全国高中数学联赛真题之集合函数专题

集合函数专题
1、（2000一试1）设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2
2
10-x
=x 10},则B A 是
（ ）
(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅
2、（2001一试1）已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x 2-3x-a 2
+2=0,x ∈R}的子集的个数为（ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定
5、（2002一试5）已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有( )
(A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49
99C
7、（2006一试5）设(32()log f x x x =+，则对任意实数,a b ，0a b +≥是
()()0f a f b +≥的（ ）
A. 充分必要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
8、（2007一试6）已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74
9、（2008一试1）函数2
54()2x x f x x
-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
10、(2008一试2) 设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。

（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)
11、（2001一试11）函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．
13、（2002一试11）若1)2(log )2(log 44=-++y x y x ，则|x| |y|的最小值是 。

14、（2003一试9）已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2
－2(a +7)x +5≤0，x ∈R}
若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是 ．
17、（2005
一试
8）已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若
)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是
19、（2008一试11）设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满
足
(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .
20、（2009一试1）若函数()
f x =
且()()()n n
f x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，则()()991f = ． 21、（2009一试6）若方程()l
g 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ．
22、（2010一试1）函数x x x f 3245)(---=的值域是 .
23、（2010一试5）函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 24、（2011一试1）设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．
25、（2011一试2）函数1
1
)(2-+=x x x f 的值域为 ．
26、（2012一试6）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意
的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
27、（2000一试14）若函数2
13
21)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，
求[a ,b ].
28、（2002一试15）设二次函数f(x)=ax 2
+bx+c (a,b,c ∈R,a ≠0)满足条件：
① 当x ∈R 时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x ；
② 当x ∈(0,2)时，f(x)≤2
)2
1(
+x ③ f(x)在R 上的最小值为0。

求最大值m(m>1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
29、（2002一试15）实数a,b,c 和正数 使得f(x)=x 3+ax 2
+bx+c 有三个实根x 1,x 2,x 3，且满足
① x 2-x 1=λ , ②x 3>21(x 1+x 2) ，求证；23
392723
3≤
-+λab c a
30、（2005二试2）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+
求函数z
z y y x x z y x f ++
+++=111),,(2
22的最小值.
31、（2006
一试
15）设
2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，
1()(())n n f x f f x -=2,3,n = ，，
{}
R (0)2n M a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=41 ,2M .
32、（2007一试15）设函数f (x )对所有的实数x 都满足f (x+2π)=f (x )，求证：存在4个函数f i (x )(i =1，2，3，4)满足：（1）对i =1，2，3，4，f i (x )是偶函数，且对任意的实数x ，有f i (x+π)=f i (x )；（2）对任意的实数x ，有f (x )=f 1(x )+f 2(x )cos x+f 3(x )sin x+f 4(x )sin2x 。

33、（2008二试2）设()f x 是周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T <<．证明： （1）若T 为有理数，则存在素数p ，使
1
p
是()f x 的周期； （2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列{}n a 满足110n n a a +>>>
(1,2,)n =⋅⋅⋅，且每个(1,2,)n
a n =⋅⋅⋅都是()f x 的周期．
34、（2011一试9）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2
1
()(++-
=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．。