初中数学中考试题研究《开放性试题综合》

初中数学中考试题研究《代数几何综合试题》开放探究问题最常见的是命题中缺少一定的条件或无明确的结论，要求添加条件或概括结论；其次是给定条件，判断存在与否的问题；近几年来又逐步出现了一些根据提供的材料，按自己的喜好自编问题并加以解决的试题。

开放探究问题涉及知识面广，遍布整个初中阶段的所有知识，要求学生具有较强的解题能力和思维能力。

开放探究问题就开放而言，有条件开放、结论开放、解题方法开放、编制问题开放：就探究而言，可归纳为探究条件型、探究结论型、探究结论存在与否型及归纳探究型四种。

类型一：探究条件型探究条件型是根据问题提供的残缺条件添补若干条件，使结论成立，解决此类问题的一般方法是：根据结论成立所需要的条件增补条件，此时要注意已有的条件及由已有的条件推导出的条件，不可重复条件，也不能遗漏条件。

例1．（2009丽水市）已知命题：如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个．．适当条件使它成为真命题,并加以证明.解：是假命题.以下任一方法均可：①添加条件：AC=DF.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE.在△ABC和△DEF中,AB=DE，∠A=∠FDE，AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SAS).②添加条件：∠CBA=∠E.证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE.在△ABC 和△DEF 中， ∠A=∠FDE ， AB=DE ， ∠CBA=∠E ， ∴△ABC ≌△DEF(ASA ). ③添加条件：∠C=∠F. 证明：∵AD=BE,∴AD+BD=BE+BD,即AB=DE. 在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠FDE ， ∠C=∠F ， AB=DE ， ∴△ABC ≌△DEF(AAS )同步测试1．(2009年牡丹江市)如图，□ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 边上的点，要使BF DE =，需添加一个条件： ． 1.();BE DF BF DE AF CE BFD BED AFB ADE ==∠=∠∠=∠或∥；；等2．（2009东营）如图，在四边形ABCD 中，已知AB 与CD 不平行，∠ABD ＝∠ACD ，请你添加一个条件： ，使得加上这个条件后能够推出AD ∥BC 且AB ＝CD .2.∠DAC ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠CDA ，∠DBC ＝∠ACB ，∠ABC ＝∠DCB ，OB ＝OC ，OA ＝OD ；(任选其一)BCDAOABCEDF类型二：探究结论型探究结论型问题是指根据题目所给的条件经过分析、推断，得出一个与条件相关的结论，解决此类问题的关键是需要对已知的条件进行综合推理，得出新的结论。

例2．（2009年安徽）如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FG 的长． 【答案】（1）证：△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM以下证明△AMF ∽△BGM ．∵∠AFM ＝∠DME ＋∠E ＝∠A ＋∠E ＝∠BMG ，∠A ＝∠B ∴△AMF ∽△BGM ．（2）解：当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC∵M 为AB 的中点，∴AM ＝BM ＝22又∵AMF ∽△BGM ，∴AF BMAM BG=∴2222833AM BM BG AF ⨯===又42cos454AC BC ===，∴84433CG =-=，431CF =-= ∴2222451()33FG CF CG =+=+=同步测试3．（2009年福州）请写出一个比5小的整数 3.答案不唯一，小于或等于２的整数均可，如：2，1等4．（2009年莆田）已知，如图，BC 是以线段AB 为直径的O ⊙的切线，AC 交O ⊙于点D ，过点D 作弦DE AB ⊥，垂足为点F ，连接BD BE 、．．（1）仔细观察图形并写出四个不同的正确结论：①________，②________ ，③________，④____________（不添加其它字母和辅助线，不必证明）；（2）A ∠=30°，CD ，求O ⊙的半径r ． 4.（1）BC AB AD BD ⊥⊥，，DF FE BD BE ==，，BDF BEF △≌△，BDF △∽BAD △，BDF BEF ∠=∠，A E DE BC ∠=∠，∥等（2）解:AB 是O ⊙的直径90ADB ∴∠=°又30E ∠=°30A ∴∠=°12BD AB r ∴== 又BC 是O ⊙的切线90CBA ∴∠=° 60C ∴∠=︒在Rt BCD △中，3CD =tan 602BD rDC ∴==° 2r ∴=类型三：探究结论存在与否型探究结论存在与否型问题的解法一般先假定存在，然后以此为条件及现有的条件进行推理，然后得出问题的解或矛盾再加以说明。

例3．（2009仙桃）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)； (2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？ 解：（1）在直角梯形ABCD 中，∵QN ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴四边形ABNQ 是矩形。

∵QD=t ，AD=3，∴BN=AQ=3-t ，∴NC=BC-BN=4-（3- t ）= t+1。

∵AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC=5。

∵QN ⊥AD ，∠ABC ＝90°，∴MN ∥AB ，∴CM CNAC BC=， 即154CM t +=，∴554t MC +=. （2）当QD=CP 时，四边形PCDQ 构成平行四边形。

∴当t=4-t ，即t=2时，四边形PCDQ 构成平行四边形。

(3)∵MN ∥AB ，∴△MNC ∽△ABC ，要使射线QN 将△ABC 的面积平分，则△MNC 与△ABC 的面积比为1：2，即相似比为1：2，∴12CN BC =，即1142t +=，∴t=221-.∴CN=22，MC=522，∴CN+MC=922，∵△ABC的周长的一半=3452++=6≠922，∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分。

（4）分3种情况：①如图，当PM=MC时，△PMC为等腰三角形。

则PN=NC，即3-t-t=t+1，∴23t=，即23t=时，△PMC为等腰三角形。

②如图，当CM=PC时，△PMC为等腰三角形。

即5544tt +=-，∴119t=时，△PMC为等腰三角形。

③如图，当PM=PC时，△PMC为等腰三角形。

∵PC=4－t，NC=t+1，∴PN=2t-3,又∵34 MN ABNC BC==，∴MN=() 314t+，由勾股定理可得[()314t+]2+（2t-3）2=（4－t）2，即当t=10357时，△PMC为等腰三角形。

同步测试5．（2009年广西南宁·改编）如图，在边长为5的正方形ABCD 中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE EF⊥，延长EF交正方形外角平分线CP P于点，AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．解法①AE EF ⊥2390∴∠+∠=°四边形ABCD 为正方形90B C ∴∠=∠=° 1390∴∠+∠=°12∠=∠90DAM ABE DA AB ∠=∠==°， DAM ABE ∴△≌△DM AE ∴= AE EP = DM PE ∴=∴四边形DMEP 是平行四边形．解法②：在AB 边上存在一点M ，使四边形DMEP 是平行四边形 证明：在AB 边上取一点M ，使AM BE =，连接ME 、MD 、DP ．90AD BA DAM ABE =∠=∠=，° Rt Rt DAM ABE ∴△≌△ 14DM AE ∴=∠=∠， 1590∠+∠=° 4590∴∠+∠=°AE DM ∴⊥ AE EP ⊥ DM EP ∴⊥∴四边形DMEP 为平行四边形6．（2009白银市）如图（1），抛物线22y x x k =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，3-）．［图（2）、图（3）为解答备用图］（1）k = ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ； （2）设抛物线22y x x k =-+的顶点为M ，求四边形ABMC 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ，使四边形ABDC 的面积最大？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由；B CE DA FP541MF A DC BE1 3 2（4）在抛物线22y x x k =-+上求点Q ，使△BCQ 是以BC 为直角边的直角三角形．解：（1）3k =-，A （-1，0），B （3，0）．（2）如图（1），抛物线的顶点为M （1，-4），连结OM ． 则 △AOC 的面积=23，△MOC 的面积=23， △MOB 的面积=6， ∴ 四边形 ABMC 的面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9． （3）如图（2），设D （m ，322--m m ），连结OD ． 则 0＜m ＜3，322--m m ＜0． 且 △AOC 的面积=23，△DOC 的面积=m 23， △DOB 的面积=-23（322--m m ）， ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积 =629232++-m m =875)23(232+--m ． ∴ 存在点D 315()24-，，使四边形ABDC 的面积最大为875． （4）有两种情况：图（1） 图（2） 图（3）图（3） 图（4）如图（3），过点B 作BQ 1⊥BC ，交抛物线于点Q 1、交y 轴于点E ，连接Q 1C ． ∵ ∠CBO =45°，∴∠EBO =45°，BO =OE =3． ∴ 点E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE 的解析式为3y x =-+．由2323y x y x x =-+⎧⎨=--⎩， 解得1125x y ，；2230.x y ， ∴ 点Q 1的坐标为（-2，5）．如图（4），过点C 作CF ⊥CB ，交抛物线于点Q 2、交x 轴于点F ，连接BQ 2． ∵ ∠CBO =45°，∴∠CFB =45°，OF =OC =3． ∴ 点F 的坐标为（-3，0）． ∴ 直线CF 的解析式为3y x =--．由2323y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得1103x y ，；2214x y ，．∴点Q 2的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点Q 1（-2，5）、Q 2（1，-4），使△BCQ 1、△BCQ 2是以BC 为直角边的直角三角形．类型四：归纳探究型归纳探究型问题是指给定一些条件和结论，通过归纳、总结、概括，由特殊猜测一般的结论或规律，解决这类问题的一般方法是由特殊性得到的结论进行合理猜想，适量验证。