专题六 数列 第十六讲 等比数列答案 (1)
专题六 数列 第十六讲 等比数列答案
专题六 数列第十六讲 等比数列答案部分1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为的等比数列，记为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．C 【解析】由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=，所以34182a q q a ==⇒=， 故2112a a q ==，选C ．4．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．5．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 6．B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=…．7．B 【解析】由116n n n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==，∴216q =，∵116n n n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．8．C 【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =．由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯，7415(2)24a a ∴=⨯-14=． ∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=，116a ∴=，55116(1)231112S -==-． 9．A 【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =－2，所以5522113211114S q S q -+===---． 10．D 【解析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足．11．C 【解析】2341010123451m a a a a a a q q q q q a q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =．12．B 【解析】两式相减得， 3433a a a =-，44334,4a a a q a =∴==． 13．C 【解析】显然q ≠1，所以3639(1)1=1211q q q q q q --⇒+⇒=--，所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5511()31211612T -==-． 14．32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==．15．1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =．16．5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a2123452log ()log 325a a a a a ==．17．50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++=L 101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50．18．4【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =．19．15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 1234||||a a a a +++=15． 20．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--．21．12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为1a ，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：1a ＝132 ，q ＝2，62nn a -=．记521212-=+++=nn n a a a T Λ， 2)1(212nn n n a a a -==∏Λ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ． 当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故max 12n =．22．11【解析】由2120n n n a a a +++-=可得220n n n a q a q a +-=,由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =-，可得5S =11．23．2【解析】222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===Q 解得或 因为数列为递增数列，且10,1,2a q q >>∴=所以．24．32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q⎧-=+⎪⎧-++-=-⎪⎪⇒⎨⎨--++-=⎪⎪⎩=+⎪-⎩两式相减可得423111122330a q a q a q a q --+=，即42322330q q q q --+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =．因为0q >，所以32q =． 25．2 1122n --【解析】341a a q =得3142q =，解得2q =，1121(12)122122n n n a a a --++⋅⋅⋅+==--．26．【解析】(1)由条件可得12(1)++=n n n a a n． 将1=n 代入得，214=a a ，而11=a ，所以，24=a ． 将2=n 代入得，323=a a ，所以，312=a ． 从而11=b ，22=b ，34=b ．(2){}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n +=+，即12+=n n b b ，又11=b ，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得12n na n-=，所以12-=⋅n n a n ． 27．【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．(2)若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m=，解得6m =．综上，6m =．28．【解析】(1)由42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=，解得48a =． 由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =．(2)设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ．由11,1,2n n n S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥，解得41n c n =-．由(1)可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅，2n ≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+．设221113711()(45)()222n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2n ≥，2311111137()11()(45)()22222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，因此2114(43)()2n n T n -=--⋅，2n ≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=--⋅．29．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2(1)6a q a q q +=⎧⎨++=-⎩ ， 解得2q =-，12a =-．故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-．由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．30．【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=．由222a b +=得，3d q += ①（1）由335a b +=得，226d q += ②联立①和②解得3d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩因此{}n b 的通项公式为12n n b -=．（2）由11b =，321T =得2200q q +-= 解得5q =-，4q =．当5q =-时，由①得8d =，则321S =． 当4q =时，由①得 1d =-，则36S =-． 31．【解析】 (Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ，由题意知，1(1)6a q +=，2211a q a q =．又0n a >，解得12a =，2q =，所以2nn a =．(Ⅱ)由题意知121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+⋅又211n n n S b b ++=,10n b +≠， 所以21n b n =+,令nn nb c a =, 则212n nn c +=因此12n n T c c c =++⋅⋅⋅+，231357212122222n n n n --+=+++++L 又235113572121222222n n n n n T +-+=+++++L , 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L ， 所以2552n nn T +=-． 32．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为2410a a +=，所以12410a d +=． 解得2d =． 所以21n a n =-．（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为245b b a =，所以3119b q b q ⋅=．解得23q =．所以2212113n n n b b q---==． 从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=L L ． 33．【解析】（Ⅰ）由题意得41,2132==a a ． （Ⅱ）由02)12(112=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a ．因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ． 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a ． 34．【解析】（Ⅰ）设数列}{n a 的公比为q ，由已知有2111211q a q a a =-，解之可得1,2-==q q ，又由631)1(61=--=q q a S n 知1-≠q ，所以6321)21(61=--a ， 解之得11=a ，所以12-=n n a .（Ⅱ）由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列.设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=- 35．【解析】（Ⅰ）由题设知1423..8a a a a ==，又941=+a a ，可解得⎩⎨⎧==8141a a 或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）．由341a a q =得公比q =2，故11-=n n q a a ＝21-n ．（Ⅱ）1(1)211n n n a q S q -==--，又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，所以1212231111111...()()...()n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++- 111111()121n n S S ++=-=--． 36．【解析】（Ⅰ）当n =2时，211458n n n n S S S S ++-+=+，即4353354(1)5(1)8(1)124224a +++++=+++，解得478a =． （Ⅱ）因为211458n n n n S S S S ++-+=+(2)n ≥， 所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-(2)n ≥， 即2144n n n a a a +++=(2)n ≥，因为3125441644a a a +=⨯+== 所以2144n n n a a a +++=，因为212111111422121422(2)22n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++---===---，所以数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以1111()22n n n a a -+-=．即11411()()22n n n n a a++-=， 所以数列{}1()2n n a 是以1212a=为首项，公差为4的等差数列，故2(1)4421()2n n a n n =+-⨯=-，即111(42)()(21)()22n n n a n n -=-⨯=-⨯，所以数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯．37．【解析】（I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+．又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列．1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=．（Ⅱ）由（I ）知1231n n a =-． 因为当1n ≥时，13123nn --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯． 于是11211111313...1...(1)33232n n n a a a -+++≤+++=-<． 所以121113 (2)n a a a +++<． 38．【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩， 因此，13n n a -=．（Ⅱ）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n n S +-==． 39．【解析】（Ⅰ）因为232n n nS -=，所以1a 11S ==，当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=- 又1n =时，所以数列n a 的通项公式为32,n a n =-（Ⅱ）要使得m n a a a ，，1成等比数列，只需要21n m a a a =，即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+即．而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 40．【解析】由题意可知，21213243a a a a a -=⎧⎨=+⎩，即112111243+a q a a q a a q-=⎧⎨=⎩， 解得1=13a q ⎧⎨=⎩, 所以1331132n n n S --==-． 故1=1a ，3q =，312n n S -=．41．【解析】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为22S -，3S ，44S 成等差数列，所以324324S S S S +=-，即4324S S S S -=-，可得432a a =-，于是4312a q a ==-． 又132a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭． (Ⅱ)112n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，12,2(21)111112112(21)2n n n n nn n nn S S ⎧+⎪+⎪⎛⎫+=--+=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎩⎝⎭为奇数2+,n 为偶数 当n 为奇数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以1111136n n S S S S +≤+=． 当n 为偶数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以22112512n n S S S S +≤+=．故对于*n N ∈，有1136n n S S +≤． 42．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =． 由条件可知0c >，故13q =． 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =． 故数列{}n a 的通项式为n a =13n ． （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+． 43．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则2212312,22,33b a b aq q b aq q =+==+=+=+=+．由123,,b b b 成等比数列得22(2)2(3)q q +=+．即212420,22q q q q -+==+=解得．所以{}n a的通项公式为11(2(2.n n n n a a --=+=-或 （Ⅱ ）设{}n a 的公比为q ，则由22(2)(1)(3),aq a aq +=++ 得24310(*)aq aq a -+-=．由20440a a a >∆=+>得，故方程（*）有两个不同的实根 由{}n a 唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得1.3a = 44．【解析】（Ⅰ）设221,,,+n l l l Λ构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T Λ ①,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++Λ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n Λ （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n 另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k k k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+k k k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S .1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((23n n k k n k --+=--+=∑+=。
等比数列习题及答案
等比数列习题及答案等比数列是数学中的一种常见数列，它的特点是每一项与前一项的比值都相等。
在解等比数列的习题时，我们需要掌握一些基本的概念和方法。
本文将介绍一些常见的等比数列习题，并给出详细的解答。
一、等比数列的定义和性质等比数列是指数列中的每一项与前一项的比值都相等的数列。
比值称为公比，通常用字母q表示。
如果一个数列满足an = a1 * q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数，则称这个数列为等比数列。
等比数列的性质有：1. 首项a1与公比q确定了等比数列的所有项；2. 等比数列中的任意一项可以用前一项乘以公比得到；3. 等比数列中的任意一项与它的前一项的比值都等于公比。
二、等比数列的求和公式对于有限项的等比数列，我们可以利用求和公式来求得它们的和。
求和公式如下：Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。
三、等比数列的习题及解答1. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1=2，公比q=3/2，求第n项an的值。
解答：根据等比数列的性质，我们可以得到an = a1 * q^(n-1)。
代入已知的数值，an = 2 * (3/2)^(n-1)。
2. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1=1，公比q=2，求前n项的和Sn。
解答：根据等比数列的求和公式，我们可以得到Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)。
代入已知的数值，Sn = 1 * (1 - 2^n) / (1 - 2) = 2^n - 1。
3. 已知等比数列的第2项为6，第4项为54，求公比和首项。
解答：设等比数列的首项为a1，公比为q。
根据等比数列的性质，我们可以得到以下两个等式：a2 = a1 * qa4 = a1 * q^3将已知的数值代入，得到以下两个等式：6 = a1 * q54 = a1 * q^3将第一个等式两边同时除以第二个等式，得到：1/9 = q^2开方得到：q = 1/3将q代入第一个等式，得到：6 = a1 * (1/3)解方程，得到：a1 = 18所以，公比q=1/3，首项a1=18。
等比数列通项公式例题及答案
§2.3 等比数列2.3.1 等比数列第1课时 等比数列的概念及通项公式学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．知识点一 等比数列的概念 等比数列的概念和特点．1．文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．递推公式形式的定义：a n a n －1＝q (n ≥2)⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n ＝q ，n ∈N ＋.3．等比数列各项均不能为0. 知识点二 等比中项的概念等比中项与等差中项的异同，对比如下表：知识点三 等比数列的通项公式若等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1q n －1(n ∈N ＋)．1．若a n ＋1＝qa n ，n ∈N ＋，且q ≠0，则{a n }是等比数列．( × ) 2．任何两个数都有等比中项．( × )3．等比数列1，12，14，18，…中，第10项为129.( √ )4．常数列既是等差数列，又是等比数列．( × )题型一 等比数列的判定命题角度1 已知数列前若干项判断是否为等比数列 例1 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n -1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a 1，a 2，a 3，…，a n ，….解 (1)记数列为{a n }，显然a 1＝1，a 2＝3，…，a n ＝3n -1，…. ∵a n a n －1＝3n -13n -2＝3(n ≥2，n ∈N ＋)， ∴数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为{a n }，显然a 1＝－1，a 2＝1，a 3＝2，…， ∵a 2a 1＝－1≠a 3a 2＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a ＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列；当a ≠0时，数列为a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，显然此数列为等比数列，且公比为a . 反思感悟 判定等比数列，要抓住3个要点：①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1 下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－2，2，－22，4；③x ，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④答案 C解析 ①②显然是等比数列；由于x 可能为0，③不是； a 不能为0，④符合等比数列定义，故④是．命题角度2 已知递推公式判断是否为等比数列 例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1. (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 由a 1＝1，知a 1＋1≠0，从而a n ＋1≠0. ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N ＋)． ∴数列{a n ＋1}是等比数列．(2)解 由(1)知{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n .即a n ＝2n －1. 反思感悟 等比数列的判定方法(1)定义法：a na n －1＝q (n ≥2，q 是不为0的常数)⇔{a n }是公比为q 的等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，a n ，a n －1，a n ＋1均不为0)⇔{a n }是等比数列． 跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4， a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.a n ＋1－(n ＋1)a n －n ＝3a n －2(n ＋1)＋3－(n ＋1)a n －n ＝3a n －3na n －n ＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴数列{a n －n }是以－2为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n -1，∴a n ＝n －2·3n -1. 题型二 等比数列基本量的计算 例3 在等比数列{a n }中． (1)已知a 2＝4，a 5＝－12，求a n ；(2)已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .解 (1)设等比数列的公比为q ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝4，a 1q 4＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q ＝－12. ∴a n ＝a 1q n -1＝(－8)⎝⎛⎭⎫－12n -1＝⎝⎛⎭⎫－12n -4. (2)设等比数列{a n }的公比为q .∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ，∴q ＝1836＝12.∵a 4＋a 7＝18，∴a 4(1＋q 3)＝18. ∴a 4＝16，a n ＝a 4·q n -4＝16·⎝⎛⎭⎫12n -4. 由16·⎝⎛⎭⎫12n -4＝12，得n －4＝5，∴n ＝9.反思感悟 已知等比数列{a n }的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a 1和q 的两个方程，从而解出a 1和q ，再求其他项或通项． 跟踪训练3 在等比数列{a n }中： (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6； (2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .解 (1)由等比数列的通项公式得a 6＝3×(－2)6-1＝－96. (2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1q n -1＝5×2n -1，n ∈N ＋.方程的思想在等比数列中的应用典例1 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数． 解 方法一 设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求的四个数为0，4，8，16； 当a ＝9，d ＝－6时，所求的四个数为15，9，3，1. 故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 方法二 设这四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (q ≠0)， 由条件得⎩⎨⎧2aq－a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.典例2 设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？ 解 设这四个数依次为aq，a ，aq ，aq 2(q ≠0)，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4·q 2＝210，a ＋aq ＝4，解得q ＝－2或－12，当q ＝－2时，a ＝－4，所求四个数依次为2，－4，8，－16. 当q ＝－12时，a ＝8，所求四个数依次为－16，8，－4，2，综上，这四个数依次为2，－4，8，－16或－16，8，－4，2.[素养评析] (1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：①若三个数成等比数列，可设三个数为aq ，a ，aq 或a ，aq ，aq 2(q ≠0)．②若四个数成等比数列，可设为a q ，a ，aq ，aq 2或a q 3，aq，aq ，aq 3(q ≠0)．(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为( ) A ．4 B ．8 C ．6 D ．32 答案 C解析 由等比数列的通项公式得，128＝4×2n -1，2n -1＝32，所以n ＝6. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1，故a 7＝1·26＝64.3．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为3的等比数列，则a 6等于( ) A ．607.5 B ．608 C ．607 D ．159 答案 C解析 ∵1＋2a n ＝(1＋2a 1)×3n -1，∴1＋2a 6＝5×35，∴a 6＝5×243－12＝607.4．等比数列x ,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 答案 A解析 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第4项为－24. 5．45和80的等比中项为________． 答案 －60或60解析 设45和80的等比中项为G ， 则G 2＝45×80，∴G ＝±60.6．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项． 解 设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12， ①a 1q 3＝18， ②②÷①，得q ＝32，将q ＝32代入①，得a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是163与8.1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：a n ＋1a n＝q (与n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，且数列各项均不为零)．2．两个同号的实数a ，b 才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±ab )，而不是一个(ab )，这是容易忽视的地方． 3．等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1共涉及a 1，q ，n ，a n 四个量，已知其中三个量可求得第四个量.。
专题六 数列 第十六讲 等比数列答案
专题六 数列第十六讲 等比数列答案部分1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．C 【解析】由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=，所以34182a q q a ==⇒=， 故2112a a q ==，选C ． 4．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．5．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 6．B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=…．7．B 【解析】由116n n n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==，∴216q =，∵116n n n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．8．C 【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =．由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯，7415(2)24a a ∴=⨯-14=． ∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=，116a ∴=，55116(1)231112S -==-．9．A 【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =－2，所以5522113211114S q S q -+===---． 10．D 【解析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足．11．C 【解析】2341010123451m a a a a a a q q q q q a q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =．12．B 【解析】两式相减得， 3433a a a =-，44334,4a a a q a =∴==． 13．C 【解析】显然q ≠1，所以3639(1)1=1211q q q q q q --⇒+⇒=--，所以1{}na 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5511()31211612T -==-． 14．32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==． 15．1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =．16．5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a2123452log ()log 325a a a a a ==．17．50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++=101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50．18．4【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =．19．15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 1234||||a a a a +++=15． 20．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--．21．12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为1a ，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：1a ＝132 ，q ＝2，62nn a -=．记521212-=+++=nn n a a a T ， 2)1(212nn n n a a a -==∏ ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ． 当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故max 12n =．22．11【解析】由2120n n n a a a +++-=可得220n n n a q a q a +-=,由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =-，可得5S =11．23．2【解析】222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===解得或 因为数列为递增数列，且10,1,2a q q >>∴=所以．24．32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q ⎧-=+⎪⎧-++-=-⎪⎪⇒⎨⎨--++-=⎪⎪⎩=+⎪-⎩两式相减可得423111122330a q a q a q a q --+=，即42322330q q q q --+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =．因为0q >，所以32q =． 25．2 1122n --【解析】341a a q =得3142q =，解得2q =，1121(12)122122n n n a a a --++⋅⋅⋅+==--．26．【解析】(1)由条件可得12(1)++=n n n a a n． 将1=n 代入得，214=a a ，而11=a ，所以，24=a ． 将2=n 代入得，323=a a ，所以，312=a ． 从而11=b ，22=b ，34=b ．(2){}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即12+=n n b b ，又11=b ，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得12n na n-=，所以12-=⋅n n a n ． 27．【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．(2)若1(2)n n a -=-，则1(2)3nn S --=．由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m=，解得6m =．综上，6m =．28．【解析】(1)由42a +是3a ，5a 的等差中项得35424a a a +=+，所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =． 由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =．(2)设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S ．由11,1,2n nn S n c S S n -=⎧=⎨-⎩≥，解得41n c n =-．由(1)可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)()2n n n b b n ---=-⋅，2n ≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+⋅⋅⋅+-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅+⋅⋅⋅+⋅+．设221113711()(45)()222n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅，2n ≥，2311111137()11()(45)()22222n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅，因此2114(43)()2n n T n -=--⋅，2n ≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=--⋅．29．【解析】（1）设{}n a 的公比为q ．由题设可得121(1)2(1)6a q a q q +=⎧⎨++=-⎩ ， 解得2q =-，12a =-．故{}n a 的通项公式为(2)nn a =-．（2）由（1）可得11(1)22()1331n n n n a q S q +-==--+-． 由于3212142222()2[()]2313313n n n n n n n n S S S +++++-+=--++=-=-， 故1n S +，n S ，2n S +成等差数列．30．【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则1(1)n a n d =-+-，1n n b q -=．由222a b +=得，3d q += ①（1）由335a b +=得，226d q += ②联立①和②解得3d q =⎧⎨=⎩（舍去），12d q =⎧⎨=⎩因此{}n b 的通项公式为12n n b -=．（2）由11b =，321T =得2200q q +-= 解得5q =-，4q =．当5q =-时，由①得8d =，则321S =．当4q =时，由①得 1d =-，则36S =-． 31．【解析】 (Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ，由题意知，1(1)6a q +=，2211a q a q =．又0n a >，解得12a =，2q =，所以2nn a =．(Ⅱ)由题意知121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+⋅又211n n n S b b ++=,10n b +≠， 所以21n b n =+, 令nn nb c a =, 则212n nn c +=因此12n n T c c c =++⋅⋅⋅+，231357212122222n n n n --+=+++++ 又235113572121222222n n n n n T +-+=+++++, 两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++-⎪⎝⎭， 所以2552n nn T +=-． 32．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．因为2410a a +=，所以12410a d +=． 解得2d =． 所以21n a n =-．（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ．因为245b b a =，所以3119b q b q ⋅=．解得23q =．所以2212113n n n b b q---==． 从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=． 33．【解析】（Ⅰ）由题意得41,2132==a a ． （Ⅱ）由02)12(112=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a ．因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ． 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a ． 34．【解析】（Ⅰ）设数列}{n a 的公比为q ，由已知有2111211qa q a a =-，解之可得 1,2-==q q ，又由631)1(61=--=q q a S n 知1-≠q ，所以6321)21(61=--a ， 解之得11=a ，所以12-=n n a .（Ⅱ）由题意得21)2log 2(log 21)log (log 21212122-=+=+=-+n a a b n n n n n ，即数列}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列. 设数列})1{(2n n b -的前n 项和为n T ，则2212212221224232221222)(2)()()(n b b n b b b b b b b b b T n n n n n =+=+⋅⋅⋅++=+-+⋅⋅⋅++-++-=- 35．【解析】（Ⅰ）由题设知1423..8a a a a ==，又941=+a a ，可解得⎩⎨⎧==8141a a 或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）．由341a a q =得公比q =2，故11-=n n q a a ＝21-n ．（Ⅱ）1(1)211n n n a q S q -==--，又1111111n n n n n n n n n n a S S b S S S S S S +++++-===-，所以1212231111111...()()...()n n n n T b b b S S S S S S +=+++=-+-++- 111111()121n n S S ++=-=--． 36．【解析】（Ⅰ）当n =2时，211458n n n n S S S S ++-+=+，即4353354(1)5(1)8(1)124224a +++++=+++，解得478a =． （Ⅱ）因为211458n n n n S S S S ++-+=+(2)n ≥， 所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-(2)n ≥， 即2144n n n a a a +++=(2)n ≥，因为3125441644a a a +=⨯+== 所以2144n n n a a a +++=，因为212111111422121422(2)22n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++++++---===---，所以数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）知：数列11{}2n n a a +-是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以1111()22n n n a a -+-=．即11411()()22n n n n a a ++-=，所以数列{}1()2n n a 是以1212a=为首项，公差为4的等差数列，故2(1)4421()2n n a n n =+-⨯=-，即111(42)()(21)()22n n n a n n -=-⨯=-⨯，所以数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯．37．【解析】（I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+．又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列．1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=．（Ⅱ）由（I ）知1231n n a =-． 因为当1n ≥时，13123nn --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯． 于是11211111313...1...(1)33232n n n a a a -+++≤+++=-<． 所以121113 (2)n a a a +++<． 38．【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此，13n n a -=．（Ⅱ）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==． 39．【解析】（Ⅰ）因为232n n nS -=，所以1a 11S ==，当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=- 又1n =时，所以数列n a 的通项公式为32,n a n =-（Ⅱ）要使得m n a a a ，，1成等比数列，只需要21n m a a a =， 即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+即．而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 40．【解析】由题意可知，21213243a a a a a -=⎧⎨=+⎩，即112111243+a q a a q a a q-=⎧⎨=⎩， 解得1=13a q ⎧⎨=⎩, 所以1331132n n n S --==-． 故1=1a ，3q =，312n n S -=．41．【解析】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为22S -，3S ，44S 成等差数列，所以324324S S S S +=-，即4324S S S S -=-，可得432a a =-，于是4312a q a ==-．又132a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭． (Ⅱ)112n n S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，12,2(21)111112112(21)2n n n n n n n n n S S ⎧+⎪+⎪⎛⎫+=--+=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪-- ⎪⎪-⎩⎝⎭为奇数2+,n 为偶数 当n 为奇数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以1111136n n S S S S +≤+=． 当n 为偶数时，1n n S S +随n 的增大而减小，所以22112512n n S S S S +≤+=． 故对于*n N ∈，有1136n n S S +≤． 42．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =． 由条件可知0c >，故13q =． 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =． 故数列{}n a 的通项式为n a =13n ． （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++(12...)(1)2n n n =-++++=- 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+． 43．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则2212312,22,33b a b aq q b aq q =+==+=+=+=+．由123,,b b b 成等比数列得22(2)2(3)q q +=+．即212420,22q q q q -+===解得．所以{}n a的通项公式为11(2(2.n n n n a a --=+=或 （Ⅱ ）设{}n a 的公比为q ，则由22(2)(1)(3),aq a aq +=++ 得24310(*)aq aq a -+-=．由20440a a a >∆=+>得，故方程（*）有两个不同的实根 由{}n a 唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得1.3a = 44．【解析】（Ⅰ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ①,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n.1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=⋅⋅⋅⋅=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n 另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k k k k ⋅++-+=-+= 得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+k k k k 所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k n k k n k k b S .1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((23n n k k n k --+=--+=∑+=。
数学等比数列试题答案及解析
数学等比数列试题答案及解析1.设数列是等比数列，满足，且，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知得，，又，∵，∴，∴，故，，，所以.【考点】本题考查等比数列通项公式等基础知识，意在考查学生推理和基本的运算能力．2.设是等比数列的前项和，若，则．【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知得，，故，解得，故．【命题意图】本题考查等比数列前n项和以及通项公式等基础知识，意在考查基本运算能力.3.已知等比数列的公比为正数，且，则（）A．B．C．D． 2【答案】B．【解析】由已知及等比数列的性质得，故选B．【考点】本题考查等比数列通项公式等知识，意在考查等比数列性质的应用及简单的计算能力．4.（本题满分16分）已知数列的前项和满足：（t为常数，且）．（1）求的通项公式；（2）设，试求t的值，使数列为等比数列；（3）在（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】（1）当时，，得． 2分当..时，由，即，①得，，②①②，得，即，所以，所以是首项和公比均为t的等比数列，于是． 5分（2）由（1）知，，即， 7分要使数列为等比数列，必须满足，而，于是，解得，当时，，由，知是首项和公比均为的等比数列． 10分（3）由（2）知，，所以，由不等式恒成立，得恒成立， 12分设，由，所以当时，，当时，， 14分而，所以，即．故k的取值范围是． 16分【命题意图】本题考查等比数列、数列前项和等知识，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.5. .【答案】63【解析】由方程，可得，【考点】本题考查解一元二次方程，等比数列的求和公式。
6. ·江西理）等比数列x，3x+3，6x+6，…的的第四项等于（）A．-24B．0C．12D．24【答案】A【解析】由x，3x+3，6x+6成等比数列得选A.【考点】该题主要考查等比数列的概念和通项公式，考查计算能力.7.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】【解1】∵等比数列中∴当公比为1时，，；当公比为时，，从而淘汰（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）故选D；【解2】∵等比数列中∴∴当公比时，；当公比时，∴故选D；【考点】此题重点考察等比数列前项和的意义，等比数列的通项公式，以及均值不等式的应用；【突破】特殊数列入手淘汰；重视等比数列的通项公式，前项和，以及均值不等式的应用，特别是均值不等式使用的条件；8.若数列{an }是首项为1，公比为a=的无穷等比数列，且{an}各项的和为a，则a的值是（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】由.9.已知等比数列｛an ｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an=______________。
等比数列典型例题及详细解答
1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1. 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q .6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( )A ．21B ．42C ．63D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B. 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4 ＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案 2n －1解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又∵数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.(2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q 1＋q 2＝25，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 (1)D (2)3n －1解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3.又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2 (n ≥2)， ② ①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14， 故a n ＝(3n －1)·2n －2. 引申探究例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变探求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n . ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1， ∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，又a 1＝1，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)， ∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4， ∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.综上，a 2＝4，a 3＝8.(2)证明 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，① ∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________. (2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________.答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51.又a n >0，所以a 4＋a 8＝51.(2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1，则可得S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－12.思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12 B.22C. 2D ．2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 (1)C (2)C解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q＝2，故选C.(2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q (a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q 21－q 2＝a 1－192×(－2)21－(－2)2＝255，解得a 1＝3，故选C.12．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4， 可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n＋1S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＋11－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n(2n＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况．②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． ③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧] 1．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n }也是等比数列． (2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. 2．判断数列为等比数列的方法(1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列．[失误与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．等比数列性质中：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，不能忽略条件q ≠－1.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 2答案 C解析 因为a 2＋a 3，a 4＋a 5，a 6＋a 7成等比数列，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，所以(a 4＋a 5)2＝(a 2＋a 3)(a 6＋a 7)，解得a 6＋a 7＝4.2．等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2 D ．(n －1)2答案 A解析 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n .方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．方法二 取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( ) A ．2 015·1010 B ．2 015·1011 C ．2 016·1010 D ．2 016·1011答案 C解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3 答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 答案 3解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ， 则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)， 则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1， ∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4. (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，。
6.3等比数列典型例题和详细解答
1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1－q n1－q＝a 1－a n q1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n__. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × ) (4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × ) (5)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n ，则其前n 项和为S n ＝a－a n1－a.( × )(6)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )1．(2015·课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7等于( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.3．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 C解析 数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.4．(2015·安徽)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________． 答案 2n－1解析 由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎪⎨⎪⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1，又∵数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2. ∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n－1.5．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172(2)在等比数列{a n }中，若a 4－a 2＝6，a 5－a 1＝15，则a 3＝________. 答案 (1)B (2)4或－4解析 (1)显然公比q ≠1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1－q 31－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9q ＝－13(舍去)，∴S 5＝a 1－q 51－q＝－1251－12＝314. (2)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3－a 1q ＝6，a 1q 4－a 1＝15，两式相除，得q1＋q 2＝25， 即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－16，q ＝12.故a 3＝4或a 3＝－4.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．(1)在正项等比数列{a n }中，a n ＋1＜a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32(2)(2015·湖南)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.答案 (1)D (2)3n －1解析 (1)设公比为q ，则由题意知0＜q ＜1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 8＝a 4·a 6＝6，a 4＋a 6＝5，得a 4＝3，a 6＝2，所以a 5a 7＝a 4a 6＝32.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1qn －1＝3n －1.题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 有a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2. ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋n ， ②①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1 (n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1) (n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1 (n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n＝(3n－1)·2n－2.引申探究例2中“S n＋1＝4a n＋2”改为“S n＋1＝2S n＋(n＋1)”，其他不变探求数列{a n}的通项公式．解由已知得n≥2时，S n＝2S n－1＋n.∴S n＋1－S n＝2S n－2S n－1＋1，∴a n＋1＝2a n＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)，又a1＝1，当n＝1时上式也成立，故{a n＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n＋1＝2·2n－1＝2n，∴a n＝2n－1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{S n＋2}是等比数列．(1)解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.综上，a2＝4，a3＝8.(2)证明a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)．②①－②得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝n(S n－S n－1)－S n＋2S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2.∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2，∴S n＋2＝2(S n－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0，∴S n－1＋2≠0，∴S n＋2S n－1＋2＝2，故{S n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．题型三等比数列的性质及应用例3 (1)在等比数列{a n}中，各项均为正值，且a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则a4＋a8＝________.(2)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________. 答案 (1)51 (2)－12解析 (1)由a 6a 10＋a 3a 5＝41及a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24， 得a 24＋a 28＝41.因为a 4a 8＝5，所以(a 4＋a 8)2＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝41＋2×5＝51. 又a n >0，所以a 4＋a 8＝51. (2)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1知公比q ≠±1， 则可得S 10－S 5S 5＝－132. 由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5， 故q 5＝－132，q ＝－12.思维升华 (1)在等比数列的基本运算问题中，一般利用通项公式与前n 项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则有a m a n ＝a p a q ”，可以减少运算量．(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，公比为q k (q ≠－1)．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1等于( )A.12 B.22C. 2D ．2(2)等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 (1)C (2)C解析 (1)由等比数列的性质得a 3a 9＝a 26＝2a 25，∵q ＞0，∴a 6＝2a 5，q ＝a 6a 5＝2，a 1＝a 2q＝2，故选C.(2)设等比数列{a n }共有2k ＋1(k ∈N *)项，则a 2k ＋1＝192，则S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2k －1＋a 2k ＋1＝1q(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＋a 2k ＋1＝1q S 偶＋a 2k ＋1＝－126q ＋192＝255，解得q ＝－2，而S 奇＝a 1－a 2k ＋1q21－q2＝a1－－2＝255，解得a1＝3，故选C.1－－212．分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)．思维点拨 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式； (2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明． 规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.[2分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .[3分](2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＋11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12nn ＋，n 为奇数，2＋12nn －，n 为偶数.[6分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.[8分]当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.[10分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136.[12分]温馨提醒 (1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有 ①已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． ②等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． ③项数的奇、偶数讨论．④等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.[方法与技巧] 1．已知等比数列{a n }(1)数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，{1a n}也是等比数列．(2)a 1a n ＝a 2a n －1＝…＝a m a n －m ＋1. 2．判断数列为等比数列的方法 (1)定义法：a n ＋1a n ＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列；也可用a n a n －1＝q (q 是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2)⇔数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n a n ＋1a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔数列{a n }是等比数列． [失误与防范]1．特别注意q ＝1时，S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．等比数列性质中：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列，不能忽略条件q ≠－1.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．已知等比数列{a n }中，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，则a 6＋a 7等于( ) A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2答案 C解析 因为a 2＋a 3，a 4＋a 5，a 6＋a 7成等比数列，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝2，所以(a 4＋a 5)2＝(a 2＋a 3)(a 6＋a 7)，解得a 6＋a 7＝4.2．等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2答案 A解析 由等比数列的性质， 得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n，从而得a n ＝2n.方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．方法二 取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ， 由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．若正项数列{a n }满足lg a n ＋1＝1＋lg a n ，且a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，则a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020的值为( ) A ．2 015·1010B ．2 015·1011C ．2 016·1010D ．2 016·1011答案 C解析 ∵lg a n ＋1＝1＋lg a n ，∴lg a n ＋1a n＝1， ∴a n ＋1a n＝10，∴数列{a n }是等比数列， ∵a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010＝2 016，∴a 2 011＋a 2 012＋…＋a 2 020＝1010(a 2 001＋a 2 002＋…＋a 2 010)＝2 016×1010.5．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m＝2， 与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2m S m ＝a 1－q 2m 1－q a 1－q m 1－q ＝q m ＋1＝9，∴q m＝8. ∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.6．等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________． 答案 3解析 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得 a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3，∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.答案 11解析 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1－q 51－q ＝1－－53＝11.8．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n ，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2，∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3，∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.9．数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，∴b n ＋1＋2b n ＋2＝2，又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4， ∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．∴b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝2n ＋1－2. (2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n －2 (n ≥2)，∴a n －1－a n －2＝2n －1－2 (n >2)， …，a 2－a 1＝22－2，∴a n －2＝(22＋23＋…＋2n )－2(n －1)，∴a n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－2n ＋2 ＝n －2－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n .∴S n ＝－2n 1－2－n ＋2n 2＝2n ＋2－(n 2＋n ＋4)． 10．已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)证明：对任意实数λ，数列{a n }不是等比数列；(2)证明：当λ≠－18时，数列{b n }是等比数列．证明 (1)假设存在一个实数λ，使{a n }是等比数列，则有a 22＝a 1a 3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23λ－32＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫49λ－4 ⇔49λ2－4λ＋9＝49λ2－4λ⇔9＝0，矛盾． 所以{a n }不是等比数列．(2)b n ＋1＝(－1)n ＋1[a n ＋1－3(n ＋1)＋21] ＝(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －2n ＋14 ＝－23(－1)n ·(a n －3n ＋21)＝－23b n . 又λ≠－18，所以b 1＝－(λ＋18)≠0.由上式知b n ≠0，所以b n ＋1b n ＝－23(n ∈N *)．故当λ≠－18时，数列{b n }是以－(λ＋18)为首项，－23为公比的等比数列． B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．设{a n }是各项为正数的无穷数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件是( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同答案 D解析 ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．12．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50.13．数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋m a m ＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________.答案 8 2n ＋1－2 解析 ∵a n ＋m a m＝a n ， ∴a n ＋m ＝a n ·a m ，∴a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8；令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为a 1＝2，公比为q ＝2的等比数列，∴S n ＝－2n 1－2＝2n ＋1－2.14．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x ；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln |x |.则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为________．答案 ①③解析 设{a n }的公比为q ，验证 ①f a n ＋1f a n ＝a 2n ＋1a n ＝q 2，③f a n ＋1f a n ＝|a n ＋1||a n |＝|q |，故①③为“保等比数列函数”． 15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， ∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， ∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列， ∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12 ＝3－32n .。
等比数列知识点总结与典型例题+答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等比数列知识点总结及练习(含答案)
等比数列1、等比数列的定义:a na n 1q q on 2,且 n N , q 称为公比2、通项公式：n 1a n aga 〔 n -q A B n a 1 q0,A B 0，首项：a 1 ；公比：qq推广：a n a m qn mn m a nqqn ma na mV am3、等比中项：(1) 如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2 ab 或A注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个((2)数列a n 是等比数列 a n 2 a n i a n 14、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na 1(2)当q 1时，a 1 nqa 1 a n q1 q1 qa 1a 〔 nq A AB n A'B n A'(代 B, A',B'为常数)1 q1 q5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n , 都有a n 1qa n 或aq(q 为常数，a n 0) {a “}为a等比数列(2)等比中项： 2ana n 1 a n 1 (a n 1a n 10)｛a n ｝为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a ^ q q 0 n 2,且na n 17、等比数列的性质：(2)对任何m,n N *，在等比数列｛a n ｝中，有a . a m q n m例题解析(3)通项公式：a n A B n A B 0｛a .｝为等比数列N * 或 a n 1 qa n｛a n ｝为等比数列2(3)若m n s t(m,n,s,t N )，贝U a n a m a s a t。
特别的，当m n 2k时，得{b n }为等比数列，则数列{兰} , {k a n },(4)数列{a n },{k a n b n } ,{色}( k{a n k },b n为非零常数)均为等比数列。
比数列等比数列1【例3】 等比数列｛a n ｝中，⑴已知a 2 = 4, a § = - 3，求通项公式；(2)已知 a3 • a4 • a5 = 8, 求 a2a3a4a§a6 的值.a n a m a k注：a 1 a n a 2 a n 1 a 3a n 2a n (5)数列｛a n ｝为等比数列，每隔k(k N )项取出一项(am,a m k ,a m 2k, a m 3k ,)仍为等(6) 如果｛a n ｝是各项均为正数的 等比数列，则数列｛log a a n ｝是等差数列(7) 若｛a n ｝为等比数列, 则数列 S n , S2n Sn , S3n S2n ,，成等比数列 (8) 若｛a n ｝为等比数列, 则数列a 1 a 2 a n,a n 1 a n 2 a 2n, a 2n 1 a 2n 2a 3n 成(9)①当q 1 时，{:0,则｛a n ｝为递增数列0,贝卩®｝为递减数②当Ovq a 1 0, 1 时，{ a 1 0, 则｛a n ｝为递减数列 则｛a n ｝为递增数列③当 q 1时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ④当 q 0时,该数列为摆动数列•【例1】 已知S 是数列｛a n ｝的前n 项和，S n = p n (pR,n € N*),那么数列{a n }.( A. 是等比数列BB. C.当p z 0, p z 1时是等比数列 D当p z 0时是等比数列 不是等比数列【例2】已知等比数列1, X[, X2，…，X2n , 2 ,求 X[ • X2 • X3 ....... X2n .2【例4】 求数列的通项公式: (1)｛a n ｝中，a 1 = 2, a n+1 = 3a n + 2⑵｛a J 中，ai=2,5，且 an+2 - 3an+1 + 2an = 0三、考点分析考点一：等比数列定义的应用141、数列a n 满足a na n 1 n 2 , a 1 —,则 a 4.332、在数列a n 中，若a 11, a n 12a n 1 n 1 ,则该数列的通项a n考点二：等比中项的应用1、已知等差数列 a n 的公差为2，若a i ，a 3，a °成等比数列，则a ?（2 a a4、 设a i ，a 2，a 3，a °成等比数列，其公比为 2，则一-的值为（ ）2a 3 a 4A 1厂1厂1^“A.B. C. —D. 14 2 81 5、 等比数列｛a n ｝中，公比 q=—且 a 2+a 4+…+a 1oo =30，则 a 1+a 2+…+a 1oo = ______ 2考点四：等比数列及其前n 项和性质的应用3、若a n 为等比数列，且2a 4 a 6 a 5，则公比q )10( )不确定)6A. 4 B . 6C .8D2、 若 a 、b 、 C 成等比数列，则函数 y ax 2 bxc 的图象与 x 轴交点的个数为 A.0 B . 1C.2D. 3、已知数列 a n 为等比数列，a 3 2, a 2 a 420隶a，求a n的通项公式.1、若公比为 22的等比数列的首项为9 末项为 11，则这个数列的项数是（383A. 3B.4C.5D考点三：等比数列及其前 n 项和的基本运算 2、已知等比数列 a n 中，a 33，印。
等比数列知识点并附例题及解析
等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
等比数列(经典导学案及练习答案详解)
§6.3 等比数列 学习目标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减． 常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________. 答案 1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3， 所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3， a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( )A ．－2或32B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25， 即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)． 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1， 故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式． (1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华 等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ， 则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析 由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643 C.323D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13， 所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643. 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92D ．6 答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ， ∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里 答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12， 因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 AD解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列． 6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1， 又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________.答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7， 得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析 由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13， 所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16， 所以T n ＋16＝3n 6， 又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n63n －16＝3(n ≥2)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6， 所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3， 但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析 由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0，所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3，所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
高考等比数列专题及答案百度文库(1)
一、等比数列选择题1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（ ）A ．2-B ．2-或1C ．1D ．22．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16-3．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（ ） A ．4B ．5C ．8D ．154．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且a 1，a 3，a 4成等比数列，则S n 取最大值时n 的值为（ ） A ．4B ．5C ．4或5D ．5或65．已知等比数列{}n a 中，1354a a a ⋅⋅=，公比2q =，则456a a a ⋅⋅=（ ） A ．32B ．16C ．16-D ．32-6．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40B ．81C ．121D ．2427．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则n a 的表达式为（ ）A ．12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．112n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．123n n a +⎛⎫= ⎪⎝⎭8．各项为正数的等比数列{}n a ，478a a ⋅=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．15B ．10C ．5D ．39．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12B ．18C ．24D ．3210．明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑.其中有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”.注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（ ）A ．3B ．12C ．24D ．4811．题目文件丢失！12．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152B ．142C ．132D ．12213．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1114．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．14B ．1C ．12D ．1315．已知1，a 1，a 2，9四个实数成等差数列，1，b 1，b 2，b 3，9五个数成等比数列，则b 2（a 2﹣a 1）等于（ ） A ．8B ．﹣8C ．±8D ．9816．已知等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则该数列的公比是（ ）A ．19B ．9C ．13D ．317．已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-，则22212n a a a +++=（ ）A ．()221n -B ．()1213n- C ．41n -D ．()1413n- 18．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥B ．若13a a =，则12a a =C ．2221322a a a +≥D ．若31a a >，则42a a >19．数列{}n a 满足：点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．4092B ．2047C ．2046D ．102320．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则n n S =a （ ）A ．14n -B ．41n -C ．12n -D ．21n -二、多选题21．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列22．若数列{}n a 的前n 项和是n S ，且22n n S a =-，数列{}n b 满足2log n n b a =，则下列选项正确的为（ ） A ．数列{}n a 是等差数列B ．2nn a =C ．数列{}2na 的前n 项和为21223n +-D ．数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，则1n T <23．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 24．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-125．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >B ．1q >C ．11nn a a +< D ．当10a >时，1q >26．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ）A ．25B ．26C ．27D ．2827．已知数列是{}n a是正项等比数列，且3723a a +=，则5a 的值可能是（ ） A ．2B ．4C ．85D ．8328．数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，若22a =，48a =，则10S 的可能值为（ ） A ．1023B ．341C ．1024D ．34229．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q << B ．791a a ⋅> C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T30．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍31．已知数列{}n a 是等比数列，有下列四个命题，其中正确的命题有（ ） A ．数列{}n a 是等比数列 B ．数列{}1n n a a +是等比数列 C ．数列{}2lg n a 是等比数列 D ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列 32．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=33．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a >，87101a a -<-.则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．791a a <C ．n T 的最大值为7TD ．n S 的最大值为7S34．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<35．等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，当首项1a 和d 变化时，3813++a a a 是一个定值，则下列各数也为定值的有( ) A ．7aB ．8aC ．15SD ．16S【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．A 【分析】由416a =-，314S a =+列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案. 【详解】 因为314S a =+， 所以234+=a a ，所以()2131416a q q a q ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 解得2q =-， 故选：A . 2．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C. 3．C 【分析】由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴27a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8． 故选：C 4．C 【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差12d =-，再由等差数列的前n 项和公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为,0d d ≠，134,,a a a 成等比数列，2314a a a ∴=即2(22)2(23)d d +=+，则12d =-，()()211119812244216n n n n n S a n d n n --⎛⎫∴=+=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当4n =或5时，n S 取得最大值. 故选：C. 5．A 【分析】由等比数列的通项公式可计算得出()6456135a a a q a a a ⋅⋅=⋅⋅，代入数据可计算得出结果.【详解】由6326456135135432a a a a q a q a q a a a q ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⨯=.故选：A. 6．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =，所以()5515113121113a q S q--===--， 故选：C. 7．D 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得23q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-， 当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，()1111111n nn a q a aq S qq q-==-⋅+---， 所以11113311n n a aS a q a q q-=-⋅+---， 要使数列{}13n S a -为等比数列，则需11301a a q -=-，解得23q =. 213a a =，2123a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，故21111222333n n n n a a q -+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-⋅+---是等比数列，则11301aa q-=-，即可求得q 的值，通项即可求出. 8．A 【分析】根据等比数列的性质，由对数的运算，即可得出结果. 【详解】 因为478a a ⋅=，则()()52212221021210110log log log log ...log a a a a a a a a ⋅⋅⋅=+⋅++=()2475log 15a a =⋅=.故选：A. 9．C 【分析】将已知条件整理为()()22121328a q q q -+=，可得()22183221q q a q +=-，进而可得()4427612249633221q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即可求出最值. 【详解】因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，所以432111164328a q a q a q a q +--=，()()2221232328a q q q q q ⎡⎤+-+=⎣⎦， 即()()22121328a q q q -+=，所以()22183221q q a q +=-，()()465424761111221248242496963323212121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=⨯==---， 令210t q =>，则()222421211t t t q q-=-=--+， 所以211t q==，即1q =时2421q q -最大为1，此时242421q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 10．C 【分析】题意说明从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，由系数前n 项和公式求得1a ，再由通项公式计算出中间项． 【详解】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为1a ，则有()7171238112a S ⋅-==-，解得13a =，中间层灯盏数34124a a q ==，故选：C.11．无12．A 【分析】根据29T T =得到761a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由29T T =得：761a =， 故61a =，即511a q =. 又2121512a a a q ==，所以91512q =， 故12q =， 所以()()211122123411...2n n n n n n n T a a a a a a q--⎛⎫=== ⎪⎝⎭,所以n T 的最大值为15652T T ==.故选：A. 13．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 14．D 【分析】根据241a a =，由2243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.【详解】因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以231a =，31a =，211a q =.因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q-==++-得22131q q q =++， 即21210q q --=， 解得13q =，或14q =-（舍去）. 故选：D 15．A 【分析】由已知条件求出公差和公比，即可由此求出结果.设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 则有139d +=，419q ⋅=，解之可得83d =，23q =， ()22218183b a a q ∴-=⨯⨯=.故选：A. 16．D 【分析】利用等比数列的通项公式求出1a 和2a ，利用21a a 求出公比即可 【详解】设公比为q ，等比数列{}n a 的通项公式为2*3()n n a n N +=∈，则31327a ==，42381a ==，213a q a ∴==， 故选：D 17．D 【分析】由n a 与n S 的关系可求得12n n a ，进而可判断出数列{}2n a 也为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得所化简所求代数式.【详解】已知等比数列{}n a 的n 项和2n n S a =-. 当1n =时，112a S a ==-；当2n ≥时，()()111222nn n n n n a S S a a ---=-=---=.由于数列{}n a 为等比数列，则12a a =-满足12n na ，所以，022a -=，解得1a =，()12n n a n N -*∴=∈，则()221124n n na --==，2121444n n n n a a +-∴==，且211a =，所以，数列{}2n a 为等比数列，且首项为1，公比为4， 因此，222121441143n n na a a --+++==-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求数列通项公式常用的七种方法：（1）公式法：根据等差数列或等比数列的通项公式()11n a a n d +-=或11n n a a q -=进行（2）前n 项和法：根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行求解；（3）n S 与n a 的关系式法：由n S 与n a 的关系式，类比出1n S -与1n a -的关系式，然后两式作差，最后检验出1a 是否满足用上面的方法求出的通项；（4）累加法：当数列{}n a 中有()1n n a a f n --=，即第n 项与第1n -项的差是个有规律的数列，就可以利用这种方法； （5）累乘法：当数列{}n a 中有()1nn a f n a -=，即第n 项与第1n -项的商是个有规律的数列，就可以利用这种方法；（6）构造法：①一次函数法：在数列{}n a 中，1n n a ka b -=+（k 、b 均为常数，且1k ≠，0k ≠）.一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+，得到()1b k m =-，1bm k =-，可得出数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 的等比数列，可求出n a ；②取倒数法：这种方法适用于()112,n n n ka a n n N ma p*--=≥∈+（k 、m 、p 为常数，0m ≠），两边取倒数后，得到一个新的特殊（等差或等比）数列或类似于1n n a ka b-=+的式子；⑦1nn n a ba c +=+（b 、c 为常数且不为零，n *∈N ）型的数列求通项n a ，方法是在等式的两边同时除以1n c +，得到一个1n n a ka b +=+型的数列，再利用⑥中的方法求解即可. 18．C 【分析】取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】解：设等比数列的公比为q ，对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；对于B 选项，若13a a =，则211a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥⋅=，故正确；对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()14221a a a q q -=-，其正负由q 的符号确定，故D 不确定. 故选：C. 19．A 【分析】根据题中条件，先得数列的通项，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为点()1,n n a -(n N ∈，2n ≥)在函数()2x f x =的图像上， 所以()12,2nn a n N n -=∈≥，因此()12n n a n N ++=∈，即数列{}n a 是以4为首项，以2为公比的等比数列， 所以{}n a 的前10项和为()10412409212-=-.故选：A. 20．D 【分析】根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结果. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，所以2413514522q a a a a =++==， 因此()()111111111221112n nnn n n n n na q S q q a a q q q ---⎛⎫- ⎪--⎝⎭====--⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.二、多选题21．BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键. 22．BD 【分析】根据22n n S a =-，利用数列通项与前n 项和的关系得1,1,2n nS n a S n =⎧=⎨≥⎩，求得通项n a ，然后再根据选项求解逐项验证. 【详解】当1n =时，12a =，当2n ≥时，由22n n S a =-，得1122n n S a --=-， 两式相减得：12n n a a -=， 又212a a =，所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列， 所以2nn a =，24nn a =，数列{}2na 的前n 项和为()141444143n n nS +--'==-， 则22log log 2nn n b a n ===，所以()1111111n n b b n n n n +==-⋅⋅++，所以 1111111 (11123411)n T n n n =-+-++-=-<++， 故选：BD 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 23．ABC 【分析】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=⨯，即可判断四个选项的正误.【详解】设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则()121n n a S +=+，且12a =，由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，所以123n n a -=⨯，在第3分钟内，该计算机新感染了3132318a -=⨯=个文件，故选项A 正确；经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313a a a a a ⨯-+++++=+==-个病毒文件，故选项B 正确；10分钟后，计算机感染病毒的总数为()101051210213111310132a a a ⨯-++++=+=>⨯-，所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确； 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得n a .24．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确；若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.25．ABC 【分析】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列{}n a 的公比为q ，因为11n n a a q -=，可得111(1)0n n n a a a qq -+-=->，当10a >时，1q >，此时101nn a a +<<， 当10a <时，101,1nn a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 26．CD由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 27．ABD 【分析】根据基本不等式的相关知识，结合等比数列中等比中项的性质，求出5a 的范围，即可得到【详解】解：依题意，数列是{}n a 是正项等比数列，30a ∴>，70a >，50a >，∴2373752323262a a a a a +=， 因为50a >，所以上式可化为52a ，当且仅当3a =，7a = 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了基本不等式，考查分析和解决问题的能力，逻辑思维能力．属于中档题． 28．AB 【分析】首先可得数列{}n a 为等比数列，从而求出公比q 、1a ，再根据等比数列求和公式计算可得； 【详解】解：因为数列{}n a 对任意的正整数n 均有212n n n a a a ++=，所以数列{}n a 为等比数列，因为22a =，48a =，所以2424a q a ==，所以2q =±， 当2q时11a =，所以101012102312S -==-当2q =-时11a =-，所以()()()101011234112S -⨯--==--故选：AB 【点睛】本题考查等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题. 29．AD 【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误；又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 30．BD 【分析】根据题意，得到此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 31．ABD 【分析】分别按定义计算每个数列的后项与前项的比值，即可判断. 【详解】根据题意，数列{}n a 是等比数列，设其公比为q ，则1n na q a +=， 对于A ，对于数列{}n a ，则有1||n na q a ，{}n a 为等比数列，A 正确；对于B ，对于数列{}1n n a a +，有211n n n na a q a a +-=，{}1n n a a +为等比数列，B 正确； 对于C ，对于数列{}2lg n a ，若1n a =，数列{}n a 是等比数列，但数列{}2lg n a 不是等比数列，C 错误；对于D ，对于数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，有11111n n n n a a a q a --==，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，D 正确. 故选：ABD . 【点睛】本题考查用定义判断一个数列是否是等比数列，属于基础题. 32．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 33．ABC 【分析】由11a >，781a a >，87101a a -<-，可得71a >，81a <．由等比数列的定义即可判断A ；运用等比数列的性质可判断B ；由正数相乘，若乘以大于1的数变大，乘以小于1的数变小，可判断C; 因为71a >，801a <<，可以判断D. 【详解】11a >，781a a >，87101a a -<-， 71a ∴>，801a <<，∴A.01q <<，故正确；B.27981a a a =<，故正确； C.7T 是数列{}n T 中的最大项，故正确．D. 因为71a >，801a <<，n S 的最大值不是7S ，故不正确.故选：ABC ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34．BCD【分析】根据间隔递增数列的定义求解.【详解】A. ()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误； B. ()()244441++n k n n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n k n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110k k --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110k k +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确；D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立 即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立所以23t -<，且22t -≥解得45t ≤<，故正确.故选：BCD【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.35．BC【分析】根据等差中项的性质和等差数列的求和公式可得出结果.【详解】由等差中项的性质可得381383a a a a ++=为定值，则8a 为定值，()11515815152a a S a +==为定值，但()()11616891682a a S a a +==+不是定值.故选：BC.【点睛】本题考查等差中项的基本性质和等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.。
等比数列及其前n项和知识点讲解+例题讲解(含解析)
等比数列及其前n 项和一、知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数).(2)如果三个数a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，其中G ＝2.等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝a 1q n －1； 通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .(2)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q .3.等比数列的性质已知{a n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和. (1)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则有a k ·a l ＝a m ·a n . (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ， a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m .(3)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n .证明：（1）当q ≠-1且q ≠0时，A a a a a S n n =++++=...321，n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S =+++=++++=-+++ (2123212)n n n n n n n n n n n Aq q a q a q a a a a a S S 222221332221223......=+++=++++=-+++所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n（2）当q= -1时，<1>、当n 为奇数时，1a S n=，132,0a S S n n ==1120a a S S n n -=-=-， 11230a a S S n n =-=-所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍成等比数列，其公比为q n<2>、当n 为偶数时，032===n n n S S S ，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n不能构成等比数列小结：1.若数列{a n }为等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 也是等比数列. 2.由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 3.在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列公比q 是一个常数，它可以是任意实数.( ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( ) 解析 (1)在等比数列中，q ≠0.(2)若a ＝0，b ＝0，c ＝0满足b 2＝ac ，但a ，b ，c 不成等比数列. (3)当a ＝1时，S n ＝na .(4)若a 1＝1，q ＝－1，则S 4＝0，S 8－S 4＝0，S 12－S 8＝0，不成等比数列.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A.－12B.－2C.2D.12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，即q ＝12.答案 D3.在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________.解析 设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案 27，814.(2019·天津和平区质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2B.4C.92D.6解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B5.(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( )A.32f B.322fC.1225fD.1227f解析 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f . 答案 D6.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，则n ＝________.解析 由a n ＋1＝2a n ，知数列{a n }是以a 1＝2为首项，公比q ＝2的等比数列，由S n ＝2（1－2n ）1－2＝126，解得n ＝6.答案 6考点一 等比数列基本量的运算【例1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.(2)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析 (1)由{a n }为等比数列，设公比为q .由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝－1，①a 1－a 1q 2＝－3，② 显然q ≠1，a 1≠0，②①得1－q ＝3，即q ＝－2，代入①式可得a 1＝1， 所以a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.(2)设数列{a n }首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝74，S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝634，解得⎩⎨⎧a 1＝14，q ＝2， 所以a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案 (1)－8 (2)32规律方法 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.2.等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q.【训练1】 (1)等比数列{a n }中各项均为正数，S n 是其前n 项和，且满足2S 3＝8a 1＋3a 2，a 4＝16，则S 4＝( ) A.9B.15C.18D.30(2)(2017·北京卷)若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________.解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2S 3＝2（a 1＋a 1q ＋a 1q 2）＝8a 1＋3a 1q ，a 1q 3＝16， 解得q ＝2，a 1＝2，所以S 4＝2（1－24）1－2＝30.(2){a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2＝22＝1.答案 (1)D (2)1考点二 等比数列的判定与证明【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1， 得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ， 即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1. (2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n.由S 5＝3132，得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.【训练2】 (2019·广东省级名校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n . (1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n＝4（1－2n ）1－2＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.考点三 等比数列的性质及应用【例3】 (1)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( ) A.12B.10C.8D.2＋log 35(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( ) A.40B.60C.32D.50解析 (1)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18，所以a 5a 6＝9，则原式＝log 3(a 1a 2…a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝10.(2)数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4，8，S 9－S 6，S 12－S 9是首项为4，公比为2的等比数列，则S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝16，S 12－S 9＝a 10＋a 11＋a 12＝32，因此S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 答案 (1)B (2)B【训练3】 (1)(2019·菏泽质检)在等比数列{a n }中，若a 3，a 7是方程x 2＋4x ＋2＝0的两根，则a 5的值是( ) A.－2B.－ 2C.± 2D.2(2)(一题多解)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________.解析 (1)根据根与系数之间的关系得a 3＋a 7＝－4， a 3a 7＝2，由a 3＋a 7＝－4<0，a 3a 7>0， 所以a 3<0，a 7<0，即a 5<0， 由a 3a 7＝a 25，得a 5＝－a 3a 7＝－ 2.(2)法一 由等比数列的性质S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，由已知得S 6＝3S 3，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3，即S 9－S 6＝4S 3，S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73.法二 因为{a n }为等比数列，由S 6S 3＝3，设S 6＝3a ，S 3＝a (a ≠0)，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等比数列，即a ，2a ，S 9－S 6成等比数列，所以S 9－S 6＝4a ，解得S 9＝7a ，所以S 9S 6＝7a 3a ＝73.答案 (1)B (2)73数学运算——等差(比)数列性质的应用1.数学运算是指在明析运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题，掌握数列运算法则，探究运算思路，求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；等差中项）(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38， 显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5. 答案 (1)10 (2)5类型2 等比数列两个性质的应用在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )A.6B.5C.4D.3(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18B.－18C.578D.558 解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18.答案 (1)C (2)A类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为________. 解析 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160， 所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0.则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.答案 (1)2 (2)3116三、课后练习1.已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T 1>1的n 的最小值为( )A.4B.5C.6D.7 解析 ∵{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 23＝a 3，∴a 3＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C 2.数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A.(3n －1)2B.12(9n －1)C.9n －1D.14(3n －1)解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1，∴当n ≥2时，a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝2·3n －1，故数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列.因此a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1). 答案 B 3.(2019·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝______.解析 ∵{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q， ∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)，将q 4＝2代入计算可得λ＝83.答案 834.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋λ(λ为常数).(1)试探究数列{a n ＋λ}是不是等比数列，并求a n ；(2)当λ＝1时，求数列{n (a n ＋λ)}的前n 项和T n . 解 (1)因为a n ＋1＝2a n ＋λ，所以a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ). 又a 1＝1，所以当λ＝－1时，a 1＋λ＝0，数列{a n ＋λ}不是等比数列， 此时a n ＋λ＝a n －1＝0，即a n ＝1； 当λ≠－1时，a 1＋λ≠0，所以a n ＋λ≠0， 所以数列{a n ＋λ}是以1＋λ为首项，2为公比的等比数列， 此时a n ＋λ＝(1＋λ)2n －1，即a n ＝(1＋λ)2n －1－λ.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以n (a n ＋1)＝n ×2n ， T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② ①－②得：－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2（1－2n ）1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. 所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.。
高考考点 考点16 等比数列 含答案
1.(2021·新课标全国Ⅱ)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21 B．42 C．63 D．842．(2021·福建)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6 B．7 C．8 D．93．(2020·北京)设{a n}是公比为q的等比数列．则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．(2020·重庆)对任意等比数列{a n}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列5．(2021·安徽)已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{a n}的前n项和等于________．6．(2021·湖南)设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n＝________．7．(2020·江苏)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．8．(2020·安徽)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.9．(2020·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．10．(2020·江西)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .1．(2021·山东日照模拟)设数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.1722．(2021·湖北八校模拟)已知实数等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的是( )A ．若a 3＞0，，则a 2 013＜0B ．若a 4＞0，则a 2 014＜0C ．若a 3＞0，则S 2 013＞0D ．若a 4＞0，则S 2 014＞03．(2021·青岛模拟)已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i ＞0(i ＝1，2，…，n )，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6＞b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6＜b 6D ．a 6＜b 6或a 6＞b 64．(2021·江西赣州模拟)在公比大于1的等比数列{a n }中，a 3a 7＝72，a 2＋a 8＝27，则a 12＝( )A ．96B ．64C ．72D ．485．(2021·湖南常德模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C.323(1－4－n )D.323(1－2－n )6．(2021·甘肃一模)抛物线 x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i ，2a 2i )处的切线与x 轴交点的横坐标记为a i ＋1，其中i ∈N *，若a 2＝32，则a 2＋a 4＋a 6＝( )A ．64B ．42C ．32D ．217．(2021·江苏宿迁模拟)已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7等于________． 8．(2021·安徽安庆模拟)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫T n ＋32k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．9．(2021·山东济南模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋1＋2p (n ∈N *)．(1)求p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＋12＝(3＋p )a n b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .考点16 等比数列【两年高考真题演练】1．B [设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21得3(1＋q 2＋q 4)＝21，解得q 2＝－3(舍去)或q 2＝2，于是a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42，故选B.]2．D [由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a .∴⎩⎨⎧ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎨⎧ab ＝4，2a ＝b －2解之得：⎩⎨⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.]3．D [当数列{a n }的首项a 1<0时，若q >1，则数列{a n }是递减数列；当数列{a n }的首项a 1<0时，要使数列{a n }为递增数列，则0<q <1，所以“q >1”是“数列{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.]4．D [由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列，选D.]5．2n －1 [由等比数列性质知a 2a 3＝a 1a 4，又a 2a 3＝8，a 1＋a 4＝9，所以联立方程⎩⎨⎧a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9，解得⎩⎨⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎨⎧a 1＝8，a 4＝1，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝1，a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2.∴数列{a n }的前n 项和为S n ＝1－2n1－2＝2n －1.] 6．3n －1 [由3S 1，2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3，可得a 3＝3a 2，∴公比q ＝3，故等比数列通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1.]7．4 [设等比数列{a n }的公比为q ，q >0.则a 8＝a 6＋2a 4即为a 4q 4＝a 4q 2＋2a 4，解得q 2＝2(负值舍去)，又a 2＝1，所以a 6＝a 2q 4＝4.]8.14 [由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14.] 9．50 [由等比数列的性质可知，a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，所以a 10·a 11＝e 5，于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝10ln(a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.]10．解 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)·3n ，相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.【一年模拟试题精练】1．B2．C [设a n ＝a 1q n －1，因为q 2 010＞0所以A ，B 不成立，对于C ，当a 3＞0时，a 1＞0，因为1－q 与1－q 2 013同号，所以S 2 013＞0，所以C 正确，对于D ，取－1，1，－1，1 ，…不满足条件，D 错，故选C.]3．A [∵a 6＝a 1＋a 112，b 6＝b 1b 11＝a 1a 11，∴a 1＋a 112＞a 1a 11，∴a 6＞b 6.]4．A [∵a 3a 7＝a 2a 8＝72，a 2＋a 8＝27，∴⎩⎨⎧a 2＝24，a 8＝3或⎩⎨⎧a 2＝3，a 8＝24又∵公比大于1，∴⎩⎨⎧a 2＝3，a 8＝24，∴q 6＝8即q 2＝2，∴a 12＝a 2q 10＝3×25＝96.]5．C [因为{a n }是等比数列，所以{a n a n ＋1}成以8为首项，14为公比的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n ) ，故选C.]6．B [∵y ＝2x 2(x ＞0)，∴y ′＝4x ，∴x 2＝12y 在第一象限内图象上一点(a i ，2a 2i )处的切线方程是：y －2a 2i ＝4a i (x －a i )，整理，得4a i x －y －2a 2i ＝0，∵切线与x 轴交点的横坐标为a i ＋1，∴a i ＋1＝12a i ，∴{a 2k }是首项为a 2＝32，公比q ＝14的等比数列，∴a 2＋a 4＋a 6＝32＋8＋2＝42. 故选B.]7．3＋22 [a 1，12a 3，2a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋2a 2，即q 2－2q －1＝0，∴q ＝1＋2，所以a 8＋a 9a 6＋a 7＝q 2＝3＋2 2.] 8．解 (1)当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，∵a n ＞0，∴a n ＋1＝a n ＋2， ∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列，∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋8)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3，由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1，∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝2的等差数列．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，数列{b n }的通项公式为b n ＝3n .(2)T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝3（1－3n ）1－3＝3n ＋1－32，∴⎝⎛⎭⎪⎫3n ＋1－32＋32k ≥3n －6对n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对n ∈N *恒成立， 令c n ＝2n －43n ，c n －c n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－2（2n －7）3n ，当n ≤3时，c n ＞c n －1，当n ≥4时，c n ＜c n －1，∴(c n )max ＝c 3＝227，k ≥227.9．解 (1)由a n ＝S n －S n ＋1＝2n ＋1＋2p －2n －2p ＝2n ，n ≥2， a 1＝S 1＝4＋2p ＝2，由a 1，a 2，a 3成等比得p ＝－1.(2)由a n ＋12＝(3＋p )a n b n ，可得b n ＝n 2n ，T n ＝12＋222＋…＋n 2n ，12T n ＝122＋223＋…＋n2n ＋1，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，12T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n2n ＋1，T n ＝2－12n －1－n 2n .。
专题六 数列 第十六讲 等比数列答案
1 = 1 q =2 2 1 ⎩ 1 1 1= ⎪ 专题六 数列第十六讲 等比数列答案部分1.解析 由题意可得， Sa (1- q 3 ) 2019 年- 3 1+ q + q =3 ，解得q =- 1 . 3 1- q⎛ 1 ⎫41- q 4 2 a (1- q 4 ) 1- - ⎪5 所 以 S = 1= ⎝ 2 ⎭ = . 4 1- q ⎛ 1 ⎫81- - ⎪⎝ ⎭2.解析（1）设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2 = 4q +16 ，即q 2 - 2q - 8 = 0 .解得q = -2 （舍去）或q =4.因此{a }的通项公式为a= 2⨯ 4n -1 = 22n -1 .nn（ 2 ）由（ 1 ）得 b n = (2n -1) log 2 2 = 2n -1 ，因此数列 {b n }的前 n 项和为1+ 3 + + 2n -1 = n 2 .3.解析 设等比数列{a n } 的公比为 q (q > 0) ，则由前 4 项和为 15，且a 5 = 3a 3 + 4a 1 ，有⎧ a (1- q 4) = 15⎧a = 1 ⎨ 1- q，解得⎨ 1 . 所以 a = 22 = 4 . 故选 C ． ⎪a q 4 = 3a q 2+ 4a ⎩q = 2 34.解析（Ⅰ）设{a n }的公差为d ．因为a 1 = -10 ，所以a 2 = -10 + d , a 3 = -10 + 2d , a 4 = -10 +3d ． 因为a 2 +10, a 3 + 8, a 4 + 6 成等比数列，所以(a + 8)2= (a +10)(a + 6) ，即(-2 + 2d )2 = d (-4 + 3d ) ．3246⎩( ) 2= (2n -1)3n +2 + 6n 2 + 9n n n n n化简得d 2 - 4d + 4 = 0 ，解得d = 2 ．所以a n= a 1 + (n -1) d = 2n -12 (n ∈ N *)．（Ⅱ）由（Ⅰ）知， a n = 2n -12 ，且a = 0 ．所以，当n7 时， a n > 0 ；当 n 6 时，a n 0 ．所以， S n 的最小值为 S 5 = S 6 = -30 ．5. 解析（ Ⅰ ） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ， 等比数列 {b n } 的公比为 q 依题意，得⎧3q = 3 + 2d ，解得⎧d = 3，故 a = 3 + 3(n -1) = 3n ， b = 3⨯3n -1 = 3n .⎨ 2 ⎩3q = 15 + 4d ⎨q = 3 n n所以，{a }的通项公式为a = 3n (n ∈ N *)，{b }的通项公式 为b = 3n(n ∈ N *).（Ⅱ） a 1c 1 + a 2c 2 + ⋯+ a 2n c 2n= (a 1 + a 3 + a 5 +⋯+ a 2n -1 )+ (a 2b 1 + a 4b 2 + a 6b 3 + + a 2n b n )= ⎡n ⨯ 3 +n (n -1) ⨯ 6⎤+ (6 ⨯ 31 +12⨯ 32 +18⨯ 33 + ... + 6n ⨯ 3n )⎢⎣2 ⎥⎦= 3n 2+ 6(1⨯ 31 + 2⨯ 32++ n ⨯ 3n )T = 1⨯31 + 2⨯32 +⋯+ n ⨯ 3n. ①3T = 1⨯32 + 2⨯33 + + n ⨯33+1 ， ②n②-①得， 2T n3 1- 3n= -3 - 32- 33- ... - 3n+ n ⨯ 3n +1= - + n ⨯ 3n +1= 1- 3(2n -1)3n +1 + 3 ，2故T n =(2n -1)3n +1 + 3.4(2n -1)3n +1 + 3所以， a c + a c + a c = 3n 2+ 6T= 3n 2+ 3⨯1 12 22n 2nn2(n ∈ N * ).n 2010-2018 年1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 ， 第一个单音的频率为 f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项 为 f ，公比为12 2 的等比数列，记为{a } ，则第八个单音频率为a 8 = f ⋅ (12 2)8-1= 12 27 f ，故选 D ．2．B 【解析】解法一 因为ln x ≤ x -1( x > 0 )，所以a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = ln(a 1 + a 2 + a 3 )≤ a 1 + a 2 + a 3 -1 ，所以a 4 ≤ -1 ，又 a 1 > 1，所以等比数列的公比q < 0 ．若 q ≤ -1，则a + a + a + a = a (1+ q )(1+ q 2）≤ 0 ，12 3 4 1而 a 1 + a 2 + a 3 ≥ a 1 > 1 ，所以ln(a 1 + a 2 + a 3 ) > 0 ， 与ln(a 1 + a 2 + a 3 ) = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ≤ 0 矛盾，所以-1 < q < 0 ，所以 a - a = a (1- q 2) > 0 ， a - a = a q (1- q 2) < 0 ，131241所以a 1 > a 3 ， a 2 < a 4 ，故选 B ．解法二 因为e x≥ x +1， a + a + a + a = ln(a + a + a ) ，1234123所以e a 1 +a 2 +a 3 +a 4 = a + a + a ≥ a + a + a + a +1，则 a ≤ -1 ， 1 2 3 1 2 3 44又 a 1 > 1，所以等比数列的公比q < 0 ．若 q ≤ -1，则a + a + a + a = a (1+ q )(1+ q 2）≤ 0 ，12 3 4 1而 a 1 + a 2 + a 3 ≥ a 1 > 1 ，所以ln(a 1 + a 2 + a 3 ) > 0与ln(a 1 + a 2 + a 3 ) = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 ≤ 0 矛盾，所以-1 < q < 0 ，所以 a - a = a (1- q 2 ) > 0 ， a - a = a q (1- q 2) < 0 ，131241所以a 1 > a 3 ， a 2 < a 4 ，故选 B ．3．C 【解析】由题意可得a a = a 2= 4(a -1) ⇒ a = 2 ，所以q 3=a 4= 8 ⇒ q = 2 ，3 54 4 41an n +1 5 1 5 1 1 1 2故 a = a q = 1 ，选 C ．2 124．D 【解析】由等比数列的性质得， a ⋅ a = a 2≠ 0 ，因此a , a , a 一定成等比数列．3962695．C 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵ S 3 = a 2 +10a 1 ，∴ a 1 + a 2 + a 3 = a 2 +10a 1 ，即 a = 9a ，∴ q 2 = 9 ，由 a = 9 ，即a q 4= 9 ，∴ a = 1．3151 196．B 【解析】取特殊值可排除 A 、C 、D ，由均值不等式可得a 2 + a 22a ⋅ a = 2a 2 ．1 3132nn +1a n + a +16n +17．B 【解析】由a a= 16 ，得a a= 16 ，两式相除得 1 n 2 = = 16 ，n n +1n +1 n +2na n a n +1 16∴ q 2 = 16 ，∵ a a =16n，可知公比q 为正数，∴ q = 4 ． 8．C 【解析】设{ a n }的公比为q ，则由等比数列的性质知，a 2 ⋅ a 3 = a 1 ⋅ a 4 = 2a 1 ，即a 4 = 2 ．由 a 与 2 a 的等差中项为 5知， a2a= 2⨯ ，∴a= (2⨯ - a ) = ．4 7 4 4 7 4 72 44 4 16(1- 1 )∴ q 3 = a 7 = ，即q = ．a = a q 3 = a ⨯ 1 = 2 ，∴ a = 16 ，S = 25 = 31．a 4 8 2 4 1 1 8 1 51- 129．A 【解析】通过8a + a = 0 ，设公比为q ，将该式转化为8a + a q 3 = 0 ，解得q =－2，2 5 2 2S 1- q 5 1+ 32所以 5= = = -11．S 1- q 21- 410．D 【解析】取等比数列1, 2, 4 ,令n = 1得 X = 1,Y = 3, Z = 7 代入验算，只有选项 D 满足．11．C 【解析】a = a a a a a = q ⋅ q 2 ⋅ q 3 ⋅ q 4 = q 10 = a q 10，因此有m =11．m1 2 3 4 5112．B 【解析】两式相减得， 3a = a - a ， a = 4a ,∴q = a 4= 4 ．3 4 3 4 33≠9(1- q 3 ) 1- q 6 3113．C 【解析】显然 q1，所以1- q=1- q ⇒ 1+ q ⇒ q = 2 ，所以{ } 是首项为a n1- 1 51( 2) 311，公比为 2的等比数列， 前 5 项和T 5 =1- 1 2Sa=．16 1-q6 314．32【解析】设{a n } 的公比为q ，由题意q ≠ 1，由6== 1+q= 9 ，所以q = 2 ，S 1-q33+ ln a 201 n n n =a (1- q 3) 7 由 S = 1 = ，得a = ，所以a = a q 7 = 1 ⨯ 27 = 25 = 32 ． 3 1- q 4 1 48 14 15．1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以b 2 = ac = (5 + 2 6)(5 - 2 6 )= 1，因为b > 0 ，所以b = 1．16．5【解析】由等比数列的性质可知a a = a a = a 2，于是，由a a = 4 得a = 2 ，1 52 431 53故 a 1a 2a 3a 4a 5 = 32 ，则log 2 a 1 + log 2 a 2 + log 2 a 3 + log 2 a 4 + log 2 a 5 =log 2 (a 1a 2a 3a 4a 5 ) = log 2 32 = 5 ．17．50【解析】因{a}是等比数列，∴ a a= a a = a a，由a aa a= 2e 5 得n1 2010 119 1210 119 12∴ a a = e 5，∴ln a + ln a + = ln(a a ⋅⋅⋅ a ) = ln(a a )10=50． 1 20121 2 20 1 2018．4【解析】设等比数列{a n } 的公比为q ， q > 0 ．则a 8 = a 6 + 2a 4 ，即为a q 4 = a q 2 + 2a ，解得 q 2 = 2 （负值舍去），又a = 1，所以a = a q 44 ．44426 219．15【解析】a 1 = 1, a 2 = -2, a 3 = 4, a 4 = -8 ，∴ a 1 + | a 2 | +a 3 + | a 4 |= 15． 20． 2, 2n +1- 2 【解析】由a + a = q (a + a ) 得 q = 2 ； (a + a ) = a (q + q 3 )=20，352 42(1- 2n )2 4 1得 a 1 = 2 ；∴ S n == 2n +1 - 2 ． 1- 2⎧⎪ a q = 121．12【解析】设正项等比数列{a n } 首项为 a 1 ，公比为 q ，则： ⎨ 1 4 2 ，⎪⎩a 1q 5 (1 + q ) = 3得： a ＝1，q ＝2， a = 26-n．记T = a + a + + a 2n -1 ，1∏ n = a 1a 2 a n = 2n (n -1)n 2n． T n > ∏ n ，则 12n - 125 2 n 25(n -1)n> 2 2 ，1n 2 -11n +51 11化简得： 2n-1 > 2 22，当n > n 2-2 n + 5 时， n = 2≈ 12 ． 2 当 n ＝12 时，T 12 > ∏12 ，当 n ＝13 时，T 13 < ∏13 ，故n max = 12 ． 22．11【解析】由a n +2 + a n +12a n= 0 可得 a q 2+ a q - 2a = 0 ,由a 1 = 1可知 13 + 121 32⎨ ⎨ 1 1 1 1 a n ≠ 0, q ≠ 1，求得公比q = -2 ，可得S 5 =11．23．2【解析】 2(a + a) = 5a ,∴2a (1+ q 2 ) = 5a q ,∴2(1+ q 2 ) = 5q , 解得q = 2或q = 1nn +2n +1 n n 2因为数列为递增数列，且a 1 > 0, 所以q > 1,∴ q = 2 ．⎧ a (1- q 2) ⎪ 1= 3a 1q + 2 ⎧ 24． 3 【解析】依题意可得，⎪ 1- q ⇒ ⎪2a 1q - 3a 1q + a 1 + 2q - 2 = 0 两 2 ⎪ a (1- q 4 ) 3 ⎪2a q 4 - 3a q 3 + a + 2q - 2 = 0 ⎪ 1= 3aq + 2⎩ 1 1 1 ⎩ 1- q1式相减可得2a q 4 - 2a q 2 - 3a q 3 + 3a q = 0 ，即2q 4 - 2q 2 - 3q 3+ 3q = 0 ， 3 3 解得q = ±1 （舍）或q = 0 或 q = ．因为q > 0 ，所以q = ．2225．2 2n -1 - 1 【解析】a = a q 3得4 = 1 q 3 ，解得q = 2 ，2 4 121(1- 2n )a + a + ⋅⋅⋅ + a = 2 = 2n -1 - 1． 1 2 n1- 2 226．【解析】(1)由条件可得a= 2(n + 1) a ．n +1nn将 n = 1 代入得， a 2 = 4a 1 ，而a 1 = 1，所以， a 2 = 4 ． 将 n = 2 代入得， a 3 = 3a 2 ，所以， a 3 = 12 ． 从而b 1 = 1， b 2 = 2 ， b 3 = 4 ．(2){b n } 是首项为 1，公比为 2 的等比数列．由条件可得a n +1=2a n ，即b= 2b ，又b = 1，所以{b } 是首项为 1，公比为 2 的等比数列．n + 1nn +1n1n(3)由(2)可得 an = 2n -1 ，所以a = n ⋅ 2n -1 ．nn27．【解析】(1)设{a } 的公比为q ，由题设得a = q n -1 ．n n由已知得q 4 = 4q 2，解得q = 0 （舍去）， q = -2 或q = 2 ．故 a n = (-2)n -1或a = 2n -1．(2)若a n = (-2)n -1，则 S 1- (-2)n． 32 n =nm S - 由 S = 63 得(-2)m= -188 ，此方程没有正整数解．若 a = 2n -1 ，则S = 2n -1．由 S = 63 得2m = 64 ，解得 m = 6 ．nnm综上， m = 6 ．28．【解析】(1)由a 4 + 2 是 a 3 ， a 5 的等差中项得a 3 + a 5 = 2a 4 + 4 ，所以a 3 + a 4 + a 5 = 3a 4 + 4 = 28 ， 解得a 4 = 8 ．由 a + a = 20 得8(q + 1) = 20 ，35q因为q > 1，所以 q = 2 ．(2)设c n = (b n +1 - b n )a n ，数列{c n } 前 n 项和为S n ．由c = ⎧ S 1, n = 1，解得c = 4n -1．n ⎨⎩ n S n -1 ,n ≥ 2 n由(1)可知a n = 2n -1 ，所以b n +1b n= (4n -1) ⋅ ( 1)n -1 ， 2故b - b = (4n - 5) ⋅ ( 1)n -2， n ≥ 2 ，n n -12b n - b 1 = (b n - b n -1 ) + (b n -1 - b n -2 ) + ⋅⋅⋅ + (b 3 - b 2 ) + (b 2 - b 1 )= (4n - 5) ⋅ (1)n -2 + (4n - 9) ⋅ ( 1)n -3 + ⋅⋅⋅ + 7 ⋅ 1+ 3 ．设T n2 2 2 =3 + 7 ⋅ 1 +11⋅ (1)2 + ⋅⋅⋅ + (4n - 5) ⋅ ( 1)n -2， n ≥ 2 ， 2 2 2 1 T = 3⋅ 1 + 7 ⋅1 2 +11⋅1 3+ ⋅⋅⋅ + (4n - 5) ⋅1 n -12 n2 ( 2) ( 2) ( 2) 所以 1 T= 3 + 4 ⋅ 1 + 4 ⋅1 2 + ⋅⋅⋅ + 4 ⋅1 n -2 - (4n - 5) ⋅1 n -1 ，2n2( 2) ( 2)( 2) 因此T n= 14 - (4n - 3) ⋅ (1)n -2， n ≥ 2 ， 2又b = 1，所以b = 15 - (4n - 3) ⋅ 1 n -2 ．1 n( ) 229．【解析】（1）设{a n } 的公比为q ．由题设可得⎧a 1 (1+ q ) = 2 ⎨a (1+ q + q 2) = -6 ， ⎩ 1解得q = -2 ， a 1 = -2 ．故{a } 的通项公式为a = (-2)n ．nn（2）由（1）可得a (1- q n ) 2 S n = 1 = - + (-1)n 2n +1 ． 1- q 3 3由于S + S = - 4 + (-1) n +2 n +1 3 n 2n +3 - 2n +2 3 = 2[- 2 + (-1) 3n 2n +1 3 ] = 2S n ， 故 S n +1 ， S n ， S n +2 成等差数列．30．【解析】设{a } 的公差为d ，{b } 的公比为q ，则 a = -1+ (n -1)d ， b= q n -1 ．nnnn由 a 2 + b 2 = 2 得，d + q = 3①（1）由a 3 + b 3 = 5 得，2d + q 2 = 6②⎧d = 3⎧ d = 1 联立①和②解得⎨q = 0 （舍去）， ⎨q = 2 ⎩因此{b }的通项公式为b ⎩= 2n -1 ．n n（2）由b = 1， T = 21得 q 2+ q - 20 = 013解得q = -5 ， q = 4 ．当 q = -5 时，由①得d = 8 ，则 S 3 = 21 ．当 q = 4 时，由①得 d = -1，则 S 3 = -6 ．31．【解析】 (Ⅰ)设数列{a n } 的公比为q ，由题意知， a (1+ q ) = 6 ， a 2q = a q 2．11 1+ 2n -1 2n -1 n又 a n > 0 ，解得a 1 = 2 ， q = 2 ，所以a = 2n．(Ⅱ)由题意知 S= (2n +1)(b 1 + b 2n +1 ) = (2n +1) ⋅ b2n +12又 S 2n +1 = b n b n +1 , b n +1 ≠ 0 ， 所以b n = 2n +1 ,n +1令c n= b n, a n2n +1 则c n = 2n因此T n = c 1 + c 2 + ⋅⋅⋅ + c n ，= 3 + 5 + 7 + + 2n +1 2 22 23 2n1 3 5 7 2n -1 2n +1 又2 T n = 22 + 23 + 25 + + 2n + 2n +1 , 两式相减得 1 T = 3 + ⎛ 1 + 1+ +1 ⎫ - 2n +1 ，2 n 22 22 2n -1 ⎪ 2n +1 所以T n = 5 -⎝ ⎭2n + 5 ．2n32．【解析】（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．因为a 2 + a 4 = 10 ，所以2a 1 + 4d =10 ． 解得d = 2 ．所以a n = 2n -1．（Ⅱ）设等比数列{b n }的公比为q ．因为b b = a ，所以b q ⋅b q 3= 9 ．2 451 1解得q 2= 3 ．所以b= b q 2n -2= 3n -1 ． 2n -1 1+ b 2n -1 = 1 + 3 + 3 ++ 3 = 21 1 a 1n= 8 从而b 1 + b 3 + b 5 +33．【解析】（Ⅰ）由题意得a2= 1, a = ．n -13n- 1 ．2234（Ⅱ）由a 2 - (2a-1)a - 2a= 0 得2a (a +1) = a (a +1) ．nn +1nn +1n +1nnn因为{a }的各项都为正数，所以a n +1 = 1． a n 2故{a }是首项为1，公比为 1 的等比数列，因此a = 1．n2n2n -134．【解析】（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由已知有 1 a 1 - 1 a 1q = 2 a q 2，解之可得a (1 - q 6 ) a (1 - 26) q = 2, q = -1，又由 S = 1 = 63 知 q ≠ -1 ，所以 1= 63 ，解之得a 1 n= 1 ，所以a n 1 - q = 2n -1 .1 -2 （ Ⅱ） 由题意得 b n = 1 (log a 2 2 n l og 2a n +1 ) = 1 (log 2 2 2n -1 + log 2n ) = n - 1 ， 即数列 2 {b } 是首项为 1，公差为1的等差数列. n2 设数列{(-1)n b 2}的前 n 项和为T ，则n nT = (-b 2 + b 2 ) + (-b 2 + b 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + (-b 2 + b 2 ) = b + b + ⋅ ⋅ ⋅ + b = 2n (b 1 + b 2n ) = 2n 2 2n 1 2 3 4 2n -1 2n 1 2 2n235．【解析】（Ⅰ）由题设知a 1.a 4 = a 2 .a 3 = 8 ，又a 1 + a 4 = 9 ，⎧a 1 = 1 ⎧a 1 = 8 可解得 或 （舍去）．由a = a q 3得公比q =2， ⎨ ⎨ ⎩ 4 ⎩4 = 1 故 a n = a q n -1＝2 n -1 ．a (1- q n ) n a S - S 1 1 （Ⅱ） S n = 1= 2 1- q -1，又b n = n +1 = n +1 n = - ， S S S SS S n n +1n n +1nn +1所以T n = b 1 + b 2+ ... + b = ( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + ... + ( 1 - 1) n S S S S S S= ( 1 - 1 ) = 1-12231 ． nn +1S 1 S n +12n +1 -1 a 2 4 11 ( ) ( ) ( ) 136．【解析】（Ⅰ）当n =2 时，4S n +2 + 5S n = 8S n +1 + S n -1 ， 3 5 3 3 5 7即 4(1+ + + a 4 ) + 5(1+ ) = 8(1+ + ) +1，解得a 4 = ．2 4 2 2 4 8（Ⅱ）因为4S n +2 + 5S n = 8S n +1 + S n -1 (n ≥ 2) ，所以4S n +2 - 4S n +1 + S n - S n -1 = 4S n +1 - 4S n (n ≥ 2) ，即 4a+ a = 4a(n ≥ 2) ，因为4a + a = 4⨯ 5+1 = 6 = 4a n +2 n n +1 3 1 42a - 1 a所以4a + a = 4a ，因为 n +2 2 n +1 = 4a n +2 - 2a n +1 = 2a n +1 - a n = ，n +2 n n +1 1 4a - 2a2(2a - a ) 2 a n +1 - 2a n1 1 n +1 n n +1 n 1所以数列{a n +1 - 2 a n } 是以a 2 - 2 a 1 = 1 为首项，公比为 2的等比数列．1 1 1（Ⅲ）由（Ⅱ）知：数列{a n +1 - 2 a n } 是以 a 2 - 2 a 1 = 1 为首项，公比为 2的等比数列，所以a - 1 a = 1 n -1 ． 即 a n +1 - a n= 4 ，n +1 2 n21 n +1 1 n所以数列{a n ( 1)n2 ( ) ( ) 2 2 } 是以 a 1 = 2 为首项，公差为 4 的等差数列，1 2故 a n( )n 2= 2 + (n -1) ⨯ 4 = 4n - 2 ，即a n= (4n - 2) ⨯ ( 1)n = (2n -1) ⨯ 1 n -1 ， 2 2 所以数列{a }的通项公式是a = (2n -1) ⨯ 1 n -1．n37．【解析】（I ）由 a= 3a n+1得a2 + 1 = 3(a + 1) ． n +1 n n +1 2 n2又 a + 1 = 3 ，所以⎧a + 1 ⎫ 是首项为 3 ，公比为 3 的等比数列．12 2 ⎨ n 2 ⎬2 ⎩ ⎭1 3n 3n -1a n + = ，因此{a n }的通项公式为a n = ．2 21 （Ⅱ）由（I ）知 a n 2= 2 ． 3n-1因为当n ≥ 1时， 3n -1 ≥ 2⨯ 3n -1 ，所以 1 ≤ 1．3n -1 2 ⨯ 3n -1于 是 1+1+ ... +1≤1+1+... +1=3(1-1) <3．a 1 a2an3 3n-1 2 3n 21 1 1 3 =⎩所以 + + ... + < ．a 1 a 2 a n238．【解析】(Ⅰ)设{a } 的公比为q ，依题意得⎧a 1q = 3⎧a 1 = 1，解得 ， n ⎨a q 4 = 81 ⎨ q = 3 因此， a n = 3n -1．⎩ 1 ⎩（Ⅱ）因为b n = log 3 a n = n -1 ， n (b + b ) n 2 - n 所以数列{b n }的前 n 项和 S n= 1 n = ． 2 23n 2- n S ，a = S = 1 n ≥ a = S - S = 3n - 2, 39．【解析】（Ⅰ）因为 n 2所以 1 1 ，当 2 时 n n n -1 又 n = 1 时，所以数列 a n 的通项公式为a n = 3n - 2,（Ⅱ）要使得a 1，a n ，a m 成等比数列，只需要a 2 = a a ， n1 m即(3n - 2)2 = 1⨯ (3m - 2),即m = 3n 2 - 4n + 2 ．而此时m ∈ N * ，且m > n ,所以对任意n > 1，都有m ∈ N * ，使得a 1，a n ，a m 成等比数列. ⎧a 2 - a 1 = 2 ⎧a 1q - a 1 = 2 40．【解析】由题意可知， ⎨4a = 3a + a，即⎨4a q = 3a +a q 2 ， ⎩ 2 1 3 ⎩ 1 1 1⎧a 1 =1 解得⎨q = 3 , 所以 S n =故 a 1 =1， q = 3 ， S n =1- 3n 1- 33n -123n-1． 2．41．【解析】(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，因为-2S 2 ， S 3 ， 4S 4 成等差数列，所以 S + 2S = 4S - S ，即 S - S= S - S ，可得2a = -a ，于是q =a 4= - 1 ． 32433 4324433 ⎛ 1 ⎫n -1a 3 23 又 a = ，所以等比数列{a }的通项公式为a= ⨯ - = (-1)n -1 ⋅ ．1 2nn 2 2 ⎪ 2n⎛ 1 ⎫n1 ⎛ 1 ⎫n ⎝ ⎭ ⎧2 + 1 ⎪ 1 2n (2n+1) , n 为奇数 (Ⅱ) S n = 1- - 2 ⎪ ， S n + S = 1- - 2 ⎪ + n = ⎨1 ⎝ ⎭ n ⎝⎭ 1- ⎛ -1 ⎫ ⎪2+ ,n 为偶数2 ⎪ ⎪⎩2n (2n-1)⎝ ⎭=2 S ≤ 11 2 3 S S 6 S 2n1 11 13当 n 为奇数时， S n + 随 n 的增大而减小，所以S n + ≤ S 1 + = ．n n 1 1 1 1 25当 n 为偶数时， S n + n 随 n 的增大而减小，所以S n + n ≤ S 2 + = 12 ．故对于n ∈ N *，有 S +113． S n 642．【解析】（Ⅰ）设数列{a }的公比为q ，由a 2 = 9a a 得a 3 = 9a 2 所以q 2 = 1．n32 63491由条件可知c > 0 ，故q = ．3由 2a + 3a = 1得2a + 3a q = 1 ，所以a = 1．1 2 1 2 13故数列{a }的通项式为a = 1．n n3n（Ⅱ ） b n = log 3 a 1 + log 3 a 2 + ... + log 3 a n= -(1+ 2 + ... + n )=-n (n +1) 2故1= - 2 = -2( 1 - 1 ) b n n (n +1) n n +11 + 1 + ... + 1 = -2((1- 1 ) + ( 1 - 1) + ... + ( 1 - 1 )) = - 2nb 1 b 2 b n2 23 n n +1 n +1所以数列{ }的前n 项和为-b n2n．n +143．【解析】（Ⅰ）设{a n } 的公比为q ，则b = 1+ a = 2,b = 2 + aq = 2 + q ,b = 3 + aq 2 = 3 + q 2．123由b , b , b 成等比数列得(2 + q )2 = 2(3 + q 2) ．即 q 2- 4q + 2 = 0,解得q = 2 + 2, q = 2 - ．1 2所以{a } 的通项公式为a = (2 + 2)n -1或a = (2 - 2)n -1.nnn（Ⅱ ）设{a n } 的公比为q ，则由(2 + aq )2= (1 + a )(3 + aq 2),S S1 n +3-i 1 n +2 n ∑ n 1 n +22 n +1 n +1 2 n +2 1得 aq 2- 4aq + 3a - 1 = 0(*) ． 由 a > 0得∆ = 4a 2+ 4a >0 ，故方程（*）有两个不同的实根由{a }唯一，知方程（*）必有一根为 0，代入（*）得a = 1. n344．【解析】（Ⅰ）设l 1 , l 2 , , l n +2 构成等比数列，其中t 1 = 1, t n +2 = 100, 则T n = t 1 ⋅ t 2 ⋅ ⋅ t n +1 ⋅ t n +2 , ① T n = t n +1 ⋅ t n +2 ⋅ ⋅ t 2 ⋅ t 1 , ②①×②并利用t t = t t =102(1 ≤ i ≤ n + 2),得 T 2 = (t t ) ⋅ (t t ) ⋅ ⋅ (t t ) ⋅ (t t ) = 102(n +2) ,∴a = lg T = n + 2, n ≥ 1. （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知b n = tan(n + 2) ⋅ tan(n + 3), n ≥ 1. 另一方面，利用tan1 = tan((k + 1) - k ) =tan(k + 1) - tan ktan(k + 1) - tan k,1 + tan(k + 1) ⋅ tan k得 tan(k + 1) ⋅ tan k = tan1-1.所以 S n =∑b k k =1n +2= tan(k + 1) ⋅ tan kk =3= ∑n +2( tan(k + 1) - tan k - 1)k =3tan1 = tan(n + 3) - tan 3 - n .tan1n n。
专题六数列第十六讲等比数列答案
专题六数列第十六讲等比数列答案部分1.D【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于皈，第一个单音的频率为/,由等比数列的槪念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ,公比为貶的等比数列，记为{£},则第八个单音频率为冬=/•(貶)4 =姻了，故选D.2.B【解析】解法一因为lnxWx-l(x>0),所以a x +a2 +a3+a4 = \n(a} +a2 +a3)j，所以©W—l，又4>1，所以等比数列的公比gvo.若g W —1,则®+°2 +6 +。
4 = q(l + q)(l + g‘)W 0 ,而t/j +a2+a3^ a{ > 1 > 所以lnC^ +a2 +佝)> 0,与In© + a2 +a3) = a} +a2+a3+ a4 W0 矛盾,所以一1<</<0,所以q _偽=坷(1一孑)>0，a2-a4=a l q(\-q2)<Q 9所以a x > a3, a2 <a4,故选B・解法二因为e x ^x+1 > a A +a2 +a3 +a4 = ln(q +a2 +a3),所以/ggy二山+①+①$4+心+6+6 + 1，则①W-l ,又q>l,所以等比数列的公比q<0.若gW-l,则a}+a2+ a3 + a A =n l(l + t/)(l + t/2)^O ,而q + 色 + 偽 M 绚> 1,所以ln(t/| + a2 +a3) > 0与ln(q +a2 +a3) = a A +a7 +a3 +a4 W0矛盾,所以一1 v q vO,所以®—①=q(l-q‘)> 0 , a2-a4= a}q(\-q2) < 0 ,所以a x > a3, a2 <a4,故选B・3・B【解析】设塔顶共有灯®盏，根据题意各层等数构成以⑷为首项，2为公比的等比数9.• ■q a列，・・$ = "2_2）=（27_l ）q=381,解得 a =3 ・选 B ・1-24. B 【解析】由于q （l +『+/） = 21, q = 3,所以/ + §2一6 = 0,所以q 2 = 2（q~ = —3 舍去），所以（5 = 6, f/5 = 12 ♦ 6 = 24,所以 + a 5 +1/7 = 42 .5. D 【解析】由等比数列的性质得，他心=冰工0,因此勺,"6,他一泄成等比数列.6. C 【解析】设等比数列｛©｝的公比为q, •・・S3=d2 + l°®，•'•舛+"2+“3="2 + 1°5,即 a3 = 9“],q 2 = 9 ,由 a 5 = 9 ,即 a ｝q A = 9 » ：. 5 = £ .7. B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D,由均值不等式可得虽$2qq=2居. 8. B 【解析】由卩禺曲=16",得陽+”#=16灯，两式相除得11'^2 = — = 16,a 如 16”•••§2 = 16, •••①。
十年高考理科数学真题 专题六 数列 十六 等比数列及答案
专题六 数列第十六讲 等比数列2019年1.（2019全国1理14）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．2.（2019全国3理5）已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项为和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3= A ． 16B ． 8C ．4D ． 23.（2019全国2卷理19）已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.2010-2018年一、选择题1．(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为AB C ．D ．2．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >3．（2017新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏4．（2015新课标Ⅱ）等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．84 5．（2014重庆）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是A ．139,,a a a 成等比数列B ．236,,a a a 成等比数列C ．248,,a a a 成等比数列D ．269,,a a a 成等比数列6．（2013新课标Ⅱ）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =A ．13 B ．13- C ．19 D ．19- 7．（2012北京） 已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是A ．1322a a a +…B ．2221322a a a +…C ．若13a a =，则12a a =D ．若31a a >，则42a a >8．（2011辽宁）若等比数列{}n a 满足116nn n a a +=，则公比为A ．2B ．4C ．8D ．169．（2010广东）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = A ．35 B ．33 C ．3l D ．29 10．（2010浙江）设n s 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=则52S S = A ．－11B ．－8C ．5D ．1111．（2010安徽）设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X -=-C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X -=-12．（2010北京）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m =A ．9B ．10C ．11D ．1213．（2010辽宁）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = A ．3B ．4C ．5D ．614．（2010天津）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为 A ．158或5 B ．3116或5 C ．3116 D ．158二、填空题15．（2017新课标Ⅲ）设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a = _______． 16．（2017江苏）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a = ．17．（2017北京）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_____． 18．（2016年全国I ）设等比数列{}n a 满足1310a a +=，245a a +=，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 .19．（2016年浙江）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则1a = ，5S = ．20．（2015安徽）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14329,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 ．21．（2014广东）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________．22．（2014广东）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=L ．23．（2014江苏）在各项均为正数的等比数列}{n a 中，,12=a 4682a a a +=，则6a 的值是 ．24．（2013广东）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++= ．25．（2013北京）若等比数列{}n a 满足24a a +=20，35a a +=40，则公比q = ；前n项和n S = ．26．（2013江苏）在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a ．则满足 n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ．27．（2012江西）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比不为1。
等比数列 参考答案
四.等比数列参考答案1、【答案】A 解析：根据韦达定理，有553=a a ，又因为5536224===a a a a a ，则54±=a ，所以55642±=a a a 。
2、【答案】D 设三边为2,,,a aq aq 则222a aq aq a aq aq aq aq a ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222101010q q q q q q ⎧--<⎪-+>⎨⎪+->⎩得1122q q R q q ⎧-+<<⎪⎪⎪∈⎨⎪⎪><⎪⎩或q <<3、解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220. 答案：B4、C 解析：等比数列{}n a的公比12q ===，显然数列{}1n n a a +也是等比数列，其首项为222122812a a a q ===，公比2211111124n n n n n n a a a q q a a a ++--⎛⎫'===== ⎪⎝⎭，∴()12231181432141314n n n n a a a a a a -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++==--。
5、A 解析：a 、b 、c 成等比数列，2b ac ∴=，∴二次函数2y ax bx c =++的判别式22430b ac b ∆=-=-<，从而函数与x 轴无交点。
6、【答案】413n -11212111421,21,2,4,1,4,14n n n n n n n n n n S S a a a q S -----=-=-=====-7、解析：分解因式可得［（n +1）a n +1－na n ］·［a n +1+a n ］=0，又a n ＞0，则（n +1）a n +1－na n =0，即nn a a 1+=1+n n.又a 1=1，由累积法可得a n =n 1.答案：n18、解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3.答案：3·2n －3 9、18解析：24830x x -+=的两根分别为12和32，1q >，从而200412a =、200532a =，200520043a q a ∴==。
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专题六 数列第十六讲 等比数列答案部分1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122{}n a ，则第八个单音频率为128171282)2a f -=⋅=，故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．B 【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 4．B 【解析】由于241(1)21a qq ，13a ，所以4260q q ，所以22q(23q舍去)，所以36a ，512a ，724a ，所以35742a a a ．5．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．6．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 7．B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=．8．B 【解析】由116n n n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==，∴216q =，∵116n n n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．9．C 【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =．由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯， 7415(2)24a a ∴=⨯-14=．∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=，116a ∴=，55116(1)231112S -==-． 10．A 【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =－2，所以5522113211114S q S q -+===---． 11．D 【解析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足．12．C 【解析】2341010123451m a a a a a a q q q q q a q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =．13．B 【解析】两式相减得， 3433a a a =-，44334,4a a a q a =∴==．14．C 【解析】显然q ≠1，所以3639(1)1=1211q q q q q q --⇒+⇒=--，所以1{}na 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5511()31211612T -==-． 15．8-【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩， 解得112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-．16．32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==． 17．1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}nb 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 18．64【解析】设{}n a 的公比为q ，由1310a a +=，245a a +=得118,2a q ==， 则24a =，32a =，41a =，512a =，所以12123464n a a a a a a a ⋅⋅⋅=．19．1 121 【解析】由于1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，解得11a =，由1121n n n n a S S S ++=-=+，所以1113()22n n S S ++=+，所以1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列， 所以113322n n S -+=⨯，所以5121S =．20．21n【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---．21．5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a2123452log ()log 325a a a a a ==．22．50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++=101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50．23．4【解析】 设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =．24．15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 1234||||a a a a +++=15． 25．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--．26．12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为1a ，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：1a ＝132，q ＝2，62nn a -=．记521212-=+++=n n n a a a T ， 2)1(212nn n n a a a -==∏ ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ． 当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故max 12n =．27．11【解析】由2120n n n a a a +++-=，可得220n n n a q a q a +-=，由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =-，可得5S =11．28．2【解析】222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===解得或 因为数列为递增数列，且10,1,2a q q >>∴=所以．29．32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q ⎧-=+⎪⎧-++-=-⎪⎪⇒⎨⎨--++-=⎪⎪⎩=+⎪-⎩两式相减可得423111122330a q a q a q a q --+=，即42322330q q q q --+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =。
因为0q >，所以32q =． 30．2 1122n --【解析】341a a q =得3142q =，解得2q =，1121(12)122122n n n a a a --++⋅⋅⋅+==--．31．【解析】(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故1(2)n n a -=-或12n n a -=．(2)若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=．由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21n n S =-．由63m S =得264m=，解得6m =．综上，6m =．32．【解析】(Ⅰ)设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >．由题意得1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩，所以23520q q --=， 因为0q >,所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=（Ⅱ）过123,,,P P P …，1n P+向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q …，1n Q +, 由(Ⅰ)得111222.n n n n n x x --+-=-=记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b ．由题意12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所以123n T b b b =+++…+n b=101325272-⨯+⨯+⨯+…+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ①又0122325272n T =⨯+⨯+⨯+…+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯ ②①-②得=1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯- 所以(21)21.2n n n T -⨯+=33．【解析】（Ⅰ）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ-=111a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1． 由01≠a ，0≠λ且1λ≠得0≠n a ，所以11-=+λλn n a a . 因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1)1(11---=n n a λλλ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得n n S )1(1--=λλ，由32315=S 得3231)1(15=--λλ， 即=-5)1(λλ321，解得1λ=-． 34．【解析】（I ）由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+． 又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列．1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=．（Ⅱ）由（I ）知1231n n a =- 因为当1n ≥时，13123nn --≥⨯，所以1113123n n -≤-⨯．于是11211111313...1...(1)33232n n n a a a -+++≤+++=-<． 所以121113 (2)n a a a +++<． 35．【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此，13n n a -=.（Ⅱ）因为3log 1n n b a n ==-，∴数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==. 36．【解析】（Ⅰ）因为232n n nS -=，所以1a 11S ==，当2n ≥时132,n n n a S S n -=-=- 又1n =时，所以数列n a 的通项公式为32,n a n =-（Ⅱ）要使得m n a a a ，，1成等比数列，只需要21n m a a a =， 即22(32)1(32),342n m m n n -=⨯-=-+即.而此时*∈N m ，且,m n >所以对任意1>n ，都有*∈N m ，使得m n a a a ，，1成等比数列. 37．【解析】由题意可知，21213243a a a a a -=⎧⎨=+⎩，即112111243+a q a a q a a q-=⎧⎨=⎩，解得1=13a q ⎧⎨=⎩, 所以1331132n n n S --==-． 故1=1a ，3q =，312n n S -=．38．【解析】(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为22S -，3S ，44S 成等差数列，所以324324S S S S +=-，即4324S S S S -=-，可得432a a =-， 于是4312a q a ==-．又132a =，所以等比数列{}n a 的通项公式为 11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅⎪⎝⎭．(Ⅱ)112nn S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以1111136n n S S S S +≤+=． 当n 为偶数时，1n nS S +随n 的增大而减小，所以22112512n n S S S S +≤+=． 故对于*n N ∈，有1136n n S S +≤． 39．【解析】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =． 由条件可知0c >，故13q =． 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =． 故数列{}n a 的通项式为n a =13n ． （Ⅱ ）31323n log log ...log n b a a a =+++ 故12112()(1)1n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21nn -+． 40．【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，则2212312,22,33b a b aq q b aq q =+==+=+=+=+由123,,b b b 成等比数列得22(2)2(3)q q +=+ 即212420,22,22q q q q -+===解得所以{}n a 的通项公式为11(22)(22).n n n n a a --=+=或 （Ⅱ ）设{}n a 的公比为q ，则由22(2)(1)(3),aq a aq +=++ 得24310(*)aq aq a -+-=由20440a a a >∆=+>得，故方程（*）有两个不同的实根由{}n a 唯一，知方程（*）必有一根为0，代入（*）得1.3a =41．【解析】（Ⅰ）设221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则,2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ① ,1221t t t t T n n n ⋅⋅⋅⋅=++ ②①×②并利用得),21(1022131+≤≤==+-+n i t t t t n i n（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知.1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n 另一方面，利用,tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan kk kk k k ⋅++-+=-+=得.11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以∑∑+==⋅+==231tan )1tan(n k nk k n k k b S。