复数加减法练习题
2019高中数学复数代数形式的加减运算及其几何意义测试题(有答案)语文
高中数学复数代数形式的加减运算及其几何意义测试题（有答案）选修2-23.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有()A．a－c＝0且b－d0B．a－c＝0且b＋d0C．a＋c＝0且b－d0D．a＋c＝0且b＋d0[答案] A[解析] z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，∵z1－z2是纯虚数，a－c＝0且b－d0.故应选A.2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于()A．－2b－2biB．－2b＋2biC．－2a－2biD．－2a－2ai[答案] A[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i ＝－2b－2bi.3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是()A.115B.3iC.115＋3iD.115＋23i[答案] C[解析] 设这个复数为a＋bi(a，bR)，则|a＋bi|＝a2＋b2.由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3ia＋a2＋b2＝5b＝3，解得a＝115，b＝3.所求复数为115＋3i.故应选C.4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] A[解析] ∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i. 点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.5．ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()A．2－3iB．4＋8iC．4－8iD．1＋4i[答案] C[解析] AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z. 由平行四边形法则知AB＝DC，－1＋3i＝(3－5i)－z，z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为()A．4B．－1C．6D．0[答案] B[解析] z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0m2－3m－4＝0m2－5m－6＝0解得m＝－1，故应选B. 7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()A．－3iB．3iC．3iD．4i[答案] B[解析] 令z＝a＋bi(a，bR)，则a2＋b2＝9 ①又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数a＝0b＋30 ②由①②得a＝0，b＝3，z＝3i，故应选B.8．已知z1，z2C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是()A．6B．5C．4D．3[答案] C[解析] 设z1＝a＋bi(a，bR，a2＋b2＝1)z2＝c＋di(c，dR)∵z1＋z2＝2i(a＋c)＋(b＋d)i＝2ia＋c＝0b＋d＝2c＝－ad＝2－b，|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|＝(2a)2＋(2b－2)2＝2a2＋(b－1)2＝2a2＋b2＋1－2b＝22－2b.∵a2＋b2＝1，－1102－2b4，|z1－z2|4.9．复数z＝x＋yi(x，yR)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y 的最小值为()A．2B．4C．42D．82[答案] C[解析] ∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2x＝－2y＋3，2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝814y＋4y42.10．若xC，则方程|x|＝1＋3i－x的解是()A.12＋32iB．x1＝4，x2＝－1C．－4＋3iD.12＋32i[答案] C[解析] 令x＝a＋bi(a，bR)则a2＋b2＝1＋3i－a－bi所以a2＋b2＝1－a0＝3－b，解得a＝－4b＝3故原方程的解为－4＋3i，故应选C.二、填空题11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2R)，则|z2－z1|＝______________.[答案] (x2－x1)2＋(y2－y1)2[解析] ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，|z2－z1|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.12．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，bR)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.[答案] 3[解析] z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a ＋33b＋[(a＋1)－(b＋2)i]32a＋33b＝43a－b－1＝0，解之得a＝2b＝1，a＋b＝3.13．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______.[答案] 16i[解析] 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．[答案] 4－2i[解析] ∵BA对应的复数是1＋2i，BC对应的复数为3－i，AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC＝OA＋AC，C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.三、解答题15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．[解析] 解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i＝0＋(－11)i＝－11i.16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2||z1|，求实数a的取值范围．[解析] z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝[2－(a－2)]＋(3－1)i＝(4－a)＋2i由|z1－z2||z1|得(4－a)2＋44＋9，(4－a)29，17a的取值范围为(1,7)．17．已知z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin且z1－z2＝513＋1213i，求cos(＋)的值．[解析] ∵z1＝cos＋isin，z2＝cos－isinz1－z2＝(cos－cos)＋i(sin＋sin)＝513＋1213icos－cos＝513 ①sin＋sin＝1213 ②①2＋②2得2－2cos(＋)＝1即cos(＋)＝12.18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；(2)z1＝2cos－i，z2＝－2＋2isin(0)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求的范围．[解析] (1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.(2)z1＋z2＝(2cos－i)＋(－2＋2isin)＝(2cos－2)＋(2sin－1)i，由题意得：2cos－202sin－10，即cos22sin12又[0,2]，故4，56.。
复数练习题附答案
复数练习题附答案复数是数学中的一个基本概念，它拓展了实数的概念，允许我们处理像-1的平方根这样的数。
复数可以表示为a + bi的形式，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
下面是一些复数的练习题，以及它们的答案。
练习题1：计算以下复数的加法：\[ (3 + 4i) + (1 - 2i) \]答案1：首先分别将实部和虚部相加：\[ 3 + 1 = 4 \]\[ 4i - 2i = 2i \]所以，结果是 \( 4 + 2i \)。
练习题2：计算以下复数的乘法：\[ (2 + 3i) \times (1 - 4i) \]答案2：使用分配律：\[ 2 \times 1 + 2 \times (-4i) + 3i \times 1 + 3i \times (-4i) \]\[ = 2 - 8i + 3i - 12i^2 \]由于 \( i^2 = -1 \)，所以：\[ = 2 - 5i + 12 \]结果是 \( 14 - 5i \)。
练习题3：求复数 \( z = 3 - 2i \) 的共轭复数。
答案3：共轭复数是将虚部的符号改变得到的数，所以：\[ \bar{z} = 3 + 2i \]练习题4：求复数 \( z = 2 + i \) 的模（magnitude）。
答案4：复数的模定义为：\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是复数的实部和虚部。
所以：\[ |2 + i| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \] 练习题5：求复数 \( z = 1 + i \) 的逆。
答案5：复数的逆通过公式 \( \frac{1}{z} =\frac{\bar{z}}{|z|^2} \) 计算。
首先求模：\[ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \]然后求共轭复数：\[ \bar{z} = 1 - i \]最后求逆：\[ \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{2} \]因为 \( |1 + i|^2 = 2 \)。
复数的四则运算同步练习题
复数的四则运算同步练习题一、选择题1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 复数－i ＋1i等于( A ) A ．－2i i C ．0 D ．2i7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19． 在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A )C ．－43D ．－3411． 若z ＝1＋2i i，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +1 13.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i 1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( B ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,z?z̅i +2=2z ，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B ）2 （C（D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i -（D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ）A ．1＋iB ．－1－iC ．1＋3iD ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31ii +-=( D )A .1-2i +i D .1+2i29.下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ C ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-30.复数2(1)2i i -=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是 （ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ，∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积． 解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2. 52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。
高中数学测试题复数与复数的运算
高中数学测试题复数与复数的运算高中数学测试题：复数与复数的运算一、基本复数概念复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，且i 是虚数单位，满足 i² = -1。
二、复数的加法两个复数相加时，只需将实部相加，虚部相加即可。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，其和为 (a + c) + (b + d)i。
三、复数的减法两个复数相减时，只需将实部相减，虚部相减即可。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，其差为 (a - c) + (b - d)i。
四、复数的乘法两个复数相乘时，根据 distributive law，可展开计算。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，其积为 ac + adi + bci + bdi²。
由于 i² = -1，可简化为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
五、复数的除法两个复数相除时，可利用有理化的方法将除号消去。
例如，对于复数 a + bi 和 c + di，除法可以通过以下步骤进行：1. 将商记为 x + yi，其中 x 为实部，y 为虚部；2. 通过乘法，得到分子的共轭复数 (a + bi)(c - di) = (ac + bd) + (bc - ad)i；3. 令分子的共轭复数与分母乘积相等，则有 ac + bd = x 和 bc - ad = yi；4. 解方程组，求得 x 和 y 的值。
六、复数的共轭复数一个复数的共轭复数，即保持实部不变，虚部取相反数。
例如，对于复数 a + bi，其共轭复数为 a - bi。
七、复数的模一个复数的模，表示复平面上从原点到该复数所对应点的距离。
可以用勾股定理求得。
例如，对于复数 a + bi，其模为√(a² + b²)。
八、复数的幂一个复数的幂可以通过展开计算得到。
例如，对于复数 a + bi 的 n 次幂，可以通过将其展开为多项式进行计算。
《复数》全章习题
《复数》全章习题 学习目标 1.巩固复数的概念和几何意义.2.理解并能进行复数的四则运算，并认识复数加减法的几何意义．知识点一 复数的四则运算若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i (a 1，b 1，a 2，b 2∈R )．(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 知识点二 共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)．(2)复数z ＝a ＋b i 的模，|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.知识点三 复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．类型一 复数的四则运算例1 (1)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i； (2)已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模． 解 (1)原式＝i (1＋23i )1＋23i ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 006＋(4－8i )2－(4－8i )211－7i＝i ＋(－i)1 006＋0＝－1＋i.(2)z 2－3z ＋6z ＋1＝(1＋i )2－3(1＋i )＋62＋i ＝3－i 2＋i＝1－i ， ∴z 2－3z ＋6z ＋1的模为 2. 反思与感悟 (1)复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(a ＋b i)÷(c ＋d i)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化．(2)虚数单位i 的周期性：①i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N *)；②i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)． 跟踪训练1 计算：1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7. 解 1i (2＋2i)5＋(11＋i )4＋(1＋i 1－i)7 ＝－i·(2)5·[(1＋i)2]2·(1＋i)＋[1(1＋i )2]2＋i 7 ＝162(－1＋i)－14－i ＝－(162＋14)＋(162－1)i. 类型二 复数的几何意义例2 设复数z 满足|z |＝1，求|z －(3＋4i)|的最值．解 由复数的几何意义，知|z |＝1表示复数z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，因而|z －(3＋4i)|的几何意义是求此圆上的点到点C (3,4)的距离的最大值与最小值． 如图，易知|z －(3＋4i)|max ＝|AC |＝|OC |＋1＝32＋42＋1＝6，|z －(3＋4i)|min ＝|BC |＝|OC |－1＝4.反思与感悟 复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z 1－z 2|表示复数z 1，z 2对应的两点Z 1，Z 2之间的距离． 跟踪训练2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C }，试求|z |的最小值和最大值． 解 点集D 的图象为以点C (－1， －3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数为z ，则|OP →|＝|z |.由图知，当OP 过圆心C (－1，－3)时，与圆交于点A 、B ，则|z |的最小值|OA |＝|OC |－1＝(－1)2＋(－3)2－1＝2－1＝1，即|z |min ＝1；|z |的最大值|OB |＝|OC |＋1＝2＋1＝3，即|z |max ＝3.类型三 复数相等 例3 已知复数z 满足z ＋z ·z ＝1－2i 4，求复数z . 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，∵z ＋z ·z ＝1－2i 4， ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝1－2i 4， 即⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝14，y ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－12.∴z ＝－12i 或z ＝－1－12i.反思与感悟 两个复数相等是解决复数问题的重要工具．“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题．跟踪训练3 设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则|z |＝________.答案 5 解析 设z ＝a ＋b i ，∴z 2＝(a 2－b 2)＋2ab i.又∵z 2＝3＋4i ，∴a 2－b 2＝3,2ab ＝4，解得a 2＝4，b 2＝1，∴|z |＝a 2＋b 2＝ 5.1．复数z ＝2＋a i 1＋i(a ∈R )在复平面内对应的点在虚轴上，则a 等于( ) A ．2B ．－1C ．1D ．－2答案 D解析 z ＝2＋a i 1＋i ＝(2＋a i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋a )＋(a －2)i 2在复平面内对应的点(2＋a 2，a －22)在虚轴上，所以2＋a ＝0，即a ＝－2. 2．已知复数z ＝1＋2i 1－i，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 014为( ) A ．1＋iB ．1－iC ．iD ．1答案 C3．△ABC 的三个顶点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点为△ABC 的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心 答案 D 解析 由几何意义知，复数z 对应的点到△ABC 三个顶点距离都相等，z 对应的点是△ABC 的外心．4．若|z －1|＝2，则|z －3i －1|的最小值为________．答案 1解析 因为|z －1|＝2，所以复数z 在复平面内对应的点在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上．|z －3i －1|表示复数z 在复平面内对应的点到点(1,3)的距离，因此，距离的最小值1.5．设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．因为4z ＋2z ＝33＋i ， 所以2z ＋(2z ＋2z )＝33＋i.2z ＋2z ＝2(a ＋b i)＋2(a －b i)＝4a ，整体代入上式，得2z ＋4a ＝33＋i.所以z ＝33－4a 2＋i 2. 根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧ a ＝33－4a 2，b ＝12，解得⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12，所以z ＝32＋i 2.1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化．2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现．3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或取值范围)和复数方程等问题． 课时作业 一、选择题1．复数z 对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－5，则z 是( )A ．－5＋2iB ．－5－2i C.5＋2iD.5－2i答案 B解析 设复数z 的虚部为b ，则z ＝－5＋b i ，b >0，∵3＝5＋b 2，∴b ＝2，∴z ＝－5＋2i ，则z 的共轭复数是－5－2i ，故选B.2．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( ) A.15i B.15 C ．－15i D ．－15答案 B解析 1－2＋i ＋11－2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i.故选B. 3．若z ＝1＋2i ，则4i z z －1等于( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i 答案 C解析 z ＝1＋2i ，则4i z z －1＝4i (1＋2i )(1－2i )－1＝4i 5－1＝i. 4．若复数z ＝cosπ12＋isin π12(i 是虚数单位)，复数z 2的实部，虚部分别为a ，b ，则下列结论正确的是( )A ．ab <0B ．a 2＋b 2≠1 C.a b ＝ 3 D.b a ＝ 3 答案 C解析 ∵z ＝cosπ12＋isin π12， ∴z 2＝(cos π12＋isin π12)2 ＝cos 2π12－sin 2π12＋2cos π12sin π12i ＝cos π6＋isin π6＝32＋12i ， 则a ＝32，b ＝12，则a b＝3，故选C. 5．向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则向量Z 1Z 2—→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．－8＋10iD ．8＋(－10i)答案 A解析 向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，可得Z 1(5，－4)；向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，可得Z 2(－5,4)；向量Z 1Z 2—→对应的点是(－10,8)，即向量Z 1Z 2—→对应的复数是－10＋8i.故选A.6．已知复数z 的模为2，则|z －i|的最大值为( )A ．1B ．2 C. 5 D ．3 答案 D 解析 ∵|z |＝2，则复数z 对应的轨迹是以圆心为原点，半径为2的圆，而|z －i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离，∴其最大值为圆上的点(0，－2)到点(0,1)的距离，最大的距离为3.二、填空题7．i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________．答案 1解析 因为(1＋i)z ＝2，所以z ＝21＋i ＝1－i ，所以其实部为1. 8．如果z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2，则z 1z 2＝________. 答案 4－3i解析 ∵z 1＝－2－3i ，z 2＝3－2i (2＋i )2， ∴z 1z 2＝(－2－3i )(2＋i )23－2i ＝－i (3－2i )(2＋i )23－2i＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i ＝4－3i.9．若复数1＋i 1－i＋b (b ∈R )所对应的点在直线x ＋y ＝1上，则b 的值为________． 答案 0解析 复数1＋i 1－i ＋b ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＋b ＝2i 2＋b ＝b ＋i. ∵所对应的点(b,1)在直线x ＋y ＝1上，∴b ＋1＝1，解得b ＝0.10．如图，在复平面内，点A 对应的复数为z 1，若z 2z 1＝i(i 为虚数单位)，则z 2＝________.答案 －2－i解析 由图可知，z 1＝－1＋2i ，∴由z 2z 1＝i ，得z 2＝z 1i ＝(－1＋2i)i ＝－2－i. 三、解答题11．已知复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)，z 2＝3＋(1－a )i (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若z 1＝z 2，求实数a ，b 的值；(2)若b ＝1，a ＝0，求|z 1＋z 21－2i|. 解 (1)复数z 1＝(1＋b i)(2＋i)＝2－b ＋(2b ＋1)i ，z 2＝3＋(1－a )i ，由z 1＝z 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 2－b ＝3，2b ＋1＝1－a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1， 所以实数a ＝2，b ＝－1.(2)若b ＝1，a ＝0，则z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i.|z 1＋z21－2i |＝|1＋3i ＋3－i||1－2i|＝42＋221＋(－2)2＝2. 12．已知复数z 1满足z 1(1－i)＝2(i 为虚数单位)，若复数z 2满足z 1＋z 2是纯虚数，z 1·z 2是实数，求复数z 2.解 ∵z 1(1－i)＝2，∴z 1＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵z 1＋z 2＝1＋a ＋(b ＋1)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋b ≠0， ∴a ＝－1，b ≠－1. ∴z 1·z 2＝(1＋i)(－1＋b i)＝(－1－b )＋(b －1)i ，又z 1·z 2是实数，则b －1＝0，∴b ＝1，∴z 2＝－1＋i.13．求虚数z ，使z ＋9z∈R ，且|z －3|＝3. 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋9z ＝a ＋b i ＋9a ＋b i ＝(a ＋9a a 2＋b 2)＋(b －9b a 2＋b2)i. 由z ＋9z ∈R ，得b －9b a 2＋b 2＝0， 又b ≠0，故a 2＋b 2＝9.① 又由|z －3|＝3，得(a －3)2＋b 2＝3.②由①②，得⎩⎨⎧a ＝32，b ＝±332，即z ＝32＋332i 或z ＝32－332i. 四、探究与拓展14．若a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，b 是复数z 2＝1＋i 2－i 的实部，则ab ＝________. 答案 －25解析 z 1＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，由a 是复数z 1＝(1－i)(3＋i)的虚部，得a ＝－2.z 2＝1＋i 2－i ＝(1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝1＋3i 5＝15＋35i ， 由b 是复数z 2＝1＋i 2－i的实部，得b ＝15. 则ab ＝－2×15＝－25. 15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ，BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。
复数加减100
1．已知复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，且(1)1i z ai -=+（其中i 是虚数单位），则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(1,1)- C ．(,1)-∞- D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得1(1)(1)11(1)1(1)(1)22ai ai i a ai z i i i i +++-+-===+--+．因为z 在复平面上对应的点位于第二象限，所以102102aa -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得1a >，故选A ．考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义．2．已知复数z 在复平面上对应的点位于第二象限，且(1)1i z ai -=+（其中i 是虚数单位），则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(1,1)- C ．(,1)-∞- D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 【答案】A【解析】试题分析：由题意，得1(1)(1)11(1)1(1)(1)22ai ai i a ai z i i i i +++-+-===+--+．因为z 在复平面上对应的点位于第二象限，所以102102aa -⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩，解得1a >，故选A ．考点：1、复数的运算；2、复数的几何意义．3．如图， 在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ）A ．155i 2+ B ．2155i + C ．155i 2-- D ．2155i -- 【答案】C 【解析】试题分析：由图知，12z i =--，2z i =，所以21(2)122(2)(2)55z i i i i z i i i -+===-------+，故选C ．考点：1、复数的几何意义；2、复数的运算【知识点睛】（1）复数z a bi =+一一对应复平面内的点(,)(,)Z a b a b ∈R ，一一对应平面向量OZ ，即z a bi =+(,)a b ∈R ⇔(,)Z a b ⇔OZ；（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数列结合的方法，使能更直观地解决．4．若复数z 满足1zi i =-,则z 的共轭复数是 （ ） A ．1i -- B ．1i - C ．1i -+ D ．1i + 【答案】C 【解析】 试题分析：1(1)()1()i i i z i i i i --⨯-===--⨯- ， ∴复数1z i =--（i 为虚数单位）的共轭复数是1i -+，故选C ．考点：复数的运算及有关概念．5．已知,a b R ∈,i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则()2a bi += （ ） A ．i 43- B ． i 43+ C ．i 34- D ．i 34+． 【答案】A 【解析】试题分析：因为2a i bi +=-，所以由复数相等的定义知，2,1a b ==-，所以()222()2a bi a b abi +=-+22[2(1)]22(1)i =--+⨯⨯-34i =-，故应选A ．考点：1、对数函数；2、函数的定义域．6．设复数，则的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】试题分析：，所以复数z 的虚部为-1。
数学课程复数的运算练习题及答案
数学课程复数的运算练习题及答案一、绪论在数学课程中，复数的运算是一个重要的内容。
复数是由实数和虚数组成的数学对象，广泛应用于代数、物理学和工程学等领域。
掌握复数的运算规则和技巧对于提高数学解题能力和扩展数学思维具有重要意义。
本文将为大家提供一系列复数的运算练习题及答案，以帮助读者更好地理解和应用复数。
二、复数的定义与基本运算1. 复数的定义复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，bi 是虚数部分，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
2. 复数的共轭复数 a + bi 的共轭定义为 a - bi。
共轭复数的实数部分相等，虚数部分互为相反数。
3. 复数的加法与减法对于复数 a + bi 和 c + di，其加法为 (a + c) + (b + d)i，减法为 (a - c) + (b - d)i。
4. 复数的乘法对于复数 a + bi 和 c + di，其乘法为 (ac - bd) + (ad + bc)i。
5. 复数的除法对于复数 a + bi 和 c + di，其除法为 (ac + bd)/(c^2 + d^2) + (bc - ad)/(c^2 + d^2)i。
三、复数运算练习题及答案1. 计算下列复数的和与差：a) (4 + 3i) + (1 - 2i)解：(4 + 1) + (3 - 2)i = 5 + ib) (2 + 5i) - (3 - 4i)解：(2 - 3) + (5 + 4)i = -1 + 9i2. 计算下列复数的乘积与商：a) (2 + i)(3 - 2i)解：(2*3 - 1*(-2)) + (2*(-2) + 3*1)i = 8 - ib) (4 + 5i)/(2 - i)解：((4*2 + 5*1)/(2^2 + 1^2)) + ((5*2 - 4*1)/(2^2 + 1^2))i = (13/5) + (6/5)i3. 计算下列复数的共轭：a) (3 + 4i)解：3 - 4ib) (-2 - 6i)解：-2 + 6i4. 求下列复数的模和幅角：a) 2 + 4i解：模为√(2^2 + 4^2) = √20，幅角为 arctan(4/2) = arctan 2b) -3 - 5i解：模为√((-3)^2 + (-5)^2) = √34，幅角为 arctan((-5)/(-3)) =arctan(5/3)五、总结本文针对数学课程中复数的运算练习题及答案进行了介绍，并给出了相应的解答。
(完整版)复数的四则运算同步练习题(文科)(附答案)
复数的四则运算同步练习题一、选择题1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于 ( D )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( C )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( D )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( B )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 复数－i ＋1i 等于( A ) A ．－2i B.12i C ．0 D ．2i 7． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i 7等于( A ) A ．0 B ．2i C ．－2i D ．4i8． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( D )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－19． 在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10． 设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( A)A.34B.43 C ．－43 D ．－3411． 若z ＝1＋2ii ，则复数z 等于( D ) A ．－2－i B ．－2＋I C ．2－i D ．2＋i12.复数11z i =-的共轭复数是（ B ） A ．i 2121+ B ．i 2121- C ．i -1 D ．i +113.=++-i i i 1)21)(1(( C ) A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +214. 若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( A )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i15. 已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )A ．－1B ．1C ．2D ．316.若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( D )A ．x ＝3，y ＝3B ．x ＝5，y ＝1C ．x ＝－1，y ＝－1D ．x ＝－1，y ＝117.在复平面内，复数i1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( B )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限18.设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若,，则z =( A )（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -19.若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为( D )(A)－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）4520.设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝（ A ）（A ）i +-1 （B ）i --1 （C ）i +1 （D ）i -121.复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( D )(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i22.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( D )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限23.若复数z 满足24iz i =+，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( C )A.(2,4)B.(2,-4)C.(4,-2)D.(4,2)24.复数的11Z i =-模为( B ) （A ）12 （B （C （D ）225.()3=( A ) （A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i26． i 是虚数单位，3(1)(2)i i i -++等于 （ D ） A ．1＋i B ．－1－i C ．1＋3i D ．－1－3i27．设复数z=1,则z 2－2z 等于 （ A ）A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i28.已知i 是虚数单位，则31i i+-=( D ) A .1-2i B.2-i C.2+i D .1+2i29.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ C ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 3430.复数2(1)2i i-=（ B ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 31.若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为( A )（A ）35i + （B ）35i - （C ）35i -+ （D ）35i --32.设i 为虚数单位，则复数56i i-=( D ) A ．6+5i B ．6-5i C ．-6+5i D ．-6-5i 33.复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ D ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+2 34．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=( D )A ．０B ．２C ． 52D ．５ 35．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是（ B ） A ．－1B ．0C ．1D ．i 36．()()221111ii i i -++=+-（ D ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1- 37．复数（1＋1i ）4的值是 （ D ） A ．4iB ．－4iC ．4D ．－4 二、填空题38． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是_ _3＋i __．39．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是____1____．40．复数2i －1＋3i的虚部是___－12____． 41．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝___－2i____. 42.已知,43,2121i z i z +=-=则=⋅21z z ___11-2i _____.43.已知复数512i z i =+（i 是虚数单位），则_________z =44.若bi a i i +=++)2)(1(，其中,,a b R i ∈为虚数单位，则a b += 4 45.设a b ∈R ，，117i i 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 8 ． 46.若 12z a i =+, 234z i =-，且12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 38 ． 47.已知312i a i--=+(i 是虚数单位),那么a 4= －4 ． 48．已知复数z 与(z ＋2)2－8i 均是纯虚数，则z= －2i ．三、解答题49．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．50．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解析: (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2. 51.已知复数z=1＋i,求实数a,b 使得az ＋2b z =(a ＋2z)2.52．已知复数z=1＋i ，如果221z az b z z ++-+=1－i,求实数a,b 的值． 解析:由z=1＋i 得221z az b z z ++-+=()(2)a b a i i +++=（a ＋2)－(a ＋b)i 从而21()1a a b +=⎧⎨-+=-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩．。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
复数运算专题
复数运算专题例1.i 为虚数单位,则i+1i 等于( ). A. 0B. 2iC. 1+iD. -1+i 例2.已知i 是虚数单位,则(1+i)31−i=( ). A. 2iB. -2iC. 2D. -2例3.设复数z=2+i,则5z+z 2=( ). A. -5+3i B. -5-3i C. 5+3i D. 5-3i 例4.复数1+i(i 为虚数单位)的模等于( ). A. √2 B. 1 C. √22D. 12例5.设复数z 1=3+2i,z 2=1-i,则|z 1+2z 2|=( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 5例6.已知i 为虚数单位,实数x,y 满足(x+2i)i=y-i,则|x-yi|=( ). A. 1 B. √2 C. √3 D. √5例7.i 为虚数单位,则复数i(1-i)的虚部为( ). A. i B. -i C. 1 D. -1 例8.设z=1-i(i 是虚数单位),则复数2z +i 2的虚部是( ). A. -i B. -1 C. i D. 1例9.已知i 是虚数单位,复数z 满足(1+i)z=i,则z 的虚部是( ). A . 12B . -12i C. 12i D. -12例10.设复数z 为纯虚数,且z 2=-9,则复数(1+z)2的实部为( ). A. -6 B. ±6 C. -8 D. ±8 例11.若复数z 满足iz=1+2i,其中i 为虚数单位,则在复平面上复数z 对应的点的坐标为( ).A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(2,-1) D.(2,1) 例12.若z 1=2+i,z 2=3+ai(a ∈R), z 1+z 2的和所对应的点在实轴上,则a 为( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. -1例13.若复数a+i 1+2i(a ∈R)为纯虚数,其中i 为虚数单位,则a= ( ). A. -3 B. -2 C. 2 D. 3例14.设a ∈R,若(a-i)2i(i 为虚数单位)为正实数,则a=( ). A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 例15.已知a,b ∈R,i 为虚数单位,(2a+i)+(1+3i)=-7+bi,则a-b=( ). A. -8 B. 0 C. -7 D. 1 例16.若复数z=1−i 1+i,则z ̅=( ). A. 1 B. -1 C. i D. -i例17.已知复数z=−2+ii2008(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数z ̅的虚部为( ). A. i B. -i C. 1 D. -1例18.已知复数z 的共轭复数为z ̅,若z ̅(1-i)=2i(i 为虚数单位),则z=( ). A. i B. i-1 C. -i-1 D. -i 例19.已知复数z 满足∣z ∣=√2,z+z ̅=2,(z ̅为z 的共轭复数).下列选项(选项中的i 为虚数单位)中z=( ).A. 1+iB. 1-iC. 1+i 或1-iD. -1+i 或-1-i例20.已知z=x+yi(x,y∈R),且 2x+y+ilog 2x-8=(1-log 2y)i,则z=( ). A. 2+i B. 1+2i C. 2+i 或1+2i D. 无解 例21.已知关于x 的方程x 2+(k+2i)x+2+ki=0有实根,则实数k 的值为 . 例22.已知√32+12i 是实系数一元二次方程ax 2+bx+1=0的一个根,则a= ,b= . 例23.若1+i 是实系数方程x 2+bx+c=0的一个根,则方程的另一个根为( ). A. 1-i B. -1+i C. -1-i D. i例24.已知复数z 1=cos θ-i,z 2=sin θ+i,则∣z 1·z 2∣的最大值为( ). A. 32B. √2C. √62D. 3例25.设f(n)=(1+i 1−i)n+(1−i 1+i)n(n ∈N),则集合{x ∣x=f(n)}中元素的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 无穷多个例26.使不等式m 2-(m 2-3m)i ＜(m 2-4m+3)i+10成立的实数m( ). A. 1 B. 0 C. 3 D. 复数无法比较大小 例27.定义运算: |abcd |=ad-bc,若复数z=x+yi(x,y ∈R)满足|z 111|=2,则x= ;y= . 例28.实数m 为何值时,复数z=m 2(1m+5+i)+(8m+15)i+m−6m+5.(1)为实数(2)为虚数;(3)为纯虚数;(4)对应点在第二象限.练习1.复数2−i 3−i =( ). A. 710-110i B. 710+110i C. 110+710i D. 110-710i 2.复数√3i)21+√3i的值是( ). A. -2 B. 16 C. -14D. 14-√34i3.设z=1+i(i 是虚数单位),则2z +z 2=( ). A. -1-i B. 1+iC. 1-iD. -1+i4.(18惠3)已知复数z=(1+i )21−i,则|z|=( ). A. 1 B. √2 C. √3 D. √55.设i 为虚数单位,则复数|1−√3i |1+i= ( ). A. -1+i B. -2+2i C. 1-i D. 2-2i6.已知复数z 满足(1+i)z=3+i,其中i 为虚数单位,则|z|等于( ). A. 10 B. √10 C. 5 D. √57.已知i 是虚数单位,则复数1-2i 的虚部为( ). A. 2 B. 1 C. -1 D. -28.复数21+i 的虚部是( ). A. -2B. -1C. 1D. 29.已知i 是虚数单位,则复数z=i 3•(-1+2i)的虚部为( ). A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 10.已知复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于实轴对称,若(2-i)·z 1=i+i 2+i 3+…+i 2018(其中i 是虚数单位),则复数z 2的虚部等于( )A. -15B. 15C. -35D. -15i11.如果复数2−bi 1+2i (其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b 等于( ). A. -6 B. 23C. -23D. 212.已知i 为虚数单位,在复平面内,复数z=3−2i1+i对应的点所在的象限是( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限13.复数z=(a 2-2a)+(a 2-a-2)i 对应的点在虚轴上,则( ). A. a ≠2或a ≠1 B. a ≠2且a ≠1 C. a=0 D. a=2或a=014.已知a ∈R,i 为虚数单位,若复数z=a+i 1−i纯虚数,则a=( ). A. 0 B. 1 C. 2 D. ±115.若1+(a-2)i 是实数,则a+i i等于( ). A. 1-2i B. 1+2i C. -1+2i D. 2+i16.i 是虚数单位,复数z 满足(1+i)z=1+3i,则z=( ). A. 1+2i B. 2+i C. 1-2i D. 2-i 17.复数21+i 的共轭复数是( ). A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i18.设复数z 满足zi=(1-i)2,则复数z 的共轭复数z ̅=( ). A. -2 B. 2C. -2iD. 2i19.设i 为虚数单位,则复数z=|1−√3i |1+i的共轭复数是( ). A. 1+i B. 1-i C. -1+i D. 2+i20.已知i 为虚数单位,复数z 1=a+i,z 2=2-i,且∣z 1∣=∣z 2∣,则实数a 的值为( ). A. 2 B. -2 C. 2或-2 D. ±2或0 21.实数x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy 的值是( ). A. 1B. 2C. -2D. -122.若1-i(i 是虚数单位)是关于x 的方程x 2+2px+q=0(p 、q ∈R)的一个解,则p+q=( ). A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 23.已知关于x 的方程x 2-(6+i)x+9+ai=0(a ∈R)有实数根b,则求实数a=______,b=_______. 24.(1)若x ∈R,且x 2-(2+i)x+2i=0,则x=_______;(2)若x ∈C,且x 2-2xi-1=0,则x=___________. 25.复数z=2+i 1−i,i 是虚数单位,则下列结论正确的是( )A.∣z ∣=√5B. z 的共轭复数为32+12i C. z 的实部与虚部之和为1 D. z 在复平面内的对应点位于第一象限 26.集合{i n｜n ∈N *}(其中i 是虚数单位)中元素的个数是( ). A. 1 B. 2 C. 4 D. 无穷多个 27.求同时满足下列条件的所有复数z:(1)1<z+10z ≤6;(2)z 的实部和虚部都是整数.28.复数z=1-cos θ+isin θ(2π<θ<3π)的模为( ). A. 2cos θ2B. -2cos θ2C. 2sin θ2D. -2sin θ229.已知复数z=(m 2+5m+6)+(m 2-2m-15)i,当实数m 为何值时.(1)z 为实数;(2)z 为虚数;(3)z 为纯虚数.30.定义运算|a b c d |=ad-bc,则符合条件|2−1zzi|=3+2i 的复数z= ． 31设z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(m-3)(m ∈R),若z 对应的点在直线x-2y+1=0上,则m 的值是 . 32.在下列命题中,正确命题的个数为( ). A. 0B. 1C. 2D. 3①两个复数不能比较大小;②z 1,z 2,z 3∈C,若(z 1-z 2)2+(z 2-z 1)2=0,则z 1=z 3;③若(x 2-1)+(x 2+3x+2)i 是纯虚数,则实数x=±1;④z 是虚数的一个充要条件是z+z ̅∈R;⑤若a,b 是两个相等的实数,则(a+b)+(a+b)i 是纯虚数;⑥z ∈R 的一个充要条件是z=z ̅.检测题1.方程2z+|z|=2+6i的解的情况是( ). A. 没有解 B. 只有一解 C. 有两解 D. 多于两解2.若复数z=cosθ-sinθ·i所对应的点在第四象限,则θ为第象限角.3.若复数z=sin2α-i(1-cos2α)是纯虚数,则α= .4.已知M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},M∩N={3},则实数a= .5.已知复数z1=3+4i,z2=t+i,且z1与z2共轭复数的积是实数,则实数t的值为．6.如果z=a+bi(a,b∈R,且a≠0)是虚数,则z,z̅,z̿,∣z∣,∣z̅∣,z·z̅,z2,∣z∣2,∣z2∣中是虚数的有____个,是实数的有____个,相等的有____组.7.复数4-3a-a2i与复数a2+4ai相等,则实数a的值为( ). A. 1 B. 1或-4 C. -4 D. 0或-48.以2i-√5的虚部为实部,以√5i-2i2的实部为虚部的复数是．9.若(2k2-3k-2)+(k2-2k)i是纯虚数,则实数k的值等于．10.若z∈C,且|z+2-2i|=1,则|z-1-2i|的最小值是( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 511.设集合A={z∣z∈C,且1<∣z∣≤10},则在下列四个复数中,不属于A的复数的为( )A. z1=cos60o+isin30oB. z2=cos30o+isin60oC. z3=10cos60o+(√10sin30o)iD. z4=10cos60o+(10sin60o)i12.已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足∣z̅-a-bi∣=2∣z∣,求z为何值时,∣z∣有最小值并求出最小值.13.已知x 2−x−6x+1+(x2-2x-3)i=0(x∈R),求x的值.14.已知z=1+i,a,b为实数.(1)若ω=z2+3z̅-4,求∣ω∣;(2)若z 2+az+bz2−z+1=1-i,求a,b的值.15.复数z满足条件:∣2z+1∣=∣z-i∣,那么z对应的点的轨迹是( ). A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线16.已知z∈C,∣z-2∣=1,则∣z+2+5i∣的最大值和最小值分别是( )A. √41+1和√41-1B. 3和1C. 5√2和√34D. √39和317.利用公式a2+b2=(a+bi(a-bi),把x2+2cosα·x+1分解成一次因式的积为.。
数学复数典型题
数学复数典型题
以下是几个数学复数典型题的例子：
计算复数的加减法：给定两个复数a+bi和c+di，求它们的和、差、积和商。
这需要掌握复数的加减法和乘除法的运算法则，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，(a+bi)−(c+di)=(a−c)+(b−d)i，(a+bi)⋅(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，c+dia+bi=(ca+icb)⋅(dc+idd )=(c2+d2ac+bd)+i(c2+d2bc−ad)。
求复数的共轭和模长：给定一个复数z=a+bi，求它的共轭zˉ=a −bi和模长∣z∣=a2+b2。
共轭复数是指虚部相反的复数，模长是指复数在复平面上的点到原点的距离。
求解复数的方程：给定一个复数方程z2+az+b=0，其中a和b是实数，求它的根。
这个方程可以转化为一个一元二次方程，用求根公式求解即可。
但是需要注意的是，在求解过程中需要将复数的幂运算转化为乘法运算，即zn=z⋅z⋯z(n个z)。
复数的三角形式和指数形式：给定一个复数z=x+yi，其中x和y 是实数，将其表示为三角形式z=r(cosθ+isinθ)或指数形式z=rei θ。
这个过程需要掌握复数的模长和极坐标的关系，以及三角函数的定义和性质。
以上是几个数学复数的典型题，它们是复数数学的基础知识和技能，需要掌握它们的概念和运算方法，以便在实际问题中能够正确地应用。
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复数加减法练习题例计算?； ?；??分析：根据复数加、减法运算法则进行运算。
解：i?6?i.[2?]i??7?7i.i??11i.确定向量所表示的复数例如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0，3?2i，?2?4i，试求：AO所表示的复数，BC所表示的复数.对角线CA所表示的复数．对角线OB所表示的复数及OB的长度．分析：要求某个向量对应的复数，只要找出所求的向量的始点和终点。
或者用向量的相等直接给出所求的结论．解：AO??OA?AO所表示的复数为?3?2i．?BC?AO，?BC所表示的复数为?3?2i．CA?OA?OC，?CA所表示的复数为??5?2i对角线OB?OA?AB?OA?OC，它所对应的复数为??1?6i|OB|??622?37求正方形的第四个顶点对应的复数例复数z1?1?2i，z2??2?i，z3??1?2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数。
分析1：利用AD?BC或者AB?DC求点D对应的复数。
解法1：设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x?yi则AD?OD?OA????iBC?OC?OB1?3i∵ A D?BC，∴?i?1?3i.?x?1?1?y?2??3?x?2?y??1∴ ? 解得?故点D对应的复数2?i.分析2：利用正方形的性质，对角钱相等且互相平分，相对顶点连线段的中点重合，即利用正方形的两条对角线交点是其对称中心求解．解法2：设复数z1，z2，z3所对应的点分别为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x?yi因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心．∴ 点O也是B与D点的中点，于是由??0∴ x?2,y??1.故D对应的复数为2?i.小结：解题1一定要善于发现问题中可能被利用的条件，寻找最佳的解题方法，解法2利用正方形是如C对称固形，解题思路较巧．根据条件求参数的值例已知z1?a2?3?i，z2?a?1?i分别对应向量，OZ1,OZ2，若向量Z2Z1对应的复数为纯虚数，求a的值．分析：Z2Z1对应的复数为纯虚数，利用复数减法先求出Z2Z1对应的复数，再利用复数为纯虚数的条件求解即得．解：设向量Z2Z1对应复数z ∵Z2Z1?OZ1?OZ2∴z?z1?z2?a2?3?i?[a2?1?i]?[?]?[?]i??i20?a?a?2?0z∵ 为纯虚数，∴ ? 即??0a?a?6?0∴ a??1.求复数的轨迹方程例 z?r，求2z?3?4i对应的点的轨迹方程．解：??2z?3?4i，则2z3?4i. 又z?r，故有2z?2r.∴ ??2r∴ ?对应点的轨迹是以3?4i为圆心，2r为半径的圆．小结：由减法的几何意义知z?z1表示复平面上两点z，z1间的距离．当z?z1?r，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆．当z?z1?z?z2，表示以复数z1，z2的对应点为?a href=“http:///fanwen/shuoshuodaquan/”target=“_blank” class=“keylink”>说愕南叨蔚拇怪逼椒窒撸?/p> 求复数的最大值与最小值例设复数满足z?4?3i?2?2?z?4?3i，求z的最大值和最小值．分析：仔细地观察、分析等式z?4?3i?2?2?z?4?3i，实质是一实数等式，由其特点，根据实数的性质知若a??a，则a?0，因此已知等式可化为z?4?3i?2?0解：由已知等式得z??2?0 即z??2?0，它表示的以点P为圆心，半径R?2的圆面．如图可知z?OQ时，z有最大值OP?R?5?2?7；z?OM时z有最小值OP?R?5?2?3小结：求复数的模的最值常常根据其几何意义，利用图形直观来解．初中一年级负数加减法习题一计算题:23+=+=7+= 4.23+=+= 9/4+= 3.75++5/4=-3.75++=用简便方法计算:++++++++已知:X=+17,Y=-9,Z=-2.25, 求:++Z的值填空题:零减去a的相反数,其结果是_____________;若a-b>a,则b是_____________数;从-3.14中减去-π,其差应为____________;被减数是-12,差是4.2,则减数应是_____________;若b-a -=-7判断题:一个数减去一个负数,差比被减数小.一个数减去一个正数,差比被减数小.0减去任何数,所得的差总等于这个数的相反数.若X+=Z,则X=Y+Z 若a0有理数加减法练习题一、选择1.下列说法正确的个数是①两数的和一定比其中任何一个加数都大;②两数的差一定比被减数小③较小的有理数减去较大的有理数一定是负数;④两个互为相反数的数的商是-1⑤任何有理数的偶次幂都是正数A.1个B.2个 C.3个 D.4个2.下列关于“一个正数与一个负数的和”的说法正确的是A.可能是正数 B.可能是0 C.可能是负数 D.以上都有可能.下列说法正确的是A.两个有理数相加等于它们的绝对值相加;B.两个负数相加等于它们的绝对值相减C.正数加负数,和为正数;负数加正数,和为负数;D.两个正数相加,和为正数;两外负数相加,和为负数.下列说法不正确的个数是①两个有理数的和可能等于零;②两个有理数的和可能等于其中一个加数③两个有理数的和为正数时,这两个数都是正数④两个有理数的和为负数时,这两个数都是正数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个.两个数相加,如果和小于每一个加数,那么. A.这两个加数同为正数 B.这两个加数同为负数 C.这两个加数的符号不同 D.这两个加数中有一个为零.下列计算正确的是A.+=10B.+=-21C.+=0D.+=0.87.两个数相加,如果它们的和小于其中一个加数,而大于另一个加数,那么 A.这两个加数的符号都是负数 B.这两个加数的符号不能相同 C.这两个加数的符号都是正的D.这两个加数的符号不能确定.下列说法不正确的是A.一个数与零相加,仍得这个数;B.互为相反数的两个数相加,其和为零C.两个数相加,交换加数的位置,和不变;D.异号两数相加,结果一定大于零.不能使式子│-32.6+│=│-32.6│+││成立的数是 A.任意一个数 B.任意一个正数;C.任意一个负数 D.任意一个非负数10.两个数的差是负数,那么被减数一定是A.正数或负数B.负数C.非负数D.以上答案都不对11.下列说法正确的个数是①较大的数减去较小的数的差一定是正数;②较小的数减去较大的数的差一定是负数③两个数的差一定小于被减数;④互为相反数的两个数的差不会是负数 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个12.若x和y表示两个任意有理数,则下列式子正确的是A.│x-y│=│y-x│;B.│x-y│=0;C.│x-y│=-;D.│x-y│=x-y 13.25的相反数与绝对值为235的数的差为 A.-15; B.5; C. 15或5;D. 15或-514.下列说法不正确的个数是.①两数相减,差不一定比被减数小; ②减去一个数,等于加上这个数③零减去一个数,仍然等于这个数; ④互为相反数的两个数相减得零 A.0个B.1个 C.2个 D.3个15.若 a A.一个数减0,等于这个数的相反数 B.一个数减0,其结果一定大于零 C.一个数减0,等于这个数本身D.一个数减0,其结果一定小于零 18.下列说法正确的是A.若x+y=0,则x与y互为相反数B.若x-y>0,则xy19.如图所示,a,b,c表示数轴上的三个有理数,则下列各式不成立的是 A.a-b 下列计算正确的是A．7－＝0; B．0－3＝－3; C．14?12?12; D．－＝－1 如图2—11所示，a、b在数轴上的位置分别在原点的两旁，则|a－b|化简的结果是A．a－bB．b－a C．－D．－图2—11如果a＋b＝c，且a＞c则A．b一定是负数; B．a一定小于b; C．a一定是负数; D．b一定小于a 如果｜a｜－｜b｜＝0，那么A．a＝b B．a、b互为相反数; C．a和b都是0; D．a ＝b或a＝－b 如果a的绝对值大于－5的绝对值，那么有 A．a>－ B．a A． B．－4C．10－2x D．2x－10 若a>0，b A． B．－2C．6D．－若有理数a满足a|a|＝1时，那么a是 A．正有理数 B．负有理数 C．非负有理数 D．非正有理数 1、如果□＋2＝0，那么“□”内应填的实数是－ ?1212.若家用电冰箱冷藏室的温度是4℃，冷冻室的温度比冷藏室的温度低22℃，则冷冻室的温度可列式计算为4－22＝－122－4＝122－＝2－4－22＝－263. 下列说法正确的是A. 两个数之差一定小于被减数B. 减去一个负数，差一定大于被减数C. 减去一个正数，差一定大于被减数D. 0减去任何数，差都是负数．下列交换加数的位置的变形中，正确的是A、1?4?5?4?1?4?4?B、?131113113?4?6?4?4?4?3?61?2?3?4?2?1?4?D、4.5?1.7?2.5?1.8?4.5?2.5?1.8?1.5、火车票上的车次号有两个意义,一是数字越小表示车速越快,1～98次为特快列车,101～198次为直快列车,301～398次为普快列车,401～498次为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向,其中单数表示从北京开出,双数表示开往北京,根据以上规定,杭州开往北京的某一直快列车的车次号可能是0 11 120 196、若x＞0，y＜0，且|x|＜|y|，则x＋y一定是负数正数 0 无法确定符号、.若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，则a与b的和用|a|、|b|表示为 |a|－|b| －|a|＋|b|－8、下列计算结果中等于3的是A. ?7??4B. ??74?C. ?7??4D. ??74?9、将63?7?2?中的减法改成加法并写成省略加号的代数和的形式应是A、6+3+7-2B、6-3-7-2C、6-3+7-2D、6-3-7+210、已知m是6的相反数，n比m的相反数小2，则m?n等于A、-1B、C、D、-101．下列说法中正确的是两个数的和必定大于每一个加数；如果两个数的和是正数，那么这两人数中至少有一个正数；两个数的差一定小于被减数；0减去任何数，仍得这个数.2．下列说法中正确的是两个有理数相加，等于它们的绝对值相加；两个负数相加取负号并把绝对值相减；两个相反数相减，差为0；两个负数相加，和一定为负数. 3．两个有理数的和为负数，那么这两个数一定都是负数；至少有一个负数；有一个是0；绝对值不相等. 4．?7和6的差为C．至少有一个是负数D．至少有1995个负数 ?13； ?1； 1；13. 1．下列说法正确的是A．两个有理数相加，和一定大于每一个有理数 B．两个非零有理数相加，和可能等于零C．两个有理数的和为负数，这两个有理数都是负数D．两个负数相加，把绝对值相加2．两数相加，如果和小于任一加数，那么这两数 A．同为正数B．同为负数C．一正数一负数 D．一个为0，一个为负数3．已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图2－1所示，则下列结论错误的是A．－2.2B．－3.9 C．3.2D．3.96．下列结论正确的是A．有理数减法中，被减数不一字比减数大 B．减去一个数，等于加上这个数 C．零减一个数，仍得这个数 D．两个相反数相减得06．－2的倒数与绝对值等于的数的差是 A．B．C．－1或0 D．0或1．下列计算正确的是A．7－＝0 B．C．0－4＝－4D．－6－5＝－1．下列各式中，其和等于4的是 A． B． C． D．9．如果|x|＝4，|y|＝3，则x－y的值是A．±B．±1 C．±7或±1D．7或1 10．已知：a＜0，b＞0，用|a|与|b|表示a与b的差是 A．|a|－|b|B．－C．|a|＋|b|D．－ 11．如果a＜0，那么a和它的相反数的差的绝对值等于A．－2a B．－aC．0 D．a 12．1997个不全相等的有理数之和为零，则这1997个有理数中 A．至少有一个为零 B．至少有998个正数）。