南京大学 1999年热力学与统计物理 考研真题及答案

考试科目 热力学与统计物理学 得 分 专 业： 物理系理论物理专业 请将所有答案写在答题纸上

1. 证明在等压膨胀时，物体的熵S 的微变化与体积V 的微变化的关系为

()dV TV C dS p p

p α=

这里p C 和p α分别是定压热容量和等压体膨胀系数。

（本题得分10分）

2. 在可逆绝热过程中，证明

1) 绝热曲线应满足下列方程式

01

=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+dV T V dT p γ

这里 V p C C /=γ p C 和V C 分别是定压热容量和定容热容量。

2) 由此再证明绝热压缩系数S K 及等温压缩系数T K 的关系为

T S K K =γ

（本题得分20分，其中（1） 10分，（2） 10分）

3. 右图为水的相图示意图。p ，T 分别表示压强和绝对温度。

1) 请在图上标出汽化线，熔解线，升华线，三相点并解释这些线和点的物理含意，以

及点C 称什么点，有什么物理含意？

2) 试用克拉珀龙方程来解释这三条线上系

统吸收和放出潜热的过程。在线上，二相

何种热力学函数是相等的？这类相变属

何类相变？并阐明在未加盖子和加上盖

子的壶中水的沸点变化如何？为什么?

3) 试解释，为什么在三相点上，固-汽平衡曲线比液-汽平衡曲线对温度T 坐

标轴有更陡的斜度？

（本题得分20分，其中（1） 6分；（2） 9分；（3） 5分）

4. 用正则系综的配分函数求容器体积为V 中的、同类分子组成的经典理想气体

的压强与单位体积的平均能量（只考虑平动动能）的关系式。

（本题得分12分）

5. 分子具有固有电偶极矩为d 的N 个经典独立分子气体系统，遵从玻耳兹曼计，

在电场E 中，求该系统的电极化强度。

（本题得分18分）

6. 统在围绕物理量平均值的涨落，已知概率公式

()[]kT V p T S W W 2/ex p 0∆∆-∆∆-=

以熵S 和压强p 为独立变量，求

（1） ()2S ∆， （2） ()2

p ∆， （3） p S ∆∆， （4） ()2

H ∆. 这里T ，V ，H 分别是温度，体积和焓，k 是玻耳兹曼常数。偏离平均值S 用S S S -=∆表示。依此类推。

（本题得分20分，其中（1），（2），（3），（4）各5分）

附：积分公式 ()a

a n dx e x n n ax n π21253122-⋅⋅⋅⋅⋅=⎰∞

+∞-- 0212=⎰+∞

∞--+dx e x ax n =n 1，2，3，…

⎰∞

+∞--=a dx e ax π2

考试科目 固体物理 得 分 专 业 凝聚态物理、微电子学与固体电子学、材料物理 请将所有答案写在答题纸上！

一.如果晶体中电子的数密度可以写为

∑∑+-= i

i i r R r n r n )()(

其中)(i i r R r n --表示第 个元胞中，第i 个原子的局域电子浓度，

试证明，当满足劳厄条件

n K k k =-'时，X 射线衍射振幅)(n K CNF u =，其中，∑⋅-=i r K i i n i n e f K F )(为几何结构因子，i f 为第i 种

原子的原子散射因子。N 为元胞数，C 为常数。

（本题25分）

二、对于密度为ρ，表面张力为σ的液体表面波，其频率υ和波长λ之

间的关系为

32ρλπσυ=

使用德拜模型，计算低温表面比热C v 与温度的关系C v ~v 。

（本题25分）

三、试用紧束缚近似求

1. 简单四角晶体S 电子的能带公式?)(=k E

2. 状态),0,0(c

k π 电子的有效质量。 （本题25分）

四、已知p 型半导体的杂质已全部电离，当温度升高时，空穴浓度为

p=n+N A ，n 为导带中电子浓度，求证霍耳系数有极值R 极。

b

b R s R 4)1(2-=极 其中R s 是饱和情况下半导体的霍耳系数

+-==μμb ec

N R A s ,1

（±μ表示空穴和电子的迁移率） （本题25分）

专 业: 理论物理、粒子物理与原子核物理、凝聚态物理、光学、微电子学与固体电子学 请将答案写在答题纸上 (20分) 一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值

和相应的几率，并计算动量的平均值。

二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动

(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在00φφ<<的一段圆弧上

运动：

⎩⎨⎧<<∞<<=)2()

0(0)(00πφφφφφV

求解粒子的能量本征值和本征函数。

(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒

子仍然处于最低能量态的几率是多少?

(20分) 三、边长为 a 的刚性立方势箱中的电子，具有能量2

2

23ma π ，如微扰哈密顿bxy H =1，试求对能量的一级修正(式中b 为常数)。

(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，S y 和 S z 是自旋角动量算符，求AS y +BS z

的本征函数和本征值(A 和B 是实常数)。

(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示

分别是

)/ex p()ex p()(02h x ip x Nx x αϕ-=； ])(ex p[)()(200p p b p p c p ---=φ

式中b c N 、、、α和0p 都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐

标和动量的平均值,?

00=><=><>>t t p x ，（>

ˆ表示力学量算符A ˆ的平均值）。 * a

a dx e x ax π41202=-∞⎰