．以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切D ．若点P 在第二象限，则∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1 答案 ACD解析对于A ，设P (x ，y )，则y 2＝b 2⎝⎛⎭⎫x 2a 2－1，因为A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，所以12·PA PA k k ＝b 2a 2＝3，得e ＝1＋b 2a2＝2，故A 正确；对于B ，因为c a＝2，所以c ＝2a ，根据双曲线的定义可得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，又因为PF 1⊥PF 2，所以△PF 1F 2的面积为b 2tan π4＝b 2＝3，又b 2a2＝3，所以a ＝1，故B 错误；对于C ，设PF 1的中点为O 1，O 为原点．因为OO 1为△PF 1F 2的中位线，所以|OO 1|＝12|PF 2|＝12(|PF 1|＋2a )＝12|PF 1|＋a ，则可知以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆外切，故C 正确；对于D ，设P (x 0，y 0)，则x 0<－a ，y 0>0.因为e ＝2，所以c ＝2a ，b ＝3a ，则渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，π3， ∠PF 1A 2∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 又tan ∠PF 1A 2＝y 0x 0＋c ＝y 0x 0＋2a， tan ∠P A 2F 1＝－y 0x 0－a，所以tan 2∠P A 2F 1＝－2y 0x 0－a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0－a 2 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－y 20 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝－2y 0(x 0－a )(x 0－a )2－3(x 20－a 2) ＝y 0x 0＋2a ＝tan ∠PF 1A 2，因为2∠P A 2F 1∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以∠PF 1A 2＝2∠P A 2F 1，故D 正确． 7．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在两点M ，N 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为－13，则椭圆的离心率e ＝________. 答案 32解析如图，设MN 的中点为Q ，∴y Q ＝－13， ∴x Q ＝y Q －1＝－43， ∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，－13，∴k OQ ＝14， M ，N 关于直线l 对称，∴MN ⊥l ，∴k MN ＝－1，由点差法可得k MN ＝－b 2a 2·x Q y Q，又k OQ ＝y Q x Q， ∴k OQ ·k MN ＝－b 2a2， ∴14×(－1)＝－b 2a 2，∴b 2a 2＝14，即a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，即3a 2＝4c 2，∴e ＝32. 8.(2022·成都模拟)经过椭圆x 22＋y 2＝1中心的直线与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在第一象限)，过点M 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设直线NE 与椭圆的另一个交点为P ，则cos ∠NMP 的值是________．答案 0解析设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，P (x 0，y 0)，则N (－x 1，－y 1)，E (x 1，0)，所以k MN ＝y 1x 1，k PN ＝k EN ＝y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 12x 1， k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0， k PN ×k PM ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 1＋y 0x 1＋x 0＝y 21－y 20x 21－x 20＝－12，所以k PN ＝－12k PM ＝y 12x 1，所以k PM ＝－x 1y 1. 所以k MN ×k PM ＝y 1x 1×⎝⎛⎭⎫－x 1y 1＝－1，所以MN ⊥MP ，所以cos ∠NMP ＝cos π2＝0.。

椭圆双曲线的焦点三角形

椭圆双曲线知识点总结

双曲线的焦点三角形面积的公式推导

椭圆与双曲线的焦点三角形面积公式及推导过程

双曲线焦点三角形面积公式推导

焦点三角形面积最大值

怎样解答与焦点三角形有关的问题

椭圆与双曲线焦点三角形面积的两个性质

秒杀题型 焦点三角形(椭圆与双曲线)

专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(一)

双曲线焦点三角形的几何性质

利用二级结论秒杀椭圆双曲线(解析版)

椭圆双曲线的焦点三角形

专题12 焦点三角形的面积公式(解析版)

椭圆双曲线知识点总结

双曲线上的点与焦点围成的三角形面积

椭圆中与焦点三角形有关的问题

大招17 双曲线焦点三角形内切圆问题

微重点 椭圆、双曲线的二级结论的应用

秒杀题型焦点三角形(椭圆与双曲线)

专题17 椭圆与双曲线共焦点问题微点1 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(一)

微重点椭圆、双曲线的二级结论的应用