弹性力学重点(适合入门)

1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。

圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。

（2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理

2 （8分）弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？

答：弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分）1）连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。

2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系，复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。

3）均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化。4）各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。

5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变，而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程。

3 （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特

答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：

平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量xσ,yσ,xyτ存在，且仅为x,y的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量xε,yε,xyγ存在，且仅为x,y的函数。4简述按应力求解平面问题时的逆解法。

所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。

5有限元分析的解题步骤。

答：（1）力学模型的确定；（2）结构的离散化；（3）计算载荷的等效节点力；（4）计算各单元的刚度矩阵；（5）组集整体刚度矩阵；（6）施加便捷约束条件;(7)求解降阶的有限元基本方程；（8）求解单元应力；（9）计算结果的输出

7逆解法：

设定各种形式的、满足相容方程的应力函数，

求出应力分量后，根据应力边界条件判断该应力函数能解决什么问题。

8半逆解法：

针对所求问题，假定部分或全部应力分量的函数形式、从而推出应力函数的形式。然后代入相容方程，求出应力函数的具体表达式。最后求出应力分量，并考虑这些应力分量是否满足全部应力边界条件及多连体中的位移单值条件

9圣维南(Saint Venant)原理：

作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之

静力等效的力系来代替。而两力系所产生的应力分布只在力

系作用区域附近有显著的影响, 在离开力系作用区域较远处,

应力分布几乎相同

(1) 必须满足静力等效条件；

(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。

弹性力学问题的求解方法：

10按位移求解

以u、v为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、

v 表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与

形变分量

11按应力求解

以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量；再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移

12. 混合求解

以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数，并求出这些未知量，再求出其余未知量。

以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量；再由几何方程、物理方程求出形变

弹性力学概念

研究对象

材料力学基本上只研究所谓杆状构件，研究这种构件在拉伸（压缩）、剪切、扭转、弯曲作用下的应力和位移。

结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即杆系系统，如桁架、刚架。

弹性力学可对杆状构件作进一步的、较精确的分析；另外还对非杆状

结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基 等实体结构加以研究. 研究方法

材料力学：借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何学、物理学三方面进行分析。

结构力学：与材料力学类同。

弹性力学：仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定。

弹性力学的任务和材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它 们是否具有所需的强度和刚度。

13边界条件：这里是指已知条件中弹性体外表面各部分点上所受的约束和荷载。

位移边界条件：约束已知的部分称为位移边界条件。

应力边界条件：荷载已知的部分称为应力边界条件。

混合边界条件：一部分约束已知，一部分荷载已知称为混合边界条件。 14应力状态指弹性体内任一点个个不同方向截面上应力的全部情况。包括：任意方向斜截面的应力和坐标面方向平面上的关系；主应力及其所在方位，即主方向，主平面位置；一点应力极值的大小及应力变化范围。

展开的321230I I I σσσ-+-=

方程的三个系数为

1222222232x y z x y y z z x xy yz zx

x y z xy yz zx x yz y zx z xy I I I σσσσσσσσστττσσστττστστστ⎫=++⎪=++---⎬⎪=+---⎭

方程（2-6）称为应力状态特征方程，其系数的三个表达式称为应力状态三个不变量。其所以不随坐标变化而变化，是因为物体受力平衡时，每点的应力状态就是确定的，并不随所取坐标系而变化。所以特征方程和应力不变量反映了弹