第8讲-因动点产生的线段和差问题

第8讲因动点产生的线段和差问题

例 1 市中考第26题

如图1，抛物线y＝x2－4x与x轴交于O、A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是_________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是______；

（2）若两个三角形的面积满足S△OQP＝1

3

S△P AQ，求m的值；

（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2, 2)的直线AC与直线PQ交于点D，求：

①PD＋DQ的最大值；②PD·DQ的最大值．

图

思路点拨

1．第（2）题△OQP与△P AQ是同底三角形，把面积比转化为对应高的比，进而确定线段OA的分点的位置，从而得到直线PQ与y轴的交点坐标．

2．第（3）题中，△CQD保持等腰直角三角形的形状．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线x＝2，直线PQ与x轴的夹角为45°．

（2）因为△OQP与△P AQ有公共边PQ，所以它们的面积比等于对应高的比．

如图2，作OM⊥PQ于M，AN⊥PQ于N．

当S△OQP＝1

3

S△P AQ时，

1

3

OM

AN

=．

设直线PQ与x轴交于点H，那么

1

3 OH OM

AH AN

==．

由y＝x2－4x＝x(x－4)，得A(4, 0)．所以OA＝4．

①如图2，当点H在线段OA上时，OH＝1，H(1, 0)．此时m＝－1．

②如图3，当点H在AO的延长线上时，OH＝2，H(－2, 0)．此时m＝2．

（3）①如图4，由A(4, 0)、C(2, 2)，得直线AC与x轴的夹角为45°，点C在抛物线的对称轴上．又因为直线PQ与x轴的夹角为45°，所以△CDQ是等腰直角三角形．

作点Q关于直线AC的对称点Q′，那么△CQQ′是等腰直角三角形，CQ′//x轴．

所以DQ＝DQ′．因此PD＋DQ＝PD＋DQ′＝PQ′．

作PP′⊥CQ′，垂足为P′，那么△PP′Q′是等腰直角三角形．

当点P 运动到抛物线的顶点(2,－4)时，PP ′最大，最大值PP ′＝6． 此时PQ ′的最大值为62，即PD ＋DQ 的最大值为62．

图2 图3 图4 ②由于PD ＋DQ ≤62PD ＝a ，那么DQ ≤62a ．

因此PD ·QD ≤2(62)(32)18a a a =--+． 所以当a ＝32PD ·QD 的最大值为18．此时PD ＝DQ ＝32P 、Q 两点重合于抛物线的顶点．

考点伸展

第（3）①题可以用代数法来解：

因为点P 在抛物线y ＝x 2－4x 上，设P (n , n 2－4n )． 将P (n , n 2－4n )代入直线y ＝x ＋m ，可得m ＝n 2－5n ．

所以直线PQ 可以表示为y ＝x ＋n 2－5n ，那么Q (2, 2＋n 2－5n )．

联立直线AC ：y ＝－x ＋4和直线PQ ：y ＝x ＋n 2－5n ，可得2x D ＝4－n 2＋5n ． 于是PD ＋DQ 2()2()D P D Q x x x x --2(2)D P Q x x x --

222(452)2(2)62n n n n -+--=--+．

所以当n ＝2时，PD ＋DQ 的最大值为62n ＝2时点P 在抛物线的顶点．

例2 市中考第24题

已知平面直角坐标系中两定点A (－1, 0)、B (4, 0)，抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a ≠0）过点A 、B ，顶点为C ，点P (m , n )（n ＜0）为抛物线上一点．

（1）求抛物线的解析式和顶点C 的坐标； （2）当∠APB 为钝角时，求m 的取值围；

（3）若m ＞

32，当∠APB 为直角时，将该抛物线向左或向右平移t （0＜t ＜5

2

）个单位，点C 、P 平移后对应的点分别记为C ′、P ′，是否存在t ，使得顺次首尾连接A 、B 、P ′、C ′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t 的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．

思路点拨

1．要探求∠APB 为钝角时点P 的围，需要先找到∠APB 为直角时点P 的位置． 2．直径的两个端点与圆一点围成的三角形是钝角三角形．

3．求两条线段的和最小，是典型的“牛喝水”问题．本题的四条线段中，有两条的长是定值，把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来，就转化为“牛喝水”问题．

满分解答

（1）因为抛物线y ＝ax 2＋bx －2与x 轴交于A (－1, 0)、B (4, 0)两点， 所以y ＝a (x ＋1)(x －4)＝ax 2－3ax －4a ．

所以－4a ＝－2，b ＝－3a ．所以12

a =，32

b =-．

所以22131325

2()22228

y x x x =

--=--。 顶点为325

(,)28

C -．

（2）如图1，设抛物线与y 轴的交点为D ．

由A (－1, 0)、B (4, 0)、D (0,－2)，可知OA OD

OD OB

=

． 所以△AOD ∽△DOB ．因此∠ADO ＝∠DBO ．

由于∠DBO 与∠BDO 互余，所以∠ADO 与∠BDO 也互余． 图1 于是可得∠ADB ＝90°．因此以AB 为直径的圆经过点D ．

当点P 在x 轴下方圆的部时，∠APB 为钝角，此时－1＜m ＜0，或3＜m ＜4． （3）若m ＞

3

2

，当∠APB 为直角时，点P 与点D 关于抛物线的对称轴对称，因此点P 的坐标为(3,－2)．

如图2，由于点A 、B 、P 、C 是确定的，BB ′、P ′C ′、PC 平行且相等，所以A 、B 、P ′、C ′四点所构成