第3章 测量误差分析及处理

( 1 2 n ) i
3、几何综合法
绝对误差 相对误差 21 22 2n
2 i 2
i
2 2 2
1 2 n
第三节 随机误差
或然率曲线或概率密度曲线
令真值为A，算数平均值为L，观测值为l，误差△=l-A，偏差 i =l-L，则有
i li A
i li L
l
得： 将L代入 i
i
li nA nL 代入 nii
li nL
i
li nA
i
L
A
li L 得
i i
热能与动力工程 测试技术
第三章 测量误差分析及处理
第一节 误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到 观测值。观测值与真值之差为真误差，即
真误差=观测值-真值
lA — 真误差 l — 观测值 A — 真值
在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这 个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与 真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别 在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。
由于系统误差一般有规律可循，其产生的原因一般也 是可预见的，所以系统误差一般可通过改进测量技术、 对测量结果加修正值等手段来减小。通常处理系统误差 的方法有以下几种： （1）消除系统误差产生的根源。 （2）在测量结果中加修正值。确定出较为准确的修正公 式、修正曲线或修正表格，以便修正测量结果。 （3）在测量过程中采取补偿措施。 例如：在用热电偶测温时，采用冷端温度补偿器或冷端 温度补偿元件来消除由于热电偶冷端温度变化所造成的 系统误差。 （4）采用可以消除系统误差的典型的测量技术。 如采用零值法、替代消除法,预检法等。
2
2
n 1 2 i n
代入3-8标准方差表达式得：
2 i i 1 n
ˆ σ
n 1
2、算术平均值L的标准误差S
ˆ σ s n
n( n 1)
ν
2 i
上式表明随机误差对最后测量结果的影响程度，是一列测量的标准误差
ˆ σ
的
1 n
S
3、算术平均值的极限误差
λlim 3s 3
二、误差的定义及表示法
绝对误差=测量值-真值 相对误差=绝对误差/真值 =绝对误差/测量值


三、测量误差的分类
测量误差的分类：根据误差来源的性质，可以将误差分为: 1.系统误差 2.粗大误差 3.随机误差。 (1)系统误差: 测量过程中，出现某些规律性的以及影响程 度由确定的因素所引起的误差。特点：在做等精度测量 时．误差呈现出绝对值与符号保持恒定的规律性，这种误差 的影响程度可以确定，并采用控制或修正的方法加以消除。 (2)粗大误差: 又称过失误差，这显然是—种不能容忍的误 差，因为它同测量要求本身是不相容的，完全是测量者粗心 大意所致． (3)随机误差: 对某物理量进行等精度测量时，多次测量的 误差的绝对值时大时小，符号时正时负，无确定规律，这种 误差叫随机误差，又称偶然误差。但服从统计规律。




四、系统误差的综合
1、代数综合法
绝对误差 相对误差
1 2 n i
1 2 n i
2、算数综合法
绝对误差 相对误差
( 1 2 n ) i
3、 的概率是99.73% 极限误差：均方根误差的3倍。
Δlim 3
三、 测量结果的最佳值—算术平均值
最小二乘法基本原理：在具有同一精度的许多观测值中，最 佳值就是能使各观测值的误差的平方和为最小。 结论： （1）在一系列等精度测量中，当测量次数为无限多时，其最 佳值为各观测值的算术平均值L，并且此值十分接近于真值。 （2）各观测值与算术平均值偏差的平方和为最小。 推导：设一列等精度测量中各观测值为
过失误差 标准误差
二、格拉布斯准则（适用于n较小的情况 ） 计算步骤： 1、根据一列n次等精度测量量l1 , l2 ,, ln ˆ ，计算格拉布斯准则 误差
，求平均值L，和标准
i li L Tli ˆ ˆ 2、选择一个显著度，根据n，查表3-2得 T( n,a ) 3、判别若 Tli T(n,a) ，则含有粗大误差。
xn xn1 r11 xn x2 xn xn2 r21 xn x2 xn xn 2 r22 xn x3
与 r11 与 r21 与 r22
x2 x1 xn1 x1 x3 x1 xn1 x1 x3 x1 xn2 x1
四、狄克逊准则
设符合正态分布的一个测量样本为 x1 , x2 ,, xn ，并且有
x1 x2 xn
构造高端异常值 xn 和低端异常值 x1 的统计量，按样本数n的 不同，分以下几种情况。
r10 xn xn1 xn x1 与 r10 x2 x1 xn x1 n:3 ~ 7
i 1 n i
i
P
i 1
i
加权算术平均值均方根误差
SL 1
(1 / )
i 1 i
n
2
三、间接测量的误差计算 由直接测量误差的大小及函数关系确定 1、只进行一次测量时误差的计算 仪器满刻度
第五节 随机误差的计算
一、直接误差测量的计算 计算步骤 1、首先剔除过失（粗大）误差。 2、修正系统误差。 3、确定不存在粗大误差和系统误差，对随机误 析和计算。
差进行分
（1）计算各次测量值的平均值：（去除粗大及系统误差) l l l l l L n n （2）计算各测量值的偏差： ν li L; ν ν （3）计算均方根误差和极限误差：
一、系统误差的分类：
•仪器误差：由仪器本身不完善或老化产生。
•安装误差：由安装及使用不当产生。
•方法（理论）误差：由测量方法或计算方法不当
产生，或者理论依据不完善。
•环境误差：
•人为误差：
•动态误差。
二、系统误差的特征： 恒值系统误差 变值系统误差： 线性系统误差 非线性系统误差


三、系统误差的消除方法
4、相对极限误差
n(n 1)
2 ν i
δlim
测量结果表示成：
λlim 100% L
L λlim （ 3s） 或者
L δlim
第四节 可疑测量数据的剔除
莱伊特准则 格拉布斯准则 t检验准则 迪克逊准则 极小概率 事件一般 不可能发 生
一、莱依特准则（适用于
n
）
ˆ i li L 3
具体来说，测量误差主要来自以下三个方面： (1) 外界条件 主要指观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以 及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。 (2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满 足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。 (3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会 在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。
i 1 2 3 n
i 2 i 2 i
ˆ σ

2 i
n 1
ˆ Δlim 3σ
ν
2 i
（4）计算算术平均值的均方根误差和极限误差：
ˆ σ s n n( n 1)
λlim 3s
（5）计算算术平均值的相对极限误差：
δlim λlim 100% L
（6）得出被测量的值为： L λlim 或者 L δlim （7）检查各测量值的偏差有无大于极限误差者，有则予以剔除 （过失误差），按上述步骤重新计算。
二、“权”的概念
非等精度测量中，测量精度不同，所以引入权。“权”的数值越大 可信度程度越高。与标准误差 σ 的平方成反比。
p1 2 , p2 2 , pn 2 1 2 n
各组测 量的 “权”
非等精度测量中被测量真值的最佳估计值为测量值的加权算术 平均值 n
L
PL

随机误差的分布规律，可以在大量重复测量数据的基础上总结 出来，它符合统计学上的规律性，具有以下的几个特点： (2)对称性：绝对值相等的正误差与负误差出现的机会相等；

(1)单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；

(3)有限性：绝对值很大的误差出现的机会很小，可以认为 在—定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限；


第二节 系统误差
系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出
现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为 系统误差。
系统误差一般具有累积性。 系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完
善。 研究系统误差的特征与规律性，以达到减小和消除的目的。
例如： 用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际 长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的误差(“+”表 示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所产生的误差 越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。
(4)抵偿性：随着测量次数的无限增加，随机误差的算术平均 值趋于零，即

lim
n

i 1
n
i
n
0
一、随机误差的正态分布（误差方程）
误差方程

式中:
△是测量值与真值之差； y是误差等于△的概率密度； σ是均方根误差或称标准误差。