第8讲-因动点产生的线段和差问题

第8讲因动点产生的线段和差问题例 1 市中考第26题如图1，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是_________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______；（2）若两个三角形的面积满足S△OQP＝13S△P AQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2, 2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．图思路点拨1．第（2）题△OQP与△P AQ是同底三角形，把面积比转化为对应高的比，进而确定线段OA的分点的位置，从而得到直线PQ与y轴的交点坐标．2．第（3）题中，△CQD保持等腰直角三角形的形状．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，直线PQ与x轴的夹角为45°．（2）因为△OQP与△P AQ有公共边PQ，所以它们的面积比等于对应高的比．如图2，作OM⊥PQ于M，AN⊥PQ于N．当S△OQP＝13S△P AQ时，13OMAN=．设直线PQ与x轴交于点H，那么13 OH OMAH AN==．由y＝x2－4x＝x(x－4)，得A(4, 0)．所以OA＝4．①如图2，当点H在线段OA上时，OH＝1，H(1, 0)．此时m＝－1．②如图3，当点H在AO的延长线上时，OH＝2，H(－2, 0)．此时m＝2．（3）①如图4，由A(4, 0)、C(2, 2)，得直线AC与x轴的夹角为45°，点C在抛物线的对称轴上．又因为直线PQ与x轴的夹角为45°，所以△CDQ是等腰直角三角形．作点Q关于直线AC的对称点Q′，那么△CQQ′是等腰直角三角形，CQ′//x轴．所以DQ＝DQ′．因此PD＋DQ＝PD＋DQ′＝PQ′．作PP′⊥CQ′，垂足为P′，那么△PP′Q′是等腰直角三角形．当点P 运动到抛物线的顶点(2,－4)时，PP ′最大，最大值PP ′＝6． 此时PQ ′的最大值为62，即PD ＋DQ 的最大值为62．图2 图3 图4 ②由于PD ＋DQ ≤62PD ＝a ，那么DQ ≤62a ．因此PD ·QD ≤2(62)(32)18a a a =--+． 所以当a ＝32PD ·QD 的最大值为18．此时PD ＝DQ ＝32P 、Q 两点重合于抛物线的顶点．考点伸展第（3）①题可以用代数法来解：因为点P 在抛物线y ＝x 2－4x 上，设P (n , n 2－4n )． 将P (n , n 2－4n )代入直线y ＝x ＋m ，可得m ＝n 2－5n ．所以直线PQ 可以表示为y ＝x ＋n 2－5n ，那么Q (2, 2＋n 2－5n )．联立直线AC ：y ＝－x ＋4和直线PQ ：y ＝x ＋n 2－5n ，可得2x D ＝4－n 2＋5n ． 于是PD ＋DQ 2()2()D P D Q x x x x --2(2)D P Q x x x --222(452)2(2)62n n n n -+--=--+．所以当n ＝2时，PD ＋DQ 的最大值为62n ＝2时点P 在抛物线的顶点．例2 市中考第24题已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a ≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值围；（3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜52）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．思路点拨1．要探求∠APB 为钝角时点P 的围，需要先找到∠APB 为直角时点P 的位置． 2．直径的两个端点与圆一点围成的三角形是钝角三角形．3．求两条线段的和最小，是典型的“牛喝水”问题．本题的四条线段中，有两条的长是定值，把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来，就转化为“牛喝水”问题．满分解答（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A (－1, 0)、B (4, 0)两点， 所以y ＝a (x ＋1)(x －4)＝ax 2－3ax －4a ．所以－4a ＝－2，b ＝－3a ．所以12a =，32b =-．所以221313252()22228y x x x =--=--。

顶点为325(,)28C -．（2）如图1，设抛物线与y 轴的交点为D ．由A (－1, 0)、B (4, 0)、D (0,－2)，可知OA ODOD OB=． 所以△AOD ∽△DOB ．因此∠ADO ＝∠DBO ．由于∠DBO 与∠BDO 互余，所以∠ADO 与∠BDO 也互余． 图1 于是可得∠ADB ＝90°．因此以AB 为直径的圆经过点D ．当点P 在x 轴下方圆的部时，∠APB 为钝角，此时－1＜m ＜0，或3＜m ＜4． （3）若m ＞32，当∠APB 为直角时，点P 与点D 关于抛物线的对称轴对称，因此点P 的坐标为(3,－2)．如图2，由于点A 、B 、P 、C 是确定的，BB ′、P ′C ′、PC 平行且相等，所以A 、B 、P ′、C ′四点所构成如图3，以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′，以直线258y=-为对称轴作点B′的对称点B′′，联结AB′′，那么AC′＋P′B的长最小值就是线段AB′′。

如图4，线段AB′′与直线258y=-的交点，就是四边形周长最小时点C′的位置．如图2，点P(3,－2)先向左平移32个单位，再向下平移98个单位得到点325(,)28C-，如图3，点B(4, 0) 先向左平移32个单位，再向下平移98个单位得到点59'(,)28B-．所以点B′′的坐标为541(,)28-．如图4，由'''AE AFC E B F=，得'2541885112Cx=++．解得'9382Cx=．由于3931528241-=，所以抛物线向左平移了1541个单位．图2 图3 图4考点伸展第（2）题不可回避要证明∠ADB＝90°，也可以根据勾股定理的逆定理证明．由A(－1, 0)、B(4, 0)、D(0,－2)，得AB2＝25，AD2＝5，BD2＝20．所以AB2＝AD2＋BD2．所以∠ADB＝90°．第（3）题的运算量实在是太大了，很容易折磨同学们的自信．求点B′的坐标，我们用了坐标平移的方法，比较简便．求点C′的坐标，我们用了相似比的方法，回避了待定系数法更为繁琐的计算过程．例3 市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(－2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA．（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连结A′B、BE′．①设AA′＝m，其中0＜m＜2，使用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．图1 图2思路点拨1．图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EE′＝AA′＝m．2．求A′B2＋BE′2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子．3．求A′B＋BE′的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称，两点之间线段最短．满分解答（1）由∠OAE＝∠OBA，∠AOE＝∠BOA，得△AOE∽△BOA．所以AO BOOE OA=．因此242OE=．解得OE＝1．所以E(0,1)．（2）①如图3，在Rt△A′OB中，OB＝4，OA′＝2－m，所以A′B2＝16＋(2－m)2．在Rt△BEE′中，BE＝3，EE′＝m，所以BE′2＝9＋m2．所以A′B2＋BE′2＝16＋(2－m)2＋9＋m2＝2(m－1)2＋27．所以当m＝1时，A′B2＋BE′2取得最小值，最小值为27．此时点A′是AO的中点，点E′向右平移了1个单位，所以E′(1,1)．②如图4，当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标为8(,1) 7．图3 图4考点伸展第（2）②题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E′关于直线l的对称点E′′，所以A′B＋BE′＝A′B＋BE′′．当A′、B、E′′三点共线时，A′B＋BE′′取得最小值，最小值为线段A′E′′．在Rt△A′O′E′′中，A′O′＝2，O′E′′＝7，所以A′E′′53当A′、B、E′′三点共线时，''''''A O A OBO E O=．所以247m=．解得87m=．此时8'(,1)7E．例4 滨州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．图1答案 （1）212y x x =-+。

（2）AM ＋OM 的最小值为42．图2 图3例5.省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D 是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1思路点拨1．第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论．2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B′，那么M落在B′D上时，MB＋MD最小，△MBD的周长最小．满分解答（1）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x＋1)(x－3)＝－(x－1)2＋4，得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)．直线AC的解析式是y＝3x＋3．（2）Q1(2, 3)，Q2(17,3-)，Q3(17,3-)．（3）设点B关于直线AC的对称点为B′，联结BB′交AC于F．联结B′D，B′D与交AC的交点就是要探求的点M．作B′E⊥x轴于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．在Rt△BAF中，1310AF BF==AB＝4，所以10BF=在Rt△BB′E中，'1310B E BE=='210BB BF==12'5B E=，365BE=．所以3621355OE BE OB=-=-=．所以点B′的坐标为2112(,)55-．因为点M在直线y＝3x＋3上，设点M的坐标为(x, 3x＋3)．由''''''DD MMB D B M=，得''''yD yB yM yBxD xB xM xB--=--．所以12124335521211xx-+-=++．解得935x=．所以点M的坐标为9132(,)3535．图2 图3考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：①如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ//AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2, 3)．②如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等．解方程－x2＋2x＋3＝－3，得17x=±．所以点Q的坐标为(17,3+-)或(17,3--)．图4 图5【强化训练】1.如图，抛物线2212-+=bx x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （-1，0）. （1）求抛物线的解析式及定点D 的坐标；（2）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值.2.（24）如图，已知抛物线m x mx y 242++-=与x 轴交于点A （α，0）、B （β，0）两点，且211-=+βα. （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴为l ，与y 轴上的点N ，使四边形DNME 的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标.. . . .... . ... . CB CB 3.（24）在△ABC 中，AB=AC=5，53cos =∠ABC ，将△ABC 绕点C 顺时针旋转，得到C B A 11∆. （1）如图1，当点1B 在线段BA 延长线上时； ①求证：11//CA BB ； ②求△C AB 1的面积.（2）如图2，点E 是BC 边的中点，点F 为线段AB 上的动点，在△ABC 绕点C 顺时针旋转过程中，点F 的对应点是1F ，求线段1EF 长度的最大值与最小值的差.图11B图2A 1B。