运筹学 第三章 单纯形法(1,2两节)

第一节 线性规划问题的几何意义
全为零的情况(与方程组有关的线性变换不考虑列变 换)；所谓矩阵的行线性变换就是给矩阵的某一行元素 同乘以一个非零常数或给矩阵的某一行同乘以非零常 数后再加到另一行，过程与我们中学学过的解方程组 的消元法完全一致。详细内容请参看文献（3）中与 此有关的内容。
令不与基本矩阵中列向量对应的变量（这些变量 就叫非基变量 ）为零后，约束方程中剩余的与基本矩 阵对应的变量就可唯一求得（这些变量就叫基变量）， 求得的这个解就叫基本解（参看课本16页）。
简单的说，就是“通过基本矩阵求得的线性规划 问题的解”。
第一节 线性规划问题的几何意义
基本解的形式是 X=（x1*, x2*,…, xm*,0,0,…,0） ， 基变量 非基变量
若每一个分量大于或等于零，这个解就叫基本可行解。 三、 凸集的极点与线性规划问题的基本可行解 定理1 约束条件为AX=b，X≥0线性规划问题的可行解
第一节 线性规划问题的几何意义
线性规划问题的解 1.可行解 ：满足线性规划问题全部约束条件的解。 所有可行解的集合称为可行域。 2.最优解 ：在线性规划问题的可行解中，使目标函 数值达到最优的解。 3.基本解及基本可行解
在线性规划问题约束条件方程中，由与约束条 件个数相等的若干个系数列向量组成的满秩矩阵叫 基本矩阵。 一个有n个变量m个约束（m≤n）的线 性规划问题至多可以有Cnm个基本矩阵所谓满秩矩 阵，就是给这个矩阵作行线性变换不会出现某一行
第三章 单纯形法
本章主要介绍求解线性规划问题的单纯形 法及解的类型，其基本要求为：
1. 理解凸集的极点（顶点）与线性规划问题 解的关系。
2. 熟练掌握单纯形法的迭代过程和应用。 3. 熟悉线性规划问题的标准型掌握两阶段法
和大M法。 4.了解改进单纯形法。
知识结构
凸集、线性规划问题的解
解的几何意义 凸集的极点与基本可行解
第二节 单纯形法
二、基本过程及主要方法
1．如何寻找初始基本可行解X（0）。 初始基本可行解就是迭代开始时的基本可行解。
既然是基本可行解，必须和一个基本矩阵相对应， 这个基本矩阵就是系数列向量组成的满秩矩阵 （参看文献（3）中矩阵部分的内容），但对由m 个系数列向量组成的矩阵判断是否满秩本身就是 一件很不容易的事情，即使满秩了对应的解也不 一定是可行解。参看课本16页例题的最后一部分。
有了定理5，求线性规划问题的最优解可不必在无穷 多的可行解中搜索，只需在有限个基本可行解中搜 索即可。虽然基本可行解至多有个，当n、m较大时， 仍是一个很大的数字。
第一节 线性规划问题的几何意义
例如: 当n=5，m=2，基本矩阵的个数 可能为10个，所谓可能为，就说明还有一 些不是，这还需要一个一个的判断。所以 对比较大是线性规划问题用穷举法将所有 的基本可行解都找出并计算其目标函数值， 选取最优，计算量很大甚至是行不通的。 著名的单纯形法用迭代法而不用穷举法很 好地解决了这个问题。
第二节 单纯形法
本节主要介绍单纯形法的计算步骤及线性 规划解的讨论方面的内容
一．单纯形法的基本思路
求出线性规划问题的初始基本可行解X（0），并充分 运用它提供的信息，编制初始单纯形表。
判别X（0）是否最优？为此，需要建立一个判别标准。 如X（0）不是最优，就将一个基变量换出，将一个非 基变量换入，组成另一组基本可行解，迭代为另一张 单纯形表，使新的目标函数值较原有的为优。如此逐 步迭代，若问题有最优解，那么经有限次迭代就可求 出最优解。
第一节 线性规划问题的几何意义
2.极点: 设K是凸集，X∈K ；若X不能用不同的 两点X(1) ∈K ， X(2) ∈K 的线性组合表示为 X=αX（1）+（1-α）X（2） （0<α<1） ，则称此 点是K的一个极点或顶点，其直观意义就是X 不是K中任何线段的内点，也就是说点X不能 在以K内的任意两点为端点的线段上。如三角 形、长方体的顶点就是凸集的集点。
请按如下思路理解：以X（1）、X（2））（X（1）≠X （2））为端点的线段上的任一点都可以表示为[αX（1） +（1-α）X（2）] （0<α<1）当α在（0，1）之间变化时， 上式表示的点就在以X（1）、X（2）为端点的线段上滑 动，（α=1/2时，在二维空间中（初等平面解析几何 中），上式就是中点坐标）。这与前面的定义实质上 是一致的。
第一节 线性规划问题的几何意义
X（1） X（2）
（A）
X（1）
X（2）
（B）
第一节 线性规划问题的几何意义
凸集定义的另外一种表示形式： 设X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））是n维欧氏空间（高 等数学中常用名词，参看文献（3）中的一个点集， 任意两点X（1）、X（2）∈K 的连线上一切点[αX（1）+ （1-α）X（2）] ∈K（0<α<1）,则称K为凸集。
集是凸集。 定理3 线性规划问题的基本可行解 X对应于可行域D的
极点。
第一节 线性规划问题的几何意义
定理4 线性规划问题若有可行解必有基本可行解。换句 话说，线性规划问题的可行域D如为非空凸集，则 必有极点。
定理5 线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域 D的极点上达到。
注意：这并不是说，只有极点才能使目标函数值最大， 其它点不能。而是说，如在其它点上使目标函数值 达到最大，则一定可以找到一个极点X（m）使目标 函数值达到此最大值。
单纯形法的基本思路
单
单纯形法
单纯形表迭代过程
纯
有关名Leabharlann Baidu、概念
形
目标函数为最小的问题
法 再论单纯形法
大M法、两阶段法
选择基本矩阵的方法总结
解的讨论 解的四种形式及判断方法
改进单纯形法 改进单纯形法的优点
第一节 线性规划问题的几何意义
本节主要介绍凸集的概念及凸集的顶点与 线性规划问题可行解的关系，为理解单纯形法 的解题思路打下基础。
在上一章第三节我们已经得出这样的结论，若两 个或三个变量的线性规划问题的最优解存在，则可以 在问题的可行域的顶点上达到。这个结论可以推广到 三个以上变量的线性规划问题上去，以下内容是与此 有关的说明与论证。
凸集。若任意两点X（1）、X（2） （X（1）≠X（2））在 某个点集中，且连接这两点的线段上的所有点也在这 个点集之中，称这个点集为凸集。