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【推荐下载】2018高考数学一轮复习易错知识点-推荐word版 (6页)

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下面小编为大家整理的高考数学一轮复习易错知识点，希望大家喜欢。

高考数学一轮复习易错知识点01.遗忘空集致误由于空集是任何非空集合的真子集，因此B=?时也满足B?A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

02.忽视集合元素的三性致误集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。

03.混淆命题的否定与否命题命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论。

04.充分条件、必要条件颠倒致误对于两个条件A，B，如果A?B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件;如果B?A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件;如果A?B，则A，B互为充分必要条件。

解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断。

05.“或”“且”“非”理解不准致误命题p⊦q真?p真或q真，命题p⊦q假?p假且q假(概括为一真即真);命题p⊥q真?p真且q真，命题p⊥q假?p假或q假(概括为一假即假);綈p真?p假，綈p假?p真(概括为一真一假).求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解。

06.函数的单调区间理解不准致误在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法.对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

2018届高考数学一轮复习错题笔记六不等式

笔记六不等式易错点31不等式的性质应用不当典例31已知0<α<π,-π4<β<π2,求α-β的取值范围.【错因分析】∵0<α<π,-π4<β<π2,∴0--π4<α-β<π-π2,∴α-β∈π4,π2,该题容易出现的问题是套用错误,不等式具有同向相加性质,但两边不能分别相减.【正确解答】∵0<α<π,-π2<-β<π4,∴-π2<α-β<π+π4,∴α-β∈-π2,5π4.易错点32忽视基本不等式的应用条件典例32设a>0,b>0,且a+b=1,则函数f(x)=2a +3b的最小值为.【错因分析】∵2a +3b=(a+b)2a+3b≥2ab·26ab=46,∴函数f(x)的最小值为46.上述解法似乎很巧妙,但两次使用均值不等式时取等号的条件不一样,因此取不到46.均值不等式a+b≥2ab(a>0,b>0)取等号的条件是“一正,二定,三相等”.【正确解答】2a +3b=(a+b)2a+3b=5+3ab+2ba≥5+23ab×2ba=5+2故填5+26.易错点33解含参数的不等式时分类讨论不当典例33解关于x的不等式|2x-1|≤a-2.【错因分析】原不等式等价于-(a-2)≤2x-1≤a-2,解得-a2+32≤x≤a2−12.由于基础不扎实,直接利用绝对值不等式的解集公式,而忽视对a-2进行分类讨论.【正确解答】当a-2<0时,不等式解集是⌀;当a-2≥0时,不等式解集是x3-a2≤x≤a-12.易错点34平面区域不明确或不能把握目标函数的几何意义典例34(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面区域是()【错因分析】一条直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为零)把平面分成两个半平面,在每个半平面内的点(x,y)使Ax+By+C值的符号一致.鉴于此,作不等式对应的平面区域方法是画线定界,取点定域,若含等号画实线,否则画虚线.对于选项A,B是因为思维不缜密导致计算错误,对于选项D是因为审题粗心,未注意到不含等号.【正确解答】先作出直线x+1=2y与x+y=3,得它们的交点为53,43,将5 3,0,53,2代入不等式皆成立,则可知C项平面区域即为所求.故选C.易错点35混淆恒成立问题和存在性问题典例35设a>0,函数f(x)=x+a 2x,g(x)=x-ln x,若对任意的x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,求实数a的取值范围.【错因分析】本题考生易出现的错误有两个:对“任意”理解不透彻;对f(x1)≥g(x2)恒成立的条件的使用不当,即最大值与最小值的使用不当.【正确解答】由于对任意x1,x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2)成立,因此只要函数f(x)在[1,e]上的最小值大于或等于g(x)在[1,e]上的最大值即可.因为f'(x)=1-a 2x ,g'(x)=1-1x,x∈[1,e],所以g'(x)≥0,所以g(x)max=e-1.当a>e时,f'(x)<0,所以f(x)min=f(e)=e+a 2e .由e+a 2e≥e-1,得a2≥-e恒成立,所以a>e.当1≤a≤e时,f(x)min=f(a)=2a.由2a≥e-1,得a>e-12,所以1≤a≤e.当0<a<1时,f'(x)>0,所以f(x)min=f(1)=1+a2.由1+a2≥e-1,得a≥e-2,所以e-2≤a<1.综上,可知a的取值范围为[e-2,+∞).。

2018届高考数学一轮复习错题笔记八解析几何

笔记八解析几何易错点41忽视斜率不存在的情况典例41求过点A(-4,2)且与x轴的交点到(1,0)的距离是5的直线方程.【错因分析】本题容易只考虑斜率存在的情况,忽视了斜率不存在的情况,即经过点A且垂直于x轴的直线,其实x=-4也符合题意.【正确解答】当直线的斜率存在时,设直线斜率为k,其方程为y-2=k(x+4),则与x轴的交点为-4-2k ,0.由-4-2k-1=5,解得k=-15,即直线的方程为x+5y-6=0;当直线的斜率不存在时,直线方程为x=-4,其与x轴的交点到(1,0)的距离为5,满足题意.综上,所求直线的方程为x+5y-6=0或x=-4.易错点42直线与圆的位置关系考虑不全典例42在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2=-2y+3,直线l的方程为ax+y-1=0,则直线l与圆C的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.相切或相交【错因分析】本题考生容易忽视直线与圆相切的情况,在做关于直线与圆的位置关系的题目时,一定要考虑完全,避免出现漏解的情况,在平时练习的时候应多加注意.【正确解答】圆C的标准方程为x2+(y+1)2=4,直线l过定点(0,1),代入x2+(y+1)2=4,可知直线过圆上的点,所以直线l与圆C相切或相交.故选D.易错点43焦点位置考虑不全典例43已知椭圆x 24+y2m=1的离心率等于32,则m=.【错因分析】本题易出现的问题就是误认为给出的椭圆的焦点在x轴上,从而导致漏解.对参数m没有进行分类讨论,令m>4和m<4.【正确解答】当m>4时,a=m,b=2则c=m-4,∴e=m-4m=32,求得m=16;当m<4时,a=2,b=m,则c=4-m,∴e=4-m2=32,求得m=1.故填1或16.易错点44 忽视圆锥曲线定义中的条件典例44 写出方程 (x -6)2+y 2− (x +6)2+y 2=8表示的曲线.【错因分析】考生易写成双曲线,原因是忽视了圆锥曲线定义中的条件.在双曲线的定义中,不仅对常数加了限制条件,同时对距离差加了绝对值,如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支,对此考生经常出错.【正确解答】轨迹为以焦点F 1(6,0),F 2(-6,0)的双曲线的左支.易错点45 离心率范围求解错误典例45 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0),若椭圆上存在点P (异于长轴的端点),使得c sin ∠PF 1F 2=a sin ∠PF 2F 1,则该椭圆离心率e 的取值范围是 .【错因分析】本题易出现的问题是错误利用椭圆的定义或性质建立不等关系,导致离心率的范围求解错误.【正确解答】在△PF 1F 2中,由正弦定理得|PF 1|sin ∠PF 2F 1=|PF 2|sin ∠PF 1F 2,∴|PF 1||PF 2|=sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又∵c sin ∠PF 1F 2=a sin ∠PF 2F 1,∴sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2=ca =e (e 为椭圆的离心率),∴e=|PF 1||PF 2|=2a -|PF 2||PF 2|=2a|PF 2|-1.由椭圆的几何性质,知a-c<|PF 2|<a+c ,∴2a |PF 2|-1>a -c a +c 且2a |PF 2|-1<a +c a -c ,即e>1-e 1+e 且e<1+e1-e ,即e 2+2e-1>0且e 2+1>0,又0<e<1,∴e ∈( 2-1,1).故填( 2-1,1).易错点46 忽视判别式的应用典例46 若直线y=x+b 与曲线x= 1-y 2有且仅有一个公共点,则b 的取值范围是( )A.|b|= 2B.-1<b ≤1或b=- 2C.-1≤b ≤ 2D.以上都错【错因分析】联立方程组y=x+b,x=1-y2,消掉x得(y-b)2=1-y2,整理得2y2-2by+b2-1=0,考生会想当然的根据题给条件:因为直线y=x+b与曲线x=1-y2有且仅有一个公共点,因此Δ=4b2-8(b2-1)=0,因此|b|=2,答案为A.其实是错误的,本例中曲线x=1-y2表示的并不是整个圆,而是右半圆,因此方程2y2-2by+b2-1=0有一个实根并不是直线与曲线有唯一公共点的充要条件.【正确解答】作出曲线x=1-y2所表示的图形如图所示.观察图象可得直线y=x+b在l1与l2之间变化时只有一个交点,当直线在l位置即与半圆相切时同样满足条件.故选B.易错点47求与抛物线有关的最值问题时忽视定点位置典例47已知定点A(2,5),F为抛物线y2=4x的焦点,P为抛物线上动点,则|PA|+|PF|的最小值为.【错因分析】本题考生易出现审题出错的情况,误认为点A在抛物线的内部,得到|PA|+|PF|的最小值就是点A到准线的距离.【正确解答】∵点A(2,5)在抛物线的外部,∴|PA|+|PF|的最小值为|AF|=(2-1)2+52=26.故填26.易错点48忽视限制条件求错轨迹方程典例48如图所示,过点P(0,-2)的直线l交抛物线y2=4x于A,B两点,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程.【错因分析】本题可以设出直线l 的方程,且直线的斜率k 是有前提条件的.首先,k ≠0,其次,消元后的一元二次方程的根的判别式大于0.忽视了这些限制条件就扩大了所求轨迹的范围,得出所求的轨迹方程为(y+2)2=4(x+1)的错误结论.【正确解答】设点M (x ,y ),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),根据题意设直线l 的方程为y=kx-2(k ≠0),与抛物线方程联立,整理可得k 2x 2-4(k+1)x+4=0.∵直线l 与抛物线y 2=4x 交于不同的两点A ,B ,∴Δ=32k+16>0,∴k>-12.又x 1+x 2=4(k +1)k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)-4=4k . ∵在平行四边形OAMB 中,AB 的中点为OM 的中点,∴x 1+x 2=x=4(k +1)k ,y 1+y 2=y=4k . 消去k ,可得(y+2)2=4(x+1),又k>-12,k ≠0,y=4k , ∴y<-8或y>0,∴顶点M 的轨迹方程为(y+2)2=4(x+1)(y<-8或y>0).。

2018届高考数学备考纠错题立体几何

2018届高考数学备考纠错题—立体几何易错点1 对空间几何体的结构认识不准确致错典例分析有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是 .【错解】P【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案.【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得H对面的字母是O.【参考答案】O易错点击1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答.2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.即时巩固1．如图，最左边的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是A．①②B．②③C．③④D．①⑤【答案】D读题不准，上底面已挖去，截面就不会出现②的情况，另外，空间想象能力差且凭主观臆断，考虑不全面容易导致错解.易错点2 不能正确画出三视图或还原几何体而致错典例分析一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是【错解】A或B或C【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体；选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.【参考答案】D易错点击1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．2．三视图问题的常见类型及解题策略：(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.即时巩固2．如图，在正方体中，分别为棱的中点，用过点的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体（下半部分）的左视图为【答案】C【误区警示】对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，再画其三视图．另外要注意交线的位置，可见的轮廓线都画成实线，存在但不可见的轮廓线一定要画出，但要画成虚线，即一定要分清可见轮廓线与不可见轮廓线，避免出现错误．易错点3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系典例分析如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为1111ABCDA B C D ,E F 11,DD BB 1,,,A E CFA ．3B ．C ．6D ．【错解】B【错因分析】错解中把直观图认为是原平面图形，则平面图形的面积为.实际上，题图为直观图，必须根据直观图还原得到平面图形，再利用三角形的面积公式求解.【方法点晴】本题主要考查了平面图形的直观图及其原图形与直观图面积之间的关系，属于基础题，解答关键是牢记原图形与直观图的面积比为．【参考答案】C易错点击1．斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”；213223sin 45=22⨯⨯⨯SS ='y ⎧⎪⎨⎪⎩坐标轴的夹角改变与轴平行的线段的长度变为原来的一半图形改变“三不变”.2．原图形与直观图的面积比为倍，直观图面积是原图面积的倍. 即时巩固3．如图，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，那么△ABC 中最长的边为________．【答案】AC本题容易忽视了图形中的平行关系，从而得不到原图中边与坐标轴的平行关系，判断不出直角三角形而导致错误．易错点4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错典例分析一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为x z ⎧⎪⎨⎪⎩平行性不改变与,轴平行的线段的长度不改变相对位置不改变SS ='A ．B ．C ．21D ．18【错解】B 或C 或D【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥，B 项计算三角形面积时出错；截取小正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C 项忽略了几何体多了两个等边三角形面；由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥的组合体，D 项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.【参考答案】A易错点击1．柱体、锥体、台体的表面积（1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.2．柱体、锥体、台体的体积空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．①等体积法：一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.②割补法：运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.即时巩固4．如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底AD＝2 cm，下底BC＝10 cm，底角∠ABC＝60°，现绕腰AB旋转一周，则所得的旋转体的体积是A ．246πB ．248πC ．249πD ．250π【答案】B【解析】过D 作DE ⊥AB 于E ，过C 作CF ⊥AB 于F ，所得旋转体是以CF 为底面半径的圆锥和圆台，挖去以A 为顶点，以DE 为底面半径的圆锥的组合体．本题易将所得旋转体漏掉扣除以圆台上底面为底面，高为 1 cm 的圆锥的体积而错选C.易错点5问题考虑不全面致错典例分析已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为 . 【错解】2如图，设球的大圆为圆O ，C ，D 分别为两截面圆的圆心，AB 为经过点C ，O ，D 的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8.在Rt △COE 中，.在Rt △DOF 中，.所以CD =OC −OD =8−6=2，故这两个截面圆间的距离为2.8OC ==6OD ==【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.【参考答案】2或14易错点击1．球的有关问题（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.（2）球与几种特殊几何体的关系：①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.（4）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球d R r d=心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径之间满足关系式：.2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.即时巩固5．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4 m，BC＝3 m，BB1＝5 m，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，则蚂蚁爬行的最短路程为________．【答案】74 m【解析】沿长方体的一条棱剪开，使点A和点C1展在同一个平面上，求线段AC1的长即可，如图所示有三种剪法：①如图(1)所示，若沿C1D1剪开，使面AB1与面A1C1在同一个平面内，AC==可求得(m).1将空间几何体的表(侧)面展开，化折(曲)为直，使空间图形问题转化为平面图形问题，即空间问题平面化，是解决立体几何问题最基本的、最常用的方法，将空间图形展开成平面图形后，弄清几何中的有关点和线在展开图中的相应关系是解题的关键．本题容易忽略长方体表面具有不同的展开方式，不同的展开方式具有不同的最短路程，将各值比较后，所得的最小值就是最短路程．易错点6 应用公理或其推论时出错典例分析已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？【错解】A，B，C，D，E五点一定共面.因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面.【错因分析】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上B，C，D三点有可能共线.（2）若B，C，D三点共线于l，若A l，E l，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面.【参考答案】见试题解析.在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题.对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件.易错点击1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.2．证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.3．证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.∈∈即时巩固6．已知直线l与三条平行直线a、b、c都相交．求证：四条直线l、a、b、c共面．【答案】见解析.解法二：∵a∥b，∴a、b确定一个平面α，设l∩a＝A，l∩b＝B，则A∈α，B∈α，∴AB⊂α.∵A∈l，B∈l，∴l⊂α，即a、b、l在同一个平面内，故b在a、l确定的平面内．∵a∥c，∴a、c确定一个平面β.设l∩c＝C，∵l∩a＝A，∴A∈β，C∈β，∴AC⊂β.∵A∈l，C∈l，∴l⊂β，即a、c、l在同一个平面内，故c在a、l确定的平面内．又∵l∩a＝A，∴a和l只能确定一个平面，∴a、b、c、l共面．本题常出现错误的原因是：若l与a共面于α，l与b共面于β，但α，β却不是同一平面，则推不出l与a，b 共面．易错点7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误典例分析如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，则BC与AD所成的角为 .【错解】120°如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故为BC与MN所成的角，∠MEN 为BC与AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC，知ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°，∴，即BC与AD所成的角为120°.【错因分析】在未判断出∠MEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.【试题解析】以上同错解，求得∠MEN=120°，即BC与AD所成的角为60°.【参考答案】60°求异面直线所成的角的时候，要注意异面直线所成的角α的取值范围是.易错点击ENM∠1803030120MEN∠=︒-︒-︒=︒090α<≤090α<≤1．求异面直线所成的角的常见策略：（1）求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．（2）求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.（3）判定空间两条直线是异面直线的方法①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2．求直线与平面所成的角的方法：（1）求直线和平面所成角的步骤①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．（2）求线面角的技巧在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．3．求二面角大小的步骤：简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．即时巩固7．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，且，，则二面角的大小为．【答案】45°在找二面角的平面角时，一般按照先找后作的原则，避免盲目地按三垂线法作二面角的平面角．易错点8 对线面位置关系不能正确应用定理作出判断典例分析如果两条平行直线a ，b 中的a ∥α，那么b ∥α.这个命题正确吗？为什么？【错解】这个命题正确．∵a ∥α，∴在平面α内一定存在一条直线c ，使a ∥c . 又∵a ∥b ，∴b ∥c ，∴b ∥α.【错因分析】忽略了b ⊂α这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线b 与平面α有两种位置关系：b ∥α和b ⊂α.PA =1=2AB BC AC ,,P CD B －－【参考答案】见试题解析.错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行．易错点击1．点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直．2．熟练应用线面位置关系中的判定定理与性质定理即可顺利解决此类问题.即时巩固8．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线.③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确命题的个数是A．3 B．2C．1 D．0【答案】C对于④，很容易认为是正确的，其实与面面垂直的性质定理是不同的，“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，则过一个平面内任意一点作交线的垂线，此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过点作的直线不一定在平面内.易错点9 证明线面位置关系时不能正确应用定理致错典例分析如图，，点P 在所确定的平面γ外，于点，于点. 求证：.【错解】因为，，所以. 所以，所以.a b ∥,a b PA a ⊥A AB b ⊥B PB b ⊥PA a ⊥a b ∥PA b ⊥PA γ⊥PB b ⊥【错因分析】本题错解的原因在于没有正确使用线面垂直的判定定理，由得，而忽略了“垂直于平面内两条相交直线”这一条件，即.【参考答案】见试题解析.应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键点.易错点击1．判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义(无公共点)；②利用线面平行的判定定理()； ③利用面面平行的性质()；④利用面面平行的性质(). 2．判定面面平行的常见策略：①利用定义：即证两个平面没有公共点(不常用)． ②利用面面平行的判定定理(主要方法)．③利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)．④利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(客观题可用). 3．证明直线和平面垂直的常用方法： ①线面垂直的定义； ②判定定理；③垂直于平面的传递性()； ④面面平行的性质()； ⑤面面垂直的性质． 4．判定面面垂直的常见策略：,,PA a PA b ⊥⊥PA γ⊥ab ≠∅a b a b a ααα⊄⊂⇒,,∥∥a a αβαβ⊂⇒∥,∥a a a a αβαβαβ⊄⊄⇒∥,,,∥∥a b a b αα⊥⇒⊥∥,a a ααββ⊥⇒⊥,∥①利用定义(直二面角)．②判定定理：可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．③在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，则一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．即时巩固9．如图，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，求证：平面MNG∥平面ACD.【答案】见解析.【解析】如图所示，连接BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于点P、F、H.面面平行的判定定理中的条件，缺一不可，若没有两“相交”直线这个条件，则不一定有面面平行，也可能相交．易错点10 对空间向量理解不正确致误典例分析已知下列命题：①若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则与是共线向量； ②若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则与不是共线向量； ③若向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上； ④若向量与是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上．其中是真命题的有____________（填序号）．【错解】①②③④【错因分析】因为向量为自由向量，所以平行向量就是共线向量，但是向量所在的直线却不一定重合，也有可能平行，关键是看这两个向量所在的直线有没有公共点，如果没有公共点，那么对应的两条直线平行；否则，对应的两条直线重合．AB CD AB CD AB CD AB AC【参考答案】①④平行直线与平行向量的区别与联系：①平行向量所在的直线既可以平行也可以重合；②平行直线是指任何不重合的两条平行直线．因此，两条平行直线的方向向量一定是平行向量，非零的平行向量所在的直线若不重合，则一定是平行直线．易错点击1．判断两非零向量平行，就是判断是否成立，若成立则共线，若不成立则不共线. 2．证明空间三点P 、A 、B 共线的方法： ①(λ∈R )；②对空间任一点O ，(t ∈R )； ③对空间任一点O ，． 3．证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法： ①；②对空间任一点O ，；③对空间任一点O ，(x ＋y ＋z ＝1)； ④(或或).即时巩固,a b λ=a b PA PB λ=OP OA t AB =+(1)OP xOA y AB x y =++=MP xMA yMB =+OP OM xMA yMB =++OP xOM yOA zOB =++∥PM AB ∥PA MB ∥PB AM10．已知向量，，若向量同向，则实数的值为A ．B ．C ．或D ．或【答案】A综上，，．由于向量可以任意平移，所以有关向量的平行问题与直线的平行问题是有区别的，并且两向量同向与两向量平行也是不等价的．“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．若两向量平行，则两向量可能同向、也可能反向．易错点11 不能正确利用空间向量解决立体几何问题典例分析已知四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，AB ＝2PA ，E 是线段BC中点．(1,2,1)=-a 2(,36,)m m m n =+-b ,a b ,m n 22m n =⎧⎨=-⎩33m n =-⎧⎨=⎩33m n =-⎧⎨=⎩22m n =⎧⎨=-⎩33m n =⎧⎨=⎩22m n =⎧⎨=⎩2m =2n =-（1）判断PE 与AD 的关系；（2）在线段PD 上是否存在一点F ，使得CF ∥平面PAE ，说明你的理由．【错解】（1）取A 为坐标原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设PA ＝1，则P (0，0，1)，B (2，0，0)，D (0，2，0)，C (2，2，0)，E (2，1，0)， ∴PE →＝(2，1，－1)，AD →＝(0，2，0)，∴PE →·AD →＝2≠0， ∴PE 与AD 不垂直．（2）设PF →＝λPD →＝(0，2λ，－λ)，则CF →＝PF →－PC →＝(－2，2λ－2，1－λ)．又AP →＝(0，0，1)，AE →＝(2，1，0)．设CF →＝mAP →＋nAE →，则⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝－2n ＝2λ－2m ＝1－λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12n ＝－1λ＝12，即CF →＝12AP →－AE →，∴CF →、AP →、AE →共面，∴CF ∥平面PAE ， ∴存在点F 为PD 中点，使CF ∥平面PAE .【错因分析】因为AB 与AC 不垂直，故以AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立的坐标系不是直角坐标系，另外我们建立坐标系应为右手系．（1）∵PE →＝(0，3，－1)，AD →＝(2，0，0)， ∴PE →·AD →＝0， ∴PE ⊥AD .（2）假设线段PD 上存在一点F ，使直线CF ∥平面PAE ， ∵AD →是平面PAE 的一个法向量， ∴CF →⊥AD →，设PF →＝λPD →＝(2λ，0，－λ)(0≤λ≤1)，则CF →＝PF →－PC →＝(2λ－1，－3，－λ＋1)， ∴CF →·AD →＝(2λ－1，－3，－λ＋1)·(2，0，0)＝4λ－2＝0，解得λ＝12，所以当F 为线段PD 的中点时，直线CF ∥平面PAE . 【参考答案】见试题解析.易错点击1．利用向量法证明平行问题（1）证明线线平行：证明两条直线的方向向量平行. （2）证明线面平行：①该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；③证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示. （3）证明面面平行：两个平面的法向量平行. 2．利用向量法证明垂直问题（1）线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．（2）线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．（3）面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示． 3．利用向量法求空间角（1）用向量法求异面直线所成的角 ①建立空间直角坐标系； ②求出两条直线的方向向量；③代入公式求解，一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为.（2）用向量法求直线与平面所成的角①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； ②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．（3）用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 4．利用向量法求空间距离（1）空间中两点间的距离的求法两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模．因此，要求两点间的距离除使用距离公式外，还可转化为求向量的模.（2）求点P 到平面α的距离的三个步骤：||cos ||||AC BD AC BD β⋅=。

2018届高考数学一轮复习错题笔记七立体几何

笔记七立体几何易错点36三视图识图出错典例36若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.【错因分析】本题易出错的地方有两处,(1)由三视图还原几何体时出错;(2)在计算几何体的体积时出错.【正确解答】由三视图知该几何体为水平放置的三棱柱,底面为两直角边分别为1和,高为,故V=12×1××1.故填1.易错点37错误理解异面直线所成的角典例37已知在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,点E,F分别是边BC和AD 上的点,并且BE∶EC=AF∶FD=1∶2,EF=7,求异面直线AB和CD所成的角.【错因分析】对异面直线所成的角的概念和范围不熟悉,造成计算结果出现错误.异面直线所成的角的范围是(0,90°].【正确解答】如图,在BD上取靠近点B的三等分点G,连接FG,GE,在△BCD中,可得BGGD =BEEC,故有EG∥DC,同理在△ABD中,可得GF∥AB,所以∠EGF或其补角就是异面直线AB和CD所成的角,在△BCD中,由GE∥CD,CD=3,EGCD =13,得EG=1,在△ABD中,由FG∥AB,AB=3,FGAB =23,得FG=2,在△EFG中,由EG=1,FG=2,EF=由余弦定理可得cos∠EGF=EG 2+FG2-EF22EG·FG=-12,所以∠EGF=120°,所以异面直线AB和CD所成的角为60°.易错点38线面位置关系定理使用不当典例38正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点.BD1,给出下面四个命题:点P在对角线BD1上,且BP=23①A,P,M三点共线;②C1Q∥平面APC;③MN∥平面APC;④平面MNQ∥平面APC.其中的所有正确命题的序号为()A.②③B.①④C.①②D.③④【错因分析】考生对空间线面关系模糊,定理不熟悉,未能推出MN在平面APC内而导致错误.证明有关线线,线面、面面平行或垂直时使用定理应注意找足条件,书写规范,推理严谨.【正确解答】①由已知条件易证△APB∽△D1MP,又由点P在对角线BD1上和AB∥D1C1可得A,P,M三点共线,故①正确;②由①知,C,P,N也三点共线,将平面APC延展,可知点M,N在平面APC上,又因为AN∥C1Q,所以C1Q∥平面APC,故②正确;③由②知,M,N都在平面APC上,故MN⊂平面APC,故③错误;④由③知MN⊂平面APC,由②知点Q在平面APC外面,所以平面MNQ与平面APC相交,故④错误.故选C.易错点39 线面角计算错误典例39 如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M ,N 分别为AB ,DF 的中点,若平面ABCD ⊥平面DCEF ,求直线MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值.【错因分析】本题在求得平面DCEF 的一个法向量(0,0,2)DA = 及(1,1,2)MN =-- 后,可得cos ,MN DA = .MN DA M N D A= 考生就会误认为.其实是错误的,计算线面角我们容易出错的有以下三点:①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是线面角;②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦就是线面角的正弦,而忘了加绝对值;③不清楚线面角的范围.【正确解答】设正方形ABCD ,DCEF 的边长为2,以D 为坐标原点,分别以射线DC ,DF ,DA 为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则M (1,0,2),N (0,1,0),可得MN=(-1,1,-2). 又∵DA=(0,0,2)为平面DCEF 的法向量, ∴cos <MN ,DA >=MN ·DA |MN ||DA|=- 63. ∴MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值为|cos <MN ,DA >|= 63.易错点40 二面角计算错误典例40 如图,四棱锥S-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,SD ⊥底面ABCD ,AD= 2,DC=SD=2,点M 在侧棱SC 上,∠ABM=60°.(1)证明:M 为侧棱SC 的中点;(2)求二面角S-AM-B 的余弦值.【错因分析】若两个平面的法向量分别为a,b,若两个平面所成的锐二面角为θ,则cos cos ,a b θ=；若两个平面所成二面角为钝角,则cos cos ,a b θ=-.考生在解此类题时,应先求出两个平面的法向量及其夹角,然后视二面角的大小而定,避免出现二面角的余弦值的正负问题.【正确解答】(1)分别以DA ,DC ,DS 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ,则A ( 2,0,0),B ( 2,2,0),C (0,2,0),S (0,0,2).设M (0,a ,b )(a>0,b>0),则BA =(0,-2,0),BM =(- 2,a-2,b ),SM =(0,a ,b-2),SC =(0,2,-2),由题得 cos <BA ,BM >=12,SM ∥SC ,即 2· (a -2)+b 2+2=12,-2a =2(b -2).解方程组得a=1,b=1即M (0,1,1),所以M 是侧棱SC 的中点.(2)由(1)得M (0,1,1),MA =( -1,-1),又AS =(- 2,0,2),AB =(0,2,0),设n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2)分别是平面SAM 、平面MAB 的法向量,则 n 1·MA =0,n 1·AS =0且 n 2·MA =0,n 2·AB =0,即2x1-y1-z1=0,-2x1+2z1=0且2x2-y2-z2=0,2y2=0.分别令x1=x2=2,则z1=1,y1=1,y2=0,z2=2, 即n1=(2,1,1),n2= (2,0,2),所以cos<n1,n2>=2·6=63,又因为二面角S-AM-B为钝角,所以二面角S-AM-B的余弦值为-63.。

2018届高考数学一轮复习错题笔记三三角函数

笔记三三角函数易错点15忽视“隐含条件”典例15设0<α<π,sin α+cos α=12,求cos2α-sin2α的值.【错因分析】本题产生错误的原因是易忽视题干中的隐含条件“sinα,cosα”异号,而根据(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα得到cosα-sinα可取两个值的错误结论.【正确解答】因为sin α+cos α=12,所以(sin α+cos α)2=14,2sin α cos α=-34.又因为0<α<π,所以sin α>0,cos α<0,所以cos α-sin α<0.因为(cos α-sin α)2=1-2sin α cos α=1+34=74,所以cos α-sin α=-72.故cos2α-sin2α=(cos α+sin α)(cos α-sin α)=-74.易错点16忽视对字母的分类讨论典例16设函数f(x)=a sin2x+π3+b(x∈R)的最大值为5,最小值为-1,求实数a,b的值.【错因分析】这里误认为a sin2x+π3的最大值是a,最小值是-a,忽视了对字母a取值的分类讨论,从而得出错误的结果:a=3,b=2.【正确解答】由题意可知a≠0.当a>0时,由题意,得a+b=5且-a+b=-1,解得a=3,b=2;当a<0时,应有-a+b=5且a+b=-1,解得a=-3,b=2.综上,a=3,b=2或a=-3,b=2.易错点17忽视函数定义域的限制典例17函数y=tan x1-tan2x的最小正周期为.【错因分析】化简三角函数式之前,忽略了函数的定义域,直接根据化简结果y=12tan2x得出函数y=tan x1-tan2x的最小正周期为π2的错误结果.【正确解答】要使函数有意义,需满足x≠kπ±π4(k∈Z),x≠kπ+π2(k∈Z).化简函数得y=tan x1-tan x =12tan 2x,画出y=tan 2x,x≠kπ±π4且x≠kπ+π2,k∈Z的图象.根据图象可得y=tan x1-tan2x的最小正周期为π.故填π.易错点18忽视正、余弦函数的有界性典例18求函数y=(sin x-2)(cos x-2)的最大值和最小值.【错因分析】许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决,在换元时易忽略正、余弦函数的有界性,该题容易出现的问题是令sin x+cos x=t时,忽略了|t|≤2.【正确解答】原函数可化为y=sin x cos x-2(sin x+cos x)+4.令sin x+cos x=t(|t|≤则sin x cos x=t 2-1 2 ,∴y=t2-12-2t+4=12(t-2)2+32.∵t∈[-2,2],且函数在[-2,2]上为减函数,∴当t=2,即x=2kπ+π4(k∈Z)时,y min=92-22;当t=-2,即x=2kπ-3π4(k∈Z)时,y max=92+22.易错点19忽视复合函数的单调性典例19求函数y=cosπ6-x 的单调递增区间.【错因分析】令z=π6-x,则y=cos z.由于z=π6-x是减函数,所以y=cos z的单调递增区间是复合函数y=cosπ6-x 的单调递减区间.该题容易出现的问题是由y=cos x的单调递增区间为[2kπ-π,2kπ],k∈Z,得出y=cosπ6-x 的单调递增区间为2kπ-π≤π6-x≤2kπ,从而得出-2kπ+π6≤x≤-2kπ+7π6,k∈Z的错误结果.这里因忽视复合函数的单调性致错,这种错误常常出现,要引起注意.【正确解答】因为y=cosπ6-x =cos x-π6,所以y=cos x-π6的单调递增区间即为y=cosπ6-x 的单调递增区间,即2kπ-π≤x-π6≤2kπ,解得2kπ-5π6≤x≤2kπ+π6.因此函数y=cosπ6-x 的单调递增区间是2kπ-5π6,2kπ+π6,k∈Z.易错点20图象平移变换的方向与距离把握不准典例20若将函数y=tan ωx+π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后,与函数y=tan ωx+π6(ω>0)的图象重合,则ω的最小值为.【错因分析】在对图象进行平移或伸缩时,都是只针对x本身而言的,平移只是在x本身加上(或减去)某个值,伸缩只是给x本身乘以某个值,与其他量无关.本题我们容易在ωx上减去π6,而正确的方法是在x上减去π6.【正确解答】y=tan ωx+π4y=tan ω x-π6+π4=tan ωx+π6,因此π4−π6ω=π6+kπ(k∈Z),解得ω=12-6k(k∈Z),又∵ω>0,∴ωmin=12.易错点21三角恒等变换忽视角的范围典例21在△ABC中,如果4sin A+2cos B=1,2sin B+4cos A=33,则∠C的大小是()A.30°B.150°C.30°或150°D.60°或120°【错因分析】造成错解的原因是对于三角形这个条件的忽视,此题若没有“在△ABC中”这个条件,则选项C是正确的,但多了这个条件就有了限制,如从第一个等式4sin A+2cos B=1中可得,cos B<12,那么∠B>60°,这样∠C不可能超过120°,因此150°要舍去.【正确解答】对上面两式进行平方相加可得16+4+16 sin(A+B)=28,所以sin(A+B)=12,所以A+B=30°或150°,所以∠C的大小是30°或150°,但从第一个等式4 sin A+2 cos B=1中可得cos B<12,那么B>60°,这样∠C不可能超过120°,因此150°要舍去.因此∠C的大小是30°.故选A.易错点22解三角形时忽视对解的讨论典例22在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,c=3.(1)若∠C=π3,求∠A;(2)若∠A=π6,求b的值.【错因分析】第(1)问易出现多解的错误,由已知条件求得sin A=a sin Cc =12,即可得出∠A=π6或∠A=5π6,没有考虑c>a;第(2)问易出现漏解的错误,由sin C=c sin Aa=32,只得出∠C=π3,漏了∠C=2π3.【正确解答】(1)由正弦定理得asin A =csin C,所以sin A=a sin Cc =12,即∠A=π6或∠A=5π6.又c>a,所以∠A<∠C,故∠A=π6.(2)由正弦定理得asin A =csin C,所以sin C=c sin Aa =32,所以∠C=π3或∠C=2π3.当∠C=π3时,∠B=π2,可得b=2;当∠C=2π3时,∠B=π6,可得b=1.。

2018版高考数学一轮复习易错知识清单(文)

一、集合与常用逻辑用语易错知识清单1.集合的概念与运算（1）解题时要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.（2）集合中的元素具有确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，防止漏解.（4）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系（5）Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.（6）处理集合问题时，一定要注意检验结果是否与题设相矛盾.2.命题及其关系、充分条件与必要条件（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.（2）判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p 则q ”的形式.（3）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是q ”等语言.3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题（1）p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可;p ∧q 为真命题，必须p 、q 同时为真.（2）p 或q 的否定：非p 且非q ;p 且q 的否定:非p 或非q .（3）命题的否定与否命题：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.二、函数与导数易错知识清单1.分段函数在求分段函数的值)(0x f 时，要先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.2.函数的单调性与最值（1）区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y=x1在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f(x)在区间(-1，0)上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在(-1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数x x f 1)(=. 3.函数的奇偶性与周期性（1）f(0)=0既不是函数f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论，也可以利用图象进行判断.4.二次函数与幂函数（1）对于函数c bx ax y ++=2，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件未说明a ≠0时，就要讨论a=0和a ≠0两种情况.（2）幂函数αx y =（α是常数）中,α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样.注意α是正分数或负分数（正整数或负整数）时的不同.（3）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.5.指数与指数函数（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论.（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意“新元”的取值范围.（3）对可化为02=++c ba a x x 或022≥++c ba a x x (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.6.对数与对数函数（1）在运用性质M M a a log log αα=(a>0，且a ≠1)时，要特别注意条件M>0，在无M>0的条件下应为M M a a log log αα=|(α为偶数).（2）指数函数x a y =(a>0，且a ≠1)与对数函数x y a log =(a>0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.（3）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.7.函数的图象（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x ”而言，如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移21个单位，即把x 变成x-21. （2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.8.函数与方程（1）函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)=0的根，也是函数y=f(x)的图象与x 轴交点的横坐标.（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.9.函数模型及其应用（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.10.导数的概念及运算（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.（2）求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个.11.导数与函数的单调性、极值、最值（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x)=0时的情况;区分极值点和导数为0的点.12.导数的综合应用（1）若函数f(x)在某个区间内单调递增，则f ′(x)≥0，而不是f ′(x)>0(f ′(x)=0在有限个点处取到).（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.三、数列易错知识清单1.数列的概念及简单表示法（1）数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列)(n f a n =)和函数)(x f y =的单调性是不同的.（2）数列的通项公式不一定唯一.2.等差数列及其前n 项和（1）当公差d ≠0时，n a 是n 的一次函数，当公差d=0时，n a 为常数.（2）公差不为0的等差数列的前n 项和n s 是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和Sn 是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.3.等比数列及其前n 项和（1）注意等比数列中的分类讨论.（2）由n n a q a •=+1(q ≠0)，并不能判断数列｛n a ｝是等比数列，还要验证1a 是否为0.4.数列求和（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应对公比是否为1进行分类讨论.（2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n+1的式子要合并.（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项后剩多少项.四、三角函数易错知识清单1.任意角的三角函数（1）注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.（2）角度制与弧度制可利用180°=πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.（3）已知三角函数值的符号确定角的终边位置时不要遗漏终边在坐标轴上的情况. 2同角三角函数的基本关系与诱导公式（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐.要特别注意函数名称和符号的确定.（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.3.三角函数的图象与性质（1）闭区间上最值或值域问题，要先在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.（2）要注意求函数y=Asin(ωx +φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况.（3）三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.4.函数y =A sin(ωx+φ)的图象及应用（1）由函数y =sin x 的图象经过变换得到y =A sin(ωx+φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x 前面的系数提取出来.（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y =A sin(ωx +φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.（3）求函数y=Asin(ωx+φ)在x ∈[m ，n]上的最值，可先求t=ωx+φ的范围，再结合图象得出y=Asin t 的值域，即得原函数的最值.5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）运用公式时注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.（2）在（0，π）范围内，sin(α+β)=22所对应的角α+β不是唯一的. （3）在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.6.简单的三角恒等变换（1）利用辅助角公式asin x+bcos x 进行转化时，一定要严格对照和、差公式，防止弄错辅助角.（2）计算形如y=sin(ωx+φ)，x ∈[a ，b]的函数最值时，不要将ωx+φ的范围和x 的范围混淆. 7.正弦定理、余弦定理（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解、无解的情况，所以要进行分类讨论.（2）利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.8.三角形的实际应用在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易弄错.五、不等式易错知识清单1.不等关系与不等式（1）a>b ⇒ac>bc 或ab ⇒a 1b1，当ab ≤0时不成立.（3）a>b ⇒a n >b n ，对于正数a 、b 才成立.（4）b a >1⇔a>b ，对于正数a 、b 才成立.（5）注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如a>b ，b>c a>c ，反过来a>c ，不能推出a>b ，b>c.（6）作商法比较大小时，要注意两式的符号.（7）求范围问题时，如果多次利用不等式，则可能扩大变量的取值范围.2.不等式的解法及应用（1）对于不等式ax 2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论a=0时的情况.（2）当Δ<0时，要注意区分ax 2+bx+c>0(a ≠0)的解集为R 还是空集.（3）对于含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.（4）注意用“根轴法”解整式不等式的注意事项及解分式不等式)()(x g x f >a(a ≠0)的一般思路——移项通分.（5）求解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”.注意：求解完之后要写上“综上，原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示;②不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.（6）解决恒成立问题一定要弄清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（1）画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，避免错误的重要方法就是使二元一次不等式（组）标准化.（2）通过求直线的截距bz 的最值间接的求z 的最值时，要注意：当b>0时，若截距b 取最大值，则z 也取最大值，若截距b z 取最小值，则z 也取最小值；当b<0时，若截距bz 取最大值，则z 取最小值，若截距b z 取最小值，则z 取最大值. 4.基本不等式及其应用（1）利用基本不等式求最值时应注意“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.（2）连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致.（3）对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘.一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的取值范围，然后利用基本不等式求最值.六、平面向量易错知识清单1.平面向量的概念及线性运算（1）求解向量的概念问题时要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是要考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.（2）在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得的向量是所求向量的相反向量，导致错误.（3）两个向量共线有方向相同、相反两种情况，要考虑全面.2.平面向量的基本定理及坐标表示（1）要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息.（2）若a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件不能表示成21x x =21y y ，因为x 2,y 2有可能等于0，所以应该表示为x 1y 2-x 2y 1=0.（3）使用平面向量基本定理时一定要注意两个基底向量不共线.3.平面向量的数量积（1）对数量积的运算律要准确理解、应用.例如,a ·b=a ·c （a ≠0）不能得出b=c,因为两边不能同时约去向量a. （2）若两个向量的夹角为锐角，则有a ·b>0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有a ·b<0，反之不成立.4.平面向量应用举例（1）注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价.（2）注意向量共线和两直线平行的关系.（3）利用向量求解解析几何中的平行与垂直问题，可有效避免因斜率不存在使问题漏解的情况.七、立体几何易错知识清单 1.空间几何体的结构特征（1）准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断. （2）三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.2.三视图与直观图（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．（4）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．3.空间几何体的表面积（1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.4.空间点、线、面位置关系（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在一个平面内”．（2）不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．（3）两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].5.直线、平面平行的判定与性质（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．（2）在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序则恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．（3）解题中注意符号语言的规范应用.6.直线、平面垂直的判定与性质（1）在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化．（2）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.八、解析几何易错知识清单1.直线方程（1）明确直线方程各种形式的适用条件:点斜式、斜截式方程适用于与x 轴不垂直的直线；两点式方程不能表示垂直于x 轴、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负可为零，在求解与截距有关的问题时，要注意讨论截距是否为零．（3）求直线方程时，若不能判断直线是否存在斜率，则应分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.（4）当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为2π，而不是不存在；当直线与y 轴垂直时，直线的倾斜角为0，而不是π.2.两直线位置关系（1）在判断两条直线的位置关系时，首先分析直线的斜率是否存在.若两条直线的斜率都存在，则可根据判定定理判断两条直线的位置关系，若任一条直线的斜率不存在，则要单独考虑.（2）在运用两平行直线间的距离公式d=2221B A C C +-时，一定要注意将两方程中x,y 的系数化为相同的形式.3.圆的方程（1）圆的标准方程和圆的一般方程都含有三个独立的参数，因此，确定一个圆的方程需要三个独立的条件．（2）过圆外一定点求圆的切线，必有两条.若只求出一条，除了考虑运算过程是否正确外，还应该考虑切线斜率不存在的情况.4.圆锥曲线的方程和性质（1）当到两定点的距离之和等于21F F 时，动点的轨迹是线段21F F ；当到两定点的距离之和小于21F F 时，动点的轨迹不存在．（2）区分椭圆两种标准方程的方法是比较标准方程中2x 与2y 的分母大小．（3）注意椭圆的范围，若设椭圆12222=+b y a x（a>b>0）点的坐标为P(x,y)，则｜x ｜≤a,这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.（4）利用双曲线的定义解决问题应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a<21F F ;③焦点所在坐标轴的位置.（5）区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.（6）双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)．（7）双曲线2222b y a x -＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±a b x ，2222b x a y -＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是x ba y ±=x. （8）求抛物线的标准方程时一般用待定系数法求出p 值，但要先判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．（9）注意应用抛物线的定义解决问题．5.直线与圆、圆锥曲线的位置关系（1）直线与双曲线交于一点时，其位置关系不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.（2）在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.（3）若利用弦长公式计算问题，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．（4）对于中点弦问题，可以利用“点差法”求解，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．九、概率、统计易错知识清单1.随机事件的概率（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.（3）任何事件的概率都在0～1中，即0≤P(A)≤1.必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.2.古典概型（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的;试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. 提示下列三类试验不是古典概型：（1）基本事件个数有限，但非等可能；（2）基本事件个数无限，但等可能；（3）基本事件个数无限，也不等可能.（2）概率的一般加法公式：P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A ∩B)．提示 ①公式的作用是求A ∪B 的概率，当A ∩B ＝时，A 、B 互斥，此时P(A ∩B)＝0，所以P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；②要计算P(A ∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是确定事件A ∩B ，并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一.3.几何概型（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.4.随机抽样（1）系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．（2）进行分层抽样时应注意以下几点：①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.（3）在抽样时，如果总体的排列存在明显的周期性或事先是排好序的，那么利用系统抽样进行抽样时将会产生明显的偏差，即样本的代表性是不可靠的.5.用样本估计总体（1）频率分布直方图的纵坐标为组距频率，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率.（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.（3）同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图的形状也会不同.6.变量间的相关关系、统计案例（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S 与边长x 之间的关系S ＝x 2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．（2）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，根据回归方程进行预报，得出的仅是一个预报值，而不是真实发生的值.（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系的描述，得到的结论有一定概率的出错.（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断.十、算法、复数、推理与证明易错知识清单1.算法（1）注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.（2）注意条件结构与循环结构的联系：循环结构具有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.（3）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时时执行两个分支.（4）循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，循环语句主要解决需要反复执行的任务，要理解循环结构中各变量的具体含义及变化规律.（5）关于赋值语句，有以下几点需要注意：①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如3=m是错误的.②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量，例如Y=x，表示用x的值替代变量Y的原先的取值，不能改写为x=Y.因为后者表示用Y的值替代变量x的值.③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.（6）应用循环结构解决问题时，一定要注意两个变量i和S的初始值及运算变量到底是什么，它递增的值是多少，即“步长”为多少，由输出的结果来判断对应的判断条件到底是什么，明确哪儿是计数器，哪儿是赋值器，注意循环体内各语句不能随意颠倒，准确判断结束循环的条件，必要时，要对“边界”单独检验.2.复数（1）判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.（2）对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解，判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.（3）两个虚数不能比较大小.（4）利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a,b,c,d∈R的前提条件.（5）在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.（6）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若z1，z2∈C,z12+z22=0，就不能推出z1=z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.3.推理与证明（1）解决类比问题时，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的条件，再去类比另一类问题.（2）解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳.（3）用分析法证明问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即证……”“只需证……”等，逐步分析，直至一个明显成立的结论.（4）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的.十一、选考部分易错知识清单1.坐标系与参数方程（1）化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角或代数）消去法.在消参的过程中注意变量x,y取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)(t为参数)的值域，从而确定x,y的取值范围.（2）当一个参数方程中除已知变量x,y外，还有两个或两个以上的字母时，一定要认清哪个是参变量（参数），哪个是常数，弄清参数所代表的几何意义及取值范围是什么，认真观察方程的表现形式以及题目本身隐含的一些限制条件，以便于寻找最佳化简途径.（3）化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（y=g(t)），再代入普通方程F(x,y)=0，求得另一关系y=g(t)（x=f(t)），一般。

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下面小编为大家整理的广东高考数学一轮复习易错知识点，希望大家喜欢。

广东高考数学一轮复习易错知识点1.不能实现二次函数，一元二次方程和一元二次不等式的相互转换。

二次函数令y为0→方程→看题目要求是什么→要么方程大于小于0，要么刁塔(那个小三角形)b的平方-4ac大于等于小于0种种。

2.比较大小时，对指数函数，对数函数，和幂函数的性质记忆模糊导致失误。

3.忽略对数函数单调性的限制条件导致失误。

4.函数零点定理使用不当致误。

f(a)xf(b)<0，则区间ab上存在零点。

5.忽略幂函数的定义域而致错。

x的二分之一次方定义域为0到正无穷。

6.错误理解导数的定义致误。

7.导数与极值关系不清致误。

f‘派x为0解出的根不一定是极值这个要注意。

8.导数与单调性关系不清致误。

9.误把定点作为切点致误。

10.计算定积分忽视细节致误。

高考数学复习方法一、“六先六后”，因人因卷制宜。

考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。

1.先易后难。

2.先熟后生。

3.先同后异。

先做同科同类型的题目。

4.先小后大。

先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。

5.先点后面。

高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。

6.先高后低。

即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。

二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。

审题要慢，解答要快。

在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。

假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。

三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。

2018届高考数学一轮复习错题笔记十三选考部分

笔记十三选考部分易错点64忽视条件、错用定理典例64如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于点E,且EC=ED.(1)证明:CD∥AB;(2)延长CD到点F,延长DC到点G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.【错因分析】(1)对四点共圆的性质定理和判定定理理解不透;(2)不能正确作出辅助线,构造四边形;(3)角的关系转化不当.【正确解答】(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA.所以∠ECD=∠EBA,所以CD∥AB.(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,所以∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA,所以∠AFG+∠FAB=180°,故∠AFG+∠GBA=180°,所以A,B,G,F四点共圆.易错点65参数的几何意义不明典例65已知直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos-.(1)求直线l的倾斜角;(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,求AB.【错因分析】本题易出错的地方是对直线参数方程中参数t的几何意义不明确,导致求AB的值出错.【正确解答】(1)直线的参数方程可以化为°°根据直线参数方程的意义,直线l经过点,倾斜角为60°.(2)直线l的直角坐标方程为y=x+.ρ=2cos-的直角坐标方程为--=1,所以圆心到直线l的距离d=,所以AB=2-.易错点66去绝对值不当典例66已知函数f(x)=|x-3|+|x-4|.(1)求不等式f(x)≥2的解集;(2)如果f(x)≤a的解集不是空集,求实数a的取值范围.【错因分析】本题主要是对绝对值不等式进行转化时易出现错误,表现在去绝对值时分类讨论不当.【正确解答】(1)当x<3时,f(x)=3-x+(4-x)=7-2x,由不等式f(x)≥2即7-2x≥2,解得x≤;当3≤x≤4时,f(x)=x-3+(4-x)=1,不等式f(x)≥2的解集为空集;当x>4时,f(x)=x-3+(x-4)=2x-7,由不等式f(x)≥2即2x-7≥2,解得x≥.综上所述,原不等式的解集为-.(2)f(x)≤a的解集不是空集,即f(x)的最小值小于或等于a,由(1)可得f(x)=--由此可得f(x)在(-∞,3)上是减函数,在[3,4]上是常数1, 在区间(4,+∞)上是增函数,所以函数f(x)的最小值为1,由此可得a≥1,即实数a的取值范围为[1,+∞).。

2018版高三数学(理)一轮复习易错知识清单(理)

2018版高三数学(理)一轮复习易错知识清单(理)1.集合的概念与运算（1）解题时要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.（2）集合中的元素具有确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性. （3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，防止漏解.（4）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系，二是集合与集合的包含关系.（5）Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.（6）处理集合问题时，一定要注意检验结果是否与题设相矛盾.2.命题及其关系、充分条件与必要条件（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.（2）判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式. （3）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题（1）p ∨q 为真命题，只需p 、q 有一个为真即可;p ∧q为真命题，必须p 、q 同时为真.（2）p 或q 的否定：非p 且非q;p 且q 的否定:非p 或非q. （3）命题的否定与否命题：“否命题”是对原命题“若p ，则q ”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非p ”，只是否定命题p 的结论.二、函数与导数1.分段函数在求分段函数的值)(0x f 时，要先判断x0属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.2.函数的单调性与最值（1）区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函数，如函数y=x1在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数f(x)在区间(-1，0)上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在(-1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数xx f 1)(=.3.（1）f(0)=0既不是函数f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件. （2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论，也可以利用图象进行判断.4.二次函数与幂函数（1）对于函数c bx axy ++=2，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件未说明a ≠0时，就要讨论a=0和a ≠0两种情况.（2）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.5.指数与指数函数（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论.（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意“新元”的取值范围.（3）对可化为02=++c ba ax x 或02≥++c ba a x x (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.6.对数与对数函数（1）在运用性质M M a a log logαα=(a>0，且a ≠1)时，要特别注意条件M>0，在无M>0的条件下应为M M a a log log αα=|(α为偶数).（2）指数函数xa y =(a>0，且a ≠1)与对数函数x y a log =(a>0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.（3）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.7.函数的图象（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x ”而言，如从f(-2x)的图象到f(-2x+1)的图象是向右平移21个单位，即把x 变成x-21. （2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.8.函数与方程（1）函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)=0的根，也是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.9.函数模型及其应用（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.10.导数的概念及运算（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个. 11.导数与函数的单调性、极值、最值（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ′(x)=0时的情况;区分极值点和导数为0的点.12.导数的综合应用（1）若函数f(x)在某个区间内单调递增，则f ′(x)≥0，而不是f ′(x)>0(f ′(x)=0在有限个点处取到).（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.13.定积分（1）被积函数若含有绝对值符号，应先去绝对值符号，再分段积分.（2）若定积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量.（3）定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限.（4）定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意面积非负，而定积分的结果可以为负.（5）将要求面积的图形进行科学而准确地划分，可使面积的求解变得简捷.三、数列1.数列的概念及简单表示法（1）数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列)(n f an =)和函数)(x f y =的单调性是不同的.（2）数列的通项公式不一定唯一.2.等差数列及其前n 项和（1）当公差d ≠0时，na 是n 的一次函数，当公差d=0时，n a 为常数.（2）公差不为0的等差数列的前n 项和n s 是n 的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n 项和Sn 是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.3.等比数列及其前n 项和（1）注意等比数列中的分类讨论.（2）由n n a q a ∙=+1(q ≠0)，并不能判断数列｛n a ｝是等比数列，还要验证1a 是否为0.4.数列求和（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应对公比是否为1进行分类讨论.（2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n ，a n+1的式子要合并.（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项后剩多少项.四、三角函数1.任意角的三角函数（1）注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.（2）角度制与弧度制可利用180°=πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.（3）已知三角函数值的符号确定角的终边位置时不要遗漏终边在坐标轴上的情况.2.同角三角函数的基本关系与诱导公式（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐.要特别注意函数名称和符号的确定.（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化.3.三角函数的图象与性质（1）闭区间上最值或值域问题，要先在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.（2）要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况.（3）三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的. 4.函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用（1）由函数y=sin x的图象经过变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要把x前面的系数提取出来.（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=A sin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.（3）求函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t=ωx+φ的范围，再结合图象得出y=Asin t的值域，即得原函数的最值.5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）运用公式时注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2所对应的（2）在（0π）范围内，sin(α+β)=2角α+β不是唯一的.（3）在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.6.简单的三角恒等变换（1）利用辅助角公式asin x+bcos x 进行转化时，一定要严格对照和、差公式，防止弄错辅助角.（2）计算形如y=sin(ωx+φ)，x ∈[a ，b]的函数最值时，不要将ωx+φ的范围和x 的范围混淆.7.正弦定理、余弦定理（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解、无解的情况，所以要进行分类讨论.（2）利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.8.三角形的实际应用在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易弄错.五、不等式 1.不等关系与不等式（1）a>b ⇒ac>bc 或ab ⇒a 1b 1，当ab ≤0时不成立.（3）a>b ⇒a n >b n ，对于正数a 、b 才成立.（4）b a>1⇔a>b ，对于正数a 、b 才成立.（5）注意不等式性质中“⇒⇔a>b ，b>c a>c ，反过来a>c ，不能推出a>b ，b>c.（6）作商法比较大小时，要注意两式的符号.（7）求范围问题时，如果多次利用不等式，则可能扩大变量的取值范围.2.不等式的解法及应用（1）对于不等式ax 2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论a=0时的情况.（2）当Δ<0时，要注意区分ax 2+bx+c>0(a ≠0)的解集为R 还是空集.（3）对于含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.（4）注意用“根轴法”解整式不等式的注意事项及解分式不等式)()(x g x f >a(a ≠0)的一般思路——移项通分. （5）求解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”.注意：求解完之后要写上“综上，原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形式表示;②不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.（6）解决恒成立问题一定要弄清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（1）画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，避免错误的重要方法就是使二元一次不等式（组）标准化.（2）通过求直线的截距b z 的最值间接的求z 的最值时，要注意：当b>0时，若截距b 取最大值，则z 也取最大值，若截距b z 取最小值，则z 也取最小值；当b<0时，若截距b z 取最大值，则z 取最小值，若截距b z 取最小值，则z 取最大值.4.基本不等式及其应用（1）利用基本不等式求最值时应注意“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.（2）连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致. （3）对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘.一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的取值范围，然后利用基本不等式求最值.六、平面向量1.平面向量的概念及线性运算（1）求解向量的概念问题时要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是要考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.（2）在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得的向量是所求向量的相反向量，导致错误.（3）两个向量共线有方向相同、相反两种情况，要考虑全面. 2.平面向量的基本定理及坐标表示（1）要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息.（2）若a=(x 1,y 1),b=(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件不能表示成21x x =21y y ，因为x 2,y 2有可能等于0，所以应该表示为x 1y 2-x 2y 1=0.（3）使用平面向量基本定理时一定要注意两个基底向量不共线. 3.平面向量的数量积（1）对数量积的运算律要准确理解、应用.例如,a ·b=a ·c （a ≠0）不能得出b=c,因为两边不能同时约去向量a.（2）若两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立.4.平面向量应用举例（1）注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价.（2）注意向量共线和两直线平行的关系.（3）利用向量求解解析几何中的平行与垂直问题，可有效避免因斜率不存在使问题漏解的情况.七、立体几何1.三视图与直观图（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的（4）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方2.空间几何体的表面积（1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.3.空间点、线、面位置关系（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的（2）不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不（3）两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].4.直线、平面平行的判定与性质（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，（2）在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序则恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具（3）解题中注意符号语言的规范应用.5.直线、平面垂直的判定与性质（1）在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替（2）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.空间向量及其应用（1）求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.（2）用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a=λb(λ∈R）即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.（3）利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各（4）求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能（5）求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.八、解析几何1.直线方程（1）明确直线方程各种形式的适用条件:点斜式、斜截式方程适用于与x轴不垂直的直线；两点式方程不能表示垂直于x轴、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负可为零，在求解与截距有关的问题时，要注意讨论截距（3）求直线方程时，若不能判断直线是否存在斜率，则应分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.（4）当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为2π，而不是不存在；当直线与y 轴垂直时，直线的倾斜角为0，π.2.两直线位置关系（1）在判断两条直线的位置关系时，首先分析直线的斜率是否存在.若两条直线的斜率都存在，则可根据判定定理判断两条直线的位置关系，若任一条直线的斜率不存在，则要单独考虑.（2）在运用两平行直线间的距离公式d=2221B A C C +-时，一定要注意将两方程中x,y 的系数化为相同的形式.3.圆的方程（1）圆的标准方程和圆的一般方程都含有三个独立的（2）过圆外一定点求圆的切线，必有两条.若只求出一条，除了考虑运算过程是否正确外，还应该考虑切线斜率不存在的情况.4.圆锥曲线的方程和性质（1）区分椭圆两种标准方程的方法是比较标准方程中x2与y 2（2）注意椭圆的范围，若设椭圆12222=+b y a x （a>b>0）点的坐标为P(x,y)，则｜x ｜≤a,这往往在求与点P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.（3）区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 大小关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2c 2＝a 2＋b 2.（4）双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0,1)（5）双曲线2222b y a x -＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±a bx ，2222b x a y -＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝x b a y ±=.（6）求抛物线的标准方程时一般用待定系数法求出p 值，但要先判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种（7（8）求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的变形是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意（9）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求.求点的轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明点的轨迹的5.直线与圆、圆锥曲线的位置关系（1）直线与双曲线交于一点时，其位置关系不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.（2）在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.（3）若利用弦长公式计算问题，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在（4）对于中点弦问题，可以利用“点差法”求解，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．九、计数原理1.两个计数原理（1）切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要（2）分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键（32.排列与组合（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，然后利用两个计数原理（2）解受条件限制的组合题时，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一，避免出（3）对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同等价形式.处理选择题可采用排除法，错误的答案会有重复或遗漏现象.3.二项式定理（1）项的系数与n和a，b的值有关，二项式系数只与n有关，且大于0(n为项数).（2（3）关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造（4）展开式中第k＋1项的二项式系数与第k＋1项的系数一般是不相同的.在具体求各项的系数时，一般先确定符号，再确定数值；确定符号时对根式和指数的运算要细心，以防出错.十、概率与统计1.随机事件的概率（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.2.古典概型（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个（2）概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A ∩B)提示：①公式的作用是求A∪B的概率，当A∩BA、B互斥，此时P(A∩B)＝0，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②要计算P(A∪B)，需要求P(A)、P(B)，更重要的是确定事件A∩B，并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一.3.几何概型（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.4.二项分布（1）运用公式P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A、B相互独立时，公式才成立.（2）独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件.5.离散型随机变量的均值与方差、正态分布（1）会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的（2）对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的（3）解决正态分布问题有三个关键点:①对称轴x=μ;②标准差σ;③分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.6.随机抽样（1）系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起（2①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.7.用样本估计总体（1）频率分布直方图的纵坐标为频率，每一个小长方形组距的面积表示样本个体落在该区间内的频率.（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.8.变量间的相关关系、统计案例（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积S与边长x之间的关系S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量（2）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，根据回归方程进行预报，得出的仅是一个预报值，而不是真实发生的值.十一、算法、复数、推理与证明1.算法（1）注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.（2）注意条件结构与循环结构的联系：循环结构具有重复性，条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.。

2018年高考数学人教A版一轮复习易错考点排查练二含解析精品

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易错考点排查练(二)三角函数、解三角形、平面向量、复数考点一三角函数1.已知α为第二象限角,sinα+cosα=错误！未找到引用源。

,则cos2α= ( )A.-错误！未找到引用源。

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【解析】选A.因为sinα+cosα=错误！未找到引用源。

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.2.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=错误！未找到引用源。

sin3x的图象( )A.向右平移错误！未找到引用源。

个单位B.向左平移错误！未找到引用源。

个单位C.向右平移错误！未找到引用源。

个单位D.向左平移错误！未找到引用源。

个单位【解析】选D.因为y=sin3x+cos3x=错误！未找到引用源。

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sin3x的图象向左平移错误！未找到引用源。

个单位即可.3.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=错误！未找到引用源。

”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B.由f(x)是奇函数,则φ=错误！未找到引用源。

+kπ(k ∈Z),所以φ=错误！未找到引用源。

2018年高考物理易错题集

2018年高考物理易错题集(总125页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第一章质点的运动错题集一、主要内容本章内容包括位移、路程、时间、时刻、平均速度、即时速度、线速度、角速度、加速度等基本概念，以及匀变速直线运动的规律、平抛运动的规律及圆周运动的规律。

在学习中要注意准确理解位移、速度、加速度等基本概念，特别应该理解位移与距离（路程）、速度与速率、时间与时刻、加速度与速度及速度变化量的不同。

二、基本方法本章中所涉及到的基本方法有：利用运动合成与分解的方法研究平抛运动的问题，这是将复杂的问题利用分解的方法将其划分为若干个简单问题的基本方法；利用物理量间的函数关系图像研究物体的运动规律的方法，这也是形象、直观的研究物理问题的一种基本方法。

这些具体方法中所包含的思想，在整个物理学研究问题中都是经常用到的。

因此，在学习过程中要特别加以体会。

三、错解分析在本章知识应用的过程中，初学者常犯的错误主要表现在：对要领理解不深刻，如加速度的大小与速度大小、速度变化量的大小，加速度的方向与速度的方向之间常混淆不清；对位移、速度、加速度这些矢量运算过程中正、负号的使用出现混乱：在未对物体运动（特别是物体做减速运动）过程进行准确分析的情况下，盲目地套公式进行运算等。

例1汽车以10 m/s的速度行使5分钟后突然刹车。

如刹车过程是做匀变速运动，加速度大小为5m/s2，则刹车后3秒钟内汽车所走的距离是多少？【错解】因为汽车刹车过程做匀减速直线运动，初速v0=10 m/s加速度【错解原因】出现以上错误有两个原因。

一是对刹车的物理过程不清楚。

当速度减为零时，车与地面无相对运动，滑动摩擦力变为零。

二是对位移公式的物理意义理解不深刻。

位移S对应时间t，这段时间内a必须存在，而当a不存在时，求出的位移则无意义。

由于第一点的不理解以致认为a永远地存在；由于第二点的不理解以致有思考a什么时候不存在。

2018年高考数学(人教A版)一轮复习易错考点排查练(一)Word版含解析

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易错考点排查练(一)集合与常用逻辑用语、函数与导数考点一集合1.如图所示,A,B 是两个非空集合,定义A-B=,则A-(A-B)是图中的 ( )A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ【解析】选B.因A-B=,所以A-(A-B)=, 而A-B 为图中的区域Ⅰ,故A-(A-B)应为图中的区域Ⅱ.2.已知集合A={a+2,(a+1)2,a 2+3a+3},B={(a+1)2,5},若A ∩B={1},则实数a 的值为 ( )A.0B.-1C.-2D.-2或0【解析】选 A.根据题意有(a+1)2=1,所以a=0或a=-2,当a=-2时,(a+1)2=a 2+3a+3,与元素的互异性相矛盾,因此a=0.3.已知集合A=,B=,若A∪B=A,求实数m的值. 【解析】由A∪B=A,得B⊆A,当x=-1时,得m=1,当x=2时,得m=-,故m的值为1或-,当B为空集时也符合题意,此时m=0.故m=0或m=1或m=-.答案:0或1或-考点二常用逻辑用语1.已知条件p:|x+1|>2,条件q:x>a,且p是q的充分不必要条件,则a 的取值范围是( )A.a≥1B.a≤1C.a≥-1D.a≤-3【解析】选A.因为p是q的充分不必要条件,所以q是p的充分不必要条件,即p是q的必要不充分条件.解不等式|x+1|>2,得x>1或x<-3,故a≥1.2.若命题p:方程(x+2)(x-1)=0的根是-2,命题q:方程(x+2)(x-1)=0的根是1,则命题“方程(x+2)(x-1)=0的根是-2或1”是(填“真”或“假”)命题.【解析】命题“方程(x+2)(x-1)=0的根是-2或1”中的“或”不是逻辑联结词,有“和”的意思.因此所判断命题应为真命题.答案:真3.命题p:“四边形是矩形”的p形式为.【解析】命题p省略了全称量词,这里的“四边形”指的是“所有的四边形”,而全称量词的否定应是存在量词,故命题p即为“所有的四边形是矩形”,其p应为:“有些四边形不是矩形”或“四边形不都是矩形”.答案:有些四边形不是矩形(或四边形不都是矩形)4.写出命题“满足条件C的点都在直线F上”的否定为.【解析】对于原命题可表示为“若A,则B”,其否命题是“若A,则B”,而则B”,即不需要否定命题的题设部分.所以其否其否定形式是“若A,定是:满足条件C的点不都在直线F上.答案:满足条件C的点不都在直线F上考点三函数1.若函数f(x)=x2-4x+1在定义域A上的值域为[-3,1],则区间A不可能为( ) A.[0,4] B.[2,4]C.[1,4]D.[-3,5]【解析】选D.注意到f(x)=x2-4x+1=(x-2)2-3,f(0)=f(4)=1,结合函数y=f(x)的图象不难得知f(x)在[0,4],[2,4],[1,4]上的值域都为[-3,1],而在[-3,5]上的值域不是[-3,1].2.函数y=的单调增区间是.【解析】y=的定义域是[-5,1],又g(x)=5-4x-x2在区间[-5,-2]上是增函数,在区间[-2,1]是减函数,所以y=的单调增区间是[-5,-2].答案:[-5,-2]3.已知mx2+x+1=0有且只有一根在区间(0,1)内,则m的取值范围是.【解析】设f(x)=mx2+x+1,(1)当m=0时方程的根为-1,不满足条件.(2)当m≠0时,因为mx2+x+1=0有且只有一根在区间(0,1)内,又f(0)=1>0,所以有两种可能情形①f(1)<0得m<-2,或者②f(1)=0得m=-2,此时由-2x2+x+1=0得x1=1,x2=-,此时x1,x2∉(0,1),故应舍去.综上可得,m<-2.答案:m<-24.已知函数f(x)=log a(3-ax).(1)当x∈[0,2]时f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1,如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)由题设知,3-ax>0,对一切x∈[0,2]恒成立,a>0,a≠1, 显然,函数g(x)=3-ax在[0,2]上为减函数,从而g(2)=3-2a>0得到a<,所以a的取值范围是(0,1)∪(2)假设存在这样的实数a,由题设知f(1)=1,即f(1)=log a(3-a)=1,所以a=,此时f(x)=log a当x=2时,f(x)没有意义,故这样的实数不存在.考点四导数1.经过曲线y=x3-2x 上的点(1,-1)的切线方程为. 【解析】设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为y′=3-2.所以切线方程为y-y0=(3-2)(x-x0),即y-(-2x0)=(3-2)(x-x0).又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0),整理,得(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=1,或x0=-.故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1),或y-=,即x-y-2=0,或5x+4y-1=0.答案:x-y-2=0,或5x+4y-1=02.函数f(x)=2x-lnx的单调增区间为,单调减区间为.【解析】函数的定义域为x>0,由题设知f′(x)=2-.由f′(x)>0,得x>;由f′(x)<0,得0<x<.所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.答案:3.已知f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数,则实数a的取值范围是.【解析】f′(x)=3ax2+6x-1.因为f(x)在R上是减函数,所以f′(x)≤0,即不等式3ax2+6x-1≤0在x∈R上恒成立,所以a<0且Δ=36+12a≤0,解得a≤-3.答案:a≤-34.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在R上有极值,求实数a的取值范围. 【解析】由题意知,3x2+2ax+(a+6)=0在R上有实数解,所以Δ≥0,即4a2-12(a+6)≥0⇒a≤-3或a≥6.当a=-3时,f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=3(x-1)2≥0,1不是极值点,f(x)在R上没有极值;当a=6时,f′(x)=3(x+2)2≥0,-2不是极值点,f(x)在R上也没有极值.所以a的取值范围是a<-3或a>6.5.设函数f(x)=ax-lnx,g(x)=e x-ax,其中a为正实数.(1)若x=0是函数g(x)的极值点,讨论函数f(x)的单调性.(2)若f(x)在(1,+∞)上无最小值,且g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,求a的取值范围;并由此判断曲线g(x)与曲线y=ax2-ax在(1,+∞)上交点的个数.【解析】(1)g′(x)=e x-a,由g′(0)=1-a=0得a=1.f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减.(2)由f′(x)=a-=,若0<a<1则f(x)在(1,+∞)上有最小值f(a),当a≥1时,f(x)在(1,+∞)上单调递增无最小值.因为g(x)在(1,+∞)上是单调增函数,所以g′(x)=e x-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤e,综上所述a的取值范围为[1,e].g(x)=ax2-ax,即a=,令h(x)=⇒h′(x)=.则h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,极小值为h(2)=>e,故两曲线没有公共点.关闭Word文档返回原板块。

2018届高考数学一轮复习错题笔记十一算法初步

笔记十一算法初步
易错点60条件结构对条件判断不准
典例60执行如图所示的程序框图,若输入x=2,则输出y的值为.
【错因分析】本题是一个计算分段函数值的程序框图.容易出错的地方有两个:一个是对判断条件和函数值的对应关系不清,如把x≤2时对应的函数解析式写成y=log2x;二是对变量x的分类错误,可能漏掉其端点值.
【正确解答】该程序框图是计算分段函数y=log2x(x>2),
x2-1(x≤2)
的值,把x=2代
入即可得到y=3.故填3.
易错点61对循环结构中执行次数判断不准
典例61如果执行下面的框图,输入N=5,则输出的S等于()
A.5
4B.4
5
C.6
5D.5
6
【错因分析】在判断执行次数时,多算一次或少算一次,这是最容易犯错的地方,所以做此类题时,判断执行次数时一定要细心.
【正确解答】根据框图可得S=1
1×2+1
2×3
+1
3×4
+1
4×5
+1
5×6
=1-1
2
+1
2
−1
3
+1
3
−
1 4+1
4
−1
5
+1
5
−1
6
=1-1
6
=5
6
.故选D.。

2018届高三数学一轮复习专项检测试题统计 Word版含答案

统计．下列说法错误的是( )．．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大．下列说法中，正确的是( )．．数据，，，，，的众数是．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方．数据，，，的标准差是数据，，，的标准差的一半．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数．某单位有老年人人，中年人人，青年人人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为的样本，最适合抽取样本的方法是( )．．简单随机抽样．系统抽样．分层抽样．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样．名工人某天生产同一零件，生产的件数是，，，，，，，，，．设其平均数为，中位数为，众数为，则有( )．．>> ．>> ．>> ．>>．从甲、乙两班分别任意抽出名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为，．，则( )．．甲班名学生的成绩比乙班名学生的成绩整齐．乙班名学生的成绩比甲班名学生的成绩整齐．甲、乙两班名学生的成绩一样整齐．不能比较甲、乙两班名学生成绩的整齐程度．下列说法正确的是( )．．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关．方差和标准差具有相同的单位．从总体中可以抽取不同的几个样本．如果容量相同的两个样本的方差满足<，那么推得总体也满足<是错的.已知三年级四班全班人身高的算术平均数与中位数都是，但后来发现其中有一位同学的身高登记错误，将写成，正确的平均数为，中位数为.关于平均数的叙述，下列正确的是【】.大于.小于.等于.无法确定. 在题中关于中位数的叙述，下列正确的是【】.大于.小于.等于.无法确定. 在频率分布直方图中，每个小长方形的面积表示【】.组数.频数.频率.. 在某餐厅内抽取人，其中有人在岁以下，人在至岁，人在至岁，人在岁以上，则数是到岁人员占总体分布的【】.概率.频率.累计频率.频数.某单位有老年人人，中年人人，青年人人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为的样本，适合的抽取样本的方法是【】.简单的随机抽样 .系统抽样.先从老年人中排除一人，再用分层抽样 .分层抽样.一个容量为的样本数据,分组后组距与频数如下:［］个,［］个,［］个,［］个,［］个,［］个,则样本在区间（－∞）上的频率为【】.一个公司共有名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为的样本．已知某部门有名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是。

2018届高考数学一轮复习错题笔记五数列

笔记五数列易错点26奇、偶项的变化规律归纳错误典例26数列{a n}中,a n+1+a n=3n-54(n∈N*).若a1=-20,求数列的通项公式.【错因分析】将n分为奇数和偶数进行讨论时,辨别不清其奇、偶项的变化规律导致推理运算错误.【正确解答】由a2+a1=3-54=-51,得a2=-31.又a n+1+a n=3n-54,a n+2+a n+1=3n-51,∴a n+2-a n=3.当n为奇数时,a n=3n-432;当n为偶数时,a n=3n-682,即a n=3n-432(n为奇数), 3n-682(n为偶数).易错点27a n与S n关系不清楚典例27已知数列{a n}的首项a1=3,通项a n与前n项和S n之间满足2a n=S n S n-1(n≥2).(1)求证1S n是等差数列,并求公差;(2)求数列{a n}的通项公式.【错因分析】第(1)问中,对数列的通项a n与前n项和S n的关系,即当n≥2时恒有a n=S n-S n-1理解不清导致出错;第(2)问中,由S n求a n的过程中,忽视了对n=1的分类讨论,导致最后只求出了对n≥2成立的结果.【正确解答】(1)∵2a n=S n S n-1(n≥2),∴2(S n-S n-1)=S n S n-1,两边同时除以S n S n-1,得21S n-1-1S n=1,∴1S n −1S n-1=-12,∴ 1S n 是等差数列,公差d=-12. (2)∵1S 1=1a 1=13, ∴1S n =13+(n-1)× -12 =-12n+56=5-3n 6,∴S n =65-3n .当n=1时,a 1=S 1=3,当n ≥2时,a n =12S n S n-1=12×65-3n ×68-3n =18(5-3n )(8-3n ), ∴a n = 3 (n =1),18(8-3n )(5-3n ) (n ≥2).易错点28 求最值时忽视n 的取值要求典例28 在等差数列{a n }中,a 1=25,S 9=S 16,求此数列的前多少项和最大.【错因分析】本题易出现以下两个错误:①解题不细心,在用等差数列前n 项和公式求解时,解得n=12.5,误认为n=12.5.②考虑不全面,在用等差数列性质求解得出a 13=0时,误认为只有S 13最大.数列的通项公式与前n 项和公式都是关于正整数n 的函数,要善于用函数的观点认识和理解数列问题.但是考生很容易忽视n 为正整数的特点,有时即使考虑了n 为正整数,但对于n 为何值时,能够取到最值的讨论中出错.在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定.【正确解答】∵S 9=S 16,a 1=25,设公差为d ,由求和公式可得:9×25+9×(9-1)2d=16×25+16×(16-1)2d , 解得d=-2512,∴S n =25n+n (n -1)2× -2512 =-2524n 2+62524n. ∴当n=12或n=13时,此数列前12项和与前13项和一样大.易错点29 用错位相减法求和时项数处理不当典例29 已知数列{a n }是公比为q 的等比数列,a 1=1,a n+2=a n +1+a n 2(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =na n ,求{b n }的前n 项和S n .【错因分析】用错位相减法求数列{b n}的前n项和时,易出现三个错误:①出现某些项的遗漏;②项数的计算错误;③两式相减时,等比数列前面的系数出错.【正确解答】(1)∵数列{a n}是公比为q的等比数列,a1=1,a n+2=a n+1+a n2(n∈N*),∴a3=a2+a12,∴a1q2=a1q+a12,∴2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12,∴a n=1或a n=-12n-1.(2)当a n=1时,b n=n,S n=1+2+…+n=n(n+1)2.当a n=-12n-1时,b n=na n=n·-12n-1,∴S n=-120+2·-12+3·-122+…+n·-12n-1,①-1 2S n=-12+2·-122+3·-123+…+n·-12n,②①-②,得32S n=-12+-12+-122+…+-12n-n·-12n=1--12n1--12-n·-12n,∴S n=49−49+2n3·-12n.易错点30数列的递推关系转换不当典例30已知函数f(x)=2xx+1,数列{a n}满足a1=23,a n+1=f(a n),b n=a n1-a n,n∈N*,则{b n}的通项公式为b n=.【错因分析】对递推式转换不当,在变换中方向不明确,导致思维混乱,致使其转换错误.【正确解答】∵函数f(x)=2xx+1,数列{a n}满足a1=23,a n+1=f(a n),∴a n+1=2a na n+1,∴1a n+1=121+1a n,∵b n=a n1-a n ,∴1b n=1a n-1,∴1b n+1=1a n+1-1=121a n-1=12·1b n,1b1=1a1-1=12,∴1b n 是首项为12,公比为12的等比数列,∴1b n=12n,∴b n=2n.。

2018届高考数学一轮复习错题笔记一集合与常用逻辑用语

笔记一集合与常用逻辑用语易错点1集合中元素的特征认识不明典例1已知集合M={x|y=-x2+3x},N={x||x|>2},则M∩N=()A.{x|x>2}B.{x|x<-2}C.{x|2<x<3}D.{x|2<x≤3}【错因分析】容易把集合M看成函数的值域,得到M=[0,+∞),从而出现求解错误.【正确解答】集合M是函数y=-x2+3x的定义域,即x满足-x2+3x≥0,解得0≤x≤3,即M=[0,3];集合N是不等式|x|>2的解集,即N=(-∞,-2)∪(2,+∞),所以M∩N=(2,3].故选D.易错点2遗忘空集典例2设A={x|-1≤x≤1},B={x|a-1≤x≤2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是()A.a≤1B.a<1C.0≤a≤1D.0<a<1【错因分析】本题在解决B⊆A的问题时,一定要分B=⌀和B≠⌀两种情况进行讨论.【正确解答】当B=⌀时,a-1>2a-1⇒a<0,符合题意;当B≠⌀时,a-1≤2a-1,a-1≥-1,2a-1≤1.解得0≤a≤1.综上,当a≤1时,B⊆A.故选A.易错点3忽视不等式解集的端点值典例3设U=R,A={x|x≥1},B={x|1<x<2},则A∩∁U B=()A.[1,2)B.{1}∪[2,+∞)C.(1,2)D.[2,+∞)【错因分析】进行集合的交集运算时,遗漏了“1”这个端点值.【正确解答】∵B={x|1<x<2},∴∁U B=(-∞,1]∪[2,+∞).又A={x|x≥1},∴A∩∁U B={1}∪[2,+∞).故选B.易错点4充分、必要条件顺序颠倒典例4已知a,b是实数,则“a>1,b>1”是“a+b>2且ab>1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【错因分析】p是q的充分条件表示为p⇒q,p是q的必要条件表示为q⇒p.解题时最容易出错的问题就是颠倒了充分性与必要性的顺序,所以在解决这类问题时,一定要根据充分、必要条件的概念作出准确的判断.【正确解答】由不等式的性质知,当a>1,b>1时,有a+b>2且ab>1成立;反过来,令a=1,b=6,则a+b>2且ab>1,但“a>1,b>1”不成立.故“a>1,b>1”是“a+b>2且2ab>1”的充分不必要条件.易错点5“或”“且”“非”理解不准确典例5设原命题:“已知a,b,c,d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,则它的逆否命题是()A.已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b且c≠dB.已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠dC.若a+c≠b+d,则a,b,c,d不是实数,且a≠b,c≠dD.以上全不对【错因分析】没有分清“且”的否定是“或”,“或”的否定是“且”.【正确解答】逆否命题是“已知a,b,c,d是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d”.故选B.易错点6对含有量词的命题的否定不当典例6命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是()A.不存在x0∈R,x03−x02+1≤0B.存在x0∈R,x03−x02+1≤0C.存在x0∈R,x03−x02+1>0D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0【错因分析】对全称命题的否定,在否定结论时,容易忽视否定全称量词.特别要注意的是,由于有的命题的全称量词往往可以省略不写,从而在进行命题否定时易将全称命题只否定结论,而不否定被省略的全称量词.【正确解答】对命题进行否定时,“任意”换成“存在”,“≤”换成“>0”即可.故选C.。

2018年高考数学(人教A版)一轮复习易错考点排查练(六)Word版含解析

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易错考点排查练(六)算法、统计与概率考点一算法1.图中,x 1,x 2,x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分,p 为该题的最终得分,当x 1=6,x 2=9,p=8.5时,x 3等于 ( )A.11B.10C.8D.7【解析】选C.x 1=6,x 2=9,|x 1-x 2|=3≤2不成立,即为“否”,所以再输入x 3;由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3-x1|<|x3-x2|知, 点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离,所以当x3<7.5时,|x3-x1|<|x3-x2|成立,即为“是”,此时x2=x3,所以p=,即=8.5,解得x3=11>7.5,不合题意;当x3≥7.5时,|x3-x1|<|x3-x2|不成立,即为“否”,此时x1=x3,所以p=,即=8.5,解得x3=8>7.5,符合题意.2.若框图所给的程序运行结果为S=20,那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A.k<8?B.k≤8?C.k≥8?D.k>8?【解析】选D.k=10,S=1,执行,得S=11,k=9,不合题意,需继续执行,得S=20,k=8,此时符合题意,需终止程序运行,故应填k>8?.3.阅读如图所示的程序框图,若运行该程序后输出的y值为,则输入的实数x值为.【解析】由程序框图可得,该程序为一分段函数y=所以或解得x=.答案:4.阅读如图所示的程序框图,则输出的S= .【解析】第一次循环:T=3×1-1=2,S=0+2=2,i=2;此时不满足i>5. 第二次循环:T=3×2-1=5,S=2+5=7,i=3;此时不满足i>5.第三次循环:T=3×3-1=8,S=2+5+8=15,i=4;此时不满足i>5.第四次循环:T=3×4-1=11,S=2+5+8+11=26,i=5;此时不满足i>5.第五次循环:T=3×5-1=14,S=2+5+8+11+14=40,i=6;此时,i>5,满足退出条件,故输出S=40.答案:40考点二统计、统计案例1.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有30名,高二年级有40名,现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了6名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A.6B.8C.10D.12【解析】选B.设在高二年级的学生中应抽取的人数为x人,则=,解得x=8,故选B.2.在演讲比赛决赛中,七位评委给甲、乙两位选手打分的茎叶图如图所示,但其中在△处数据丢失.按照规定,甲、乙各去掉一个最高分和一个最低分,用x和y分别表示甲、乙两位选手获得的平均分,则( )A.x>yB.x<yC.x=yD.x≤y【解析】选B.设图中甲丢失的数据为a,则x=80+,y=80+,因为0≤a≤9,所以x=80+≤80+<y.3.某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表:根据上表可得回归方程=x+中的为7.据此模型预测广告费用为10万元时销售额为万元.【解析】由题表可知,=4.5,=35,代入回归方程=7x+,得=3.5,所以回归方程为=7x+3.5,所以当x=10时,=7×10+3.5=73.5.答案:73.54.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:(1)用茎叶图表示这两组数据.(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.【解析】(1)作出茎叶图如图:(2)派甲参赛比较合适,理由如下:=(70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85,=(70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85,=[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(95-85)2]=35.5,=[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41,因为=,<,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.注:本小题的结论及理由均不唯一,如果考生能从统计学的角度分析,给出其他合理回答,同样给分,如:从统计的角度看,甲获得85分以上(含85分)的概率P1=,乙获得85分以上(含85分)的概率为P2==. 因为P2>P1,所以派乙参赛比较合适.考点三概率1.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于 ( )A. B. C. D.【解析】选D.设正六边形为ABCDEF,从6个顶点中随机选择4个顶点,可以看作随机选取2个顶点,剩下的4个顶点构成四边形,有AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF 共15种. 若要构成矩形,只要选相对顶点即可,有AD,BE,CF,共3种,故其概率为=.2.将一根长为3m 的木棒随机折成三段,折成的这三段木棒能够围成三角形的概率是 ( )A.B. C. D.【解析】选 C.设这三段木棒的长分别为x,y,3-x-y,则若能构成三角形,则还应满足则作出以上不等式组表示的区域,由几何概型的概率公式得P=.3.记a,b分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的概率为( )A. B. C. D.【解析】选B.由题意知投掷两次骰子所得的数字分别为a,b,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),…,(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有36个.而方程x2-ax+2b=0有两个不同实根的条件是a2-8b>0,满足此条件的基本事件有:(3,1),(4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),共有9个,故所求概率为=.4.某校为调查学生喜欢统计课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的55名学生,得到数据如下表:(1)判断是否有99.5%的把握(在犯错误的概率不超过0.005的前提下)认为喜欢统计课程与性别有关?(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选2人,求恰有1个男生和1个女生的概率.临界值参考:(参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d)【解析】(1)K2=≈11.978>7.879,所以有99.5%的把握(在犯错误的概率不超过0.005的前提下)认为喜欢统计课程与性别有关.(2)设所抽样本中有m个男生,则=,得m=4,所以样本中有4个男生,2个女生,分别记作B1,B2,B3,B4,G1,G2.从中任选2人的基本事件有(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B3),(B2,B4),(B2,G1),(B2,G2),(B3,B4),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),(G1,G2),共15个,其中恰有1名男生和1名女生的事件有(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(B3,G1),(B3,G2),(B4,G1),(B4,G2),共8个,所以恰有1名男生和1名女生的概率为P=.关闭Word文档返回原板块。

最新2018年高考理科数学一轮复习测试题及答案系列三

最新2018年高考理科数学一轮复习测试题及答案系列三第十章计数原理、概率、随机变量及其分布一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2015·郑州模拟)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种解：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2种选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6种选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．故选A .2．从1，2，3，4这四个数中依次取(不放回)两个数a ，b ，则方程bx 2＋ax ＋1＝0有实根的概率为( )A .13B .512C .12D .15解：由题意知a ，b 满足a 2－4b ≥0，即a 2≥4b .当a ＝2时，b ＝1；当a ＝3时，b ＝1，2；当a ＝4时，b ＝1，2，3，所以共有6种情况，所以P ＝ 64×3＝12.故选C . 3．(2015·湖南)已知⎝⎛⎭⎫x －a x 5的展开式中含x 32的项的系数为30，则a ＝( )A . 3B ．－ 3C ．6D ．－6解：展开式的通项T r ＋1＝C r 5(x )5－r·⎝⎛⎭⎫－ax r＝(－a )r·C r5522r rx --，展开式中含x 32的项的系数为30，所以5－2r 2＝32，所以r ＝1，并且(－a )1·C 15＝30，所以a ＝－6.故选D .4．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A .15B .25C .35D .45解：记其中被污损数字为x ，则甲的五次综合测评的平均成绩是15(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是15(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝15(442＋x )．令90>15(442＋x )，由此解得x <8，即x 取0，1，2，…，7时符合要求，因此所求概率为810＝45.故选D .5．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．若η＝ aξ－2，E (η)＝1，则a 的值为( )A ．2B ．－2C ．1.5D ．3解：由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4， ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×320＋4×15＝32，因为η＝aξ－2，E (η)＝1，所以aE (ξ)－2＝1，所以32a －2＝1，解得a ＝2.故选A .6．(2015·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解：已知μ＝0，σ＝3，所以P (3＜ξ＜6)＝12[P (－6＜ξ＜6)－P (－3＜ξ＜3)]＝12(95.44%－68.26%)＝12×27.18%＝13.59%.故选B . 7．在正三棱锥S ABC 内任取一点P ，使得V P ABC ＜12V S ABC 的概率是( )A .78B .34C .12D .14解：如图，D ，E ，F 为中点，则P 在棱台DEF ABC 内，而S △DEF ＝14S △ABC ，所以V S DEF ＝18V S ABC .所以所求概率P ＝V DEF ABC V S ABC ＝78.故选A .8．设(x 2＋1)(x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11＝( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：令x ＋2＝0，则x ＝－2，(x 2＋1)(x ＋1)9＝－5＝a 0；令x ＋2＝1，则x ＝－1，(x 2＋1)(x ＋1)9＝0＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11，所以a 1＋a 2＋…＋a 11＝－a 0＝5.故选A .9．(2016·沧州模拟)如图，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任意一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A .1πB .2πC .π4D .3π解：由定积分可求得阴影部分的面积为 ⎠⎛0πsin xdx ＝－cos x |π0＝2，矩形OABC 的面积为2π，根据几何概型概率公式得所投的点落在阴影部分的概率为22π＝1π.故选A .10．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是( )A ．0.216B ．0.36C ．0.6D ．0.648解：由题意知，甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时P 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时P 2＝C 12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率P ＝P 1＋P 2＝0.648.故选D . 11．一袋中有红、黄、蓝三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为( )A .581B .1481C .2281D .2581解：前4次只取到2种颜色球，数量可能为1种1次，另1种3次，或2种均2次，最后一球有C 13种选择，故所求概率为P ＝C 13（2C 14＋C 24）35＝1481，故选B .12．一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子，苹果和香蕉各两个，将这六个水果随机放入这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果种类各不相同的概率是( )A .215B .29C .15D .13解：依题意先排第一列有A 33种放法，排第二列有两种放法，而六个水果随机放入六个格子里共有A 6623种放法，故所求概率P ＝23×2A 33A 66＝215.故选A .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数，这个数是恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的概率为____________．解：用1，2，3，4这四个数字组成无重复数字的四位数有A 44＝24(个)，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数有2A 22·A 22＝8(个)．所以所求概率为P ＝824＝13.故填13.14．二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 15的展开式中系数最大的项是第________项．解：二项展开式的通项 T r ＋1＝C r 15x15－r·(－1)r ·x －r ＝C r 15(－1)rx15－2r，对于二项式系数C r 15，中间的两项C 715，C 815相等，且同时取得最大值，又因为(－1)7<(－1)8，所以展开式中系数最大的项是第9项．故填9.15．(2016·南昌模拟)已知二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0所表示的平面区域为M ，若在区间(0，14)内任意取一个数a ，则函数y ＝a x 的图象过区域M 的概率为____________．解：二元一次不等式组所表示的平面区域M 如图中阴影部分所示，且左、右两端点的坐标分别为P (1，9)，Q (3，8)．当a ＝1时，函数y ＝a x 变为y ＝1，不过区域M ；当a ≠1时，由函数y ＝a x 的图象经过区域M 知2≤ a ≤9.所以a 的取值范围是[2，9]，故所求的概率为9－214－0＝12.故填12. 16．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4a 5，其中A 的各位数中，a 1＝1，a k (k ＝2，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E (ξ)＝____________(结果用最简分数表示)．解：令η＝ξ－1，则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23，所以 E (η)＝E (ξ－1)＝4×23，即E (ξ)－1＝83，E (ξ)＝113.故填113.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)安排5名歌手的演出顺序时． (1)要求某名歌手不第一个出场，有多少种不同的排法？(2)要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，有多少种不同的排法？解：(1)C 14A 44＝96种．(2)解法一：A 55－2A 44＋A 33＝78种．解法二：分两步完成任务：第一步：先排两名特殊歌手有4＋3＋3＋3＝13方案中选择一种，已知q ＝38，那么甲集团选择哪种投资方案，才能使得一年后盈利金额的数学期望较大？给出结果并说明理由．解：(1)因为投资文化地产后，投资结果只有“盈利50%”“不赔不赚”“亏损35%”三种，且三种投资结果相互独立，所以p ＋18＋q ＝1，又p ＝1124，所以q ＝512.(2)记事件A 为“甲集团选择投资新能源汽车且盈利”，事件B 为“乙集团选择投资文化地产且盈利”，事件C 为“一年后两集团中至少有一个集团盈利”，则C ＝(AB )∪(AB )∪(AB )，且A ，B 相互独立．由图表可知，P (A )＝12，P (B )＝p ，所以P (C )＝P (AB )＋P (AB )＋P (AB ) ＝12×(1－p )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×p ＋12×p ＝12＋12p . 因为P (C )＝12＋12p >34，所以p >12.又p ＋18＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤78.所以12<p ≤78.所以p 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，78. (3)假设甲集团选择投资新能源汽车，记X 为甲集团投资新能源汽车的盈利金额(单位：亿元)，则X 的所有可能取值为4，0，－2，所以随机变量XE (X )＝4×2＋0×6＋(－2)×3＝3.假设甲集团选择投资文化地产，记Y 为甲集团投资文化地产的盈利金额(单位：亿元)，则Y 的所有可能取值为5，0，－3.5，因为q ＝38，所以p ＝1－18－q ＝12.E (Y )＝5×2＋0×8＋(－3.5)×8＝16.因为43>1916，所以E (X )>E (Y )．故甲集团选择投资新能源汽车，才能使得一年后盈利金额的数学期望较大．21．(12分)(2016·郑州质检)某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级对每个题目背诵正确的概率为23，背诵错误的概率为13，现记“该班级完成n 首背诵后总得分为S n ”．(1)求S 6＝20且S i ≥0(i ＝1，2，3)的概率； (2)记ξ＝|S 5|，求ξ的分布列及数学期望．解：(1)S 6＝20，即背诵6首后，正确的个数为4，错误的个数为2，又因为S i ≥0(i ＝1，2，3)，所以背诵正确与否的可能顺序为：①第一首和第二首背诵正确，其余4首可任意背诵正确2首；②第一首背诵正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵正确2首．故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋23×13×23×C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×13＝1681. (2)ξ＝|S 5|的可能取值为10，30，50，则P (ξ＝10)＝C 35×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋C 25×⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝4081， P (ξ＝30)＝C 45×⎝ ⎛⎭⎪⎫234×13＋C 15×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝1027，P (ξ＝50)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫235＋⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1181，所以ξ的数学期望E (ξ)＝10×81＋30×1027＋50×1181＝1 85081.22．(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解：(1)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． (Ⅰ)安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.(Ⅱ)安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8. 所以×0.8＝ 8 840.(Ⅲ)安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P(X >120)＝p 3＝0.1. ＋ 15 000×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．第十一章统计一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( )A．①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样B．①简单随机抽样；②分层抽样；③系统抽样C．①系统抽样；②简单随机抽样；③分层抽样D．①分层抽样；②系统抽样；③简单随机抽样解：由各抽样方法的适用范围可知较为合理的抽样方法是：①用简单随机抽样，②用系统抽样，③用分层抽样．故选A.2．某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年AC．180 D．300解：设样本中的老年教师人数为x，则3201 600＝x900，解得x＝180.故选C.3．某市2016年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是( )A．19 B．20 C．21.5 D．23解：根据茎叶图易求得这组数据的中位数是20.故选B.4．在检验某产品直径尺寸的过程中，将尺寸数据分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m，该组在频率分布直方图上的高为h，则|a－b|＝( )A.mh B.hmC．mh D．与h，m无关解：根据频率分布直方图的概念可知，|a－b|×h＝m，由此可知|a－b|＝mh.故选A.5．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y ＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A．－1 B．0 C.12D．1解：因为所有点都分布在一条直线上，说明相关性很强，且正相关系数达到最大值，即为1.故选D.6．(2016·成都第二次诊断)某校高三(1)班在某次单元测试中，每位同学的考试分数都在区间[100，128]内，将该班所有同学的考试分数分为七个组：[100，104)，[104，108)，[108，112)，[112，116)，[116，120)，[120，124)，[124，128]，绘制出频率分布直方图如图所示，已知分数低于112分的有18人，则分数不低于120分的人数为( )A．10 B．12 C．20 D．40解：分数低于112分的人对应的频率/组距为0.09，分数不低于120分的人对应的频率/组距为0.05，故其人数为180.09×0.05＝10(人)．故选A.7．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位附：K2＝A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”C．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别有关”D．有99%以上的把握认为“需要志愿者提供帮助与性别无关”解：由于K2＝500×（40×270－160×30）2 200×300×70×430≈9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．故选C.8．(2016·离石区一模)为了确定加工零件所花费的时间，进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知x＝20，由最小二乘法求得回归直线方程y^＝0.6x＋48，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝( ) A．60 B．120 C．150 D．300解：将x＝20代入回归直线方程得y＝0.6×20＋48＝60.所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝5y＝300.故选D.9．(2013·湖北)四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是() A．①②B．②③C．③④D．①④解：当y与x正相关时，应满足斜率大于0；当y与x负相关时，应满足斜率小于0，故①④一定不正确．故选D.10．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( ) A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解：样本数据每个都加2后所得数据的波动情况并没有发生改变，所以标准差不变．故选D.11．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解：由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为s 21＝15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，s 22＝15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋ (6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 正确；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C .假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′ 解：由题意得n ＝6，x ＝1＋2＋3＋4＋5＋66＝72，y ＝0＋2＋1＋3＋3＋46＝136，b ^＝∑∑==--ni i ni i i x n xyx n y x 1221＝58－45.591－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13.∵直线y ＝b ′x ＋a ′过两点(1，0)和(2，2)，∴b ′＝2－02－1＝2，把点(1，0)代入y ＝2x ＋a ′得a ′＝－2.通过比较可得b^a ′.故选C .二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2016·桂林期末)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学已(K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得K 2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为__________．解：因为根据表中数据得到K 2≈4.844>3.841，所以认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%.故填5%. 14．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品总数为 4 800×38＝1 800件．故填1 800.15．已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出的职工号码为____________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：kg )，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本方差为____________．解：(1)由分组可知，抽号的间隔为8，又第1组抽出的号码为2，所以所有被抽出的职工号码为2，10，18，26，34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69，则该样本的方差s 2＝15[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.故填2，10，18，26，34；62.16．(2015·江苏模拟)某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3 000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生人数是____________．解：由频率分布直方图知，随机抽取的200名学生中成绩小于60分的学生人数是(0.002＋0.006＋0.012)×10×200＝40，设这3 000名学生中该次数学成绩小于60分的学生人数为x，则40x ＝2003 000，解得x＝600.故填600.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：(1)[79.5，89.5)这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)．解：(1)频率为：0.025×10＝0.25，频数：60×0.25＝15.(2)因为0.015×10＋0.025×10＋0.03×10＋0.005×10＝0.75，所以估计这次环保知识竞赛的及格率为0.75.18．(12分)(2016·江西校级月考)为了促进人口的均衡发展，我国从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开两孩政策．为了解适龄国民对放开生育二胎政策的态度，某部门选取70后和80后年龄段的人作为调查对象，进行了问卷调查，其中，持“支持生二胎”“不支持生二胎”和“保留意抽取n个人，其中持“支持”态度的共36人，求n 的值；(2)在持“不支持”态度的人中，仍用分层抽样的方法抽取5人，并将其看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1个80后的概率．解：(1)所有参与调查的人数为780＋120＋420＋180＋200＋300＝2 000，由分层抽样知n＝36900×2 000＝80.(2)由分层抽样知抽取的5人中有2个80后，3个70后．从这5人中任取2人有C25＝10种情形，其中至少有1个80后的有C12C13＋C22＝7种，故所求概率为P＝710.19．(12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i(单位：千元)的数据资料，算得∑=101iix=80，∑=101iiy=20，∑=101iiiyx=184，∑=1012iix＝720.(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y＝bx＋a中，b ＝∑∑==--n i i ni i i x n x yx n y x 1221，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b ^x ＋a ^.解：(1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8， y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又∑=ni i x 12－2x n ＝720－10×82=80，∑=ni i i y x 1－y x n =184－10×8×2＝24，由此得b ＝2480＝0.3，a ＝y －bx ＝2－0.3×8＝－0.4，故所求回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．20．(12分)(2016·成都校级模拟)记者对某城市的工薪阶层关于“义务献血”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图)，同时得到了他们的月收入情况与“义务献血”赞成人数统计表(如表)：入的中位数和平均数； (2)若从月收入(单位：百元)在[65，75)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，求被选取的2人都不赞成的概率．解：(1)设中位数为x ，由直方图知：10×0.015＋10×0.015＋(x －35)×0.025＝0.5，解得x ＝43(百元)；平均数为(20×0.015＋30×0.015＋40× 0.025＋50×0.02＋60×0.015＋70×0.01)×10＝43.5(百元)．(2)月收入(单位：百元)在[65，75)的人数为60×10×0.01＝6(人)，由表格知赞成的人数为2人，则不赞成的人数为4人，从这6人中任选2人有C 26＝15种选法，被选取的2人都不赞成有C 24＝6种选法，故所求概率为P ＝615＝25.21．(12分)(2016·银川校级一模)某校高二文科一班主任为了解同学们对某时政要闻的关注情况，在该班进行了一次调查，发现在全班50名同学中，对此事关注的同学有30名，该班在本学期期末考试中政治成绩(满分100分)的茎叶图如图所示．(1)求“对此事不关注者”的政治期末考试成绩的中位数与平均数；(2)若成绩不低于60分记为“及格”，从“对此事不关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P 1，从“对此事关注者”中随机抽取1人，该同学及格的概率为P 2，求P 2－P 1的值；(3)若成绩不低于80分记为“优秀”，请以是否优秀为分类变量．①补充下面的2×2列联表：注”与政治期末成绩是否优秀有关系？n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)“对此事不关注者”的20名同学，成绩从低到高依次为：42，46，50，52，53，56，61，61，63，64，66，66，72，72，76，82，82，86，90，94，中位数为64＋662＝65，平均数为120(42＋46＋50＋52＋53＋56＋61＋61＋63＋64＋66＋66＋72＋72＋76＋82＋82＋86＋90＋94)＝66.7.(2)由条件可得P 1＝20－620＝710，P 2＝30－530＝56，所以P 2－P 1＝56－710＝215.(3)①补充的2×2列联表如下：②由2×2列联表可得K2＝50×（12×15－18×5）230×20×17×33＝225187≈1.203 2<2.706，所以，没有90%以上的把握认为“对此事是否关注”与政治期末成绩是否优秀有关系．22．(12分)(2016·湖北七校联盟高三2月联考)心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 (男30人，女20人), 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？(2)经过多次测试后，女生甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，女生乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率；(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X的分布列及数学期望E (X )．K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.解：(1)由表中数据得K 2的观测值k ＝50×（22×12－8×8）230×20×30×20＝509≈5.556>5.024，所以能根据已知判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x ，y 分钟，则基本事件满足的区域为不等式组⎩⎨⎧5≤x ≤7，6≤y ≤8表示的平面区域(如图所示)．设事件A 为“乙比甲先解答完此道题”，则满足的区域为x >y (图中阴影部分所示)．所以由几何概型P (A )＝12×1×12×2＝18，即乙比甲先解答完的概率为18.(3)在选择做几何题的8名女生中任意抽取2人，抽取方法有C 28＝28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C 26＝15种；恰有一人被抽到有C 12C 16＝12种；两人都被抽到有C 22＝1种，所以X 可能的取值为0，1，2，且P (X ＝0)＝1528，P (X ＝1)＝1228＝37，P (X ＝2)＝128.X 的分布列为所以E (X )＝0×28＋1×7＋2×28＝2.第十二章算法初步、推理与证明一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2015·开封市月考)算法有三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构，在下列说法中正确的是( )A．一个算法中只能含有一种逻辑结构B．一个算法中可以含有以上三种逻辑结构C．一个算法中必须含有以上三种逻辑结构D．一个算法中最多可以含有以上两种逻辑结构解：算法中的逻辑结构可以是一种或多种，故选B.2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a＝1b＝3a＝a＋bb＝a－bPRINT a，bA．1，3 B．4，1C．0，0 D．6，0解：把1赋给变量a，把3赋给变量b，由语句“a＝a＋b”得a＝4，即把4赋给变量a，由语句“b＝a－b”得b＝1，即把1赋给变量b，输出a，b，即输出4，1.故选B.3．(2015·武汉华师一附中期中考试)用反证法证明命题“若sinθ1－cos2θ＋cosθ1－sin2θ＝1，则sinθ≥0且cosθ≥0”时，下列假设的结论正确的是( )A．sinθ≥0或cosθ≥0B．sinθ<0且cosθ<0C．sinθ<0或cosθ<0D．sinθ>0且cosθ>0解：用反证法证明，只需要否定命题的结论，即sinθ<0或cosθ<0.故选C.4．(2015·广东清远一中期中)观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1，9×1＋2＝11，9×2＋3＝21，9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为( )A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10解：结合前4个式子的共同特点可知第n个式子为9(n－1)＋n＝10n－9，故选B.5．(2016·北京)执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为( )A．1 B．2 C．3 D．4解：输入a＝1，则b＝1，第一次循环，a＝－12，k＝1；第二次循环，a＝－2，k＝2；第三次循环，a＝1，此时a＝b，结束循环，输出k＝2.故选B.6．(2014·陕西五校联考)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：若四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体PABC的体积为V，内切球的半径为R，则R＝( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解：设四面体PABC的内切球球心为O，那么V＝V OABC＋V OP AB＋V OP AC＋V OPBC，即V＝13 S1R＋13S2R＋13S3R＋13S4R，可得R＝3VS1＋S2＋S3＋S4，故选C.7．阅读下列程序，输出结果为2的是()解：运行各选项程序，易知A 选项的输出结果为2.故选A .8．(2016·柳州模拟)阅读如图所示程序框图，如果输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12内，那么输入实数x 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．(－∞，－1]C ．[－1，2]D ．[2，＋∞)解：该框图的作用是计算分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈[－2，2]，2，x ∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）的值．其输出的函数值在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，则有14≤2x ≤12，得－2≤x ≤－1.故选A .9．观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2401，…，则72 016的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解：75＝16 807，76＝117 649，又71＝07，观察可见7n (n ∈N *)的末两位数字呈周期出现，且周期为4，因为2 016＝504×4，所以72 016与74末两位数字相同，故选A .10．(2016·长沙模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是( )A .22 B ．－1 C ．0 D ．－1－22解：在数列{a n }中，a n ＝cos n π4，a 1＝22，a 2＝0，a 3＝－22，a 4＝－1，a 5＝－22，a 6＝0，a 7＝22，a 8＝1，a 9＝22，…，该数列是以8为周期的周期数列，则其前8项和等于0，结合题中的程序框图得知，最后输出的值等于数列{a n }的前2 017项的和，而2 017＝8×252＋1，因此前2 017项的和为252×0＋22＝22.故选A . 11．(2015·吉林市期中考试)如图，第n 个图形由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则在第n 个图形中顶点的个数为( )A．(n＋1)(n＋2) B．(n＋2)(n＋3)C．n2D．n解：第1个图形由三角形“扩展”而来，共3×4＝12个顶点；第2个图形由正方形“扩展”而来，共4×5＝20个顶点；第3个图形由正五边形“扩展”而来，共5×6＝30个顶点；第4个图形由正六边形“扩展”而来，共6×7＝42个顶点；…；第n个图形由正n＋2边形“扩展”而来，共(n＋2)(n＋3)个顶点．故选B.12．(2016·北京)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多解：若乙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个均是红球；若乙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且红球放入甲盒；若丙盒中放入的是红球，则须保证抽到的两个球是一红一黑，且黑球放入甲盒；若丙盒中放入的是黑球，则须保证抽到的两个球都是黑球．由于抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数应是相等的，故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2015·山东)执行下边的程序框图，输出的T的值为____________．解：初始条件n＝1，T＝1，运行第一次：T＝1＋⎠⎛1xdx＝1＋12＝32，n＝2；运行第二次：T＝32＋⎠⎛1x2dx＝32＋13＝116，n＝3，n<3不成立，输出T的值为116.故填116.14．(2016·厦门模拟)已知等差数列{a n}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{b n}中，会有类似的结论：________________________．解：由等比数列的性质可知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，所以10b11b12…b20＝30b1b2…b30.故填10b11b12 (20)30b1b2 (30)。

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第一轮复习错题集锦必修11、以下列细胞为例來描述生命系统的结构层次，哪项的层次最多？A.蓝藻B.变形虫C.蚯蚓肌肉细胞D.含羞草叶肉细胞注释：2、关于生物体内水和无机盐的叙述，正确的是A.体内参与运输营养物质和代谢废物的水是自由水B.某些无机盐是组成ATP、RNA和纤维素的必需成分C.生物体内无机盐浓度的大小会影响细胞的吸水和失水D.自由水和结合水的比例与生物个体代谢的强弱有关注释：3、分析一条多肽链E和一条多肽链F得到以下结果（单位：个）元素或基团C II0N氨基竣基多肽链E201348625332多肽链F182294555461推测组成两条多肽链的氨基酸数最可能是选项A B C D多肽链E199535051多肽链F181544849注释：4、下列属于细胞质基质、叶绿体基质和线粒体基质的共性的是A.都含有DNAB.都含有蛋白质C.都含有RNAD.都能产生ATP注释：5、用水洗涤菜叶类蔬菜时，水的颜色无明显变化。

若进行加热，随着水温的升高，水的颜色逐渐变绿, 其原因是A.加热使细胞壁失去选择透过性B.加热使原生质层失去选择透过性C.加热使细胞膜和叶绿体膜失去选择透过性D.加热使细胞膜和液泡膜失去选择透过性注释：6、下图屮正确表示水稻呼吸强度与L吸收量关系的是注释: ”吸收S呼吸作用强度呼吸作用强度呼吸作用强度ABC呼吸作用强度D7、某同学在观察植物细胞质壁分离和复原的实验小，绘制的图如右图所示图示的叙述正确的是A.该图所示细胞处于质壁分离状态B.原生质层是指2C.此时4内液体浓度大于细胞外界溶液的浓度D.若将该图所示细胞放于清水屮，可能会发生质壁分离复原,针对与3之间的细胞质8、在水池中生活的丽藻，其细胞里的K 一浓度比池水里的浓度高1065倍。

据此判断下列哪项正确 A. 随着池水中富营养化程度的提高，K+进入丽藻加快 B. 池水中好氧细菌大量繁殖时，K+难以进入丽藻 C. 池水中厌氧细菌大量繁殖时，K+难以进入丽藻 D.池水中鱼虾较多时，K 十难以进入丽藻注释：9、右图表示某反应物剩余量随pH 及温度的变化情况，正确的是 A. 在一定范围内，随着pll 的升高，酶的活性先降低后升高 B. 酶的最适pH 是一定的，不随温度升高而升高 C. 该酶的最适温度是37°CD. 随着温度的升高，酶的活性逐渐降低注释：注释：13、在夏季中午光照最强的时候，绿色植物的光合作用强度反而略有下降。

直接原因是A. 过强的光照导致气孔关闭，光合作用缺少CO2B.过高温度导致酶变性，光合作用缺少酶催化C.高温导致呼吸作用加强，有机物消耗增大 D.高温导致蒸腾作用太强，光合作用缺少水分注释：14、为证实叶绿体有放氧功能，可利用含有水绵与好氧细菌的临时装片进行实验，装片需要给予一定的条件，这些条件是A.光照、有空气、临时装片屮无NaHC03稀溶液 B.光照、无空气、临时装片中有NaHC6稀溶液C.黑暗、有空气、临时装片中无NaHCO ；i 稀溶液D.黑暗、无空气、临时装片中有NaHCO ；｛稀溶液注释：15、下图曲线I 表示黄豆光合作用速率与光照强度的关系（适宜温度、CO?浓度为0.03%）。

在卩点时改变某条件，曲线变为II 。

下列分析合理的是 A. 与卩点相比，才点叶绿体中的G 含量较高 B. 在厂点时，升高温度导致曲线由I 变为IIC. 制约X 点光合作用的因素主耍是叶绿体中色素的含量10、在物质的量相等的悄况下, 下列哪种物质在细胞代谢过程中释放的能量最少 A. 葡萄糖分解成乳酸 B.葡萄糖分解成CO2和H 2OC.丙酮酸彻底氧化分解D. ATP 水解成ADP 和Pi注释：11、现有一瓶酵母菌和葡萄糖的混合液，通入不同浓度的氧气，产生的酒精和二氧化碳如右图所示。

则在氧气浓度为a 时 A. 酵母菌只进行无氧呼吸不进行有氧呼吸 B. 用于无氧呼吸的葡萄糖的比例是1/3 C. 酵母菌有氧呼吸消耗9 mol 氧气 D. 有氧呼吸与无氧呼吸释放能量的比例是1 ： 19 12、用+来标记比0追踪光合作用中氢的转移，最可能的途径是 A. H 20-> [H] ->C(S H I 2O 6B. H 20-> [H] -G,化合物G 化合物GH ：206 c. H 20- [H ] 化合物->C«H12O 6D. HX)-[H]-G 化合物一C fi H 1206c或酒酒精D.制约Z点光合作用的因素可能是C02浓度注释：共15页16、将一植物放在密闭的玻璃罩内，置于室外进行培养，用C02浓度测定仪测得了该玻璃罩内CO?浓度的变化情况，绘成下图曲线，下列有关说法正确的是① BC 段较AB 段CO?浓度增加减慢，是因为低温使植物呼吸作用减弱 ② CO?浓度下降从DE 段开始，说明植物开始进行光合作用③ FG 段C02浓度下降不明显，是因为气孔关闭，叶片对CO?的吸收减少 ④ H 点CO?浓度最低，说明此时植物对C02的吸收最多，光合作用最强A. ①②B.③④C.①③D.②④注释:17、图一是某种动物细胞分裂中部分染色体行为示意图，三个细胞均来自同一个体；图二是该动物某种细胞分裂过程中染色体数目变化的数学模型（部分时期）。

据图分析下列叙述正确的有A. 图二处于EF 段的细胞在细胞中央会出现细胞板B. 图二BC 段染色体数目加倍的原因是两个着丝点被纺锤丝拉开C. 图二可表示乙和丙细胞在细胞分裂过程中染色体数目的变化规律D. 依据每条染色体都含冇染色单体且细胞质从中部缢裂町判断甲细胞是初级精母细胞注释：18、下图是人体一个细胞减数分裂时，细胞核中染色体和DM 在A 、B 、C 、D 四个时期的统计数据，那19、下图表示某种哺乳动物细胞分别在正常培养和药物处理培养时，所测得的细胞中DM 含量与细胞数的变化。

推测该药物的作用是A. 通过抑制DTA 的复制，抑制细胞分裂B. 通过促进D7A 的复制，促进细胞分裂C. 通过抑制纺锤体的形成，抑制细胞分裂D. 通过促进着丝点分裂，促进细胞分裂注释:么同源染色体分离发生在注释：□n»liDNA 含量即乙穴W —■止常培养口药物处理细胞数20、在诱导离体菊花茎段形成幼苗的过程屮，下列生命活动不会同时发生的是 A.细胞的增殖与分化B.光能的吸收与转化C. ATP 的合成与分解D.基因的突变与重组注释：21、下列是有关人体细胞内的化学反应，其中一定在细胞器中进行的是 A. Oh 的合成 B. ATP 的生成 C. niRNA 的合成D.肽键的生成注释：22、下列有关细胞生命历程的说话，不正确的是注释:23、右图表示基因型为YyRr 的二倍体生物某器官核DNA 含量的变化曲线图。

下列有关叙述不正确的是A. D 时期细胞中的染色体组数目与E 〜I 时期细胞中的相同B. L 时期基因组成可能为YYRR 、YYrr 、yyRR 、yyrrC. E 、M 时期，由于遗传物质的解旋，染色体逐渐恢复为染色质D. 在G 和I 时期，细胞可产生可遗传的变异注释：24、老年人有老年斑，对此最合理的解释是A.细胞内水分减少，细胞萎缩B.细胞核体积增大，染色质固缩，染色加深C.细胞屮的酪氨酸酶活性降低D.细胞内脂褐素增多注释：25、细胞自噬是将细胞内受损、变性、衰老的蛋白质或细胞器运输到溶酶体内并降解的过程。

图中A 、B 、C 表示细胞自噬的三种方式，相关说法正确的是① 细胞通过C 减少有害蛋白在细胞内的积累，从而延长细胞寿命② 图中能体现膜结构具有流动性的有：口吞小泡与A. 细胞分化, 核遗传物质没有发牛.改变，但mRNA 有变化B. 细胞癌变, 细胞膜上的糖蛋白减少，多个棊因发生突变C. 细胞生长, 核糖体的数暈增加，物质交换速率增强D. 细胞凋亡, 相关基因活动加强，有利于个体的生长发育EDAM浴酶体融合、'浴酶体吞噬赖粒物③ 若人工破坏溶酶体膜可阻断细胞白噬进程，受损的物质和细胞器会在细胞屮积累 ④ 细胞自噬被维持在一定水平，能确保细胞内的稳态 ⑤ 细胞自噬贯穿于正常细胞生长、分化、衰老、死亡的全过程A.①②③B.①④⑤C.②③⑤D.③④⑤注释：26、下列有关ATP 、酶等物质的说法正确的是A.基因的表达需要酶和ATP,酶和ATP 也是基因表达的产物B ・ATP 、酶、激素等都是细胞中的微量高效物质，作用后都立即被分解 C. 细胞内Na°浓度偏高时，为了维持Na'含量平衡，需消耗ATP D. 酶在最适温度和最适pH 下催化效率高，体现了酶的高效性注释：27、洋葱根尖和小鼠骨髓细胞都能用于观察细胞冇丝分裂，比较实验操作和结果，叙述正确的是A ・都需要用盐酸溶液使细胞相互分离B. 都需要用低倍镜找到分裂细胞再换高倍镜观察C. 在有丝分裂中期都能观察到染色体数日加倍D. 在有丝分裂末期都能观察到细胞板注释：28、右图八、B 是某种雌性动物细胞分裂示意图，C 表示该动物细胞分裂时期核DM 数量变化曲线，请据图回答问题。

(1) A 细胞中含有 _______ 对同源染色体。

(2) B 细胞中染色体①上基因B 与突变基因b 的分离发生在C 图的 ________ 阶段。

(3) 若图B 细胞分裂完成后形成了基因型为ABb 的子细胞，其可能的原因是 _________________________________________ o (说明时期和具体染色体的行为)(4分)(4) D 图坐标中染色体数与核DNA 数之比旳和y2依次为 _______ 、 ________ ,并在D 图坐标中画出该动物细胞正常减数分裂过程中“染色体数与核DNA 数之比”变化曲线图。

(3分)(5) 画出该生物体形成AB 的配子的减数第二次分裂后期示意图(只要求画出与AB 形成有关的细胞图)。

X2° 间期’Ml' MU’时药D8 6 4 2 O染色体数与核DNA 数之比(3分)29. （16分）下图表示某哺乳动物体内细胞的部分生命活动，请据图回答下列问题:（l ）c 细胞屮的染色体共含有 _________ 条脱氧核甘酸链，在显微镜下可观察到存在同源染色体的是（填字母）细胞；⑵基因的自由组合发生在 __________ （填字母）细胞中,h 细胞的名称是 _________ ;（3） e 细胞和f 细胞的功能不同 …是 ____________ 的结果，如果e 变成了能够产生抗体的细胞，则细胞的名称为 ____________ ;如果变成了癌细胞，主要原因是 _______________________ 基因发生了突变。

（4）研究表明，癌细胞和正常分化细胞在有氧条件下产生的ATP 总量没有明显差异，但癌细胞从内环境中摄取并用于细胞呼吸的葡萄糖是正常细胞的若干倍。